Distribuciones muestrales y el teorema del límite central

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1 CAPÍTULO 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral 7.1 Itroducció 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 7.3 Teorema del límite cetral 7.4 Ua demostració del teorema del límite cetral (opcioal) 7.5 Aproximació ormal a la distribució biomial 7.6 Resume Bibliografía y lecturas adicioales 7.1 Itroducció E el Capítulo 6 presetamos métodos para hallar las distribucioes de fucioes de variables aleatorias. A lo largo de este capítulo trabajaremos co fucioes de las variables Y 1, Y 2,..., Y observadas e ua muestra aleatoria seleccioada de ua població de iterés. Como se explicó e el Capítulo 6, las variables aleatorias Y 1, Y 2,..., Y so idepedietes y tiee la misma distribució. Alguas fucioes de las variables aleatorias observadas e ua muestra se usa para calcular o tomar decisioes acerca de parámetros descoocidos de la població. Por ejemplo, supoga que deseamos estimar ua media poblacioal m. Si obteemos ua muestra aleatoria de observacioes, y 1, y 2,..., y, parece razoable estimar m co la media muestral y = 1 i=1 y i. La bodad de esta estimació depede del comportamieto de las variables aleatorias Y 1, Y 2,..., Y y el efecto que este comportamieto tiee sobre Y = (1/) i=1 Y i. Observe que la variable aleatoria Y es ua fució de (sólo) las variables aleatorias Y 1, Y 2,..., Y y el tamaño muestral (costate). La variable aleatoria Y es por tato u ejemplo de u estadístico. 346

2 7.1 Itroducció 347 DEFINICIÓN 7.1 U estadístico es ua fució de las variables aleatorias observables e ua muestra y de costates coocidas. Usted ha ecotrado umerosas estadísticas, la media muestral Y, la variaza muestral S 2, Y () = máx(y 1, Y 2,..., Y ), Y (1) = mí(y 1, Y 2,..., Y ), la amplitud R = Y () Y (1), la mediaa muestral, etcétera. Se usa estadísticos para hacer iferecias (estimacioes o decisioes) acerca de parámetros de població descoocidos. Como todos los estadísticos so fucioes de las variables aleatorias observadas e ua muestra, tambié so variables aleatorias. E cosecuecia, todos los estadísticos tiee distribucioes de probabilidad, que llamaremos sus distribucioes muestrales. Desde u puto de vista práctico, la distribució muestral de u estadístico proporcioa u modelo teórico para el histograma de frecuecia relativa de los posibles valores del estadístico que observaríamos por medio de muestreo repetido. El siguiete ejemplo cotiee ua distribució de muestreo de la media muestral cuado se obtiee muestras de ua població coocida asociada co lazar al aire u dado si cargar. EJEMPLO 7.1 U dado si cargar se laza tres veces. Sea Y 1, Y 2 y Y 3 el úmero de putos vistos e la cara superior para los tiros 1, 2 y 3, respectivamete. Supoga que estamos iteresados e Y = (Y 1 + Y 2 + Y 3 )/3, el úmero promedio de putos vistos e ua muestra de tamaño 3. Cuáles so la media m Y y la desviació estádar s Y,deY? Cómo podemos determiar la distribució muestral de Y? Solució E el Ejercicio 3.22 se demostró que m = E(Y i ) = 3.5 ys 2 = V (Y i ) = , i = 1, 2, 3. Como Y 1, Y 2 y Y 3 so variables aleatorias idepedietes, el resultado obteido e el Ejemplo 5.27 (usado el Teorema 5.12) implica que E(Y ) = m = 3.5, V (Y ) = s2 3 = =.9722, s 3 Y =.9722 = Cómo podemos deducir la distribució de la variable aleatoria Y? Los posibles valores de la variable aleatoria W = Y 1 + Y 2 + Y 3 so 3, 4, 5,..., 18 y Y = W/ 3. Como el dado está equilibrado, es decir, o cargado, cada uo de los 6 3 = 216 valores distitos de la variable aleatoria multivariate (Y 1, Y 2, Y 3 ) so igualmete probables y Por tato, P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2, Y 3 = y 3 ) = p(y 1, y 2, y 3 ) = 1/ 216, y i = 1, 2,..., 6, i = 1, 2, 3. P(Y = 1) = P(W = 3) = p(1, 1, 1) = 1/216 P(Y = 4/3) = P(W = 4) = p(1, 1, 2) + p(1, 2, 1) + p(2, 1, 1) = 3/216 P(Y = 5/3) = P(W = 5) = p(1, 1, 3) + p(1, 3, 1) + p(3, 1, 1) + p(1, 2, 2) + p(2, 1, 2) + p(2, 2, 1) = 6/216. Las probabilidades P(Y = i/3), i = 7, 8,...,18 se obtiee de maera aáloga.

3 348 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral FIGURA 7.1 (a) Distribució de muestreo simulado para Y, Ejemplo 7.1; (b) media y desviació estádar de los 4000 valores simulados de Y Frecuecia Número de tiros = Media de 3 dados (a) Prob. de pobl. (1) (2) (3) (4) (5) (6) Població: Media = Desv.Est. = Muestras = 4000 de tamaño 3 Media = Desv. Est. = / 1 Desv. Est.: / 2 Desv. Est.: / 3 Desv. Est.: (b) La deducció de la distribució de muestreo de la variable aleatoria Y trazada e el Ejemplo 7.1 utiliza el método de puto de muestra que se itrodujo e el Capítulo 2. Au cuado o es difícil completar los cálculos del Ejemplo 7.1 y dar la distribució de muestreo exacta para Y, el proceso es tedioso. Cómo podemos teer ua idea de la forma de esta distribució de muestro si molestaros e completar estos cálculos? Ua forma es simular la distribució de muestreo al tomar muestras idepedietes repetidas, cada ua de tamaño 3, calculado el valor observado y para cada muestra y costruyedo u histograma de estos valores observados. El resultado de ua de estas simulacioes se ilustra e la Figura 7.1(a), que es ua gráfica obteida usado la aplicació breve DiceSample (dispoible e com/ statistics/ wackerly). Qué puede observar e la Figura 7.1(a)? Como ya dijimos, el máximo valor observado de Y es 6 y el valor míimo es 1. Tambié, los valores obteidos e la simulació se acumula e forma de motículo aproximadamete cetrado e 3.5, que es la media teórica de Y. E la Figura 7.1(b) vemos que el promedio y desviació estádar de los 4000 valores simulados de Y so muy cercaos a los valores teóricos obteidos e el Ejemplo 7.1.

