p q Números irracionales Son todos aquellos números que no pueden ponerse en forma de fracción (como razón de dos números enteros).

Transcripción

1 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r Tem. Números. Cojutos umércos El cojuto de los úmeros turles es N {,,,,,..., 7, 8,...}. El cojuto de los eteros es Z {...,,,,,,...} El cojuto de los úmeros rcoles, ue se deot or Q, es Q, Z; Cd uo de estos cojutos es u mlcó del teror, sí N Z Q. L mlcó de los cojutos umércos cosgue cd vez myor geerlzcó. E Q uede relzrse ls cutro oercoes elemetles, ues todo úmero rcol tee ouesto, y todo úmero rcol, meos el, tee verso. El ouesto de es ; el verso de es. Así, uede segurse ue e Q tee solucó tods ls ecucoes leles: ls de l form b c. Por ejemlo,, cuy solucó es 7/. No obstte, e Q todví o se uede solucor ecucoes t fácles como (cuy solucó es ). Pr ello se ecest u uev mlcó: los úmeros reles. Números rrcoles So todos uellos úmeros ue o uede oerse e form de frccó (como rzó de dos úmeros eteros). So rrcoles los sguetes úmeros: ; 7 ;, ; π. Números reles Todos los úmeros terores se llm reles. Por tto, el cojuto de los reles, R, es u sucesv mlcó de los demás cojutos umércos, cumlédose ue: N Z Q R El sguete esuem es más recso: Nturles Eteros Rcoles Reles Negtvos Frccoros Irrcoles José Mrí Mrtíez Medo

2 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r. L rect rel Los úmeros reles uede reresetrse sobre u rect. Así: A cd uto de l rect le corresode u úmero rel; y l revés, cd úmero rel le corresode u uto de l rect. L rect rel es comct : o tee gú uto vcío, s reller. Etre cd dos úmeros reles semre hy otro úmero rel. Así, etre,6 y,66 está, or ejemlo,,6. Etre,6 y,6 está,6... E cosecuec, etre cd dos úmeros reles hy ftos úmeros reles. Orde e R El cojuto de los úmeros reles es u cojuto totlmete ordedo. Por tto, ddos dos úmero reles, e y, se cumle lgu de ls desgulddes sguetes: < y, o be, y <. < y sgfc ue y >. y sgfc ue y. Gráfcmete, u úmero rel es myor ue otro s está reresetdo su derech. Los úmeros studos l zuerd del se llm egtvos; los studos su derech, ostvos. egtvo < ostvo > Itervlos Los tervlos so subcojutos de l rect rel. Itervlo berto (, b) todos los úmeros reles ue so myores ue y meores ue b: R < < b (, b) { } (, ) { R < < } (, ) { R > } (, ) { R < } Itervlo cerrdo [, b] todos los úmeros reles ue so myores o R b gules ue y meores o gules ue b: [, b] { } < > [, ] { R } José Mrí Mrtíez Medo

3 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r. Vlor bsoluto de u úmero rel El vlor bsoluto semre es ostvo. s >. 7 7 s <. 7 ( 7) 7 Proeddes del vlor bsoluto Ls más sgfctvs so:. Por ejemlo, b b Por ejemlo: 8 () 8 E efecto: 8 () y 8 8. Desguldd trgulr: b b Así, or ejemlo: 8 () < 8 8 L guldd: b b, se d cudo y b tee el msmo sgo.. < k k < < k. Por tto, decr ue < k euvle decr ue (k, k) Igulmete, k k k [k, k] De mer álog: < k k < < k k < < k ( k, k) k k k k k [ k, k] ) < < < (, ). b) < [, ]. c) < < < < < (, ). d) 6 [6, ]. Observcó: Al cojuto de úmeros reles ue cumle l desguldd < r se le llm tmbé etoro de cetro y rdo r, y se deot or E r (). Así, E () (, ) (, ), es el etoro de cetro y rdo. José Mrí Mrtíez Medo

