Matemática. ensayo MT-024

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1 SIMEX4LCA0586V1 ENSCESMT04-A16V1 Matemática ensayo MT-04

2 INSTRUCCIONES 1. Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada una de ellas tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.. Dispone de horas y 40 minutos para responderla. 3. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz de grafito. 4. Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas. 5. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 6. Si lo desea, puede utilizar este folleto como borrador. 7. Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas. 8. Es obligatorio devolver el facsímil íntegramente antes de abandonar la sala. 9. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.

3 Matemática INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS ensayo 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.. Las figuras que aparecen en el modelo son solo indicativas. 3. Los gráficos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. 5. En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. 6. Los números complejos i y i son las soluciones de la ecuación x + 1 = Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo. 8. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z N(0, 1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P(Z z), entonces se verifica que: z P(Z z) 0,67 0,749 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,8 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975,00 0,977,17 0,985,3 0,990,58 0,995 0 z Z Cpech Preuniversitarios 3

4 ensayo SÍMBOLOS MATEMÁTICOS < es menor que es congruente con > es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto // es paralelo a ángulo pertenece a log logaritmo en base 10 AB trazo AB conjunto vacío x valor absoluto de x ln logaritmo en base e x! factorial de x unión de conjuntos intersección de conjuntos A c complemento del conjunto A u vector u 4 Cpech Preuniversitarios

5 Matemática 1. Sean m, n, p y q cuatro números primos distintos menores que 10. Si (m n) = p y (m + n) = q, entonces el valor numérico de (p q) es ensayo A) B) 4 C) 0 D) un número positivo. E) indeterminable con los datos entregados.. A m cocineros se les entregan m frutas a cada uno, de las cuales cada una es cortada en m trozos. Si se juntan todos los trozos y el total se reparte en partes igules entre m platos, cuántos trozos de fruta habrá en cada plato? A) m B) m 4 C) m D) m 3 E) 1 3. Sean b, k y m números enteros positivos, tales que k y m son múltiplos de b. Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre a un múltiplo de b? I) k + b II) m b III) k + m b A) Solo I B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. Cpech Preuniversitarios 5

6 ensayo 4. Si 11 7 truncado a la décima es m, entonces m redondeado a la décima es A), B),6 C),3 D),4 E), = A) 0 B) C) D) E) Si a, b y c son números positivos, tales que a b < a c < b c, cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera? A) a < b < c B) c < a < b C) c < b < a D) a < c < b E) Faltan datos para determinarlo. 6 Cpech Preuniversitarios

7 Matemática 7. Se define la operación (m Ω n) como el cuociente entre la raíz enésima de m y n, con n entero mayor que 1. Cuál de los siguientes valores es igual a ( 8 Ω 3)? ensayo A) B) C) D) E) 8. Si b es un número irracional, con b un número impar, cuál de las siguientes expresiones representa siempre a un número irracional? A) b 1 B) b C) b + 1 D) 1 b 1 E) 3b 9. Sea r aproximadamente 0,4 y 4s aproximadamente 1,. Cuál de los siguientes valores es el más cercano a (s 4r)? A) 0,960 B) 0,576 C) 0,480 D) 0,88 E) 0,19 Cpech Preuniversitarios 7

8 ensayo 10. Sea n un número entero mayor que 1 y a un número real mayor que. Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre menor(es) que n a? I) II) III) n a n a n a A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 11. Si log 6 es aproximadamente 0,78, entonces cuál de los siguientes valores es el que más se aproxima a log 6.000? A) 1,89 B) 1,56 C) 1,39 D) 3,39 E) 3,78 1. log 8 3 log 3 8 = A) 8 5 B) 0 C) D) E) 8 Cpech Preuniversitarios

9 Matemática 13. Sea p = log 5 a y q = log 5 a, con a > 0. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? ensayo I) El triple de p es igual a log 5 a 6. II) El cuádruple de q es igual a p. III) p q = 1 log 5 a A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 14. Sea m = 4n 1. Para que m sea un número entero positivo, cuál es el menor valor que podría tomar n? A) 11 4 B) 3 C) D) E) Sea z un número complejo cuya parte real es el triple de su parte imaginaria. Si la parte imaginaria del conjugado de z es 4, entonces la mitad de z es A) 6 i B) 4 8i C) 9 3i D) 3 i E) 1 4i Cpech Preuniversitarios 9

