CAPÍTULO 3. Movimiento ondulatorio y ondas

Transcripción

1 Moimieto odulatorio oda CAPÍULO 3. Moimieto odulatorio oda INRODUCCIÓN. Exite e la aturaleza mucho eómeo de lo cuale e dice tiee aturaleza odulatoria pero qué e exactamete ua oda? Qué propiedade tiee? Cómo e puede ormalizar ua expreió matemática de u eómeo odulatorio? Eta otra cuetioe o el tema objeto de ete capítulo. No obtate, ate de etrar de lleo e lo que e ua oda u ormalimo, amo a deiir oda como: Ua oda e ua perturbació íica que tramite eergía, pero que o tramite materia. E la oda materiale la partícula cocreta que compoe el material o e propaga, io que e limita a ocilar alrededor de u poició de equilibrio. No obtate cuado ua oda e tramite por dicho material e produce ua icroizació de ocilacioe etre la ditita partícula compoete del medio que poibilita la propagació de eergía. La oda de choque de ua exploió e u bue ejemplo. La creació úbita de calor e la exploió elea a preió mu alta a la maa de ga de u ecidad imediata. Eta preió e ejerce obre el aire que rodea el cual e comprimido e icremetado e preió. Eta preió a u ez e ejercida obre el aire de má allá, o ea que ha ua oda de preió que e aleja de la exploió co ua elocidad de 335 m/ eta oda cotiee la eergía requerida para comprimir el aire. Eta eergía rompe etaa a grade ditacia de la exploió. Nigú material iaja, el moimieto de cualquier partícula de aire relatiamete e pequeño, la perturbació e la que iaja rápidamete a grade ditacia tramite la eergía DEFINICIÓN - CARACERÍSICAS. Ua oda e ua perturbació que e propaga dede el puto e que e produjo hacia el medio que rodea ee puto. La oda materiale (toda meo la electromagética requiere u medio elático para propagare. El medio elático e deorma e recupera ibrado al pao de la oda. La perturbació comuica ua agitació a la primera partícula del medio e que impacta, ete e el oco de la oda e ea partícula e iicia la oda. La perturbació e tramite e toda la direccioe por la que e extiede el medio que rodea al oco co ua elocidad cotate e toda la direccioe, iempre que el medio ea iótropo (de iguale caracterítica íico-química e toda la direccioe. oda la partícula del medio o alcazada co u cierto retrao repecto a la primera e poe a ibrar, recuerda la ola de lo epectadore e u etadio de útbol. La orma de la oda e la oto de la perturbació propagádoe, la itatáea que cogela la poicioe de toda la partícula e ee itate. Curioamete, la repreetació de la ditacia de eparació de la poició de equilibrio de la partícula al ibrar rete al tiempo da ua ució matemática eo que, ua ez repreetada e el papel, tiee orma de oda. Podemo predecir la poició que ocupará dicha partícula má tarde, aplicado eta ució matemática. El moimieto de cada partícula repecto a la poició de equilibrio e que etaba ate de llegarle la perturbació e u moimieto ocilatorio armóico imple. Ua oda traporta eergía pero o traporta materia: la partícula ibra alrededor de la poició de equilibrio pero o iaja co la perturbació. Veamo u ejemplo: la oda que tramite u látigo llea ua eergía que e decarga al golpear u puta. La partícula del látigo ibra, pero o e deplaza co la oda. Pulo tre de oda Oda iajera El moimieto de cualquier objeto material e u medio (aire, agua, etc. puede er coiderado como ua uete de oda. Al moere perturba el medio que lo rodea eta perturbació, al propagare, puede origiar u pulo o u tre de oda. U impulo úico, ua ibració úica e el extremo de ua cuerda, al propagare por ella origia u tipo de oda llamada pulo. La partícula ocila ua ola ez al pao del pulo, tramite la eergía e queda como etaba iicialmete. El pulo ólo etá u tiempo e cada lugar del epacio. El oido de u diparo e u pulo de oda oora. Si la ibracioe que aplicamo al extremo de la cuerda e ucede de orma cotiuada e orma u tre de oda que e deplazará a lo largo de la cuerda, eto iee a er ua oda iajera. IPOS DE ONDAS: Podemo etablecer criterio de claiicació de la oda. Alguo ería:

2 Moimieto odulatorio oda Segú el medio por el que e propague Oda mecáica. So la que requiere u medio material para propagare. Ejemplo, el oido La oda de oido ordiario e ua orma de tramiió de eergía, perturbacioe e el aire etre uete ibrate que e la que produce el oido u receptor tal como el oído. El oido tambié puede tramitire e lo líquido e lo ólido. La oda e ua cuerda, e u reorte la oda de agua o otro ejemplo de oda que eceita de u medio elático para propagare. A ete tipo de oda e lo deomia oda mecáica. Oda electromagética. So la que o requiere u medio material. Ejemplo, la luz. Exite otro tipo de oda relacioada co la luz, tramiió de radio radiació de calor, eto e la oda electromagética que o eceita de u medio para propagare. produce de arriba a abajo, e decir, perpedicularmete a la propagació Segú el úmero de dimeioe que iolucra Uidimeioale. Ejemplo, la propagació del moimieto e ua cuerda Bidimeioale. Ejemplo, ola e la upericie de u líquido. Logitudiale. E ete tipo la propagació e paralela a la ocilació. Como ejemplo, i apretamo u reorte la epira ocila de izquierda a derecha de derecha a izquierda, paralela e cualquier cao a la direcció de propagació. ridimeioale. Ejemplo, el oido ormal. Segú la relació etre la ibració la direcció de propagació raerale. So aquella oda e la cuale la ocilació e perpedicular a la direcció de propagació de la oda. Por ejemplo e ua cuerda ormal tea la oda e propaga de izquierda a derecha (e cierto cao particular pero, e cambio, la ocilació de u puto cocreto de la cuerda e

3 Moimieto odulatorio oda EXPRESIÓN MAEMÁICA PARA UNA ONDA VIAJERA. E la Figura (Phical Sciece Stud Committee, 965 e muetra ua ecuecia de otograía de u pulo propagádoe de izquierda a derecha a lo largo de u reorte. E eta ecció haremo uo de eta otograía para decubrir la expreió matemática de ua oda iajera probar el igiicado de alguo de lo térmio utilizado para decribir la oda. El iteralo de tiempo etre cada otograía e el mimo. Eta otograía idica que la elocidad de u pulo e cotate; la orma del pulo prácticamete o cambia durate el moimieto de aace. U exame má miucioo muetra que el pulo e a haciedo gradualmete má acho coorme aaza; la altura del pulo e a haciedo meor mietra el acho del pulo crece. Ete eachamieto del pulo e ua coecuecia de la diperió. La diperió o tiee u iteré primordial e la oda que deeamo coiderar, por lo que la igoraremo e uetro etudio. E la Figura arriba puede apreciare do etapa del moimieto de u pulo e ua cuerda, a do tiempo dierete, cuado el pulo e propaga de izquierda a derecha co elocidad. La igura etá dibujada obre u itema de eje coordeado de modo que el eje x muetra la direcció e que la cuerda o e ditorioa. Supogamo que la orma de la cuerda a t etá dada por la expreió ( x (Figura a. Depué de u tiempo t el pulo ha aazado hacia la derecha ua ditacia t (Figura b. Debe otare que la ució ( x a tiee la mima orma que la ució ( x, i embargo ( x a eta deplazada ua ditacia a e la direcció +x. Si upoemo que el pulo matiee u orma mietra e propaga, podemo exprear la orma del pulo e u itate de tiempo t mediate ( x, t ( x t Ua decripció imilar a la aterior, o proporcioa la expreió de u pulo que e muee hacia la izquierda co elocidad x, t x + t ( (, que ire para decribir oda. Para el cao de ua oda e ua cuerda, la ució de oda repreeta la coordeada de u elemeto de la cuerda. Por tato, la ució de oda da el deplazamieto de dicho elemeto dede u poició de equilibrio, pero e ua ució que depede de x de t. Se deomia ució de oda a la ució ( x t Eto igiica que el deplazamieto de u elemeto de cuerda depede de: a la coordeada x del elemeto; b el tiempo t de la oberació. Eto e, x t debe aparecer combiado e ( x, t como ( x t o ( x + t. Para epeciicar ua ució de oda debemo ecribirla como ua determiada ució. Aí por ejemplo la ució de oda epecíica que amo a dicutir e la ecció x, t Ae x t. iguiete e ( ( Ejemplo. De la ucioe que e preeta a cotiuació, ólo do puede repreetar ecuacioe de oda, de oda uidimeioale que e propaga e el eje x: 5 ( x, t,5 + x t 3 ( x t [ ( ] 5, ( x, t [,5 + ( x + 4t t ] 5 [,5 + ( x + t ] 3

