Prácticas de Topografía Prof. Emilio Ramírez Juidías 2009

Transcripción

1 1.- Una determinada empresa nos contrata con el fin de calcular las coordenadas X, Y, Z de un punto G, para lo cual nos especifica que nos tenemos que basar en las coordenadas conocidas de un punto A establecido por ellos en una obra anexa a la que actualmente se está ejecutando. A consecuencia de la existencia de una gran zona verde, nos vemos obligados a establecer un punto B inmediatamente antes de la misma y, tomar a continuación, dos puntos comunes M y N a otro punto C. Cerca del punto C existen dos construcciones rurales que impiden la visión del punto G, por lo que nos vemos obligados a materializar un punto D, a partir del cual puede visarse G. Sin embargo, y por si fueran pocos los inconvenientes con los que nos encontramos, se observa a groso modo que la distancia existente entre D y G es demasiado grande como para poder tener una buena precisión en el cálculo de las coordenadas de G. Por dicho motivo, se tienen que establecer dos puntos E y F, aproximadamente a una distancia intermedia entre D y G, con el fin de calcular correctamente, y con el uso de una estación total, las coordenadas del punto solicitado. Croquis: N Datos de campo: Estacionados en A : A = (313,017 ; 595,548) ; DR A-B = 87,097 m ; Hz A-B = 96,7441 g ; Z A =100 m ; V A-B = 105,1234 g ; i A = 1,632 m ; m B = 1,30 m. Estacionados en B : DR B-M = 131,371 m ; Hz B-M = 72,2262 g ; V B-M = 95,4783 g ; i B = 1,60 m ; m M = 1,30 m ; DR B-N = 97,811 m ; Hz B-N = 163,2147 g ; V B-N = 90,4783 g ; m N = 1,30 m. Estacionados en C : DR C-M = 92,353 m ; Hz C-M = 149,9704 g ; V C-M = 92,0000 g ; i C = 1,50 m ; m M = 1,30 m ; DR C-N = 119,629 m ; Hz C-N = 66,8634 g ; V C-N = 93,5678 g ; m N = 1,30 m ; DR C-D = 54,032 m ; Hz C-D = 385,6508 g ; V C-D = 102,4567 g ; m D = 1,30 m. C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 1

2 Estacionados en D : DR D-E = 97,119 m ; Hz D-E = 90,0954 g ; m E = 1,60 m ; i D = 1,60 m ; m F = 1,60 m ; DR D-F = 80,324 m ; Hz D-F = 118,2543 g ; Hz D-G = 105,7522 g ; m G = 1,60 m ; V D-G = 100,0000 g. Estacionados en G : DR G-E = 80,627 m ; Hz G-E = 324,7004 g ; m E = 1,60 m ; i D = 1,60 m ; m F = 1,60 m ; DR G-F = 93,817 m ; Hz G-F = 295,0667 g ; Hz G-D = 305,7522 g ; m G = 1,60 m ; V G-D = 100,0000 g. Solución En este tipo de ejercicios lo primero que tenemos que calcular es las coordenadas X e Y de la futura estación B, para lo cual utilizaremos las siguientes ecuaciones: X B = X A + DR A-B sen (Hz A-B ) Y B = Y A + DR A-B cos (Hz A-B ) Si sustituimos por los respectivos valores numéricos y operamos obtenemos: X B = 313, ,097 sen (96,7441) = 400 m. Y B = 595, ,097 cos (96,7441) = 600 m. A continuación, podemos obtener la coordenada Z de B (Z B ) utilizando para ello las siguientes expresiones: T angente = DR A-B / tg (V A-B ) D esnivel = T angente + i A - m B Z B = Z A ± D esnivel T angente = 87,097 / tg (105,1234) = - 7,025 m. D esnivel = - 7, ,632-1,30 = - 6,693 m. Z B = Z A ± D esnivel = 100 6,693 = 93,307 m. Una vez obtenidas las coordenadas de B vemos, a tenor de los datos suministrados, que con B, M, N y C se forma el llamado enlace de PORRO. Dicho enlace indirecto se da cuando en la realidad las estaciones B y C no pueden verse entre sí a consecuencia de la existencia de algún tipo de objeto (en un concepto amplio) que lo impide, por ello se recurre al posicionamiento en campo de dos puntos C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 2

3 comunes vistos desde cada una de las estaciones, M y N en nuestro caso, sobre los que se realiza la toma de datos con el fin de calcular las coordenadas de C en el mismo sistema de referencia de B. Para su resolución en gabinete, el procedimiento a seguir en campo es el siguiente: 1. Estacionados en B, se realizan lecturas completas a los puntos comunes M y N, así como a cualquier otro punto, o puntos, de nuestro interés. Figura 1.- Toma de datos desde la primera estación. M B C N 2. Estacionados en C, se realizan lecturas completas a los puntos comunes M y N, así como a cualquier otro punto, o puntos, de nuestro interés. Figura 2.- Toma de datos desde la segunda estación. M B N C Finalizada la toma de datos en campo, y ya en gabinete, calculamos, en primer lugar, las coordenadas X e Y de ambos puntos comunes de la siguiente forma: X M = X B + DR B-M sen (Hz B-M ) Y M = Y B + DR B-M cos (Hz B-M ) X N = X B + DR B-N sen (Hz B-N ) Y N = Y B + DR B-N cos (Hz B-N ) C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 3

