5.1.- Introducción al Análisis Post-Óptimo

Transcripción

1 C APÍTULO 5 ANÁLISIS POST-ÓPTIMO Y ANÁLISIS DE LA SENSIBILIDAD Introduccón al Análss Post-Óptmo En los modelos de programacón lneal los coefcentes de la funcón oetvo, de las varales y de las restrccones se dan como datos de entrada o como parámetros fos del modelo. En los prolemas reales los datos de entrada no son exactos sno aproxmados. Puesto que los datos reales suelen ser aproxmados podemos preguntarnos cómo varará la solucón óptma de un prolema de programacón lneal al modfcar los coefcentes del modelo?. La respuesta a esto nos la proporcona el Análss Post-Óptmo. En el procedmento de resolucón sempre se partrá de una solucón óptma al prolema orgnal. Supongamos resuelto el prolema sguente: Mn z = c T X st AX = X 0 (5.1) Queremos nvestgar los camos que expermenta la solucón óptma cuando alguno de los datos del prolema es modfcado, a partr de la últma tala del smplex. En todo el desarrollo del análss post-óptmo los cálculos se han de realzar en la últma tala del smplex. Supongamos que el método del smplex nos proporcona una ase óptma B, que está formada por los m prmeros vectores y, por tanto, podemos conocer B -1. Recoplando una sere de relacones ya vstas en temas anterores: 137

2 138 Investgacón Operatva X B = B -1, X = B -1 A z = c B T X = c B T B -1 A (z - c )= c B T B -1 A - c (=1, 2,, n) Las modfcacones que estudaremos en el análss post-óptmo son: ) Modfcacón de los coefcentes de la funcón oetvo. ) Modfcacón de las constantes de restrccón. ) Modfcacón de los coefcentes técncos. Pasemos a analzar cada una de estas modfcacones Modfcacón de los coefcentes de la funcón oetvo Supongamos que el coefcente de la funcón oetvo modfcado sea c pasando a valer c'. Veamos cómo afecta este camo a la solucón óptma del prolema 5.1. La ase óptma B se forma con los m prmeros vectores, B = { A 1, A 2,, A m }, es decr, la ase fnal será B = { X 1, X 2,, X m }. Pueden ocurrr dos casos: Modfcacón de un coefcente ásco de la funcón oetvo Sea c c B, tenemos z = c T B X = c T B B -1 A (=1, 2,..., n), luego la varacón de un coefcente afecta a todos los z, pasando a valer z' : z = c B T B -1 A (=1, 2,..., n) con c B = c B excepto la componente -ésma. Operando z - c = c T B B -1 A - c = c T m B X -c = c' c = m 1 = c c ( c' c ) = 1 ( z c ) ( c' c )

3 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 139 Veamos qué ocurre para los casos en los que pertenezca a la ase y no pertenezca a la ase B. luego Caso 1: B, es decr, (=1, 2,, m). En este caso tenemos (z - c ) = 0 y =1, = 0 z c = z c ) ( c' c ) ( z c = z c ) = 0 ( y, por tanto, no se modfca la solucón óptma ncal. Caso 2: B, es decr, ( = m+1, m+2,, n). En este caso tenemos z - c = ( z c ) ( c ' c ) Puede ocurrr que z' c 0 sea 0 0 Para el últmo caso (> 0) se contnúa con el método smplex modfcando ' solamente la últma tala del smplex al camar c por c. En este caso hará una modfcacón de la solucón óptma del prolema planteado ncalmente. Eercco 5.1. Dado el prolema sguente: Max z = -x x 2 st 3x 1 + 4x x 1 - x 2 2 x 1, x 2 0 a) Otener la últma tala del smplex. ) Suponendo que la últma tala del smplex es

4 140 Investgacón Operatva c Base c B A 1 A 2 A 3 A 4 A /4 1 1/4 0 A /4 0 1/4 1 z, z, -6-6/4-2 -2/4 0 z -c -5/2 0-1/2 0 (z -c ) c) Compruee que s hacemos el camo c 2 =-2 por c ' 2 =-3, se mantene z =-9. d) Compruee que, s hacemos el camo c 2 = -2 por c ' 2 = 1, el valor de la funcón oetvo cama (aumenta) a z = 0. e) Compruee que, s hacemos el camo c 1 = 1 por c ' 1 = -3, el valor de la funcón oetvo cama (dsmnuye) a z = -96/ Modfcacón de un coefcente no ásco de la funcón oetvo En este caso c B no se modfca por lo que z = c B T B -1 A (=1, 2,..., n) la únca varacón se produce sore c, es decr, que z c = z c ) ( c c' ) ( sea postva en cuyo caso se ntroducrá dcho vector en la ase de la últma tala del smplex, producéndose una varacón en la solucón óptma del prolema Modfcacón de las constantes de restrccón Supongamos que la constante de restrccón cama a ' a valer el vector ( ), pasando

5 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 141 =... 1 '... m y la nueva solucón óptma es X B = B -1 Operando en la expresón anteror X B = B -1 + B -1 ( - )= X B + B -1 ( - ) Pudendo ocurrr que ésta no sea posle por tener alguna componente negatva, en cuyo caso, para otener la solucón factle, aplcaremos el método Dual del smplex, susttuyendo en la últma tala del smplex el valor de X B por X B. Sguendo con el eercco 5.1. modfcamos el valor = 2 por ' = -4. Compruee que el prolema dual posee solucón no acotada y, por tanto, el prolema modfcado no tene solucón Modfcacón de los coefcentes técncos Supongamos que se modfca alguno de los coefcentes técncos (coefcentes de las varales en las restrccones) y queremos saer cuál es el efecto que se produce sore el valor óptmo de la funcón oetvo. Pueden ocurrr dos casos: Modfcacón de un coefcente técnco asocado a una varale ásca Sea a el coefcente ásco modfcado (a a ), es decr, A A el vector modfcado asocado es a... 1 A = a'... am