4 Moimieto odulatorio oda a Decir cuale de la ucioe:, e 3 o ucioe de oda jutiicar la repueta. b Cuále o la elocidade de propagació de dicha oda? c E la igura e repreeta aria otograía de ua cuerda tea, e la cual e etá propagado ua oda que correpode a ua de la do ateriore. La otograía correpode a itate eparado,. A cuál de la oda correpode la oto? igiicado epecial. Reemplazado el alor de x por π x +, obteemo para ( x, t, el mimo k alor; eto e, π π x +, t Aek x + t k k A e k[ ( x t + π ] A e k( x t ( x, t π Oberamo que e el periodo de epacio de la k π cura, repitiédoe cada, catidad la llamaremo k logitud de oda la deigaremo por. π Etoce k Para u determiado tiempo Solució a Cualquier perturbació que obedece e todo itate a la ecuació: ( x, t ( x ± t repreeta ua oda uidimeioal que e propaga hacia la derecha (igo egatio o hacia la izquierda (igo poitio del eje x, co elocidad. Aí pue, la ucioe l e 3 o la úica poible repreetate de ecuacioe de oda. b Para, el alor de la elocidad erá m /, hacia la derecha del eje x. Para 3, la traormamo e: m/, hacia,5 + 4 x + t la izquierda del eje x.. c Correpode a pueto que u propagació e hacia la derecha del eje x, ademá, e claro que u elocidad e m/, lo que e deduce de la medida dada e la otograía uceia. ONDAS ARMONICAS U cao epecialmete itereate recuete e aquel e que e ua ució iuoidal o armóica tal como ( x Aekx, de modo que ( x, t Aek( x t ( La catidad k coocida como úmero de oda (dierete a la cotate k del reorte tiee u Oberamo que la ecuació ( tambié puede er ecrita e la orma ( x, t Ae( kx kt Ae( kx ωt ω Dode la recuecia agular ω k k La ució ( x, t e tambié periódica e el tiempo, π co u periodo ω ω Y por lo tato, co ua recuecia π Para u determiado epacio x. Podemo obteer ua relació importate de la oda., expreió que cocuerda co ω π k π ambié e recuete ecribir la ecuació de la oda iuoidal e la orma: A x t π e Ae ( kx ωt 4

5 Moimieto odulatorio oda Oda que iaja a la izquierda. Similarmete para ua oda que iaja a la izquierda e tedría A x t π + e Ae ( kx + ωt Fució iuoidal deaada co repecto al orige. Adicioalmete, podemo teer ua ució iuoidal deaada co repecto al orige de coordeada, eto e, ( x Ae ( kx ϕ la oda iajera erá ( x, t Ae( kx ωt ϕ Similarmete para ua oda que iaja hacia la izquierda e tedrá ( x, t Ae( kx + ωt ϕ Nota. Ua oda real o puede er perectamete armóica, pueto que ua oda armóica e extiede hacia el iiito e ambo etido a lo largo del eje x o tiee i pricipio i i e el tiempo. Ua oda real debe teer pricipio i e algú lugar del epacio del tiempo. La oda exitete e la aturaleza, como o la oda de oido o la oda de luz, puede recuetemete aproximare a oda armóica, pueto que u extei6 e el epacio e mucho maor que u logitud de oda, el iteralo de tiempo que tarda e paar por u puto e mucho maor que u período. Ua oda de ete tipo e deomia tre de oda. Aí que ua oda armóica e ua repreetació idealizada de u tre de oda. Ejemplo. U eraeate que decaa e la plaa obera que durate lo último 3 miuto ha arribado 9 ola a la orilla. Luego e mete al mar e dirige adado hacia u bote aclado ubicado a 45 m mar adetro, tomádole u total de 5 miuto e llegar. E el traecto el adador orteo 6 ola. Determie a La elocidad co que la ola e acerca a la orilla e: b La eparació etre creta de ola coecutia. Si e 3 miuto llega 9 ola a la orilla, la recuecia de la ola e: c Si ha 6 ola e 45 metro la logitud de oda de la ola e: ,5 m a La elocidad co que la ola e acerca a la orilla. 7,5,375 m/ b La eparació etre la creta de ola coecutia e ua logitud de oda: ,5 m Ejemplo 3. Ua oda iuoidal e eiada a lo largo de ua de u reorte, por medio de u ibrador ijo e uo de u extremo. La recuecia del ibrador e ciclo por egudo la ditacia etre puto de míimo uceio e el reorte e 4 cm. Ecotrar: a La elocidad de la oda b La ecuació de la oda, abiedo que el deplazamieto logitudial máximo e de 4 cm. que e muee e el etido poitio de x. a Si Hertz 4 cm. la elocidad e 4 x 49 cm/eg. b La ecuació de la oda que e muee e el etido poitio e Ae ( kx ωt Siedo π π A 4cm, k π ω π 4 π Luego la ecuació de la oda e x ( x, t 4eπ t 4 e cm x e cm t e egudo. Coro la ariable x aparece e la expreió co igo opueto a la ariable t, la oda e propaga e la direcció + x. Ejemplo 4. a Ua oda e ua cuerda eta decrita por,e(,5x 68t. Determie la amplitud, la recuecia, periodo, logitud de oda elocidad de la oda. b Ua oda e ua cuerda eta decrita por 5e[,5π x, 4π t] e el itema cg. Determie la amplitud, la recuecia, periodo, logitud de oda, la elocidad de propagació la elocidad traeral de la oda. a La ecuació de la oda e ( x, t Ae( kx ωt A, m, π k,5,6 m π ω 68, 5

6 Moimieto odulatorio oda Hz m 6 b La ecuació de ua oda armóica, e geeral, e x t Ae( kx ω t Aeπ ( + La ecuació dada e el problema e puede poer de la orma iguiete x t 5eπ,5,4 Idetiicado amba ecuacioe teemo: Amplitud A 5 cm Logitud de oda,6 cm,5 Frecuecia,4 Hz Velocidad de propagació,64 cm/ La elocidad traeral erá d t 5,8π coπ (,5x,8t dt π (,5x,8t cm/ Ejemplo 5. U oco putual realiza u moimieto periódico repreetado por la ecuació. La uidade etá e el itema cg. t x 4co π Se pide determiar: a La elocidad de la oda. b La dierecia de ae para do poicioe de la mima partícula cuado el iteralo de tiempo tracurrido e de c La dierecia de ae, e u itate dado, de do partícula eparada cm. d Si el deplazamieto,, de ua determiada partícula e u itate determiado e de 3 cm, determiar cuál erá u deplazamieto má tarde a La elocidad de propagació de la oda e: 4 cm 4 6 La elocidad e de etido cotrario al poitio del eje x. b La dierecia de ae e t + t π π ϕ π c E ete cao, la dierecia de ae iee dada por x x 7 7π ϕ π π π d Sabemo que t x 3 4co π co π t + x El deplazamieto egudo má tarde erá t + x 4 co π t x 4co π t x π 4 co π t x π t x π 4 co π + co eπ + e Pero 3 co π t + x e π t + x Sutituedo alore ,79 cm Ejemplo 6. Ua oda iuoidal que iaja e la direcció poitia x tiee ua amplitud de 5 cm, ua logitud de oda de 4 cm ua recuecia de 8 Hz. El deplazamieto de la oda e t x e 5 cm a Determiar el úmero de oda, el período, la recuecia agular la rapidez de oda. b Determiar la cotate de ae ϕ, e ecribirá ua expreió geeral para la ució de oda. a Utilizado la ecuacioe etudiada obteemo: π π k,57 / cm 4,5 8 ω π π ( 8 5,3 rad/ ( 4 ( 8 3 cm/ b Pueto que la amplitud A 5 cm, como e tiee 5 cm e x t, obteemo 5 5e( ϕ e ( ϕ Eto puede comprobare por imple oberació pueto que la ució coeo etá deplazada 9º 6

