UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

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1 UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA Ing. Luis Antonio Aco Bustmnte Ing. José Antonio Cstro Inzunz Aril 0

2 Fundmentos de Álger ÍNDICE Págin: INDICE PRESENTACIÓN UNIDAD I LOS NÙMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES ACTIVIDAD NUMEROS NATURALES Y ENTEROS ACTIVIDAD NUMEROS RACIONALES 8 ACTIVIDAD NUMEROS IRRACIONALES 0 ACTIVIDAD PROPIEDADES DE CAMPO ACTIVIDAD PROPIEDADES DE LA IGUALDAD ACTIVIDAD DEL ARITMÉTICA AL ALGEBRA ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 8 ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES 0 UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ACTIVIDAD 0 PRODUCTO DE EXPERSIONES ALGEBRAICAS ACTIVIDAD DIVISION DE MULTINOMIOS 8 ACTIVIDAD PRODUCTOS NOTABLES 9 ACTIVIDAD BINOMIO DE NEWTON ACTIVIDAD PRODUCTO DE BINOMIOS ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN ACTIVIDAD FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS 7 ACTIVIDAD 7 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 9 ACTIVIDAD 8 FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS ACTIVIDAD 9 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ACTIVIDAD 0 LA ECUACIÓN DE SEUNDO GRADO UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES 8 ACTIVIDAD EXPRESIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 9 ACTIVIDAD MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ACTIVIDAD SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS ACTIVIDAD SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES 7 ACTIVIDAD SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES 0 ACTIVIDAD PRODUCTO Y DIVISIÓN CON RADICALES ACTIVIDAD 7 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIÓN ACTIVIDAD 8 OPERACIONES PARA EL CÁLCULO EJERCICIO DE EVALUACIÓN 9 UNIDAD IV TEORIA DE CONJUNTOS 7 ACTIVIDAD 9 REPRESENTACIÓN Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 7 ACTIVIDAD 0 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO 7 ACTIVIDAD CONJUNTO POTENCIA Y PRODUCTO CARTESIANO 78 BIBLIOGRAFÍA 80

3 Fundmentos de Álger PRESENTACIÓN L enseñnz sd en competencis estlece que que dotr l lumno de un conjunto de conocimientos, destrezs ctitudes que le permitn su relizción desrrollo en el ámito personl como profesionl. Dentro de ls competencis ásics se encuentrn ls competencis mtemátics, ls cules se relcionn con el desrrollo de iliddes pr usr diferentes tipos de pensmiento mtemático, como son el lógico, espcil, el de representción por medio de modelos, fórmuls, gráficos, que tienen plicción universl pr l eplicr descriir l relidd. En definitiv, l competenci Mtemátic supone: plicr quells destrezs ctitudes que permiten rzonr mtemáticmente, comprender un rgumentción mtemátic epresrse comunicrse en el lenguje mtemático, utilizndo ls errmients de poo decuds e integrndo el conocimiento mtemático con otros tipos de conocimiento pr dr un mejor respuest ls situciones de l vid de distinto nivel de complejidd. Se deen desrrollr ls siguientes competencis ásics: Orgnizción, comprensión e interpretción l informción. Identificción de los elementos mtemáticos que se presentn en un situción rel. Aplicción de técnics decuds de selección, ordención representción de los dtos. Utilizción de procedimientos mtemáticos que permitn su nálisis l etrcción de conclusiones. Epresión mtemátic orl escrit. Uso del voculrio los símolos mtemáticos ásicos. Utilizción de forms decuds de representción según el propósito l nturlez de l situción. Epresión correct de los resultdos otenidos l resolver prolems. Justificción de resultdos con rgumentos epresiones de se mtemátic. Cpcidd pr seguir un demostrción sencill de un resultdo mtemático, identificndo ls ides fundmentles enjuicindo l lógic vlidez de ls rgumentciones e informciones. Plntemiento resolución de prolems. Reconocimiento plntemiento de situciones reles susceptiles de ser formulds en términos mtemáticos. Trducción esquems o estructurs mtemátics. Vlorción de distints vís pr resolver prolems. Selección de los dtos estrtegis propids pr resolver un prolem. Utilizción con precisión de procedimientos de cálculo ecto, proimdo, mentl, con clculdor,, fórmuls lgoritmos. Epresión correct de los resultdos su interpretción en términos de l situción inicil. Uso de medios tecnológicos en el trtmiento de l informción.

4 Fundmentos de Álger El Álger es un de ls rms más importnte de l Mtemátic, permite el mnejo de epresiones en form generl, permite simplificrls trnsformrls en otrs forms equivlentes más simples, por este motivo se deen desrrollr ls iliddes lgerics por medio del entendimiento prctic de sus principios fúndteles. El presente curso const de un serie de ctividdes donde se desrrolln los conceptos fundmentles se proponen ejercicios los cules deen ser resueltos pr dquirir l ilidd en el mnejo de epresiones lgerics, ls cules son l se pr el entendimiento de otrs áres como el Cálculo, Estdístic, Investigción de Operciones, mtemátics finnciers. Un de ls pregunts que nos cemos con ciert frecuenci es QUÉ ES LA MATEMÁTICA? Podrímos decir que l Mtemátic es un epresión de l mente umn, que reflej l voluntd ctiv, l rzón contempltiv el deseo de un perfección estétic. Sus elementos ásicos son: Lógic e intuición, nálisis construcción, generlidd prticulridd. Sin dud lgun, todo el desrrollo mtemático tenido sus ríces psicológics en necesiddes más o menos práctics, medinte un lrgo proceso de strcción. L istori de ls Mtemátics comienz en Oriente, donde ci el ño 000. C. los ilonios poseín un grn cntidd de conocimientos que podrín ser clsificdos como Álger Elementl. Pero como cienci en sentido moderno, donde prece más trde es en Greci entre los Siglos V IV. C. donde se origin un desrrollo iomático-deductivo, con Eudoio culmin con los elementos de Euclides, concepción que ctulmente se conserv. Durnte csi 000 ños el peso de l trdición geométric de los griegos retrsó l inevitle evolución del concepto de número del desrrollo del Cálculo Algerico, después de un periodo de preprción lent, l Mtemátic comenzó su vigoros evolución en el Siglo XVII, con l Geometrí Anlític el Cálculo Diferencil e Integrl. En este proceso uo grndes portciones de personjes, tles como Viet, Descrtes, Newton, Leinitz, Euler, Guss mucos otros. Los conocimientos mtemáticos fueron construidos de un mner progresiv, donde n sido pulidos st llegr l grdo de desrrollo ctul. Ls Mtemátics, son l llve pr l comprensión del mundo físico; nos dn el poder sore l nturlez le n ddo l omre l convicción de que se puede seguir profundizndo en los secretos de l mism. Además, ls Mtemátics, n permitido los pintores, pintr en form relist, sí como l comprensión de los sonidos musicles, el nálisis de tles sonidos fueron l se pr l construcción del teléfono, fonógrfo, l rdio e instrumentos de grción reproducción. Ls Mtemátics cd vez son más importntes pr l investigción iológic médic, el desrrollo de l electrónic, l computción otrs ciencis, tmién jueg un ppel importnte en l plnificción de l economí, l dirección de l producción, el dignóstico trtmiento de enfermeddes, el estudio del rendimiento de los tlets, invdiendo sí, todos los cmpos del ser de l umnidd.

