Simetría esférica. Métrica de Schwarzschild.

Transcripción

1 Simetía esféia. Métia de Shwazshild. 9

2 Geometía de Shwazshild Soluión de la euaión de Einstein paa el aso más simple y más útil: espaio vaío en el exteio de una fuente de uvatua mateia/enegía esféiamente simétia. GM GM ds dt + d + dθ +sen θdϕ Pemitió ealiza las puebas lásias de la RG: enojeimiento gavitatoio, peesión del peihelio, desviaión y etaso de luz. Caateístias de la geometía: ξ E,0,0,0 Independiente del tiempo ξ 0,0,0, Esféiamente simétia -supefiie on t, tes dσ dθ +sen θdϕ métia indepte de ϕ Masa/enegía total M de la fuente de uvatua efeto no lineal GM apox. Newton ampo Φ g ; Φ GM débil estátio on GM Radios espeiales: 0 y adio de Shwazshild R s GM / g + QQ Calúlalo paa Sol, WD, NS, BH y ompueba si R>Rs

3 Óbitas de patíulas. Consevaión. Coodenada no es distania desde ningún ento sino algo que tiene que ve on el áea en -esfeas de t, R tes: da gθθ g ϕϕ dθdϕ senθdθdϕ A da R senθdθ d ϕr π 4 πr eyes de onsevaión unidades geometizadas G o sistema []: M d t ξ E u te E la patíula obita en un plano, pues, suponiendo que dϕ en un instante dado la veloidad está ontenida en ξ u te sen θ meidiano libe eleión de ejes, 0 y po tanto se 0 te QQ Geodésias -esfea queda siempe en ese meidiano: dϕ / 0 π dϕ Reoientamos plano obitaleuatoial: θ te u θ 0 M d t M d dϕ α β u u g αβ u u + + patíulas M M E + W ef d E d + ϵ M M + 3 d ϵ +W + ef [ M + QQ ve anexo Movimiento newtoniano bajo fueza ental gavitatoia GYAapuntesRG5.pdf ]

4 Compaaión aso newtoniano GM GM W ef + 3 QQ Pasando el potenial efetivo a unidades MT: obtenemos la siguiente oespondenia on la enegía newtoniana: [ d d GMm GM E Newt m ϵ m +m W ef m m m m { ] oeión elativista E Newt E Newt E Newt m +E Newt E E Newt m ϵm E + + E+ m m m m

5 Tipos de óbitas QQ Dibujamos Wef y busamos extemos Paa [ ] M 0 min ± d M max dw ef < deja de habe extemos y Wef siempe es negativo M Paa > hay un un mínimo y un máximo; éste estaá po enima M de Wef0 si > 4 y po debajo en aso ontaio M Puntos de etono PR, se desvanee la veloidad adial: ϵw ef PR Tipos de óbitas paa > M Ciulaes M Inestable max M M Estable min + M igadas ente dos puntos de etono ϵ< 0 0 <ϵ<w max Rebote ef Caída haia el ento ϵ>w max ef [ ] [ ]

6 Tipos de óbitas de patíulas

7 Óbitas de aída libe adial 0, desde el infinito, donde la enegía iniial inétia Caída adial Caso ϵ 0 ϵ 0 E dt en el infinito el espaio es plano d d M d M ϵ +W ef 0 ± dt M E ϵϵ K >0 ϵϵ K 0 [ 3, 0 τ M M u α ímites de integaión: ττ Genealmente busaemos pimeo obtene tt τ M dt dt dt M E d d [ d M tt M, 0, 0 / 3, /3 geodésia haia dento ] τ τ /3 y luego usaemos [ M dt M / M / + +log / M / / τ M paa ]] QQ Intega Tiempo ente M y 0 es infinito paa t peo finito paa tau malas oodenadas tt + M 3 M 3/ M /

8 Óbitas iulaes estables Son óbitas on min donde min disminuye on /M hasta el límite ISCO Innemost stable iula obit ISCO ] [ M min + M ISCO min 6 M M Veloidad angula on t medido po obsevado estaionaio en infinito dϕ dϕ / M Ω dt dt / E Paa óbitas iulaes de dado, y E deteminados po dos ondiiones: Potenial efetivo es mínimo en min ϵ ϵw ef min M / QQ Enonta oiente M E 3ª ley de Keple Ω Cuadiveloidad M Ω M 3 on peíodo P π / Ω M u u,0,0, Ω u Ω α t t E M M + 3 min min min / 3M /

9 Óbitas ligadas: peesión Busamos W ef [ ϕ M d ϵ : + +W ef ] d ± ϵ W ef M ϵ W ef E dϕ dϕ ± d d [ + ] M E + M E + Se iean las óbitas al volve a pasa po el mismo PR? eada si ángulo baido ente pasos suesivos po PR: Δϕ π Peesión δϕ p Δϕ π Que se anule d / signifia que se anula la aíz en denominado y bastaá intega ente los adios paa los que se anula éste. d Δϕ ϕ GM GM E + + 3

10 Óbitas ligadas: peesión E Newt E y se obtiene QQ Compoba que paa / 3 0 m Cambiando de vaiable la integal se puede esibi: du Δϕ u/ QQ Enonta [ u u u u ] Δϕ π π 6 πg M 43 '' / siglo a e δϕ p paa Meuio Manteniendo el témino elativista: GM d Δϕ / fato omún Desaollando [ GM Δϕ + GM GM E + uadátio en u hasta oden π GM u +u π udu +... ] [ u udu u u ] + GM u u u u ] [ GM Se llega hasta δϕ p 6 π y en óbitas de Newton dϕ dϕ GMa e dt

11 Óbitas de fotones. Consevaión. Paametizando tayetoias lumínias on λ : eyes de onsevaión α ds 0 u u g αβ dx dx β 0 dλ dλ M d t ξ E u te E dλ dϕ ξ u te sen θ dλ M d t M d dϕ u u g αβ u u dλ dλ dλ M M d E dλ α β Multipliando po M llegamos a: fotones E d dλ b +W fot W ef M fot ef Con patíulas podíamos juga on difeentes valoes de y de E. Con fotones sólo podemos juga on el oiente b, que detemina las E popiedades de las óbitas.

12 Óbitas de ayos de luz b es paámeto de impato si óbita en infinito M : dϕ / dλ dϕ b dt / dλ dt E tan ϕ ϕ d / d / dt Máximo del potenial en 3M fot W ef,max 3 M dϕ dϕ d b dt d dt 7 M Tipos de óbitas Ciula inestable 3 M Rebote en PR b < Caída al ento b > b 7 M 7 M 7 M

13 Óbitas ente M y 3M Tayetoias que salen de adios ente M y 3M: Si b > el ayo esapa 7 M Si b < hay PR y el ayo ae 7 M haia el ento Como b / E, si el ayo sale on momento angula sufiientemente pequeño apuntando ea de la dieión adial, entones esapaá. Si no, vuelve haia la fuente.

14 Desviaión y etaso de la luz QQ Ejeiios pátios y expeimentos de pueba de la RG Desviaión de la luz δϕ 4 Retaso de señales Δt GM b [ ] 4 R T 4 GM log + 3