CURSO DE INGRESO AREA MATEMATICA

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1 Uiversidd Niol de Misioes UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO DE INGRESO AREA MATEMATICA el ietífio explor lo que existe, el igeiero re lo que u h existido Krm Ju Muel de Ross Tel/Fx E-mil :[email protected] Oerá Misioes CP 60

2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM III AREA MATEMATICA OBJETIVOS Ojetivos Geerles Atulizr los ooimietos mtemátios ásios dquiridos e el ivel medio/polimodl. Logrr el mejo propido del leguje mtemátio. Desrrollr hiliddes pr l presetió esrit de u proeso mtemátio. Fmilirizrse e l letur ompresiv e iterpretió de textos de mtemáti. Desrrollr hiliddes pr relior el leguje lítio o el leguje gráfio. Geerr proesos de rzomietos lógios, retivos y dedutivos. Promover el desrrollo de hiliddes de estudio resposle, trjo idepediete y oopertivo. Ojetivos espeífios Atulizr los ooimietos ásios de ls operioes o úmeros y sus propieddes. Idetifir ls fuioes poliómis, sus diferetes represetioes y elemetos rterístios. Utilizr operioes o poliomios e simplifiió y resoluió de euioes rioles. Resolver prolems utilizdo euioes de primer grdo o u y dos iógits. Resolver prolems utilizdo sistems de dos euioes o dos iógits. Alizr omprtivmete el álulo lítio y l represetió gráfi. Utilizr distitos sistems de mediió de águlos distiguiedo el más deudo e determidos sos Formulr y resolver prolems utilizdo l trigoometrí.

3 CONTENIDOS Tem : Cojutos Numérios Números: Nturles, Eteros, Rioles, Irrioles y Reles. Operioes y propieddes. Notió ietífi. Orde. Represetió e l ret uméri. Apliió de ls propieddes de ls resoluioes de euioes e ieuioes. Número omplejos. Form iómi. Tem : Fuioes Poliómis Poliomios. Operioes o poliomios. Divisiilidd de poliomios: Teorem del Resto y Teorem del ftor. Ftoreo. Simplifiió de expresioes rioles. Fuioes Poliómis. Gráfios. Iterseió o los ejes. Fuió liel. Fuió udráti. Tem : Euioes y Sistems de Euioes Lieles Euioes de primer grdo o u y o dos vriles. Soluió líti y gráfi. Sistems de dos euioes o dos vriles. Resoluió líti por igulió, sustituió o elimiió. Iterpretió geométri de ls distits soluioes. Tem : Trigoometrí Sistems de mediió de águlos. Relioes trigoométris de u águlo. Relió fudmetl de l trigoometrí. Círulo trigoométrio. Fuioes trigoométris. Represetió gráfi. Idetiddes trigoométris. Apliioes: Resoluió de triágulos retágulos y oliuágulos, Form trigoométri de los úmeros omplejos.

4 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM INDICE GENERAL OBJETIVOS CONTENIDOS III. UNIDAD : CONJUNTOS NUMÉRICOS 6 III.. LOS NÚMEROS NATURALES 6 III.. LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL 7 III.. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 9 III.. TRABAJO PRÁCTICO: CONJUNTOS NUMÉRICOS III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS 9 III.. POLINOMIOS 9 III.. OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS 0 III.. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 6 III.. APLICACIONES DEL FACTOREO 9 III.. FUNCIONES POLINÓMICAS 0 III..6 TRABAJO PRÁCTICO: FUNCIONES POLINÓMICAS 6 III. UNIDAD : ECUACIONES DE PRIMER GRADO 66 III.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 66 III.. SISTEMA DE ECUACIONES 7 III.. TRABAJO PRÁCTICO: ECUACIONES DE PRIMER GRADO 8 III.. TRABAJO PRÁCTICO: SISTEMA DE ECUACIONES 8 III. UNIDAD : TRIGONOMETRÍA 88 III.. SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 88 III.. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 9 III.. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 97 III.. TRABAJO PRÁCTICO: TRIGONOMETRÍA 0

