RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE PERFILES EXTRUIDOS UTILIZANDO TRIANGULACIÓN LÁSER. Ing. JUAN CARLOS RAMÍREZ ROJAS

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1 GRUPO DE ÓPTICA Y TRATAMIENTO DE SEÑALES RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE PERFILES EXTRUIDOS UTILIZANDO TRIANGULACIÓN LÁSER. Ing. JUAN CARLOS RAMÍREZ ROJAS UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIAS FISICOMECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA ELECTRONICA Y TELECOMINUICACIONES MAESTRÍA EN INGENIERIA ELECTRÓNICA. BUCARAMANGA 011

2 RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE PERFILES EXTRUIDOS UTILIZANDO TRIANGULACIÓN LÁSER. AUTOR: Ing. JUAN CARLOS RAMÍREZ ROJAS Presentado ante el Consejo de Escela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Telecomnicaciones, como reqisito para optar al títlo de: Magister en Ingeniería Electrónica. DIRECTOR: MPE. JAIME BARRERO PÉREZ CODIRECTOR: Dr. JAIME MENESES UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIAS FISICOMECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA ELECTRONICA Y TELECOMINUICACIONES MAESTRÍA EN INGENIERIA ELECTRÓNICA. BUCARAMANGA 011

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5 AGRADECIMIENTOS Expreso mis sinceros agradecimientos a: A mis padres y a mis hermanos, por apoyarme en este proceso de formación académica. Al Doctor Jaime Enriqe Meneses Fonseca, por s gran paciencia, apoyo incondicional, y sobre todo por s orientación profesional. Al Magister Jaime Barrero Pérez, por s amistad, s alioso apoyo drante todo el proceso y también por motiarme y apoyarme a clminar esta Maestría. A todos mis compañeros y profesores del Grpo de Óptica y tratamiento de señales. A todas las personas qe contribyeron al logro de este objetio. 5

6 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL POR TRIANGULACIÓN LASER LINEAL Introdcción Reconstrcción tridimensional Reconstrcción por trianglación laser Procedimiento de calibración experimental. 0 CALIBRACIÓN DE CÁMARAS. 4.1 Introdcción. 4. Calibración de na cámara Modelo de cámaras con distorsiones geométricas Distorsión radial Distorsión descentral. 8.. Notación matricial Transformación lineal directa (DLT) Calclo de parámetros intrínsecos y extrínsecos. 3 3 IMPLEMENTACIÓN DEL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL Introdcción Sistema óptico de trianglación laser implementado Sistema de proyección Sistema de obseración Sistema de control, adqisición y procesamiento de imágenes Diseño del chasis Diseño de la electrónica Montaje de eqipos Ensamble general y prebas. 41 6

7 4 CALIBRACIÓN EXPERIMENTAL DEL DISPOSITIVO DE RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL Introdcción Calibración de las cámaras Optimización Parámetros Intrínsecos Cámara CCD 1,, 3 y Parámetros Extrínsecos de las Cámaras CCD 1,, 3 y Análisis del error en el cálclo de los parámetros de calibración Distancia entre VR y VE, y estimación error para la Cámara Distancia entre VR y VE y estimación error para la Cámara Distancia entre VR y VE y estimación error para la Cámara Distancia entre VR y VE y estimación error para la Cámara Unificación de sistemas coordenados RECONSTRUCCIÓN 3D Reconstrcción 3D de cada cámara Unificación de sistemas coordenados Análisis del error en la reconstrcción 3D Inflencia del rido en la imagen de la línea láser para calclar el alor de Z Inflencia del error en el cálclo de los parámetros de calibración de cámara Inflencia de la nificación del sistema coordenado Conclsión. 67 CONCLUSIONES GENERALES Y RECOMENDACIONES. 69 PUBLICACIONES REALIZADAS. 71 BIBLIOGRAFÍA. 7 7

8 LISTA DE FIGURAS Figra 1. Codificación de la coordenada Z. 16 Figra a y b. Principio de codificación de la altra por medio de trianglación. 18 Figra 3. Geometría de la trianglación láser sada. 19 Figra 4. Sistema de coordenadas inolcradas para el procedimiento de calibración. 0 Figra 5. Proyección láser sobre el plano de referencia para Z = a) - 10mm b) 0 c) 10mm. 1 Figra 6. Cra de calibración para la cámara 1. Figra 7. Imagen de la cra de calibración interpolada para la cámara 1. Figra 8. Grilla de calibración (Tamaño del cadro 3x3 [mm]). 5 Figra 9. Sistemas coordenados tilizados para calibrar las cámaras. 6 Figra 10. Componentes de la distorsión geométrica. 8 Figra 11 a y b. Esqema renderizado del Sistema óptico de trianglación láser implementado y principio de fncionamiento. 36 Figra 1. Esqema renderizado de sistema de proyección de la línea láser. 37 Figra 13. Cámara CCD AS-1368C. 37 Figra 14. Tarjeta Matrox Meteor II. 38 Figra 15. Fente switching. 40 Figra 16. Sistema óptico de trianglación láser constrido. 40 Figra 17 a. Proyecciones con los láseres desalineados. Figra b. Proyecciones lego del procedimiento de alineación. 41 Figra 18. Imágenes para calibración de la Cámara Figra 19. Sistema coordenado de la cámara. 45 Figra 0. Extracción de pntos de control de la imagen (a) Pntos de Control para imagen libre de distorsiones, (b) Pntos Retro proyectados. 46 8

9 Figra 1. Error en píxeles en la retroproyección para la cámara Figra. Transformación geométrica qe relaciona pixeles distorsionados y no distorsionados. 49 Figra 3. Relación de píxeles distorsionados a no distorsionados. 50 Figra 4. Geometría para determinar las coordenadas de n pnto en el espacio objeto. 51 Figra 5. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara 1. 5 Figra 6. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara. 5 Figra 7. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara Figra 8. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara Figra 9. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD1. 54 Figra 30. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD. 55 Figra 31. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD3. 56 Figra 3. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD4. 57 Figra 33. Esqema de montaje para calibración. 58 Figra 34. Secencia de imágenes desplazadas cada 5º para calclar el eje de rotación en la cámara Figra 35. Extracción de los pntos értices para el plano Ѳ=0 de la cámara Figra 36 a y b. Intersección de planos y cálclo del eje de rotación del sistema. 61 Figra 37. Sperposición de planos para la cámara Figra 38. Imágenes tomadas por las 4 cámaras para n perfil metálico. 63 Figra 39. Esqema de nificación de sistemas coordenados. 64 Figra 40 a y b. Unificación de sistemas coordenados. 64 9

10 Figra 41. Reconstrcción de la sección transersal de n perfil. 65 Figra 4. Matrices de calibración laser

11 LISTA DE TABLAS Tabla 1. Clasificación de los métodos ópticos comúnmente sados. 17 Tabla. Especificaciones Cámara CCD AS-1368C. 38 Tabla 3. Parámetros Intrínsecos cámaras 1,, 3 y Tabla 4. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD1. 54 Tabla 5. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD. 55 Tabla 6. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD3. 56 Tabla 7. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD

12 RESUMEN RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE PERFILES EXTRUIDOS UTILIZANDO TRIANGULACIÓN LÁSER. AUTOR: JUAN CARLOS RAMÍREZ ROJAS PALABRAS CLAVE: Trianglación, Reconstrcción, Discriminación de bordes, CCD, Lasér, óptica, calibración En esta inestigación se implementa n sistema prototipo óptico, qe permite realizar na reconstrcción tridimensional de la sección transersal de n perfil extrido sin necesidad de estar en contacto con él, manteniendo excepcional precisión. Debido al carácter dinámico del proceso de extrsión, la medida se realiza de manera no inasia (sin tocar la sperficie del cerpo). Por lo tanto se determina la información topográfica de la sperficie del perfil, tilizando n dispositio óptico de reconstrcción tridimensional basado en trianglación láser y procesamiento de imágenes. En el dispositio de trianglación se proyecta n patrón láser qe en este caso es na línea recta, la cal forma n ánglo conocido entre el objeto a ilminar y na cámara CCD qe tomara la información de la intensidad lminosa del perfil en estdio. En la inestigación se realiza el montaje necesario para la trianglación aliéndose de catro diodos láser y catro espejos octogonales perfectamente plidos qe haciéndose girar a alta elocidad y al entrar en contacto con el haz pntal de lz láser esta se conierte en na línea recta, la cal hace contacto sobre la sección transersal del perfil a medir. Catro cámaras CCD son colocadas a noenta grados na de otra, con n ánglo conocido con respecto al plano laser, las cales preiamente calibradas, toman la imagen del láser sobre la sperficie ista en los catro ánglos, obteniendo na isión de 360º, y a traés de n algoritmo implementado bajo el software Matlab se reconstrye adecadamente la sección transersal del perfil objeto de estdio. * FACULTAD DE INGENIERIAS FISICOMECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA ELECTRONICA Y TELECOMINUICACIONES MAESTRÍA EN INGENIERIA ELECTRÓNICA. **DIRECTOR: Mpe. JAIME BARRERO PÉREZ CODIRECTOR: Dr. JAIME MENESES 1

