Capítulo 1 APLICACIONES LINEALES
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- Ana Isabel Rico San Martín
- hace 9 años
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1 Cítlo : lccoes Leles Cítlo PLICCIONES LINELES Itrodccó El coceto de leldd es m ttvo rece e múltles stcoes de l vd cotd sí, s erso, eectdo trbjo ercbe slro (), trbjdo el doble, or ejemlo, cbe eserr qe s slro tmbé se dlqe, es decr: () = () S relz trbjo etr, ss resos será l sm de los slros ercbdos or mbs occoes: (+) = () + () Ls dos roeddes terores qe v crcterzr ls lccoes leles etre escos vectorles, se llm codcoes de leldd Nos cetrremos e el estdo de ls lccoes leles de esco vectorl e sí msmo, so ls llmds trsormcoes leles o edomorsmos U vez jd bse e el esco vectorl, cd edomorsmo le socremos mtrz cdrd de orm ívoc Hblremos dsttmete de edomorsmo o de s mtrz socd lzremos bjo qé codcoes este bse del esco vectorl tl qe l mtrz socd l edomorsmo resecto de dch bse se mtrz dol, co l qe es mcho más secllo oerr lo lro del tem, V V será dos escos vectorles de to to sobre el msmo cero comttvo K Decó U lccó : V V' es lccó lel homomorsmo de V e V cdo verc ls dos codcoes de leldd setes:,, V, K, V U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
2 Cítlo : lccoes Leles Not mbs codcoes terores so eqvletes l sete codcó úc: Not,, K,, V Emledo el método de dccó, se demestr qe s es lccó lel, etoces:, K, V,,,, Ejemlos Se V = V = K = R, sedo R el cojto de úmeros reles co s estrctr corresodete e cd cso (de esco vectorl o de cero) L lccó :R R es lel E eecto, r clesqer, V K, se verc ls dos codcoes: Se de evo, V = V = K = R L lccó :R R o es lel De hecho o cmle de ls dos codcoes de leldd: Leo, e eerl, Por tto,, slvo r, ó U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
3 Cítlo : lccoes Leles Se lel VR, V' R K R L lccó : R R (,) (,, ) es E eecto, s (, ), (', ' ), se verc: ', ' ',, ' ',, ',, ' ' 4 Se V esco vectorl sobre cero K Se F G sbescos slemetros de V, es decr, F G V F, G Cd vector de V se descomoe de orm úc co Vemos qe l lccó : V V llmd roeccó vectorl de V sobre F seú l dreccó de G, es lel G F F Proeccó vectorl Somos qe tmbé es co F, G ; etoces: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
4 Cítlo : lccoes Leles U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4 5 jo ls msms hótess del ejemlo teror, l lccó s : V V llmd smetrí vectorl resecto de F seú l dreccó de G, es lel F Smetrí vectorl Probémoslo: s s s s s 4 Tos de homomorsmos 4 Decó Se lccó lel de V e V S V = V, es trsormcó lel o edomorsmo de V es moomorsmo cdo es ectv es emorsmo cdo es srectv es somorsmo cdo es bectv S es bectv V = V, es tomorsmo F G s
5 Cítlo : lccoes Leles Ejemlo Se V K-esco vectorl de dmesó Se bse de V L lccó : V K v,,,,,, es somorsmo, sedo,,, ls coordeds de v resecto de l bse L demostrcó se dej como ejercco Debdo este somorsmo, se detc co recec los escos vectorles de dmesó co K se hce eqvler cd vector v co ss coordeds resecto de determd bse 5 Cosececs de l decó de lccó lel V V', V Demostrcó Por ser lel, se verc V V V V V Restdo V e mbos membros, se obtee or qe V V' Pr demostrr qe los vectores so oestos, comrobemos qe l smrlos se obtee el vector V' : V V ' lcdo qe es lel l cosecec recé demostrd rtr de este mometo, escrbremos r reerros tto V como V' U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
6 Cítlo : lccoes Leles 6 Núcleo e me de lccó lel Podemos socr cd lccó lel sedos sbescos vectorles de V V resectvmete, qe je el mortte e el estdo de l lccó; so los llmdos úcleo e me de 6 Decó Llmmos úcleo de l lccó lel : V V', lo reresetmos or N, l sstem de vectores de V c me es el Es decr, N V / L me de, e cmbo, es el sstem de vectores de V qe so me de lú vector de V Lo reresetmos or Im Im : V' / V co Ejemlos: sqemos el úcleo l me de ls de ls lccoes leles eests terormete como ejemlos trs l decó de homomorsmo Núcleo e me de l lccó del ejemlo : :R R Por decó de úcleo, N Leo, N Pr todo R, se verc qe = s sólo s, leo, Im R ; es decr, s sólo s Otr ormr r hllr l me de es sr el sete resltdo (rooscó ) qe demostrremos más delte: dm V dm N dm Im sí, lcádolo este ejemlo cocreto, se obtee: dm R dm N dm Im dm Im 6 U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
7 Cítlo : lccoes Leles Por tto, Im dm e Im R Núcleo e me de l lccó del ejemlo 4 (roeccó de V sobre F seú l dreccó de G): : V V U vector etoces V F G G erteece Leo, N G N s sólo s H de ser E cmbo, Im F qe: Im F or l ro decó de,, s F tmbé F Im, etoces Im, leo, Cosderemos hor el ejemlo 5 de l smetrí vectorl s resecto de F seú l dreccó de G: s : V V Se verc qe, qe l ser F G sbescos s s slemetros, F G Por tto, h de ser Pr todo = V, es s N s, leo, s V Im, 7 Proeddes de ls lccoes leles Se : V V' lccó lel Se verc ls setes roeddes: 7 S F es sbesco vectorl de V, etoces Fes sbesco vectorl de V U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 7
8 Cítlo : lccoes Leles Demostrcó Se ', ' vectores de F Este etoces vectores ' Se, esclres de K Por ser lel se verc: ' ' Como F es sbesco vectorl de V, el vector ' ' erteece F ', de F tles qe erteece F, leo, s me Está robdo es qe F es sbesco vectorl de V 7 S G es sbesco vectorl de V, etoces G vectorl de V Demostrcó Se es sbesco, vectores de G Ss máees, so vectores de G Se, esclres de K Por ser G sbesco vectorl de V, se verc qe G Como es lel, lo teror es eqvlete escrbr G Por tto, G es sbesco vectorl de V G Leo, 7 El úcleo de es sbesco vectorl de V Demostrcó Por decó, es N l roedd 7, se obtee qe Como es sbesco vectorl de V, lcdo N es sbesco vectorl de V 74 L me de es sbesco vectorl de V Demostrcó Por decó, es V roedd 7, se obtee qe Im Como V es sbesco vectorl de V, lcdo l Im es sbesco vectorl de V 8 U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