5 Fundmentos de Álger Actulmente los estudintes tienen l ide de que se les enseñn ls Mtemátics pr fstidirlos cusrles prolems. Este enfoque cusdo un jo nivel de provecmiento de l mteri por lo que se prenden los contenidos en form memorizd los procedimientos en form mecnizd, sin tener un clro entendimiento de los mismos o l form de utilizrlos en l vid diri o en su profesión. Es necesrio que los estudintes tengn un prticipción ctiv en l construcción del conocimiento mtemático, no ser simples repetidores, l enseñnz constructiv no es fácil, pero no cminos fáciles, pr disfrutr l vist de lo lto de un montñ que esclrl, en ls Mtemátics no teleféricos, los cles se rompen en l mente de los jóvenes, el rte de enseñr reside en l ilidd pr l utilizción de los procesos de descurimiento, con esto se puede estimulr desrrollr el poder cretivo de los estudintes de drles el plcer del descurimiento. L Cienci está más ctiv que nunc, cd vez más se us ls Mtemátics pr presentr predecir los fenómenos que ocurren en l nturlez, por est rzón es necesrio que los nuevos profesionists tengn un conocimiento ms mplio pr poder entender los modelos mtemáticos formulr nuevos, demás de que son un lenguje universl. El prendizje de ls Mtemátics requiere de un esfuerzo significtivo por prte de los lumnos, el desrrollo de ls iliddes l dquisición de conocimientos mtemáticos es grdul solo es posile trvés de l constnci en el estudio. Tmién el prendizje de ls Mtemátics en l escuel está fundmentdo en tres elementos ásicos: El reconocido vlor de los conocimientos mtemáticos pr l solución de prolems que enfrent nuestr sociedd. L potencilidd del prendizje de ls mtemátics pr el desrrollo del pensmiento. L contriución de ls mtemátics l desrrollo de l concienci educción de ls nuevs generciones. NO TEMAS IR DESPACIO, TEME NO AVANZAR!

6 Fundmentos de Álger UNIDAD I LOS NUMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Ojetivos:.- Identificr relizr operciones con diferentes tipos de números.- Conocer plicr ls propieddes de cmpo de los números reles.- Utilizr ls propieddes de l iguldd pr resolver ecuciones de primer grdo.- Plnter resolver prolems que dn origen ecuciones de primer grdo.- Utilizr ls propieddes de los eponentes pr simplificr epresiones

7 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Ojetivo.- Relizr operciones con números nturles enteros Los números reles están formdo por los números que se pueden escriir en notción deciml, pr estudir sus propieddes operciones, se dividen en: Números nturles: Son los números que se usn pr contr se representn:,,,, Números enteros: Se formn de los nturles, sus inversos ditivos el cero,,,,,0,,,,, OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA Si los números tiene el mismo signo se sumn sus vlores l resultdo se les sign el signo de los números. 7 7 Si los números tienen diferentes signos, se restn sus vlores l resultdo se le sign el signo del número mor. PRODUCTO: El producto de dos números enteros del mismo signo d como resultdo un número entero positivo. 8 El Producto de dos números enteros de diferente signo d como resultdo un número entero de signo negtivo. 0 Pr indicr operciones más complicds es necesrio usr símolos de grupmiento, en estos csos deemos respetr l jerrquí de ls operciones, por ejemplo l operción, primero se reliz l sum dentro de los préntesis 0, enseguid l multiplicción 0 por último l sum, el resultdo finl es, esto lo representmos: 0 0 En el siguiente ejemplo oserv el orden en que se relizron ls operciones { [ 8 ]} { [ 8 ]} { [ 8 ] } { [ ]} { } { } 8 Otr operción importntes es l potenci, l cul es un simplificción de l multiplicción, est se present cundo un fctor se multiplic por si mimo vris veces, por ejemplo si multiplicmos lo podemos escriir como, un potenci tiene dos elementos, l se que en este cso es el número el eponente que indic el número de veces que se tom l se como fctor, en generl un potenci se puede escriir como: n Al estudir los números enteros se encontró que culquier entero positivo se puede epresr como el producto de números primos, esto se le conoce como El principio Fundmentl de l Aritmétic. Los números primos los tienen l crcterístic que sólo se pueden dividir ectmente entre ellos mismos l unidd, lgunos de estos números son los siguientes:,,,, 7,,, 7, 9,, 9,.. El proceso pr fctorizr un número en fctores primos se reliz dividiendo consecutivmente el número en fctores primos, jo el siguiente esquem:

8 Fundmentos de Álger Por ejemplo el número 8 lo podemos epresr en números primos de l siguiente mner 8 8 Reliz ls operciones siguientes: [ ] c.- { } d.- { } { } e.- [ ] f.- [ ] [ ] g.- [ ].- Descomponer en fctores primos los siguientes números usndo el principio fundmentl de l ritmétic c

9 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD NUMEROS RACIONALES Ojetivo.- Simplificr relizr operciones con números frccionrios. Estos números se originn por l división de dos enteros, por ejemplo: 0... El resultdo no es un entero, es posile desrrollr operciones con estos números sin epresrlos en su form deciml, estos se les conoce como frcciones. Un crcterístic de estos números es que l relizr l división sus decimles presentn periodicidd. Los números rcionles se definen como el cociente de dos números enteros, con 0 donde es el numerdor, se representn De cuerdo est definición los números enteros son rcionles, por ejemplo el número lo podemos escriir como. Otro concepto importnte es el de frcciones equivlentes, este tiene l propiedd de que su vlor numérico es el mismo, si considermos ls frcciones: entonces 8 8 Ls cules se otienen l multiplicr o dividir el numerdor denomindor por el mismo número, ecepto el cero. OPERACIONES Pr sumr frcciones deen tener el mismo denomindor, ls frcciones se pueden 9 sumr directmente:, oserve que solo se sumn los numerdores qued el mismo denomindor. Si ls frcciones tiene diferente denomindor, se deen llevr un denomindor común, esto lo podemos cer usndo el principio de ls frcciones equivlentes. Si queremos sumr ls frcciones: ls trnsformmos en ls frcciones equivlentes: Oserve que el común denomindor es el producto de los denomindores, en lgunos csos el común denomindor se puede otener por oservción, este tiene l propiedd de poderse dividirse entre cd denomindo. Por ejemplo, l operción, el común denomindor pueden ser los números,,, utilizndo culquier de ellos deemos otener el mismo resultdo, por fcilidd se utiliz el Mínimo común denomindor.. Pr otener el MCD se dividen los denomindores entre fctores primos el mcd es el producto de los fctores: 7 Sumr l descomponer cd denomindor en fctores primos se otiene: El MCD80 8

