4. Técnica del Lugar de las Raíces Definición del lugar geométrico de las raíces Técnica del Lugar de las Raíces

Transcripción

1 4. Técica del Lugar de las Raíces 4. Técica del Lugar de las Raíces 4.. Técica del Lugar de las Raíces 4...Defiició del lugar geométrico de las raíces 4... Propiedades del lugar geométrico de las raíces Trazado del lugar geométrico de las raíces Diseño de la respuesta trasitoria por medio del ajuste de gaacia 4.. Diseño por el Lugar geométrico de las raices 4... Diseño por medio del lugar geométrico de las raíces 4... Mejoramieto de error e estado estable por medio de compesació e cascada Mejoramieto de la respuesta trasitoria por medio de compesació e cascada Mejoramieto del error e estado estable y respuesta trasitoria Costrucció física de la compesació Utilizació de Matlab para el diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces 4.. Técica del Lugar de las Raíces 4... Defiició del lugar geométrico de las raíces Capítulo 8 Sistemas de Cotrol para Igeiería (3º Ed.) Norma Nise 3 4

2 El Lugar eométrico de las Raíces es ua presetació gráfica de los polos e lazo cerrado cuado varía u parámetro de u sistema El problema del sistema de cotrol Da ua descripció cualitativa del comportamieto de u sistema Es ua herramieta que provee iformació cuatitativa para el aálisis y diseño de sistemas Da ua represetació gráfica de la estabilidad de u sistema Puede aplicarse a sistemas de primer orde, segudo orde y orde superior 5 Los polos de K(s)H(s) so los polos de (s) y de H(s) Los polos de T(s)K(s)/[+K(s)H(s)] depede de K, y para determiarlos se debe factorizar el deomiador 6 T K + K H N () s H D T D N D H H KN DH D + KN N H H Los ceros de T(s) so los polos de (s) y los ceros de H(s) Los polos de T(s) o se obtiee de imediato, cambia co el valor de K Represetació Vectorial de úmeros complejos a. s σ + jω b. La fució F(s)(s + a) s σ + jω F(s)(σ + jω + a) F(s)(σ + a) + jω c. Represetació alterativa Como F(s)(s + a) tiee u cero e a, trasladamos F(s) hasta a y el vector termia e σ + jω 7 d. F(s)(s + 7) s 5 + j (s+a) es u úmero complejo y puede ser represetado por u vector trazado desde el cero de la fució al puto s 8

3 Producto de úmeros complejos a +i a.4 a 0.78 b +i b.3 b 0.46 a*b+3i a*b 3.63 a*b.490 a*b a * b a*b a + b a*b+3i a+i Plao s b+i 9 Aplicado a F(s) más complejas ( ) m s+ zi i i factores_complejos_del_umerador F( s) factores_complejos_del_deomiador ( s+ pj ) F M θ j Tomado magitud y fase M m m ( s+ zi ) i ( s+ p j ) j logitudes _ de _ los _ ceros logitudes _ de _ los _ polos θ águlos _ de _ los _ ceros águlos _ de _ los _ polos m ( s zi) ( s pj) + + i j 0 Ejemplo: Evaluació de ua fució compleja por medio de vectores Dada la fució () ( s + ) F s s ( s + ) Ecotrar F(s) e el puto s 3 + j4 Los módulos y águlo desde los polos y ceros a s 3 + j4 so Para el cero e - Para el polo e el orige Para el polo e Aplicado la fórmula la fució es ( s + ) 0 F( s) M θ ( ) s( s+ ) 5 7 s 3+ j4 DEFINICIÓN DEL LUAR EOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Dado u sistema realimetado Se puede reducir el modelo a uo de la forma Dode k es ua gaacia y los polos del sistema e lazo cerrado varía e fució de ella (los del lazo abierto o cambia) Lugar eométrico de las Raíces: Es la represetació de la trayectoria de los polos e lazo cerrado cuado varía la gaacia k 3