5 III. UNIDAD : CONJUNTOS NUMÉRICOS III.. NUMEROS. OPERACIONES. PROPIEDADES III... Los Números Nturles Cd dí, e uestr oversió, por l televisió, e l letur de por ejemplo u dirio, o e el trjo está presete l ide de ojuto. Ejemplos: Al psr por l plz se levtó u dd de ploms. E el dirio leemos que uestro equipo de fútol preferido gó el prtido. Todos etedemos que u dd es u ojuto de pájros, el equipo de fútol es u ojuto de jugdores. E todos estos ejemplos, se trt de sióimos de l plr ojuto y o u defiiió. E mtemáti, utilizmos el térmio ojuto si u defiiió previ y o el mismo sigifido que se le d e l vid diri. Otro ejemplo: El ojuto de ls ots musiles Este ojuto serí A {do, re, mi, f, sol, l, si} Costtemete reliomos ojutos o distitos fies; uo de ellos es el de otr sus elemetos. Pr otr utilizmos los úmeros turles. Al priipio, el homre fue reliodo ojutos pr otr sus elemetos. Al omprr tiddes, se eró uestr oió tul de otr medite orrespodeis, por ejemplo, o prtes del uerpo: tego tts vs omo dedos e u mo. Cd v se relio o u úio dedo; los elemetos del ojuto v se puede prer o el ojuto de los dedos de l mo; deimos, etoes, que estos dos ojutos so oordiles, o que tiee el mismo rdil. El rdil de u ojuto fiito es u úmero turl Ejemplos: El rdil del ojuto de vs es el úmero. El rdil del ojuto de ots musiles es 7. El rdil del ojuto vío es 0. Al ojuto de los úmeros turles lo desigmos o N: N 0 {0,,,,,,... } Ls propieddes de N 0 so:. Es ifiito ( ).. Tiee primer elemeto: ero. No tiee último elemeto.. Todo úmero turl tiee u suesor. U úmero turl y su suesor se die oseutivos.. Todo úmero (exepto ero) tiee u teesor.. El suesor de u úmero turl es myor que él y su teesor es meor. Simólimete: < < 6

6 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM 6. Etre dos úmeros turles existe siempre u úmero fiito de úmeros turles. Por eso se die que es u ojuto disreto. III... Los Números Negtivos Etoes, el homre ooe los úmeros turles desde el mometo e que tuvo eesidd de otr, pero éstos o le lz pr expresr muhs situioes. Ejemplos: Ls temperturs jo ero El sldo deudor de u uet ri Por eso fue eesri l reió de los úmeros egtivos. Los úmeros egtivos so los opuestos de los úmeros turles distitos de ero. El 0 o es i positivo i egtivo. El ojuto o grupo de los úmeros eteros es l uió del ojuto de los úmeros eteros egtivos, el ojuto que tiee ero omo úio elemeto y el ojuto de los úmeros eteros positivos. Al ojuto de los úmeros eteros lo desigmos o Z Z {...,,,, 0,,,,...} Ls propieddes de Z so:. Es ifiito ( ).. No tiee primero i último elemeto.. Todo úmero etero tiee u suesor. U úmero etero y su suesor se die oseutivos.. Todo úmero etero tiee u teesor.. El suesor de u úmero etero es myor que él y su teesor es meor. Simólimete: < < 6. Etre dos úmeros eteros existe siempre u úmero fiito de úmeros eteros. Por eso, el ojuto de úmeros eteros es disreto. III... Los Números Friorios Estos úmeros surge de l eesidd de expresr frioes de uidd. Ejemplos: Tomás omió tres de ls utro prtes de ls que ost su tlet de hoolte dividido 7