4 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r. Oercoes e R Oercoes co frccoes c Euvlec: d bc b d Pr obteer frccoes euvletes otr dd, bst co multlcr o dvdr sus térmos or u msmo úmero dstto de cero. Sum: Podemos ecotrros co los sguetes csos: Cso Ejemlos c d cb 9 b d bd 8 c d cb 7 8 b d bd c d ± c 9 ± d d cb c ± 99 9 ± b b E l ráctc es coveete hllr el mímo comú múltlo de los deomdores; sí se obtee resultdos más smles. Producto Frccó or frccó: Frccó or úmero: c c b d bd c c d d Dvsó: Podemos ecotrros los sguetes csos: Cso Ejemlos c d 6 : : b d bc 7 b d (es lo msmo ue tes) c bc 8 d 6 c d : : d c d (es lo msmo ue tes) c c d : c : b bc b (es lo msmo ue tes) c bc José Mrí Mrtíez Medo

5 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r Prordd de oercoes y uso de rétess Cudo ls oercoes rece combds, rmero se resuelve los rétess, desués ls multlccoes y dvsoes; or últmo, ls sums y rests. Ejercco El resultdo de ls sguetes oercoes es el ue se dc: 9 ) ; b) ; c) ; d) 77 Uso de clculdor Co l clculdor, l sum se hce sí: b/c 8 8 b/c /7 De mer álog se hrí r ls demás oercoes. Así, r clculr como sgue: b/c * ( b/c b/c ) 8// SHIFT b/c / se tecle Poteccó de eoete etero Eoete turl: Recuerd:... () () () () 8 Por coveo:, s ; () ; (,) Eoete etero (egtvo): 6 ; Regls ráctcs r oerr co otecs (roeddes): Ls roeddes rcles de ls otecs so: m m (9 7) m m 6 ( ) ( ) (9) 79 m m 6 ( b) b ( ) ; ( ) ( ) 8 ( ) ; b b E todos los csos y m so úmeros eteros. Advertecs OJO. Semre hy ue teer e cuet ls regls de los sgos, ues s es r, (), ero s es mr, es gul. ( ) ( ) ; ( ) () () ( ) () ( ) () () () () () José Mrí Mrtíez Medo

6 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 6 OJO. Ls otecs fuco be co los roductos y los cocetes. Ls fórmuls terores o so lcbles sums y rests. Lo setmos: ( ± b) ± b. ( ) ( ) 9 Recuerd: ( b) b b ( b) b b Ejercco El resultdo de ls sguetes oercoes es el ue se dc: ) () ( ) ; b) 7 () ( 7 ) 9; c) ; d) 6 7 ( ) e) ( ) ; f) ( ) ( ) ; g) ; h) 9 7 Poteccó de eoete rcol. Rdcles Defcoes: b, > b ; b, N b / ; Notcó:. ) 6 ±, ues (±) 6. b) 8, ues () 8 Proeddes y oercoes co rdcles Producto de rdcles: / / Co el msmo ídce: b b / ( b) / / m / / m m Co dstto ídce: es oco oertvo. Suele recurrrse reducr mbos rdcles ídce comú. Cocete de rdcles: / / / m m b b m / E rtculr:. b b.. b b 8 8 ) b) 7 7 Potec y ríz de u rdcl: m m ( ) m m Es rtculr: ( ) ) ( ) ; gulmete,. ( ) b) b c) ( ) ( )( ) 9 José Mrí Mrtíez Medo