13 SUMMARY IN BRIEF THREE DIMENSIONAL RECONSTRUCTION OF THE CROSS SECTION OF EXTRUDED PROFILES BY LASER TRIANGULATION AUTHOR: JUAN CARLOS ROJAS RAMIREZ KEYWORDS: Trianglation, Reconstrction, Border discrimination, CCD, laser, optics, calibration. This research implements an optical prototype system, which allows three-dimensional reconstrction of cross section in an extrded profile withot being in contact with them, maintaining exceptional accracy. De to dynamic natre of extrsion process, the measrement is performed non-inasiely (withot toching the srface of body). Therefore determines the topographic srface profile optical deice sing a three-dimensional reconstrction based on laser trianglation and image processing. In the trianglation deice projects a laser pattern in this case is a straight line, which is a known angle between the object light and a CCD camera to take the information of the light intensity profile in the stdy. In the research, assembles necessary for trianglation sing for laser diodes and for octagonal mirrors becoming perfectly polished, high-speed spin in contact with the spot beam of laser light it becomes a straight line, which contacts oer the cross section of the profile to be measred. For CCD cameras are placed at 90º to each other, with a known angle to the plane laser, which preiosly calibrated, take the image of the laser on the srface seen in the for corners, giing a 360º, and throgh an algorithm implemented nder the Matlab software properly reconstrcted profile cross section nder stdy. *FACULTAD DE INGENIERIAS FISICOMECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA ELECTRONICA Y TELECOMINUICACIONES MASTER IN ELECTRONIC ENGIENIERING. **DIRECTOR: Mpe. JAIME PEREZ BARRERO CO-DIRECTOR: Dr. JAIME MENESES 13

14 INTRODUCCIÓN Actalmente los procesos en los qe emplean métodos ópticos de reconstrcción 3D están en amento, debido a las entajas qe estos métodos ofrecen, como por ejemplo la no necesidad de entrar en contacto con el objeto a medir. Amplios sectores de la indstria, la medicina, la rama jdicial, entre otros, han adoptado sistemas confiables de reconstrcción tridimensional a ss procesos. Proyección de franjas, trianglación laser, isión estéreo, son solo algnos ejemplos de estos métodos. En esta inestigación se implementa n sistema prototipo óptico para resoler n problema de la indstria; y es como medir la sección transersal de perfiles en na línea de prodcción sin necesidad de estar en contacto con ellos. El sistema se basa en el principio de medición por trianglación láser, y el procesamiento digital de imágenes. En n comptador personal, se hace el procesamiento de imágenes, para reconstrir la sección transersal momentánea del perfil, de donde se peden extraer dimensiones tales como ancho total o parcial, alto total o parcial, profndidad, ánglos de inclinación, y radios de cratra. Este docmento describe los diferentes componentes qe conforman este sistema de medición. En el capítlo 1 se presenta n resmen de las técnicas de reconstrcción por métodos ópticos más sadas, haciendo énfasis en la reconstrcción por trianglación laser. También se mestra en resmen del procedimiento de calibración experimental. En el capítlo se describe n resmen de la teoría de calibración de cámaras y los modelos de cámaras con distorsiones geométricas. En el capítlo 3 se mestra el diseño del hardware para el eqipo prototipo de medición, así como s constrcción, inclyendo el ensamble de todos los elementos qe lo componen. Iniciando con el chasis o marco, lego la disposición de los eqipos laser y posteriormente las cámaras, qe an conectadas a n comptador, el cal procesará todas las imágenes adqiridas. En el capítlo 4 se implementa n procedimiento de calibración de cámaras y la nificación de sistemas coordenados, con el objetio de reconstrir la sección transersal del objeto en estdio, qe se presentan en el capítlo 5. Finalmente se presentan los resltados obtenidos con este sistema prototipo de medición, así como las conclsiones y posibles mejoras ftras. 14

15 1 RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL POR TRIANGULACIÓN LÁSER LINEAL 1.1 INTRODUCCIÓN En la última década los sistemas de reconstrcción tridimensional por ía óptica han adqirido na especial importancia en mchos campos de la ciencia y la tecnología, como en procesos prodctios, medicina, criminalística, entre otros. Por definición, reconstrir tridimensionalmente n objeto significa tomar información de s sperficie, desde na o arias posiciones en el espacio, y plasmarla dentro de n modelo digital en n sistema coordenado, con el fin de extraer información de s topografía. Para lograr estos objetios es necesario, primero implementar n sistema de adqisición de imágenes y lego calibrarlo de forma tal qe se pedan conertir las nidades en píxeles qe toma la cámara a na nidad de longitd, por ejemplo, plgadas o metros y qe se adapte a las características del proceso. 1. RECONSTRUCCION TRIDIMENSIONAL Si se desea reconstrir n objeto tridimensional es necesario formar na imagen de s sperficie como se indica en la figra 1. La lente captra los rayos lminosos emitidos de los diferentes pntos de la sperficie y los hace conerger al plano imagen, sigiendo las leyes de la óptica geométrica, y formando na imagen bidimensional. Como resltado del proceso de proyección en la formación de la imagen se pierde información de la coordenada espacial del pnto medida en la dirección del eje óptico. Como se obsera en la figra 1, los pntos P₁ y P₂ se proyectan en la imagen sobre el pnto Pᵢ, perdiéndose la distancia Z, llamada altra del pnto P₂. Con el fin de recperar la información perdida se selen tilizar diferentes estrategias qe permitan codificar la altra en otra ariable qe peda ser tratada digitalmente. 15

16 Figra 1. Codificación de la coordenada Z. Existen múltiples estrategias para calclar la coordenada Z de n objeto, dentro de los cales se encentran los métodos qe entran en contacto directo con el cerpo en estdio, como calqier tipo de galga de medida, y los qe no entran en contacto, llamados métodos no inasios, por ejemplo, los basados en ltrasonido y los procedimientos ópticos. Los métodos ópticos de reconstrcción tridimensional se basan en na ariable de natraleza óptica para codificar Z. La ariación del camino óptico de n haz lminoso, alteración de la fase del frente de onda, el corrimiento de la posición en el plano imagen de n pnto láser, deformación del paso de n sistema de franjas, etc. Por lo general, se debe tener n sistema de ilminación y n sistema de adqisición de imágenes. La tabla 1 mestra algnos métodos ópticos tilizados en el diseño de dispositios de medida tridimensional. Clasificación Método Principio de Codificación El patrón pede ser n Láser pnto, na línea, múltiples líneas o n patrón definido. Lz Estrctrada Binaria Se tilizan patrones binarios bidimensionales qe codifican la información en no o en dos ejes. Niel de gris Usa n patrón de ilminación en nieles de gris. Se basa en trianglación, la altra para cada pnto se codifica en el corrimiento del patrón con respecto a n niel de referencia. Este corrimiento se debe a los cambios en la topografía del objeto. 16

17 Métodos de medida de fase Cromática Proyección de franjas Moiré El patrón de ilminación está asociado a na matriz de color. La altra del objeto se codifica en la deformación local del paso y orientación de las franjas proyectadas qe están contenidas en n término de fase, qe se debe recperar. La altra del cerpo se codifica en cras de niel, obtenidas por efecto Moiré debido a la proyección de sistemas de franjas de paso similar. Tiempo elo Microscopía confocal de Interferometría Consiste en ariar el camino óptico y obtener información de fase de las franjas de interferencia. Pede ser a interferencia normal, oblica o Interferometría a lz blanca. Para calclar la distancia absolta de n pnto del objeto se enía n plso de lz (salmente láser) y se mide el retardo de tiempo del haz reflejado. El cerpo se bica en n sistema de desplazamiento axial y la altra se determina identificando la posición donde se encentra el máximo de intensidad del sistema confocal. Visión estéreo A partir de dos imágenes tomadas a diferentes ánglos, se bsca la correspondencia entre pntos eqialentes y se halla la profndidad, esto es semejante al sistema binoclar hmano. Tabla 1. Clasificación de los métodos ópticos comúnmente sados. Tomada de [3] Dentro de los métodos mencionados anteriormente, los más tilizados en la indstria son los métodos de proyección de franjas y trianglación láser, debido a la facilidad para implementarlos, no reqiere de elementos sofisticados, el campo de obseración y resolción se adopta a las condiciones indstriales y no reqiere de contacto directo con el objeto. Para el desarrollo del dispositio de medida de la sección transersal del perfil se tilizó el método de trianglación laser. 17