7 Se llm frió u oiete de úmeros eteros. Todo úmero que puede ser expresdo medite u frió es u úmero riol. A este ojuto de úmeros lo desigmos o l letr Q. Todo úmero etero se puede expresr omo u frió o deomidor. Ejemplos: ; Todo úmero riol se puede expresr omo úmero deiml exto o periódio. Ejemplos: 0, ; 0, ) 0 Dos frioes, y, que umple l odiió d so equivletes. Esto d sigifi que expres el mismo úmero riol. L uió del ojuto Z de úmeros eteros y el ojuto de úmeros friorios que o represet úmeros eteros es el ojuto Q de los úmeros rioles. Ls propieddes de Q so:. Es ifiito ( ).. No tiee primero i último elemeto.. Etre dos úmeros rioles existe ifiitos rioles. Por ello, se die que el ojuto de úmeros rioles es deso. Ejemplo: Etre y se puede eotrr ttos rioles omo se quier. Bst overtir ests frioes e otrs equivletes de deomidor myor Como oseuei de l propiedd terior, igú úmero riol tiee suesor i teesor.. Q es u ojuto ordedo por l relió meor o igul.. Si los úmeros rioles y so frioes irreduiles, se umple que: > d > d d 8

8 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Ejemplos: > porque > 6 < porque tod frió egtiv es meor que ulquier frió positiv. 7 < porque tod frió uyo umerdor es myor que el deomidor es myor que l uidd. L represetió e l ret uméri de los distitos úmeros que hemos visto hst quí es: Nturles Eteros Rioles L pregut: los úmeros rioles omplet l ret uméri?. O, l mism pregut o otrs plrs, qued putos de l ret los que o les orrespode igú úmero riol? III... Los Números Irrioles L euió x 0 o tiee soluió e el mpo de los úmeros rioles. L soluió est euió requiere l desripió de los úmeros irrioles. Los úmeros irrioles so quellos uy expresió deiml es ifiit y o tiee u período, por ejemplo: El úmero pi: π + El úmero de oro: φ Ls ríes de ídie pr de úmeros turles uyos resultdos o so turles Ejemplo: ; 6 ; 8 ; et. Ls ríes de ídie impr de úmeros eteros uyos resultdos o so eteros Ejemplo: 7 ; ; et. 9

9 Por tto: Los úmeros irrioles o se puede expresr omo u frió o omo u oiete de dos eteros. Pr oteer u úmero irriol, es sufiiete esriir u úmero uys ifrs deimles se ifiits y o presete periodiidd. Por ejemplo:,... L otió pr los úmeros irrioles será I. III... Los Números Reles L uió del ojuto Q de úmeros rioles y el ojuto I de úmeros irrioles es el ojuto R de los úmeros reles, que puede represetrse medite u ret otiu llmd ret rel. Cd puto de est ret represet u úmero rel, y d úmero rel le orrespode u úio puto sore l ret. Por ello, o los úmeros reles se omplet l ret uméri. Ls propieddes de R so:. Es ifiito ( ).. No tiee primero i último elemeto.. Etre dos úmeros reles existe siempre u úmero ifiito de reles. Se die que el ojuto de úmeros reles es deso.. Nigú úmero rel tiee suesor i teesor.. El ojuto R es u ojuto totlmete ordedo por l relió meor o igul. 6. Es u ojuto otiuo porque omplet l ret uméri Hemos visto los úmeros turles, eteros, rioles y reles. U úmero turl es tmié etero, y u úmero etero puede esriirse omo u úmero riol utilizdo u frió que teg u e el deomidor. Si m es etero, etoes m m es riol Teemos sí dos grdes grupos de úmeros: los rioles y los irrioles. Estos dos grdes grupos form el ojuto de los úmeros reles. R Q I Z N 0