7 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 7 Etrccó e troduccó de fctores e u rdcl Ls roeddes terores ermte l etrccó o l troduccó de u fctor e u ríz. E rtculr, r etrer u fctor de u ríz cudrd se hce l ríz de dcho fctor, ues bst observr ue b b b ) b) 9 y 9 y y c) ( ) d) f) De l eresó 8 9 tmoco uede etrerse gú fctor. Pues o hy fctores, hy sumdos. (U error frecuete es escrbr ). Esto serí euvlete decr ue Pr troducr u fctor e u ríz cudrd se hce el cudrdo de dcho fctor, ues bst observr ue b b b ) b) c) 9 9 d) ( ) Pr ríces de culuer ídce: Itroduccó de fctores: Etrccó de fctores: b b. Pr troducr u fctor se elev l ídce de l ríz. A b b, suuesto ue A Ab. Rdcles semejtes Dos eresoes rdcles so semejtes cudo tee el msmo rdcl comú. ) Ls eresoes rdcles 6, o so semejtes. b) Ls eresoes y uede trsformrse e otrs euvletes semejtes, ues etryedo fctores: 6, y c) Ls eresoes y o uede trsformrse e otrs euvletes ue se semejtes. Sum y rest de rdcles L sum y rest de rdcles sólo uede hcerse cudo los rdcles se semejtes. Así: Puede hcerse: 6 8. El resultdo es: 6 8 (6 8) 9 No uede hcerse gu de ls oercoes sguetes: 6 ; 6 ; (Ests oercoes semre uede hcerse co clculdor; su resultdo o será ecto.) José Mrí Mrtíez Medo

8 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 8 E lguos csos, los rdcles cles uede covertrse e euvletes, medte l troduccó o etrccó de fctores. 6 Ls oercoes de sum o roducto de u rdcl or u úmero, o ls oercoes combds, so medts: bst co oerr teedo e cuet l roedd dstrbutv r multlcr, y l de scr fctor comú r grur térmos semejtes. ) ( ) 6 b) ( )( ) 6 c) ( 6)( 6) ( 6) 9 6 d) ( ) ( ) 9 Rcolzcó de deomdores Cudo se tee u frccó e l ue el deomdor rece u eresó co rdcles, su rcolzcó cosste e ecotrr otr frccó euvlete l dd ero s ríces e el deomdor. Los csos usules so: ; ; b b c b c Se rcolz multlcdo los dos térmos de ls frccoes or b, or b c y or b c, resectvmete. ) b). ( ) ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) e) ( )( ) Notcó cetífc L eresó, 9 sgfc. Ese modo de escrbr, ue se llm otcó cetífc, es usdo r desgr ctddes muy grdes (o muy dmuts, cudo el eoete es egtvo). E geerl, u ctdd e otcó cetífc se eres sí: A B, dode A es u úmero decml comreddo etre y, co cfr eter dstt de y B es u úmero etero ue dc el orde de mgtud. E ls clculdors cetífcs se geer utomátcmete y rece, or ejemlo, como sgue:. 9 o. 9 ue uere decr, o 6. 8 ue uere decr 6, -8 José Mrí Mrtíez Medo

9 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 9. Logrtmos Qué es u logrtmo y cómo se clcul? El logrtmo de u úmero, e u bse, es otro úmero b l ue hy ue elevr l bse r ue dé. Co símbolos mtemátcos se defe como sgue: log b b Observcoes:. log se lee logrtmo e bse de, y sgfc ue l úmero se le soc otro b ue cumle de ue b. Se trt, ues, de u trsformcó relcod co l oteccó de bse, e l ue cd úmero se le soc el eoete b recso r ue b. Por ejemlo, s y, el vlor de b debe ser, y ue. E este cso escrbrímos log. Igulmete, s y, el vlor de b debe ser, y ue. E este cso escrbrímos log. El vlor del logrtmo de culuer úmero comreddo etre y será u úmero comreddo etre y. Esto es, s < <, etoces log < log < log < log <. E geerl, el logrtmo e bse sg cd úmero su orde de mgtud, segudo de cfrs decmles. (Pr hllr el vlor ecto se ecest clculdor.). L bse debe ser ostv y dstt de. Ls bses usules so y e, sedo e el úmero de Euler: e,78 A los logrtmos e bse se les llm decmles o logrtmos comues; los logrtmos e bse e se llm eeros o turles. Ambos se uede hllr co l yud de u clculdor, co ls tecls log y l, resectvmete; y o es ecesro esecfcr l bse. Así, log log, 979, y log e l, El logrtmo de los úmeros reles meores o gules ue o está defdo. Esto es, log( ) crece de setdo. E estos csos, l clculdor d u mesje de error. ) Alcdo l defcó uede verse ue: log 6, ues 6 log, ues log, ues log, ues log, log log, r todo l e l e, r todo. b) Co clculdor: log 87, l,8... log,,9 l,9, log (6) ERROR l ERROR Cómo se oer co los logrtmos? Cudo hy ue relzr oercoes co logrtmos o clculr el logrtmo de eresoes e ls ue los úmeros esté sujetos culuer de ls oercoes hbtules, uede utlzrse ls roeddes ue se dc cotucó, e dode A, B y so úmeros o eresoes lgebrcs. José Mrí Mrtíez Medo