10 ensayo 16. Si z = 3 4i, entonces z (z) es igual a A) i B) 7 + 4i C) i D) 45 80i E) i 17. Sean p y q dos números complejos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Si el módulo de p es igual al módulo de q, entonces p es igual a q. II) Si la parte real de p y q es 0, entonces (p q) es un número real. III) Si p es el conjugado de q, entonces (p + q) es un número real. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 18. En la figura, EFGH es un cuadrado de lado (x 10), y ACDH es un rectángulo tal que AC = (x 9) y AH = 4. Si HD y FB se intersectan en E, cuál de las siguientes expresiones representa siempre el área de toda la figura? G F A) (x + 8) B) (x 8) C) (x 4) D) (x 9) E) (x + 16) H E D A B C 10 Cpech Preuniversitarios

11 Matemática 19. En la ecuación ax + bx = 3b + ax, con a y b números positivos. La x + 3 expresión que representa a x es ensayo A) B) C) D) E) b b + 3a 9b b + 3a b 3a 9 3b + a 9b b + 3a 0. Si al triple de x se le suma la sexta parte de x, resulta A) B) C) D) E) x x 3 4x 5 5x 6 11x 6 Cpech Preuniversitarios 11

12 ensayo 1. Sea la expresión z = wx vy, con w(x + vy) 0. Si w(x + vy) I) w = 1 y v = w, entonces z = x y. II) w = 1 y v = 0, entonces z = 1. III) w = 4 y v = 9, entonces z = Es (son) verdadera(s) x 3y 4. A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo II y III. E) ninguna de ellas.. Sean x 1 y x las soluciones (o raíces) de la ecuación en x, mx nx + p = 0, con n, m y p constantes distintas de cero. La expresión (x 1 x x 1 x ) es igual a A) B) C) p + n m p n m n p m D) p + n E) p n 1 Cpech Preuniversitarios

13 Matemática 3. El perímetro de un rectángulo es 16 cm y su diagonal mide 6 cm. El lado mayor de dicho rectángulo mide ensayo A) 5 cm B) ( + ) cm C) (4 + ) cm D) (1 + ) cm E) 10 cm 4. Sea x(x + 3) = 3p 7 una ecuación en x. Qué valor debe tener p para que una de las raíces (o soluciones) sea ( 3 + 4i), con i la unidad imaginaria? A) 19 B) C) D) 73 4 E) 1 Cpech Preuniversitarios 13

14 ensayo 5. Ana tiene a años y Pedro tiene b años. La suma entre la edad de Ana y la edad de Pedro es a lo menos 5 años y el doble de la diferencia entre la edad de Pedro y la edad de Ana es a lo más 6 años. Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones representa la situación descrita? A) a + b 5 (b a) 6 B) a + b 5 b a 6 C) a + b 5 (b a) 6 D) a + b 5 b a 6 E) a + b 5 (b a) 6 6. La solución en los reales del sistema de inecuaciones 3 x > 1 (x 1) < 1 es A), 3 B), + C), 1 D) 3, E), 14 Cpech Preuniversitarios

15 Matemática 7. Dada la inecuación 7 3x + 5 < 3, un posible valor para x que satisface la desigualdad es ensayo I) 3 II) 4 III) Es (son) correcta(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo II y III. E) I, II y III. 8. Una empresa comercial inició su venta con un total de artículos en bodega, y luego de ocho meses su inventario en bodega fue de unidades. Si el comportamiento entre la cantidad de artículos de la bodega y el tiempo de venta es lineal, la función que representa el número de artículos en bodega después de x meses, durante el primer año de funcionamiento de la empresa, es A) f(x) = x B) g(x) = x C) h(x) = 9.000x 750 D) i(x) = x E) j(x) = 9.000x Sean las funciones reales g(x) = 3x + y h(x) = 5x + 3. Entonces, la expresión que representa a h(g(x)) es A) 75x 60x + B) 3x 5x + 5 C) 5x 30x + 11 D) (5x + 5) E) (15x + 7) Cpech Preuniversitarios 15

16 ensayo 30. Sea la función f(x) = (x 3), con x en los reales. En cuál(es) de los siguientes intervalos para x se cumple que f es inyectiva? I) [, 5] II) [ 3, + [ III) [ 3, 1] A) Solo en II B) Solo en III C) Solo en I y en III D) Solo en II y en III E) En ninguno de ellos. 31. En la ecuación log (x) log 3 = log (1 x), el valor de x es A) B) C) D) 1 E) Cpech Preuniversitarios