6 142 Investgacón Operatva Al ser A un vector modfcado ásco, hace que la ase came de B a B. Este camo se produce al susttur en la últma tala del smplex A por A. Los nuevos vectores serán X = (B ) -1 A (=1, 2,..., n) X = (B ) -1 S al hacer estos camos no otenemos una ase de m vectores lnealmente ndependentes, puede ocurrr lo sguente: ) S = 0 exstrán menos de m vectores lnealmente ndependentes. ) S 0, consderamos a este elemento como pvote, transformando la últma tala del smplex de forma que A sea un vector untaro y tengamos así m vectores lnealmente ndependentes. S la solucón otenda en este paso no fuese posle, algún < 0, se acudría al método dual del smplex para resolverlo. Sguendo con el eercco 5.1., modfcamos el valor a 22 = -1 por a 22 = 1. Verfcar que la solucón óptma pasa de z = -6 a z = -4 (ha aumentado) Modfcacón de un coefcente técnco asocado a una varale no ásca Sea a el coefcente no ásco modfcado (a a ), es decr, A A el vector modfcado asocado es a... 1 A = a'... am y la modfcacón de z z z c = c B T B -1 A - c En esta stuacón puede ocurrr que:

7 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 143 ) z c 0, no se produce modfcacón en la solucón óptma. ) z c > 0, el vector A entrará en la ase producendo una modfcacón en la solucón óptma. Sguendo con el eercco 5.1., modfcamos el valor a 13 = 1 por a 13 = 3. Verfcar que la solucón óptma no se modfca Introduccón al Análss de la Sensldad Toda solucón a un prolema de toma de decsones se asa en determnados parámetros que se presumen como fos. El Análss de la Sensldad es un conunto de operacones posterores a la otencón de la solucón óptma que srven para estudar y determnar la sensldad de la solucón a los camos en las hpótess. En los dstntos campos de la cenca se nos presentan stuacones que requeren el uso del Análss de la Sensldad. En el entorno comercal muchas veces es mpredecle e ncerto dedo a factores tales como camos económcos, reglamentacones púlcas, dependenca de sucontratstas y proveedores, etc. Los gerentes generalmente se ven nmersos en un entorno dnámco e nestale donde aun los planes a corto plazo deen reevaluarse constantemente y austarse de manera ncremental. Todo esto requere una mentaldad orentada al camo para hacer frente a las ncertdumres. Los nvestgadores utlzan modelos matemátcos e nformátcos para una varedad de entornos y propóstos, con frecuenca para conocer los posles resultados de uno o más planes de accón. Esto puede relaconarse con nversones fnanceras, alternatvas de seguros, práctcas ndustrales e mpactos amentales. El uso de modelos se ve perudcado por la nevtale presenca de ncertdumres, que surgen en dstntas etapas, desde la construccón y corrooracón del modelo en sí hasta su uso. Se puede hacer frente a las ncertdumres de una manera más "determnsta". Este aordae tene dstntos nomres tales como "modelacón determnsta", "análss de sensldad" y "análss de estaldad". La dea es generar, de manera suetva, una lsta ordenada de ncertdumres mportantes que supuestamente podrían tener un mayor mpacto sore el resultado fnal. Esto se lleva a cao antes de centrarse en los detalles de cualquer modelo. Pueden presentarse dstntos nveles de aceptacón a dstntos tpos de ncertdumre. Dstntas ncertdumres tenen dstntos mpactos sore la faldad, roustez y efcenca del modelo.

8 144 Investgacón Operatva La relevanca del modelo depende en gran medda del mpacto de la ncertdumre sore el resultado del análss. Exsten numerosos eemplos de entornos donde esto es aplcale, tales como: - Construccón de ndcadores (económcos / amentales). - Análss y pronóstco de resgo (amental, fnancero, de seguros,...). - Optmzacón y calracón de modelos. A contnuacón, se propone una lsta arevada de las razones por las cuales se dee tener en cuenta el Análss de Sensldad: ) Toma de decsones o desarrollo de recomendacones para decsores: - Para proar la soldez de una solucón óptma. Las sorpresas no forman parte de las decsones óptmas sóldas. - Para dentfcar los valores crítcos, umrales, o valores de equlro donde cama la estratega óptma. - Para dentfcar sensldad o varales mportantes. - Para nvestgar solucones suóptmas. - Para desarrollar recomendacones flexles que dependan de las crcunstancas. - Para comparar los valores de las estrategas de decsón smples y compleas. - Para evaluar el resgo de una estratega o escenaro. ) Comuncacón: - Para formular recomendacones más creíles, comprensles, contundentes o persuasvas. - Para permtr a los decsores selecconar hpótess. - Para comuncar una falta de compromso a una únca estratega. - El decsor dee ncorporar algunas otras perspectvas del prolema tales como perspectvas culturales, polítcas, pscológcas, etc. en las recomendacones del centífco de admnstracón. ) Aumento de la comprensón o apttud del sstema: - Para estmar la relacón entre las varales de entrada y las de salda. - Para comprender la relacón entre las varales de entrada y las de salda. Para desarrollar prueas de las hpótess. v) Desarrollo del modelo: - Para proar la valdez o precsón del modelo. - Para uscar errores en el modelo. - Para smplfcar el modelo. - Para calrar el modelo. - Para hacer frente a la falta o nsufcenca de datos. - Para prorzar la adquscón de nformacón.