10 Fundmentos de Álger Relizndo l sum PRODUCTO El producto entre frcciones se reliz multiplicndo los numerdores denomindores, ls regls de los signos pr los enteros tmién se plicn pr los rcionles. 8 c d 0 Se oserv que el resultdo nterior se puede otener multiplicndo el numerdor de l primer frcción por el denomindor de l segund se otiene el numerdor de l frcción resultnte l multiplicr el denomindor de l primer por el numerdor de l segund se otiene el denomindor del resultdo: Reliz ls operciones siguientes: c.- d.- e.- f.- 9

11 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD NUMEROS IRRACIONALES Ojetivo.- Relizr operciones con números irrcionles Son quellos que no se pueden escriir como un frcción, ejemplos de estos números son ls ríces que no son ects,, eisten otros números que son irrcionles como o el vlor de, se representn. Los números con rdicl se pueden sumr si tienen el mismo orden de su rdicl el mismo surdicl, por ejemplo: Pr multiplicción solo es necesrio que tengn el mismo orden del rdicl: En l división se tiene l mism crcterístic nterior: Pr lguns multiplicciones de números irrcionles es necesrio utilizr un propiedd llmd distriutiv, por ejemplo, consideremos el producto: Al relizr l operción se oserv que el número se multiplic por cd número dentro del préntesis, esto lo podemos generlizr pr culquier número: c c Est propiedd es un de ls más importntes pr el desrrollo del álger. Usndo est propiedd es posile desrrollr los productos: En este ejercicio no es posile simplificr, puesto que rdicles del mismo tipo. Es posile simplificr los números con rdicl epresndo el surdicl en dos fctores, de tl mner que uno de ello teng l ríz ect, consideremos el rdicl, este lo podemos escriir, pr números más grndes podemos usr el principio fundmentl de l ritmétic. Simplifiquemos 8 8. Otr operción importnte con los rdicles es l rcionlizción, l cul consiste en quitr el rdicl o rdicles del numerdor o denomindor de un cociente donde rdicles. Supongmos que se quiere rcionlizr el denomindor del número el numerdor denomindor por, l operción es:, pr esto se multiplic 0

12 Fundmentos de Álger Ejercicios:.- Simplific los siguientes rdicles: c.-.- Relizs ls operciones indicds: c.- 0 d Rcionlizr el denomindor.-.- c.- Si reunimos todos los números que emos trtdo en un solo conjunto formremos el conjunto llmdo NÚMEROS REALES, los cules tienen l crcterístic de poderse epresr medinte un notción deciml. Así tenemos el siguiente esquem: Enteros positivos Nturles Rcionles! Cero Números reles # Enteros negtivos " Irrcionles!

13 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD PROPIEDADES DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES Ojetivo.- Aplicr ls propieddes de cmpo pr desrrollr un operción Ls operciones relizds con los números se pueden generlizr dndo origen ls propieddes de cmpo de los números reles: Sen,, c números reles:.- Eiste un elemento identidd en l sum multiplicción: 0.- Eiste un inverso multiplictivo ditivo pr cd número ecepto el cero en l multiplicción 0.- Propiedd Asocitiv: c c c c c c.- Propiedd conmuttiv:.- Propiedd Distriutiv: c c.- Propiedd de cerrdur: es un número rel es un número rel El uen mnejo entendimiento de ls propieddes de cmpo de los números reles es requisito indispensle pr poder desrrollr el álger. Se oserv que en ls operciones precen literles números, esto d origen lo que se conoce como un epresión lgeric, en l cul precen literles números relizndo diferentes operciones. A continución se muestrn lguns operciones donde se utilizn ls propieddes de cmpo de los números reles. Ejemplo: Multiplicr usemos l propiedd distriutiv: Ejemplo: Multiplicr usndo l propiedd del elemneto identidd propiedd distriutiv propiedd distriutiv propiedd sociti Multiplicr 9 9 propiedd distriutiv propiedd conmuttiv propiedd distriutiv Elemento identidd inverso ditivo

14 Fundmentos de Álger Ejercicio.- relizr ls siguientes operciones, indicndo l propiedd de cmpo utilizd.-.- c.- d.- e.- g

15 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD PROPIEDADES DE LA IGUALDAD Ojetivo. - Aplicr ls propieddes de l iguldd pr resolver ecuciones de primer grdo El signo igul se us en ritmétic pr indicr el resultdo de un operción: Es decir lo usmos en l lectur de epresiones mtemátics siempre de izquierd derec, o tmién pr relcionr procesos que nos el mismo resultdo: -- En todos los csos nteriores los supuestos que estlecen son siempre verdderos, pero en el cso de que en ls epresiones eistn literles, el sentido del signo igul es diferente, por ejemplo: 7 Est iguldd no se cumple pr culquier vlor de, se oserv que solo el número l ce verdder, en este sentido el signo igul indic restricción, ests epresiones se les llm ecuciones, consideremos or el siguiente ejemplo: Est iguldd se cumple pr culquier vlor de. Si El signo igul relcion dos epresiones que numéricmente son igules, pero están escrits de form diferente, se dice que ls epresiones son equivlentes en este cso fue un identidd. En álger el signo igul en ests epresiones dee verse en form idireccionl, es decir, deemos verlo ctur tnto de izquierd derec, como de derec izquierd. Otro uso de signo igul es pr relcionr vlores de un vrile con los vlores de otr, esto d origen l concepto de función, si tenemos l epresión: 9 Nos dice que l vlor de l vrile le corresponde el vlor que impone l vrile : Si Si Si 9 7 Como vez el signo igul tiene vris interpretciones que es importnte distinguirls clrmente. Podemos mencionr que l iguldd tiene ls siguientes propieddes. Refleiv Simetric Trnsitiv Aditiv Multiplictiv Si Si Si entonces c entonces entonces entonces c c c c c Ls propieddes de cmpo de los números reles de l iguldd son de sum importnci pr un mnejo de ls propieddes lgerics. Por ejemplo ls podemos usr pr determinr el vlor de $ en l epresión $0