17 Matemática 3. El gráfico que mejor representa a la función real f(x) = x es A) y 4 x B) y x C) 3 1 y 4 x ensayo D) y E) y 1 x x Sea f(x) = 3a x en los reales, con a un número real positivo distinto de 1. Si f( 1) = 6, cuál es el valor de f()? A) B) C) D) E) Cpech Preuniversitarios 17

18 ensayo 34. Sea f(x) = ax + bx + c, con x en los reales, a > 0 y b 4ac < 0. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a esta función? A) y B) y C) y x x x D) y E) y x x 35. Dada las siguientes opciones, la función que está mejor representada por el gráfico de la figura es A) f(x) = x B) g(x) = x 3 8 C) j(x) = (x ) D) h(x) = (x ) 5 E) k(x) = x + 1 y 1 3 x 18 Cpech Preuniversitarios

19 Matemática 36. Sean a y b números distintos de cero y distintos entre sí. Si al punto S(a b, b) se le aplica una traslación según el vector T(b, a b), seguido de una simetría con respecto al eje Y, cuál es el punto resultante? ensayo A) (a, a) B) ( a, b) C) (a, a) D) ( a, a) E) (a, b) 37. En la figura, el segmento PQ y el segmento RS se intersectan en T. Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para concluir que el triángulo PTR es congruente con el triángulo QTS? R Q T P S A) Los triángulos PTR y QTS tienen igual área. B) PR es paralelo con SQ. C) PR y SQ tienen igual medida. D) Los triángulos PTR y QTS son isósceles en P y en Q, respectivamente. E) T es el punto medio de PQ y RS. 38. Sean los vectores u y v en el plano cartesiano, como muestra la figura. Entonces, ( u v ) es igual a A) (7, 0) B) (7, 3) C) (, 6) D) (0, 0) E) (1, 0) v 3 y 1 u x Cpech Preuniversitarios 19

20 ensayo 39. Sean los puntos P( 1, ), Q(3, ) y R( 3, 4) en el plano cartesiano. El vector de traslación que lleva al punto Q hasta el punto medio del segmento PR es A) ( 5, 5) B) ( 7, 8) C) (, 3) D) (1, 1) E) ( 1, 4) 40. En la figura, PR y SQ son diagonales del romboide SRQP. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) ST TQ II) RPQ PRS III) PTS RTQ P Q A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III S T R 41. Sea P un punto ubicado en el plano cartesiano a dos unidades de distancia del origen y M un punto ubicado a una unidad de distancia de P. Si K es la figura formada por todas las posibles posiciones de M, cuál es el área de K, en unidades cuadradas? A) 6π B) 8π C) 3π D) π E) 9π 0 Cpech Preuniversitarios

21 Matemática 4. En la figura, los puntos T y U se encuentran en los lados del rectángulo PQRS, de tal forma que Δ SRT Δ URT. Si TP = a, PU = b y UQ = c, cuál de las siguientes expresiones representa siempre la medida del lado RQ? ensayo A) a c b + c S R B) C) D) a b c a b b + c a c b T P U Q E) b c a 43. En la figura, PQR es un triángulo isósceles en P, inscrito en una circunferencia de centro O. Si el ángulo QOR mide 70, entonces el arco PQ mide R A) 155 B) 145 C) 110 D) 140 O Q E) 175 P Cpech Preuniversitarios 1

22 ensayo 44. En la figura se muestra una semicircunferencia de diámetro PQ y un rectángulo PQRS. Si PS = 1 cm y la cuerda AB mide la mitad del diámetro PQ, cuánto mide el radio de la semicircunferencia? A) 3 cm B) 3 3 cm S A B R C) D) 3 cm 3 3 cm P Q E) 3 cm 45. En la figura, PQS es un triángulo rectángulo en P y PR es la altura que cae sobre su hipotenusa. Si SP = 3 y PQ = 4, entonces la medida de RQ es A) B) S R C) D) P Q E) 15 4 Cpech Preuniversitarios

23 Matemática 46. En la figura, los puntos P, Q, C, S y R pertenecen a la semicircunferencia, de modo que PQ // AC. Si CPQ = 46 y R es punto medio del arco PS, cuánto mide el ángulo QTP? ensayo A) 134 B) 88 C) 111 D) 9 E) 69 A R S P T Q C 47. En la figura, los puntos B y D pertenecen a los lados del triángulo ACE, de manera que AE // BD. Si AE = 9 cm, BC = 10 cm y DB AC = 5, cuál es la medida de AB? E A) 1 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 3 cm E) 15 cm A B D C 48. En el rectángulo ABCD de la figura, siempre es posible afirmar que el triángulo BCD es el resultado de aplicar al triángulo DAB una homotecia con centro en el D C A B A) vértice A y razón de homotecia 1. B) vértice D y razón de homotecia 1. C) punto medio de DB y razón de homotecia 1. D) vértice A y razón de homotecia 1. E) punto medio de DB y razón de homotecia 1. Cpech Preuniversitarios 3