9 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 145 En forma resumda, exponemos los casos en los que se dee consderar la realzacón de un análss de sensldad: 1. Con el control de los prolemas, el análss de sensldad puede facltar la dentfcacón de regones crucales en el espaco de los parámetros de entrada. 2. En eerccos de seleccón, el análss de sensldad srve para localzar algunos parámetros nfluyentes en sstemas con centos de datos de entrada ncertos. 3. Se utlzan técncas de análss de sensldad asados en varanza para determnar s un suconunto de parámetros de entrada puede representar (la mayor parte de) la varanza de salda. 4. El punto (3) puede utlzarse para la reduccón del mecansmo (descartar o corregr partes no relevantes del modelo) y para la extraccón de un modelo (construr un modelo a partr de otro más compleo). 5. El punto (3) tamén puede utlzarse para la dentfcacón del modelo dentfcando las condcones expermentales para las cuales su capacdad para dscrmnar dentro del modelo se encuentra en su punto máxmo. 6. Al gual que en el punto (5), el análss de sensldad puede utlzarse para la calracón del modelo, para determnar s los expermentos con sus ncertdumres relaconadas permtrán la estmacón de los parámetros. 7. El análss de sensldad puede complementarse con algortmos de úsqueda/optmzacón; dentfcando los parámetros más mportantes, el análss de sensldad puede permtr que se reduzca la dmensonaldad del espaco donde se realza la úsqueda. 8. Como una herramenta de asegurar la caldad del producto, el análss de sensldad asegura que la dependenca de la salda (resultado) de los parámetros de entrada del modelo tenga una smltud físca y una explcacón. 9. Para resolver un prolema nverso, el análss de sensldad srve como una herramenta para extraer parámetros ncorporados en modelos cuyos resultados no se correlaconan fáclmente con la entrada desconocda (por eemplo en cnétca químca, para extraer las constantes cnétcas de sstemas compleos a partr del índce de rendmento de los componentes). 10. Para asgnar recursos en el área de I+D de manera óptma, el análss de sensldad muestra dónde nvertr a fn de reducr el rango de ncertdumre del modelo. 11. El análss de sensldad puede determnar cuanttatvamente qué parte de la ncertdumre de m predccón se dee a ncertdumre paramétrca de la estmacón y cuánto a ncertdumre estructural. En los errores de redondeo se dee prestar atencón a los límtes de los rangos de sensldad. El límte superor y el límte nferor deen redondearse haca aao y haca arra, respectvamente, para que sean váldos.

10 146 Investgacón Operatva El análss de sensldad y las formulacones de programacón estocástca son los dos prncpales enfoques para manear la ncertdumre. El análss de sensldad es un procedmento de post-optmaldad que no puede nflur en la solucón. Srve para nvestgar los efectos de la ncertdumre sore la recomendacón del modelo. Por otro lado, la formulacón de programacón estocástca ntroduce nformacón proalístca acerca de los datos del prolema: dstrucón de los coefcentes de la funcón oetvo, de las constantes de restrccón y de los coefcentes técncos. El Análss de la Sensldad estuda los camos que se producen en la solucón óptma cuando se realza alguna de las modfcacones sguentes: ) Modfcacón de los coefcentes de la funcón oetvo. ) Modfcacón de las constantes de restrccón. ) Modfcacón de los coefcentes técncos. Al gual que hacíamos en el Análss Post-Óptmo, en el procedmento de resolucón sempre se partrá de una solucón óptma al prolema orgnal. Queremos encontrar el ntervalo de varacón de un elemento del prolema, para el cual la ase óptma permanece constante. Supongamos resuelto el prolema sguente: Mn z = c T X st AX = X 0 (5.2) Pasemos a analzar cada una de las modfcacones presentadas anterormente, sguendo la metodología expuesta en el Análss Post-Óptmo Modfcacón de los coefcentes de la funcón oetvo Supongamos que el coefcente de la funcón oetvo modfcado sea c pasando a valer c'. Queremos determnar el ntervalo de varacón de c' en el cual la ase óptma permanece nvarante. La ase óptma B la forman los m prmeros vectores, B = { A 1, A 2,, A m }, es decr, la ase fnal será B = { X 1, X 2,, X m }. Pueden ocurrr dos casos:

11 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad Modfcacón de un coefcente ásco de la funcón oetvo Sea c c B, tenemos z = c T B X = c T B B -1 A (=1, 2,..., n), luego la varacón de un coefcente afecta a todos los z, pasando a valer z' : z = c B T B -1 A (=1, 2,..., n) con c B = c B excepto la componente -ésma. Según vmos en el apartado correspondente de Análss Post-Óptmo z - c = ( z c ) ( c' c ) Para que la ase óptma permanezca nvarante ha de cumplrse que z - c 0, (=1, 2,..., n). Como partmos de una ase óptma (solucón óptma) tenemos que (z - c ) 0, (=1, 2,..., n). Veamos qué ocurre para los casos en los que pertenezca a la ase y no pertenezca a la ase B. Caso 1: B, es decr, (=1, 2,, m). En este caso tenemos (z - c ) = 0 según se vo en el apartado correspondente al Análss Post-Óptmo. Caso 2: B, es decr, ( = m+1, m+2,, n). Queremos que (z - c ) 0 ' z - c = ( z c ) ( c c ) 0 lo que nos lleva a estudar las sguentes stuacones: ) ) z c c' c s 0 z c c' c s 0