4 Sustituyendo valores se obtiene: X M = ,371 sen (72,2262) = 519,066 m. Y M = ,371 cos (72,2262) = 655,512 m. X N = ,811 sen (163,2147) = 453,424 m. Y N = ,811 cos (163,2147) = 518,068 m. Respecto de la cota de M y N ( Z M y Z N respectivamente) tendremos: Para M : T angente = DR B-M / tg (V B-M ) D esnivel = T angente + i B m M Z M = Z B ± D esnivel T angente = 131,371 / tg (95,4783) = 9,347 m. D esnivel = 9, ,60-1,30 = 9,647 m. Z M = Z B ± D esnivel = 93, ,647 = 102,954 m. Para N : T angente = DR B-N / tg (V B-N ) D esnivel = T angente + i B m N Z N = Z B ± D esnivel T angente = 97,811 / tg (90,4783) = 14,739 m. D esnivel = 14, ,60-1,30 = 15,039 m. Z N = Z B ± D esnivel = 93, ,039 = 108,346 m. C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 4

5 En segundo lugar, procedemos a la obtención del acimut de M a N (Hz M-N ), para lo cual nos basaremos en el siguiente esquema: Norte (0 g ) IV C I C 300 g 100 g M III C II C 200 g N En dicho esquema podemos observar que la alineación MN se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que la ecuación a utilizar para el cálculo de Hz M-N será: Sustituyendo valores y operando nos queda: Hz M-N = arctg [( X M-N ) / ( Y M-N )] Hz M-N = arctg [(519, ,424) / (655, ,068)] = 228,3652 g Ahora calcularemos la DR M-N, ya que nos valdrá para un apartado posterior: Y sustituyendo valores tendremos: DR M-N = [( X M-N ) 2 + ( Y M-N ) 2 ] 0,5 DR M-N = [(519, ,424) 2 + (655, ,068) 2 ] 0,5 = 152,315 m. El tercer paso consiste en calcular las coordenadas de C en el sistema de referencia establecido en B. Para ello, es necesario obtener el ángulo de desorientación existente. Por ahora, tenemos que los acimuts Hz C-M, Hz C-N y Hz C-D están desorientados y tienen el valor de 149,9704 g, 66,8634 g y 385,6508 g respectivamente. Dichos valores son los tomados en campo. Si nos fijamos única y exclusivamente en los acimuts que tenemos desde M a B y C respectivamente, podemos ver que los mismos serían: Hz M-B = Hz B-M ± 200 = 72, = 272,2262 g. acimut orientado. Hz M-C = Hz C-M ± 200 = 149, = 349,9704 g. acimut desorientado. C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 5

6 En este momento es de gran interés visualizar el siguiente esquema: M B α γ C N Prestando atención al presente dibujo, nos percatamos de que tenemos el acimut Hz M-N = 228,3652 g, el cual se encuentra orientado (o en el mismo sistema de referencia establecido en B ). Si a dicho acimut le quito el ángulo γ, obtendremos el acimut Hz M-C orientado, y entonces el ángulo de desorientación se obtendría mediante la siguiente expresión: = Hz M-C orientado - Hz M-C desorientado A consecuencia de que sabemos DR M-C, DR M-N y DR N-C, y de que necesitamos obtener γ, solo puedo utilizar el llamado Teorema del Coseno: En nuestro caso tenemos:? = arccos [{a 2 + b 2 c 2 } / {2 a b}]? = γ a = DR M-C b = DR M-N c = DR N-C C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 6

7 Sustituyendo valores y operando se obtiene: Por ello: γ = arccos [{(DR M-C ) 2 + (DR M-N ) 2 (DR N-C ) 2 } / {2 DR M-C DR M-N }] γ = arccos [{(92,353) 2 + (152,315) 2 (119,629) 2 } / {2 92, ,315}] γ = 57,4984 g Hz M-C orientado = Hz M-N - γ Hz M-C orientado = 228, ,4984 = 170,8668 g Entonces, el ángulo de desorientación sería: = 170, ,9704 = - 179,1036 g A consecuencia de ser dicho ángulo negativo, a cada uno de los acimuts obtenidos desde C se les tiene que quitar con el fin de obtener el correspondiente acimut orientado: Hz C-M orientado = Hz C-M desorientado + Hz C-M orientado = 149, ,1036 = - 29, = 370,8668 g Hz C-N orientado = Hz C-N desorientado + Hz C-N orientado = 66, ,1036 = - 112, = 287,7598 g Hz C-D orientado = Hz C-D desorientado + Hz C-D orientado = 385, ,1036 = 206,5472 g Como cuarto paso, nos centramos en calcular las coordenadas X e Y de C : Sustituyendo valores se obtiene: X C = X M + DR C-M sen (Hz C-M orientado) Y C = Y M + DR C-M cos (Hz C-M orientado) X C = 519, ,353 sen (370,8668) = 478,263 m. Y C = 655, ,353 cos (370,8668) = 738,362 m. C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 7

