Análisis de Sistemas Realimentados

Transcripción

1 Aálii de Sitema Realimetado Paorama: Dado u cotrolador y ua plata coectado e realimetació, vamo a platear y cotetar la iguiete preguta: E el lazo cerrado etable? Cuále o la eibilidade a ditita perturbacioe? Cuál e el impacto de errore de modelado? Ademá, itroduciremo herramieta de aálii como El Lugar de la Raíce El criterio de etabilidad de Nyquit CAUT clae 5 2 Iicialmete aalizaremo el lazo omial, o ea, el formado co el modelo omial de la plata. Má tarde veremo el efecto de coiderar errore de modelado. R K U D i D m. x D Y Figura : Sitema de cotrol de u grado de libertad Uamo fucioe traferecia y traformada Laplace para decribir la relacioe etre la eñale e el lazo: la etrada de referecia R, la perturbacioe D i, el etado iicial de la plata x, la alida Y y el cotrol U. Do Dm CAUT clae 5 Etructura de realimetació La realimetació puede teer mucha propiedade deeable, tale como la capacidad de reducir el efecto de perturbacioe, dimiuir la eibilidad a errore de modelado, o etabilizar u itema ietable. Si embargo, e poible tambié co realimetació mal aplicada ietabilizar u itema previamete etable, icorporar ocilacioe e ua repueta previamete uave, o geerar alta eibilidad a ruido de medició. Comezamo el aálii de itema e realimetació co la etructura de cotrol SISO de la Figura, llamada de u grado de libertad, pue hay ólo ua traferecia modificable para alcazar lo objetivo deeado: la del cotrolador K. CAUT clae 5 3 E particular, K y repreeta la fucioe traferecia del cotrolador y el modelo omial de la plata, que puede repreetare e forma racioal e la forma () K P L Tomamo como alida de iteré e el lazo la alida perturbada de la plata, Y, y la eñal de cotrol U, que e relacioa a la etrada a travé de la ecuacioe (2) (3) U Y G G K K K G Di R Dm f K A x B A G R Dm Di f Do A x

2 ! CAUT clae 5 4 Fucioe de eibilidad omiale T S S i S u T S S i S u G G G G K K K K K K A A A A P L P L L P L L P P L P B B A B B B A B : Fució de eibilidad complemetaria : Fució de eibilidad : Fució de eibilidad a perturbació de etrada : Fució de eibilidad de cotrol CAUT clae 5 6 Etabilidad de lazo cerrado e bae al Poliomio Caracterítico Lazo omial e el reultate de coectar u cotrolador al modelo omial de la plata. Etabilidad itera. Decimo que el lazo omial e iteramete etable i la ocho fucioe traferecia e (7) o etable. Eta defiició e equivalete a pedir que toda la eñale e el lazo ea acotada para cada cojuto de etrada r t t t y d m t di do acotada. CAUT clae 5 5 La fucioe de eibilidad etá relacioada algebraicamete: (4) (5) (6) S S i S u T S S G K T K T Co la fucioe de eibilidad y bajo codicioe iiciale ula, (2) y (3) puede expreare e la forma compacta (7) Y U K K G K K K G K K R D i D o D m CAUT clae 5 7 Teorema. [Etabilidad itera omial] Dado el lazo cerrado de la Figura co el cotrolador y modelo defiido por (). Etoce el lazo cerrado e iteramete etable i y ólo i toda la raíce de la ecuació caracterítica a lazo cerrado (8) A L tiee parte real egativa. B P La idea de etabilidad itera implica má que la etabilidad de la referecia a la alida. Ademá e requiere que o haya cacelacioe de polo ietable etre plata y cotrolador. La ecuació caracterítica (8) e de la forma p p e el poliomio caracterítico del lazo cerrado., dode