18 1.3 RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL POR TRIANGULACIÓN LÁSER La técnica de reconstrcción por trianglación láser consiste en proyectar n pnto o na línea láser sobre la sperficie del objeto en estdio y medir s deformación. La Figra mestra el principio básico de reconstrcción tridimensional por trianglación laser. En este caso la línea laser incide sobre la sperficie del objeto formando n ánglo con el eje óptico de la cámara, qe coincide con el eje Z del sistema coordenado de reconstrcción. Los eje X,Y coinciden con el plano de focalización de la cámara. Como se obsera en la Figra la línea al propagarse en el espacio genera n plano laser qe intercepta la sperficie del objeto, obserándose desde la cámara na línea deformada. La Figra a mestra n bloqe de altra Z bicado sobre el plano objeto o plano de focalización de la cámara ( llamado plano de referencia), qe al ser interceptado por el plano laser forma na línea Discontina qe presenta n corrimiento X sobre el plano imagen de la cámara. De esta manera Z se codifica en el corrimiento lateral X, qe pede ser determinado por tratamiento digital de la imagen adqirida. El corrimiento X depende de Z, pero también depende de manera directa del ánglo de proyección y del factor de ampliación geométrico de la cámara. La Figra b mestra la deformación de la línea laser adqirida de la sperficie de n objeto con forma ariada. Cada pnto de la línea posee n corrimiento X qe es fnción de Z para el pnto de coordenadas (X,Y,Z) de la sperficie. Las coordenadas (X,Y) del pnto son deformadas por las coordenadas (X,Y) del plano imagen de la cámara y Z es calclado por tratamiento digital de la imagen y los parámetros del montaje experimental. Con el fin de extraer información de toda la sperficie es necesario desplazar n plano laser paralelo al eje X a alores conocidos. Con este procedimiento se recpera información tridimensional de los pntos de la sperficie mostrados por la CCD y qe interceptan al plano láser. Experimentalmente se pede tilizar n pnto láser en ez de na línea, pero se debe barrer la línea en X y Y con el fin de recperar la información topográfica del cerpo. Figra a y b. Principio de codificación de la altra por medio de trianglación láser [10]. 18

19 La Figra 3 mestra de manera general el esqema del montaje y los parámetros de la geometría del sistema de trianglación láser lineal. El plano láser se proyecta formando n ánglo θ con el eje Z. El sistema de obseración forma n ánglo β con el eje Z y captra la imagen de la línea deformada. Al bicar el objeto, el haz es interceptado en P formándose s imagen en P. Usando la Ley de Gass para las lentes delgadas, se pede mostrar qe la coordenada Z del pnto P está relacionada con la coordenada U de s imagen P según la expresión: U cosβ Z ( U ) = M cos( θ + β ) tan( β+ θ ) + U f, (1) Donde el factor de ampliación geométrico M f/d o, siendo f la focal efectia del objetio de la cámara y d o la distancia desde O hasta el centro del sistema óptico del objetio. Inicialmente U es medida en pixeles y conertida a milímetros sobre el plano imagen sando los parámetros del sensor de la cámara (Distancia entre pixeles). Figra 3. Geometría de la trianglación láser sada [4]. Para el caso cando el eje óptico del sistema de obseración es perpendiclar al plano de referencia (β = 0), la expresión (1) qeda: Z(U)= U / M[tan(θ)+(/f)]. () Para el mismo caso cando θ = 0, se obtiene la expresión qe permite encontrar la coordenada Y del mismo pnto P en el mndo real: 19

20 Y(U,V) = (d₀/f)v UVcos(θ) / M[tan(θ) +(U/f)]. (3) Utilizando la ecación 1 se obtiene la altra del cerpo para los pntos digitalizados de s sperficie, en fnción de las coordenadas (U,V) y los parámetros del sistema (θ, β, f, M). El procedimiento de reconstrcción se basa en la determinación de las coordenadas (U,V) en pixeles de los pntos sobre la imagen de la línea láser deformada. De igal forma se debe conocer preiamente los alores teóricos de los parámetros del sistema. El error qe se introdce en la determinación de la altra es determinado principalmente por la precisión al medir estos parámetros. Por lo tanto, es necesario bscar otra estrategia para mejorar la precisión del método sin necesidad de medir los parámetros del sistema. En la sección sigiente se mostrará en detalle el procedimiento de calibración experimental. Como se mencionaba anteriormente, para obtener la reconstrcción tridimensional completa de la sperficie del cerpo es necesario realizar n desplazamiento de la línea láser sobre la sperficie del objeto en la dirección del eje X. Si se realizan desplazamientos a interalos X, las respectias coordenadas X de todos los pntos sobre la n-e sima línea sería: X = n X. (4) 1.4 PROCEDIMIENTO DE CALIBRACION EXPERIMENTAL El procedimiento mencionado anteriormente se realiza cando son conocidos con precisión los parámetros del montaje, tales como distancias y ánglos entre los elementos. Sí éstos no son conocidos o difíciles de medir con precisión, se debe efectar n procedimiento de calibración experimental, el cal consiste en desplazar el plano de referencia en dirección del eje Z en n interalo alrededor del origen (Pnto 0 al pnto M), obteniéndose el rango de medida del dispositio. Figra 4. Sistema de coordenadas inolcradas para el procedimiento de calibración. 0

21 La figra 4 mestra el procedimiento empleado para realizar la calibración donde el eje Z es perpendiclar al plano de referencia y el eje óptico de la cámara forma n ánglo θ. La figra 5 mestra arias imágenes qe eidencian el desplazamiento del plano entre el pnto de origen 0 y el pnto M. Este procedimiento se realiza con el principal objetio de encontrar la relación experimental entre píxeles (,) y milímetros Z correspondientes a la altra del objeto. Figra 5. Proyección láser sobre el plano de referencia para Z = a) -10mm b) 0 c) 10mm Como se obsera en la figra 5, existe n rido conocido como speckle, el cal se debe filtrar antes de extraer las coordenadas centrales de la línea láser qe corresponden a la altra del objeto. Este rido se pede eliminar sando n procedimiento de conolcion con na entana de 5x5 píxeles, en el cal la intensidad de n pixel corresponde al promedio de la intensidad de ss 4 ecinos (Filtrado pasa-bajo). Lego de realizar n proceso de filtrado de la imagen, se hace na binarizacion comparando la imagen con n mbral definido por: U= 0.8 x (Imáx-Imín)+Imín, ( 5 ) Donde Imáx, Imín corresponden a los mbrales de intensidad máximo y mínimo para cada fila. En la figra 6 se pede obserar na gráfica con las líneas de altra obtenidas experimentalmente desde Z=-10mm hasta Z=10mm con n desplazamiento de 1 mm entre cada línea qe corresponden a la cra de calibración. Para el sistema de proyección y obseración del dispositio implementado e indicado en el cap. 3 1

22 Figra 6. Cra de calibración para la cámara 1. La Figra 7 mestra la cra de calibración interpolada al ealar el polinomio anterior en el rango de alores (U,V) adqiridos. De esta manera, a n pnto de la imagen qe tiene coordenadas (U,V) en píxeles le corresponde na altra Z en mm. Esta figra es llamada cra de calibración, y de manera implícita depende de los parámetros del sistema. El procedimiento de reconstrcción tridimensional consiste en calclar las coordenadas de los pntos centrales de la línea deformada por la topografía del cerpo y calclar ss correspondientes altras sando la cra de calibración. Figra 7. Imagen de la cra de calibración interpolada para la cámara 1. La precisión del procedimiento de reconstrcción la define la aproximación tilizada para ajstar la cra experimental de calibración. Polinomios de orden sperior peden tilizarse, si existe la inflencia de efectos no lineales en los

23 sistemas de desplazamiento o fertes aberraciones de los sistemas formadores de imágenes. Una ez calclada la altra para cada pnto de la línea láser, se obtiene n corte de la sección transersal del objeto con la altra en milímetros y las coordenadas transersales en píxeles. Es necesario realizar n procedimiento de calibración para conertir las coordenadas sobre el plano de referencia de píxeles a las coordenadas transersales reales de la topografía del cerpo. Este procedimiento de calibración de coordenadas espaciales se realiza sando las ecaciones de la óptica geométrica o sando algoritmos tradicionales de calibración de cámaras, por ejemplo, el algoritmo de calibración de cámaras incorporado en el Toolbox de Matlab, qe es el implementado en esta inestigación. 3

24 CALIBRACIÓN DE CÁMARAS.1 INTRODUCCIÓN En el capítlo anterior se presentó el método de trianglación láser para codificar la altra de los pntos sobre la sperficie del cerpo a partir de la deformación de la línea láser proyectada. El procesamiento digital de imágenes permite recperar las coordenadas en pixeles de los pntos centrales de la línea láser adqirida. Un procedimiento preliminar de calibración permite experimentalmente asociar na altra Z a cada pixel (,) sobre el plano imagen de la cámara, de esta manera a cada pixel central de la línea láser qe corresponde a los pntos de la sperficie del cerpo qe han interceptado el plano láser se la asigna s altra correspondiente. Al final de esta primera etapa de reconstrcción tridimensional se obtiene información Z en mm para cada pnto (,) en pixeles de la sperficie del cerpo en el plano imagen. Con el fin de finalizar la reconstrcción tridimensional es necesario conertir las coordenadas (,) en pixeles a las coordenadas (x,y) en mm sobre el espacio del objeto. Básicamente consiste en trasladar el pnto Pᵢ ( en pixeles) al pnto P₁ de la Figra 1. Tradicionalmente esto se realiza sando el factor de ampliación geométrica M definido por d₀/dᵢ d₀/f. Este es posible si se asme qe el sistema formador de imágenes está libre de aberraciones. La Figra 8 mestra la imagen de n patrón rectanglar plano o grilla de calibración, se aprecia la ferte inflencia de aberraciones geométricas. Por tanto es necesario realizar n procedimiento de calibración de cámara o sistemas formadores de imágenes, qe permite conertir pixeles en mm, corrigiendo las aberraciones geométricas. Al realizar el procedimiento de calibración se obtienen dos tipos de parámetros, los intrínsecos y los extrínsecos, los primeros permiten definir las propiedades de la cámara: focal, factores de conersión pixel/mm, centro de sistema de obseración y modelar las aberraciones contenidas en la cámara. Los parámetros extrínsecos definen la posición y orientación de la cámara con respecto al espacio objeto.. CALIBRACIÓN DE UNA CÁMARA El proceso de calibración de cámaras consiste típicamente en determinar las características internas y externas de na cámara: parámetros intrínsecos (coordenadas del pnto principal, distancia focal, etc.), y los parámetros extrínsecos (rotación y translación), qe representan la localización y orientación de la cámara relatia al sistema de coordenadas del objeto. Los parámetros se 4