4 Ejercicios 349 Alguos de los ejercicios del fial de esta secció utiliza la aplicació breve DiceSample para explorar la distribució muestral simulada de Y para diferetes tamaños muestrales y para tiros de dados e los que se usa dados cargados. Otras aplicacioes se usa para simular las distribucioes muestrales para la media y la variaza de muestras tomadas de ua distribució e forma de campaa. Al igual que las distribucioes muestrales simuladas que usted observará e los ejercicios, la forma de la distribució muestral teórica de cualquier estadístico depederá de la distribució de las variables aleatorias observables de la muestra. E la siguiete secció usaremos los métodos del Capítulo 6 para deducir las distribucioes muestrales para alguos estadísticos empleados para hacer iferecias acerca de los parámetros de ua distribució ormal. Ejercicios 7.1 Ejercicio Applet E el Ejemplo 7.1 obtuvimos la media y variaza de la variable aleatoria Y co base e ua muestra de tamaño 3 tomada de ua població coocida, la asociada co lazar al aire u dado balaceado. Recuerde que si Y deota el úmero de putos observados e la cara superior e u solo tiro de u dado balaceado, como e el Ejercicio 3.22, P(Y = i) = 1/ 6, i = 1,2,..., 6, m = E(Y ) = 3.5, Var(Y ) = Use la aplicació DiceSample (e statistics/ wackerly) para completar lo siguiete: a Use el botó Roll Oe Set para tomar ua muestra de tamaño 3 de la població de tiros de dados. Qué valor se obtuvo para la media de esta muestra? Dóde cae este valor e el histograma? El valor obteido es igual a uo de los posibles valores asociados co u solo tiro de u dado balaceado? Por qué sí o por qué o? b Use el botó Roll Oe Set para obteer de uevo otra muestra de tamaño 3 de ua població de tiros de dados. Qué valor se obtuvo para la media de esta ueva muestra? El valor obteido es igual al valor obteido e el iciso a? Por qué sí o por qué o? c Use el botó Roll Oe Set ocho veces más para obteer u total de diez valores de la media muestral. Vea el histograma de estas diez medias. Qué se observa? Cuátos valores diferetes para la media muestral se obtuviero? Qué valores se observaro más de ua vez? d Use el botó Roll 10 Sets hasta obteer o graficar 100 valores realizados para la media muestral, Y. Qué puede observar acerca de la forma del histograma de los 100 valores recabados? Haga clic e el botó Show Stats para ver la media y la desviació estádar de los 100 valores (y 1, y 2,..., y 100 ) que se observaro. Cómo se compara el promedio de los 100 valores de y i, i = 1,2,..., 100 co E(Y), el úmero esperado de putos e u solo tiro de u dado balaceado? (Observe que la media y la desviació estádar de Y que usted calculó e el Ejercicio 3.22 se da e la seguda líea de la patalla de selecció Stat Report.) e Cómo se compara la desviació estádar de los 100 valores de y i, i = 1,2,..., 100 co la desviació estádar de Y dada e la seguda líea de la patalla de selecció Stat Report? f Haga clic e el botó Roll 1000 Sets uas cuatas veces, observado cambios e el histograma a medida que geere más y más valores de la media muestral. Cómo se compara el histograma resultate co la gráfica dada e la Figura 7.1(a)?

5 350 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral 7.2 Cosulte el Ejemplo 7.1 y el Ejercicio 7.1. a Use el método del Ejemplo 7.1 para hallar el valor exacto de P(Y = 2). b Cosulte el histograma obteido e el Ejercicio 7.1(d). Cómo se compara la frecuecia relativa que usted observó Y = 2, co su respuesta al iciso a? c Si usted fuera a geerar 10,000 valores de Y, qué espera obteer para la frecuecia relativa de observar Y = 2? 7.3 Ejercicio Applet Cosulte el Ejercicio 7.1. Use la aplicació DiceSample y arrastre hacia abajo a la siguiete parte de la patalla que correspode a tomar muestras de tamaño = 12 de la població correspodiete a lazar u dado balaceado. a Tome ua sola muestra de tamaño = 12 al hacer clic e el botó Roll Oe Set. Use el botó Roll Oe Set para geerar ueve valores más de la media muestral. Cómo se compara el histograma de valores observados de la media muestral co el histograma observado e el Ejercicio 7.1(c) que estuvo basado e diez muestras cada ua de tamaño 3? b Use el botó Roll 10 Sets ueve veces más hasta obteer ua gráfica de 100 valores (cada uo basado e ua muestra de tamaño = 12) para la media muestral Y. Haga clic e el botó Show Stats para ver la media y la desviació estádar de los 100 valores (y 1, y 2,..., y 100 ) que observó. i Cómo se compara el promedio de estos 100 valores de y i, i = 1, 2,..., 100 co el promedio de los 100 valores (co base e muestras de tamaño = 3) que obtuvo e el Ejercicio 7.1(d)? ii Divida la desviació estádar de los 100 valores de y i, i = 1, 2,..., 100 co base e muestras de tamaño 12 que acaba de obteer por la desviació estádar de los 100 valores (co base e muestras de tamaño = 3) que obtuvo e el Ejercicio 7.1. Por qué espera obteer u valor cercao a 1/2? [Sugerecia: V (Y ) = s 2 /.] c Haga clic e el botó Toggle Normal. La fució de desidad cotiua (verde) graficada sobre el histograma es la de ua variable aleatoria ormal co media y desviació estádar igual a la media y desviació estádar de los 100 valores (y 1, y 2,..., y 100 ) graficados e el histograma. Esta distribució ormal parece estar razoablemete aproximada a la distribució descrita por el histograma? 7.4 Ejercicio Applet La població correspodiete a la cara superior de u solo tiro de dado balaceado es tal que los seis valores posibles so igualmete probables. Se observaría resultados aálogos a los obteidos e los Ejercicios 7.1 y 7.2 si el dado o estuviera balaceado? Obtega acceso a la aplicació DiceSample y arrastre hacia abajo a la parte de la patalla que se refiere a Loaded Die. a Si el dado está cargado, los seis resultados posibles o so igualmete probables. Cuáles so las probabilidades asociadas co cada resultado? Haga clic e los botoes 1 roll, 10 rolls, y/o 1000 rolls hasta teer ua buea idea de las probabilidades asociadas co los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Cuál es la forma geeral del histograma que obtuvo? b Haga clic e el botó Show Stats para ver los verdaderos valores de las probabilidades de los seis valores posibles. Si Y es la variable aleatoria que deota el úmero de putos e la cara superior, cuál es el valor para m = E(Y)? Cuál es el valor de s, la desviació estádar de Y? [Sugerecia: estos valores aparece e la patalla Stat Report.] c Cuátas veces simuló usted tirar el dado e el iciso a? Cómo se compara la media y la desviació estádar de los valores simulados co los verdaderos valores m = E(Y) y s? Simule 2000 tiros más y coteste la misma preguta. d Arrastre hacia la parte de la patalla marcada Rollig 3 Loaded Dice. Haga clic e el botó Roll 1000 Sets hasta haber geerado 3000 valores observados para la variable aleatoria Y.