3 a # # # a a! # # # ( ) CAUT clae 5 8 Ejemplo. Dada K 2 puede vere que la fució de eibilidad complemetaria omial 3 T e etable. Si embargo, la eibilidad a perturbació de etrada omial S io 2 e ietable. Por el Teorema de etabilidad itera omial, el lazo cerrado o e iteramete etable, ya que A L B P CAUT clae 5 Algua propiedade poliomiale de iteré: Propiedad El coeficiete a atiface a λ i & i dode λ Propiedad 2 El coeficiete a atiface a λ 2 λ o la raíce de p λ i & i. Propiedad 3 Si toda la raíce de p tiee parte real egativa, etoce eceariamete i' a,. i$ Propiedad 4 Si cualquiera de lo coeficiete del poliomio e o poitivo (egativo o cero), etoce al meo ua de la raíce tiee parte real o egativa. CAUT clae 5 9 Etabilidad y aálii poliomial CAUT clae 5 El criterio de Routh-Hurwitz Coideremo el poliomio p defiido por E uo de lo método má uado para determiar i u poliomio e Hurwitz o o baádoe e u coeficiete. E particularmete útil para poliomio de grado elevado. (9) p dode a i$ %. El procedimieto e el iguiete: El problema a etudiar e determiar i p tiee algua raíz co parte real o egativa. Obviamete, podemo repoder a eta cuetió calculado la raíce de p. Si embargo, e mucha aplicacioe iterea etudiar la relació etre la poició de la raíce y cierto coeficiete del poliomio. Poliomio Hurwitz. Lo poliomio que tiee toda u raíce co parte real egativa e dice poliomio Hurwitz.. Ecribir el poliomio e la forma a a a 2 2 a a 2. Si cualquiera de lo coeficiete e cero o egativo y al meo uo de lo coeficiete poitivo, etoce exite al meo ua raíz que e imagiaria o tiee parte real poitiva (el poliomio o e Hurwitz).

4 5 -, CAUT clae *Si todo lo coeficiete o poitivo, ordearlo e fila y columa egú el iguiete arreglo umérico, a a 2 a 4 a 6... a a 3 a 5 a b b 2 b 3 b 4... co b 3 c c 2 c 3 c 4... co c d d 2 e f a a 2 a a 3 a b a 3 a b 2 b b2 c2 a a 4 a a 5 a b a 5 a b 3 b El criterio de Routh-Hurwitz etablece que el úmero de raíce co parte real poitiva e igual al úmero de cambio de igo e la primera columa de la tabla. U poliomio Hurwitz tiee todo u coeficiete, y tambié todo lo térmio de la primera columa de la tabla, poitivo. CAUT clae 5 4 Pao para cotruir a mao el LR Hay 7 pao para cotruir el LR:. Dibujar lo polo y cero de F (lazo abierto). 2. Dibujar la parte del LR obre el eje real. 3. Determiar el cetroide y ebozar la aítota. 4. Determiar lo puto de bifurcació. 5. Determiar lo águlo de alida/llegada. 6. Calcular lo cruce co el eje imagiario. 7. Dibujar el reto del LR. Sólo e eceario dibujar el LR e el emiplao uperior al eje real, ya que el LR e iempre imétrico repecto del mimo. Eta ecció etá baada e la clae o-lie del Dept. of Mechaical Egieerig del MIT CAUT clae 5 3 Lugar de la raíce A meudo e u problema de dieño e eceario teer u ebozo rápido del comportamieto a lazo cerrado del itema. Ete e el tipo de iformació que da el Lugar de la Raíce. El Lugar de la Raíce permite examiar la ubicació de la raíce del poliomio caracterítico e fució de u parámetro variable (ua gaacia, u cero del cotrolador, etc). Coideremo la ecuació () λf dode F M D & m i i& c i p i repectivame- dode λ tiee grado m te. La olució del problema del lugar de la raíce requiere ecotrar todo lo puto del plao complejo que o olucioe de () para todo lo valore de λ. y M D + CAUT clae 5 5 Vamo a ir viedo la aplicació de la regla obre u ejemplo. Coideramo la fució traferecia F K G K G el modelo omi- dode K repreeta u cotrolador y al de la plata. 4 para di- Etudiaremo el LR de λf, que repreeta lo polo del lazo cerrado omial formado co K y tito valore de λ, que repreeta e ete cao la gaacia variable del cotrolador.