4 Para el sistema realimetado Se puede obteer las raíces al variar k y costruir ua tabla Propiedades del lugar geométrico de las raíces 5 PROPIEDADES DEL LUAR EOMÉTRICO DE LAS RAÍCES K () T s + K H Existe u polo cuado el poliomio característico del deomiador se hace cero + K s H s 0 ( ) ( ) H ( k + ) 80 K k 0, ±, ±, ± 3,... K H K H ( k + ) 80 Si u valor de s se sustituye e K(s)H(s), resulta u úmero complejo. Si el águlo del úmero complejo es múltiplo impar de 80, ese valor de s es u polo del sistema para algú k particular El valor de s es u polo del sistema para k dado por: K s H () 6 4

5 T K Ejemplo H K ( s + 3)( s + 4) ( s + )( s + ) K( s + 3)( s + 4) ( + K ) s + ( 3 + 7K ) s + ( + K ) 7 Sea el puto s-+j3 determiar si es u polo del sistema θ + θ θ θ 4 No es u polo del sistema Sea el puto s + j determiar si es u polo del sistema θ+θ θ θ Los águlos suma 80. El puto s es u polo del sistema para algua gaacia logitudes _ de _ los _ polos (.) K L L4 H () K s M logitudes _ de _ los _ ceros L L (.)(.) Trazado del lugar geométrico de las raíces. Número de ramas. El úmero de ramas es igual al úmero de polos e lazo cerrado Cada polo e lazo cerrado se mueve por cuado varía la gaacia geerado ua rama Ejemplo 9 0 5

6 . Simetría. El lugar geométrico de las raíces es simétrico alrededor del eje real Esto se debe a que los poliomios que se les saca las raíces so poliomios co coeficietes reales y las raíces se preseta siempre como complejas cojugadas. Si los polos o fuera complejos cojugados los poliomios tedría e sus coeficiete úmeros complejos. Ejemplo 3. Segmetos del eje real. Sobre el eje real, para K > 0, el lugar geométrico de las raíces existe a la izquierda de u úmero impar de polos fiitos e lazo abierto, sobre el eje real, y/o ceros fiitos de lazo abierto a. Para que exista ua rama e el eje real la fase debe ser u múltiplo impar de 80º b. Los ceros y polos complejos cojugados o aporta a la fase sobre el eje real ya que los águlo se aula. c. Los ceros y polos que se ecuetra a la izquierda debido a que la fase que aporta es cero o ifluye e la determiació d. Para que la fase sea u múltiplo impar de 80º debe haber u úmero impar de polos y/o ceros a la derecha ya que cada uo aporta 80º P Si existe P No existe P 3 Si existe P 4 No existe Ejemplo 4. Putos de iicio y fi. El lugar de las raíces empieza (K0) e los polos fiitos e ifiitos de (s)h(s) y termia (K ) e los ceros fiitos e ifiitos de (s)h(s) K () N N T s () H () H s s + K H DH D KN () DH T s D D + KN N H KN Cuado K se aproxima a cero () DH T s D DH + ε los polos del sistema e lazo cerrado se aproxima a los polos combiados de (s) y H(s) H () () KN s DH s Cuado K tiede a ifiito T ε + KN N H los polos del sistema e lazo cerrado se aproxima a los ceros combiados de (s) y H(s) 3 4 6

7 Ejemplo 5. Comportamieto e el ifiito. El lugar geométrico de las raíces se aproxima a líeas rectas como asítotas cuado el lugar geométrico de las raíces se aproxima al ifiito. Además, la ecuació de las asítotas está dada por la itersecció del eje real, σ a, y el águlo, θ a como sigue: σ a polos _ fiitos ceros _ fiitos # polos _ fiitos # ceros _ fiitos ( k ) + π θ a # polos _ fiitos # ceros _ fiitos Puto de cruce sobre el eje real Águlo de las asítotas y el águlo está e radiaes co respecto a la porció positiva del eje real 5 6 Ejemplo σ a ( 4) ( 3) 4 polos _ fiitos ceros _ fiitos σ a # polos _ fiitos # ceros _ fiitos 4 3 AFINACIÓN DEL TRAZO Putos de silla etrada y salida e el eje real Cruce co el eje jω Águlos de salida y llegada desde polos y ceros complejos ( k ) + π θ a # polos _ fiitos # ceros _ fiitos π3 para k0 π para k 5π 3 para k 7 8 7