16 Fundmentos de Álger Pr otener el vlor de deemos plicr ls propieddes de l iguldd ls propieddes de cmpo: 0 Propiedd ditiv 0 Inverso ditivo Elemento identidd Propiedd multiplictiv Elemento identidd Podemos decir que un cntidd ps de un miemro otro efectundo l operción contrri pues eisten propieddes de ls operciones que permiten cerlo sí, es decir, si está sumndo se ps restndo, si está multiplicndo se ps dividiendo vicevers, esto se le conoce como TRANSPOSICION DE TERMINOS. H que tener muco cuiddo l plicr estos tjos, puesto que su plicción incorrect puede conducir errores, resolvmos el ejemplo nterior usndo trnsposición de términos: 8 Psmos el 8 restndo l segundo miemro -8 8 Psmos dividiendo el l segundo miemro luego reducimos 8/ A ls epresiones nteriores se les llm ecuciones de primer grdo. Ejercicio..- Clculr el vlor de l incógnit usndo ls propieddes de l iguldd 8 c d 7 - e - f.- Despejr l literl que se indic en cd fórmul: %&' despejr *,./ despejr - c % 0 despejr $

17 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD DEL ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA Ojetivo.- Plnter resolver prolems que dn origen ecuciones de primer grdo Es de primordil importnci, contr con un uen se en Alger pr los cursos vnzdos de Mtemátics. Tmién es útil en prolems de l Industri, los Negocios, l Estdístic mucs otrs. El Alger se desrrolldo prtir de l generlizción de ls regls operciones de l Aritmétic, en ls siguientes operciones con números: 7, 78, 79, 0 / si se introducen símolos o letrs pr denotr números ritrrios oteniendo Epresiones Algerics, en ls cules precen números letrs relizndo diferentes operciones, los ejemplos nteriores se pueden representr con símolos:, cd,, / Este lenguje del Alger es útil por dos rzones. Primero, puede ser utilizdo pr revir simplificr epresiones lrgs o complicds segundo, es un modo decudo de generlizr mucs epresiones específics. Alguns fórmuls usds en l cienci en l industri nos pueden udr ilustrr l generlidd del Alger. Por ejemplo si un vión vuel rzón constnte de 00 mp mills por or durnte ors, entonces l distnci recorrid es 00 o 00 mills Si l velocidd es de 0 mp el tiempo trnscurrido es de ors, entonces l distnci recorrid es de 0 o 70 mills Si or introducimos símolos denotmos con l velocidd, el tiempo trnscurrido d l distnci recorrid, entonces los dos ejemplos nteriores son csos especiles de l fórmul Otro tipo de epresiones que se otienen son los procesos de simolizción de prolems son ls ecuciones de primer grdo, en l cules eisten un o más cntiddes desconocids ls cules se representn por un literl, consideremos l siguiente situción. L sum de ls eddes de Pedro Jun sumn 7 ños, pero Pedro es mor ños que Jun, Cuáles son ls eddes de cd un? En este cso l solución l podrímos otener por prue error, usndo un procedimiento mtemático el plntemiento es el siguiente: Edd de Pedro Edd de Jun 7 Edd de Pedro Edd de Jun Se tommos l edd de Jun, entonces Edd de Pedro Sustituendo en l sum de ls eddes: 7 Resolviendo l ecución se 0, entonces l edd de Jun es 0 ños l de Pedro es ños. Un person tiene dos tipo de cfé, uno ncionl que cuest $ 0 el kilogrmo otro importdo que tiene un costo de $ 80 el kilogrmo, quiere form un mezcl l cul l pued vender $0 el kilogrmo, determine cuntos kilogrmos de cd cfé dee utilizr: Se dee cumplir que:

18 Fundmentos de Álger Cntidd de cfé ncionl Cntidd de cfé importdo00 En cunto los ingresos se tiene: Ingresos por l vent del cfé ncionl Ingresos por el cfé importdo 000 Si considermos Cntidd de cfé ncionl, entonces Cntidd de cfé importdo 00- Sustituendo en l segund condición: Despejndo se otiene que. kg de cfé ncionl, por lo tnto kg de cfé importdo. Ejercicios:.- Determine el vlor de tres números enteros positivos consecutivos cu sum se 9.- Un person pgó por un pr de zptos $70. L tiend tení un ofert de descuento del %. Cuál er el precio originl de los zptos?.- El Depto. de recursos umnos de Kurod le inform uno de sus empledo que su sueldo se incrementrá un.8%. Si reciirá $0 mensules Cuál er su slrio nterior?.- Un person quiere invertir $000, tiene dos opciones: l primer un cunt que le pg el 8% de interés nul l otr que le pg el % de interés nul. Al finl de un ño quiere reunir $700 por concepto de intereses, Cuánto dee invertir en cd cuent?.- Se tiene un terreno cuo primero es de 00m, si se se que el lrgo es % más lrgo que el nco, Cules son ls dimensiones del terreno?.- Un person tiene $0 en monds de $ de $, si tres veces más de moneds de $ que ls de $, Cunts moneds de cd denominción? 7

19 Fundmentos de Álger 8 ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Ojetivo.- Relizr operciones usndo ls propieddes de los eponentes Un potenci con eponente entero positivo, indic el número de veces que un cntidd se tom como fctor, por ejemplo, donde $ es l se el eponente, se pueden otener propieddes generles pr relizr operciones con los eponentes de potencis enteros positivos números, reles números, Sen 0 n m m m m m m m mn n m n m n m n m n m Si se tienen eponentes negtivos se utiliz l propiedd: n n Ls propieddes de los eponentes se plicn diferentes epresiones mtemátics, en est sección se considern epresiones donde se tienen productos o cocientes. Ejemplos.- Se plicn ls propieddes de los eponentes pr simplificr ls siguientes epresiones sin eponentes negtivos g 8 8 f e d c

20 Fundmentos de Álger 9 Ejercicios:.-Usndo ls propieddes de los eponentes simplifique cd epresión sin eponente negtivo supong que ls cntiddes en el denomindor son diferentes de cero j. - i..- - g. f.- 8 e.- d.- c.-

21 Fundmentos de Álger 0 ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES Ojetivo.- Interpretr relizr operciones potencis de eponentes frccionrios En ls operciones nteriores solo se trjron eponentes enteros, en generl el eponente puede ser un número rel, continución trtremos los eponentes rcionles, se estudiron los números irrcionles lgunos de los cules los podemos representr por medio de un rdicl, por ejemplo definimos que l ríz de un número es otro número que l elevrlo l orden del rdicl d como resultdo el surdicl, por ejemplo. cudrdo se en este cso deemos encontrr un númro que elevdo l puesto que Si recordmos ls propieddes de los eponentes m n m n, entonces se dee cumplir que -, por lo tnto l siguiente representción es válid: puesto que Que es el resultdo que uscámos. Se conclue que culquier rdicl lo podemos trnsformr un potenci con eponente rcionl: Se n, con 0 si n es pr, entonces n n siempre cundo n se diferente de cero. Ejemplos.- escriir los siguientes rdicles con eponente rcionl 0 Si el surdicl es un potenci se rzon de l mism mner, por ejemplo lo podemos escriir como puesto que, en form más generl podemos decir que: Se m n, con m 0 si n es pr, entonces 0 con, n n m n m Estos eponentes rcionles cumplen con tods ls propieddes de los eponentes enteros, pr su uen mnejo es necesrio recordr ls operciones con los números rcionles, gmos lgunos ejemplos: 7 d c