25 calclan normalmente sando patrones de calibración como el qe se mestra en la figra 8, el cal consiste en na grilla de calibración (Cadrícla en blanco y negro) con dimensión de cadros conocidos. Figra 8. Grilla de calibración (Tamaño del cadro 3x3 [mm]). La Figra 9 mestra el modelo de proyección pntal y los sistemas coordenados tilizados para modelar los sistemas formadores de imágenes. En este modelo la información del objeto se proyecta en el plano imagen por na línea a traés de n centro de proyección O C, denominado centro óptico. El plano imagen se encentra sitado a na distancia llamada distancia focal f del centro óptico. El eje óptico es la línea perpendiclar al plano imagen y pasa por el centro óptico. Para bicar objetos en el mndo real, se define n sistema de referencia fijo, qe es llamado sistema de referencia del objeto, (Xw,Yw,Zw). El espacio imagen está definido por el sistema coordenado (Xc,Yc,Zc). El eje Zc corresponde al eje óptico de la cámara, lego el plano definido por los ejes (Xc,Yc) es paralelo al plano imagen o plano qe contiene los sensores de la cámara CCD. De manera tradicional la esqina sperior izqierda del plano imagen define el origen del sistema coordenado (,) qe permite bicar el pnto en el plano imagen en pixeles. Con sólo conocer la distancia en píxeles entre pntos en na imagen, no es posible determinar la distancia tridimensional correspondiente a los mismos pntos en el mndo real. Por lo tanto, es necesario establecer las ecaciones qe relacionen el sistema de referencia del objeto con el sistema de referencia de la cámara, para establecer la relación entre las coordenadas de los pntos en el espacio 3D y las coordenadas de los pntos de la imagen D. Esta relación, no se pede establecer directamente, haciéndose necesario establecer n sistema de referencia intermedio, llamado sistema de referencia de la imagen. El sistema coordenado (U, V) define las filas y colmnas en píxeles en el plano imagen y son paralelos a los ejes Xc y Yc respectiamente. El plano imagen se encentra a na distancia focal f del origen O c. Este plano es perpendiclar al eje Zc e intercepta 5

26 el pnto principal de coordenadas ( o, o ) en píxeles del plano imagen. El sistema de referencia en milímetros sobre el plano imagen es (X, Y ) paralelos a los ejes Xc, Yc y centrados en ( o, o ), como se indica en la Figra 9. Figra 9. Sistemas coordenados tilizados para calibrar las cámaras. Usando la perspectia pntal, (Modelo Pinhole), n pnto P o (X w, Y w, Z w ) en el espacio objeto, es proyectado al pnto P i de coordenadas (X, Y ). Las coordenadas del pnto P o en el sistema de referencia de la cámara son (X c, Y c, Z c ). A partir de la proyección lineal se tiene: f f X = Xc ; Y = Y (6) c Z Z c c Las coordenadas (U, V) en píxeles se calclan tilizando los factores de conersión K X y K Y en píxel/mm y las coordenadas del pnto principal (Uo, Vo) en píxeles, así: U = K X + U ; V = K Y + V (7) o o De igal manera, las coordenadas (X w, Y w, Z w ) de n pnto P o en la sperficie del objeto y con coordenadas P c (X c,y c,z c ) en el sistema coordenado de la cámara están relacionados de acerdo de acerdo a la ecación: r P C r r = R P + T (8) o Donde R es la matriz de Rotación entre sistemas de referencia y T es el ector de Translación. 6

27 ..1 MODELO DE CÁMARAS CON DISTORSIONES GEOMÉTRICAS Si los componentes ópticos de la cámara feran perfectos, la transformación entre la imagen bidimensional y el objeto tridimensional en el espacio sería perfectamente lineal y fácil de resoler. Pero las lentes prodcen distorsiones qe no son lineales y qe afectan la precisión de la transformación. Estas distorsiones se refieren a las posiciones de los pntos qe forman la imagen alejados de la posición ideal según el modelo de proyección pntal. Como n resltado de algnos tipos de imperfecciones existentes en las lentes, la expresión (6) no permanece constante y debe ser remplazada por expresiones qe tomen en centa explícitamente los errores en la posición introdcida por estos. La cantidad de error δ en la posición (X, Y ) a lo largo de cada coordenada salmente i depende de la posición del pnto: X = X + δ ; Y = Y + δ (9) x y Las coordenadas (X, Y ) son las correspondientes coordenadas con distorsión, qe se necesitan corregir para obtener alores reales del objeto. La figra 10 mestra la inflencia de las distorsiones geométricas. La diferencia de la posición real y la ideal se descompone en las componentes rectanglares (δ U, δ ) y las componentes radiales y tangenciales (δ r, δ t ). Las distorsiones más comnes encontradas experimentalmente son la distorsión radial qe genera los tradicionales defectos en cojín y barrilete y la distorsión descentral. Otros tipos de distorsiones se han propesto en literatra [6]. En este trabajo se tilizan las primeras aproximaciones del modelo de la distorsión radial y descentral presentes en el sistema, como se obsera en la Figra DISTORSIÓN RADIAL La distorsión radial casa n desplazamiento hacia adentro o hacia fera a lo largo del radio. Este tipo de distorsión es casado principalmente por defectos en el radio de cratra de las lentes. La cantidad de distorsión radial de na lente perfectamente centrada a lo largo de cada coordenada cartesiana de la imagen pede ser representada por: δ δ r x r y 1 1 = kx ( X = ky ( X + Y + Y ) + k ) + k X ( X Y ( X + Y + Y ) ) + + O 7 O[ ( X, Y ) ] 7 [( X, Y ) ] (10) 7

28 Donde k 1, k son constantes qe determinan la cantidad y dirección de la distorsión...1. DISTORSIÓN DESCENTRAL Es proocada por la falta de colinealidad de los centros ópticos y prodce desplazamientos radiales y tangenciales. La componente tangencial pede ser modelada por las sigientes expresiones: δ = P (3X d x d y δ = PX Y + Y + P ( X 1 ) + PX Y 1 + 3Y + O ) + O 4 [( X, Y ) ] 4 [( X, Y ) ] Donde P 1 y P son constantes qe determinan la cantidad y dirección de la distorsión, así como el eje de máxima distorsión tangencial [6]. (11) V δ r δ δ t δ Posición con distorsión U Posición Ideal Figra 10. Componentes de la distorsión geométrica [13]... NOTACIÓN MATRICIAL Según lo anterior, n modelo de cámara más apropiado para aproximar la calibración pede ser deriado combinando el Modelo Pinhole con la modelación de las distorsiones radial y descentral de acerdo a la sigiente expresión: 8

29 U K = V K r d ( X + δx + δx ) U 0 + r d ( Y + + ) V δy δy 0 (1) El modelo matemático de proyección definido por la ecación 8 y 1 pede ser representado de manera más eficiente sando la notación matricial. El objetio consiste n definir na estrctra matricial matemática qe asocie n pnto Po del espacio objeto 3D con s pnto (, ) en pixeles sobre el plan imagen en fnción de los parámetros intrínsecos de la cámara ( f X, K, a,, k, k, p, ) y los parámetros, y o o 1 1 p extrínsecos (R, T). De esta manera si se conocen teóricamente las posiciones 3D de los pntos P₀ y se calclan por tratamiento digital de imágenes ss correspondientes posiciones (,), se pede tilizar n procedimiento de optimización no lineal para calclar los parámetros Intrínsecos y Extrínsecos de la cámara. Desde n pnto de ista geométrico, la imagen obtenida con las cámaras es el resltado de na transformación geométrica. Esta transformación permite pasar de na representación tridimensional de la escena a na representación bidimensional de la misma. Para pasar de coordenadas definidas en el sistema coordenado del objeto a coordenadas de la imagen expresadas en píxeles, son necesarios tres pasos: Paso 1. Transformación tridimensional: Los pntos tridimensionales expresados en el sistema coordenado del objeto experimentan n cambio al pasar al sistema coordenado de la cámara. Este cambio de sistema coordenado comprende 9 parámetros: 6 para las rotaciones (r) y 3 para las translaciones (t). Estos parámetros son la posición y la orientación de la cámara, y son llamados parámetros extrínsecos. La ecación (8) pede ser escrita de manera matricial como: X Yc Z c c r = r r r r r 1 3 r r r tx t y t z X Y Z 1 W W W (13) Paso. Proyección 3D-D: Despés del cambio de sistema coordenado, los pntos tridimensionales expresados en el sistema coordenado de la cámara son proyectados sobre el plano de la imagen, según la ecación (6). Esta ecación pede escribirse matricialmente sando coordenadas homogéneas como: 9

