Tema 4. Colas markovianas I: colas como procesos de nacimiento-muerte

Transcripción

1 Te 4. Cols rovs I: cols coo rocesos de ceto-uerte

2 4. Procesos de ceto-uerte. Dstrbucó de equlbro Los rocesos de ceto-uerte costtuye u cso rtculr de rocesos de Mrov e teo cotuo co esco de estdos dscretos. Se crcterz orque e culquer tervlo de teo tesl sólo so osbles trscoes de u estdo E l E + (ceto) o l E - (uerte). E el cotexto de los odelos de cols: el estdo E rereset que e el sste hy cletes. u ceto (trscó del estdo E l E + ) sgc u llegd l sste. u uerte (trscó del estdo E l E - ) u sld del so. Se: N(t) Nº de cletes e el sste e el stte t y lleos: Cosdereos deás: () t Prob N() t Ts ed de llegds cudo e el sste hy cletes. Ts ed de servco cudo e el sste hy cletes. (de est or, cudo hy cletes e el sste el teo edo etre llegds es / y l durcó ed del servco es / ). S r lgú se cule: / < esto es, l ts de llegds es eor que l ts de servco, etoces el sste lcz el equlbro y exste: lí () t t

3 3 L robbldd rereset l rccó de teo durte l cul el sste cotee cletes, u vez lczdo el equlbro. Pr clculr ls, de cuerdo co uestr decó de roceso de ceto-uerte, sureos que e cd tervlo de teo de durcó tesl t sólo uede roducrse: UNA LLEGADA, co robbldd t o t + + UNA SALIDA, co robbldd t o t sedo el úero de cletes e el sste l coezo del tervlo, y o t u téso de orde sueror t; etoces: S T b g b g ( t+ t) () t t t + () t t+ () t t+ o t, > + + t+ t t t + t t+ o t Psdo () t y () t, resectvete, l rer ebro, dvdedo or t y todo líte r t se sgue, d () t b t t t dt g () + () (), > () d() t () t + () t () dt Cudo se lcz el equlbro, ls o deede de t, y or tto ls dervds terores se ul, resultdo: ( + ), (3) + > + + de (4) se obtee drectete: rtculrzdo (3) r (4) b + g + Susttuyedo or el vlor obtedo tes, odeos desejr : (5)

4 4 Podeos segur rtculrzdo () r, 3,... ; es ácl corobr que se obtee: +, > (6) Por últo, uede clculrse s ás que oer l codcó: de dode: + + Estos resultdos so drectete lcbles los odelos eleetles cuys crcterístcs ás relevtes coetos cotucó:

5 5 4.. Cols M/M/ Este odelo es el ás secllo: Ls LLEGADAS se roduce segú u roceso de Posso hoogéeo de ráetro. Los TIEMPOS DE SEVICIO so..d. co dstrbucó exoecl de ráetro. Hy UN SÓLO POCESADO. E este cso y, y ddo que X /, result: ρ /. Utlzdo ls óruls (5) y (6) del rtdo teror, se obtee r el úero de cletes e el sste u dstrbucó geoétrc: de dode se sgue, N S < T ρρ ρ ρ ρ /( ρ) σ ρ /( ρ) N y utlzdo ls óruls de Lttle: W ρ / S / ρ ρ Obsérvese que N, W y S so versete roorcoles ρ; or tto el úero de cletes e el sste, sí coo los teos de eser crece ltdete edd que ρ se rox.

6 6 4.. Sstes de ccdd t: Cols M/M//C Este odelo es álogo l teror, slvo que se suoe que l sl de eser o buer del sste tee ccdd t C, esto es, e cd stte el sste uede lbergr coo áxo C cletes (cludo el que está recbedo servco). Est stucó uede ser ted e cuet or uestro roceso de ceto uerte s deos:, S T s < C s C,, 3,..., Este sste sere lcz el equlbro, ues r Ces /. Alcdo ls óruls (5) y (6) co estos coecetes se obtee s dcultd: S T / / C+ F HG I C KJ > C Ejercco: Clculr, r este odelo, el úero edo de cletes e col, el teo edo e el sste y el teo edo e col.