22 Fundmentos de Álger Ejercicios:.- Usndo ls propieddes de los eponentes simplifique cd epresión, de tl mner que en el resultdo no prezcn eponentes negtivos: 8 f e d c

23 Fundmentos de Álger UNIDAD II OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Ojetivos:.- Clsificr ls epresiones lgerics.- Simplificr epresiones lgerics.- Multiplicr dividir epresiones.- Aplicr ls regls de los productos notles.- Fctorizr epresiones lgerics

24 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ojetivo.- Relizr operciones con epresiones lgerics Un epresión lgeric está formd por l sum, diferenci o cociente de números literles elevds diferentes potencis, por ejemplo: w En los ejemplos nteriores ls epresiones ls podemos dividir en epresiones más pequeñs llmds términos, por ejemplo está formd por dos términos, esto tiene por ojeto cer un clsificción de ls epresiones de cuerdo l número de términos, por ejemplo: 0 0 Tiene dos términos Tiene tres términos Tiene dos términos o cutro El concepto de término es reltivo depende del sentido que se le dé l epresión. A ls epresiones que involucrn sums rests de términos que son productos de números o vriles elevds eponentes enteros les llmremos MULTINOMIOS, por ejemplo: 7 En prticulr si eiste un sol vrile, le llmremos POLINOMIOS, l epresión - es un polinomio con respecto, otros ejemplos: c De lo nterior podemos decir que en ls epresiones nteriores un término está formdo por el producto de un coeficiente numérico vriles elevds diferentes potencis positivs. Los Multinomios se pueden clsificr de cuerdo su número de términos o su grdo, el segundo se otiene como l sum de los eponentes de l prte literl de cd término, el grdo del multinomio será el mor de los términos. Multinomio Tipo grdo - z c Trinomio Binomio Monomio 8 Monomio 0 Como los términos involucrdos en los multinomios son números reles, ls propieddes de estos son plicles pr ls operciones lgerics. Uno de los ojetivos ásicos del álger es l simplificción de ls epresiones lgerics, es decir, llevrls un form donde se use l menor cntidd posile de términos operciones, sí como relizr ls operciones ásics con ests epresiones. L simplificción se s en el concepto de grupción de términos semejntes, los cules tienen l crcterístic de tener l mism prte literl elevd los mismos eponentes, por ejemplo:

25 Fundmentos de Álger Términos semejntes,,, Hgmos lgunos ejemplos:.- Simplificr ls siguientes epresiones Podemos omitir lgunos psos pr simplificr ls operciones, se oserv que l grupr sólo se sumn los coeficientes de los términos podemos mrcr los términos semejntes pr no cmirlos de lugr: 8 En conclusión l sumr o restr dos o más epresiones lgerics deemos grupr los términos semejntes, en el cso de l rest deemos cmir de signo l sustrendo, lgunos ejemplos: Sumr Restr z z 8z- z-0 8z- z-0-z z 8z- z-0-z- z z-7 z-0 Sumr Ejercicios..-Indicr en los siguientes ejercicios el tipo grdo de los multinomios: c z c.- - c 8.- Sumr los Multinomios siguientes c.- -7c -c c 8c- d.- n m 8 n - n m - n

26 Fundmentos de Álger.- Restr los polinomios siguientes: de de -9 9 c.- - de -7 d.- 8 n n n de -9 n - n -.- Relizr ls operciones indicds c- c -7c -c c-7--c -c-

27 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 0 PRODUCTOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ojetivo.- Relizr productos con epresiones lgerics Pr multiplicr epresiones lgerics se utiliz l propiedd distriutiv. Por ejemplo l multiplicr por -. Si tommos - como un número, podemos distriuir entre los términos de Aplicmos de nuevo l propiedd distriutiv Agrupmos términos semejntes - Multiplicr no terminos semejntes 9 9 L operción nterior se puede simplificr si multiplicmos cd término de l primer epresión por cd término de l segund: L operción nterior l podemos relizr en l siguiente form

28 Fundmentos de Álger Ejercicio.- Relizr los productos indicdos: c-7 c c d.--7 e f g i.- {-} {--} j.- n - n n n k

29 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD DIVISIONES DE MULTINOMIOS Ojetivo.- Aplicr el lgoritmo de l división entre Multinomios Pr dividir dos multinomios se plic el siguiente lgoritmo:. - Ordenr ls epresiones en orden descendente.. - Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.. - Multiplicr el resultdo por los términos del divisor restr el producto l dividendo.. - Determinr si el grdo del primer término del residuo es menor l grdo del primer término del divisor, si lo es, se termin el proceso, si no lo es, se repite el pso en delnte. EJEMPLOS Dividir entre - Ordenmos los polinomios - 0 -, en el lugr que ocup l potenci se dej un espcio: El resultdo se escrie Ejercicios: Reliz ls siguientes divisiones.- - / / - c.- c c c /c d.- - / 8

30 Fundmentos de Álger 9 ACTIVIDAD PRODUCTOS NOTABLES Ojetivo.- Desrrollr inomios usndo ls regls de los productos notles En l úsqued de rcionlizr el trjo lgerico, es posile encontrr regls que nos permitn cer lguns operciones sin necesidd de desrrollr todo el proceso, esto principlmente en el producto división, en el presente sección se estudirán lguns de ests regls. Como los productos notles fctorizción son dos procesos esencilmente inversos, iniciremos con los productos notles. Un de ls operciones ásics que se pueden desrrollr como un regl es l potenci de inomios, el primer cso es un inomio l cudrdo, l regl l otenemos prtir de l propiedd distriutiv: Omitiendo los psos intermedios tenemos que, trduciendo literlmente tenemos l regl: El cudrdo de un inomio es igul l cudrdo del primer término, más el dole producto del primer término por el segundo, más el cudrdo del segundo término. Al resultdo de elevr un inomio l cudrdo se le denomin trinomio cudrdo perfecto. Ejemplos: Desrrolle los siguientes inomios l cudrdo usndo l regl n n n n n n 8 9