30 30 = c c c Z Y X f f s s s (14) Paso 3. Cambio de coordenadas: Para pasar a coordenadas expresadas en píxeles, las coordenadas se someten a na transformación análoga del plano, definida en la ecación (7), para n sistema libre de aberraciones o la ecación (1) para n sistema con aberraciones. Esta transformación está compesta de 4 parámetros llamados parámetros intrínsecos. La ecación de conersión (7) pede escribirse sando notación matricial como: = Y X k k (15) Y la ecación de conersión (1) pede expresarse como: + + = y x Y X k k δ δ (16) Agrpando ecaciones para el sistema libre de aberraciones, se tiene: = 1 W W W Z Y X M s s s (17) Donde, = z y x t r r r t r r r t r r r f f M (18) En las ecaciones anteriores K f f * = y K f f * =, proporcionan la distancia focal en nidades de píxeles a lo largo de los ejes y respectiamente, y ( o, o ) es el pnto principal de la imagen. La matriz M es conocida como matriz de proyección. Para el caso de aberraciones:

31 M k = k δ r + δ r 1 r r r r 1 3 r r r tx t y t z (19) Donde, δ = y δ = kδ y kδx...1 TRANSFORMACIÓN LINEAL DIRECTA (DLT) La matriz de proyección M establece la relación matricial entre las coordenadas del objeto, medidas en nidades del sistema métrico y las coordenadas de la cámara, medidas en píxeles. Esta matriz pede escribirse como: s m = s m s m 1 3 m m m X Y Z 1 W W W (0) Donde j mj es n ector fila obtenido de las tres primeras colmnas. [ m m m ] m = con j = 1,, 3. Los alores de cada elemento de m ij se j1 j j3 peden obtener de la definición de M. Utilizando la ecación (17) donde M se ha definido para el sistema libre de aberración, se pede escribir las coordenadas de la imagen de n pnto de la escena de la sigiente forma: Así, m m 11 w 1 w 13 w 14 = (1) 31 X X w + m + m 3 Y Y w + m + m 33 Z Z w + m + m 34 m m 1 w w 3 w 4 = () 31 X X w + m Y + m Y 3 w + m + m 33 Z Z w + m + m 34 Con el fin de calclar los coeficientes de la matriz M, es necesario escribir n sistema de ecaciones a partir de los pntos del objeto y s proyección en la imagen. Cada pnto (X w, Y w, Z w ) se proyecta en ( i, i ) generándose dos ecaciones. Estas ecaciones son lineales con respecto a los coeficientes de la matriz. De esta forma, se necesitan al menos 6 pntos para determinar los 1 31

32 coeficientes de la matriz M qe nos interesa. Es decir, las ecaciones (1) y () peden ser rescritas como na combinación lineal de los parámetros m ij : X w m11 Ywm1 + Zwm13 + m14 ixwm31 Y i wm3 izwm33 = im34 + (3) X w m1 Ywm + Zwm3 + m4 ixwm31 Y i wm3 izwm33 = im34 + (4) Al bicar na cadrícla en el espacio objeto donde se conocen las coordenadas (X wi, Y wi, Z wi ) de arios pntos (i=1 n) y al definir sobre la cadrícla las coordenadas en píxeles ( i, i ) correspondientes, se obtiene n sistema lineal de ecaciones de la forma (3) y (4). Si se tilizan N pntos se obtienen N ecaciones. Resoliendo el sistema lineal de ecaciones se obtienen las componentes m ij de la matriz de proyección para el sistema libre de aberración. Este procedimiento de transformación final es llamado transformación lineal directa (DLT). Generalmente los pntos sados para calclar (ᵢ, ᵢ) corresponden a las esqinas de los cadrados de la grilla patrón sada para la calibración de la cámara, er Figra CÁLCULO DE PARÁMETROS INTRÍNSECOS Y EXTRÍNSECOS A partir de los 1 elementos calclados de la matriz M, se peden obtener los parámetros extrínsecos e intrínsecos de calibración. La matriz de rotación R se define como: Sabiendo qe r11 r1 r13 r1 = R= r1 r r3 r r 31 r3 r33 r3 T r * = δ y a partir de la definición de M se obtiene: i r j ij (5) Coordenadas del pnto principal: Distancias focales en x, y: f f o o = m m 1 T 3 = m m 1 T 3 = m m T 1 T = m m T [ m1 m 3 ] T [ m m ] 3 (6) (7) 3

33 Matriz de rotación: m1 0r3 r1 = f m 0r3 r = f r = m 3 3 (8) Vector de translación: t t t x y z m = = m 14 m = t f 0 z t f 0 z (9) El anterior procedimiento permite calclar los parámetros de calibración de cada cámara asmiendo qe la distorsión es cero. En sitaciones experimentales el sistema formador de imagen posee aberraciones debido a los términos exponenciales speriores o igales a en la ecación (9). El sistema de ecaciones qe relacionan (Uᵢ,Vᵢ ) y X, Y, Z ) para cada pnto no es lineal y ( wi wi wi el proceso de solción para calclar los alores de m ij se conierte en n proceso de optimización no lineal. La fnción error tilizada para estimar los parámetros de calibración se define en la ecación (30), donde N es el número de pntos de obseración, (Uᵢ,Vᵢ) son las coordenadas teóricas en píxeles del modelo matemático de proyección con alores de parámetros obtenidos en na etapa intermedia y (Uᵢ,Vᵢ ) son las coordenadas experimentales obtenidas del tratamiento digital sobre la cadricla. F= N i= 1 ( U U ) + ( V V ) (30) i i Usando algoritmos de optimización es posible resoler el sistema de ecaciones no lineales. El método de optimización de Leenberg-Marqardt proporciona na rápida conergencia. Sin embargo, sin nos alores iniciales apropiados de los parámetros, la optimización pede caer en n mínimo local y casar qe la calibración falle. Este problema se pede resoler sando como alores iniciales los parámetros obtenidos de la DLT para la optimización. i i 33

34 Para el cálclo de los parámetros Intrínsecos y Extrínsecos sando el procedimiento de optimización no lineal se empleó el Toolbox de Matlab Camera Calibration de libre acceso en internet. (1) 34

35 3.1 INTRODUCCIÓN 3 IMPLEMENTACIÓN DEL DISPOSITIVO EXPERIMENTAL El objetio principal del presente trabajo consiste en determinar el perfil transersal de n cable recperando información 3D. Empleando el método de trianglación láser se proyecta n plano láser perpendiclar al eje del perfil. Anqe no se reqiere de n mecanismo qe desplace el plano láser si se presentan inconenientes para recperar el perfil completo a 360ª sando el esqema tradicional de n plano láser y na cámara CCD. Con el fin de obtener información total a 360 del perfil, se emplearon 4 módlos independientes de proyección láser cámara bicados alrededor del eje del perfil a 90 cada no. De esta manera cada cámara e na sección transersal independiente del perfil. Al nir todas las secciones reconstridas en n único sistema coordenado, se obtiene el perfil completo. El hardware del sistema de medición es diseñado por medio de n software CAD en tres dimensiones, con el objetio de bicar los elementos en n espacio redcido y a la ez brindar la confianza necesaria qe al moer el eqipo este no a a perder s calibración. A partir de la idea inicial de constrir n eqipo compacto, con catro cámaras para qe el sistema peda adqirir imágenes cada 90, srge la principal necesidad de generar na línea láser para cada cámara en n espacio redcido. Se decide generar entonces las líneas láser a partir de la proyección de n pnto sobre n espejo octogonal montado en n motor qe gira a gran elocidad. Se san cámaras compactas de igilancia con n alto niel de aberraciones, qe se pretenden eliminar por del procedimiento de calibración de cámaras. 3. SISTEMA ÓPTICO DE TRIANGULACIÓN LÁSER IMPLEMENTADO El sistema óptico para la reconstrcción 3-D implementado en este trabajo, figra (11), está formado por n sistema de proyección, el cal se tiliza para generar catro planos láser bicadas a 90 grados no del otro y perpendiclares con el eje axial del cable, con el propósito de cbrir la sección transersal de la sperficie del objeto a na altra especifica; y n sistema de adqisición del cal hacen parte catro cámaras CCD, separados 90 alrededor del eje axial del perfil formando n ánglo con el plano láser, er figra 11b. Las señales de salida análogas de las cámaras CCD son digitalizadas por na tarjeta Matrox Meteor II, obteniéndose catro imágenes digitales por cada adqisición. Las imágenes son procesadas, sando algoritmos diseñados en 35