10 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r. log ( A B) log A log B El logrtmo trsform roductos e sums, lo ue coduce u smlfccó de los cálculos. ) log log log ( ) log. b) log( ) log log, 876 c) log 8 log8 log 9 ( )( ) d) log( 9) log( ) log log log( ). log A log A El logrtmo trsform otecs e roductos. ) log log 8,798 8,68. b) 7 log log log 78, c) log 8 8log ; log8 log8 d) ( ) log log ( ) A. log log A log B B El logrtmo trsform cocetes e rests. ) log log log,69897,, 66 b) log log8 log log 8 c) log log( ) log( ) 9 ( )( ) log 9 log log log log( d) ( ) ( ) ). log ; log ; log Observcó: E ls oercoes co logrtmos so frecuetes los errores. Los más comues se derv de l suuest leldd de los logrtmos. Así lguos suele escrbr ue log ( A B) ( log A)( log B) o A log A ue log. Descubrr tles errores es reltvmete fácl; bst lcrlo stucoes B log B cocrets y seclls. Por ejemlo, log ( ) log ( log)( log) ; log o be, log log log José Mrí Mrtíez Medo

11 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r Pr ué se us los logrtmos Los logrtmos se vetro ( rcos del sglo XVII) r smlfcr los cálculos mtemátcos de multlccó, dvsó, oteccó y rdccó, sobre todo cudo los resultdos so úmeros muy grdes y báscmete lo ue mort es su orde de mgtud. Pr eteder est de hy ue observr:. E bse, el logrtmo de ls sucesvs otecs de es el eoete resectvo. Esto es: log log ; log log ; log log ; log log ; log log ; y, e geerl, log.. E bse, cudo u úmero multlc su vlor or, su logrtmo umet e u udd. (Por ejemlo: log 8,,9978; log 8,9978; log 8,9978; y sí sucesvmete.) Y l revés, cudo el vlor del logrtmo de dos úmeros se dferec e u udd, uo de ellos es dez veces myor ue el otro.. E bse, el vlor del logrtmo de culuer úmero comreddo etre y es u úmero comreddo etre y. Así, or ejemlo, s log A 6,, el vlor de A está etre 6 y 7 ; luego el orde de mgtud de A es 6. Aálogmete, s log B,8, el úmero B es de orde de mgtud. Y s log C,, el úmero C es de orde de mgtud.. S log A > log B A > B; y l revés. E cosecuec, l mgtud de determds vrbles uede orderse comrdo los vlores de sus resectvos logrtmos. Escls logrítmcs Se llm escl logrítmc uell e l ue e vez de dcr el vlor de l vrble (de u ctdd) se dc el vlor de su logrtmo. Así,,,,... se susttuye or,,,, ue so sus resectvos logrtmos decmles. L vetj de hcer este cmbo rdc e ue es más cómodo reresetr e u eje ls ctddes,, o, ue ls orgles,, o. U ejemlo de escl logrítmc es el etgrm utlzdo e occdete r escrbr músc, ues, como se ve e el gráfco, l dferec e l ltur del sodo es roorcol l logrtmo de l frecuec (de u do grve l do sguete más gudo l frecuec se dobl. Es decr: ue l sucesó de frecuecs de ls ots do está e rogresó geométrc). [L escl logrítmc es de bse.] (Cfr. htt:// El decbelo es u udd de medd del vel de tesdd del sodo. Se mde e u escl logrítmc de bse. [Puede verse Wked, decbelo.] L fuerz de los terremotos se mde usdo l escl de Rchter, ue es logrítmc de bse. U terremoto de mgtud 7 e dch escl es veces más otete ue otro de mgtud 6, y veces más otete el de mgtud, or ejemlo. [L mgtud de u terremoto uede medrse como M log P, dode P dc cuáts veces myor h sdo l mltud de l od sísmc del terremoto ue l od de referec (l de stucó orml)]. Atlogrtmo Es l trsformcó vers del logrtmo. Esto es, s logrtmo de A b, etoces tlogrtmo de b A. ( log A b tlog b A) E lgus ls clculdors se dc log y se hll ulsdo sucesvmete ls tecls SHIFT y log. ) tlog ; b) tlog, 6,7766.) José Mrí Mrtíez Medo

