ANALISIS BAYESIANO APLICADO A LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD DEL SEGURO OBLIGATORIO DE ACCIDENTES DE TRANSITO (SOAT).
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- Victoria Torregrosa Maidana
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1 AALISIS BAYSIAO APLICADO A LA PROYCCIO D SIISTRALIDAD DL SGURO OBLIGATORIO D ACCIDTS D TRASITO (SOAT). JISSO JAVIR BOHORQUZ BOHORQUZ Trabao de Grado ara Oar el Tulo de Maemáco Asesor Cosaza Quero Guzmá FUDACIO UIVRSITARIA KORAD LORZ FACULTAD D MATMATICAS BOGOTA D.C. 007
2 COTIDO Pága ITRODUCCIO 5. AALISIS BAYSIAO. UA ITRODUCCIO 6.. Teorema de Bayes 6.. Seleccó de la dsrbucó a ror.0... Deermacó de la dsrbucó a ror subeva Deermacó de la dsrbucó A ror o formava L AALISIS BAYSIAO LA PROYCCIO D SIISTRALIDAD (CASO DISCRTO) 5.. Meodología Bayesaa ara varables dscreas..5. APLICACIÓ DL AALISIS BAYSIAO LA PROYCCIO D SISTRALIDAD.. Alcacó co daos reales de ua aseguradora Cálculo de roorcoes.6... Cálculo de royeccó de reclamacoes.9... Cálculo del coso oal de las reclamacoes.7 COCLUSIOS 8 BIBLIOGRAFIA 9
3 RSUM se rabao aede a ua ecesdad de las comañías aseguradoras como es calcular la royeccó de sesraldad e cada uo de sus ramos, es or eso que se elgó el aálss Bayesao como modelo maemáco ara brdar ua solucó a ese roblema ya que se uede ulzar la formacó esee e r acualzádose la royeccó a medda que se va obeedo ueva formacó. Por lo cual e ese rabao se hace ua breve roduccó al aálss Bayesao, se muesra ua meodología Bayesaa ara la royeccó de sesraldad ara casos dscreos y se realza ua alcacó real de u caso dscreo de ua comañía aseguradora como es la royeccó de sesraldad ara el seguro oblgaoro de accdees de raso (SOAT). Ths wor aes care of a ecessy of he surg comaes le s o calculae he roeco of sseress each oe of s braches, s by whch he Bayesao aalyss was chose le mahemacal model o offer a soluo o hs roblem sce s ossble o be used he esg formao ad are udaed he formao hemselves as s obaed ew daa. Thus hs wor a bref roduco o he Bayesao aalyss s made, s a Bayesaa mehodology for he roeco of sseress for dscree cases ad a real alcao of a dscree case of a surg comay s made as s he roeco of sseress for he oblgaory surace of accdes of I ourey (SOAT). 4
4 ITRODUCCIO se ua ecesdad evdee e las comañías aseguradoras e cuao a coocer formas de calcular la royeccó de sesraldad e cada uo de sus ramos, ara así resuuesar las oblgacoes adqurdas or sus clees. La royeccó de sesraldad es uo de los roblemas más comues e moraes e el egoco de los seguros, camo que cada vez oma más fuerza e uesro aís dode cada día se adquere más la culura del seguro, dode el coocmeo maemáco correlacoado co oras áreas ee mucho valor y so el lar rcal del egoco; ero a su vez u área oco rabaada e Colomba, or lo cual la bblografía sobre ese ema es escasa. Movo or el cual se hace ecesaro alcar u modelo maemáco adecuado que os brde ua herramea que se ueda ulzar e la solucó de ese o de roblemas. La fereca or medo del aálss Bayesao os aora ua herramea muy morae como resuesa a esa ecesdad. 5
5 CAPITULO UO AALISIS BAYSIAO. UA ITRODUCCIO. TORMA D BAYS Teorema.: Sea, A, P u esaco de robabldad al que B,...,, B B so ua coleccó de eveos muuamee dsyuos e A, sasfacedo B y B 0 P ara =,,,. oces ara cualquer A ara el cual P > 0 eemos que P B P B PB P K B PB K arcular s B PC P eoces se ee la relacó: 6