6 Ejercicios 351 i Cuál es la forma geeral de la distribució muestral simulada que obtuvo? ii Cómo se compara la media de los 3000 valores y 1, y 2,..., y 3000 co el valor de m = E(Y) calculada e el iciso a? Cómo se compara la desviació estádar de los 3000 valores co s/ 3? e Arrastre a la parte de la patalla marcada Rollig 12 Loaded Dice. i E el iciso ii, usted usará la aplicació breve para geerar 3000 muestras de tamaño 12, calculará la media de cada muestra observada y graficará estas medias e u histograma. Ates de usar la aplicació, proostique el valor aproximado que obtedrá para la media y desviació estádar de los 3000 valores de y que está por geerar. ii Use la aplicació para geerar 3000 muestras de tamaño 12 y obteer el histograma asociado co las medias muestrales respectivas, y i, i = 1, 2,..., Cuál es la forma geeral de la distribució muestral simulada que obtuvo? Compare la forma de esta distribució muestral simulada co la que obtuvo e el iciso d. iii Haga clic e el botó Show Stats para observar la media y la desviació estádar de los 3000 valores y 1, y 2,..., y Cómo se compara estos valores co los que usted proosticó e el iciso i? 7.5 Ejercicio Applet Qué aspecto tiee la distribució de muestreo de la media muestral si las muestras se toma de ua distribució aproximadamete ormal? Use el applet Samplig Distributio of the Mea (e para completar lo siguiete. La població de la que se obtedrá las muestras está distribuida aproximadamete e forma ormal co m = y s = 6.03 (estos valores se proporcioa arriba del histograma poblacioal y está deotados como M y S, respectivamete). a Use el botó Next Obs para seleccioar u solo valor de la població aproximadamete ormal. Haga clic cuatro veces e el botó para completar ua muestra de tamaño 5. Qué valor obtuvo para la media de esta muestra? Localice este valor e el histograma del fodo (el histograma para los valores de Y ). b Haga clic e el botó Reset para borrar la gráfica del cetro. Haga clic e el botó Next Obs cico veces más para obteer otra muestra de tamaño 5 de la població. Qué valor obtuvo para la media de esta ueva muestra? El valor que obtuvo es igual al obteido e el iciso a? Por qué sí o por qué o? c Use el botó 1 Sample ocho veces más para obteer u total de diez valores de la media muestral. Vea el histograma de estas diez medias. i Qué observa? ii Cómo se compara la media de estos 10 valores y co la media poblacioal m? d Use el botó 1 Sample hasta que haya obteido y graficado 25 valores para la media muestral Y, cada uo basado e ua muestra de tamaño 5. i Qué observa acerca de la forma del histograma de los 25 valores de y, i = 1, 2,..., 25? ii Cómo se compara el valor de la desviació estádar de los 25 valores y co el valor teórico para s Y obteido e el Ejemplo 5.27, dode demostramos que si Y se calcula co base e ua muestra de tamaño, etoces V (Y ) = s 2 /? e Haga clic e el botó 1000 Samples uas cuatas veces, observado cambios e el histograma a medida que geere más y más valores de la media muestral. Qué observa acerca de la forma del histograma resultate para la distribució muestral simulada de Y? f Haga clic e el botó Toggle Normal para recubrir (e verde) la distribució ormal co la misma media y desviació estádar que el cojuto de valores de Y que previamete geeró. Esta distribució ormal parece ser ua buea aproximació de la distribució muestral de Y?

7 352 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral 7.6 Ejercicio Applet Cuál es el efecto del tamaño muestral e la distribució muestral de Y? Use el applet SampleSize para completar lo siguiete. Como e el Ejercicio 7.5, la població de la que se obtedrá las muestras está distribuida ormalmete e forma aproximada co m = y s = 6.03 (estos valores se proporcioa arriba del histograma de població y se deota como M y S, respectivamete). a Use las flechas arriba/abajo e la caja izquierda Sample Size para seleccioar uo de los tamaños muestrales pequeños dispoibles y las flechas de la caja derecha Sample Size para seleccioar u tamaño muestral más grade. b Haga clic e el botó 1 Sample uas cuatas veces. Qué semejazas existe etre los dos histogramas que geeró? Qué diferecias hay etre ellos? c Haga clic e el botó 1000 Samples uas cuatas veces y coteste las pregutas del iciso b. d Las medias y las desviacioes estádar de las dos distribucioes muestrales está cercaas a los valores que esperaba? [Sugerecia: V(Y ) = s 2 /.] e Haga clic e el botó Toggle Normal. Qué observa acerca de lo adecuado de la aproximació de las distribucioes ormales? 7.7 Ejercicio Applet Qué aspecto tiee la distribució de muestreo de la variaza muestral si obteemos muestras de ua població co ua distribució aproximadamete ormal? Averígüelo usado el applet Samplig Distributio of the Variace (Moud Shaped Populatio) (e statistics/wackerly) para completar lo siguiete. a Haga clic e el botó Next Obs para tomar ua muestra de tamaño 1 de la població co distribució represetada por el histograma de la parte superior. El valor obteido se grafica e el histograma cetral. Haga clic cuatro veces más para completar ua muestra de tamaño 5. El valor de la variaza muestral se calcula y se proporcioa arriba del histograma cetral. El valor de la variaza muestral es igual al valor de la variaza poblacioal? Le sorprede esto? b Cuado complete el iciso a, el valor de la variaza muestral tambié se grafica e el histograma de la parte más baja. Haga clic e el botó Reset y repita el proceso del iciso a para geerar u segudo valor observado para la variaza muestral. Obtuvo el mismo valor que observó e el iciso a? Por qué sí o por qué o? c Haga clic e el botó 1 Sample uas cuatas veces. Observará que diferetes muestras lleva a valores diferetes de la variaza muestral. Haga clic e el botó 1000 Samples uas cuatas veces para geerar rápidamete u histograma de los valores observados de la variaza muestral (co base e muestras de tamaño 5). Cuál es la media de los valores de la variaza muestral que geeró? La media es cercaa al valor de la variaza poblacioal? d E los ejercicios previos de esta secció usted obtuvo distribucioes muestrales simuladas para la media muestral. Todas estas distribucioes muestrales fuero bie aproximadas (para tamaños muestrales grades) por ua distribució ormal. Au cuado la distribució que obtuvo tiee forma de campaa, la distribució muestral de la variaza muestral parece ser simétrica (como la distribució ormal)? e Haga clic e el botó Toggle Theory para recubrir la fució de desidad teórica para la distribució muestral de la variaza de ua muestra de tamaño 5 tomada de ua població ormalmete distribuida. La desidad teórica da ua aproximació razoable a los valores represetados e el histograma? f El teorema 7.3, e la secció siguiete, idica que si ua muestra aleatoria de tamaño se toma de ua població ormalmete distribuida, etoces ( 1)S 2 /s 2 tiee ua distribució x 2 co ( 1) grados de libertad. Este resultado parece cosistete co lo que observó e los icisos d y e?

8 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal Ejercicio Applet Cuál es el efecto del tamaño de la muestra e la distribució muestral de S 2? Use la aplicació VariaceSize para completar lo siguiete. Al igual que e alguos ejercicios previos, la població por muestrear está distribuida ormalmete e forma aproximada co m = y s = a Cuál es el valor de la variaza poblacioal s 2? b Use las flechas arriba/debajo de la caja izquierda Sample Size para seleccioar uo de los pequeños tamaños muestrales dispoibles, y las flechas de la caja derecha Sample Size para seleccioar u tamaño muestral más grade. i Haga clic e el botó 1 Sample uas pocas veces. Qué hay de semejate e los dos histogramas que geeró? Qué es diferete e ellos? ii Haga clic e el botó 1000 Samples uas pocas veces y coteste las pregutas del iciso i. iii Las medias de las dos distribucioes muestrales so cercaas al valor de la variaza poblacioal? Cuál de las dos distribucioes muestrales exhibe meor variabilidad? iv Haga clic e el botó Toggle Theory. Qué observa acerca de lo adecuado de las distribucioes teóricas que aproxima? c Seleccioe tamaños muestrales de 10 y 50 para ua ueva simulació y haga clic e el botó 1000 Samples uas pocas veces. i Cuál de las distribucioes muestrales parece ser más semejate a ua distribució ormal? ii Cosulte el Ejercicio 7.7(f). E el Ejercicio 7.97 usted demostrará que, para u gra úmero de grados de libertad, la distribució x 2 puede ser aproximada por ua distribució ormal. Parece esto razoable co base e su simulació actual? 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal Ya señalamos que muchos de los feómeos observados e el mudo real tiee distribucioes de frecuecia relativas que se puede modelar e forma adecuada co ua distribució de probabilidad ormal. Por tato, e muchos problemas prácticos es razoable supoer que las variables aleatorias observables e ua muestra aleatoria, Y 1, Y 2,..., Y, so idepedietes co la misma fució de desidad ormal. E el Ejercicio 6.43 se estableció que el estadístico Y = (1/)(Y 1 +Y 2 + +Y ) e realidad tiee ua distribució ormal. Como este resultado se utiliza frecuetemete e uestras exposicioes subsecuetes, lo presetamos formalmete e el siguiete teorema. TEOREMA 7.1 Sea Y 1, Y 2,..., Y ua muestra aleatoria de tamaño de ua distribució ormal co media m y variaza s 2. Etoces Y = 1 Y i i=1 está distribuida ormalmete co media m Y = m y variaza s 2 Y = s2 /.