8 Putos de silla etrada y salida e el eje real Puto de silla de salida: Es el puto dode el lugar geométrico de las raíces sale del eje real Puto de silla de etrada: Es el puto dode el lugar geométrico de las raíces regresa al eje real E el puto silla de salida o e u puto silla de etrada, las ramas del lugar geométrico de las raíces forma u águlo de 80 /, dode es el úmero de polos e lazo cerrado que llega o sale del puto de silla idividual de salida o etrada sobre el eje real El puto silla de salida ocurre e u puto de máxima gaacia sobre el eje real etre dos polos de lazo abierto El puto de silla de etrada ocurre e u puto de míima gaacia sobre el eje real etre dos ceros de lazo abierto El puto silla de salida ocurre e u puto de máxima gaacia sobre el eje real etre dos polos de lazo abierto El puto de silla de etrada ocurre e u puto de míima gaacia sobre el eje real etre dos ceros de lazo abierto 9 30 Métodos para hallar los putos silla Hay tres métodos para hallar los putos silla Por medio de derivació. Puto de silla de salida y etrada por medio de derivació Si derivació. Usado fórmula 3. Por métodos uméricos Primer método: Por método de derivació Para que perteezca al lugar geométrico de las raíces se debe cumplir K s σ + jω H Para el eje real: K s σ ( σ ) H ( σ ) Se puede ecotrar los máximos y míimos de K derivado K respecto de σ e igualado a cero 3 3 8

9 Tercer método: Emplear la relació Segudo método: Los putos silla de salida y de etrada satisface la relació m z i p i σ + i σ + dode z y p so el egativo de los valores de cero y polo respectivamete, de (s)h(s) i K σ H ( ) ( ) σ Dádole valores a σ se calcula los valores de K, se costruye ua tabla, y se determia los valores de σ que produce los valores máximos y míimos Cruce co el eje jω Empleado el Criterio de Routh-Hurwitz: forzar u fila de ceros e la tabla de Routh producirá la gaacia K; regresado ua fila a la ecuació de poliomio par y despejado las raíces, resulta la frecuecia e el cruce del eje imagiario ω T Ejemplo: K 4 3 s + 7s + 4s ( s + 3) + ( 8 + K ) s + 3K La úica fila que se puede hacer cero para u valor de K es la que correspode a s K 65K Da el valor de gaacia K 9.65 Reemplazado e la fila superior ( 90 K ) s + K 80.35s Lo que da la frecuecia de corte s ± j El lugar de las raíces cruza el eje jω e s ± j.59 a ua gaacia k 9.65 El sistema es estable para 0 K

10 Águlos de salida y llegada desde polos y ceros complejos Si supoemos u puto ε sobre el lugar geométrico de las raíces cercao a u polo o cero complejo, la suma de los águlos trazados desde todos los polos y ceros fiitos a este puto es u múltiplo impar de 80. m (k + )80º ( s+ zi) ( s+ pj) i j Excepto para el polo o cero que está cerca del puto ε, supoemos que todos los águlos trazados desde todos los otros polos y ceros se traza directamete al polo o cero que está cerca del puto. El úico águlo descoocido e la suma es el águlo trazado desde el polo o cero que es ε cerca. Podemos despejar este águlo descoocido, que es tambié el águlo de salida del polo complejo o de llegada al cero complejo. Ejemplo: Polos y ceros e lazo abierto y cálculo de: a) Agulo de salida; m θ +θ +θ3 θ4 θ 5 +θ 6 k + ( )80º θ θ +θ3 θ4 θ 5 +θ6 k + ( )80º b) Águlo de llegada. ( i) ( j) (k+ )80º s+ z s+ p i j θ +θ +θ3 θ4 θ 5 +θ 6 k + ( )80º θ θ θ 3 +θ 4 +θ5 θ 6 + k + ( )80º raficació y calibració del lugar geométrico de las raíces Ejemplo: Determiar el puto exacto e el que el lugar de las raíces cruza la líea de factor de amortiguamieto relativo de 0.45 y la gaacia de ese puto Se seleccioa varios puto de prueba a lo largo de la líea ζ0.45 y se evalúa su suma agular y se localiza el puto dode los águlos suma u El puto e el radio está sobre el lugar de las raíces, ya que los águlos suma -80. El valor de K se calcula como: A C D E K.7 múltiplo impar de 80. E ese puto existe el lugar de las raíces. 39 B 40 0