12 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 6. Notcó sumtor L sum... uede escrbrse sí, ; y se lee sum de desde hst, sedo u úmero turl; uede desgr culuer eresó lgebrc. L letr Σ (sgm myúscul) smbolz sumtoro; se llm ídce del sumtoro, y uede ser susttud or culuer otr letr, j, k Los límtes del sumtoro uede cmbr; or ejemlo uede tomr vlores desde hst o desde hst. Est otcó tee setdo cudo se trt de escrbr lrgs sums e ls ue cd sumdo se just u msmo tró (Por ejemlo, uede desgr e úmero de rdos e los dsttos mucos de u regó, el reco de l toeld de trgo e ls dstts logs de u ís, el térmo de u sucesó...) )... b) c) e)... d) k.... k desg l med rtmétc de dtos de u determd vrble. f)... E este cso o se escrbe u últmo térmo: hy ftos sumdos. k k g) c c c... c c. L sum de u costte c, veces, es el roducto c. Algus roeddes de l sum. ( b ) b b... b. c c c c... c c Ests dos roeddes dc ue el sumtoro es u oerdor lel (se comort de mer turl resecto de l sum y del roducto de costtes.) ) ( k k ) k k b) Utlzdo ests roeddes, l med rtmétc de u cojuto de dtos uede escrbrse de culuer de ls sguetes forms: k k f, sedo f, y f l frecuec del dto. b José Mrí Mrtíez Medo

13 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r José Mrí Mrtíez Medo 7. Números fctorles y combtoros Fctorl de u úmero )... ) ( (! 7! 7 6 Por coveo, fctorl de cero se defe como :! (Tmbé! ). Proeddes de los úmeros fctorles. Fórmul de recurrec: )! (!! 9!. Smlfccó: )! (!!! Números combtoros sobre r: )!!(! r r r.!!! )!!(! 6 El úmero sobre r dc el úmero de muestrs de tmño r ue uede obteerse de u oblcó co elemetos. Su uso se hce mrescdble r el estudo de l dstrbucó de robbldd boml, e dode los dvduos de u oblcó uede resetr dos crcterístcs dcotómcs: sío; étofrcso. Potec de u bomo Fórmul de Newto r el cálculo de l otec -ésm de u bomo:... ) ( ± ±... ) ( ) ) ( b) ) ( Prco fudmetl de eumercó. S u suceso uede elegrse de m mers dstts e rmer lugr y cotucó uede elegrse de mers dferetes, etoces uede suceder de m forms dferetes. Dgrms de árbol. Pr vsulzr ls dstts osblddes ue uede resetrse result útl cofeccor u dgrm de árbol: de cd ocó cl surge ls dferetes rms. El estudo detlldo de ls téccs de recueto se deom combtor.