7 Moimieto odulatorio oda repecto de la ució eo. Sutituedo lo alore de A, k ω e eta expreió, e obtiee 5co(,57t 5,3xcm Ejemplo 7. La ecuació de ua oda armóica que e propaga e ua cuerda e 5e(,5πx,8πt Dode x e exprea e cm t e egudo. a Determiar cual e el deae para do partícula de la oga poicioada e cm 3cm b Cual e la ditacia míima etre partícula del medio cuo deae e de π/3. a 5e(,5π, 8πt 5 co,8πt 5e( 37,5π, 8πt 5co,8πt El deae e π rad El deae etre eo do puto e todo itate erá igual a π rad. π b,5π x,5πx 3 x x,7 cm 3(,5 3, 75 Otra orma Si π correpode a,6 cm., cuado correpode a π : 3 π,6 3,6 d,7 cm π 6 Ejemplo 8. La elocidad de propagació de ua oda e de 33 m/, u recuecia, 3 Hz. Calcúlee: a La dierecia de ae para do poicioe de ua mima partícula que e preeta e iteralo de tiempo eparado 5 x -4. b La dierecia de ae e u determiado itate etre do partícula que dita etre í,75 cm. c La ditacia que exite etre do partícula que e ecuetra deaada. 3 33,33m 3, a Si a u período le correpode ua dierecia de ae π: a Δt le correpode ua dierecia de ae Δϕ πδt Δϕ π π rad b Si a ua logitud de oda le correpode ua dierecia de ae π: a Δx le correpode ua dierecia de ae Δϕ πδx π,75 π Δϕ rad 33 6 Δϕ,33 π / 6 c Δx,m π π Ejemplo 9. Sometemo al extremo de ua cuerda tea a ibracioe iuoidale de Hz. La míima ditacia etre do puto cua ibracioe tiee ua dierecia de ae π / 5 e de cm, calcular: a La logitud de oda. b La elocidad de propagació. a Si la dierecia de ae para do puto eparado cm e π / 5, a dierecia de ae para ua logitud de oda e π. π π 5 Luego cm m b La elocidad de propagació m x - m/ Ejemplo. Ua oda tiee por ecuació: ( x, t 5eπ ( 4x t +,5, expreada e el itema CGS. Determiar la amplitud, la recuecia, la logitud de oda, el úmero de oda, la recuecia agular, la ae iicial la elocidad de propagació. Solució La ecuació geeral de la oda e: ( x, t ( kx ω t +ϕ oe x t ϕ o eπ + π que comparada co la dada: ( x, t 5eπ x t + 8 reulta: 5 cm, Hz, cm, π k 4 cm, ω π r rad/, ϕ rad, 4 5 cm/ 7

8 Moimieto odulatorio oda Ejemplo. Sometemo al extremo de ua cuerda a u ibrador que le produce ua oda iuoidal. Si la ecuació de la ibració ecrita e el itema 5e,πt, propagádoe e la cuerda co ua elocidad de cm/. Determie la ecuació de la oda producida. La ecuació de la oda que e propaga el etido egatio del eje OX e: x t ( x, t eπ + + ϕ t ( x, t eπ + ϕ Comparado co la dada: (, t 5e,πt π 5 cm,, π, ϕ Ademá como cm De aquí x π t ( x, t 5e + Ejemplo. La ecuacioe de do oda ecrita e el itema CGS iee dada por: ( x, t 4eπ ( 4t, 5x e ( x, t 6e( 4πx 5πt Calcular e cada cao: a Velocidad e ució del tiempo, de u puto ituado a cm del oco. b Velocidad máxima de ee puto. c Velocidad de ae. d E qué itate alcaza u elocidad máxima u puto ituado a,5 m del oco? e Poició de lo puto que tiee elocidad máxima e t. ( x, t 4e( 8πt πx, ( x, t 6e( 4πx 5πt a ( x, t 3π co( 8πt πx t ( x, t 3π co( 4πx 5πt t Cuado x cm, etoce:, t 3π co 8πt π 3 π co8πt ( ( (, t 3π co( 4π 5πt 3π co5πt b E alor aboluto: max 3π cm max 3π cm ω 8π cm c 8, k π ω 5π 5 cm k 4π 4 d Para x 5 cm, obteemo: ( 5, t 3π co( 8πt 5π 3 π co8πt i e máxima, etoce: co 8π t ± 8 πt π t 8 E erá: ( 5, t 3π co( 6π 5πt 3π co5πt E el máximo: co 5π t ± 5 πt π t 5 e Para t, etoce: ( x, 3π coπx para que ea máxima: co πx ± πx π x Para, erá: (, 3π co 4πx para que ea máxima: co 4πx ± 4 πx π x 4 Ejemplo 3. Sometemo al extremo de ua cuerda tea a u ibrador que le produce ibracioe iuoidale. Por ete eecto e propaga por la cuerda ua oda traeral que tiee por ecuació: ( x, t eπ (,6 x, 8t, expreada e el itema CGS. a Qué codicioe iiciale o determia eta ecuació de oda? b Determíee para eta oda u amplitud, elocidad de propagació logitud de oda. c iempo que tarda e comezar a ibrar ua partícula de la cuerda ituada a cm del extremo e que e ecuetra el ibrador ecuacioe horaria del moimieto de ela [ ( t, ( t, a ( t ] ua ez tracurrido éte. d Dibujar la orma que tiee la cuerda [ ( t ] cuado ha tracurrido 5,65 del comiezo de la ibració (peril de la oda. a Si hacemo x t, tedremo:, e ( 8 t, 8π < ( x, t 8π coπ (,6 x, t ( La ecuació dada o determia que e el extremo de la cuerda e que e ecuetra al ibrador x para 8