11 Repaso (Sistema de Segudo Órde): Relació etre la posició de los polos co las especificadioes de Tp, Ts, y %OS Diseño de la respuesta trasitoria por medio del ajuste de gaacia T P T S π ω ξ 4 4 ξω σ ξω cosθ ξ ω d π ω d 4 4 Las líeas horizotales sobre el plao s so líeas de valor imagiario costate, tambié so líeas de tiempo de pico costate T P ω π ξ π ω d Las líeas verticales sobre el plao s so líeas de valor real costate, tambié so líeas de tiempo de asetamieto costate T S 4 4 ξω σ ξω cosθ ξ ω d Como ζcosθ, las líeas radiales so líeas de ζ costate, por lo tato de sobrepaso e porcetaje costate Ts <Ts Tp <Tp %OS <%OS 43 44

12 Respuesta de sistema co polos adicioales Diseño de la respuesta trasitoria por medio del ajuste de la gaacia Si la líea de factor de amortiguamieto 0.45 corta al lugar de las raíces de u sistema co mas de dos polos, o sigifica que el sistema respoderá co 0.5% de sobrepaso. Se debe verificar que el efecto de polos y ceros adicioales permita aproximar al sistema a uo de segudo orde:. Los polos de orde superior está mucho más alejados e el semiplao izquierdo del plao s que el par de polos domiates de segudo orde.. Los ceros e lazo cerrado cerca del par de polos e lazo cerrado de segudo orde so casi cacelados por la proximidad de polos e lazo cerrado de orde superior 3. Los ceros e lazo cerrado o cacelados por la proximidad de polos e lazo cerrado de orde superior está alejados del par de polos e lazo cerrado de segudo orde Haciedo aproximacioes de segudo orde 47 48

13 Procedimieto de diseño para sistemas de orde superior:. Trace el lugar de las raíces para el sistema dado. Supoga que el sistema es u sistema de segudo orde si igú cero y luego ecuetre la gaacia, para satisfacer la especificació de respuesta trasitoria 3. Justifique la suposició de segudo orde al hallar la ubicació de todos los polos de orde superior y evaluar que está mucho más lejos del eje jω que el par de polos domiates de segudo orde. Tambié verifique que los ceros e lazo cerrado sea cacelados por polos de orde superior. Si los ceros e lazo cerrado o so cacelados por los polos de orde superior, asegúrese que el cero está lejos del par de polos domiates de segudo orde 4. Si las suposicioes o se justifica, se debe simular para estar Ejemplo Diseñar el valor de gaacia, K, para obteer.5% de sobrepaso. Tambié estime el tiempo de asetamieto, tiempo de pico y error e estado estable seguro que se satisface la especificació de respuesta trasitoria Relació etre el factor de amortiguamieto y el sobre pico porcetual l ξ π + (% OS 00) l (% OS 00) 4 ξω Tiempo de T s asetamieto: ξω parte real del polo e lazo cerrado π Tiempo de pico: T p ω ξ ω ξ parte imagiaria del polo e lazo cerrado Error e estado estable: K () (.5) K lím s v s s 0 ()( 0) Para %OS.5 el valor de ζ

14 Determiació validez suposicioes segudo orde Lugar geométrico de las raíces geeralizado Se puede determiar como cambia los polos de lazo cerrado e fució de otro parámetro que o sea la gaacia K. Respuestas segudo- y tercer-orde: a. Caso ; b. Caso 3 Ejemplo: Obteer el lugar geométrico de las raíces para variacioes de p K T T T H + K 0 ( s + )( s + p ) 0 H s + ( p + ) s + p + 0 K s K 0 + s p 0 s + s + 0 p( s + ) + s + s + 0 H ( s + ) ( s + ) p s + s + 0 Lugar de las raíces para sistemas co realimetació positiva Existe u polo s cuado: T H k 360 K K H K k 0 ; ±, ±, ± 3,