36 ambiente Matlab. A continación se especifican los detalles de cada no de los módlos qe posee el dispositio implementado. Figra 11 a y b. Esqema renderizado del Sistema óptico de trianglación láser implementado y principio de fncionamiento SISTEMA DE PROYECCIÓN El sistema de proyección está formado por 4 láseres de He-Ne alimentados a 5Vdc, con na longitd de onda λ = 63.8nm, 4 motores de paso, 4 espejos octogonales qe an instalados en el eje de cada no de los motores y 4 lentes, como se pede obserar en la figra 1. Un pnto láser es proyectado directamente al centro del espejo octogonal, el cal pede girar a na elocidad de 3600 rpm, y lo desía el pnto láser perpendiclarmente hacia el perfil del objeto, a na frecencia sperior a la frecencia de adqisición de la cámara. Una lente biconexa de focal 30mm toma el rayo láser y lo enía paralelo hacia el objeto. De esta manera n láser, n espejo octogonal y na lente biconexa generan n plano láser paralelo qe incide perpendiclar al eje axial del perfil, como se obsera en la ista sperior del montaje mostrado en la Fig. 1. Alineando los 4 planos láser se obtiene de la intersección n único plano láser de forma cadrada, lado 0mm y perpendiclar al eje axial del objeto. 36

37 Figra 1. Esqema renderizado de sistema de proyección de la línea láser. 3.. SISTEMA DE OBSERVACIÓN Para el sistema de obseración se tilizaron 4 cámaras CCD de igilancia del tamaño efectio de 640x480 pixel, alimentadas a 5Vdc qe se peden obserar en la figra (13), con n objetio de focal 3,6 mm. Las características de la CCD se indican en la Tabla (). En particlar este tipo de cámaras se encentran disponibles en el mercado local a n bajo costo, anqe poseen n niel alto de aberraciones. Figra 13. Cámara CCD AS-1368C 37

38 Característica XC-ES30 Imagen 1/3 IT CCD Tamaño (píxel) 768(H) * 494(V) Frecencia Horizontal (Hz) Frecencia Vertical (Hz) Tamaño de Celda (mm ) 6.35 *7.4 Campo de obseración en X (mm) 1. Campo de obseración en Y (mm).8 Tabla. Especificaciones Cámara CCD AS-1368C SISTEMA DE CONTROL, ADQUISICIÓN Y PROCESAMIENTO DE IMÁGENES Se tilizó na tarjeta de adqisición Matrox-Meteor II como la qe se obsera en la figra 14. Posee 1 canales de entrada monocromáticos para digitalizar las imágenes eniadas por las cámaras CCD, con bs de conexión PCI. El comptador sado para la adqisición es n IBM con las sigientes características: IBM ThinkCentre, con procesador Intel Pentim 4, de 56Mb de memoria RAM. El software de procesamiento de imágenes elegido para este proyecto es Matlab ersión 8. Figra 14. Tarjeta Matrox Meteor II 38

39 3.4 DISEÑO DEL CHASIS Lo más importante antes de constrir la estrctra qe alojará todos los elementos es, primero, adqirir estos elementos y probarlos en el laboratorio para comprobar s correcto fncionamiento. Despés de tener certeza qe los elementos fncionan correctamente, se procede a realizar n diseño del chasis en comptador por medio de n software CAD en 3D (En este caso Solid Works), bicando todos los componentes del eqipo como se obsera en el render de la Figra 13. Se decide por lo tanto realizar el chasis del eqipo de medida en alminio laminado, debido a qe éste es n material resistente y liiano. Con el diseño completo del eqipo en Solid Works se procede a hacer el mecanizado de las piezas de alminio (Se realizó en n centro de mecanizado LeadWell) y lego s posterior ensamble, qe se pede obserar en la figra DISEÑO DE LA ELECTRÓNICA Los motores adqiridos para generar la línea láser son motores de pasos, los cales se eligieron por tener n tamaño compacto y además lo más importante por tener s rotor montado sobre rodamientos y no sobre bjes, lo cal permite qe el alabeo en el eje del motor sea my bajo y casi imperceptible, condición my importante para obtener n plano láser estable. Debido a qe los motores adqiridos son de pasos, hay qe constrir n sistema electrónico qe los peda manejar a na elocidad constante sperior a 1000 rpm. Frecencias interiores prodcen en la cámara imágenes del pnto láser y no se obtiene la línea láser. Se decide entonces adqirir na tarjeta para controlar motores de paso cya elocidad se regla cambiando la frecencia de n tren de plsos a la entrada de la tarjeta. Y diseñar n circito sencillo qe conierte n oltaje de referencia en n tren de plsos con frecencia ariable. Se adqiere también na fente switching de 5 Vdc (figra 15) para alimentar los 4 láseres y la tarjeta controladora de los motores. 39

40 Figra 15. Fente switching 5Vdc. 3.4 MONTAJE DE EQUIPOS Teniendo todos los elementos qe son: 1- Chasis de alminio laminado. - 4 Motores de pasos 3600 rpm 3-4 Láseres 5mw. 4-4 Lentes. 5-4 Cámaras de igilancia 640* Tarjeta electrónica para controlar motores de pasos. 7- Fente de alimentación de 5dc. 8- Tarjeta digitalizadora Matrox monocromática. 9- Comptador. 10-Software de procesamiento (Matlab). Lego de constrido y ensamblado el chasis en alminio laminado se procede a realizar el montaje de los eqipos, como se mestra en la figra 16. Figra 16. Sistema óptico de trianglación láser constrido. 40

41 3.5 ENSAMBLE GENERAL Y PRUEBAS Lego qe todos los elementos feron ensamblados correctamente, se inicia na serie de prebas para determinar qe el eqipo fncione correctamente. Se inicia erificando el ben fncionamiento de los láseres, lego los motores de pasos, posteriormente las cámaras y la tarjeta de adqisición de imágenes. A continación se hace n resmen de los elementos a tener en centa al momento de realizar las prebas: LÁSER: Se debe tener en centa qe los catro proyectores láser fncionen correctamente al energizarlos, qe isalmente generen la misma intensidad lminosa. Posteriormente, se debe asegrar qe el haz de lz apnte directamente al centro del espejo octogonal instalado en el eje del motor de pasos. Esto se logra reglando el tornillo nielador bicado en la parte posterior del proyector láser, el cal modifica la altra y moiendo el motor sobre las gías bicadas en la base del mismo, las cales reglan el desplazamiento horizontal de cada no de los motores. MOTORES DE PASOS Y LINEAS LÁSER: Se erifica qe cada no de los motores se pedan controlar por medio de la tarjeta electrónica. Esta debe reglar en conjnto la elocidad de cada no de los motores para, posteriormente, generar la línea láser por medio de los espejos bicados sobre cada no de éstos. Lego qe se erifica el correcto fncionamiento de cada no de los motores y s correspondiente control electrónico, se procede a ajstar la alineación de cada na de las proyecciones láser, esto se logra bicando n objeto (Perfil), jsto en el centro del área de medición y haciendo n ajste de neo en los tornillos nieladores de cada no de los láseres, con el fin de sperponer las catro proyecciones de línea láser sobre n mismo plano horizontal. Esta sperposición se debe realizar para eitar qe al momento de realizar la toma de imágenes, la cámara captre dos proyecciones diferentes de línea láser como se pede obserar en la figra

42 Figra 17 a) Proyecciones con los láseres desalineados. de alineación. Figra b) Proyecciones lego del procedimiento CÁMARAS Y TARJETA DE ADQUISICION: Lego de ajstar la alineación de las proyecciones láser se procede a instalar la tapa sperior del eqipo sobre las qe an instaladas las catro cámaras CCD, las cales an conectadas a la tarjeta de adqisición de imágenes. Por medio de n programa en Matlab (capna.m) se erifica qe cada na de las cámaras captre imágenes correctamente. Posteriormente, se instala n plano de referencia en el centro del plano de proyección láser y se hace n ajste a las gías del soporte de la cámara con el objetio qe ésta se centre en el campo de obseración. 4