10 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Los úmeros reles tmpoo so l soluió tods ls euioes (omo, por ejemplo x + 0 ), si emrgo os port l estrutur eesri pr omezr trjr o situioes mtemátis e ls que utilizremos ls operioes y sus propieddes defiids e los distitos ojutos umérios que desriimos teriormete. Idir si ls siguietes firmioes so verdders o flss. E so de flsedd, justifi tu respuest: ) ) )., d) El produto de dos úmeros irrioles es siempre otro úmero irriol... e) El udrdo de u úmero irriol siempre es u úmero riol... f) El produto de u etero por u irriol es u úmero irriol... III...6 Operioes e los distitos Cojutos Numérios. Propieddes Desrrollremos otiuió ls operioes fudmetles y lgus de sus propieddes osiderdo los dos grdes grupos de úmeros: los rioles y los irrioles III...6. Adiió y Sustrió de Números Rioles Pr sumr o restr frioes de igul deomidor, el resultdo es otr frió de igul deomidor que ls dds, y uyos umerdores se otiee sumdo o restdo los umerdores ddos. E símolos: ± ± Cudo summos o restmos frioes de distito deomidor, usmos frioes equivletes ls dds que teg igul deomidor. E símolos: Ejemplos: d ± ± d d III..6. Multipliió y Divisió de Números Rioles Pr multiplir frioes, hemos: d d

11 Pr dividir frioes, hemos: d d d ( o 0) Ejemplos: III...6. Poteiió y Rdiió de Números Rioles 0 Si p es u úmero riol y k u etero positivo; p si p 0 ; p p ; p k p p p p k ftores p k p p k ftores p si p 0 Si p es u úmero riol y u úmero turl; p q q p Cudo relizmos ls operioes o úmeros (summos, restmos, multiplimos, et.) hy ierts regls que deemos respetr; este ojuto de regls ls deomimos propieddes. Cooer ests propieddes y mejrls o soltur es importte. No vmos exhiir e este uderillo u list exhustiv de propieddes sio sólo quells que se utiliz o freuei y se olvid o filidd. E so de olvidos de propieddes que o figur quí deerís reurrir u texto de EGB o Polimodl pr osultr l respeto. Se osider,, úmeros que perteee R (esto sigifi que tmié se umple ls propieddes e los otros ojutos umérios porque R los iluye) ) ) ) ) + + ( + ) omuttividd de l sum omuttividd del produto distriutividd del produto respeto l sum distriutividd del oiete respeto de l sum deir Si emrgo o hy u propiedd distriutiv si l sum está e el deomidor, es Por ejemplo:, y o es igul + 8 Ls propieddes ) y ) vle tmié pr l rest. Es deir

12 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM ) ) ( ) Sigmos o más propieddes III...6. Propieddes de ls Operioes sore Igulddes ) 6) 7) 8) Si etoes + + Si etoes Si y 0 etoes Si 0 etoes 0 ó 0 o ms Vemos u pliió. Resolver l euió ( x ) x + Comezmos multiplido mos miemros por. ( x ) ( x + ) ( x ) ( x + ) x x + x x + + x x distriuimos summos e mos miemros restmos x e mos miemros dividimos por es l soluió e mos miemros III...6. Propieddes de ls Operioes sore Desigulddes 9) 0) ) Si < Si < Si < etoes y > 0 y < 0 + < + etoes < etoes > Vemos u pliió. Resolver l ieuió ( x ) > x + Comezmos dividiedo mos miemros por

13 ( x ) x + > x > x + x > x + + x > x < summos e mos miemros restmos x e mos miemros multiplimos por mos miemros Oservr que e el último pso se tuvo que dividir por u úmero egtivo, y esto mió el setido de l desiguldd. III Regls de Sigos ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y filmete u regl importte que os oviee teer e uet udo opermos o frioes: ) III Algus Propieddes de l Poteiió y l Rdiió 6) 7) 8) ( ) m m + m m ( ). y De ests propieddes se dedue que m m El ítem 8 mr l propiedd distriutiv de l poteiió respeto del produto y oiete. E mio o vle l propiedd distriutiv de l poteiió o respeto l sum o l rest, es deir: ( + ) + y ( ) + mietrs que + Ejemplo: ( ) 9 U diferei de udrdos se ftoriz sí: ( ) ( + ) udrdo de u iomio se resuelve de est form: e tto el ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + +

14 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Si l operió es l rdiió, lgus propieddes so: 9) 0) ) m m Bie, es hor de omezr l ejeritió dode utilizrá ls operioes y propieddes desrrollds hst quí. III Módulo de u Número Rel El módulo o vlor soluto de u úmero rel x es l disti etre ese úmero y ero. Se simoliz sí: x Ejemplo:... Si x 0 x x Si x < 0 x x Otr form de expresr el modulo de u úmero rel x es: x x Ejemplo: x 6 x 6 x 6 x 6 ó x 6 III Propieddes del Módulo. 0.. o 0. Desiguldd trigulr: + +. x Ejemplo: Resuelv l euió: + x 6 Aplimos l propiedd e el primer térmio del primer miemro: x + x x 6 ; omo, teemos: + x 6 + x 6 sdo ftor omú x 6 x 6 multiplido miemro miemro por x 6 6 6

15 Por defiiió: x x x Por lo tto el ojuto soluió de l euió es S {, } III Operioes o Rdiles III Simplifiió: Si es impr Si es pr Si el ídie y el expoete del rdido tiee u divisor omú myor que, se simplifi dividiédolos por ese divisor omú. E so de que éste se pr se tom el vlor soluto del rdido. Ejemplo: ( ) 6 III Adiió y Sustrió: Rdiles semejtes: so quellos que tiee el mismo ídie y el mismo rdido. Al sumr o l restr rdiles semejtes, se otiee u expresió de u solo térmio. Ejemplo: + 7 Se puede extrer del rdil todos los ftores uyos expoetes se myores o igules que el ídie. Pr ello, se ftoriz el rdido, se desompoe los ftores e form oveiete, se distriuye l ríz o respeto l produto y se simplifi. Ejemplo: Pr sumr o pr restr rdiles, se he sí: - Si los rdiles so úmeros ompuestos, se ftoriz. - Se simplifi todos los rdiles posiles. - Se extre todos los ftores posiles de d rdil. - Si hy rdiles semejtes, se grup e u solo termio. - L sum o l rest de rdiles o semejtes se dej expresd. Ejemplo: III Multipliió y Divisió: Si los rdiles tiee igul ídie, se pli ests fórmuls.. 6

16 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Rdiles de ídies distitos: se us rdiles equivletes de modo tl que todos teg el mismo ídie. Ejemplo: ( ) III Riolizió de Deomidores: Cosiste e trsformr u expresió que otiee rdiles e su deomidor e otr equivlete, uyo deomidor se etero. Ejemplos: ( ) ( ) III Expoetes Rioles: Pr ulquier úmero turl myor que y 0 se umple que: k k. Ls poteis de expoete riol umple ls misms propieddes que ls poteis de expoete etero. Pr operr, e lguos sos oviee expresr los rdiles omo poteis y trjr o ests plido sus propieddes. + Ejemplo:.. 6 III.. LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL El logritmo e se de u úmero es el úmero, si elevdo l expoete d omo resultdo. E símolos: log es l se del logritmo y dee ser u úmero rel positivo y distito de. es el rgumeto del logritmo y dee ser u úmero rel positivo. y log x (se lee: logritmo e se de x ) 7

17 Ejemplos: ) log ddo que ) log ddo que III... Propieddes de los Logritmos ) log ( x y) log x + log y ) log ( ) y log x x ) log logx log y y x y ) Culquier se : log () y log () 0 III... Cmio de se: Supogmos que queremos verigur log utilizdo l luldor ietífi. Pr pesr y ompletr Podemos proeder sí: segú l defiiió de logritmo, log x x Aplimos logritmos deimles mos miemros log x log Aplimos l propiedd pr jr el expoete x log Despejmos x ; pero x log, etoes log... log Este proedimieto se llm mio de se, y os permite mir l se de u logritmo por otr más oveiete (hemos elegido se 0, pero podrímos her elegido ulquier otr). Si llmmos w l se elegid, podemos plir diretmete l siguiete fórmul: log log log w w Así podemos oteer o l luldor ietífi el logritmo de u úmero e ulquier se. L uev se que elegimos será 0 o e log 0 Por ejemplo: log 0... Este logritmo se resuelve utilizdo l log luldor ietífi. 8