12 148 Investgacón Operatva El ntervalo uscado es el sguente: max c 0 z c c' mn c 0 z c ) S todo 0, entonces z - c = z - c no producéndose nnguna varacón en el óptmo, luego el ntervalo de varacón sería toda la recta real, c (-, ). v) S no exste nngún 0, el ntervalo de varacón es max c z c 0 c' v) S no exste nngún 0, el ntervalo de varacón es c' mn c 0 z c v) S c toma un valor extremo del ntervalo max c 0 z c c' mn c 0 z c Por eemplo c' mn c 0 z c y el mínmo se alcanzase para = r, tenemos, (=m+1, m+2,..., n) c' mn c 0 z c = c zr c r r

13 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 149 Calculando el valor de z r c r ' zr c r z r c r = ( zr cr ) ( c c ) r = ( zr cr ) ( c c ) r = 0 r El valor de z r - c r = 0 nos ndca que exste un índce rb para el cual z - c = 0 y, por tanto, el prolema tenen nfntas solucones Modfcacón de un coefcente no ásco de la funcón oetvo En este caso c B no se modfca, por lo que z = c T B B -1 A (=1, 2,..., n) la únca varacón se produce sore c, es decr, que z c = z c ) ( c c' ) ( sea postva, en cuyo caso se ntroducrá dcho vector en la ase de la últma tala del smplex, modfcándose la ase B. El ntervalo de varacón de c es aquel que hace que z c ) ( c c' ) 0. ( 5.7. Modfcacón de las constantes de restrccón Supongamos que la constante de restrccón cama a a valer el vector ' ( ), pasando =... 1 '... m y la nueva solucón óptma es X B = B -1 Operando en la expresón anteror

14 150 Investgacón Operatva X B = B -1 + B -1 ( - )= X B + B -1 ( - ) Llamemos ( ) con (,=1, 2,..., m) a los elementos de B -1, es decr, B -1 = ( ) m 1... X B = B m = ' = m1 m 2... mm m La solucón óptma para el prolema orgnal es m 1 m 1 m m x m (=1, 2,..., m) 1 cuando realzamos la modfcacón, cama a ', la solucón es x' m 1 ' = x ( ' ) Para que la ase óptma no se modfque, ' ha de varar en un ntervalo de manera que la nueva solucón otenda, 0, es decr: x ( ' x' ) 0 (=1, 2,..., m) Las stuacones que nos podemos encontrar son: ) ) ' ' x s > 0 x s < 0 Lo anteror da lugar al ntervalo de varacón de '

15 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 151 x x 0 0 mn ' max ) S todo = 0, entonces =. No se produce nnguna varacón en el óptmo, luego el ntervalo de varacón sería toda la recta real, (-, ). x' x v) S no exste nngún > 0 el ntervalo de varacón es x 0 mn ' v) S no exste nngún < 0 el ntervalo de varacón es x ' max 0 v) S toma un valor extremo del ntervalo x x 0 0 mn ' max Por eemplo x 0 mn ', (=1, 2,..., m) y el mínmo se alcanzase para = s, tenemos x 0 mn ' = s s x Calculando el valor de para = s x' = ' x ) ' ( x s s s ) ( s s s s x x = 0 El valor de 0 nos ndca que exste un solucón degenerada. x' s

16 152 Investgacón Operatva Veamos un eercco numérco de aplcacón de lo anterormente expuesto. Eercco 6.2. Consderemos el sguente prolema de programacón lneal Max z = -2 x 1 -x 2 + x 3 + x 4 st x 1-2x 2 +2x 3 x 4 = 2 2x 1 + x 2-3x 3 + x 4 = 6 x 1 + x 2 +x 3 +x 4 = 7 x 0 (=1, 2, 3, 4) cuya últma tala del smplex es c M M M Base c B A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A / /11 3/11 1/11 A / /11-1/11 7/11 A / /11-2/11 3/11 z, z, / /11 9/11-8/11 z -c 0-34/ M+12/11 -M+9/11 -M-8/11 Aplcando las expresones de análss de la sensldad otendas anterormente, otenga los ntervalos de varacón para los sguentes coefcentes: ) c 1. Al no exstr nngún 0 el ntervalo de varacón es max c z c 0 max c 0 z c 1 1 c' c c1 1 luego el ntervalo de varacón para c 1 es -6.5, es decr, c' [-6.5, ) c' 1 1 z 12 ( 34 /11) 2 = -13/2= -6.5 ( 4 /11) ) c 2. Como es un coefcente no ásco, la únca varacón es la de z 2 -c 2 ; por lo que la ase B no se ha modfcado, el campo de varacón de c 2 será aquel en el que z 2 -c 2 0. El valor de z 2 -c 2 se puede otener de la últma tala del smplex

17 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 153 z 2 -c 2 = -23/11- c 2 0, -23/11 c 2, c 2 la ase óptma B no se modfcará sempre que [ , ). c' 2 ) 3. Al no exstr nngún 3 < 0 (ver últma tala del smplex) el ntervalo de varacón es max 0 x ' max 0 x =max{(7- ), (7-1/11 11 la ase óptma B no se modfcará sempre que 1 ), (7- )}=10/3= /3 3 / 11 [3.3333, ). ' 3 Resolvendo el prolema anteror medante el programa LINDO, resulta LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE INTERVALO X INFINITY [- 6.5, ) X INFINITY [ , ) X INFINITY [-35, ) X INFINITY (-, ]