43 4 CALIBRACIÓN EXPERIMENTAL DEL DISPOSITIVO DE RECONSTRUCCIÓN TRIDIMENSIONAL 4.1 INTRODUCCIÓN En el capítlo anterior se mostró el diseño e implementación del dispositio de medida del perfil de n cable a partir del método de trianglación láser. Básicamente, se genera n plano láser perpendiclar al eje axial del perfil desde 4 posiciones anglares, cbriendo 360 de proyección. Al bicar el objeto de estdio, la intercepción de s sperficie con el plano láser genera na línea láser cerrada y deformada por la topografía, qe es adqirida por 4 cámaras CCD bicas alrededor del eje axial y formando n ánglo con el plano láser. En este capítlo se mostrará los resltados obtenidos en el proceso de calibración y ealación experimental del dispositio. Como se mostró en los capítlos anteriores hay tipos diferentes de calibración: Calibración láser: Básicamente el dispositio de medida consiste de 4 módlos independientes de trianglación láser, cada no formado por na cámara CCD y n conjnto láser - espejo - lente biconexa qe proyecta na sección del plano láser final. En esta calibración se debe obtener na relación experimental qe asocie altra en mm y desplazamiento de la línea láser. Para cada pixel, como se demostró en el capítlo 1, al final del procedimiento se obtiene na matriz de 640X480 pixeles qe posee para cada pixel la altra correspondiente. De esta manera cando se biqe n objeto, para cada cámara se calclan las coordenadas en pixeles de la línea láser de deformada por el cerpo qe e cada na y se determinan ss altras correspondientes. La figra 17 mestra las 4 matrices experimentales de calibración obtenidas al desplazar el plano de referencia en n rango de ±10 mm a interalos de 1mm. La figra 1 mestra el orden secencial de los módlos de proyección-obseración empleados en la figra 17. Calibración de cámaras CCD: Para cada cámara CCD se deben obtener los parámetros intrínsecos (Ka, K, Uo, Vo, K₁, K₂, P₁, P₂) y parámetros extrínsecos (R y T). Estos parámetros permiten conertir pixeles en el plano imagen a coordenadas (Xw, Yw, Zw) en el espacio objeto y se calclan sando n patrón bidimensional formado por cadros blancos y negros de dimensiones conocidas. 43

44 4. CALIBRACIÓN DE LAS CÁMARAS UTILIZADAS En el sistema de reconstrcción se tilizaron catro cámaras conencionales con objetios de focal 3.6 mm CCD de 640X480 píxeles. Las cámaras tilizadas presentan na ferte distorsión geométrica radial, como se obsera en la Figra 8. Para realizar la calibración de las cámaras y extraer los parámetros intrínsecos y extrínsecos, se tilizó el procedimiento descrito en el capítlo, propesto por Janne Heikkila y Olli Silen [8]. Camera Calibration Toolbox es n software de calibración de cámaras digitales desarrollado en MATLAB y de libre acceso en Internet, qe permite calibrar sistemas de adqisición de imágenes. (1) El software posee las rtinas necesarias para desarrollar el procedimiento de optimización no lineal minimizando la fnción de error definida en la ecación (70) por el método de Leenberg-Marqardt y tomando como parámetros iniciado los obtenidos del método de transformación lineal directa (DLT). El procedimiento de calibración se realiza a traés de na interfaz gráfica amigable al sario qe permite secencialmente obtener los parámetros intrínsecos y extrínsecos. A continación se ilstran los pasos importantes desarrollados por la interfaz para calclar los parámetros. Como objeto de calibración, se tilizó na cadricla blanco y negro, mostrada en la Figra 8, de tamaño de cadro 3mm. El proceso de calibración tiene las sigientes etapas: 1. Adqisición de imágenes: En esta etapa del proceso se adqirieron 15 imágenes de la cadrícla por cada cámara, en diferentes perspectias de la escena y tilizadas para establecer los pntos de control para la calibración de las cámaras (Figra 18). Calibration images Figra 18. Imágenes para calibración de la Cámara 1. 44

45 . Extracción de los pntos de control: Un pnto de control corresponde a n értice de n cadro negro. Es necesario definir na región rectanglar de arios cadros y el origen del sistema coordenado. El primer pnto seleccionado para definir la región de pntos de control es asociado con el pnto origen de la imagen de referencia (P 0 ) de la cadrícla, er figra 19. Los otros tres pntos de la cadrícla (P 1, P, P 3 ) peden seleccionarse aleatoriamente. Una ez realizada esta operación, se establece el sistema coordenado qe define la dirección de los ejes X, Y y Z, como lo mestra la Figra 19. Para extraer los pntos de control se hace necesario conocer la cantidad de cadros al interior de la región seleccionada tanto en la dirección X como en Y, y conocer el tamaño del cadro en milímetros. De esta manera, se peden calclar las coordenadas (Xw,Yw,Zw) en mm contando el número de cadros y asociarlos a los pntos ( i, i ) calclados digitalmente. Las coordenadas ( i, i ) en píxeles son calcladas realizando n procesamiento digital, basado en el gradiente de la imagen. Nótese qe los pntos de control poseen Zw=0 y las coordenadas X, ) en mm se obtiene con el número de cadros y el tamaño de cada no. ( wi Ywi Z o P 0 Y P 1 P X P 3 Figra 19. Sistema coordenado de la cámara. 45

46 4.3 OPTIMIZACION Antes de realizar el proceso de optimización no lineal se deben determinar los mejores alores iníciales de los parámetros. La figra 0 (a) mestra los pntos de control en forma de crz como deberían erse en na imagen libre de distorsiones. Debido a las distorsiones encontradas en las imágenes, las esqinas preestablecidas libre de aberraciones no son cercanas a las esqinas de la imagen real. Esto podría generar inconenientes en el proceso de optimización al elegir alores iníciales no adecados de los parámetros. El software permite introdcir n alor inicial a la distorsión radial para aproximar de mejor manera los alores iníciales. De esta manera el sario introdce n alor inicial de K₁, k₂ y el software ealúa la ecación (10) y mestra las neas coordenadas, si estas se acercan a las posiciones reales de los pntos de las cadrícla el sario continúa, sino pede ariar el alor de las constantes. Una ez extraídas las esqinas de cada na de las imágenes, se obtienen los datos para iniciar el proceso de optimización. El algoritmo de optimización sa los alores establecidos por la transformación lineal directa y el alor de coeficiente de distorsión radial qe acerca los pntos de control a las esqinas en la imagen real, definido anteriormente. Internamente, el procedimiento de optimización tiliza la fnción de error definida en la ecación (30) para determinar el alor de los parámetros de calibración qe minimiza el error. El algoritmo de optimización conerge hasta minimizar el error cadrático. The red crosses shold be close to the image corners Extracted corners 50 O Y 50 O dx dy X Y c ( in c a m e ra f ra m e ) (a) Xc (in camera frame) (b) Figra 0. Extracción de pntos de control de la imagen (a) Pntos de Control para imagen libre de distorsiones, (b) Pntos Retro proyectados. 46

47 0.6 Reprojection error (in pixel) - To exit: right btton y x (c) Figra 1. Error en píxeles en la retroproyección para la cámara 1 Como resltado de estos procesos de optimización se obtieron los sigientes parámetros: PARÁMETROS INTRÍNSECOS CÁMARA CCD 1,, 3 y 4 La Tabla 3 mestra los alores obtenidos del proceso de calibración para las cámaras tilizadas. Parámetro Cámara 1 Cámara Cámara 3 Cámara 4 Dist focal f (píxel) [ ; 690.1] [ ; 71.65] [69.05 ; 694.9] [ ; 693.4] Uo ; Vo (píxel) [35.96 ; ] [ ; ] [3.45 ; 38.78] [386.4 ; 4.14] k 1 ; k (píxel) [ ; 0.09] [ ; 0.1] [ ; ] [ ; ] p 1 ; p (píxel) [ ; 0.001] [ ; ] [ ; ] [ ; ] Tabla 3. Parámetros Intrínsecos cámaras 1,, 3 y 4 Donde f es la distancia focal del objetio de cada cámara, (Uo, Vo) coordenadas del pnto principal de cada cámara, (k 1, k ) componentes de la distorsión radial y (p 1, p ) componentes de la distorsión tangencial. 47

48 4.3. PARÁMETROS EXTRÍNSECOS DE LAS CÁMARAS CCD 1,, 3 y 4 Los parámetros extrínsecos son calclados con respecto al sistema coordenado O(Xw, Yw, Zw) y definidos por: Cámara CCD 1: R = R = R = R = Cámara CCD : Cámara CCD 3: Cámara CCD 4: T = T = T = T = Donde R es la matriz de rotación y T es el ector de translación del sistema coordenado Oc(Xc,Yc,Zc) de cada cámara, con respecto al sistema coordenado O (Xw, Yw, Zw ) del plano de referencia. T se expresa en mm. Una ez calclados los parámetros intrínsecos y extrínsecos y conociendo las coordenadas (Xwi, Ywi, Zwi), se realiza n proceso de retroproyección con el fin de calclar las coordenadas (Ui, Vi) teóricas. Comparando estos alores con los alores experimentales (Ui, Vi ), se calcla el error cometido en la aproximación empleada para calclar los parámetros. La Figra 1 mestra el error de retroproyección correspondiente a la cámara CCD 1, para todos los pntos de control empleados. Se obtiene n alor medio de píxeles en X y píxeles en Y. Es decir, como se conocen con precisión las coordenadas (Xw, Yw, Zw) en mm y empleando los 0 parámetros calclados, se determinan las posiciones teóricas (Uᵢ, Vᵢ) empleando el modelo de proyección pntal. Por procesamiento de imágenes se tiene las posiciones experimentales (Uᵢ, Vᵢ) qe al ealar la diferencia de posiciones se obtiene el error en el cálclo introdcido por los 48