6 P B P C P B P C se eorema eresa u rco de acualzacó de P B, ua vez se ha observado. Bayes robo ua versó coua de ese resulado, a saber: Dadas dos varables aleaoras y Y, co dsrbucó codcoal de Y dado es: g y f f y gy gy y dy Meras la esadísca clásca hace fereca sobre u arámero de ua dsrbucó, la esadísca bayesaa la hace sobre ua fucó del arámero, dsrbucó a oseror, a arr de la formacó de la muesra y de ua dsrbucó de, llamada dsrbucó a ror. Se ee, eoces: d f, f s roorcoal a f f., vsa como fucó de es la fucó de verosmlud. La fucó a oseror se ulza ara hacer fereca acerca de los arámeros. 7
7 emlo.. Ver Gelma e.al (994). se es u eemlo smle de cálculo Bayesao. o se raa de esmar u arámero so se raa del esado de u dvduo. l hombre ee u cromosoma y u cromosoma Y, la muer ee dos cromosomas, cada cromosoma es heredado de uo de los adres. La hemofla es ua efermedad que resea u cromosoma recesvo heredado, lo cual sgfca que s u hombre hereda el ge que causa la efermedad e el cromosoma, esa efermo, meras ua muer oradora del ge e solo uo de sus cromosomas, o esa eferma. La efermedad es geeralmee moral ara las mueres que hereda dos de ales gees, además es muy raro, ueso que la frecueca de ocurreca del ge es baa e oblacoes humaas. Cosdere ua muer que ee u hermao efermo, o sea que su madre debe ser oradora del ge hemofla co u ge bueo y uo malo, eoces la muer ee ua robabldad de 0.5 de eer el ge. Sea el esado de la muer, ee dos valores:, sgfca que la muer es oradora del ge, o 0. Sgfca que la muer o es oradora del ge. oces dsrbucó a ror ara es P 0 P. Para acualzar esa formacó a ror, se usa la formacó del esado de efermedad de los hos de la muer. Suoedo que ee dos hos, guo de ellos efermo. Se oa y ara u ho efermo, y =0, deoa u ho o efermo. La fucó de verosmlud es: 8
8 P P y, y y, y S la muer es oradora, cada uo de sus hos edrá de robabldad de heredar el ge y esar efermo, s o es oradora, ese ua robabldad muy cercaa a de que u ho de ella o esé efermo. Alcado el eorema de Bayes, se ee: P y 0 P Py 0 P y 0 P Py 0 0P Suógase ahora que la muer ee u ercer ho que o esá efermo, usado la dsrbucó a oseror aeror como la ueva a ror, se obee: P y 0 0. S se suoe que el ercer ho esa efermo, se ee que la robabldad a oseror de que la muer sea oradora es. 9
9 . SLCCIÓ D LA DISTRIBUCIO A PRIORI la rácca, e geeral, o se ee formacó sufcee ara deermar ua dsrbucó a ror, ese es el uo dfícl de la esadísca bayesaa. alguos casos, se uede alcar el coceo de frecueca relava, ero o semre es osble. Surge eoces la robabldad subeva, co ua dea rcal: que la robabldad de u eveo reflee la credbldad ersoal e la ocurreca del eveo... Deermacó de la dsrbucó a ror subeva. S es dscreo, se deerma la robabldad subeva de cada elemeo de. S es u ervalo de o u subcouo o acoado de, el roblema de cosrur es cosderablemee más dfícl. Berger (985) laea varas formas de cosrur la a ror, ere oras: Méodo del Hsograma. S es u ervalo de, se dvde e subervalos y se deerma la robabldad subeva de cada subervalo. De ese hsograma se obee ua desdad de. 0
10 Méodo de verosmlud relava. s de mayor uso cuado es u subcouo de. Cosse e comarar las verosmludes relavas de uos de, y a arr de ello descrbr la dsrbucó a ror. emlo.: S 0,. Se deerma las verosmludes relavas de los uos del arámero más robables y meos robables. Se suoe que el uo es el más robable, y 0 es el meos robable. Por 4 ora are se esma que es res veces más robable que el valor 4 de 0. A arr de esa formacó se uede eer los valores ara oros uos como comarados co 0. Se decdó que, y. Por smlcdad odos los uos so 4, es dos veces a robable como 0. Se asga al uo base 0 el valor. Se ee eoces: s 0, s, o, y s. 4 La egral de esa a ror o es gual a, ero se uede ecorar ua cosae c ara que c se ua desdad roa.... Deermacó de la dsrbucó a ror o formava. s la a ror que o coee formacó acerca del arámero, orque o se dsoe de formacó.