9 354 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral Demostració Como Y 1, Y 2,..., Y es ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s 2, Y i, i = 1, 2,..., so variables idepedietes distribuidas ormalmete, co E(Y i ) = m y V(Y i ) = s 2. Además, Y = 1 i=1 Y i = 1 (Y 1) + 1 (Y 2) (Y ) = a 1 Y 1 + a 2 Y 2 + +a Y, dode a i = 1/, i = 1, 2,...,. Así, Y es ua combiació lieal de Y 1, Y 2,..., Y, y se puede aplicar el Teorema 6.3 para cocluir que Y está distribuida ormalmete co y E(Y ) = E 1 (Y 1) (Y ) = 1 (m)+ +1 (m) = m V (Y ) = V 1 (Y 1) (Y ) = 1 2 (s2 ) (s2 ) = 1 2 (s2 ) = s2. Esto es, la distribució muestral de Y es ormal co media m Y = m y variaza s 2 Y = s2 /. Observe que la variaza de cada ua de las variables aleatorias Y 1, Y 2,..., Y es s 2 y la variaza de la distribució muestral de la variable aleatoria Y es s 2 /. E lo sucesivo, habrá oportuidad de referiros a estas dos variazas. Coservaremos la otació s 2 para la variaza de las variables aleatorias Y 1, Y 2,..., Y, y s Y 2 se usará para deotar la variaza de la distribució muestral de la variable aleatoria Y. De maera aáloga, s será coservada como la otació para la desviació estádar de las Y i, y la desviació estádar de la distribució muestral de Y se deota s Y. De acuerdo co las codicioes del Teorema 7.1, Y está ormalmete distribuida co media m Y = m y variaza s 2 Y = s2 /. Se deduce que Z = Y m Y s Y = Y m s/ = Y m s tiee ua distribució ormal estádar. Ilustraremos la aplicació del Teorema 7.1 co el siguiete ejemplo. EJEMPLO 7.2 Ua máquia embotelladora puede ser regulada para que descargue u promedio de m ozas por botella. Se ha observado que la catidad de líquido dosificado por la máquia está distribuida ormalmete co s = 1.0 oza. Ua muestra de = 9 botellas se seleccioa aleatoriamete de la producció de la máquia e u día determiado (todas embotelladas co el mismo ajuste de la máquia) y las ozas de coteido líquido se mide para cada ua. Determie la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de.3 oza de la verdadera media m para el ajuste seleccioado de la máquia.

10 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 355 Solució Si Y 1, Y 2,..., Y 9 deota el coteido e ozas de las botellas que se va a observar, etoces sabemos que las Y i está distribuidas ormalmete co media m y variaza s 2 = 1 para i = 1, 2,..., 9. Por tato, por el Teorema 7.1, Y posee ua distribució muestral ormal co media m Y = m y variaza s 2 Y = s2 / = 1/9. Deseamos hallar P( Y m.3) = P[.3 (Y m).3] = P.3 s/ Y m s/.3 s/. Como (Y m Y )/s Y = (Y m)/(s/ ) tiee ua distribució ormal estádar, se deduce que P( Y m.3) = P.3 1/ 9 Z.3 1/ 9 Usado la Tabla 4, Apédice 3, ecotramos = P(.9 Z.9). P(.9 Z.9) = 1 2P(Z >.9) = 1 2(.1841) = Por cosiguiete, la probabilidad es sólo.6318 de que la media muestral se ecuetre a o más de.3 oza de la verdadera media poblacioal. EJEMPLO 7.3 Solució Cosulte el Ejemplo 7.2. Cuátas observacioes debe estar icluidas e la muestra si deseamos que Y se ecuetre a o más de.3 oza de m co probabilidad de.95? Ahora buscamos P( Y m.3) = P[.3 (Y m).3] =.95. Si dividimos cada térmio de la desigualdad etre s Y = s/ (recuerde que s = 1), teemos P.3 s/ Y m s/.3 s/ Pero co el uso de la Tabla 4, Apédice 3, obteemos Esto os dice que P( 1.96 Z 1.96) =.95. = P(.3 Z.3 ) =.95.3 = 1.96 o bie, lo que es equivalete, = = Desde ua perspectiva práctica, es imposible tomar ua muestra de tamaño Nuestra solució idica que ua muestra de tamaño 42 o es suficietemete grade para llegar a uestro objetivo. Si = 43, P( Y m.3) es ligeramete mayor que.95.

11 356 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral E los capítulos siguietes cetraremos uestra ateció e los estadísticos que so fucioes de los cuadrados de las observacioes e ua muestra aleatoria procedete de ua població ormal. El Teorema 7.2 establece la distribució muestral de la suma de los cuadrados de variables aleatorias ormales estádar e idepedietes. TEOREMA 7.2 Si Y 1, Y 2,..., Y está defiida como e el Teorema 7.1. Etoces Z i = (Y i m)/s so variables aleatorias ormales estádar e idepedietes, i = 1, 2,...,, y i=1 Z 2 i = i=1 Y i m s 2 tiee ua distribució x 2 co grados de libertad (gl). Demostració Como Y 1, Y 2,..., Y es ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s 2, el Ejemplo 6.10 implica que Z i = (Y i m)/s tiee ua distribució ormal estádar para i = 1, 2,...,. Además, las variables aleatorias Z i so idepedietes porque las Y i de las variables aleatorias so idepedietes, i = 1, 2,...,. El hecho de que i=1 Z i 2 tiee ua distribució x2 co grados de libertad se deduce directamete del Teorema 6.4. E la Tabla 6, Apédice 3, podemos hallar valores x 2 a de modo que P x 2 > x 2 a = a para variables aleatorias co distribucioes x 2 (véase Figura 7.2). Por ejemplo, si la variable aleatoria de iterés x 2 tiee 10 grados de libertad, la Tabla 6 del Apédice 3 se puede usar para hallar x Para hacerlo, vea e el regló marcado 10 gl y la columa co ecabezado x.90 2 y lea el valor Por tato, si Y tiee ua distribució x 2 co 10 gl, P(Y > ) =.90. Se deduce que P(Y ) =.10 y que es el cuatil.10, f.10, de ua variable aleatoria x 2 co 10 gl. E geeral, P x 2 > x 2 a = a implica que P x2 x 2 a = 1 a y que x 2 a =f 1 a, el cuatil (1 a) de la variable aleatoria x 2. La Tabla 6, Apédice 3, cotiee x 2 a =f 1 a para diez valores de a (.005,.01,.025,.05,.1,.90,.95,.975,.99 y.995) para cada ua de las 37 distribucioes x 2 diferetes (aquellas co grados de libertad 1, 2,..., 30 y 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100). Cosiderablemete más iformació acerca de estas distribucioes y la asociada co grados de libertad o icluidos FIGURA 7.2 Ua distribució x 2 que muestra el área a de cola superior f(u) 0 x 2 u