49 parámetros, los alores obtenidos para el error indican qe se comete n error porcental de (0./640) en X y de (0./480) en Y para determinar la posición de n pnto (Xw, Yw, Zw) proyectado en el plano imagen. 4.4 ANÁLISIS DE ERROR EN EL CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS DE CALIBRACIÓN Anqe el anterior error erifica la precisión en el cálclo de los parámetros, se desea medir la inflencia de esta precisión al medir distancias en milímetros en el espacio objeto, tilizando los pntos de control de la cadricla bicada en Z=0. Es decir, las coordenadas en mm de los pntos de control bicados en Z=0 se conocen teóricamente y se calclan ss correspondientes coordenadas en píxeles (U, V ) con distorsión. Se pretende hacer el proceso inerso de proyección para obtener las coordenadas en mm a partir de (U, V ) sando los parámetros de calibración. La diferencia entre estas coordenadas define el error qe se comete al bicar n pnto en el plano a Z=0. El primer paso a segir para la estimación de las coordenadas (x, y), en milímetros en el espacio objeto, para n Z=0, sando el patrón de calibración, es obtener ss coordenadas distorsionadas (U, V ). En el modelo de proyección pntal tilizado, el pnto sobre la imagen en píxeles pasa por el centro óptico y llega hasta el pnto sobre el objeto. Es decir, la línea recta qe ne estos pntos se pede calclar siempre qe se obtengan las coordenadas en píxeles del pnto sin aberraciones. Estas coordenadas corregidas (U, V) se obtienen al restarle a (U, V ) las distorsiones geométricas como se mestra en la Figra. (U, -(δ x, T (U, Figra. Transformación geométrica qe relaciona pixeles distorsionados y no distorsionados [10]. 49

50 50 Las distorsiones geométricas definidas por las ecaciones (10) y (11) generan n inconeniente al sarlas. δ x y δ y y ss correspondientes en píxeles δ y δ feron definidos en fnción de las coordenadas (X, Y ) de los pntos libres de distorsión, pero sobre la imagen se tiene acceso únicamente a la coordenada (, ) con aberraciones. Por lo tanto, no es posible calclar δ x y δ y, se necesita relacionar δ x y δ y con (X, Y ) a traés de catro coeficientes k 1, k y P 1, P, de manera similar a como se relaciona en (X, Y ) en las ecaciones (10) y (11). [ ] [ ] ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( r y r x Y X O Y X Y k Y X Y k Y X O Y X X k Y X X k = = δ δ (31) [ ] [ ] ), ( ) 3 ( ), ( ) (3 d y d x Y X O Y X P Y X P Y X O Y PX Y X P = = δ δ (3) El cálclo de estos coeficientes condce a n sistema lineal de ecaciones y se ilstra en la Figra 3. Se define na matriz de pntos (X, Y ) teóricos eqidistantes, a partir de k 1, k y P 1, P y de las ecaciones (9) y (10) se calclan los (X, Y ) correspondientes. Usando las ecaciones (31) y (3) se obtiene na relación lineal entre los coeficientes k 1, k y P 1, P pesto qe los otros términos se conocen. Al resoler el sistema de ecaciones se obtienen k 1, k y P 1, P. De esta manera, se calcla δ x y δ y en fnción de (X, Y ). Figra 3. Relación de píxeles distorsionados a no distorsionados [10]. (X, Y ) (X, Y ) (X, Y ) (X, Y ) δ δ

51 A partir de las coordenadas en píxeles, se encentran ss correspondientes coordenadas en milímetros (X, Y ), sando los parámetros intrínsecos obtenidos. Con estos pntos y con la coordenada O C (0,0,0), se calcla la ecación de la recta O C P en el sistema coordenado de la cámara. Figra 4. Las coordenadas de P se obtienen de la intersección de la línea con el plano bicado en Z w =0. La ecación del plano se calcla con la normal, qe es el eje Z w, y n pnto del plano qe podría ser el origen O del sistema coordenado del objeto. Usando los parámetros extrínsecos, se calclan las coordenadas de P(X w, Y w, Z w =0) en el sistema coordenado del objeto. Y C Y O C X c Z C X Z w Y w O X w P (X w, Y w, 0) Figra 4. Geometría para determinar las coordenadas de n pnto en el espacio objeto [13]. Las figras 5 a la 8 mestran las imágenes obtenidas por cada cámara, en donde se determinó la posición (X w, Y w ) de algnos pntos sobre el patrón de calibración para cada cámara indiidalmente, bicada a Z w = 0. Las tablas 1,, 3 y 4 mestran los alores reales (VR) y los alores estimados (VE) de las coordenadas (X w, Y w ) para cada no de los pntos elegidos. El error se determina como la distancia entre los pntos reales y los pntos estimados, así. ( XT XE) + ( YT YE) D= (33) La distancia media se calcla para erificar la inflencia de los alores obtenidos en el cálclo de los parámetros del sistema mediante la ecación (34). Di D = (34) n Donde n es el número de datos. El error porcental se calcla de la sigiente manera: 51

52 D % E = *100 (35) C Donde C es la mínima distorsión del campo de trabajo de la imagen eqialente a 48 mm. 50 ( 0.37, -0.3) ( -0.06, 89.81) ( 0.06, ) ( 78, -5.84) ( 7.18, 7.04) 300 ( 78., ) Figra 5. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara ( 0.73, 0.35) ( -0.09, 113.5) 100 ( 1.1, 54) ( 7.3, ) 300 ( 7.31, 89.95) ( 84.06, 5.98) Figra 6. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara. 5

53 50 ( -5.99, 66.11) ( 0.01, 15.85) 100 ( 0.1, -0.14) ( 60.1, -1.35) 350 ( 59.99, 84.04) ( 60.16, 144.6) Figra 7. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara ( -0.65, -1.1) ( 5.97, 60.07) ( , ) ( 54.65, 15.4) ( 60.1, 5.97) ( 60.04, 77.94) Figra 8. Estimación de las coordenadas (X,Y) sobre algnos pntos del patrón de calibración para la Cámara 4. 53

54 4.4.1 DISTANCIA ENTRE VR Y VE, Y ESTIMACIÓN ERROR PARA LA CÁMARA 1 Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Distancia (mm) VR (mm) VE (mm) VR(mm) VE(mm) %E 0.14 Tabla 4. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la Cámara CCD DISTANCIA [mm] NÚMERO DE CASOS Figra 9. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD1 54

55 4.4. DISTANCIA ENTRE VR Y VE Y ESTIMACIÓN ERROR PARA LA CÁMARA Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Distancia (mm) VR (mm) VE (mm) VR(mm) VE(mm) %E 0.3 Tabla 5. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD DISTANCIA [mm] NÚMERO DE CASOS Figra 30. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD 55

56 4.4.3 DISTANCIA ENTRE VR Y VE Y ESTIMACIÓN ERROR PARA LA CÁMARA 3 Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Distancia (mm) VR (mm) VE (mm) VR(mm) VE(mm) %E 0.1 Tabla 6. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD DISTANCIA [mm] Figra 9. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD NÚMERO DE CASOS Figra 31 Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD3 56

57 4.4.4 DISTANCIA ENTRE VR Y VE Y ESTIMACIÓN ERROR PARA LA CÁMARA 4 Coordenada X (mm) Coordenada Y (mm) Distancia (mm) VR (mm) VE (mm) VR(mm) VE(mm) %E 0.30 Tabla 7. VR y VE de las coordenadas (X,Y) para cada no de los pntos elegidos, de la CCD DISTANCIA [mm] NÚMERO DE CASOS Figra 3. Distribción de distancia entre los VR y VT de la CCD4 Para la cámara 1, el sistema reporta n error de 0.3 mm encontrándose n porcentaje de error de 0.14% al bicar n pnto sobre el plano de referencia en Z w =0 para n campo de obseración de 0 mm. Para la cámara, el sistema reporta n error de 0.37 mm con n porcentaje de error de 0.3%. Para la cámara 3, el sistema reportan n error de 0.0 mm, con n porcentaje de error de 0.1%. 57

58 Para la cámara, 4 el error del sistema es de 0.49 mm con n porcentaje de error de 0.30%. Es decir, si se desea medir na distancia en el plano bicado a Zw=0 se comete error máximo de 500 micras. Este error se pede redcir sando más coeficientes en la modelización de la distorsión radial y tangencial, principalmente. 4.5 UNIFICACIÓN DE SISTEMAS COORDENADOS Anqe en el dispositio de reconstrcción tridimensional las cámaras están bicadas aproximadamente a 90º na de la otra con respecto al centro, al momento de realizar el procedimiento de calibración para las cámaras, cada na de ellas se calibra con s propio sistema coordenado y adqiere na porción de la imagen reconstrida del perfil en estdio, como se pede obserar en la figra 33. Figra 33.Esqema de montaje para calibración. El sistema coordenado objeto (X w, Y w, Z w ) se calcla de manera independiente para cada cámara. En el procedimiento de calibración de la cámara se deben sar imágenes de la cadrícla en posición relatia diferente dentro del campo de obseración, como se mestra en la Figra 18. Sin embargo, cando se desean calclar los parámetros extrínsecos, el procedimiento reqiere de na imagen de la cadrícla qe fija (X w, Y w ) paralelos a las colmnas y filas de cadros y Z w perpendiclar al plano de la cadricla, er figra