18 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM U uestió de otió... log ( ) [ log ( ) ] Cudo lemos log si her referei l se se etederá que o referimos l se 0, es deir, 0. Ls luldors tom est oveió. III.. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los úmeros omplejos surge por l eesidd de resolver situioes omo l que plte l siguiete euió: x + 0 x R Situioes omo l presetd requiere l mpliió de R pr dr respuest, por ejemplo, el vlor de x ( x ) que result de l euió plted. Tl mpliió origi el ojuto de los úmeros omplejos C. Ates de defiir úmero omplejo pr que pueds ompreder mejor defiimos pr ordedo de úmeros reles. Pr ordedo so dos elemetos ddos e u ierto orde. E símolos: (, ), dode se llm primer ompoete y segud ompoete Por ejemplo: (, ) (,) (,) es deir que si mimos el orde de ls ompoetes estmos e presei de dos pres ordedos distitos. Número omplejo es todo pr ordedo de úmeros reles., / R R C {( ) } L otió usul es (,) z dode (primer ompoete) se deomi prte rel de z y (segud ompoete) se deomi prte imgiri U úmero omplejo tmié se puede expresr e form iómi: z + i El omplejo z (, ) expresdo omo pr ordedo e form iómi serí z + i Al úmero i se llm uidd imgiri que umple: i Si l prte rel es ul, el úmero omplejo es imgirio puro 9

19 Si l prte imgiri es ul, el úmero omplejo es u úmero rel El ojuto R está iluido e el ojuto C L últim rterísti euid sore los úmeros omplejos die: El ojuto R está iluido e el ojuto C. Cómo justifirís est firmió? Ejemplos: El úmero omplejo + i se represet e el plo medite el puto de oordeds (; ). El eje horizotl se llm eje rel, y el eje vertil eje imgirio. z + i z i z z i z z z z A d úmero omplejo le orrespode u puto del plo y d puto del plo le orrespode u úmero omplejo. El eje rel otiee úimete los úmeros reles, y el eje imgirio, úimete los imgirios puros. Dos omplejos so ojugdos si y sólo si tiee l mism prte rel, y sus prtes imgiris so opuests Ejemplo: z + i y z i III... Operioes e C III... Sum y Rest Pr sumr y restr úmeros omplejos se sum o rest ls prtes reles y ls prtes imgiris Ejemplos: Ddos los omplejos z (, ) z (, ) 0

20 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNM Presetmos u ejemplo de sum E form de pr ordedo: z + z (+ ( ), + ) (, ) E form iómi: z + z ( i) + ( + i) i III... Multipliió E este so es eesrio seprr l multipliió de úmeros omplejos e form de pr ordedo y e form iómi. E form de pr ordedo: se defie (,) (,d) ( d, d + ) E form iómi: se pli l propiedd distriutiv de l multipliió respeto l sum y rest ( i) ( + di) + di + i + di + ( d) + (d + ) i Pr ejemplifir osidermos los mismos omplejos utilizdos e l sum y rest E form de pr ordedo: ( ( ) ( ), + ( ) ( ) ) ( 0,0) z z E form iómi: ( i) ( i) z z i + i i + 0i ( ) i 0 + 0i III... Divisió E form de pr ordedo: se defie (, ) (, d) (, ) + d d, + d Es deir, que se trsform e u multipliió.

21 E form iómi: se multipli el dividedo y el divisor por el omplejo ojugdo del divisor + i + di ( + i) ( di) ( + di) ( di) + ( di) + i di + d ( + d) (d ) i + d Ejemplos: Ddos los omplejos z (, ) z (, ) E form de pr ordedo: z z (, ), (, ), y se resuelve omo l multipliió y ejemplifid teriormete. 0 0 E form iómi: i + i ( i) ( i) 6i + i ( + i) ( i) 0 ( ) + () i