18 154 Investgacón Operatva RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INTERVALO [-6.25, 8.6] [-5, 11.5] INFINITY [3.3334, ) Los extremos de los ntervalos para el Análss de la Sensldad en la salda de LINDO se otenen medante las expresones: c [c -ALLOWABLE DECREASE, c + ALLOWABLE INCREASE] [ -ALLOWABLE DECREASE, + ALLOWABLE INCREASE] 5.8. Modfcacón de los coefcentes técncos Supongamos que se modfca alguno de los coefcentes técncos (coefcentes de las varales en las restrccones) y queremos saer el ntervalo en el cual puede varar a de manera que la ase óptma permanezca nvarante. Tanto para los casos en los que pertenezca a la ase como en los que no pertenezca, las expresones matemátcas que se otenen son muy farragosas, por lo que optamos por realzar el Análss de la Sensldad medante un software de programacón lneal. Eercco 5.3. Realzar un análss de la sensldad del sguente prolema de programacón lneal Max z = 5x 1 + 3x 2 st 2x 1 + x 2 40 x 1 + 2x 2 50 x 1 0, x 2 0 Cálculo del ncremento/dsmnucón permsles de c 1 = 5: Las restrccones olgatoras son la prmera y la segunda. Alterando este coefcente de coste por c 1 se otene 5 + c 1. En el paso 3 se otene: (5 + c 1 )/2 = 3/1 para la prmera restrccón, y (5 + c 1 )/1 = 3/2 para la segunda restrccón. Resolvendo estas dos ecuacones se otene: c 1 = 1 y c 1 = Por lo tanto, el ncremento permsle es 1, mentras que la dsmnucón permsle es 1.5. Por lo tanto, mentras el prmer coefcente de coste c 1 permanezca dentro del ntervalo [ 5-3.5, 5 + 1] = [1.5, 6], contnúa la solucón óptma actual.

19 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 155 De modo smlar, para el segundo coefcente de coste c 2 = 3 se otene el rango de sensldad [2.5, 10]. El prolema DUAL asocado al prolema anteror es: Mn z = st , 2 0 La solucón óptma es 1 = 7/3 y 2 = 1/3 (que son los precos somra). Cálculo del Rango para el prmer coefcente del lado derecho (restrccones) del prolema PRIMAL, RHS (RIGHTHAND SIDE RANGES). Las prmeras dos restrccones son olgatoras, por lo tanto: (40 + r 1 )/2 = 50/ 1, (40 + r 1 ) / 1 = 50/ 2 De la resolucón de estas dos ecuacones se otene: r 1 = 60 y r 1 = -15. Por lo tanto, el rango de sensldad para el prmer RHS ( 1 ) en el prolema es: [40-15, ] = [25, 100]. De modo smlar, para el segundo RHS ( 2 ), se otene: [50-30, 50+30] = [20, 80]. Los resultados anterores los podemos otener analzando la salda del programa LINDO. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) )

20 156 Investgacón Operatva RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE THE TABLEAU ROW (BASIS) X1 X2 SLK 2 SLK 3 1 ART X X Para el prolema PRIMAL, tenemos c 1 [c 1 - ALLOWABLE DECREASE, ALLOWABLE INCREASE+c 1 ] = =[5-3.5, 5+1]= [1.5, 6], c 2 [ 3-0.5, 3+7]= [2.5, 10] Cuando los coefcentes de la funcón oetvo c 1 o c 2 toman valores dentro del ntervalo calculado, la ase óptma permanece nvarante. Para el prolema DUAL, analzaremos el lado derecho de las restrccones (recursos, ) en el programa LINDO (RIGHTHAND SIDE RANGES, RHS) del prolema PRIMAL 1 [ 1 -ALLOWABLE DECREASE, 1 + ALLOWABLE INCREASE]= = [40-15, ] = [25, 100], 2 [50-30, ] = [20, 80] Cuando los coefcentes de las restrccones 1 o 2 toman valores dentro del ntervalo calculado, la ase óptma permanece nvarante. Regla del 100% (regón de sensldad) El rango de sensldad que se presentó en la seccón anteror es un análss del tpo de "un camo por vez". Consderemos el prolema anteror con dos varales, queremos hallar los ncrementos que se permten hacer smultáneamente

21 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 157 de RHS (r 1, r 2 0). Exste un método sencllo de aplcar que se conoce como "la regla del 100%", que estalece que los precos somra no caman s se da la sguente condcón sufcente: r 1 /60 + r 2 /30 1, 0 r 1 60, 0 r Aquí, 60 y 30 son los ncrementos permsles de los RHS, asados en la aplcacón del análss de sensldad ordnaro. Es decr, sempre que el prmer y el segundo RHS aumentan r 1 y r 2, respectvamente, mentras esta desgualdad contnúe, los precos somra para los valores del lado derecho permanecen sn camos. Osérvese que ésta es una condcón sufcente porque, s se vola esta condcón, entonces los precos somra pueden camar o aun así segur guales. El nomre "regla del 100%" surge evdente cuando se oserva que, en el lado zquerdo de la condcón, cada térmno es un número no negatvo menor que uno, que podría representarse como un porcentae de camo permsle. La suma total de estos camos no deería exceder el 100%. Aplcando la regla del 100% a los otros tres camos posles en los RHS se otene: r 1 /(-15) + r 2 /(-30) 1, -15 r 1 0, -30 r 2 0. r 1 /(60) + r 2 /(-30) 1, 0 r 1 60, -30 r 2 0. r 1 /(-15) + r 2 /(30) 1, -15 r 1 0, 0 r La sguente fgura lustra la regón de sensldad de amos valores RHS como resultado de la aplcacón de la regla del 100% al prolema. Desde un punto de vsta geométrco, osérvese que el poledro con los vértces (60, 0), (0, 30), (-15, 0) y (0,-30) en la Fgura es sólo un suconunto de una regón de sensldad más grande para los camos en amos RHS. Por lo tanto, permanecer dentro de esta regón de sensldad es sólo una condcón sufcente (no necesara) para mantener la valdez de los precos somra actuales.