14 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 8. Progresoes Progresoes rtmétcs U sucesó de úmeros se dce ue es u rogresó rtmétc cudo cd térmo se obtee sumdo l teror u úmero fjo, llmdo dferec de l rogresó. Por tto, e u rogresó rtmétc, l dferec etre dos térmos cosecutvos semre es l msm. E cosecuec, u rogresó rtmétc ued determd ddo culuer térmo y l dferec. E geerl, s el rmer térmo es y l dferec d, l rogresó rtmétc es: d d d... d d d... ( ) d d El térmo geerl de u rogresó rtmétc es: ( ) d L sucesó,,,,,,,,... es u rogresó rtmétc de dferec d,. Su térmo geerl será:, ( ),,. Co esto, or ejemlo:, 8, ;, Ejercco Comrueb ue el térmo geerl de ls sguetes rogresoes rtmétcs es el ue se dc: ),,,,6,,9,, 7 b), 98, 96,. Sum de térmos cosecutvos de u rogresó rtmétc Pr obteer l sum de térmos cosecutvos de u rogresó rtmétc bst observr ue ls sums de los térmos, rmero últmo, segudo eúltmo,..., semre vle lo msmo. Por ejemlo, uede verse e l sum: Como cd r de úmeros sum, y hy rejs (l mtd de los térmos ue se sum), l sum totl, vle. L fórmul geerl ue d l sum de los rmeros térmos de u rogresó rtmétc es ( ) S ( ( ) d) S [ ] L rogresó, 7,, 9, es rtmétc de dferec 6. L sum de sus rmeros ( térmos, 7, vle, S ). ( 9) Como y , se obtee: S 96. Ejercco Comrueb ue el resultdo es correcto: ) 7 ( térmos) ; b) 7 ( térmos) José Mrí Mrtíez Medo

15 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r Progresoes geométrcs U sucesó es u rogresó geométrc cudo cd térmo se obtee multlcdo el teror or u úmero fjo, llmdo rzó de l rogresó. Por tto, e u rogresó geométrc, el cocete etre dos térmos cosecutvos semre es gul l rzó. E cosecuec, u rogresó geométrc ued determd ddo culuer térmo y l rzó. S el rmer térmo de u rogresó geométrc es y l rzó es r, l rogresó será: r r r... r r r r... r El térmo geerl de l rogresó geométrc es: L sucesó,,, 6,,... es u rogresó geométrc de rzó r. Su térmo geerl será:. Co esto, or ejemlo: 9 ; r Ejercco Comrueb ue ls sguetes sucesoes so rogresoes geométrcs y ue su térmo geerl es el ue se dc. ),,,,... b),,,... ( ) 8 Sum de térmos cosecutvos de u rogresó geométrc Se u rogresó geométrc de rmer térmo y rzó r. Pr hllr el vlor de l sum S... uede rocederse sí:. Se eres todos los térmos e fucó de y de r:... S r r r r r (). Se multlc los dos membros de l guldd teror or r: rs r r r r... r r (). Se rest ls gulddes terores, () (), obteédose: S rs r S( r) ( r ). Se desej S: ( r ) ( r ) S r r ( ) L sum de los rmeros térmos de l rogresó,,, 8,... es S. José Mrí Mrtíez Medo

16 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 6 Sum de ftos térmos cosecutvos cudo r < S l rzó, r, es meor ue e vlor bsoluto (esto es, r < ), uede hcerse l sum de ftos térmos cosecutvos. Dch sum vle: S ( ), r r ues e l fórmul geerl el vlor de r se hce cd vez meor (tede ) cudo tede fto. Por ejemlo, s r,8, r se tee r,8, ; y s 6,,8 6,, ctdd cd vez más sgfcte. L sum,... (ftos térmos, co r /) vle: S. / Ejercco Comrueb ue el vlor de ls sguetes sums es el ue dc: ) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 6 6, (, ) 6,, b) 7 7/ 7/9 7/7 (ftos térmos), Producto de térmos cosecutvos de u rogresó geométrc Se u rogresó geométrc de rmer térmo y rzó r. Pr hllr el vlor del roducto P... uede rocederse sí:. Se observ ue..., ues: r r. Se hll P... ) (... ) P r ; r ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( P ( ) ; P ( ) El roducto de los rmeros térmos de l rogresó geométrc, 6,, 6,.. es: 9 9 ) ( ) 9 P ( (Observ ue ) P El roducto de los 8 rmeros térmos de l rogresó geométrc 6, 8, 6,.. es: ) (6 6 ) () ( José Mrí Mrtíez Medo