5 m CAUT clae 5 6. Dibujar lo polo y cero a lazo abierto Como el LR repreeta la poició de lo polo a lazo cerrado a medida que λ varía, comezamo co lo polo de lazo abierto, que correpode a λ. Cada líea e el LR empieza e u polo de lazo abierto (λ ) y termia e u cero a lazo abierto (λ. ). Si el itema a lazo abierto tiee má polo que cero, algua de la rama del LR termia e (cero e) ifiito. CAUT clae Determiar el cetroide y ebozar la aítota. La aítota idica a dóde tederá lo polo a medida que la gaacia tiede a ifiito. Para itema co má polo que cero, el úmero de aítota e igual al grado relativo m (úmero de polo meo úmero de cero). E alguo itema o hay aítota; cuado el grado relativo e, toda rama del LR termia e u cero (fiito). La aítota o imétrica repecto al eje real, y parte de u puto σ defiido por la magitude relativa de lo polo y cero a lazo abierto. Ete puto e el cetroide. CAUT clae Dibujar la parte del LR obre el eje real. Mucho LR tiee parte obre el eje real. La porcioe del eje real que perteece al LR e determia egú la iguiete regla: CAUT clae 5 9 El cetroide e obtiee co la fórmula σ & i pi m i&c i m Lo águlo de la aítota o η η k 2k m ; k π η 2 2 η m, dado por Si hay u úmero impar de polo y cero a lazo abierto a la derecha de u puto e el eje real, etoce el puto perteece al LR.

6 / / CAUT clae Determiar lo puto de bifurcació. Lo puto de bifurcació e produce dode do o má rama del LR e ecuetra y luego diverge. Auque e má comú ecotrarlo obre el eje real, puede ocurrir e cualquier parte del plao complejo. Lo puto de bifurcació o puto dode e da u polo múltiple para algú valor de λ. La forma má imple de ecotrarlo e por prueba y error reemplazado valore de e u etoro del poible puto de bifurcació e la ecuació caracterítica, depediete de λ, hata ecotrar u míimo. CAUT clae Determiar lo águlo de alida/llegada. Lo águlo de alida/llegada e qué direcció e mueve la raíce a medida que λ va de a (alida e lo polo a lazo abierto; llegada e lo cero de lazo abierto). Se calcula e calcula e c/u de lo polo y cero complejo a lazo abierto. Águlo de alida: E cada polo complejo umar lo águlo θ i dede lo cero al polo, luego retar lo águlo φ i dede lo otro polo al mimo: α p8 m θ i & i i& φ i CAUT clae 5 2 Para u cálculo má precio, dada la ecuació del LR λ M D lo puto de bifurcació puede calculare de la ecuació dλ d D M D D 2 M Si λ e real y poitivo e algú valor de que atifaga eta ecuació, etoce el puto e u puto de bifurcació. Siempre hay u úmero par de rama e u etoro de u puto de bifurcació, ya que por cada rama que etra al puto de bifurcació debe haber ua que alga de él. CAUT clae 5 23 Águlo de llegada: E cada cero, umar lo águlo φ i dede lo polo al cero, y retar lo águlo θ i dede lo otro cero al mimo: α p8 m & i θ i i& Por coveció, lo águlo de alida/llegada e mide e relació al eje real, de modo que el eje real e. φ i Lo polo y cero reale iempre tedrá águlo de alida/llegada de o 8, debido a la imetría de la raíce compleja.

7 CAUT clae Calcular lo cruce co el eje imagiario. Lo puto de cruce co el eje imagiario marca valore de λ para lo que el itema a lazo cerrado e margialmete etable. El lazo cerrado erá ietable para valore de λ para lo que el LR etá e el emiplao derecho de. No todo LR iterecta el eje jω, por lo que primero hay que determiar, i e poible, i defiitivamete e cruza el eje (por ejemplo, cuado hay má de do aítota), o i hay buea chace de que e cruce (por ejemplo, i hay polo o cero cerca del eje jω y lo águlo de alida/llegada idica que podría haber u cruce). CAUT clae Dibujar el reto del LR. Para fializar el LR comezamo de lo polo a lazo abierto, coectado la porcioe e el eje real, lo puto de bifurcació, lo cruce del eje imagiario, termiado e lo cero fiito, o bie hacia ifiito iguiedo la aítota. E geeral, lo cero tiede a «atraer» la rama del LR, mietra que lo polo la «repele». El coocimieto del LR exacto ólo e eceario cerca del eje jω, o e regioe dode e eceite particular coocimieto detallado del comportamieto del itema. La fucioe rlocu y rltool de MATLAB calcula el LR exacto. CAUT clae 5 25 Hay tre forma de ecotrar lo cruce del eje jω: Por prueba y error, bucado lo puto del eje jω dode la fae de F jω. Por el criterio de Routh-Hurwitz, determiado el valor de λ que hace al lazo cerrado ietable (y luego el correpodiete valor de jω). Plateado la ecuació caracterítica e ω, igualado parte real e imagiaria a cero, y luego reolviedo lo valore de λ y ω. e 8 Cual método debe uare depede de cua preciamete deba coocere lo puto de cruce.