22 158 Investgacón Operatva Pueden otenerse resultados smlares para los camos smultáneos de los coefcentes de costes. Por eemplo, supongamos que queremos hallar la dsmnucón permsle smultánea en c 1 y los ncrementos en c 2, es decr, el camo en amos coefcentes de coste de c 1 0 y c 2 0. La regla del 100% estalece que la ase corrente sgue sendo óptma sempre que: c 1 /(-3.5) + c 2 /7 1, -3.5 c 1 0, 0 c 2 7. donde 3.5 y 7 son la dsmnucón y el ncremento permsles de los coefcentes de coste c 1 y c 2, respectvamente, que se hallaron anterormente medante la aplcacón del análss de sensldad. La fgura anteror lustra todas las posldades de ncrementar/dsmnur los valores de amos coefcentes de costes como resultado de la aplcacón de la regla del 100%, mentras se mantene al msmo tempo la solucón óptma. Claramente, la aplcacón de la regla del 100%, en la forma expuesta anterormente, es general y puede extenderse a cualquer prolema de PL de mayor magntud. Sn emargo, a medda que aumenta la magntud del prolema, este tpo de regón de sensldad se reduce y, por lo tanto, resulta menos útl para la gestón. Exsten técncas más poderosas y útles (que proporconan condcones necesaras y sufcentes a la vez) para manear camos smultáneos dependentes (o ndependentes) de los parámetros Resolucón medante programa de ordenador Sguendo con el resumen propuesto en el apartado 3.8, tenemos: 1. La solucón óptma permanece constante en tanto el ncremento (dsmnucón) de un coefcente, en la funcón oetvo, de certa varale no se exceda del ntervalo de rangos de los coefcentes para esa varale, mentras los demás datos se conservan constantes. S la modfcacón se realza dentro del ntervalo de varacón del parámetro, la solucón óptma permanece como únca solucón óptma del modelo. 2. El camo en los coefcentes de la funcón oetvo altera la pendente de los contornos de ésta, esto puede afectar o no a la solucón óptma de la funcón oetvo. 3. En un modelo de Maxmzacón, el aumento en la meora de una actvdad, conservando nvarales los demás datos, no puede aumentar el nvel óptmo de dcha actvdad.

23 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad En un modelo de Mnmzacón, el aumento en el coste de una actvdad, conservando nvarales los demás datos, no puede aumentar el nvel óptmo de la funcón oetvo. 5. S el coefcente es aumentado hasta la frontera del entorno de varacón, hará una solucón óptma alterna con un valor óptmo meor (mayor en MAX y menor en MIN). 6. S el Coefcente es dsmnudo hasta la otra frontera, hará una solucón alterna en la que la varale afectada tendrá un valor óptmo desmeorado. 7. S una de las fronteras es cero, se sae que hay por lo menos una solucón óptma alterna para el prolema que se está maneando. Por eemplo, que la funcón de contorno sea paralela a una de las restrccones actvas. El algortmo que emplea la computadora para resolver el prolema encontrará sólo uno de los vértces como solucón óptma. 8. Para meorar el valor óptmo, deemos modfcar los RECURSOS o REQUERIMIENTOS ( ) que ntervenen en las restrccones de holgura cero. Para saer cuáles, analzamos la columna de SHADOW PRICES, la cual nos da la razón de meora de la FUNCION OBJETIVO cuando el vector dsponldad de recursos (requermentos) es aumentado (dsmnudo) untaramente. Para saer cuánto podemos, deemos analzar el Rango del Vector de Dsponldad de la Restrccón escogda, que se consgue en RIGHTHAND SIDE RANGES. 9. Para saer cuánto meorará la funcón oetvo, multplcamos la cantdad que puede camar por el preco dual correspondente (SHADOW PRICES). 10. En caso de querer empeorar la funcón oetvo, se haría lo contraro al punto anteror. 11. S camamos los COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO, pueden suceder tres cosas: a. S lo hacemos dentro del ntervalo permtdo, el cual se puede ver en la columna ALLOWED INCREASE y DECREASE, no nflurá en la Mezcla Óptma, alterándose el valor óptmo, aumentado su valor orgnal en el producto del ncremento por el valor de la varale ásca correspondente.. S lo hacemos hasta el límte de los ntervalos, aparecen solucones óptmas alternatvas. c. S lo hacemos más allá del entorno, puede suceder cualquer cosa. Eercco 5.4. La empresa Sales vende cuatro tpos de productos. Los recursos necesaros para producr una undad de cada producto y el preco de venta para cada producto se dan en la tala. En la actualdad se dspone de 4600 undades de matera prma y de 5000 horas de traao. Para cumplr con la demanda de los

24 160 Investgacón Operatva clentes, se deen producr 950 undades de producto, en cualquer comnacón, sempre y cuando las undades de producto tpo 4 sean como mínmo de 450. Formule el prolema de programa lneal que permta maxmzar los ngresos para la empresa Sales y solucónelo con el programa LINDO. En la sguente tala se recogen los recursos y los precos de venta. Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 Matera prma Horas de traao Preco venta (euros) Solucón: Sea x = Cantdad de producto tpo producdo. Max 4x1+6x2+7x3+8x4 st x1+x2+x3+x4=950 x4>=450 2x1+3x2+4x3+7x4<=4600 3x1+4x2+5x3+6x4<=5000 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