17 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 7 Algus lccoes ecoómcs de ls rogresoes geométrcs Problems de terés bcro El terés es l gc o ret roducd or u ctl durte u erodo de temo; este terés uede ser smle, comuesto o cotuo. L ts de terés, ue geerlmete se d e ttos or ce, uede ser ul, semestrl, trmestrl, mesul, dr o cotu. Iterés smle. U ctl C, l cbo de u ño, u terés del % roduce u ret R C C r, dode r dc l ts e tto or uo. El ctl cumuldo l cbo de u ño será C C ( r) U ctl de, l % ul, roduce u ret ul de,. El ctl cumuldo l cbo de u ño será C (,) Iterés comuesto E el terés comuesto, el ctl cl v cremetádose co los tereses roducdos e los erodos terores de temo (ules, semestrles, trmestrles ). S los erodos so ules, cd ño se multlcrá or r, ue será l rzó de l rogresó. Los ctles e ños sucesvos será: C, ( t C C r), C C( r), C C( r)... C t C ( r), sedo t el úmero de ños. U ctl de, l 6% ul, se coverte l cbo de 8 ños e C ( ) 8 8, 6 876,96 El ctl cumuldo l cbo de t ños, u ts de terés ul r (e tto or uo), será: t r Ct C, sedo el úmero de erodos ules. S los tereses se bo trmestrlmete ( ), los terores se covertrí,6 e C 8 6, 9 8 Observcó sobre l T.A.E. Cudo los erodos de ctlzcó so ferores u ño (mesules, or ejemlo), los tereses roducdos (o devegdos) or u ctl so suerores l ts de terés ul. El orcetje de terés rel ue se obtee (o g) se llm ts ul efectv o ts ul euvlete: T.A.E. euros, u terés del % ul (ts oml se llm), roduce l ño euros. Los msmos, l msmo terés del % ul, co tereses ludbles mesulmete,, roduce C, 68 ; esto es, u gc de,68 euros. Es gc es l msm ue roducrí euros u,68 % de terés ul. Es es l TAE corresodete. E este cso, l formcó bcr correct debe ser: tereses de u % (,68 % TAE). José Mrí Mrtíez Medo

18 U.A.H. Actulzcó de Coocmetos de Mtemátcs r 8 Pl de versó S u erso deost eródcmete u ctdd fj de dero e u bco, u terés fjo, ls ctddes gresds y sus gcs ued sujets terés comuesto, sguedo los térmos de u rogresó geométrc. Al cbo de t ños: t L ctdd cl C se h covertdo e C t C ( r), t L ctdd C deostd trscurrdo u ño se hbrá covertdo e C t C( r) t L ctdd C deostd trscurrdos dos ños se hbrá covertdo e C t C( r). L ctdd C deostd trscurrdos t ños (el últmo greso) se hbrá covertdo e C ( C r). (Observ, ue e este cso, el subídce y el eoete dc el úmero de ños ue l ctdd C está deostd e el bco.) E cosecuec, trscurrdos t ños, es erso tedrá cumuldos l sum t t t C t C ( r) C t C( r) C t C( r) C ( C r). Esto es, l sum térmos cosecutvos de u rogresó geométrc de rzó r: t t C( r) [( r) ] S C ( r) r t S se gres ulmete, durte ños, u terés del % (esto es, r, y r,), l ctdd cumuld l cbo de esos ños es,(, ) S 6,9, Hotecs Es u modldd de go ue cosste e devolver (l bco) cd certo temo (mesulmete, trmestrlmete, etc) u ctdd de dero. (Auí suodremos ue es ctdd es fj y ue el terés se mtee fjo). Ess ctddes deudds ued sujets terés comuesto. D( r) r L fórmul ue d l mortzcó mesul (l ctdd devolver) es, ( r) dode D es l deud cl, r l ts mesul y el úmero de meses.,6 S D, r, (6 % ul, % mesul) y ( ños meses). (,), Alcdo dch fórmul, se obtee,. (,) Esto es, r sldr u deud de, hy ue gr,, mesulmete, durte ños. Not: Ests des, ue está relcods co el coceto ecoómco de vlor ctul, uede mlrse e Sydseter, 6 y ss. José Mrí Mrtíez Medo