31 Fundmentos de Álger Ejercicios:.- Desrroll cd epresión usndo l regl del inomio l cudrdo:.- c-.- - c.- d.- e.- f.- m n g.- n n.- c j.- i.- k.- l.- m.- n.- De l mism form podemos otener un regl pr elevr un inomio l cuo: Ejercicios.-.- Desrrollr los inomios l cuo, usndo l regl:.-.- c.- d.-.- Relizr ls operciones simplificr.-.- d.- 0

32 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD BINOMIO DE NEWTON Ojetivo.- Aplicr l fórmul de Newton pr desrrollr un inomio diferentes potencis Est fórmul permite desrrollr un inomio un potenci positiv, su form es l siguiente: n n n n n n n n n n n n n n k nk k n n.....!! k! L operción k! se le conoce como el fctoril de un número, se clcul: k! k k k k ejemplo! 0 usndo l fórmul del inomio de Newton se otiene: Al desrrollr el inomio!!!! Un form de otener los coeficientes del desrrollo de Newton es usr el tringulo de pscl 0 0 Por ejemplo ' ' ' 7 ' - - ' 7 ' 8' 7 ' - '.- Desrroll los siguientes inomios usndo l fórmul de Newton:.-.- c.-

33 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD PRODUCTOS DE BINOMIOS Ojetivo.- Multiplicr inomios usndo l regl correspondiente Al multiplicr dos inomios usmos l propiedd distriutiv, por ejemplo: Pr lgunos productos se pueden estlecer regls que permiten relizrlos más rápidmente. Al primer producto se le denomin producto de inomios con un término común, un condición que se pide es que el coeficiente de los términos comunes se uno, por ejemplo: 0 0 c-ccc-cc c-c-c c De los ejemplos se puede oservr que el coeficiente del término centrl del trinomio, es l sum de los términos no comunes el tercer miemro es el producto de éstos, si lo cemos en generl: Lo nterior corroor nuestr firmción, gmos unos ejemplos: En el segundo cso no es muco lo que se puede simplificr, lo sumo lguns operciones L operción nterior l podemos cer jo el siguiente esquem: En form generl: c d c d c d L utilidd de l epresión nterior es más que nd en l fctorizción. Ejemplos:

34 Fundmentos de Álger Otr operción mu común es el producto de dos inomios conjugdos, los cules tienen l crcterístic de solo diferir en un signo, por ejemplo: Desrrollemos estos productos trtndo de encontrr un regl: Podemos concluir que l multiplicr dos inomios conjugdos se otiene como resultdo el término del mismo sigo elevdo l cudrdo menos el término de signo diferente elevdo l cudrdo, gámoslo en form generl: A este resultdo se l conoce como un diferenci de cudrdos. Ejemplos: c -c -c -c n - n n n n - n Ejercicios.-.- Reliz los siguientes productos usndo l regl: e f.- -- c.- -8 g.- n 7 n -8 d c -c.- Reliz los siguientes productos entre inomios: c.- c-c d e.- {-c}{c} f.- - g

35 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMUN Ojetivo.- Fctorizr un epresión determinndo un fctor común L fctorizción es el proceso de descomponer un epresión mtemátic como el producto de fctores, tods ls epresiones se pueden fctorizr. El primer tipo de fctorizción es por fctor común. Por ejemplo: 8c c Fctorizndo cd término, el fctor común está formdo por los fctores repetidos en cd término: ccc cc ccc c c 8c c Se puede otener el segundo fctor dividiendo l epresión originl entre el fctor común: 8c c 8c c c 8c 8c 8c Fctorizr 0 8z Fctorizndo cd término: z z Podemos oservr que el fctor común tiene ls siguientes crcterístics:. -Contiene los fctores comunes de los coeficientes numéricos en el cso de números enteros se epresn en fctores primos se tomn los de menor eponente.- Aprecen ls letrs comunes todos los términos elevds l menor eponente..- El segundo fctor se puede otener l dividir l epresión originl entre el fctor común. Ejemplos: Fctorizr: - - Por simple inspección tenemos que el fctor común es, pr otener l segund epresión dividimos cd término entre el fctor común Fctorizr: 70 c 80 c -00 c Epresmos cd coeficiente en fctores primos Fctor común de los coeficientes: 0 0 c c c-

36 Fundmentos de Álger Fctorizr: en este ejemplo podemos tomr los el fctor común del z 8z z numerdor denomindor: z z z z 8 z z En lgunos csos es necesrio fctorizr lgun cntidd que no se encuentr en todos los términos, por ejemplos: Fctorizr efectu elproducto c tnto l fctorizción es c c v, de l siguiente epresión seotiene c c v v, tommos como fctor pr demostrr queel resultdo es correcto se c, porlo c Fcoriz de l epresión c el reusltdo es Este tipo de fctorizciones son importntes en l solución de ecuciones cudrátics..- Fctorizr cd epresión: c.- -c c d e.- c d cd c d f Fctorizr de cd epresión l cntidd que se te indique: fctor fctor c fctor d fctor e fctor

37 Fundmentos de Álger Eisten otrs epresiones que se pueden fctorizr por medio de fctor común, por ejemplo: cc No eiste un fctor común todos los términos, pero si oservmos el primero curto tienen en común el segundo tercero, podemos gruprlos fctorizr: cc cc Tenemos un fctor común que no es un monomio, sino un inomio, usndo l propiedd distriutiv. c A este tipo de fctorizción se le conoce por grupmiento. Fctorizr: cc Los dos primeros términos tienen como fctor los restntes. cc c c c Ejercicios.-.- Fctorizr cd epresión..- tcc-t c.- t t d.- e m e m e e.- c c

38 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Ojetivo.- Identificr un trinomio cudrdo perfecto fctorizrlo como un inomio l cudrdo. A continución trtremos como fctorizr un trinomio cudrdo perfecto, pr esto primero deemos ser cómo identificrlo como tl, por ejemplo el trinomio: Si cemos el proceso inverso, los términos de los etremos deen provenir del cudrdo de dos números, en este cso de, el termino centrl dee ser el dole del producto de estos,, por tnto si es un trinomio cudrdo perfecto, su fctorizción es simplemente un inomio l cudrdo cuos términos son : Otro ejemplo -9 Deemos uscr dos números cuos cudrdos sen respectivmente 9, estos son, or deemos pror que el dole de su productos es el término centrl, no coincide puesto que dee ser -, pr que se cumpl podemos cer negtivo culquier de los números: -- o --, l fctorizción es: -9- o -9- Podemos concluir los siguientes psos pr fctorizr un trinomio cudrdo perfecto:.- Identificr que se trte de un trinomio cudrdo perfecto, pr esto se uscn números cuos cudrdos sen los términos de los etremos el dole producto el término centrl..- Formr el inomio l cudrdo, si el término centrl es negtivo se le sign un signo negtivo culquier de los dos términos del inomio. Ejemplos: fctorizr los siguientes trinomios: -0 Los números que elevdos l cudrdo dn los etremos son, como 0 si es un trinomio cudrdo perfecto: -0- El proceso nterior se puede simplificr jo el siguiente esquem 9 c c c c cc 7