25 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 161 COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY Análss de la salda ofrecda por LINDO. Oservando la salda del programa, el resultado es: OBJECTIVE FUNCTION VALUE Los valores de la funcón oetvo y de las varales nos los ofrece el programa en la prmera columna: z = ; x 1 = , x 2 = , x 3 =0, x 4 = REDUCED COST Los valores de Reduced Cost que se entregan en el resultado por el software LINDO nos dan nformacón acerca de cómo, camando los coefcentes en la funcón oetvo para las varales no áscas, se puede camar la solucón óptma del prolema de programacón lneal. Para cualquer varale no ásca x, el reduced cost para x es la cantdad en la que puede meorarse el coefcente de x en la funcón oetvo antes de que el prolema de programacón lneal tenga una nueva solucón óptma en la que x será varale ásca. (Nótese que se usa el térmno meorarse, lo que mplca aumento s la funcón oetvo es de maxmzacón y dsmnucón s es de mnmzacón). S el coefcente de la funcón oetvo de una varale no ásca x se meora en su reduced cost, entonces el prolema de programacón lneal tendrá solucones óptmas alternatvas y, al menos, en una de ellas, x será varale ásca y, en otra, x será no ásca. S el coefcente de la funcón oetvo de una varale no ásca es meorado más allá de su reduced cost, entonces la nueva solucón óptma del prolema de programacón lneal tendrá a x como varale ásca. El resultado óptmo de nuestro eemplo muestra que x 3 es varale no ásca y tene un reduced cost = 1 euro. Esto mplca que, s se meora el coefcente de la varale x 3 en la funcón oetvo (es decr, el preco de venta untaro del producto 3) en exactamente 1 euro (en vez de 7 euros que sea de 8 euros), hará solucones óptmas alternatvas y, al menos, en una de ellas x 3 será varale ásca. S se aumenta el coefcente de x 3 en la funcón oetvo en más de 1 euro,

26 162 Investgacón Operatva entonces la solucón óptma del prolema de programacón lneal tendrá a x 3 como varale ásca. DUAL PRICES y Análss de Sensldad La columna Dual Prces ndca el valor de los precos somra de las restrccones del prolema de programacón lneal. Recordemos la defncón de preco somra que está hecha en ase a un preco somra postvo: El preco somra de una restrccón de un prolema de programacón lneal es la cantdad en que meoraría (aumentaría s la funcón oetvo es Maxmzacón o dsmnuría s la funcón oetvo es Mnmzacón) el valor óptmo de la funcón oetvo, cuando el térmno lre de la restrccón es aumentado en una undad. (En forma contrara, s se dsmnuye en una undad el térmno lre de la restrccón, el valor óptmo de la funcón oetvo empeorará en una cantdad gual al preco somra). Sgnos de los Dual Prces (Precos Somra) El preco somra de una restrccón del tpo será sempre negatvo o cero, el de una restrccón será postvo o cero y el de una restrccón que es gualdad podrá tener cualquer valor, negatvo, postvo o cero, es decr, rrestrcta en sgno. Esto se aplca tanto para un prolema de programacón lneal de maxmzacón como de mnmzacón. Para lustrar esta realdad, oserve que, s se agregan puntos a la zona de solucones factles de un prolema de programacón lneal, hecho que ocurre cuando se aumenta el térmno lre de una restrccón, su efecto es que el valor óptmo de la funcón oetvo meora o queda gual, y, al qutar puntos a la zona, s se aumenta el térmno lre de una restrccón, el óptmo empeora o queda gual. Rango de valdez de los precos somra El preco somra de una restrccón es váldo dentro de un rango de varacón específco de su térmno lre. Este rango se puede calcular con los antecedentes que se entregan en el análss de sensldad del resultado óptmo, en la parte denomnada Rghthand sde ranges (Rangos de los lados de la mano derecha, es decr, de los térmnos lres de las restrccones). Para cada térmno lre se ndca su valor actual, la cantdad en que éste puede ser aumentado (ALLOWABLE INCREASE) y la cantdad en que éste puede ser dsmnudo (ALLOWABLE DECREASE). El meoramento o empeoramento del valor óptmo de la funcón oetvo será drectamente proporconal a su preco somra por la cantdad en que varíe el térmno lre de la restrccón, sempre y cuando esta varacón mantenga el valor de este últmo dentro del rango de valdez antes calculado. En nuestro eercco, se ndca que el preco somra de la restrccón dos es (-6). Este preco somra es negatvo, ya que la restrccón es del tpo y su nterpretacón en el contexto del prolema es la sguente: Por cada undad de producto 4 que se requera farcar, por encma de las 450 undades de producto, el valor óptmo de la funcón oetvo empeorará en 6 euros. (Nótese que, en este caso, la FUNCIÓN OBJETIVO empeora con un aumento del térmno lre y ello