9 Cítlo : lccoes Leles 75 S S es sstem eerdor de V, etoces, S es sstem eerdor de Im Demostrcó Se S,,, sstem eerdor de V Se Im Este vector V qe Como S eedr V, este esclres,,, tles qe Leo, clqer vector,,, sí, lcdo qe es lel, se tee qe de, cosecetemete S Im es combcó lel de los vectores es sstem eerdor de Im 76 S S es sstem ldo de V, etoces, S es sstem ldo de V tl Demostrcó Se S,,, sstem ldo de V Este etoces esclres,,, o todos los tles qe Leo S Usdo qe es lel, se obtee:,,, es ldo 77 S S es sstem lbre de V, etoces, S' es sstem lbre de V Demostrcó Se S sstem lbre de V S S' er ldo, estrí vector S' combcó lel de certos vectores Es decr, estrí esclres,,,,, de S', de K tles qe qe serí sí, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 9
10 Cítlo : lccoes Leles Leo, serí combcó lel de,,,, erteecedo estos vectores S qe er sstem lbre Hemos lledo l bsrdo soedo qe lbre S' er ldo E cosecec, S' es 8 Corolro S,,, es bse de V, ede obteerse bse de Im rtr del sstem de vectores de V,, vectores qe se combcó lel de los demás,,, elmdo del msmo los Este resltdo es cosecec medt de l roedd 85, qe clqer bse de V es or decó sstem eerdor de V rtr de l sete rooscó, observemos cómo ls máees de los vectores de bse de V determ de orm úc l lccó lel 9 Prooscó U lccó lel qed determd s se cooce ls máees de los vectores de bse Es más: Se,,, bse del esco vectorl V Se S,,, sstem clqer de vectores del esco vectorl V Este úc lccó lel : V V' tl qe,,, Demostrcó Pr cd vector demos: Se verc: de V, co K,,,, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
11 Cítlo : lccoes Leles,,,, or l ro decó de es lel: Se,, z V K,,,, tles qe sí, z z Leo, es lel, K Por ser bse de V, este esclres z,, or decó de se tee qe z es úc: Se : V V' otr lccó lel tl qe,,, Pr clqer vector verc qe de V, co K,,,, or ser lel, se or l ro decó de Probemos hor r de resltdos reltvos los sbescos úcleo e me de, l sedo de los cles os hemos reerdo terormete Prooscó U lccó lel de V e V es ectv s sólo s N Demostrcó Codcó ecesr: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
12 Cítlo : lccoes Leles Somos qe es ectv S ester vector vectores deretes co l msm me, hótess, es ectv Por tto, N N tl qe, tedrímos dos, lo cl es bsrdo qe, or Codcó scete: Somos hor qe N Se, V tles qe Por ser lel, Leo N Cosecetemete, or hótess,, es decr Y está robdo qe es ectv Prooscó Se : V V' lccó lel Se verc qe dm V dm N dm Im Demostrcó Somos qe dm V qe dm N Se N Comletmos N hst obteer bse de V, Demostremos qe Se Im I,, es bse de Im Se V tl qe N,,, bse de,,,,,, E eecto: Por ser bse de V, este esclres,, K tles qe Como es lel, se tee qe Pero, or ser,,, vectores de N Qed sí demostrdo qe, I eedr Im, ss máees medte so el vector, leo U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
13 Cítlo : lccoes Leles Vemos hor qe S I es lbre, como es lel, se tedrá qe Leo, el vector los vectores de N se ede escrbr como combcó lel de N : es decr, sí,, or ser bse de V, or tto, sstem lbre U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
14 Cítlo : Trsormcoes Leles Itrodccó Cítlo TRNSFORMCIONES LINELES De hor e delte, lo lro del tem cosderremos V V', co dm V = Es decr, vmos estdr ls trsormcoes leles ó edomorsmos de esco vectorl V Emecemos or s eresó lítc Eresó lítc de trsormcó lel Se,,, bse del esco vectorl V S vector tee de coordeds, resecto de l bse, cáles so ls coordeds,,,,, resecto de l bse? de, or ser lel Somos qe,,,, r certos j K,,,, j,, Se tee etoces qe: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
15 Cítlo : Trsormcoes Leles Por tto, de resecto de l bse ; ésts so ls eccoes ó l eresó lítc Coocedo,,,,,,, ls eccoes terores ermte clclr Ests eccoes ede escrbrse e orm mtrcl: es decr,, sedo M K l mtrz se l llm mtrz socd resecto de l bse ; se escrbe M, tee or colms ls máees de los vectores de l bse eresds e l msm bse Ejemlo Cosderemos el esco vectorl V R sobre el cero K = R Se : R R (, ) (, ) ', ' L mtrz socd resecto de l bse cóc tedrá or vectores colm: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
16 Cítlo : Trsormcoes Leles c c,,,, Es decr, Y ddo, or ejemlo, el vector, ', es decr, ' Leo,, qé será? Cbe observr qe cdo l bse qe mejmos es l cóc, se ede roceder de otr orm m secll r el cálclo de : ' Es clro qe or decó de ; lo qe es eqvlete escrbr: ' sí, r ' ' U vez escrt l lccó e est orm, odrímos hber demostrdo qe er lel de mer m secll: S, ' ', ' so vectores clesqer de R roeddes de ls oercoes co mtrces, se tee qe:, R, lcdo ls 4 Prooscó Sedo co l msm otcó qe e l eresó lítc de trsormcó lel, se verc: Los vectores colm de so sstem eerdor de Im() L dmesó de Im() cocde co el ro de U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 6
17 Cítlo : Trsormcoes Leles Demostrcó Por l qt roedd de ls lccoes leles, l me de sstem eerdor de V es sstem eerdor de Im() Pero, los vectores colm de so recsmete ls máees de los vectores de l bse, qe or decó es sstem eerdor de V L dmesó de Im() es, or el rtdo teror, el úmero de vectores colm lelmete deedetes de, es decr, cocde co el ro de or el teorem del ro Ejemlo Hllr el úcleo l me de l trsormcó lel del ejemlo, : R R (, ) (, ) N R / ; ero, s solo s Leo, r hllr el úcleo de h qe resolver el sstem homoéeo: Por ser, el sstem teror solo dmte l solcó trvl N Im vectores colm de,,, Como Im R, dchos vectores colm so lelmete deedetes e Tmbé odrímos hber obtedo este últmo resltdo teedo e cet qe dm R dm N dm Im 6 Relcó etre trsormcoes leles mtrces Dd trsormcó lel M K : V V, vez jd bse de V, odemos socr M,, mtrz qe determ de orm úc, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 7
18 Cítlo : Trsormcoes Leles U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 8 Recírocmete, dd mtrz K M, odemos costrr el edomorsmo K K : tl qe M, C, sedo C l bse cóc de K Dcho edomorsmo es úco qe qed determdo or ls máees de los vectores de l bse cóc, es decr, or los vectores colm de Por tto, vez jd bse de V, reerros ó M,, es eqvlete S o se dce lo cotrro l bse será l cóc 7 Oercoes etre trsormcoes leles Se es lel V / V : V L Se V L, K Se bse de V Demos l sm de como l lccó V V : tl qe V, Se verc: + es trsormcó lel de V b M, M,, M c V, L es ro comttvo Demostrcó K, V,,, Hemos lcdo l decó de sm e L(V) qe so leles b Se, M M M, M, M, M Se verc qe M M M M Leo M M M c Por ser K, M ro comttvo teedo e cet l relcó etre trsormcoes leles mtrces, se verc qe V, L es tmbé ro comttvo Demos el rodcto de esclr or edomorsmo como l lccó V V : tl qe V, Se verc:
19 Cítlo : Trsormcoes Leles U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 9 es trsormcó lel de V b M,, M c V,, L es esco vectorl sobre el cero K Demostrcó Se dej como ejercco or ser álo l del rtdo teror El rodcto ó comoscó de los edomorsmos es l lccó: V V V tl qe V, Se verc: es trsormcó lel de V b M, M,, M c, V, L es llo o comttvo Demostrcó Por l ro decó de or ser leles, K, V,, se verc qe: Leo, es trsormcó lel de V b Pr cd V, se verc qe: M M M M M Leo, M M M c, V, L es llo o comttvo or serlo K,, M 8 Crcterzcó de ls trsormcoes leles bectvs Se V V : trsormcó lel del esco vectorl V de dmesó Se bse de V M, Ls setes rmcoes so eqvletes:
20 Cítlo : Trsormcoes Leles es bectv es ectv N 4 es sobreectv 5 r() = 6 7 L me de sstem lbre de V es tmbé sstem lbre de V Demostrcó Por l ro decó de lccó bectv (ectv sobreectv) Está robdo terormete e (á ) r lccoes leles e eerl 4 Por hótess, dm N() = dm V =, leo dm Im() = or vercrse qe dm V = dm N() + dm Im() Por tto, Im () = V, es decr es sobreectv 4 5 Por ser sobreectv, Im() = V E cosecec, los vectores colm de so bse de V or tto so lelmete deedetes lcdo el teorem del ro se cole qe r() = 5 6 Por decó de ro de mtrz 6 7 Se S,,, sstem lbre de V S, etoces, or ser lel: Por ser, es versble mltlcdo or or l zqerd e los dos membros de l ldd teror, se obtee: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
21 Cítlo : Trsormcoes Leles Y como S es sstem lbre, se cole qe, leo,,, es lbre 7 Pr demostrr qe es bectv, robemos qe es sobre e ectv Por hótess, los vectores colm de M, or ser ls máees de los vectores de l bse sí es, r dm Im so lelmete deedetes Por tto, Im() = V, es decr, es sobreectv Se verc qe dm N() = dm V - dm Im() = = Leo, ectv N es 9 Cmbo de bse e trsormcó lel Se trsormcó lel de esco vectorl V Se dos ' M,' bses dstts de V Se ls mtrces M, scmos l relcó estete etre Se P l mtrz de cmbo de bse de E esqem, l stcó qe teemos es l sete: ' ' ' P P Por l ro decó de ls mtrces qe tervee e el esqem teror, se verc: ' P P P P ' Leo, l relcó bscd es: ' P P U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
22 Cítlo : Trsormcoes Leles Ejemlo Demostrmos e el ejemlo qe l trsormcó lel : R R (, ) (, ) tee como mtrz socd resecto de l bse cóc l mtrz S cosdermos hor l bse de socd resecto de est ev bse? R,,,,, cál es l mtrz ' P P sedo P l mtrz de cmbo de bse de l bse cóc Es, or tto, P, qe tee or mtrz vers De est orm, se tee qe: P ' 6 5 Obsérvese qe l mtrz odrí hberse hlldo drectmete bscdo ss vectores colm: c, c,,,, 5 4, 6 6, 5, 6 5 6, Vectores sbescos vrtes or trsormcó lel Se trsormcó lel de V U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
23 Cítlo : Trsormcoes Leles Decó U vector de V es vector vrte or (ó de) cdo Prooscó El sstem F de vectores vrtes or es sbesco vectorl de V, llmdo sbesco vectorl de vectores vrtes de Demostrcó Se, F, K Por ser lel ser e vectores vrtes or, se tee: Leo F está robdo qe F es sbesco vectorl de V Decó U sbesco clqer F de V decmos qe es sbesco vrte or (ó de) cdo F F; es decr, s F, etoces tmbé F 4 Observcoes S es bectv, F es sbesco vrte cdo F F El sbesco de vectores vrtes de es sbesco vrte de 5 Prooscó S F G so sbescos vrtes de, etoces: G F es sbesco vrte de F + G es tmbé sbesco vrte de U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
24 Cítlo : Trsormcoes Leles Demostrcó Se F G sbescos vrtes, tmbé Se verc etoces qe F G sí, or ser F G F G Leo, F G Se F G Es etoces, verc: v co F v v v G Por ser lel se Como F G so sbescos vrtes de, se tee qe F teedo e cet l ldd teror, está robdo qe F G v G Leo, Ejemlos:, V, Im() N() so sbescos vectorles de clqer trsormcó lel 6 Cosderemos el edomorsmo de R ddo or:,,z 6z, 6 8 6z, 4z 6 L mtrz socd resecto de l bse cóc es Cosderemos los vectores,,,,,,,, Clclemos ss máees:,,,,,, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
25 Cítlo : Trsormcoes Leles Los sbescos, F G so vrtes (verlo), (leo, R so bses de F G resectvmete F G ) L mtrz socd resecto de l bse es ' ',, es bse de R Resecto de est bse (ormd or vectores cs máees so roorcoles resectvmete dchos vectores), vee es reresetd or mtrz dol L mtrz ermte estdr certos sectos de de orm mcho más secll qe co l mtrz Por ejemlo: r( )=, leo dm Im() = ; de hecho, Im( ), N No todos los edomorsmos de esco vectorl V ede reresetrse medte mtrz dol E el sete cítlo lzremos bjo qé codcoes este bse de V tl qe l mtrz socd resecto de dch bse se mtrz dol U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
26 Cítlo : Trsormcoes Leles Decó Cítlo REDUCCIÓN DE MTRICES Dos mtrces cdrds M K mtrz cdrd versble P K M so semejtes cdo este tl qe ' P P Ejemlo Mtrces socds l msm trsormcó lel, resecto deretes bses, so semejtes Recírocmete, s so semejtes, ede costrrse edomorsmo : K K tl qe reresete resecto dos bses deretes de K, resectvmete Pltemeto del roblem Ddo edomorsmo de V, este bse de V tl qe l mtrz socd resecto de dch bse se mtrz dol D M,'? O be, dd mtrz K, este mtrz dol D semejte? M Ejemlo L mtrz hbrí de ser decr, o es semejte mtrz dol Pr qe sí ocrrer, b D P P, r l mtrz P versble D c d Es PD P Pero: PD P c b d c b d c b d c b b d Ildo los elemetos de ests dos mtrces, se obtedrí qe: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 6
27 Cítlo : Trsormcoes Leles 4 b c d b c b d S =, etoces b ( qe, e cso cotrro, serí P, lo cl es bsrdo es P es mtrz versble) sí: b b 4 d b d b b lo cl es bsrdo seú hemos vsto S, etoces: c c qe es bsrdo or hótess Ejemlo 6 L mtrz 6 8 6, e cmbo, sí es semejte mtrz dol 4 D, seú se vo e el árro 6 Decó U mtrz M K mtrz dol D K es dolzble e K s es semejte l M U edomorsmo de V es dolzble e K cdo lo se s mtrz socd resecto cert bse Es decr, es dolzble cdo est bse de V tl qe l mtrz D = M(, ) se mtrz dol U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 7