11 Por eemlo: e ua rueba de hóess ere dos hóess smles, la a ror que da la robabldad claramee o formava. a cada ua de las hóess, es Méodo de Jeffreys. Para deermar ua a ror o formava, el méodo más usado es el de Jeffreys. Se seleccoar I como la a ror o formava dode: I log f I s la formacó de Fsher, es decr el elemeo (,) dado or I log f S es u vecor de comoees, Jeffreys sugere el uso de de I.... Famlas cougadas. S es ua famla de fucoes de desdad f (dcada or ), ua clase de dsrbucoes a ror se dce famla cougada ara s esá e la clase de odas las f e y e.
12 Ieresa las famlas a ror cougadas aurales que surge omado como couo de odas las desdades que ee la msma forma fucoal como la de verosmlud. Las dsrbucoes a ror cougadas ee ua veaa rácca, además de ua coveeca comuacoal. emlo. La clase de ua a ror ormal es ua famla cougada ara la clase de desdades ormal, es decr, s, ormal, eoces ambé se dsrbuye ormal. y se dsrbuye Se erma la roduccó al aálss bayesao mosrado u aralelo ere los efoques de la esadísca clásca y Bayesaa: Clásca: Dseñada ara rocesar la formacó muesral. o hace revsó ara cororar formalmee formacó reva. Puede ser uramee ferecal (esmacó) o mezclar coceos de decsó (ruebas de hóess). Los rocedmeos se cosruye y evalúa medae la dsrbucó muesral que se basa e u coceo frecuesa de robabldad. Las meddas de uldad volucra cosderacoes de largo lazo. o es osble evaluar la veracdad de ua fereca o decsó arcular.
13 Bayesaa: La formacó muesral se comba co formacó reva. Las ferecas ee ua erreacó robablísca. s osble evaluar ferecas arculares. s ecesaro eresar la formacó reva e érmos de ua dsrbucó de robabldad. Puede ser ferecal o co u efoque de eoría de decsoes. Se obee las dsrbucoes eacas ara muesras equeñas de las cadades ulzadas ara llevar a cabo la fereca. Requere coceos de robabldad más geerales que el uramee frecuesa. 4
14 CAPITULO DOS L AALISIS BAYSIAO LA PROYCCIO D SIISTRALIDAD (CASO DISCRTO) ese caulo se resea u rocedmeo bayesao ara el caso de varables de o dscreo, deedeemee del úmero de observacoes, cuado la roorcó del feómeo que ocurre e cada suberodo es esable a ravés del emo.. MTODOLOGIA BAYSIAA PARA VARIABLS DISCRTAS Sea ;,,..., s;,,..., m ua sere de emo dscrea al que: s... La roorcó que reresea cosae (esable) ara oda,,,..., s. e relacó co es 5
15 Dadas las observacoes hasa esmar m e cuao se cooce acualzar la esmacó de m e s el roblema cosse e m. Al coocer m y m se deberá m que se había obedo solo co m ; y así sucesvamee hasa s. el momeo que se ega m ara,,..., s ya o será ecesara la esmacó de m y se recomeza el cclo ara m. S erdda de geeraldad, y solo ara smlfcar la eoscó, se omara s, como s las observacoes fuera mesuales y lo que se desea esmar es la cfra aual; co daos rmesrales se edría s 4, ec. També se suodrá m. Podemos suoer que Po,,,...,, ya que esa dsrbucó mde el umero de eveos or udad de emo. Además se suodrá deedees. De aquí que, co,...,, se ee: f f f, e!!!! 6
16 s decr, M,,,..., Dode M dca ua mulomal co arámeros y, co, O be: M,,,...,. sa es la dsrbucó coua de las, dado el oal de cueas del año y las s que se suoe guales ara cada mes, año co año. Por lo aeror sabemos que M,,,..., M,,,..., Lo cual se uede smlfcar s se defe ua ueva varable aleaora, de dode, M,,,...,. 7