9 Moimieto odulatorio oda t e cuado comieza a actuar el ibrador co moimieto ibratorio armóico dirigido hacia abajo (e el etido egatio del eje. La oda e propaga e la direcció poitia del eje x. b Como la ecuació geeral de ua oda i ae e: iicial ( x ( x t eπ ( kx ωt eπ, Comparádola co la dada: ( x, t eπ (,6 x, 8t eπ,8x, 4t De aquí ( cm,,5cm,,8, 5,,4Hz,4,5,4,5cm/, c La partícula comezará a ibrar tracurrido u tiempo t, tal que: x t x,5 t Paado éte, la partícula comieza a ibrar co moimieto armóico de ecuació: x cm ( t eπ ( 8, 4t Luego: d ( t 8π co π ( 8, 4t dt d d a t 6,4π eπ 8, 4t dt dt ( ( Obéree que el orige de la elogacioe para ete moimieto ibratorio armóico e ecuetra a del comiezo de la actuació del ibrador. El igo meo de la elocidad o idica que comieza a moere hacia abajo (etido egatio del eje,, por tato, la partícula e ecuetra e ae co el ibrador. (El tiempo 8 o idica que ha tracurrido 8 período, por tato, la partícula e ecuetra a 8 cm de ditacia del orige, la orma de la cuerda hata ea partícula erá 8 bucle hacia abajo del eje otro tato hacia arriba. x eπ,8x,5 d t 5,65 ( ( Iterecció co eje : x ( e4,5π cm lo que o idica que el ibrador e ecuetra e u máxima elogació (amplitud por debajo del orige. Iterecció co eje x: El trozo de cuerda que e ha pueto e moimieto e ee tiempo erá: x t,5 x 5,65,85 cm, correpodiete a,85,5 +,5 4 t lo que quiere decir e que a partir de eta ditacia la cuerda e ecuetra e repoo, co lo que la gráica (orma de la cuerda e ee itate erá la de La ecuació e x ( π (,8x, 5 π x + 4,5,6 Ha cico alore de x para ( x x correpode a x + 4,5,6,85cm x - correpode a - x + 4,5,6,875cm x - correpode a - x + 4,5,6,565cm x -3 correpode a -3 x 3 + 4,5,6 3,9375cm x -4 correpode a -4 x 4 + 4,5,6 4,35cm. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN EN FUNCIÓN DE LAS PROPIEDADES DEL MEDIO. Forma imple de calcular la elocidad de la oda e ua cuerda e ució de la propiedade del medio. Supogamo que teemo ua cuerda de maa por uidad de logitud μ, que eta etirada por ua uerza de teió. U pulo e propaga e la cuerda. omamo u pequeño elemeto muetra e la igura. Δl de la cuerda e 9

10 Moimieto odulatorio oda Ete elemeto, de logitud, e la parte má eleada de la oda, etá ujeto a la teió de la cuerda e lo do etido de propagació de la oda. Podemo dibujar ua circuerecia de radio R, e que R e la amplitud de la oda. Ete elemeto de la cuerda, coiderado bie pequeño, etá e el lado de u triágulo cuo águlo opueto etá dado por Δ θ. Itatáeamete, e como i ete elemeto de cuerda etuiee e moimieto e ua traectoria circular de radio R, co elocidad ; la elocidad de la oda. Aplicado la eguda le de Newto al egmeto de cuerda Δ l Δθ Δθ F x ma co co Δθ F ma e Δmac Δθ a c. Como e pequeño, podemo R Δθ Δθ coiderar e Reemplazado: Δθ μrδθ R μ Obteemo la elocidad de la oda e la cuerda e ució de la propiedade de la cuerda: u teió u deidad lieal. Ejemplo 4. La cuerda Si de u madolia tiee,34 m de largo tiee ua deidad liear de,4 kg/m. El torillo de ajute maual uido a la cuerda e ajuta para proporcioar ua teió de 7, N. Cuál etoce e la recuecia udametal de la cuerda? L L μ 7, N (,34m, 4 kg m 96 Hz U itrumeto de cuerda tal como ua guitarra e templada ajutado la teió e ua cuerda por medio de u torillo de ajute maual. La logitud de la cuerda e ija, aí que el ajute de la teió da la recuecia udametal. Otra recuecia udametale puede er alcazada acortado la logitud de la cuerda preioado e u trate. Fialmete, aria cuerda de diera deidade e utiliza para dar ua gama de la elocidade de la oda, de tal modo proporcioado el acceo a ua maor gama de recuecia udametale. μ Ejemplo 5. Ua oda Ae( k x ω t iaja por ua cuerda de deidad de maa lieal μ teió. Diga, para cada ua de la oda que e da a cotiuació, i puede iajar por la mima cuerda imultáeamete co la oda dada. Por qué? Bajo qué codició? ( kx + t ( k x + t ( k x + t ( k x + t Ae ω Ae ω 3 Ae ω 4 Ae ω Siedo ω ω k k La elocidad de propagació e úica; ω ω μ k, por lo tato, la relació k determiada o ija.. No puede iajar, e requiere: ω ω k k o llea a ua aledad, cotra lo upueto, ω ω eta, lo que. No puede iajar, por que imilar al cao aterior: ω ω tambié o llea a ua aledad cotra lo k k upueto, k k 3. Si puede iajar, bajo la codició: ω ω k k 4. Si puede iajar, por que tiee igual ω k e la mima oda que iaja e etido cotrario. Ejemplo 6. Ua cuerda de maa M logitud l cuelga del techo de ua habitació. a Probar que la elocidad de pulo traeral e ució de la poició cuado e propaga a lo largo de ella e gx, iedo x la ditacia al extremo libre. b Probar que u pulo traeral recorrerá la cuerda e u tiempo l g.

11 Moimieto odulatorio oda a La elocidad del puto P e μ, la teió e ee puto e debido a la cuerda que cuelga de logitud x, cua maa e μ x u peo μgx. μgx Luego gx μ b para ecotrar el tiempo de recorrido del pulo dx dx gx dt dt gx l t dx gx l g ECUACION DE LA ONDA. Oda traerale e ua cuerda. E eta parte trataremo la ecuació de la oda u olució, coiderado el cao particular de la oda traeral e ua cuerda, reultado que e geeral tambié para lo demá cao. La cuerda tiee ua maa uiorme μ por uidad de logitud etá ometida a ua teió. Sobre eta cuerda eta iajado ua oda traeral. Coideremo u elemeto de logitud (de a como e muetra e la igura, obre ete elemeto actúa do uerza extera a él, que la jala e cada extremo debido al reto de la cuerda. Eta uerza o de igual magitud que la teó de la cuerda. La uerza horizotal obre ete elemeto e: F x coα coα i la curatura de la cuerda o e mu grade coα co α de aquí cocluimo que La uerza ertical obre el elemeto e: F eα eα Si lo deplazamieto traerale de la cuerda o o mu abrupto, podemo coiderar que, Se α taα Luego, F ( taα taα Que erá la uerza total eta que actúa obre el elemeto Δ x coiderado. Aplicado la eguda le de Newto, F Δma Δm t deota la aceleració ertical del elemeto de t cuerda. Como taα, taα x x Δx, Δm μδl μ μδx coθ e tedrá μ Δx t x x ó x x t μ Δx Lleado al límite cuado Δx, obteemo t μ x Ecuació dierecial del moimieto. Como la elocidad de propagació de ua oda e ua cuerda tea e, por lo que la ecuació μ dierecial de la oda la ecribimo como: t x Cua olució e la ecuació de la oda Ae ( kx ωt comprobació Aω e( kx ωt, t Ak e( kx ωt x Reemplazado Aω e( kx ωt Ak e( kx ωt ω k Expreió álida para toda oda, a que ω k correpode a la elocidad de propagació de la oda. De maera imilar podemo ecotrar la elocidad de propagació de la oda para: a Oda logitudiale e ua barra de metal de deidad ρ módulo de elaticidad Y. Y L ρ