24 ensayo 49. Sea una recta L en el plano cartesiano, cuyas intersecciones con los ejes son (0, c) y (3c, 0), con c > 0. Si M es una recta paralela a L, cuya intersección con el eje X es (c, 0), cuál de las siguientes ecuaciones puede representar a M? A) 3x y = 4c B) x + 3y = 4c C) 3x + y = c D) x + 3y = c E) x 3y = 4c 50. En la figura, PQRSTU es un hexágono regular de lado 1 y L es una recta que contiene al lado TS. Si P y S están en el eje X y el centro del hexágono está en el origen, entonces la ecuación de la recta de L es A) y = 3 x y B) y = x + 3 C) y = x U T D) y = 3 x + 3 E) y = 3 x P Q R S L x 51. Una recta L pasa por los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado. Si al girar indefinidamente el cuadrado en torno a L se genera un cuerpo de volumen V, entonces al girar indefinidamente el cuadrado en torno a uno de sus lados se genera un cuerpo cuyo volumen es A) 8V B) V C) 4V D) V E) menor que V. 4 Cpech Preuniversitarios

25 Matemática 5. Sea P: a x + b y + b z + a = 0 un plano en el espacio, con a y b distintos de cero. Cuál de los siguientes puntos pertenece a P? ensayo A) ( 1, 1, 1) B) (1, 1, 1) C) (1, 1, 1) D) ( 1, 1, 1) E) (1, 1, 1) 53. Un paralelepípedo recto tiene 4 cm de largo, cm de ancho y 3 cm de alto. Cuál es el área total de dicho paralelepípedo? A) 4 cm B) 5 cm C) 48 cm D) 18 cm E) 6 cm 54. En la figura, A, B, C y D son vértices de un cubo, y P es el centro de la cara superior de él. Cuál(es) de los siguientes triángulos NO es (son) escaleno(s)? I) Δ APC II) Δ BPC III) Δ ADC P D A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III A B C Cpech Preuniversitarios 5

26 ensayo 55. El gráfico de la figura muestra el tiempo, en minutos, que tardan los estudiantes de un curso en responder una prueba. Respecto al gráfico, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Número de estudiantes Tiempo A) Los estudiantes que rindieron la prueba fueron 58. B) Los estudiantes que tardaron menos de 40 minutos fueron 1. C) Por lo menos un estudiante tardó 100 minutos. D) Menos de la cuarta parte de los alumnos se encuentra en el tercer intervalo. E) Los estudiantes que tardaron como mínimo 60 minutos fueron En la distribución de frecuencias de la tabla, a es un número positivo y b es un número entero mayor que. El promedio (o media aritmética) de los datos, a partir de la marca de clase, es A) 0a a b B) 6a a b C) 4a a b Datos Frecuencia [a, 3a[ b + [3a, 5a[ b 3 [5a, 7a[ b + 1 [7a, 9a] b D) 16a a b E) 5a a b 6 Cpech Preuniversitarios

27 Matemática 57. La tabla adjunta muestra los litros de bencina, agrupados en intervalos, que consumen en un día todos los vehículos de reparto de pizza de un cierto restaurante. Respecto a la tabla, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? ensayo Litros Nº de repartidores [8, 1[ 5 [1, 16[ 8 [16, 0[ 11 [0, 4] 6 I) La mayoría de los vehículos consumen más de 16 litros de bencina. II) El restaurante cuenta con 30 vehículos de reparto. III) 5 vehículos consumen como mínimo 1 litros de bencina. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Cpech Preuniversitarios 7