17 uesro erés radca e r esmado coforme se vaya coocedo las que s eoces. Sabemos or las roedades de la mulomal ee la dsrbucó M,,,...,, B,... Dode el arámero descoocdo es.... Como queremos redecr, ecesamos obeer la fucó de desdad margal oseror ara, la cual se obee de la sguee maera. f,, f,, d 0, 0 f f,, d Para obeer la desdad aeror, obedremos f y f,,. Para obeer f, la dsrbucó oseror de dado, Ulzamos la dsrbucó a ror o formava. f 8
18 9 Ahora, uesra verosmlud, dados los meses coocdos de m, es la bomal: L. Por lo que f, Ua bomal egava co arámeros y, dode ; sgfca roorcoal a. La eresó,, f es la dsrbucó oseror ara dado que se cooce la formacó de los años asados. Para obeerla rooemos uevamee ua dsrbucó reva, ua o formava, la de Jeffreys. f La verosmlud esa dada or la bomal, que corora la formacó de los años aerores hasa el mes,
19 0 L Ahora se ee la oseror: f la que se uede observar que, dados los daos, Be. A arr de f y, Be,
20 La desdad margal oseror de esa dada or la Bea-Bomal egava 0,,,, d f f f Al llevar a cabo la egral se obee la fucó de desdad oseror, ara, sguee: ;,,, B B f Dode, Y. l esmador Bayesao será la meda oseror de esa dsrbucó, ara obeer ese esmador es de gra moraca el uso de las sguees dedades, Y Y Y Var Y Var Var Y Y
21 A arr de f, Se obee Y Alcado las sguees eresoes Y Y y Y Var Y Var Var Y Y se obee,, se es uesro esmador, y susuyedo las defcoes de y queda,,
22 A arr de la ecuacó Y Var Y Var Var Y Y, ulzado Y Obeemos la varaza oseror ara,, Var De maera que eemos la meda y varaza oserores de la dsrbucó margal de, dados los oales y, así como las observacoes mesuales de los años aerores y los rmeros meses del acual.
23 CAPITULO TRS APLICACIO DL AALISIS BAYSIAO LA PROYCCIO D SIISTRALIDAD ese caulo se va a ulzar el modelo Bayesao ara varables de o dscreo co el f de brdar ua solucó efcee al roblema de las comañías aseguradoras como es la royeccó de la sesraldad del seguro oblgaoro de accdees de raso (SOAT).. APLICACIO CO DATOS RALS D UA ASGURADORA Se cooce los daos reales de ua comañía aseguradora (Tabla ) los cuales corresode a las reclamacoes realzadas mesualmee al seguro oblgaoro de accdees de raso de dcha aseguradora durae los años 005, 006 y los res rmeros meses del año 007. sas reclamacoes se dvde e cco amaros dferees los cuales so: Reclamacoes or gasos médcos, reclamacoes or gasos de rasore, reclamacoes or demzacó e caso caacdad, 4
24 reclamacoes or gasos fueraros y reclamacoes or demzacó e caso de muere. La comañía aseguradora ecesa obeer la royeccó del coso oal de las reclamacoes or amaro al fal del año 007. MS AMPAROS Med. 470 $ $ $ Tra. 7 $ $ $ e. Ic. $ $ $ Fu. 5 $ $ $ Muer. 9 $ $ $ Med. 477 $ $ $ Tra. 4 $ $ $ Feb. Ic. $ $ 5.8. $ Fu. $ $ $ Muer. 6 $ $ $ Med. 49 $ $ $ Tra. 0 $ $ $ Mar. Ic. $ $ $ Fu. 7 $ $ $ Muer. 8 $ $ $ Med. 48 $ $ Tra. 4 $ $ Abr. Ic. $ $ Fu. 4 $ $ Muer. 9 $ $ Med. 50 $ $ Tra. 4 $ $.9.4 May. Ic. $ $ Fu. 4 $ $ Muer. 6 $ $ Med. 464 $ $ Tra. 4 $ $ Ju. Ic. $ $ Fu. 4 $ $ Muer. 9 $ $ Med. 455 $ $ Tra. 4 $ $ Jul. Ic. $ $.7.09 Fu. $ $ Muer. 4 $ $ Med. 50 $ $ Tra. 8 $ $ Ago. Ic. $ $ Fu. 7 $ $ Muer. 5 $ $