7 Modelos co ás de u servdor Modelo M/M/ Este es u odelo exoecl co u úero to de servdores. Puede cosderrse coo u odelo de cetouerte, co Etoces: S T,,,...,, 3,... Alcdo l órul (6) co estos ráetros, obteeos: ( + ) + / 3...! /! Pr ecotrr, usos: ( / ) e e! y lete obteeos, ( ) ( / ) ( ) / e /!! que es recsete l dstrbucó de Posso co ráetro: F HG I KJ

8 Modelo M/M/ Es l geerlzcó del odelo M/M/ l cso de servdores; suodreos que el clete que ocu l cbez de l col es teddo or el rer servdor que qued lbre. Coo e el cso teror: L ts de llegds es L ts de servco de cd servdor es tbé costte. Ddo que hy servdores, l ts de servco globl del sste será: s, s > ST y l tesdd de tráco ρ / Alcdo ls óruls (5) y (6) se sgue s dcultd que l robbldd e el equlbro de que hy cletes e el sste es: ( ρ )! ( ρ) ( ρ) ρ!! ( ρ ) +! U ctdd que suele resultr de terés es l robbldd de que u uevo clete teg que hcer col; e este cso, dch robbldd es: Q ( ρ )! ρ ( ρ) ( ρ) +!! ( ρ ) Est exresó se cooce coo órul C de Erlg, que l eleó rcos de sglo r el estudo de sstes teleócos.

9 9 S o se erte que hy col (esto es, todo clete que o ued ser teddo edtete se erde r el sste), etoces: S T s < s,,, 3,..., y, utlzdo uevete (3) y (4): / /! / /! y or tto, l robbldd de que u uevo clete se rechzdo (or ejelo, u coexó teleóc o se estblezc) es Q, exresó coocd co el obre de órul B de Erlg.

10 4..4 Modelos co oblcó de cletes t: M/M/c// Ests stucoes uede ser ted e cuet or uestro roceso de ceto-uerte co: y S T S T ( ),,,...,,,..., c c c S : Pr {El úero de cletes e el sste se } es obvo que s >. De l ecucó (6), teeos: Pr,,,..., c-, Por tto: + + b g b g... b + g F H G!! F I! HG KJ F H G I K J F! G I H KJ F H G I K J F H G I K J I KJ,,,,...,c -

11 Pr c, c +,..., + + de dode: c c c F HG I KJ!!! S lcos l codcó de orlzcó: obteeos: c c c c c F H G I K J F H G I K J + F HG I KJ L N M M O Q P P!!! NOTA: Pr el odelo M/M/ //, se uede deostrr áclete que: F HG I K J F H G I K J + F H G I K J L N M O Q P,,,...,

12 4. Coorteto trstoro. Dstrbucó trstor del odelo M/M/ S cosderos ls ecucoes () y () r el odelo M/M/, d() t () t + () t + + (), t t > dt d() t () t + () t dt obteeos ls sguetes ecucoes derecles:, () t + () t + () t + (), t +, () t () t + () t ( 8) (7) Ests ecucoes de estdo de trscó h sdo resuelts or deretes téccs. Aquí utlzreos el Método de ls Ecucoes e Derecs. Pr lcr este étodo es ecesro coocer el estdo cl del sste. Se suoe que, S T ( ) ( ), es decr, e el stte t, el sste est vcío. Deotos or: { () } () s L t Trsord de Llce de ( t) () st e t dt S clculos l Trsord de Llce de ls ecucoes (7) y (8) y lcos l roedd: obteeos: S {, () } { () } () () () L t sl t s s s+ () s + () s () 9 s+ + () s () s + () s ( ) T +

13 3 L ecucó: s+ + () s () s + + () s es u ecucó e derecs de orde dos y uede escrbrse de l or: () s s+ + () s + () s + S suoeos que l solucó es de l or: () () () s C s z s sedo z(s) u ucó de s y C u costte, l ecucó teror se reduce : () () ( ) () () () () + C s z s s+ + C s z s + C s z s Scdo ctor coú C(s) (que s l segudo ebro dvdedo l ) y dvdedo or z() s os qued l ecucó crcterístc de l ecucó e derecs: z s+ + z+ (dode heos escrto z e lugr de z(s) or cooddd). Est ecucó de segudo grdo tee dos ríces (reles o colejs), que llreos z y z, sedo: z z z () s z () s s+ + + s+ + 4 Ahor be, coo () s c z() s s+ + s+ + 4 de ests dos ríces, l úc que os servrá coo solucó será quell cuyo ódulo se eor que l udd (e cso cotrro, el vlor z () s crecerí co y l ucó () s serí dvergete, co lo cul o odrí ser l trsord de u robbldd). Puede grtzrse que l eos u de ls rces terores es eor que l udd? Pr ello observeos que l ecucó crcterístc se uede escrbr coo:

14 4 z s + + z + y s z y z so sus ríces, etoces: s + + z + z z z eobros, s es ecesro, ls ríces de odo que z se l de yor ódulo z z. El teore que eucos cotucó erte deostrr que z > y z < : Teore de ouche: S (z) y g(z) so ucoes lítcs detro de C y gz () < () z e C, etoces (z) y (z) + g(z) tee el so úero de ceros detro de C E el cso que os ocu, s cosderos que C x + y (círculo udd) y obteeos que sobre C: S T z () z s+ + z gz () + z () z s+ + z s z g() z > () z > g() z Etoces, () z s+ + z U V W () z + g() z s+ + z+ + z tee el so úero de ceros e el teror de C. Por tto, lcdo el teore de ouché, se deduce que l ecucó:

15 () z + g() z z + s+ + z+ 5 tee u úc solucó detro del dsco udd (ues (z) tee sólo u, l z). Coo z < z > z <. Así ues, l solucó geerl de l ecucó es: s+ + () s () s + + () s () () s C z s NOTA: s ls dos ríces huber sdo de ódulo eor que l udd, l solucó geerl serí: () () () () () s A s z s + B s z s Teeos que () s C() s z () s C() s. Ahor, sbedo que L(), y que, result: s () t ( s) C() s z () s C() s z () s s s s z C() s C() s z s s s () () s y or tto: () s z () s s z () s s z () s s () Pr obteer l robbldd e el equlbro bst co obteer el líte de () t cudo t>.

16 6 Alcdo el teore del vlor l de ls Trsords de Llce, se tee: t> s> s> ( () ) () lí () t lí ( s) lí z s z s ues: ( - ) ρ ρ ρ < ρ o lí z lí s + + s s> s>,,,... t S T + ρ < +

17 7 4.3 Cols ultcl Los odelos de cols ultcl so quellos e los que hy u úc col de eser r u úero > de cles. E rtculr, lzreos los odelos ultcl co etrd orded y buer to, esto es, el clete que quere etrr e el sste debe tetr etrr e el Cl rero y s está lbre, etr; e cso cotrro, debe tetrlo e el cl y sí sucesvete. S el clete o ecuetr gú cl lbre, el clete dej el sste. Hreos ls sguetes suoscoes: Ls uddes lleg segú u roceso de Posso de ráetro. Los teos de servco e cd cl so exoecles co détco ráetro. E cd cl hy u úco servdor y l col es tedd sguedo u olítc FIFO.

18 Modelo de dos cles co etrd orded y buers tos El estdo del sste se deot coo (,j), dode, j esecc el úero de cletes que hy e los cles y resectvete, co: ST M j N Ls ecucoes e derecs que descrbe el ucoeto de este sste uede ser escrts coo: (, ) >,, +, ( M, ) > M, + M, M, + M, ( MN, ) > MN, M, N+ MN, (, N) > ( + ), N, N ( ML, ), < L< N > ( + ) ML, M, L+ ML, + ML, + ( KN, ), < K< M> ( + ) KN, K, N + K+, N (, L), < L< N > ( + ), L (, L +, L+ ) ( K, ), < K < M > ( + ) K, K, + K+, + K, ( KL, ), K M, L N > ( ) ( ) j, j, < < < < K, L K, L K+, L K, L+ El sste de ecucoes teror es dícl de resolver, or ello es ecesro cosderr csos rtculres.

19 M N (Overlow Networ Syste) Ls ecucoes terores se reducrí : S T +,,, + + +,,,,,, +,, S deotos or N el úero totl de cletes e el sste, obteeos: Pr( N ), r r ρ r! Pr( N ) +,, ρ / Pr( N ), r ρ r! r r ρ r ρ r! Adeás el úero totl de cletes eserdos es: ρ + PrN ρ r ρ r! r