15 Lugar de las raíces para sistemas co realimetació positiva Reglas de trazado que se modifica Segmetos del eje real: Sobre el eje real, el lugar geométrico de las raíces para sistemas co realimetació positiva existe a la izquierda de u úmero par del eje real, polos fiitos e lazo abierto y/o ceros fiitos e lazo abierto Comportamieto e el ifiito: El lugar geométrico de las raíces se aproxima a líeas rectas como asítotas cuado el lugar geométrico se aproxima al ifiito. Además, la ecuació de las asítotas para sistemas co realimetació positiva está dada por el puto de itersecció del eje real, σ a, y el águlo, θa, como sigue: polos _ fiitos ceros _ fiitos σ a # polos _ fiitos # ceros _ fiitos kπ θ a # polos _ fiitos # ceros _ fiitos k 0 ; ±, ±, ± 3,... y el águlo está e radiaes co respecto a la porció positiva del eje real Uso de fucioes Uso de Matlab Fucioes básicas rlocus(h) [K,p] rlocfid(h) sgrid(z,w) Uso de la UI para el Diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces rltool

16 % Chapter 8: Root Locus Techiques % % (ch8p) Ejemplo 8.7: El MATLAB permite que se pueda graficar lugares % geométricos de las raíces co el comado rlocus(h), dode % (s)h(s) umgh/degh y H es u objeto de fució de trasferecia LTI. Los %putos sobre el lugar geométrico de las raíces se puede seleccioar e forma % iteractiva usado el comado [K,p] rlocfid(h). El MATLAB etoces % proporcioa la gaacia (K) e el puto así como todos los polos (p), que tiee esa % gaacia. Es posible agradar o achicar el lugar geométrico de las raíces al cambiar % el itervalo de de valores de ejes co el comado axis([xmi,xmax,ymi,ymax]). El % lugar geométrico de las raíces se puede dibujar sobre ua retícula co curvas de % factor de amortiguamieto costate (z) y frecuecia atoral o amortituada % costate (w) al usar el comado sgrid(z,w). Para graficar curvas múltiples z y w % se usa los comados z zmi:zstep:zmax yd w wmi:wstep:wmax para % especificar el itervalo de los valores. '(ch8p) Example 8.7' % Desplegar etiqueta clf % Borrar gráfica de la patalla. umgh[ -4 0]; % Defie umerador de (s)h(s). deghpoly([- -4]); % Defie deomiador de (s)h(s). '(s)h(s)' % Desplegar etiqueta. 6 Htf(umgh,degh) % Crear (s)h(s) y desplegar. rlocus(h) % Dibujar el lugar geométrico de las raíces. z0.:0.05:0.5; % Defie valores de factor de amortiguamieto: 0. a % 0.5 e icremetos de w0::0; % Defie valores de frecuecia atural o % amortiguada: 0 a 0 e icremetos de. sgrid(z,w) % eera las líeas de retícula de factor % de amortiguamieto relativo y la frecuecia % atural o amortiguada para el lugar % geométrico de las raíces. title('root Locus') % Defiir título para el lugar geométrico de las raíces. pause rlocus(h) % Dibujar el acercamieto del lugar geométrico % de las raíces axis([-3-4 4]) % Defiir el itervalo de los ejes % para la vista del acercamieto title('close-up') % Defiir título para el acercamieto del lugar % geométrico de las raíces z0.45; % Defiir la líea de factor de amortiguamieto % relativo para sobrepoer e el acercamieto del % lugar geométrico de las raíces. 6 w0; % Suprimir la sobreposició de las curvas de % frecuecia atural o amortiguada. sgrid(z,w) % Sobrepoer la curva de factor de % amortiguamieto relativo e el acercamieto % del lugar geométrioco de las raíces. for k:3 % El ciclo permite que se seleccioe 3 % putos para el ejemplo 8.7 % (z0.45, cruce co jw, puto de silla). [K,p]rlocfid(H) % eera gaacia, K, y los polos e lazo % cerrado, p, para el puto seleccioado e % forma iteractiva para el lugar geométrico % de las raíces. ed % Fi del ciclo. >> ch8p as (ch8p) Example 8.7 as (s)h(s) Trasfer fuctio: s^ - 4 s s^ + 6 s (ch8p) Example 8.7' % Display label. clf % Clear graph o scree. umgh[ -4 0]; % Defie umerator of (s)h(s). deghpoly([- -4]); % Defie deomiator of (s)h(s). '(s)h(s)' % Display label. Htf(umgh,degh) % Create (s)h(s) ad display. rlocus(h) % Draw root locus. pause 64 6