25 Med. 5 $ $ Tra. 6 $ $ Se. Ic. $ $ Fu. 8 $ $ Muer. 8 $ $ Med. 466 $ $ Tra. 45 $ $ Oc. Ic. $.7.0 $ Fu. 5 $ $ Muer. 5 $ $ Med. 497 $ $ Tra. 8 $ $ ov. Ic. $ $ Fu. $ $ Muer. 6 $ $ Med. 508 $ $ Tra. 4 $ $ Dc. Ic. $.07.4 $.54.9 Fu. $ $ Muer. 7 $ $ Tabla. Daos Geerales.. Cálculo de roorcoes Para cada amaro se calcula las roorcoes de las reclamacoes e cada mes de cada año. Dchas roorcoes se ecuera e las ablas,, 4, 5 y 6. MS Proorcó 005 Proorcó 006 e ,080 0,089 Feb ,08 0,079 Mar ,084 0,085 Abr ,08 0,085 May ,087 0,087 Ju ,079 0,087 Jul ,078 0,078 Ago ,089 0,078 Se ,087 0,077 Oc ,080 0,087 ov ,085 0,084 Dc ,087 0,086 Toal Tabla. Proorcoes de las reclamacoes or gasos médcos. 6
26 MS Proorcó 005 Proorcó 006 e ,080 0,076 Feb ,09 0,088 Mar ,065 0,087 Abr ,07 0,088 May ,09 0,09 Ju ,09 0,087 Jul ,09 0,074 Ago ,08 0,07 Se ,078 0,095 Oc ,097 0,08 ov ,08 0,07 Dc ,07 0,088 Toal Tabla. Proorcoes de las reclamacoes or gasos de rasore. MS Proorcó 005 Proorcó 006 e. 0,5 0,08 Feb. 0,06 0,08 Mar. 0,06 0,04 Abr. 4 0,06 0,67 May. 0,06 0,08 Ju. 4 0,06 0,67 Jul. 0,06 0,04 Ago. 0,5 0,04 Se. 0,5 0,5 Oc. 0,5 0,04 ov. 0,06 0,08 Dc. 0,06 0,04 Toal 6 4 Tabla 4. Proorcoes de las reclamacoes de demzacó or caacdad. 7
27 MS Proorcó 005 Proorcó 006 e ,089 0,0 Feb. 8 0,054 0,0 Mar ,5 0,06 Abr ,07 0,089 May ,07 0,089 Ju ,07 0,076 Jul. 5 0,054 0,06 Ago ,5 0,4 Se ,4 0,4 Oc ,089 0,076 ov. 4 0,054 0,05 Dc. 5 0,054 0,06 Toal Tabla 5. Proorcoes de las reclamacoes or gasos fueraros. MS Proorcó 005 Proorcó 006 e ,0 0,0 Feb ,07 0,07 Mar ,098 0,0 Abr ,0 0,05 May ,07 0,05 Ju ,0 0,08 Jul. 4 0,049 0, Ago. 5 0,06 0, Se. 8 0,098 0,4 Oc ,06 0,07 ov ,07 0,05 Dc ,085 0,06 Toal 8 97 Tabla 6. Proorcoes de las reclamacoes de demzacó or muere. 8
28 .. Cálculo de royeccó de reclamacoes. Se observa que las roorcoes de las reclamacoes so muy smlares, eoces se debe couar co los cálculos que hace fala ara saber el oal de reclamacoes or amaro del año 007. Los cálculos se ecuera de la abla 7 a la. MS e Feb Mar Abr May Ju Jul Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla 7. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos médcos. 9
29 MS e Feb Mar Abr May Ju Jul Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla 8. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos médcos. MS e Feb Mar Abr May Ju Jul Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla 9. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos médcos. 0
30 MS e Feb Mar Abr May. 4 5 Ju Jul. 4 4 Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla 0. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos de rasore. MS e Feb Mar Abr May. 4 5 Ju Jul. 4 4 Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos de rasore.
31 MS e Feb Mar Abr May. 4 5 Ju Jul. 4 4 Ago Se Oc ov Dc Toal Tabla. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos de rasore. MS e Feb. Mar. Abr. 4 May. Ju. 4 Jul. Ago. Se. Oc. ov. Dc. Toal Tabla. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or caacdad.