39 Fundmentos de Álger c - 9 Primero fctorizmos por fctor común: Con un poc de práctic l verificción se puede cer mentlmente. d n n n n n n e f g 9 Ejercicios.-.- Fctorizr cd trinomio: - m -8m c d - e c m c m f -- g 0 9 i 8

40 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 7 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS Ojetivo.- Fctorizr trinomios como el producto de dos inomios Aor trtremos los trinomios donde el coeficiente del primer término es uno se puede escriir como cd. Recordemos que estos provienen del producto de dos inomios de l form de tl mner que: Entonces dee cumplirse que c d es decir, deemos uscr dos números cuo producto se d su sum se c, por ejemplo: Los únicos números que multiplicdos su resultdo es, son -- sumdos son los primeros, l fctorizción es: Fctoricemos -- Los fctores de - son - ó - de estos, el segundo cumple que su sum es el término centrl --, por lo tnto: --- Otro ejemplo: - los fctores del número son --, los primeros cumplen que su sum es -: --- El proceso es por tnteos lo podemos resumir:.- Buscr los posiles fctores del tercer término.- Determinr cuáles de los fctores nteriores su sum es el coeficiente del término centrl..- Formr el producto de los inomios. En cunto l signo de los fctores podemos concluir:.- Si el segundo tercer término son positivos, los fctores son positivos..- Si son de diferente signo o negtivos mos, los fctores tiene signo diferente..- Si el segundo es negtivo el tercero positivo, mos fctores son negtivos. Ejemplos: 0 Los fctores del son:, 8, como el segundo tercer término son positivos, los fctores deen ser positivos son Los fctores son,como el segun- 9

41 Fundmentos de Álger do tercer término son negtivos, los fctores deen tener diferente signo, tommos - puesto que Eisten otros ejemplos que se pueden justr este cso, como 8 8, en el primero podemos cer c, entonces el trinomio tomrí l form c c8 que fctorizdo es cc, sustituendo c el resultdo es, pr cer este cmio l ríz cudrd del primer término dee precer como l prte literl del segundo. Ejemplo: fctorizr - es resultdo es 7 -. En el segundo cso 8 se puede resolver por nlogí, si oservmos l ríz cudrdo de l prte literl del primero tercer término precen como producto en el término centrl, entonces solo uscmos dos números que multiplicdos sen sumdos 8, estos son, l fctorizción es: 8 Fctorizr - -8 el resultdo es - El cso más generl es donde el coeficiente del primer término del trinomio se diferente de uno, estos trinomios son de l form e fd deen provenir del producto de dos inomios de l form c d : c d c d c d e f g Se dee cumplir que : e c, f dc, gd Esto signific que deemos uscr los fctores de e g, cominrlos decudmente pr otener f. Fctorizr -7- Los fctores de son 8, los fctores de son Promos cominciones st otener -7, como el tercer término del trinomio es negtivo los fctores del deen tener diferente signo: - -- no cumplen si cumplen Fctorizr 9-9 Fctores de, Fctores de 9, 9 Con un poco de ingenio podemos drnos cuent que l fctorizción es:

42 Fundmentos de Álger Ejercicios.-.- Fctorizr cd trinomio: c.- c c- d.- -- e.- -8 f.- - g z -z8 i j.- c 0c8 k.- n n l.- 0 m.- 0 n.- -0 ñ.- -7 o.- -c-c p.- - q.- 000

43 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 8 FACTORIZACIÓ DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, SUMAS Y DIFERNECIAS DE CUBOS Ojetivo.- Fctorizr epresiones donde se tienen diferencis de cudrdos, sum diferencis de cuos Otro tipo de fctorizción es l de un diferenci de cudrdos l cul d como resultdo el producto de dos inomios conjugdos, cuos términos son l ríz cudrdo de los términos de l diferenci de cudrdos $ - - $$, por ejemplo: n - n n n n - n [ ][ ] 9 Ls cutro últims fctorizciones son de sum importnci en l solución de ecuciones cudrátics. Ejercicios.-.- Fctorice cd epresión: c - c.- - d e.- - f.- c m - m g Un diferenci de cuos se puede fctorizr usndo l identidd este resultdo se otiene l relizr l división resultdo es. Ejemplos: c - 9 c - c - c c cuo

44 Fundmentos de Álger Un sum de cuos se fctoriz con l identidd. El trinomio - no se puede fctorizr. Ejemplos: 8 - c 9 c c - c c 8-9 Ejercicios.-.- Fctorice ls siguientes epresiones 7 c - c 9 d e n n f 8

45 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 9 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Ojetivo- Relizr operciones donde se plique ls regls de los productos notles se fctoricen epresiones No que perder de vist que ls regles son tn solo vís más prctics, en lguns ocsiones, pr otener un resultdo. Pero ests pueden olvidrse o confundirse fácilmente lo que puede ocsionr un plicción incorrect de ls misms. Lo más recomendle prenderse un regl trvés de l relizción repetid de ls operciones lgerics correspondientes cer uso de ls regls solo cundo se está seguro de que el resultdo es correcto..- Desrroll cd epresión usndo ls regls de los productos notles: e.-- d.- - e.- - f.-t -t g c m - m i.-d c -c j.- 8 k.- m - n m n l.-e -e -.- Fctoriz cd un de ls siguientes epresiones: -9- c -9 d -- e c c 9 f g j c c k - l cc m e -e n -7 ñ c c / ow 8 7w p r ru0vrutvt s t - - u --8 v m mn n w z - z 7-

46 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD 0 LA ECUACIÒN DE SEGUNDO GRADO OBJETIVO.- Conocer l form generl de un ecución de segundo grdo sus métodos de solución, identificndo los tipos de ríces. Un ecución del tipo c 0, en l cul,, c son constntes ritrris 0, se llm ecución de segundo grdo. Eisten tres métodos de solución pr ls ecuciones de segundo grdo: El de fctorizción, Completndo cudrdos Aplicndo l Fórmul Generl. El primer método se plic en trinomios que se pueden fctorizr como el producto de dos inomios prtir de los fctores se otienen ls ríces de l ecución, es decir, los vlores de l vrile que l stisfcen. Ejemplo: Resuelv fctorizndo l ecución : 0. Como l ecución tiene los términos en el ldo izquierdo, nos concretmos fctorizr dico miemro 0. Si se igul con cero cd fctor, entonces tenemos: 0 0, lo que nos llev que. Estos vlores con ls ríces de l ecución originl su vez, son l solución. Podemos concluir que un ecución de segundo grdo tendrá como solución siempre dos vlores de su vrile. Pr compror l solución, st con sustituir cd uno de ellos en l ecución plnted ést se convertirá en un identidd. Ejemplo: Resolver l ecución 9 0.ecución simple o incomplet. Su fctorizción es Por lo que genern ls 7 7 ríces. Ejercicios:.- Resolver por fctorizción ls siguientes ecuciones de segundo grdo: L fórmul generl que permite resolver un ecución de segundo grdo, se deduce prtir de l form generl c 0 se otiene que recie el nomre de Fórmul Generl Cus ríces son: c ± c. Est epresión c Pr l plicción de dic fórmul es necesrio identificr los vlores de, c. Esto se logr un vez que se le d l form c 0.