17 >> ch8p as (ch8p) Example 8.7 as (s)h(s) Trasfer fuctio: s^ - 4 s s^ + 6 s + 8 (ch8p) Example 8.7' % Display label. clf % Clear graph o scree. umgh[ -4 0]; % Defie umerator of (s)h(s). deghpoly([- -4]); % Defie deomiator of (s)h(s). '(s)h(s)' % Display label. Htf(umgh,degh) % Create (s)h(s) ad display. rlocus(h) % Draw root locus. pause 65 z0.:0.05:0.5; % Defie dampig ratio values: 0. to % 0.5i steps of w0::0; % Defie atural frequecy values: 0 % to 0 i steps of. sgrid(z,w) % eerate dampig ratio ad atural % frequecy grid lies for root % locus. title('root Locus') % Defie title for root locus. pause 66 Select a poit i the graphics widow rlocus(h) % Draw close-up root locus. axis([-3-4 4]) % Defie rage o axes for root locus view. title('close-up') % Defie title for close-up root locus. z0.45; % Defie dampig ratio lie for % overlay o close-up root locus. w0; % Suppress atural frequecy overlay % curves. sgrid(z,w) % Overlay dampig ratio curve o 67 % close-up root locus. for k:3 % Loop allows 3 poits to be selected % as per Example 8.7 % (z0.45, jw crossig, breakaway). [K,p]rlocfid(H) % eerate gai, K, ad closed-loop % poles, p, % for poit selected iteractively o % the root locus. ed % Ed loop. 68 7

18 selected_poit i selected_poit i K 0.34 K 0.00 p i i Select a poit i the graphics widow p i i Select a poit i the graphics widow for k:3 % Loop allows 3 poits to be selected (k) % as per Example 8.7 % (z0.45, jw crossig, breakaway). [K,p]rlocfid(H) % eerate gai, K, ad closed-loop % poles, p, % for poit selected iteractively o % the root locus. ed % Ed loop. 69 for k:3 % Loop allows 3 poits to be selected (k) % as per Example 8.7 % (z0.45, jw crossig, breakaway). [K,p]rlocfid(H) % eerate gai, K, ad closed-loop % poles, p, % for poit selected iteractively o % the root locus. ed % Ed loop. 70 selected_poit i Cuado está abierta la vetaa se puede sacar los valores de la gaacia, los polos, el factor de amortiguamieto, el sobrepico y la frecuecia atural K p i i >> for k:3 % Loop allows 3 poits to be selected (k3) % as per Example 8.7 % (z0.45, jw crossig, breakaway). [K,p]rlocfid(H) % eerate gai, K, ad closed-loop % poles, p, % for poit selected iteractively o % the root locus. ed % Ed loop

19 73 74 Uso de la UI para el Diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces. Acceso a la UI para el Diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces: puede igresar a la vetaa Roots Locus Desig (fig D.7) al escribir rltool e la vetaa de comados de MATLAB o ejecutar e u archivo-m. Creació de fucioes de trasferecia LTI: cree ua fució de trasferecia para la cual usted quiera aalizar las características e lazo cerrado o diseñar compesadores. Se puede crear las fucioes de trasferecia e u archivo-m o e la vetaa de comados de MATLAB. Ejecute el archivo-m o las declaracioes e la vetaa de comados de MATLAB para situar las fucioes de trasferecia e el espacio de trabajo. Todos los objetos LTI e el espacio de trabajo de MATLAB SE PUEDEN EXPORTAR A LA gui PARA EL Diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces. Por ejemplo, se puede correr el archivo-m y geerar el objeto LTI para [( s + )( s + s + ) ] Creació de u modelo e lazo cerrado par la UI para Diseño mediate el Lugar eométrico de las Raíces: elija Import Model bajo el meú File e la vetaa de Root Locus Desig para desplegar la vetaa que se muestra e la figura D.8. Presio Presioe el botó de Other para rotar a través de ua selecció de estructuras de realimetació y seleccioar la cofiguració deseada. Ua vez seleccioada la estructura, seleccioe u objeto LTI del coteido e el espacio de trabajo y expórtelo a uo de los bloques de su sistema. Haga esto presioado el lado derecho de la siguiete flecha al bloque seleccioado (P, H o F) localizado e la secció de la veta etiquetada como Desig Model. Su fució de trasferecia seleccioada ahora aparece e el espacio. Repita esto para otros bloques si es ecesario. Tambié usted puede escribir fucioes de trasferecia LTI, como tf(um,de), directamete e el espacio. Haga clic e OK y cierre la vetaa 76 9