8 En lo que respecta a la coordenada Z de C : T angente = DR C-M / tg (V C-M ) D esnivel = T angente + i C m M Z M = Z C ± D esnivel T angente = 92,353 / tg (92,0000) = 11,667 m. D esnivel = 11, ,50-1,30 = 11,867 m. Z M = Z C ± D esnivel = Z C + 11,867 = 102,954 m Z C = 91,087 m. A partir de aquí, las coordenadas X e Y de D serían: X D = X C + DR C-D sen (Hz C-D orientado) Y D = Y C + DR C-D cos (Hz C-D orientado) Sustituyendo valores se obtiene: X D = 478, ,032 sen (206,5472) = 472,716 m. Y D = 738, ,032 cos (206,5472) = 684,615 m. En lo que respecta a la coordenada Z de D : T angente = DR C-D / tg (V C-D ) D esnivel = T angente + i C m D Z D = Z C ± D esnivel T angente = 54,032 / tg (102,4567) = - 2,086 m. D esnivel = - 2, ,50-1,30 = m. Z D = Z C ± D esnivel = 91, = 89,201 m. Una vez terminado el enlace de Porro, y tras volver a leer el enunciado, vemos que nos queda por calcular un enlace de VILLANI (aunque en este caso las distancias entre las estaciones no es muy grande, se pretende, sólo, dar a conocer el procedimiento a seguir). C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 8

9 Dicho enlace mixto, se da cuando en la realidad las estaciones D y G se ven, pero la distancia existente entre ambas es tan grande que nos dificulta la medición, por ello se recurre al posicionamiento en campo de dos puntos comunes vistos desde cada una de las estaciones, E y F en nuestro caso, sobre los que se realiza la toma de datos con el fin de calcular las coordenadas de G, tal y como se especifica en el enunciado. Para su resolución en gabinete, el procedimiento a seguir en campo es el siguiente: 1. Estacionados en D, se toman acimut y distancias reducidas a E y F, mientras que a G solo se anota el ángulo vertical. Si fuera necesario se tomarían lecturas completas a otros puntos. Figura 3.- Toma de datos desde la primera estación. DR 1 E D DR 2 F G 2. Estacionados en G, se toman acimut y distancias reducidas a E y F. Si fuera necesario se tomarían lecturas completas a otros puntos. Figura 4.- Toma de datos desde la segunda estación. D E DR 3 F DR 4 G El objetivo ahora, no es otro que calcular la distancia reducida entre D y G (DR D-G ), para lo cual hay que tener presente las siguientes expresiones: DR D-m = DR 1 cos (α 1 ) DR D-m = DR 2 cos (β 1 ) DR G-m = DR 3 cos (α) DR G-m = DR 4 cos (β) DR D-G = DR D-m + DR G-m = DR D-m + DR G-m C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 9

10 Lógicamente, DR 1 = DR D-E ; DR 2 = DR D-F ; DR 3 = DR G-E ; DR 4 = DR G-F. Respecto a los ángulos especificados en las respectivas figuras, esto es, α 1, β 1, α y β, comentar que su cálculo se realiza mediante la diferencia de acimuts: α 1 = Hz D-G - Hz D-E = 105, ,0954 = 15,6568 g. β 1 = Hz D-F - Hz D-G = 118, ,7522 = 12,5021 g. α = Hz G-E - Hz G-D = 324, ,7522 = 18,9482 g. β = Hz G-D - Hz G-F = 305, ,0667 = 10,6855 g. Según esto, las respectivas distancias reducidas son: DR D-m = 97,119 cos (15,6568) = 94,197 m. DR D-m = 80,324 cos (12,5021) = 78,780 m. DR G-m = 80,627 cos (18,9482) = 77,082 m. DR G-m = 93,817 cos (10,6855) = 92,499 m. Y la distancia reducida entre D y G DR D-G = 171,279 m. Por último nos queda tan solo calcular las coordenadas X, Y y Z de G : Sustituyendo valores se obtiene: X G = X D + DR G-D sen (Hz D-G ) Y G = Y D + DR G-D cos (Hz D-G ) X G = 472, ,279 sen (105,7522) = 643,296 m. Y G = 684, ,279 cos (105,7522) = 669,160 m. En lo que respecta a la coordenada Z de G : T angente = DR G-D / tg (V D-G ) D esnivel = T angente + i D m G Z G = Z D ± D esnivel C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 10

11 T angente = 171,279 / tg (100,0000) = 0 m. D esnivel = 0 + 1,60-1,60 = 0 m. Z G = Z D ± D esnivel = 89,201 ± 0 = 89,201 m. C o p y r i g h t a u t o r U n i v e r s i d a d d e S e v i l l a Página 11