12 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 357 e la tabla, se ecuetra e software estadístico que se puede adquirir. Si Y tiee ua distribució x 2 co grados de libertad, el comado pchisq(y 0,)de R (y S-Plus) da P(Y y 0 ) mietras que qchisq(p,) da el p-ésimo cuatil, el valor f p tal que P(Y f p ) = p. Las probabilidades y los cuatiles asociados co variables aleatorias x 2 tambié se puede obteer fácilmete usado la aplicació Chi-Square Probabilities ad Quatiles (dispoible e www. thomsoedu.com/ statistics/ wackerly). El siguiete ejemplo ilustra el uso combiado del Teorema 7.2 y las tablas x 2. EJEMPLO 7.4 Si Z 1, Z 2,..., Z 6 deota ua muestra aleatoria proveiete de la distribució ormal estádar, ecuetre u úmero b tal que P 6 i=1 Z 2 i b = Solució Por el Teorema 7.2, i=1 Z i 2 tiee ua distribució x 2 co 6 grados de libertad. Si vemos la Tabla 6, Apédice 3, e la fila co ecabezado 6 gl y la columa co ecabezado x.05, 2 vemos el úmero Por tato, P 6 i=1 Z 2 i > =.05, o bie, lo que es equivalete, P 6 i=1 Z 2 i =.95, y b = es el cuatil.95 (95o. percetil) de la suma de los cuadrados de seis variables aleatorias ormales estádar e idepedietes. La distribució x 2 desempeña ua importate fució e muchos procedimietos ifereciales. Por ejemplo, supoga que deseamos hacer ua iferecia acerca de la variaza poblacioal s 2 basada e ua muestra aleatoria Y 1, Y 2,..., Y de ua població ormal. Como lo demostraremos e el Capítulo 8, u bue estimador de s 2 es la variaza muestral S 2 = 1 1 i=1 (Y i Y ) 2. El siguiete teorema proporcioa la distribució de probabilidad para ua fució del estadístico S 2. TEOREMA 7.3 Sea Y 1, Y 2,..., Y ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s 2. Etoces ( 1)S 2 = 1 s 2 s 2 i=1 (Y i Y ) 2 tiee ua distribució x 2 co ( 1) gl. Tambié, Y y S 2 so variables aleatorias idepedietes.

13 358 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral Demostració La demostració completa de este teorema aparece e el Ejercicio Para eteder mejor el resultado geeral, cosideraremos el caso = 2 y demostraremos que ( 1)S 2 /s 2 tiee ua distribució x 2 co 1 gl. E el caso de = 2, y, por tato, S 2 = i=1 Y = (1/2)(Y 1 + Y 2 ), (Y i Y ) 2 = Y (Y 1 + Y 2 ) 2 + Y (Y 1 + Y 2 ) 2 = 1 2 (Y 1 Y 2 ) (Y 2 Y 1 ) 2 = (Y 1 Y 2 ) 2 = (Y 1 Y 2 ) 2. 2 Se deduce que, cuado = 2, ( 1)S 2 s 2 = (Y 1 Y 2 ) 2 2s 2 = Y 1 Y 2 2s 2 2. Demostraremos que esta catidad es igual al cuadrado de ua variable aleatoria ormal estádar; es decir, se trata de ua variable Z 2 que, como ya hemos demostrado e el Ejemplo 6.11, posee ua distribució x 2 co 1 grado de libertad. Como Y 1 Y 2 es ua combiació de variables aleatorias idepedietes distribuidas ormalmete (Y 1 Y 2 = a 1 Y 1 + a 2 Y 2 co a 1 = 1 y a 2 = 1), el Teorema 6.3 os dice que Y 1 Y 2 tiee ua distribució ormal co media 1m 1m = 0 y variaza (1) 2 s 2 + ( 1) 2 s 2 = 2s 2. Por tato, Z = Y 1 Y 2 2s 2 tiee ua distribució ormal estádar. Como para = 2 ( 1)S 2 = Y 1 Y 2 s 2 2s 2 2 = Z 2, se deduce que ( 1)S 2 /s 2 tiee ua distribució x 2 co 1 grado de libertad. E el Ejemplo 6.13 demostramos que U 1 = (Y 1 + Y 2 )/s y U 2 = (Y 1 Y 2 )/s so variables aleatorias idepedietes. Observe que, debido a que = 2, Y = Y 1 + Y 2 2 = su 1 2 y S 2 = (Y 1 Y 2 ) 2 2 = (su 2) 2. 2 Como Y sólo es ua fució de U 1 y S 2 es ua fució de U 2, la idepedecia de U 1 y U 2 implica la idepedecia de Y y S 2.

14 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 359 EJEMPLO 7.5 E el Ejemplo 7.2, se supoe que las ozas de líquido que vierte la máquia embotelladora tiee ua distribució ormal co s 2 = 1. Supoga que plaeamos seleccioar ua muestra aleatoria de diez botellas y medir la catidad de líquido e cada ua. Si estas diez observacioes se usa para calcular S 2, podría ser útil especificar u itervalo de valores que icluirá S 2 co ua probabilidad alta. Ecuetre úmeros b 1 y b 2 tales que P(b 1 S 2 b 2 ) =.90. Solució Observe que P(b 1 S 2 b 2 ) = P ( 1)b 1 ( 1)S2 ( 1)b 2. s 2 s 2 s 2 Debido a que s 2 = 1, se deduce que ( 1)S 2 /s 2 = ( 1)S 2 tiee ua distribució x 2 co ( 1) grados de libertad. Por tato, podemos usar la Tabla 6, Apédice 3, para hallar dos úmeros a 1 y a 2 tales que P[a 1 ( 1)S 2 a 2 ] =.90. U método para hacer esto es ecotrar el valor de a 2 que delimite u área de.05 e la cola superior y el valor de a 1 que delimite.05 e la cola iferior (.95 e la cola superior). Como hay 1 = 9 grados de libertad, la Tabla 6 del Apédice 3 idica que a 2 = y a 1 = E cosecuecia, los valores para b 1 y b 2 que satisface uestras codicioes está dados por = a 1 = ( 1)b 1 = 9b s 2 1 o b 1 = =.369 y = a 2 = ( 1)b 2 = 9b s 2 2 o b 2 = = Por tato, si deseamos teer u itervalo que icluya S 2 co probabilidad.90, uo de estos itervalos es (.369, 1.880). Observe que este itervalo es bastate amplio. El resultado del Teorema 7.1 proporcioa la base para el desarrollo de procedimietos que permite hacer iferecias acerca de la media m de ua població ormal co variaza coocida s 2. E dicho caso, el Teorema 7.1 idica que (Y m)/s tiee ua distribució ormal estádar. Cuado s o se cooce, puede ser estimada co S = S 2 y la catidad Y m S proporcioa la base para desarrollar métodos de iferecia respecto de m. Demostraremos que (Y m)/s tiee ua distribució coocida como distribució t de Studet co 1 grados de libertad. La defiició geeral de ua variable aleatoria que posee ua distribució t de Studet (o simplemete ua distribució t) es la siguiete.