28 ensayo 58. El gráfico adjunto muestra los puntajes obtenidos por los estudiantes de cuarto medio de un cierto establecimiento en un ensayo de Matemática. Respecto al gráfico, cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Número de estudiantes Puntajes A) Los estudiantes que rindieron el ensayo fueron 80. B) El percentil 7 se encuentra en el intervalo [450, 550[. C) El decil 9 se encuentra en el intervalo [750, 850]. D) El segundo quintil se encuentra en el intervalo [650, 750[. E) El segundo cuartil se encuentra en el intervalo [550, 650[. 59. Sea el conjunto M = {1, 1,,, 3}. Si de M se extraen todas las muestras posibles de tamaño (sin reposición y sin orden) y a cada una de ellas se le calcula la media, cuál es la mayor diferencia, en valor absoluto, que puede producirse entre la media de una muestra y la media de M? A) 1,0 B) 0,3 C) 0,7 D) 0,8 E) 1, 8 Cpech Preuniversitarios

29 Matemática 60. En la tabla adjunta se muestran los resultados obtenidos al lanzar 300 veces un dado común. Respecto a la tabla, cuál es la desviación estándar de los resultados? ensayo A) 1 B) 1 C) D) E) 0 Número Frecuencia En un ensayo de Lenguaje, uno de Matemática y uno de Ciencias, Andrés obtuvo 650, 700 y 750 puntos, respectivamente. Cuál es la desviación estándar de los puntajes de Andrés? A) B) 50 3 C) D) E) Cpech Preuniversitarios 9

30 ensayo 6. Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal, de media igual a 18 y desviación estándar igual a 3. Si X se transforma en una variable aleatoria Z con distribución normal tipificada, qué valor toma Z cuando X toma el valor 1? A) B) 1 C) 0 D) 1 E) 63. Sean X e Y dos variables aleatorias que se distribuyen de forma normal, ambas con media μ, de tal manera que la desviación estándar de X es mayor que la de Y. Respecto al gráfico de ambas distribuciones, es correcto afirmar que I) la curva relacionada a la variable Y es más alta que la de X. II) el área bajo la curva relacionada a la variable X es mayor que el de Y. III) el máximo de la curva relacionada a la variable X está más hacia la derecha que el de Y. Es (son) verdadera(s) A) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo I y III E) ninguna de ellas. 30 Cpech Preuniversitarios

31 Matemática 64. Cuatro personas participan en una corrida familiar, donde a cada competidor se le regala una polera por asistir. Si hay siete colores distintos para escoger entre las poleras, y ninguno se repite los colores, de cuántas formas distintas pueden escoger las cuatro personas los colores de estas poleras? ensayo A) 8 B) 56 C) 35 D) 840 E) Se tiene una caja A que contiene tres bolitas rojas y dos azules, y una caja B que contiene cuatro bolitas amarillas y dos bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Si un experimento consiste en extraer bolitas de ambas cajas de manera alternada, sin reposición y comenzando con la caja A, cuál es la probabilidad de que la primera extraída sea azul, la segunda sea roja, la tercera sea roja y la cuarta sea amarilla? A) B) C) D) E) Cpech Preuniversitarios 31

32 ensayo 66. En una prueba de cinco preguntas de verdadero o falso, si se contestan todas las preguntas al azar, cuál es la probabilidad de que tres estén correctas y dos estén incorrectas? A) B) C) D) E) Una reunión de fanáticos de un determinado videojuego convocó a 500 jóvenes, de los cuales dos quintos son de sexo femenino. Al consultarles sobre el rol que prefieren en dicho videojuego, la mitad de las mujeres escoge ser magos, un octavo de ellas prefiere el rol de luchador y el resto de las mujeres escoge el rol de lanzador. Por otra parte, un tercio de los hombres prefiere ser lanzadores, dos quintos escogen ser luchadores y el resto prefiere el rol de mago. Si se escoge a una persona al azar, cuál es la probabilidad de escoger a una mujer que prefiera el rol de lanzador o a un hombre que prefiera el rol de mago? A) B) C) D) E) Cpech Preuniversitarios

33 Matemática 68. Una caja contiene tarjetas, todas de igual forma y tamaño, con las letras de la palabra NEUMÁTICO. Si un experimento consiste en extraer cuatro tarjetas, sin reposición, definiendo la variable aleatoria X como el número de vocales extraídas, entonces el recorrido de X corresponde al conjunto ensayo A) {0, 1,, 3, 4} B) {1,, 3, 4, 5} C) {0, 1,, 3, 4, 5} D) {1,, 3, 4} E) {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 69. En una bolsa hay una ficha de color verde, dos fichas de color amarillo y una ficha de color azul, todas de igual forma y tamaño. Si un experimento consiste en extraer una ficha, registrar su color y luego devolverla a la bolsa, repitiendo esa acción 80 millones de veces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La moda de las extracciones es la ficha de color amarillo. II) Teóricamente, el número de extracciones de la ficha verde es el mismo número de extracciones de la ficha azul. III) Teóricamente, 70 millones de veces se extrae una ficha azul. A) Solo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 70. Diego participa en un juego de azar que consiste en lanzar una moneda dos veces. En caso de que en ambos lanzamientos salga cara, gana $ 500. En cualquier otro caso, debe entregar $ 00. Si el juego se realiza una vez, el valor esperado (esperanza matemática) del resultado del juego es que Diego A) gane $ 150. B) pierda $ 100. C) gane $ 75. D) gane $ 350. E) pierda $ 5. Cpech Preuniversitarios 33