20 4. Iteracció co el lugar geométrico de las raíces: después de cerrar la vetaa Import LTI Desig Model, la vetaa Root Locus Desig cotiee ahora el lugar geométrico de las raíces para el sistema que se muestra e la figura D.9. Después se explicará como añadir líeas de factor de amortiguamieto relativo y tiempo de asetamieto costate que se muestra e la figura D.9. Por ahora, seleccioe u tipo de gráfica e la parte iferior de la vetaa al abrir la vetaa de LTI Viewer Root Locus Desig. El Visor LTI muestra la respuesta seleccioada para la posició actrual de los polos e lazo cerrado sobre el lugar geométrico de las raíces (que se muestra e cuadros pequeños e la figura D.9). Seleccioe la flecha e el extremo izquierdo e la barra de meú de la vetaa Root Locus Desig para arrastrar los polos y los ceros. Posicioe el aputador arriba del polo e lazo cerrado deseado. El aputador cambia a ua mao. Presioe el botó del rató y arrastre los polos e lazo cerrado a lo largo del lugar geométrico de las raíces. A medida que se arrastrar los polos e lazo cerrado, usted puede leer e la Status Bar las coordeadas del polo que se esá arrastrado, su factor de amortiguamieto relativo y su frecuecia atural o amortiguada. La gaacia se puede leer e la caja ai como se muestra e la figura D.9. Observe que la respuesta del visor LTI tambié cambia como reflejo del cambio de ubicació de los polos e lazo cerrado. Ua lista de polos y ceros e lazo cerrado se puede obteer bajo el meú Tools e la figura D.9. Otra alterativa de aálisis es escribir la gaacia e la caja ai. Los polos e lazo cerrado se reubica para este valor de gaacia. Si se desea, se puede hacer u acercamieto y alejamieto de la gráfica del lugar geométrico de las raíces usado los botoes de zoom. Estos botoes está localizados e la parte iferior de la barra de meú como se muestra e la figura D.9. Deje que el aputador del rató descase sbre cada uo de los botoes para que aparezca ua pequeña vetaa que dice lo que hace el botó. Seleccioe el boto de zoom deseado y etoces arrástrelo sobre el itervalo de la gráfica del lugar geométrico de las raíces que usted quier desplegar. Para alejamieto seleccioe el botó co los bioculares Adició de retículas y froteras: se puede sobrepoer y elimiar líeas de factor de amortiguamieto relativo y frecuecia atural o amortiguada haciedo clic e la vetaa de verificació rid. Se puede adicioar líeas de frotera de factor de amortiguamieto relativo costate, tgiempo de asetamieto costate y frecuecia atural o amortiguada mediate la selecció de Addrid/Boudary bajo el meú Tools. La vetaa de resultados ai a Costraits Optios se miestra e la figura D.0. Escriba las restriccioes deseadas, dé u clic e OK y regrese a la vetaa Root Locus Desig. Ahora usted verá sus froteras como se muestra e la figura D.9 mediate la líea radial (ζ0.3) y ua líea vertical (T s 8 segudos). Usted puede ahora arrastrar u polo e lazo cerrado a la itersecció del lugar geométrico de las raíces y las dos líea y leer la gaacia requerida e la caja del ai. Usted puede tambié posicioar el aputador sobre u polo de orde superior y leer su ubicació. Cuado el aputador cambie a ua mao, dé u clic y se lee la ubicació del polo e la Status Bar Adició de polos y ceros y diseño de u compesador: usted puede adicioar polos y ceros al plao s como se hace al diseñar u compesador. Para adicioar u polo o u cero, haga clic e la flecha apropiada sobre la barra de meú como se muestra e la figura D.7. Después posicioe el aputador, el cual ahora cotiee u polo o u cero e su puta, sobre el plao s dode usted quiera ubicarlo. Dé u clic co el rató y el polo o cero se adicioa. Hay u cambio imediato e el lugar geométrico de las raíces y e la respuesta e la vetaa del Visor LTI para el Root Locus Desig. Los polos y ceros del compesador se despliega e rojo, a diferecia de los polos y ceros de la plata que se despliega e azul. Usted puede ahora agarrar los polos y ceros del compesador, mover su posició y ver de imediato los cambios e el lugar geométrico de las raíces e el Visor LTI para el Root Locus Desig. Usted tambié puede diseñar el compesador al mover los polos y ceros hasta que el lugar geométrico de las raíces y las froteras de las características de diseño se itersecte. Por último, puede borrar los polos y ceros del compesador mediate u clic e el borrador localizado e la barra de herramietas de la vetaa del Root Locus Desig, posicioado el aputador, el cual está ahora e el borrador, sobre u polo o u cero del compesador que usted quiera borrar y dé u clic. 80 0