15 360 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral DEFINICIÓN 7.2 Sea Z ua variable aleatoria ormal estádar y sea W ua variable co distribució x 2 co grados de libertad. Etoces, si W y Z so idepedietes, T = Z W/ se dice que tiee ua distribució t co grados de libertad. Si Y 1, Y 2,..., Y costituye ua muestra aleatoria de ua població ormal co media m y variaza s 2, el Teorema 7.1 puede aplicarse para demostrar que Z = (Y m)/s tiee ua distribució ormal estádar. El Teorema 7.3 os dice que W = ( 1)S 2 /s 2 tiee ua distribució x 2 co = 1 grados de libertad y que Z y W so idepedietes (puesto que Y y S 2 so idepedietes). Por tato, segú la Defiició 7.2, T = Z W/ = (Y m)/s ( 1)S 2 /s 2 /( 1) = Y m S tiee ua distribució t co ( 1) grados de libertad. La ecuació para la fució de desidad t o se dará aquí, pero se puede hallar e el Ejercicio 7.98 dode se da sugerecias acerca de su deducció. Al igual que la fució de desidad ormal estádar, la fució de desidad t es simétrica alrededor de cero. Además, para > 1, E(T) = 0; y para > 2, V(T) = /( 2). Estos resultados se deduce directamete de los obteidos e los Ejercicios y (véase Ejercicio 7.30). De esta maera, vemos que, si > 1, ua variable aleatoria co distribució t tiee el mismo valor esperado que ua variable aleatoria ormal estádar. No obstate, ua variable aleatoria ormal estádar siempre tiee ua variaza 1 mietras que, si > 2, la variaza de ua variable aleatoria co ua distribució t siempre es mayor que 1. La figura 7.3 muestra la gráfica de ua fució de desidad ormal estádar y ua fució de desidad t. Observe que ambas fucioes de desidad so simétricas alrededor del orige pero que la desidad t tiee más masa de probabilidad e sus extremos. Los valores de t a tales que P(T > t a ) = a se da e la Tabla 5, Apédice 3. Por ejemplo, si ua variable aleatoria tiee ua distribució t co 21 grados de libertad, t.100 se ecuetra viedo el regló marcado 21 gl (grados de libertad) y la columa co ecabezado t.100. Co el uso de la Tabla 5, vemos que t.100 = y que para 21 grados de libertad, P(T > 1.323) =.100. Se deduce que es el cuatil.90 (el 90o. percetil) de la distribució t co 21 grados de libertad y e geeral que t a = f 1 a, el cuatil (1 a) [el percetil 100(1 a) ésimo] de ua variable aleatoria de distribució t. FIGURA 7.3 Comparació de las fucioes de desidad ormal estádar y t Normal estádar t 0

16 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 361 La Tabla 5, Apédice 3, cotiee t a = f 1 a para cico valores de a (.005,.010,.025,.050 y.100) y 30 distribucioes t diferetes (aquellas co grados de libertad 1, 2,, 29 e q). De maera cosiderable más iformació acerca de estas distribucioes y las asociadas co grados de libertad o icluidos e la tabla, es proporcioada por software estadístico comercialmete dispoible. Si Y tiee ua distribució t co grados de libertad, el comado pt(y 0,) de R (y S-Plus) da P(Y y 0 ) mietras que qt(p,) da el p-ésimo cuatil, el valor de f p tal que P(Y f p ) = p. Las probabilidades y cuatiles asociados co variables aleatorias co distribució t tambié se puede obteer fácilmete utilizado la aplicació breve Studet s Probabilities ad Quatiles (e EJEMPLO 7.6 Solució La resistecia a la tesió para u tipo de alambre está distribuida ormalmete co media descoocida m y variaza descoocida s 2. Seis trozos de alambre se seleccioa aleatoriamete de u rollo largo; Y 1, la resistecia a la tesió para el trozo i, se mide para i = 1, 2,..., 6. La media poblacioal m y la variaza s 2 puede ser estimadas por Y y S 2, respectivamete. Como s 2 Y = s2 /, se deduce que s 2 Y puede ser estimada por S2 /. Ecuetre la probabilidad aproximada de que Y esté detro de 2S/ de la verdadera media poblacioal m. Deseamos hallar P 2S 2S (Y m) = P 2 Y m S 2 = P( 2 T 2), dode T tiee ua distribució t co, e este caso, 1 = 5 grados de libertad. Al observar la Tabla 5, Apédice 3, vemos que el área de la cola superior a la derecha de es.05. E cosecuecia, P( T 2.015) =.90, y la probabilidad de que Y esté a o más de 2 desviacioes estádar estimadas de m es ligeramete meor que.90. E el Ejercicio 7.24 el valor exacto para P( 2 T 2) se hallará usado la aplicació Studet s Probabilities ad Quatiles dispoible e com/ statistics/ wackerly. Observe que si s 2 se coociera, la probabilidad de que Y esté a o más de 2s Y de m estaría dada por P 2 s (Y m) 2 s = P 2 Y m s 2 = P( 2 Z 2) = Supoga que queremos comparar las variazas de dos poblacioes ormales co base e iformació coteida e muestras aleatorias idepedietes proveietes de las dos poblacioes. Tomemos muestras de tamaño 1 y 2 de las dos poblacioes co variazas s 2 1 y s2 2,

17 362 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral respectivamete. Si calculamos S1 2 de las observacioes e la muestra 1, etoces S2 1 calcula s1 2. Del mismo modo, S2 2 calculada de las observacioes e la seguda muestra calcula s2 2. Etoces, parece que la razó S1 2/S2 2 podría usarse para hacer iferecias acerca de las magitudes relativas de s1 2 y s2 2. Si dividimos cada S2 i etre s2 i, etoces la razó resultate S 2 1 /s2 1 S 2 2 /s2 2 = s2 2 s 2 1 S 2 1 S 2 2 tiee ua distribució F co ( 1 1) grados de libertad e el umerador y ( 2 1) grados de libertad e el deomiador. La defiició geeral de ua variable aleatoria que posee ua distribució F aparece a cotiuació. DEFINICIÓN 7.3 Sea W 1 y W 2 variables aleatorias idepedietes co distribució x 2, co 1 y 2 grados de libertad, respectivamete. Etoces se dice que F = W 1/ 1 W 2 / 2 tiee ua distribució F co 1 grados de libertad e el umerador y 2 grados de libertad e el deomiador. La fució de desidad para ua variable aleatoria co distribució F se proporcioa e el Ejercicio 7.99 dode el método para su deducció está idicado. Se puede demostrar (véase el Ejercicio 7.34) que si F posee ua distribució F co 1 grados de libertad e el umerador y 2 e el deomiador, etoces E(F) = 2 /( 2 2) si 2 > 2. Tambié, si 2 > 4, etoces V (F) = [2 2 2 ( )]/[ 1 ( 2 2) 2 ( 2 4)]. Observe que la media de ua variable aleatoria co distribució F depede sólo del úmero de grados de libertad 2 del deomiador. Cosiderado ua vez más dos muestras aleatorias idepedietes tomadas de distribucioes ormales, sabemos que W 1 = ( 1 1)S 2 1 /s2 1 y W 2 = ( 2 1)S 2 2 /s2 2 tiee distribucioes x 2 idepedietes co 1 = ( 1 1) y 2 = ( 2 1) grados de libertad, respectivamete. Etoces, la Defiició 7.3 implica que F = W 1/ 1 W 2 / 2 = ( 1 1)S 2 1 /s2 1 /( 1 1) ( 2 1)S 2 2 /s2 2 /( 2 1) = S2 1 /s2 1 S 2 2 /s2 2 tiee ua distribució F co ( 1 1) grados de libertad e el umerador y ( 2 1) grados de libertad e el deomiador. E la Figura 7.4 se muestra la gráfica de ua fució de desidad F. Los valores de F a tales que P(F > F a ) = a se da e la Tabla 7, Apédice 3, para valores de a =.100,.050,.025,.010 y.005. E la Tabla 7, los ecabezados de las columas so los grados de libertad del umerador mietras que los grados de libertad del deomiador se da e los ecabezados del regló pricipal. Opuestos a cada uo de los grados de libertad del deomiador (ecabezados de regló), aparece los valores de a =.100,.050,.025,.010 y.005. Por ejemplo, si la variable F de iterés tiee 5 grados de libertad e el umerador y 7 grados de libertad e el deomiador, etoces F.100 = 2.88, F.050 = 3.97, F.025 = 5.29, F.010 = 7.46 y F.005 = Por tato, si F tiee ua distribució F co 5 grados de libertad e el umerador y 7 grados de