27 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 163 es porque el preco somra es negatvo). Por el contraro, s el térmno lre de la restrccón dos se dsmnuye, el valor óptmo de la funcón oetvo meorará en 6 euros por cada undad que se dsmnuya. El rango de valores del térmno lre de la restrccón en el que este efecto del preco somra es váldo se otene del análss de sensldad como sgue: ( ) 2 ( ) En el caso de una restrccón no actva, es decr, aquella restrccón que tene holgura y que, por lo tanto, su preco somra es nulo (0), el rango de varacón del térmno lre de la restrccón así calculado ndca los valores que puede tomar este térmno lre sn que el valor óptmo de la funcón oetvo n el valor óptmo de las varales came. (Rango en el cual la ase no cama). En nuestro eemplo, la restrccón cuatro tene una holgura de 350 undades y, según el análss de sensldad, su térmno lre puede varar entre 4650 e nfnto, sn que el valor óptmo de la funcón oetvo (6500) came, n tampoco el valor óptmo de las varales de decsón. Rangos de los coefcentes de la Funcón Oetvo ( O Coeffcent Ranges ) Recordemos que, en el análss de sensldad de un prolema de programacón lneal en dos varales, calculamos el rango de valores en que podían varar los coefcentes de la funcón oetvo, de tal forma que la varacón de pendente que ello provoca no hcese varar la ucacón del punto óptmo. Con el software LINDO, ya sea para dos o para más varales, el rango de varacón permtdo para los coefcentes de la funcón oetvo, que permte que la Base no came, es decr, que las varales que son actualmente áscas sgan sendo áscas y no varíen su valor óptmo, se otene del análss de sensldad en la seccón O Coeffcent Ranges. En nuestro eemplo, la solucón óptma se da para x 1 = 50, x 2 = 450, x 4 = 450 y SLK 5= 350. Estas son las varales áscas y su valor óptmo. Esta ase no camará s, por eemplo, el coefcente de la varale x 4 se aumenta en 1, 2, 3, y hasta 6 undades. Veamos otro eemplo. Dada la salda de un eercco resuelto con LINDO: MIN 8 X + 9 Y + 7 Z + 9 T (Modelo que mnmza el coste de producr 4 artículos) st X + Y + Z + T >= 200 (Cota de produccón) X + Y + Z + T <= 235 (Cota de produccón) 4 X + 5 Y + 2 Z + 3 T >= 500 (Gasto mínmo de una matera prma)

28 164 Investgacón Operatva OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES X ) Y ) Z ) T RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X Y INFINITY Z T INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY THE TABLEAU ROW (BASIS) X Y Z T SLK 2 SLK 3 SLK 4 1 ART X SLK Z Conteste a las cuestones sguente: a) Interprete los números 7 y 5 del planteamento del prolema. ) Responda al prolema planteado medante la solucón que ofrece LINDO. c) Interprete el DUAL PRICES: d) Coste al que convene producr el artculo 2 (Y). e) Coste al que convene producr el artculo 3. f) Indque la ase optma. Es únca? Porque? g) Indque la matrz nversa asocada a la solucón óptma. h) Cuál es el preco somra? Interprételo. ) S el coste por undad del artículo 4 es 7. Cuál es la ase optma? ) S se agrega: 2x+3y+z+t 230. Cuál es la ase optma?. Solucón: a) Interprete los números 7 y 5 del planteamento del prolema. El número 7 ndca que producr un artículo tene un coste de 7 y el 5 que producr un artículo requere 5 undades de matera prma. ) Responda al prolema planteado medante la solucón que ofrece LINDO. El mínmo coste total es de 1450, y se logra producendo 50 artículos (X=50) y 150 artículos (Z=150).

29 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 165 c) Interprete el DUAL PRICES: S el gasto mínmo de matera prma de 500 undades se aumenta una undad, pasando a 501, el valor óptmo empeora en 0.5. Es decr, el mínmo sue a d) Coste al que convene producr el artculo 2 (Y). Convene hacerlo a (9-0,5) = 8,5 o menos. e) Coste al que convene producr el artculo 3 (Z). Convene hacerlo a (7-1) = 6 o menos. f) Indque la ase optma. Es únca, y porque?.la solucón está compuesta por las varales: X, SLK 3, Z (B={ X, SLK 3, Z }), y es únca porque los coefcentes de las varales no áscas son dstntos de cero en la tala fnal del Smplex. g) Indque la matrz nversa de la ase óptma, B. La matrz nversa la otenemos de THE TABLEAU: B ,5 0 0,5 h) Cuál es el preco somra? Interprételo. El preco somra de la matera prma es de Este preco nos ndca que se usca en el mercado saendo que por cada undad adconal el coste sue 0.5. ) S el coste por undad el artculo 4 (C T =9) es 7. Cual es la ase optma?. La ase óptma cama porque 7 esta fuera del rango en que puede camar 7 [9-1,5=7.5, ]. Sale de la ase X y entra T. La ase resultante es B={T, SLK 3, Z}. ) S se agrega la restrccón: 2x+3y+z+t > 230. Cuál es la ase optma?. La restrccón se satsface, por lo que la solucón óptma se mantene. La ase resultante es B={ X, SLK 3, Z, SLK 5}. Veamos otro eemplo. Un estalecmento de atencón las 24 horas del día necesta, dependendo de la hora del día, el sguente número de empleados: Hora de comenzo Intervalo horaro Nº de empleados Los camos de turno son posles cada cuatro horas a partr de las 00:00 horas y cada turno dura 8 horas.

30 166 Investgacón Operatva a) Formule el prolema. Mn z= x0+ x4+ x8+ x12+ x16+ x20 st x20+ x0>=3 x0+ x4>=8 x4+ x8>=10 x8+ x12>=8 x12+ x16>=14 x16+ x20>=5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X X X X X RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY

31 Análss Post-óptmo y Análss de la Sensldad 167 THE TABLEAU ROW (BASIS) X0 X4 X8 X12 X16 X20 1 ART X X X X X SLK ROW SLK 2 SLK 3 SLK 4 SLK 5 SLK 6 SLK ) Complete la tala sguente: Valor de z: 27 Vértce fnal: (0,8,2,6,8,3,0,0,0,0,0,6) T Hora de comenzo Intervalo horaro Nº de empleados Solucón Holgura c) Qué recurso presenta mayor ntervalo de varacón? Dé el ntervalo. (Ver tala del Smplex): INFINITY [-,11] d) Haga las modfcacones pertnentes en la tala de datos ncales para que no tengamos holguras. Plantee de nuevo las restrccones afectadas. x16+ x20>=11 (5+6) (20-24, nº de empleados 11)