34 ensayo 71. Una fábrica de botellas cuenta con una máquina de marca A, que elabora botellas diarias, y otra de marca B, que elabora botellas diarias. Al escoger una botella al azar de la máquina A, la probabilidad que esté en buen estado es de un 95%, mientras que en la máquina B la probabilidad de escoger una botella en buen estado es de un 94%. Si se escoge al azar una botella de la fábrica y esta es defectuosa, cuál es la probabilidad que haya sido fabricada por la máquina de marca A? A) B) C) D) E) Se lanza un dado y se define la variable aleatoria X como la cantidad de números 3 obtenidos. Luisa comienza a realizar el gráfico adjunto, que representa la función de probabilidad de la variable aleatoria X, donde falta representar la altura de las barras que comienzan en el eje horizontal para los valores de m = 0 y m = 1. Si J, K y L son líneas horizontales que representan los valores indicados del eje vertical, entonces es correcto afirmar que la barra de m = 0 y la barra de m = 1 deben llegar A) hasta L y J, respectivamente. B) ambas hasta K. C) hasta J y K, respectivamente. D) hasta J y L, respectivamente. E) ambas hasta J. P(X = m) L K J m 34 Cpech Preuniversitarios

35 Matemática 73. Sea X una variable aleatoria con distribución normal tipificada. Si P( a X a) = b y P(X c) = d, con 0 < c < a, entonces P(c X a) es igual a ensayo A) b + d 1 B) C) D) E) b + d b + d 1 b + d + 3 b d + 1 Cpech Preuniversitarios 35

36 ensayo Instrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (), son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación () por sí sola no lo es; B) () por sí sola, si la afirmación () por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (), si ambas afirmaciones (1) y () juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente; D) Cada una por sí sola, (1) ó (), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. 74. Sean a, b y c números enteros distintos, tales que a b c = 6. Se puede determinar el valor numérico de a si: (1) a b = () a < b < c A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 36 Cpech Preuniversitarios

37 Matemática 75. Matías, Felipe y Bárbara se reparten un premio de $ Matías recibe la suma de lo que recibe Felipe más lo que recibe Bárbara. Se puede determinar cuánto recibió cada uno si: ensayo (1) Felipe recibe la mitad de lo que recibe Bárbara. () Matías recibe el triple de lo que recibe Felipe. A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 76. Sea la función cuadrática f(x) = x ax a + 1, con x en los reales. Es posible determinar los puntos de intersección del gráfico de f con el eje de las abscisas si: (1) a es un entero positivo. () a = 16 A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 77. Sea L una recta que pasa por el origen y M un punto ubicado en la parte positiva del eje Y. Se puede encontrar el punto simétrico de M con respecto a L si: (1) La ordenada de M es 3. () L es creciente. A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. Cpech Preuniversitarios 37

38 ensayo 78. Sea la recta L: k x + y = p, con p 0, en el plano cartesiano. Se puede determinar el valor numérico de k si: (1) L intersecta al eje X en el punto (p, 0). () L intersecta al eje Y en el punto (0, p). A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 79. Sean a, b y c tres números reales, con a < b < c. Se puede determinar la varianza de este conjunto de números si: (1) El rango de la muestra es 1. () b es igual a la media aritmética (o promedio) de la muestra. A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 80. En una bolsa se tienen fichas con la letra A, otras con la letra B y el resto con la letra C, todos de igual peso y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer una ficha con la letra B si: (1) En la bolsa hay 40 fichas. () La cantidad de fichas con la letra C es el doble de la cantidad de fichas con la letra A y el doble de la cantidad de fichas con la letra B. A) (1) por sí sola. B) () por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (). D) Cada una por sí sola, (1) ó (). E) Se requiere información adicional. 38 Cpech Preuniversitarios

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