18 7.2 Distribucioes muestrales relacioadas co la distribució ormal 363 FIGURA 7.4 Ua típica fució de desidad de probabilidad F f (u) u F libertad e el deomiador, etoces P(F > 7.46) =.01. Se deduce que 7.46 es el.99 cuatil de la distribució F co 5 grados de libertad e el umerador y 7 grados de libertad e el deomiador. E geeral, F a = f 1 a, el cuatil (1 a) [el 100(1 a) ésimo percetil] de ua variable aleatoria co distribució F. Para los cico valores previamete mecioados de a, la Tabla 7, Apédice 3, proporcioa los valores de F a para 646 distribucioes F (las de grados de libertad 1, 2,..., 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 e q e el umerador y las de grados de libertad 1, 2,..., 30, 40, 60, 120 e q e el deomiador). De forma cosiderable hay más iformació acerca de estas distribucioes, y las asociadas co grados de libertad o icluidas e la tabla, e software estadístico que se puede adquirir comercialmete. Si Y tiee ua distribució F co 1 grados de libertad e el umerador y 2 grados de libertad e el deomiador, el comado pf(y 0, 1, 2 ) de R (y S-Plus) da P(Y y 0 ) mietras que qf(p, 1, 2 ) da el p-ésimo cuatil, el valor de f p tal que P(Y f p ) = p. Las probabilidades y cuatiles asociados co variables aleatorias de distribució F tambié se puede obteer fácilmete co el uso de la aplicació breve F-Ratio Probabilities ad Quatiles (e EJEMPLO 7.7 Si tomamos muestras idepedietes de tamaños 1 = 6 y 2 = 10 de dos poblacioes ormales co la misma variaza poblacioal, ecuetre el úmero b tal que P S2 1 S 2 2 b =.95. Solució Como 1 = 6, 2 = 10 y las variazas poblacioales so iguales, etoces S1 2/s2 1 S2 2/s2 2 = S2 1 S 2 2 tiee ua distribució F co 1 = 1 1 = 5 grados de libertad e el umerador y 2 = 2 1 = 9 grados de libertad e el deomiador. Asimismo, P S2 1 S 2 2 b = 1 P S2 1 S 2 2 > b. Por tato, queremos determiar el úmero b que delimita u área e el extremo superior de.05 bajo la fució de desidad F co 5 grados de libertad e el umerador y 9 grados de libertad e el deomiador. Si leemos e la columa 5 y regló 9 de la Tabla 7, Apédice 3, vemos que el valor apropiado de b es 3.48.

19 364 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral Au cuado las variazas poblacioales so iguales, la probabilidad de que la razó etre las variazas muestrales sea mayor que 3.48 todavía es.05 (supoiedo tamaños muestrales de 1 = 6 y 2 = 10). Esta secció se ha dedicado a desarrollar distribucioes muestrales de diversos estadísticos calculados mediate el uso de las observacioes de ua muestra aleatoria tomada de ua població ormal (o muestras aleatorias idepedietes extraídas de dos poblacioes ormales). E particular, si Y 1,Y 2,..., Y represeta ua muestra aleatoria de ua població ormal co media m y variaza s 2, hemos visto que (Y m)/s tiee ua distribució ormal estádar. Asimismo, ( 1) S 2 /s 2 tiee ua distribució x 2 y (Y m)/ S tiee ua distribució t (ambas co 1 grados de libertad). Si teemos dos muestras aleatorias idepedietes de poblacioes ormales co variazas s1 2 y s2 2, etoces F = (S2 1 /s2 1 )/( S2 2 /s2 2 ) tiee ua distribució F. Estas distribucioes muestrales hará posible que podamos evaluar las propiedades de procedimietos ifereciales e capítulos posteriores. E la siguiete secció examiamos las aproximacioes a ciertas distribucioes muestrales que puede ser muy útiles cuado se descooce la forma exacta de la distribució muestral o cuado es difícil o tedioso usar la distribució muestral exacta para calcular probabilidades. Ejercicios 7.9 Cosulte el Ejemplo 7.2. La catidad de líquido dosificado por ua máquia embotelladora está distribuida ormalmete co s = 1 oza. Si = 9 botellas se seleccioa aleatoriamete de la producció de la máquia, ecotramos que la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de.3 oza de la verdadera media es Supoga que Y se ha de calcular usado ua muestra de tamaño. a Si = 16, cuál es P( Y m.3)? b Ecuetre P( Y m.3) cuado Y se ha de calcular usado muestras de tamaños = 25, = 36, = 49 y = 64. c Qué patró observa usted etre los valores para P( Y m.3) que haya cotemplado para diversos valores de? d Los resultados obteidos e el iciso b parece ser cosistetes co el resultado obteido e el Ejemplo 7.3? 7.10 Cosulte el Ejercicio 7.9. Supoga ahora que la catidad de líquido dosificado por la máquia embotelladora está distribuida ormalmete co s = 2 ozas. a Si = 9 botellas se seleccioa aleatoriamete de la producció de la máquia, cuál es P( Y m.3)? Compare esto co la respuesta obteida e el Ejemplo 7.2. b Ecuetre P( Y m.3) cuado Y se ha de determiar usado muestras de tamaños = 25, = 36, = 49 y = 64. c Qué patró observa usted etre los valores para P( Y m.3) que cotempló para los diversos valores de? d Cómo se compara las respectivas probabilidades obteidas e este problema (dode s = 2) co las obteidas e el Ejercicio 7.9 (dode s = 1)? 7.11 U guardabosque, que estudia los efectos de la fertilizació e ciertos bosques de pios e el sureste, está iteresado e estimar el promedio de área de la base de los pios. Al estudiar áreas basales de pios similares durate muchos años, descubrió que estas medicioes (e pulgadas cuadradas) está distri-