28 Cítlo : Redccó de Mtrces 4 Observcó Cómo deberí ser los vectores de l bse ' v, v,, v r qe l mtrz D M, ' er de l orm D? Por decó de mtrz socd edomorsmo resecto de bse, l colm - ésm de est mtrz D estrí ormd or ls coordeds del vector bse ; etoces, hbrí de ser: v resecto de l v v v v v v, =,,, Leo, los vectores de l bse hbrí de ser vectores v o los (or ormr rte de bse de V), tles qe ss máees er vectores roorcoles (rlelos) ellos msmos Teedo e cet qe v v, sedo l mtrz socd resecto cert bse, los vectores v de l bse hbrí de vercr qe =,,, Formlcemos estos cocetos v v, r certos K, 5 Decó Llmmos vector roo ó tovector ó vector crcterístco de edomorsmo de V (ó de s mtrz socd resecto cert bse ) vector o lo r el cl est esclr K tl qe, es decr, Se dce qe es vlor roo ó tovlor ó vlor crcterístco de (ó de s mtrz socd resecto cert bse ) qe es vector roo socdo socdo l vlor roo U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 8
29 Cítlo : Redccó de Mtrces 6 Observcoes El coceto de vector roo está be dedo qe es evdete qe es vector roo de s solo s es vector roo de clqer mtrz socd Lo msmo ocrre co l decó de vlor roo Dd mtrz M K vectores vlores roos de so los de, dee semre edomorsmo : K K los U vector roo está socdo úco vlor roo E eecto: S er tmbé, etoces, leo qe or ser vector roo 4 E cmbo, cd vlor roo le corresode sstem de vectores roos qe, jto co el vector, costte, como demostrremos más delte, sbesco vectorl de V 5 U vector roo, or decó, es dstto de, e cmbo, vlor roo ede ser 7 Teorem U edomorsmo : V V ó s mtrz socd resecto de cert bse de V, es dolzble e K s solo s este bse ' v, v,, v de V ormd or vectores roos de demás, l mtrz dol D semejte, qe es l mtrz socd resecto de l bse, tee e l dol rcl los resectvos vlores roos corresodetes los vectores roos de l bse Es decr, es semejte roo corresodete v, r =,,, D, sedo el vlor U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 9
30 Cítlo : Redccó de Mtrces L mtrz P qe ermte l dolzcó, es decr, tl qe D P P, tee or -ésmo vector colm ls coordeds del vector roo v resecto de l bse de rtd Demostrcó L demostrcó se bs e l observcó 7 es dolzble s solo s este bse ' v, v,, v de V tl qe l mtrz M,' D se mtrz dol sí, será: D v ' v ' v ' v v v v v ' v, Por tto, v,,,,,, =,,, Leo, los vectores de l bse so vectores roos socdos los vlores roos,,,, resectvmete Por otro ldo, se vercrá qe P P D r l mtrz P de cmbo de bse de sí, l -ésm colm de P será el vector v eresdo e l bse 8 Corolro U mtrz M K es dolzble s solo s este bse ' v, v,, v de K ormd or vectores roos de El resltdo es medto rtr del teorem teror de l observcó del árro 9 Ejemlo El edomorsmo de R, cosderdo terormete, ddo or:,,z 6z, 6 8 6z, 4z U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
31 Cítlo : Redccó de Mtrces es dolzble, es, seú se vo e el rtdo del árro 6, l mtrz socd resecto de l bse ',,,,,,,, mtrz dol es D qe es es bse R ormd or los vectores roos, socdos los vlores roos,, resectvmete 9 Cálclo de vlores vectores roos 9 Decó Llmmos olomo crcterístco de mtrz M K reresetmos or, l olomo de rdo e l vrble : I, lo L ldd I se llm eccó crcterístc de Pr desr l mtrz dd de orde, s o h lr cosó, emleremos smlemete I, e vez de I Ejemlo El olomo crcterístco de l mtrz es: I 9 Prooscó Demostrcó S ' M K olomo crcterístco so dos mtrces semejtes, etoces, tee el msmo Por ser mtrces semejtes, este mtrz versble P M K ' P P tl qe: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
32 Cítlo : Redccó de Mtrces leo, ' ' I P P I P P P I P P P IP P I P I P I 9 Decó Llmmos olomo crcterístco de edomorsmo de V l olomo crcterístco de clqer de ss mtrces socds, lo reresetmos or 94 Observcó Este coceto está be dedo esto qe tods ls mtrces socds resecto deretes bses, tee el msmo olomo crcterístco or ser mtrces semejtes 95 Prooscó Los vlores roos de edomorsmo de V ó de clqer de ss mtrces socds, so ls ríces de s olomo crcterístco Y los vectores roos socdos cd o de ss vlores roos so ls solcoes o trvles del sstem homoéeo de eccoes leles I v Demostrcó Por decó, esclr tl qe v v ; es decr, I v K es vlor roo de s solo s este vector v Pero, el sstem lel I v dmte solcoes dstts de l trvl s solo s I 96 Ejemlo Hemos clcldo e el árro 9 el olomo crcterístco de l mtrz resltó ser:, qe U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
33 Cítlo : Redccó de Mtrces Los vlores roos de so, or tto, ls ríces de este olomo: ríz doble Los vectores roos de so ls solcoes o trvles del sstem homoéeo: Iv Cosecetemete, los vectores roos de so los vectores de l orm, r clqer esclr o lo R Observemos qe l trz de es tr coecete de, e el olomo crcterístco demás, térmo deedete del olomo crcterístco Veremos más delte qe estos resltdos ede eerlzrse Proeddes de los vlores vectores roos El cojto de vectores roos de certo edomorsmo de V, socdos msmo vlor roo, jto co el vector, costte sbesco vectorl de V, llmdo sbesco roo socdo l vlor roo Lo deotremos or V Demostrcó Se, v V Demostremos qe v V, r todo r de esclres, K E eecto: v v v v qe es lel Leo, demostrdo qe v so vectores roos socdos ó be so v es el vector ó es vector roo socdo,, or tto, está v V U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí
34 Cítlo : Redccó de Mtrces S,,, so vectores roos socdos sedos vlores roos,,,, co j r j, etoces el sstem de vectores,,, es lbre Demostrcó Rzoemos or redccó l bsrdo somos qe este etero q co, el resltdo es trvl) tl qe el sstem q q,,, so combcó lel de los vectores del sstem lbre E rtclr, Podemos soer q (s,,, q es lbre los vectores, r certos esclres,, K q q, q,,, q, qe, e cso de qe lo er, obvrímos el escrbrlo e l combcó lel;, desde leo lú coecete de est combcó lel es dstto de or ser l ser vector roo de lcdo qe es lel l decó de vlor vector roo, se verc etoces qe: q q q q q Pero, tmbé: q q q q Ildo ls dos eresoes obteds r, qed: q q q q q De dode: q q q Lo cl es bsrdo, qe o ede hber combcó lel de vectores lelmete deedetes qe se l l vector s ser cero todos los coecetes E l U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