32 MS e Feb Mar. Abr. 4 May. Ju. 4 Jul. Ago. Se. Oc. ov. Dc. Toal 6 4 Tabla 4. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or caacdad. MS e Feb Mar Abr. 4 May. Ju. 4 Jul. Ago. Se. Oc. ov. Dc. Toal Tabla 5. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or caacdad.
33 MS e Feb. 8 Mar. 7 5 Abr. 4 7 May. 4 7 Ju. 4 6 Jul. 5 Ago. 7 9 Se. 8 9 Oc. 5 6 ov. 4 Dc. 5 Toal Tabla 6. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos fueraros. MS e Feb Mar. 7 5 Abr. 4 7 May. 4 7 Ju. 4 6 Jul. 5 Ago. 7 9 Se. 8 9 Oc. 5 6 ov. 4 Dc. 5 Toal Tabla 7. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos fueraros. 4
34 MS e Feb Mar Abr. 4 7 May. 4 7 Ju. 4 6 Jul. 5 Ago. 7 9 Se. 8 9 Oc. 5 6 ov. 4 Dc. 5 Toal Tabla 8. Cálculos de royeccó de reclamacoes or gasos fueraros. MS e Feb. 6 7 Mar. 8 0 Abr. 9 5 May. 6 5 Ju. 9 8 Jul. 4 Ago. 5 Se. 8 Oc. 5 7 ov. 6 5 Dc. 7 6 Toal Tabla 9. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or muere. 5
35 MS e Feb Mar. 8 0 Abr. 9 5 May. 6 5 Ju. 9 8 Jul. 4 Ago. 5 Se. 8 Oc. 5 7 ov. 6 5 Dc. 7 6 Toal 8 97 Tabla 0. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or muere. MS e Feb Mar Abr. 9 5 May. 6 5 Ju. 9 8 Jul. 4 Ago. 5 Se. 8 Oc. 5 7 ov. 6 5 Dc. 7 6 Toal Tabla. Cálculos de royeccó de reclamacoes de demzacó or muere. 6
36 .. Cálculo del coso oal de las reclamacoes Ahora que se ee la royeccó del oal de reclamacoes ara el año 007, se debe calcular el valor oal de las reclamacoes or amaro, esos cálculos se realza co base e el valor romedo de cada reclamacó or amaro de los años aerores (Tabla ). Así queda resuelo ara la comañía aseguradora el roblema de la royeccó del coso de las reclamacoes del SOAT ara el año 007. Amaro Proyeccó Reclamacoes 007 Valor Promedo Por Reclamacó Valor Toal Reclamacoes 007 Gaso Medco 7.40 $ $ Gaso Trasore 67 $ 9.56 $ Idemzacó Icaacdad 5 $.77.6 $ Gaso Fueraros 9 $ $ Idemzacó Muere 7 $ $ Toal 8.0 $ Tabla. Cálculos del valor oal de la royeccó de las reclamacoes or amaro. 7
37 COCLUSIOS se rabao muesra que el aálss Bayesao es ua muy buea herramea de la maemáca como solucó a ua de las muchas ecesdades que ee las comañías de seguros, como es la royeccó de sesraldad que ormalmee ee el agravae de la fala de formacó, sedo la alcacó del aálss bayesao u recurso adecuado ara ese roblema ya que uo de los fueres de la fereca Bayesaa es que ulza la oca formacó ya esee y se acualza cada vez que se obee ueva formacó, de esa forma la royeccó cada vez se ausa más. Por oro lado desués del comleo soore maemáco que ee el aálss Bayesao, se erma observado que e la alcacó se debe hacer uos cálculos muy aurales eedo así ua herramea efcee y seclla ara la solucó al roblema de la royeccó de sesraldad. 8
38 BIBLIOGRAFIA De Alba. (996), Bayesa mehods aled o me seres daa. Advaces ecoomercs, 996. T.B. & R.C.Hll (eds). Ja Press. Zeller A. (97), Lear Sacal Iferece ad s alcaos, Wley. Preo, V.H. (996) Iroduccó al aálss bayesao. Gelma, AQ., Carl, J.B., Ser, H.S.,Rub,D.B.,994. Bayesa daa aalyss. Draf Rao, C.R. (97), Lear Sasval ferece ad s alcaos, Wlley. 9
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