47 Fundmentos de Álger Por ejemplo. Pr resolver. Lo primero que deemos cer es trsponer términos igulndo con cero: 0. De donde se otiene, - c-. Sustituendo estos vlores en l fórmul generl: ± ± 88 ±7 se tiene que Resolviendo pr :. Que son ls ríces de l ecución. En este cso, dos números rcionles. L nturlez o el tipo de ríces que se otienen l resolver un ecución de segundo grdo, depende directmente de l epresión c, l cul recie el nomre de Discriminnte. En el siguiente cudro, se sintetizn los csos: VALOR DEL DISCRIMINANTE TIPO DE RAICES Si c > o cudrdo perfecto Rcionles diferentes Si c > 0 no es cudrdo perfecto Irrcionles diferentes Si c 0 Rcionles e igules Si c < 0 Imginris diferentes Ejercicios:.- Dds ls siguientes ecuciones de segundo grdo, identifique el tipo de ríces que se otendrán l resolverls: Resolver ls siguientes ecuciones de segundo grdo, usndo l fórmul generl:

48 Fundmentos de Álger sí ls ríces de un ecución son. Quién es l ecución?. 7

49 Fundmentos de Álger UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES Ojetivos:.- Simplifics frcciones lgerics.- Multiplicr dividir frcciones lgerics.- Sumr frcciones lgerics.- Simplificr epresiones con rdicles.-relizr operciones con rdicles.- Rcionlizr 7.-Relizr operciones pr el Cálculo 8

50 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD EXPRESIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Ojetivo.-Simplificr epresiones con frcciones lgerics Los números rcionles están formdos por el cociente de dos números enteros, por ejemplo: / -/ /7 -/9 En generl estos números se pueden epresr como con 0, or, si considermos el numerdor denomindor son epresiones lgerics, entonces tendremos un epresión rcionl o frcción lgeric, por ejemplo: En todos los csos nteriores el denomindor dee ser diferente de cero; continución se desrrolln métodos pr simplificr relizr operciones con epresiones rcionles. En primer lugr se trtrá l simplificción de frcciones lgerics, pr esto recordemos que un número rcionl se puede simplificr epresndo el numerdor 8 denomindor en fctores primos, por ejemplo l frcción se puede simplificr: 8 Lo nterior tmién se puede cer cncelndo los fctores comunes, recordndo que l cer esto se multiplic por l unidd: 8 / / / / / / Cundo se tienen epresiones rcionles podemos proceder de l mism mner, es decir epresr el numerdor denomindor en fctores cncelr los comunes. Ejemplo: Simplificr, Epresmos el numerdor denomindor en fctores Cncelmos fctores comunes: / / / / Simplificr el numerdor es un diferenci de cudrdos en el denomindor podemos fctorizr por fctor común: Se elimino el fctor común. Un error mu común es trtr de cncelr ntes de epresr en fctores: / / 9

51 Fundmentos de Álger Un mner de compror si tenemos un error es sustituir un vlor en l vrile, como los resultdos son equivlentes ecepto pr - *, el resultdo de l operción deen coincidir, tomemos : Como se oserv los results no coinciden Pr simplificr epresiones rcionles que tener mu uen mnejo de l fctorizción, gmos otros ejemplos: Simplificr inomios: fctorizndo el numerdor denomindor como producto de dos 8 Simplificr en este cso el numerdor es un diferenci de cuos el denomindor un diferenci de cudrdos: Simplificr fctorizndo el numerdor por grupmiento Aprentemente no podemos cncelr ningún fctor, si oservmos l epresión del denomindor solo tiene cmidos los signos, pr cmirle de signo l nteponemos un signo negtivo: * En l epresión originl - ce que el denomindor se cero, pero en el resultdo simplificdo pr este vlor si eiste l epresión. 0

52 Fundmentos de Álger Ejercicios.-.- Simplificr cd un de ls siguientes epresiones rcionles l k j i g f e d c 8 8 k k k

53 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Ojetivo.- Relizr operciones donde multipliquen dividn frcciones lgerics Al multiplicr dos números rcionles, se multiplic el numerdor denomindor de cd epresión, por ejemplo: 0 0 En el cso de epresiones rcionles se proced de l mism mner: Pr simplificr se procede de l mism mner que en l sección nterior, fctorizndo cd epresión pr cncelr fctores comunes: En generl pr multiplicr epresiones rcionles se fctoriz el numerdor denomindor en cd epresión enseguid se cnceln fctores comunes: 9.- Reliz cd uno de los siguientes productos f 0 e d c Pr dividir epresiones rcionles se us el mismo criterio que pr los números rcionles: 7 7 7

54 Fundmentos de Álger Se oserv que l división l podemos trnsformr en un multiplicción, simplemente tomndo el reciproco de divisor, en ls epresiones rcionles el procedimiento es el mismo: Fctorizndo cd epresión: Reliz ls operciones siguientes g f e 9 d 8 8 c 9 7 z z z z z

55 Fundmentos de Álger ACTIVIDAD SUMA DE FRACCIONEA ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS Ojetivo.- Sumr frcciones lgerics simplificr frcciones complejs Al sumr números rcionles es necesrio primero otener el mínimo común denomindor, el cul es el resultdo de l fctorizción de cd denomindor en sus fctores primos se tomn los fctores diferentes elevdos l potenci mor: 7 00 Fctorizndo cd denomindor en fctores primos: El M.C.D. es 900, usemos el lgoritmo pr l sum de rcionles: En el cso de epresiones rcionles el procedimiento es nálogo, es decir cd denomindor se epres en fctores se tomn los fctores diferentes elevdos l potenci mor, por ejemplo: Los denomindores están epresdos en fctores, el M.C.D. es, or dividimos el M.C.D. entre cd denomindor el resultdo se multiplic por su numerdor correspondiente: Enseguid se simplific l epresión resultnte, en este ejemplo no es posile. Ejemplo: 8 9 fctorizmos cd denomindor: l primer epresión podemos simplificrl 0 L epresión resultnte no se puede simplificr. Otro ejemplo fctorizndo cd denomindor: L simplificción se dej l lector.