35 Cítlo : Redccó de Mtrces combcó lel recedete, de hecho, o de los coecetes es or ser,,,q ser j r j,, j,, S, ó l de ss mtrces socds M K sí, etoces es dolzble, tee vlores roos dsttos etre Demostrcó Est roedd es cosecec drect de l roedd teror, qe l teer, vlores roos dsttos etre sí, odemos ormr sstem de vectores roos lelmete deedetes (cd o de ellos socdo o de los vlores roos, resectvmete) Es decr, este bse de V ormd or vectores roos de, lo cl es codcó ecesr scete r qe se dolzble 4 L mltlcdd eométrc de vlor roo (es decr, l dmesó de V ) es meor ó l qe s mltlcdd lebrc (es decr, el orde de mltlcdd de como ríz del olomo crcterístco) Demostrcó Somos qe tee orde de mltlcdd como ríz del olomo crcterístco de Se,,, q bse de V Demostremos qe Comletmos ' M,' Por ser,,, q hst ormr bse de V, ' q vectores roos de socdos, se verc :,,, q, q,, Se,,,q ', stádose e l coorded -ésm,,, q, or tto,,,,,,, sí, reslt ser: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
36 Cítlo : Redccó de Mtrces ' q q q q q q q q q ' sedo,,,, q,, El olomo crcterístco de es: ' r certo olomo e, q ' I Por hótess, es vlor roo de, leo lo es de (or ser mtrz socd ) co el msmo orde de mltlcdd como ríz de ' Cosecetemete, observdo l descomoscó ctorl de, h de ser q ' 5 S es vlor roo co orde de mltlcdd o, es decr, s es ríz smle del olomo crcterístco, etoces, l dmesó de s sbesco roo socdo, V, es tmbé o Demostrcó Est roedd es cosecec medt de l roedd teror E eecto: lcdo este cso l roedd 4, se verc qe dm V Leo, dm V qe or decó de vector roo V, 6 (Geerlzcó de l roedd ) Se,,, vlores roos dsttos etre sí de mtrz M K Se verc: S,,, so bses de V,V,, V, resectvmete, etoces es lbre b S tee ectmete tovlores dsttos, etoces: es dolzble s solo s, ded como e el rtdo, tee ectmete vectores U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 6
37 Cítlo : Redccó de Mtrces Demostrcó Somos = (s >, l de de l demostrcó es l msm) Se, etoces,,,, v, v,, v q seds bses de V V resectvmete Etoces, es,,,, v, v,, v q Escrbmos combcó lel de los vectores de ld :, v v v q q demostremos qe todos los coecetes h de ser los El vector erteece V, leo roo socdo álomete, vector roo socdo Los vectores v v q v q v erteece V, leo v so lelmete deedetes, es ó be es vector v ó be v es v Cosecetemete, lo de ellos es el vector, s más qe lcr l roedd qe rtzb l deedec lel de vectores roos socdos vlores roos dsttos etre sí, como es el cso de S, or ejemlo, demás, s v, etoces, or ser sstem lbre, etoces v v v v tmbé será q v q q or ser sstem lbre Leo q hemos robdo qe es lbre Ocrrrí lo msmo s hbérmos rtdo de qe v b Se,,, los tovlores dsttos de l mtrz (Codcó ecesr) Somos qe es dolzble Este, etoces, bse de K tovectores de lelmete deedetes De estos vectores, de ellos estrá socdos,,, sí: ormd or U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 7
38 Cítlo : Redccó de Mtrces crd dmv dmv dmv Y teemos qe es sstem lbre, or el rtdo, co l ó más de vectores e el esco vectorl K de dmesó, leo, crd () = (Codcó scete) Recírocmete, somos qe crd() = Por el rtdo, se verc qe es lbre co vectores, leo es bse de K ormd or vectores roos de, or cosete es dolzble Crcterzcó de los edomorsmos dolzbles Se V K- esco vectorl de dmesó U edomorsmo de V (ó s mtrz socd resecto cert bse) es dolzble s solo s se verc ls dos codcoes setes: Ls ríces del olomo crcterístco de (ó de ) erteece l cero K Pr cd de ests ríces de (ó de ) se verc qe dm V sedo el orde de mltlcdd de como ríz del olomo crcterístco, es decr, ls mltlcddes lebrc eométrc cocde Demostrcó Se,,, los tovlores dsttos de, co órdees de mltlcdd,,,, resectvmete Se, dode cd j es bse de, j,,, V j (Codcó ecesr) Somos qe es dolzble Etoces, todos los tovlores de erteecerá l cero K esto qe l mtrz dol semejte h de erteecer M K, or tto, los tovlores, qe costte s dol rcl, h de ser elemetos de K Por l roedd 4 de los vlores vectores roos, se tee qe dm V, j,, S er dm V, r lú j,, j j, obtedrímos qe: j j crd crd crd dmv dmv j U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 8
39 Cítlo : Redccó de Mtrces o serí dolzble de cerdo co l roedd 6 de los vlores vectores roos Por tto, dm V j, j,, j (Codcó scete) Somos hor qe se verc ls dos codcoes Etoces, crd crd crd dmv dmv es dolzble or l roedd 6 de los vlores vectores roos Proceso ráctco de dolzcó Cálclo de los vlores roos de l mtrz :,,,, comrobdo s todos erteece l cero K Obtecó de l dmesó de los sbescos roos socdos los vlores roos co órdees de mltlcdd mor qe o, observdo s cocde ls dmesoes co los órdees de mltlcdd resectvos Determcó de seds bses,,, r los sbescos roos V,V,, V 4 Costrccó de l bse de tovectores: 5 L mtrz P qe tee or colms los vectores de, ermte l dolzcó de : D P L mtrz dol D tee e l dol rcl los vlores roos, e el msmo orde qe ss vectores roos corresodetes e l bse retédose j veces cd, j,, j Ejemlo Cosderemos l mtrz Como qedó demostrdo e 96, osee úco vlor roo qe es ríz doble de s olomo crcterístco, es decr, s orde de mltlcdd es, / R, vercádose, or tto qe El sbesco roo socdo es V P U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 9
40 Cítlo : Redccó de Mtrces dm V l o cocdr l dmesó de V co el orde de mltlcdd de como ríz del olomo crcterístco, coclmos, medte este evo rocedmeto, qe o es dolzble, como hbímos comrobdo e 4 Ejemlo Se l mtrz Ss vlores roos so ls ríces de s olomo crcterístco: 7 7 I es dolzble or oseer tres vlores roos reles dsttos etre sí Los vectores roos socdos 7 so ls solcoes o trvles del sstem homoéeo: 7I z 4 6 7z 7 z z V7 Leo,,,/ R,, Observemos qe dm V 7, como eserábmos or ser 7 vlor roo smle de Procedemos de l modo r el cálclo de los vectores roos socdos 6 : 6I z 6 z z U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