21 % Nise, N.S. % Cotrol Systems Egieerig, 3rd ed. % Joh Wiley & Sos, New York, NY, % % Cotrol Systems Egieerig Toolbox Versio 3.0 Copyright 000 by % Joh Wiley & Sos, Ic. % '(apdrl) Example for Sectio D.6' %Display label. 'Root Locus Desig UI' %Display label. clear workspace %Clear all variables. tf(,cov([ ],[ ])) %Create trasfer fuctio %/[(s+)(s^+s+]). rltool %Call Root Locus Desig UI. File->Import 8 8 OK 83 84

22 VIEW SYSTEM DATA SHOW TRANSFER FUNCTION EDIT->ROOT LOCUS->ZOOM->X-Y 87 88

23 EDIT->ROOT LOCUS->ZOOM->X-Y VIEW->CLOSED-LOOP POLES 9 9 3

24 ANALYS->RESPONE TO STEP COMMAND BOTÓN DERECHO DEL MAUSE->RID

25 PINCHAR LOS POLOS Y MOVERLOS TOOL->DRAW SIMULINK DIARAM ROOT LOCUS->ADD POLE ZERO->REAL POLE (CLICK BOTÓN DERECHO)

26 VIEW->CLOSED-LOOP POLES 0 0 VIEW->SYSTEM DATA ANALYS->RESPONE TO STEP COMMAND

27 Pregutas de repaso Que es u lugar geométrico de las raíces?. Describa dos formas de obteer el lugar geométrico de las raíces. 3. Si K(s)H(s)5 80º, para qué el valor de gaacia es s u puto sobre el lugar geométrico de las raíces? 4. Cambia los ceros de u sistema co u cambio e la gaacia? 5. Dode está los ceros de la fució de trasferecia e lazo cerrado? 6. Cuáles so las dos formas de hallar e dode es que el lugar geométrico de las raíces cruza el eje imagiario? 7. Cómo se sabe, del lugar geométrico de las raíces, si u sistema es iestable? 8. Cómo se sabe, del lugar geométrico de las raíces, si el tiempo de asetamieto o cambia sobre ua regió de gaacia? 9. Como se sabe, del lugar geométrico de las raíces que la frecuecia atural o cambia sobre ua regió de gaacia? 0. Como se determia si la gráfica de u lugar geométrico de las raíces cruza o o cruza el eje real?. Describa las codicioes que debe existir para todos los polos y ceros e lazo cerrado para hacer ua aproximació de segudo orde.. Que reglas para graficar el lugar geométrico de las raíces so iguales si el sistema es co realimetació egativa o positiva? 3. Brevemete describa la forma e que los ceros del sistema e lazo abierto afecta al lugar geométrico de las raíces y a la respuesta trasitoria. 07 FIN 08 7