12 Moimieto odulatorio oda b Oda traerale e ua barra de metal de deidad ρ módulo de elaticidad cortate o de cizalladura G. G ρ c Oda logitudiale e u ga de deidad ρ módulo de compreibilidad olumétrica B. B ρ Ejemplo 7. Para el cobre el modulo de elaticidad olumétrica e 4 x N/m la deidad e 89 kg/m 3. Cuál e la elocidad del oido e el cobre? B ρ m/ Ejemplo 8. A u alambre de acero (Módulo de Youg: Y, x N/m, deidad del acero: ρ 7,8 g/cm 3 que tiee u diámetro de mm 4 m de logitud, lo colgamo del techo, calcular: a El alargamieto del alambre cuado de u extremo libre colgamo u peo de 5 kg. b La elocidad de propagació de la oda logitudiale traerale a lo largo del alambre cuado el cuerpo etá upedido. Δl F a l YA Mgl 5 9,8 4 Δl 8 YπR π 5 37,4 x -3 m b La elocidad de propagació de la oda logitudiale lo largo del alambre Y 3 m logitudi al 5,6 ρ 3 7,8 La elocidad de propagació de la oda traerale a lo largo del alambre traeral traeral Mg μ ρπr 5 9,8 3 7,8 π 5 m 49 8 Ejemplo 9. Se tiee u alambre de acero de,3 mm de diámetro, abiedo que 5 m de ete alambre e alarga,5 mm co ua carga de, kg. (deidad del acero, 7,8 g/cm 3 a Calcule el módulo de Youg e el acero. b Calcule la elocidad de propagació de ua oda Dode ρ, la deidad e u alor coocido igual a 7,8 g/cm 3. a El módulo de Youg Y puede calculare de F A Fl Y Δl l AΔl (, 9,8( 5 5,5 x 3 3 [ π (,3 4](,5 N/m b La elocidad de propagació del oido e el acero iee dada por Y 5, m/ 3 ρ 7,8 Ejemplo. Ua cuerda de piao de logitud 4 cm, ecció,4 mm deidad 7,8 g/cm 3, emite u oido udametal cuado e aproxima u diapaó de recuecia 8 Hz. a Determie la teió a que etá ometida. b Si la teió e multiplica por 4, cómo e modiica la recuecia de u oido udametal? a E ete cao L L,8 m La elocidad de la oda e:,8 x 8 74,4 m/ La elocidad de la oda traerale e la cuerda tea etá dada por: μ μ m ma La deidad lieal e: μ ρa (7,8 x L LA 3 (,4 x -6 3, x -3 kg/m Fialmete μ (3, x -3 (74,4 94,9 N b E ete cao la elocidad de la oda traerale e: 4 '. μ μ

13 Moimieto odulatorio oda La logitud de oda o cambia la uea recuecia erá: ' ' x Hz. Ejemplo. A u reorte cua maa e g cua logitud atural cuado etá colgado de u puto ijo e 4 m, e le poe ua maa de g uida a u extremo libre. Cuado eta maa e ecuetra e equilibrio, la logitud del reorte e 4,5 m. Determiar la elocidad de propagació de la oda logitudiale e el reorte. Oda logitudiale e u reorte. Y kl, para u reorte Y o, A ρ luego para el reorte kl μ o ρ μ A l 4m, Δ l l l o 4,5 4,5 m Mg, 9,8 N F kδl k 9,6 Δl,5 m m, kg μ 5 l o 4 m ialmete kl o 9,6 4 m 39,6 5 μ ENERGÍA E INFORMACIÓN RANSFERIDA MEDIANE ONDAS eemo la experiecia de eergía traerida por oda e mucha ituacioe. Setimo la uerza de ua ola e el océao, uetra piel iete el calor de la oda lumioa del ol, ecuchamo la oda de oido. Ademá, la maor parte de la iormació que recibimo o llega mediate oda. El habla la múica e tramite por oda de oido, la radio la teleiió por oda electromagética. La luz relejada por la cual uted lee eta págia e ua oda. Cómo depede la eergía ( e coecuecia la iormació tramitida por la oda de la propiedade de la oda? Para repoder eta preguta ate debemo coiderar cómo e traerida la eergía por u olo pulo. Luego, ampliaremo lo reultado co el i de teer ua expreió para la eergía de ua oda armóica. A u elemeto de maa Δ m e el puto P e le da ua eergía ciética a medida que u pulo de oda paa co ua elocidad. Para el tiempo t, u pequeño egmeto de la cuerda alrededor del puto P de la igura aterior, co maa Δ m logitud Δ l, etá e repoo o tiee eergía ciética. El moimieto hacia arriba hacia abajo proporcioa la eergía requerida para iiciar el pulo a lo largo de la cuerda. A medida que el borde que ecabeza el pulo alcaza P, el egmeto Δ l comieza a moere hacia arriba. A medida que la creta de la oda paa el egmeto Δ l, el egmeto e muee a u poició má alta empieza de ueo a bajar, teiedo eergía ciética mietra etá e moimieto. Cuado el pulo etero ha paado P, el egmeto Δ l regrea al repoo de ueo o tiee eergía ciética. El progreo del pulo a lo largo de la cuerda correpode al lujo de eergía a lo largo de la cuerda. Otro tipo de pulo, icluedo u pulo que iaja a traé del aire, traeriría eergía a lo largo de la direcció de la propagació de modo imilar. Cuáta eergía e ha traerido al paar P durate u tiempo t? Para ua oda armóica que iaja e ua cuerda, cada puto e muee co moimieto armóico imple e la direcció traeral (. Como imo ateriormete, e auecia de amortiguamieto, la eergía total de u ocilador armóico e igual a u eergía potecial e el deplazamieto máximo A, e decir, ka. ambié imo que la relació etre maa, cotate k del ocilador (o e el úmero de oda k k recuecia e. Si tratamo el egmeto π m de la cuerda como u ocilador armóico co maa Δ m que e muee a la recuecia, podemo acomodar la ecuació para obteer ua cotate de alto eectia k ( π Δm. La eergía aociada co el moimieto de ete egmeto de la cuerda e etoce ΔE ka ( π ΔmA 3

14 Moimieto odulatorio oda ΔE π Δm A Ahora teemo u reultado importate: la eergía de ua oda depede del cuadrado de la amplitud de la oda. Aí, ua oda co el doble de amplitud de otra oda equialete (co la mima recuecia, el mimo medio tedrá eergía cuatro ece maor. Para ecotrar la rapidez del lujo de eergía, o potecia, oberamo que Δ m e puede ecribir coro ρ SΔl, dode ρ e la deidad, S el área de la ecció traeral Δ l la logitud del egmeto de la cuerda. E u tiempo Δ t, la oda co rapidez recorre ua logitud Δl Δt, de maera que podemo utituir Δm ρsδt detro de la ecuació para Δ E. Obteemo ua expreió para la eergía traportada e el tiempo Δ t. ΔE π Sρ A Δt La rapidez a la cual e propaga la eergía a lo largo de la cuerda e la potecia P. ΔE P π Sρ A Δt El parámetro má útil geeralmete e la iteidad I, que e deie como la potecia que lue a traé de u área uidad. Para ete cao, la iteidad e watt por metro cuadrado (W/m e: P I π ρ A S Auque ete reultado lo hemo deriado para el cao epeciico de oda e ua cuerda, da la depedecia correcta de la deidad del medio, la elocidad de la oda, la recuecia la amplitud apropiada para cualquier oda armóica iajera. El oído humao puede acomodare a u iteralo de iteidade oora batate grade, dede - W/m aproximadamete (que ormalmete e toma como umbral de audició, hata w/m aproximadamete que produce eació doloroa e la maoría de la peroa. Debido a ete gra iteralo a que la eació iiológica de uerza oora o aría directamete co la iteidad, e utiliza ua ecala logarítmica para decribir el iel de iteidad de ua oda oora. Niel de Iteidad. El iel de iteidad, β, e mide e decibelio (db e deie: I β log, dode I e la iteidad del oido, e I I e u iel de reerecia cuo alor e de - W/m que ecogemo como la uidad de audició. E eta ecala, el iteralo de iteidad oora para el oído humao e de db a db, que correpode a iteidade a partir de - W/m hata cerca de W/m. La eació de oido má o meo uerte depede de la recuecia ademá de la iteidad del mimo. Ejemplo. Ua cuerda de deidad lieal 48 g/m etá bajo ua teió de 48 N. Ua oda de recuecia Hz amplitud 4, mm recorre la cuerda. A qué razó la oda traporta eergía? rad ω π π ( 4π 48N μ,48kg m 3 m P μμ A,5,48 4π, 4 6 W ( ( ( ( ( Ejemplo 3. La coeració ormal e dearrolla a cerca de 6 db. A qué iel de iteidad correpode? I 6 log, I 6 I I I I -6 W/m Ejemplo 4. Ua uete emite el oido uiormemete e toda la direccioe e u iel de la eergía de 6 W. Cuál e la iteidad ua ditacia de 4 m de la uete? La potecia e ditribue obre la upericie de ua eera de área A 4πr. P 6 I 4 r,3w/m π 4πr 4 ( Ejemplo 5. A ua ditacia de 5 m de ua uete el iel de oido e 9 db. A qué ditacia el iel ha bajado a 5 db? P P I r I I de aquí 4πr 4πr I r I I β log 9dB, I I Similarmete, I I β log 5dB, I I 5 I Luego 9 I r r 5 m 4 r r