41 Cítlo : Redccó de Mtrces V 6 Por tto,,, / R,,, tmbé de dmesó o V4 De mer álo se obtee qe,,/ R,, L mtrz es, e cosecec, semejte l mtrz dol relcó etre mbs mtrces es: D P P 7 D 6, l 4 sedo P l mtrz qe ermte l dolzcó qe tee or colms sedos vectores roos socdos cd o de los tres vlores roos de: P S hcérmos l terretcó de como l mtrz socd l edomorsmo de R tl qe, R, de los cálclos terores dedcrímos qe es trsormcó lel dolzble qe D M,, sedo l bse de R ormd or vectores roos de :,,,,,,,, Ejemlo Se l mtrz Ss vlores roos so ls ríces de s olomo crcterístco: I 6 6, ríz doble U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
42 Cítlo : Redccó de Mtrces Los vectores roos socdos l vlor roo, so ls solcoes o trvles del sstem homoéeo: I z z z V Leo,,, /, R v,,, v,, Como dm V orde de mltlcdd del vlor roo como ríz del olomo crcterístco, dedcmos qe es mtrz dolzble 6 L mtrz es semejte l mtrz D Pr obteer l relcó estete etre mbs mtrces D, ecestmos clclr el sbesco roo socdo l vlor roo 6, c dmesó coocemos ( V dm 6 ) or ser 6 ríz smle de Los vectores roos socdos l vlor roo 6, so ls solcoes o trvles del sstem homoéeo: 6I z z z z V6 Leo,,, / R v,, Co otcó smlr l tlzd e l teorí qe sstet este ejemlo, bse V es v,, de 6 bse de V es v,,, v,, sí, bse de vectores roos de R (c estec es codcó ecesr scete r l dolzcó de l mtrz ) es: v,,, v,,, v,, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
43 Cítlo : Redccó de Mtrces Y ede escrbrse l relcó etre ls mtrces D: D P P sedo l mtrz qe ermte l dolzcó P 4 Otros resltdos reltvos vlores vectores roos Pr cd vlor roo de edomorsmo de esco vectorl V, se verc qe s sbesco vectorl socdo V es vrte or demás, el sbesco de vectores vrtes or es ó be ó be V, e el cso de qe se vlor roo de El úcleo de es ó be ó be V, e el cso de qe se vlor roo de U mtrz M K es versble s solo s o es vlor roo de, deedetemete de qe se dolzble ó o Demostrcó Se V Etoces, V, or ser sbesco vectorl vrte ó, or decó de V E clqer de los dos csos, V sbesco vectorl de V; hemos robdo qe V es S o es vlor roo de, etoces, o este ú vector Leo, el sbesco de vectores vrtes se redce tl qe U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 4
44 Cítlo : Redccó de Mtrces Por el cotrro, s es vlor roo de, etoces, el sbesco de vectores vrtes es V or s ro decó S o es vlor roo de, etoces, o este ú vector or tto, N tl qe Por el cotrro, s es vlor roo de, V está ormdo or los vectores qe,, e cosecec, V N, V tles S es vlor roo de, el sstem lel homoéeo dmte solcoes dstts de l trvl (los vectores roos socdos l vlor roo ), or tto, Leo o es versble S, or el cotrro, o es vlor roo de, el sstem trvl, leo, es versble 5 Prooscó Se M K E el cso de ser M K, el olomo crcterístco de es tr,se verc qe: tr solo tee l solcó E eerl, s M K, el térmo de rdo de es de rdo decr, es tr, el el térmo deedete es Es es de l orm tr Demostrcó Se M K Etoces: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 44
45 Cítlo : Redccó de Mtrces I tr Se M K Srrs, se obtee: Desrrolldo el determte medte l rel de I + tr Solo o de los! rodctos del desrrollo del determte I coteer térmos e ó, es recsmete demás rodctos tervee lú j co ede, qe e los j, leo o tervee ;, or tto, estos! rodctos so olomos de rdo meor ó l qe Por otr rte, se tee qe: Leo, está demostrdo qe el térmo de rdo de tr es demás, el térmo deedete de es es I, el de rdo jj 6 Prooscó Se,' M K ' ', dos mtrces semejtes Se verc, etoces, qe: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 45
46 Cítlo : Redccó de Mtrces Tr Tr' 4 S ó, etoces, ' ' ' Demostrcó Y está demostrdo e el rtdo Por ser ', mbos olomos tee les todos ss térmos E rtclr, tee les los térmos deedetes Es decr, álomete, ldo los térmos de rdo Tr Tr ' se obtee qe ' de los olomos, ' 4 S ó, ldo los térmos e de los olomos crcterístcos de, se lle qe: ' ' ' 7 Observcó El recíroco de l rooscó teror o es certo; es decr, dos mtrces ede teer el msmo olomo crcterístco s ser semejtes Esto ocrre, or ejemlo, co ls mtrces: E eecto: ', tmbé ' es dolzble (es semejte sí msm qe es dol) E cmbo, o es dolzble qe V como ríz de ' Demostremos qe eectvmete U vector, V V,/ R, dm orde de mltlcdd de s solo s V está eedrdo or úco vector, Es decr, s solo s Leo, U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 46
47 Cítlo : Redccó de Mtrces 6 Prooscó Se M K Se verc: t tee el msmo olomo crcterístco S es vlor roo de, etoces es tmbé vlor roo de b es vlor roo de t c S, es vlor roo de, semre qe se versble Demostrcó t t I I I t Es cosecec medt de qe t b Emlemos el método de dccó comlet e l demostrcó Pr : Por ser vlor roo de, este vector o lo K tl qe Etoces: Leo, es vlor roo de Somos cert l rmcó r robémosl r : Por tto, es vlor roo de Sedo co l msm otcó del rtdo teror, se verc: Leo, es vlor roo de U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 47
48 Cítlo : Redccó de Mtrces 7 Prooscó S M K es mtrz dolzble semejte l mtrz dol D P P, r cert mtrz versble P M K, etoces se verc qe: k P D r clqer úmero trl k S demás es versble, l ldd es cert r clqer úmero etero k k P - Demostrcó Utlzmos el método de dccó comlet e l demostrcó Pr k = : - - P DP P DP P D P - Somos l ldd cert r k robémosl r k: k k - k - k - P DP P D P P D P S es versble, etoces o es vlor roo de, or cosete este - - P DP P D P D será De evo or dccó se demostrrí r clqer úmero etero k 8 Observcó k Pr obteer D smlemete se elev los elemetos de l dol rcl de D l k- k ésm otec etoces, tlzdo l rooscó teror, es ácl rádo clclr rtr de P D Ejemlo Clclr 5, sedo Seú se demostró e el ejemlo, es dolzble se verc qe: U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 48
49 Cítlo : Redccó de Mtrces U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 49 P P D r 6 D P Etoces, P P D