20 Ejercicios 365 buidas ormalmete co desviació estádar aproxima de 4 pulgadas cuadradas. Si el guardabosque muestrea = 9 árboles, ecuetre la probabilidad de que la media muestral se ecuetre a o más de 2 pulgadas cuadradas de la media poblacioal Supoga que al guardabosque del Ejercicio 7.11 le gustaría que la media muestral estuviera a o más de 1 pulgada cuadrada de la media poblacioal, co probabilidad.90. Cuátos árboles debe medir para asegurar este grado de precisió? 7.13 La Evirometal Protectio Agecy se ocupa del problema de establecer criterios para las catidades de sustacias químicas tóxicas permitidas e lagos y ríos de agua dulce. Ua medida comú de toxicidad para cualquier cotamiate es la cocetració de éste que mataría a la mitad de la especie de prueba e u tiempo determiado (por lo geeral 96 horas para especies de peces). Esta medida se deomia CL50 (cocetració letal que mata 50% de la especie de prueba). E muchos estudios, los valores coteidos e el logaritmo atural de medicioes del CL50 está distribuidos ormalmete y, e cosecuecia, el aálisis está basado e datos del l(cl50). Estudios de los efectos del cobre e cierta especie de peces (por ejemplo la especie A) muestra que la variaza de medicioes de l(cl50) es alrededor de.4 co medicioes de cocetració e miligramos por litro. Si ha de completarse = 10 estudios sobre el CL50 para cobre, ecuetre la probabilidad de que la media muestral de l(cl50) difiera de la verdadera media poblacioal e o más de Si e el Ejercicio 7.13 deseamos que la media muestral difiera de la media poblacioal e o más de.5 co probabilidad.95, cuátas pruebas debe realizarse? 7.15 Supoga que X 1, X 2,..., X m y Y 1, Y 2,..., Y so muestras aleatorias idepedietes, co las variables X i distribuidas ormalmete co media m 1 y variaza s1 2 y las variables Y i distribuidas ormalmete co media m 2 y variaza s2 2. La diferecia etre las medias muestrales, X Y, es etoces ua combiació lieal de m + variables aleatorias distribuidas ormalmete y, por el Teorema 6.3, tiee ua distribució ormal. a Ecuetre E(X Y ). b Ecuetre V (X Y ). c Supoga que s1 2 = 2, s2 2 = 2.5 y m =. Ecuetre los tamaños muestrales para que (X Y ) se ecuetre a o más de 1 uidad de (m 1 m 2 ) co probabilidad Refiriédose al Ejercicio 7.13, supoga que los efectos del cobre e ua seguda especie (por ejemplo la especie B) de peces muestra la variaza de medicioes de l(cl50) que so de.8. Si las medias poblacioales del l(cl50) para las dos especies so iguales, ecuetre la probabilidad de que, co muestras aleatorias de diez medicioes de cada especie, la media muestral para la especie A sea mayor a la media muestral para la especie B e al meos 1 uidad Ejercicio Applet Cosulte el Ejemplo 7.4. Use la aplicació breve Chi-Square Probabilities ad 6 Quatiles para hallar P i=1 Z i (Recuerde que i=1 Z i 2 tiee ua distribució x 2 co 6 grados de libertad.) 7.18 Ejercicio Applet Cosulte el Ejemplo 7.5. Si s 2 = 1 y = 10, use la aplicació Chi-Square Probabilities ad Quatiles para hallar P(S 2 3). Recuerde que, co las codicioes dadas previamete, 9S 2 tiee ua distribució x 2 co 9 grados de libertad.) 7.19 Los amperímetros producidos por u fabricate se vede co la especificació de que la desviació estádar de las lecturas de la aguja o sea mayor que.2 amperes. Uo de estos amperímetros se utilizó para hacer diez lecturas idepedietes e u circuito de prueba co corriete costate. Si la variaza muestral de estas diez medicioes es.065 y es razoable supoer que las lecturas está distribuidas ormalmete, los resultados sugiere que el amperímetro empleado o satisface las especificacioes del mercado? [Sugerecia: ecuetre la probabilidad aproximada de que la variaza muestral será mayor que.065 si la verdadera variaza poblacioal es.04.]

21 366 Capítulo 7 Distribucioes muestrales y el teorema del límite cetral 7.20 a Si U tiee ua distribució x 2 co grados de libertad, ecuetre E(U) y V(U). b Usado los resultados del Teorema 7.3, ecuetre E(S 2 ) y V(S 2 ) cuado Y 1, Y 2,..., Y es ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s Cosulte el Ejercicio Supoga que = 20 observacioes se ha de tomar a medicioes l(cl50) y que s 2 = 1.4. Deote co S 2 la variaza muestral de las 20 medicioes. a Ecuetre u úmero b tal que P(S 2 b) =.975. b Ecuetre u úmero a tal que P(a S 2 ) =.975. c Si a y b so como e los icisos a y b, cuál es P(a S 2 b)? 7.22 Ejercicio Applet Como ya idicamos e la Defiició 4.10, ua variable aleatoria Y tiee ua distribució x 2 co grados de libertad si y sólo si Y tiee ua distribució gamma co a = /2 y b = 2. a Use la aplicació Compariso of Gamma Desity Fuctios para graficar desidades x 2 co 10, 40 y 80 grados de libertad. b Qué observa usted acerca de las formas de estas fucioes de desidad? Cuál de ellas es más simétrica? c E el Ejercicio 7.97 usted demostrará que para valores grades de, ua variable aleatoria x 2 tiee ua distribució que puede ser aproximada por ua distribució ormal co m = y s = 2. Cómo se compara la media y desviació estádar de la aproximació a la distribució ormal co la media y la desviació estádar de la variable aleatoria x 2 de Y? d Cosulte las gráficas de las desidades x 2 que obtuvo e el iciso a. E el iciso c dijimos que, si el úmero de grados de libertad es grade, la distribució x 2 se puede aproximar co ua distribució ormal. Le sorprede esto? Por qué? 7.23 Ejercicio Applet a Use la aplicació Chi-Square Probabilities ad Quatiles para determiar P[Y > E(Y)] cuado Y tiee distribucioes x 2 co 10, 40 y 80 grados de libertad. b Qué observó usted acerca de P[Y > E(Y)] cuado aumeta el úmero de grados de libertad como e el iciso a? c Cómo se relacioa lo que usted observó e el iciso b co las formas de las desidades x 2 que obtuvo e el Ejercicio 7.22? 7.24 Ejercicio Applet Cosulte el Ejemplo 7.6. Supoga que T tiee ua distribució t co 5 grados de libertad. a Use la aplicació Studet s t Probabilities ad Quatiles para hallar la probabilidad exacta de que T sea mayor que 2. b Use la aplicació Studet s t Probabilities ad Quatiles para hallar la probabilidad exacta de que T sea meor que 2. c Use la aplicació Studet s t Probabilities ad Quatiles para hallar la probabilidad exacta de que T esté etre 2 y 2. d Su respuesta al iciso c es cosiderablemete meor que = P( 2 Z 2). Cosulte la figura 7.3 y explique por qué esto es como se esperaba Ejercicio Applet Supoga que T es ua variable aleatoria co distribució t. a Si T tiee 5 grados de libertad, use la Tabla 5, Apédice 3, para hallar t.10, el valor tal que P(T > t.10 ) =.10. Ecuetre t.10 usado la aplicació Studet s t Probabilities ad Quatiles. b Cosulte el iciso a. A qué cuatil correspode t.10? A qué percetil? c Use el applet Studet s t Probabilities ad Quatiles para hallar el valor de t.10 para distribucioes t co 30, 60 y 120 grados de libertad.