15 Moimieto odulatorio oda REFLEXION DE ONDAS Ahora eremo que ucede co ua oda al llegar a u extremo que la coia; para ete etudio coideraremo ua perturbació e ua cuerda, primero eremo cuado el extremo eta rígidamete atado a la pared la cuerda o tiee poibilidad de deplazamieto e ee puto. Luego eremo el cao e que la cuerda tiee poibilidad de deplazamieto ertical e el puto de atadura. Eta propiedad de la oda que aquí itroducimo e aplica a toda la oda. Primer Cao.- Extremo ijo Cuado el pulo de ua oda llega al extremo má alejado de ua cuerda que eta ija a ua pared e ee extremo, la oda o e detiee repetiamete, io que e relejada. Si o e diipa eergía e el extremo lejao de la cuerda, la oda relejada tiee ua magitud igual a la de la oda icidete; i embargo, la direcció de deplazamieto e iertirá (ea igura. Eta ierió ucede porque a medida que el pulo ecuetra la pared, la uerza hacia arriba del pulo e el extremo tira hacia arriba obre la pared. Como reultado, de acuerdo co la tercera le de Newto, la pared tira hacia abajo obre la cuerda. Eta uerza de reacció hace que la cuerda etalle hacia abajo, iiciado u pulo relejado que e aleja co ua amplitud iertida (o egatia. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE ONDAS - INERFERENCIA ratamo e ete puto el eecto combiado de do o má oda que iaja e el mimo medio. E u medio lieal, eto e, e u medio e que la uerza de recuperació e proporcioal al deplazamieto del mimo, e puede aplicar el pricipio de uperpoició para obteer la perturbació reultate. Ete pricipio e aplicable a mucho tipo de oda, icluedo la oda e cuerda, oda oora, oda upericiale e el agua oda electromagética. El térmio itererecia e empleó para decribir el eecto producido al combiar do oda que e deplaza imultáeamete a traé de u medio. Pricipio de uperpoició. El pricipio de uperpoició etablece que, cuado do o má oda e muee e el mimo medio lieal, la oda reultate e cualquier puto e igual a la uma algebraica de lo deplazamieto de toda la oda compoete. Segudo Cao.- Extremo Libre Si la cuerda tiee libertad para moere e u extremo lejao. De ueo, u pulo de oda que iaja a lo largo de la cuerda e releja cuado alcaza ee extremo (ea igura. Pero e ete cao emo que la oda relejada tiee la mima direcció de deplazamieto que la oda icidete. A medida que el pulo alcaza el extremo de la cuerda, éta e muee e repueta al pulo. A medida que el extremo de la cuerda empieza a regrear a u poició, iicia u pulo iero a lo largo de la cuerda, jutamete como i el moimieto ial e debiera a algua uerza extera. El reultado e u pulo exactamete igual al pulo de oda icidete. Pero iajado e el etido cotrario. Ejemplo 6. Etre do barra paralela e matiee tea ua cuerda mediate do aillo, como e idica e la igura. Se perturba la cuerda partiedo de u deplazamieto iicial como el idicado e la igura (mu exagerado e la mima. La logitud de la cuerda e d la elocidad de propagació de la oda traerale e dicha cuerda e. Cuáto tiempo tracurrirá hata que la cuerda alcace u etado igual al repreetado i: a Lo aillo puede moere libremete a lo largo de la barra. b U aillo etá ijo. c Etá ijo lo do aillo. 5

16 Moimieto odulatorio oda e produce e t d /, el máximo e u tiempo: d t3 a Si lo aillo puede moere a lo largo de la barra, cuado lo pulo de la igura llega a lo extremo la relexió e realiza i cambio de ae. El máximo cetral e produce e el itate t tal que: d / d t t b E el aillo ijo e produce cambio de ae e la relexió. La propagació igue lo pao de la igura. Se produce u míimo e el cetro e el itate: d / d d / d t + + el tiempo eceario para que e produzca el máximo e el cetro e el 4d doble que el aterior, e decir: t c Co lo do extremo ijo ha cambio de ae e ambo. Como e aprecia e la igura el míimo cetral ONDAS QUE VIAJAN EN LA MISMA DIRECCION. Se aplicará el pricipio de uperpoició a do oda armóica que iaja e la mima direcció e cierto medio. Oda co la mima Amplitud recuecia. Si el etido de aace e el del emieje poitio de la x, tiee la mima recuecia, logitud de oda amplitud, pero diiere e ae e puede exprear u ucioe de oda idiiduale como Ae( ωt kx e Ae( ωt kx ϕ La ució de oda reultate e obtiee haciedo total + Ae ( ωt kx + Ae( ωt kx ϕ Empleado la idetidad trigoométrica iguiete: ( A B ( A + B ea + eb co e Se obtiee ϕ ϕ total Aco e kx ωt Luego, oberamo el moimieto reultate e ueamete odulatorio, pue e de la orma x t kx ωt. ( o bie ( 6

17 Moimieto odulatorio oda La oda reultate tiee igual recuecia logitud de oda que u compoete, pero co deae ϕ ϕ repecto a repecto a La amplitud de ete moimieto odulatorio e ϕ A co, emo que e dierete al de u compoete co la caracterítica udametal que depede de ϕ. ϕ Si ϕ, π, 4π..., etoce co ± la amplitud de la oda reultate e ± A. E otra palabra, la oda reultate e el doble de amplia que la oda idiiduale. E ete cao e dice que la oda etá e ae e todo lo puto, e decir, la creta lo alle de la oda idiiduale ocurre e la mima poicioe. Ete tipo de uperpoició e deomia itererecia cotructia. Si < ϕ < π la oda reultate tiee ua amplitud cuo alor etá etre A. La igura muetra u π deae ϕ APLICACIONES: El etetocopio la cacelació de ruido. El etetocopio. Ete itrumeto ue ietado e 86 por el médico racé R..H. Laeec. A ete hombre, por pudor, o le agradaba la idea de aplicar u oreja obre el pecho de la paciete, por lo que e acotumbró a utilizar u tubo de papel. Poteriormete pereccioó la idea aplicado el pricipio de itererecia cotructia. Si ϕ π (o cualquier múltiplo impar de ece π, ϕ etoce co, la oda reultate tiee amplitud cero e cualquier parte. E ete cao la creta de ua oda coicide co el alle de la otra u deplazamieto e cacela e cada puto. Ete tipo de uperpoició e deomia itererecia detructia. Cacelació de ruido. La itererecia detructia puede er mu útil. E mu importate que el piloto de u aió oiga lo que ucede a u alrededor, pero el ruido del motor repreeta u problema. Por eo, lo piloto puede uar uo auriculare epeciale coectado a u micróoo que regitra directamete el oido del motor. U itema e lo auriculare crea ua oda iera a la que llega a traé del micróoo. Eta oda e emitida, de orma que eutraliza la primera. E lo automóile e etá experimetado co u itema imilar. 7