50 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs Cítlo 4 DIGONLIZCIÓN DE LS MTRICES RELES SIMÉTRICS 4 Itrodccó Merece tecó esecl el tem de l dolzcó de ls mtrces reles smétrcs debdo o solo ls rtclrddes mtemátcs qe ecerr s estdo, so sobre todo ls meross ocsoes e ls qe v recer lo lro del rorm de Mtemátcs e Toorí (trsormcoes eométrcs del esco eclídeo, cócs, estdístc, ) sí como e otrs mters de l crrer (Físc, Teledeteccó, ) So s mtrces semre dolzbles e el cero de los úmeros reles demás l mtrz qe ermte l dolzcó ede elerse de orm qe se mtrz ortool 4 Decó U edomorsmo del esco vectorl eclídeo V es smétrco cdo se verc l sete ldd etre rodctos esclres:,, V 4 Prooscó Se M R Se el edomorsmo de R qe tee como mtrz socd resecto de l bse cóc Se verc etoces qe es smétrc s solo s es smétrco Demostrcó Se, dos vectores clesqer de R Llmmos X e Y ls mtrces colm costtíds or ls coordeds de e, resectvmete Por decó de mtrz socd edomorsmo, se verc qe: X t Y t t X Y X Y t U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
51 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs sí: es smétrco t t t t X Y X Y es smétrc 44 Prooscó mtrz smétrc Se, vlores roos (reles ó Se M R comlejos) de Se resectvmete Etoces se verc qe: - e vectores roos de socdos S, los sbescos roos V V socdos, resectvmete, so ortooles Los vlores roos de so reles Demostrcó Se el edomorsmo de R qe tee como mtrz socd resecto de l bse cóc So, or tto, tmbé vlores roos de Por ser smétrco ( qe es smétrc), se verc qe es decr,, Por tto, lcdo l sedosoctvdd del rodcto esclr, se tee qe obteédose qe - U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
52 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs S, teedo e cet el rtdo teror qe serb qe - se dedce qe, es decr, qe e so eredclres, Rzoemos or el bsrdo somos qe b es vlor roo comlejo de, co b Por ser mtrz rel, los coecetes de s olomo crcterístco, I, so tmbé reles sí, como es ríz de, tmbé s cojdo b es vlor roo de Se vector roo socdo, dode ls coordeds de de so reles S soemos robdo qe etoces es tmbé vector roo socdo, como demostrremos l l de l rooscó, lcdo de evo el rtdo r los vlores roos los vectores roos resectvos Oerdo e l ldd teror resltrí: - e, se obtedrí: b b b b Lo cl es bsrdo qe (es or l ro decó de vector roo) b or hótess Hemos lledo l bsrdo l soer qe o er rel Por tto, todos los vlores roos de so reles Pr comletr l demostrcó lt robr qe socdo, e eecto: es vector roo Por ser vector roo socdo, se verc qe Oerdo e est ldd, se obtee l sete cde de eqvlecs: b U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
53 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs b b b b b b Leo, b b, metrs qe b b b b b Por tto, e es vector roo socdo l vlor roo 45 Teorem mtrz smétrc Este bse ortoorml de R ormd or vectores roos de, es decr, es ortoolmete dolzble e el setdo de qe este mtrz P M R ortool tl qe D P P es mtrz dol semejte (ls colms de P so vectores roos de qe orm bse ortoorml de R l dol de D está ormd or los corresodetes tovlores de, cd o tts veces como dqe s mltlcdd lebrc) Se M R Demostrcó Se,, los vlores roos dsttos de (reles or l rooscó teror) Se,, seds bses ortoormles de V,, V Se Se verc qe es ortoorml (or l rooscó teror) es lbre (or el rtdo del árro 4 reltvo ls roeddes de los vlores vectores roos) S demás robmos qe eedr R, será bse ortoorml de R l mtrz serí dolzble ortoolmete Demostremos es qe es sstem de eerdores de bsrdo somos qe R Rzoemos or el R ; etoces, el sbesco ortool será U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 5
54 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs Clqer vector vector V V es de l orm, or s ro costrccó Se se verc etoces qe: co V,,,, qe, Pr clqer Leo, s edomorsmo de, etoces tmbé sí, l restrccó / es smétrco, or serlo, or tto, or el rtdo de l rooscó teror, tee lú tovector z Pero, esto es bsrdo qe z serí tmbé tovector del edomorsmo de e cosecec, z, hbrí de ser ocrrr or l ro decó de vector roo R, z, lo cl o ede Ejemlo 4 4 L mtrz or ser rel smétrc es dolzble ortoolmete 4 4 Ss vlores roos so ls ríces de s olomo crcterístco: I L mtrz tee es dos vlores roos 4 4, mbos co mltlcdd lebrc l dos Los vectores roos socdos l vlor roo 4 so ls solcoes del sstem homoéeo 4I, eqvlete : U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 54
55 Cítlo 4: Dolzcó de ls mtrces reles smétrcs U D de Mtemátcs ETSI e Toorí, Geodes Crtorí 55 t z t z t z Leo, el sbesco roo V está eedrdo or los vectores,,,,,, qe so eredclres (s o lo er, hbérmos eledo otros dos vectores del lo vectorl V qe er eredclres), ero o tros; or tto, los dvdmos etre s módlo obteemos bse ortoorml de V :,,,,,,, álomete se rocederí r ller bse ortoorml de V :,,,,,,, 4 De est orm, bse ortoorml de 4 R ormd or vectores roos de es: 4,,, L mtrz es semejte l mtrz dol D, sedo l relcó etre mbs: P P D r l mtrz ortool P
2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5 Sucesoes.. SUCESIONES..
APROXIMACION DE FUNCIONES
APROXIMACION DE FUNCIONES Metodos Numercos 6 Fmls de Fucoes Bses - Moomos : 3 - Trgoométrcs: sωt cosωt sωt... - Fs. Sle: olomos trozos - Fs. Eoecles: e e 4 Metodos Numercos 6 Iterolcó Suogmos teer u cojuto
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NÚMEOROS COMPLEJOS Defcó: El cojuto de los úmeros complejos es C R R {(, / R y b R} C está formdo por todos los pres ordedos de úmeros reles etre los que defmos u relcó, l guldd, y dos opercoes brs que
= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí
5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA
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Resolución de sistemas de congruencias
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PROBLEMS RESUELTOS Presetmos cotucó ls solucoes los problems,, del úmero de l Revst, que eví Crlos Mrcelo Css Cudrdo. Problem Resolver l ecucó e l cógt : (bsolutorl ufgbe, Bver, 87 Solucó l problem El
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e x Integración numérica Tema 2: Cá álculo umérico Fórmulas de cuadratura. Fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas del trapecio y Simpson. Errores.