18 Moimieto odulatorio oda x,67 m Lo míimo etá e alore de x igual,33 m;,67 m. Lo retate máximo míimo e localiza uera del egmeto F F'. Ejemplo 7. Do oco putuale F F', eparado etre i m, emite e ae oido de 5 Hz de recuecia co la mima iteidad. a Obteer la poició de lo puto, i lo ha, e lo que o e regitra oido. b Obteer la poició de lo máximo míimo de iteidad que e regitra a lo largo del egmeto FF'. ( 34 m/. xd a Si coideramo que ambo oido e propaga co rete de oda eérico que por tato la amplitud dimiue co la ditacia, para que e produzca aulació total e u puto, éte deberá equiditar de F F', co lo que lo úico puto eria lo de la mediatriz del egmeto F F'; pero preciamete e eo puto la do amplitude e uma por etar lo oco e ae. E coecuecia, o ha igú puto a ditacia iita e el que la iteidad reultate ea ula. b Dede u puto P del egmeto F' a ditacia x de F, la dierecia de camio a lo oco e: Δx x x x ( D x x D MÁXlMOS: D Δ x x D x + 34 x,6m 5 x,5 m + x 3,84m Lo máximo etá e alore de x igual a,6;,5;,84 m MÍNIMOS: D Δx ( + ( + x x,33m 4 5 Ejemplo 8. Do Fuete eparada m ibra de acuerdo a la ecuacioe,6eπ t m,eπ t m Ella eía oda de elocidad 3 m/ a lo largo de ua arilla. Cuál e la ecuació del moimieto de ua partícula a m de la primera uete a 8 m de la eguda? Reerido a la igura. La uete eía oda e el etido +x, tal que Ae ( kx ωt. La uete eía oda e el etido -x, tal que Ae ( kx + ωt rad ω m como ω π, 3 k ω π k m 3 ambié A,6 m A, m La perturbació reultate e el puto x m, x -8 m e. + π π,6e x πt +,e x + πt 3 3 π 8π,6e πt +,e + πt 3 3 π,6eπt +,e πt 3 3,6eπt +, eπt coπt,5eπt,73coπt Ejemplo 9. Do uete F F, que ibra co la mima ae produce e la upericie libre del agua oda repreetada por la ecuacioe: 8e( π t, π x (e cm 4e( 4π t, 4π x (e cm Determie la amplitud de la oda que e produce por itererecia e u puto P que dita 5 cm de F 5 cm de F. 8

19 Moimieto odulatorio oda Uado la relació e( A B eaco B co AeB : 8 e t co,π x - coπ te, e4 t co,4π x - co4π te, ( π π x ( π 4π x E el puto P (x 5 cm, x 5 cm: 8( eπ tco5π - coπ te5π 4( e4π tco 6π - co4π te6π Co e 5 coπ co5π coπ e 6π co π, co 6π co π Obteemo: 8( - eπ t 8eπ t 4( e4π t 4eπ t La uma: + 8eπ t 4eπ t π, + 4eπ t La amplitud de la oda que e produce por itererecia e u puto P e 4 cm. Oda que diiere tato e Frecuecia como e Amplitud Sea la oda e que diiere tato e recuecia como e amplitud Ae( ωt ± kx Aeθ e Ae( ωt ± k x Aeθ Si la oda compoete diiere tato e recuecia como e amplitud, exite ario modo de combiare, de modo que todo ello exige cierta habilidad e el cálculo trigoométrico. Si poemo θ θ + δ dearrollamo e( θ + δ eθ coδ + coθeδ + A eθ + Aeθ A eθ + Ae( θ + δ ( A + A coδ eθ + Aeδ coθ ( Eta expreió puede recombiare e la orma de ua ola oda Ae( θ + φ A coφ eθ + Aeφ coθ ( Igualado coeiciete de ( ( obteemo la ecuacioe: A coφ A + A coδ A eφ Aeδ Eleádola al cuadrado umado obteemo el alor de A: A A + + A A A coδ Y diidiédola obteemo el alor de φ : taφ Aeδ A + A coδ Si e deea la oda reultate puede umare a ua tercera oda aí uceiamete. E geeral eta uperpoició o e imple, pueto que tato la amplitud como la ae reultate puede er ucioe del tiempo de la poició. Ejemplo 3. Do oda armóica de amplitude 4 cm iaja e la mima direcció tiee idética recuecia; i u dierecia de ae e π/4, calcúlee la amplitud de la oda reultate. π A ua dierecia de ae δ, le correpode ua 4 δ δ π ditacia: Δx k π 8 como la amplitud de la oda reultate eriica: A o Ao + Ao + Ao Ao coδ Sutituedo: A o Ao + Ao + Ao Ao coδ π co 5,6 cm 4 Ejemplo 3. El aparato de Quicke cota de do tubo e U, pudiédoe delizar la rama de uo de ello detro de la rama del otro. E la proximidade de la ramiicació A e produce u oido que e ecucha poiedo el oído e B. Delizado el tubo detro del, e ecuetra poicioe e la que o e percibe oido; por qué? Si el deplazamieto lateral que ha que dar al tubo, dede que o e percibe oido hata que, de ueo, e deja de percibir, e de 5 cm, cuále o la logitud de oda, la recuecia el período de la oda oora? Velocidad de propagació del oido e el aire, 34 m/. 9

20 Moimieto odulatorio oda No e percibirá oido cuado la dierecia de recorrido A B A B ea u úmero impar de emi logitude de oda. Si e tale codicioe e deplaza el tubo hata dejar de ueo de percibir oido, el exceo de recorrido que hace el oido, co repecto a la poició aterior, e ua logitud de oda. E la eguda poició el oido ha recorrido e la rama A B, 5 cm má que e la A B (5 e la parte uperior de 5 e la ierior. Por tato: 5 cm 34, Hz ONDAS IGUALES VIAJANDO EN SENIDOS OPUESOS. ONDAS ESACIONARIAS U tipo de uperpoició de oda epecialmete itereate e el que tiee lugar etre do oda de idética caracterítica pero propagádoe e etido cotrario. La oda reultate recibe el ombre de oda etacioaria, pue o implica u moimieto de aace de la perturbació Ete tipo de oda etá aociada a relexioe e lo límite de eparació de medio de propiedade dierete. Dicho límite puede er báicamete de do tipo, libre ijo. El udo de uió de do cuerda de dierete groor ería u ejemplo de límite libre; por el cotrario, el extremo de la cuerda uido a u puto ijo e ua pared ería u límite ijo. Vimo ateriormete que e u límite libre la oda relejada tiee la mima caracterítica que la oda icidete, ta ólo diiere e el etido de aace de la perturbació. Por el cotrario, e u límite ijo la oda relejada poee la mima caracterítica que la icidete, pero etá deaada π radiae repecto a la oda icidete Coideremo e primer lugar la oda etacioaria (que e propaga e el eje x por relexió e u límite libre. La ució de oda reultate erá: Ae( kx ωt e Ae( kx + ωt, la uma de eta oda o da: total + Ae ( kx ω t + Ae( kx + ωt, haciedo uo de la uma trigoométrica total Aekxcoωt El moimieto reultate o e odulatorio, pue o e propaga al o er de la orma ( x t. Ua partícula e cualquier puto dado x ejecuta moimieto armóico imple coorme tracurre el tiempo. Nótee que toda la partícula ibra co la mima recuecia, pero co la particularidad que la amplitud o e la mima para cada partícula del medio, co la poició (e u moimieto odulatorio al amplitud e igual para cualquier puto. La amplitud eta dada por A e kx. Lo puto de míima amplitud (ula e llama odo. E ello e debe cumplir: e kx kx π π x π x Para,,, 3,. Lo puto de máxima amplitud (± A e llama ietre o atiodo. E ello e debe cumplir: e ± π kx + kx ( π x π ( + x ( + 4 Para,,, 3,. Aí pue, tato lo odo como lo ietre aparece a iteralo de logitud /, mediado etre u odo u atiodo ha ua ditacia de /4. La igura muetra la eolete de ua oda etacioaria. Al o propagare la oda etacioaria, o traporta eergía. La eergía e matiee etacioaria, alterado etre ciética ibratoria potecial elática. Por lo tato el moimieto repetimo o e odulatorio, el ombre proiee del hecho que podemo aalizarlo como uperpoició de oda.

21 Moimieto odulatorio oda Codicioe de cotoro La codicioe e lo límite, llamada codicioe de cotoro, impoe retriccioe a la hora de ormare oda etacioaria e el medio correpodiete. Aí, i lo límite o ijo, e ello e tedrá que dar odo eceariamete; i ambo límite o libre e dará atiodo, i uo e libre el otro e ijo e habrá de dar atiodo odo repectiamete. Límite ijo - Límite ijo: (como e lo itrumeto muicale, iolí, arpa, etc., la cuerda eta ija e u do extremo E ete cao la codicioe a impoer o que, i la logitud del medio e L, tato e x como xl e habrá de dar odo. Aplicado la codició de odo e u límite ijo, reulta: L L o e térmio de recuecia, L Para,, 3, 4,.. Por tato, tato la recuecia como la logitud de oda ólo puede tomar determiado alore, e decir, etá cuatiicada. La recuecia má baja de la erie recibe el ombre de recuecia udametal, la retate, que o múltiplo de la udametal, recibe el ombre de armóico. Eta recuecia poible e la caidad ormada por lo límite ijo, e deomia modo de la caidad Ejemplo 3. Por u medio uidimeioal (direcció del eje Ox e propaga do oda traerale, ibrado e el plao xo dada por: Ae( ωt + kx, Ae( ω t kx + ϕ. a Comprobar que la uperpoició de amba da lugar a ua oda etacioaria. b Si e x ha de haber u odo de la oda etacioaria, comprobar que el alor de ϕ debe er π. c Calcular la elocidad de u puto del medio cua ditacia al orige ea /4 de la logitud de oda. a + Ae ω t + kx + Ae ωt kx + ϕ ( ( ϕ ϕ e ωt + co kx ϕ Llamado: o ( x Aco kx ϕ o e ωt + A ( Por lo tato, la expreió ( e la ecuació de la oda etacioaria pueto que cualquier partícula e u puto dado x eectúa u moimieto armóico imple al tracurrir el tiempo, ibrado toda la partícula co idético periodo; cada partícula ibra iempre co la mima amplitud, o iedo la mima para cada ua io que aria co la poició (x de cada partícula. ϕ o co ϕ π π oω co ωt + oωeω t π π o Aco A 4 4 Aωeωt b ( c t Fialmete E tal puto exite u ietre. Ejemplo 33. La oda Ae( kx ωt iaja por ua cuerda. Depué de relejare e coierte e A e ( kx + ωt. Que e lo que e obtiee de la combiació de eta do oda. Hagamo +. A Ae ( kx ω t e( kx + ωt A A A e( kx ω t + e( kx ωt e( kx + ωt

22 Moimieto odulatorio oda A e( kx ωt Aeωt co kx El primer térmio e ua oda iajera el Segudo ua oda etacioaria. Ejemplo 34. Calcular la recuecia del oido udametal emitido por ua cuerda de m de logitud mm de diámetro, cua deidad e g/cm 3 etá tea por u peo de 93,6 g. La recuecia del oido emitido por ua cuerda e: L μ m ( 9,36kg 9,8 9,47 N 6 kg π μ ρa 3 m 4 3 kg,57 m 9,47 38,8 Hz,57 ( 3 Ejemplo 35. Ua cuerda etá etirada por u peo de N. Calcular el peo que debe tear a otra cuerda de la mima utacia, la mima logitud doble radio para que emita la octaa aguda de la que produce la primera. Se upoe que amba emite el oido udametal. μ ρa πr ρ, ( r m' ρπ L μ' 4πr ρ 4 μ L L L μ ' ' L μ' Relacioado : ' L L ' 4μ μ Como N, 6 N ' ' L ' 4μ ' 6 Ejemplo 36. Ua cuerda horizotal, de logitud l,8 m, eta ometida e uo de u extremo a ocilacioe iuoidale de recuecia Hz, eta recuecia correpode a uo de lo modo reoate de la cuerda e obera que etre u extremo aparece 4 atíodo ó ietre cua amplitud de ocilació e A cm. Calcular: a La elocidad de propagació de la oda. b La elocidad aceleració máxima que puede alcazar u puto de la cuerda. c La amplitud de ocilació de u puto de la cuerda ituado a,5 m de u extremo de la cuerda. d La amplitud de ocilació de u puto de la cuerda ituado a,5 m de u extremo de la cuerda.,4 m, Hz, a La elocidad de propagació de la oda.,4 48 m/ b La elocidad aceleració máxima que puede alcazar u puto de la cuerda. d Aωeωt dt máx Aω, 4π 4,8π m/ d a Aω eωt dt Aω, 4π 5π m/ a máx ( c La amplitud de ocilació de u puto de la cuerda ituado a,5 m de u extremo de la cuerda. Ecuació de ua oda etacioaria: Aekxcoωt La amplitud etá dada por: π Aekx Ae x Para,5 m π π,4e,5,4e,8 m,4 4 d La amplitud de ocilació de u puto de la cuerda ituado a,5 m de u extremo de la cuerda. Para,5 m

23 Moimieto odulatorio oda π π,4e,5,4e,37 m,4 4 Ejemplo 37. U alambre de alumiio de L 6, cm co ua upericie traeral,x - cm, etá coectado a u alambre de acero de la mima upericie. El alambre compueto, cargado co u bloque m de, kg de maa, etá dipueto como e idica e la igura, de maera que la ditacia L de la uió co la polea de oté e 86,6 cm. Se crea oda traerale e el alambre utilizado ua uete extera de recuecia ariable. a Determie la recuecia má baja de excitació e que e obera la oda etacioaria, de modo que la uió e el alambre e u odo. b Cuál e el úmero total de odo oberado e eta recuecia, excluedo lo do e lo extremo del alambre? La deidad del alumiio e,6 g/cm 3, la del acero e 7,8 g/cm 3. L ρ L ρ Reemplazado alore, obteemo:, 4 Como la meor e la recuecia e obtiee co el meor alor de, teemo que bucar lo meore alore de que tega la relació,4, 5 Correpodiedo 5. a Uado, obteemo la recuecia que produce u odo e la uió ( 9,8 3 6 L μ (,6,6 ( 34 Hz b El úmero total de odo oberado e eta recuecia, excluedo lo do e lo extremo del alambre, e puede cotar e el equema de la igura, o 6 (ha u odo comú para el alumiio para el acero. L L ρ ρ La recuecia para oda etacioaria e ua cuerda ija e lo do extremo e L L, como para ua cuerda tea obteemo: μ, μ Como el puto de uió de lo alambre tiee que er u odo, teemo odo para el alumiio odo para el acero. Siedo la recuecia, la teió la ecció de alambre S comú para lo do alambre, teemo: Para el alumiio L μ, para el acero L μ Luego L μ L μ La maa por uidad de logitud m ms m μ S ρs L LS V Reemplazado la expreioe de μ μ : Ejemplo 38. Do oda armóica e ecribe por medio de: x 4 x x, t,5co + 4t, e ( x, t,5co t, ( Dode x, etá e metro t e egudo. Dicha oda e propaga e ua cuerda tea de gra logitud e iteriere para producir ua oda etacioaria. a Determie la logitud de oda, recuecia rapidez de propagació de la oda que iteriere. b Determie la ució de la oda etacioaria. c Determie la poició de lo odo atiodo e la oda etacioaria. d Cuál e la amplitud de la oda e x,4 m? a La oda iajera e de la orma π ( x, t Aco x π t Luego comparado: π π 4 4π,56 m π 6,37 Hz 3