Tem : Itegrcó umérc Tem : Itegrcó ó umérc Prolem Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newto-Cotes. Fórmuls del trpeco Smpso. Errores. Clculr l sguete tegrl: e d Usremos l tegrcó umérc cudo, por el motvo que
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TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL
TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este
TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEMA : Métodos tertvos de resolucó TEMA. Métodos tertvos de resolucó de Sstems de Ecucoes Leles. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A = b, cosste e trsformrlo e
CATEDRA 0 7 METODOS NUMERICOS. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
CATEDRA 7 Fcltd de Igeerí de Ms, Geologí y Cvl Deprtmeto cdémco de geerí de ms y cvl METODOS NUMERICOS Igeerí Cvl ING.CRISTIANCASTROP. . DEFINICIÓN Y CASIFICACIÓN DE MATRICES s mtrces so tlzds por prmer
Integral Definida. Aplicaciones
Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
10. Optimización no lineal
0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos
Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor
EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE. Alberto E. J. Manacorda*
EL TEOREA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alerto E. J. cord* *Igeiero Geogrfo Profesor Titulr de Alisis temtico II Fcultd de Ciecis Ecoomics Estdistic Uiversidd Nciol de Rosrio 5.- Aliccioes
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UNIVERSIDAD DE GRANADA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA www.ugr.es/locl/mtel INTERPOLACIÓN 6-7 José Mrtíez Aroz Itroduccó Iterolr D.R.A.E.: Avergur el vlor romdo de u mgtud e u tervlo cudo se cooce
Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino
i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto
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Progresiones aritméticas y geométricas
Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SISTEM DE ECUCIONES LINELES Defiició: Llmremos sistem de m ecucioes co icógits, u cojuto de ecucioes de l form: m.... m..... m m (S) Los elemetos so los coeficietes del sistem. ij Los elemetos i so ls
Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Fudmetos mtemátos Los Postuldos de l Meá Cuát FUNDMENTOS MTEMÁTICOS L Meá Cuát se desrroll e espos etorles deomdos espos de Hlert Pr omezr, repsremos reemete ls des fudmetles
POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.
POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,
3. Fallas Asimétricas Ejemplos
Ejemplo 7. Frcisco M. Gozlez-Logtt Aexo 7 3. Flls Aétrics Ejemplos El ple sistem de poteci qe se mestr e l Figr sigiete, cosiste de geerdor, trsformdor, líe de trsmisió, trsformdor redctor y crg. Cosidere
Análisis Numérico y Programación. Unidad III. -Interpolación mediante trazadores: Lineales, cuadráticos y cúbicos
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suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1
A veces se ecest deterr l su de uchos téros de u sucesó ft. Pr expresr co fcldd ess sus, se us l otcó de sutor. Dd u sucesó ft,,,...,... el síbolo represet l sutor o su sucesv de los preros téros coo se
A) Se considera el problema de contorno bidimensional constituido por la ecuación diferencial
Elemetos tos bdmesoles. U vsó pelm A Se cosde el poblem de cotoo bdmesol costtdo po l eccó deecl (, e el domo, smplemete coeo ls codcoes de cotoo: (, coocd e α coocd e Recédese qe qe, s se deom l ccdte
Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1
Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...
Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información
Leguje humo Represetcó de l formcó Utlz u cojuto de símbolos lfumércos Crcteres lfbétcos:, B, C,.Z,, b, c,...z Símbolos umércos 9 sgos de putucó... Puede represetr Iformcó umérc lfumérc Leguje del ordedor
- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:
POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble
Sucesiones y series de números reales
79 Mtemátics : Series umérics Cpítulo Sucesioes y series de úmeros reles. Sucesioes Defiició 330.- Llmremos sucesió de úmeros reles culquier plicció f: N R y l represetremos por {, dode = f(). Por comodidd,
X / n : proporción de caras ( = frecuencia relativa del suceso A = f A = n A / n ) Se espera que a medida que n crece la frecuencia relativa de cara
95 Teoremas límte Cosderemos el exermeto aleatoro que cosste e arrojar ua moeda equlbrada veces. Suogamos que se regstra la roorcó de caras. U resultado coocdo es que esta roorcó estará cerca de /. Formalzado
INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN
INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor
p q Números irracionales Son todos aquellos números que no pueden ponerse en forma de fracción (como razón de dos números enteros).
U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r Tem. Números. Cojutos umércos El cojuto de los úmeros turles es N {,,,,,..., 7, 8,...}. El cojuto de los eteros es Z {...,,,,,,...} El cojuto de los úmeros rcoles,
Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos
CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que
está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.
Fctd de Cotdrí y dmstrcó. UNM Mtrces tor: Dr. José Me ecerr Espos MEMÁICS ÁSICS MRICES DEFINICIÓN DE MRIZ U mtrz es cojto de úmeros, ojetos operdores, dspestos e rrego dmeso de regoes y coms, ecerrdos
APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas
APUNTE: Itroducció ls Sucesioes y Series Numérics UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mtemátic Crrers: Lic. e Admiistrció Lic. e Turismo Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mbel Chresti Semestre: do
3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)
3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como
210. Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores.
Hojs de Prolems Estdístc I. Se cosder el expermeto letoro cosstete e trr tres ddos l re y otr los putos de ls crs superores. ) utos elemetos tee el espco de sucesos? ) lculr l proldd de scr l meos dos.
INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN U medo potete de l vestgcó e mtemátc, físc, mecác y otrs rms de l cec es l tegrl defd. El cálculo de áres lmtds por curvs, de ls logtudes de rcos, volúmees, trjo, velocdd, espco, mometos de
GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES
UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁLGEBRA FMM COORD. PAOLA BARILE M. GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA EJERCICIOS CON RESPUESTAS.- Verfque s ls
ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:
SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó
CAPITULO 1 VECTORES EN R 3
CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles..
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sstems de Ecucones Lneles www.tgors.es SISTEMS DE ECUCIONES LINELES Estudr un Sstem de Ecucones Lneles S.E.L.) es responder ls pregunts: tene solucón?. s es sí,, cuánts tene cuáles son?. l vst de ests
1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo
UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.
Sucesiones de funciones
Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci
Guía Práctica N 12 RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Fuete: PreUiversitrio Pedro de Vldivi Guí Práctic N RAÍCES FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DEFINICIÓN : Si es u etero pr positivo es u rel o egtivo, etoces es el úico rel, o egtivo, tl que = = =, 0 DEFINICIÓN :
Determinantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
Integrales impropias
Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección
Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2.
Biomio de Newto Teorem del biomio de Newto Teorem: Se, b dos úmeros reles o ulos, y se N u úmero turl. Etoces: b b b b b b L expresió l derech se deomi el desrrollo biomil de b. Observmos que este desrrollo
21 k. ! en función de n. = 1. Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Depto. Matemática y Ciencia de la Computación
USACH ÁLGEBRA Gbrel Rbles R. Uversdd de Stgo de Chle Fcultd de Cec Depto. Mtemátc y Cec de l Computcó Prof. Gbrel Rbles R. SUMATORIAS EJERCICIOS RESUELTOS: Clculr: ) ) b) [ ) ) ] c) j j j d) el vlor de
a (3, 1, 1), b(1, 7, 2), c (2, 1, 4) = 18,5 u 3
8 Clcul el volumen del prlelepípedo determindo por u(,, ), v (,, ) y w = u v. Justific por qué el resultdo es u v. w = u Ò v = (,, ) (,, ) = (, 6, 5) [u, v, w] = 6 5 u v = 9 + 6 + 5 = 7 = 7 Volumen = 7
55 EJERCICIOS DE VECTORES
55 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) d = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coordends de los vectores fijos