UNIDAD 10: MUESTREO E INFERENCIA ESTADÍSTICA.

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1 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II UIDAD 0: MUESTREO E IFERECIA ESTADÍSTICA.. ITRODUCCIÓ. DEFIICIOES BÁSICAS. Cada 0 años se reala e Esaña u estudo ehaustvo de todos sus habtates medate la realacó del ceso de la oblacó, obteedo formacó de todas las ersoas del aís. S embargo, la versó ecoómca, temoral, de medos materales humaos que se reala es mu cuatosa. A esar de todo ha ocasoes e las que es ecesaro realar u ceso. S ua ersoa o está scrta e el Ceso Electoral o odrá ejercer su derecho al voto. També so ecesaras estas Ivestgacoes comletas (se estuda la oblacó etera) e estadístcas ofcales de acmetos, muertes así como e Idustra cuado se seccoa roductos mu costosos o elgrosos. Pero e muchos casos or raoes ecoómcas, de temo, humaas,... uede o ser osble o coveete obteer formacó de todas las udades de la oblacó, or lo que el estudo se reducrá a ua muestra o arte de la msma (Ivestgacó muestral). El estudo de modelos reducdos de la oblacó tee como faldad obteer formacó recsa sobre la oblacó cosderada observado solo ua arte de ella, es decr, que los resultados obtedos e la muestra so etraolables a la oblacó. Ejemlos de este to so los sodeos de oó, eermetos cotrol estadístco de caldad Defcoes báscas: Estadístca: Ceca que recoge ordea los datos referdos a ua o varas característcas ara su osteror aálss e terretacó. Poblacó: Coleccó o cojuto de elemetos/dvduos/udades objeto de estudo de algua de sus característcas e ua vestgacó estadístca. Tamaño de la oblacó (): úmero de elemetos/dvduos/udades que la comoe. Puede ser fta o fta. Ceso: Eumeracó aotacó de certas característcas de TODOS los elemetos de la oblacó. E muchos casos uede o ser osble o coveete obteer formacó de todas las udades de la oblacó, or lo que el estudo se reducrá a ua arte de la msma: Muestra: Subcojuto de la oblacó que se observa ara etraer formacó sobre la oblacó comleta. Se rocurará, or tato, que la muestra sea lo más reresetatva osble de los elemetos de la oblacó e el setdo de que roorcoe buea formacó sobre ésta. Tamaño de la muestra (): úmero de elemetos/dvduos/udades que la comoe. Muestreo: Procedmeto que se utla ara etraer ua muestra reresetatva de la oblacó. Estmacó: Procedmeto que os roorcoa formacó sobre u arámetro descoocdo de la oblacó a artr de la formacó que os aorta la muestra. Parámetro oblacoal: Es ua característca umérca de la oblacó (meda oblacoal, varaa oblacoal, desvacó tíca oblacoal ) Estadístco o arámetro muestral: Es ua característca umérca de la muestra (meda muestral, varaa muestral, cuasvaraa muestral ) Estmador de u arámetro oblacoal: Es u estadístco que se utla ara estmar ese arámetro oblacoal. Estmacó utual: valor umérco que toma u estmador ara ua muestra cocreta. Estmacó or tervalos: se obtee u tervalo que cotedrá al verdadero valor del arámetro descoocdo co ua determada robabldad. Ifereca estadístca: trata de obteer coclusoes sobre la oblacó a artr de la formacó roorcoada or ua muestra aleatora. Los resultados obtedos de la muestra se etraola a la oblacó. S es el tamaño de la oblacó el tamaño muestral se defe: Fraccó de muestreo f : os dca (al multlcar or 00) el orcetaje de la oblacó que se va a vestgar. Factor o coefcete de elevacó f e : os dca el úmero de udades que ha e la oblacó or cada elemeto de la muestra. Ejemlo: E ua oblacó de 000 ersoas se desea obteer ua muestra de 5 ersoas. f 5/ Se va a vestgar el.5% de la oblacó. f 000/5 8 Cada ersoa de la muestra rereseta a 8 de la oblacó. Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro e Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

2 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II. COVEIECIAS DE ELEGIR UA MUESTRA. PROBLEMAS ASOCIADOS AL USO DE MUESTRAS. El objetvo del muestreo es la fereca (duccó) de las coclusoes obtedas e la muestra, a la oblacó comleta. Es decr, tratamos de redecr las característcas de ua oblacó a través de las coclusoes obtedas ara ua muestra. Puesto que la fereca (redccó) semre suoe u resgo, es útl dcar alguos de los casos e los que covee obteer muestras e lugar de hacer u estudo ehaustvo de la oblacó: a) Cuado la oblacó sea ta grade que el ceso eceda de las osbldades del vestgador. b) Cuado la oblacó sea sufcetemete uforme ara que cualquer muestra dé ua buea reresetacó. c) Cuado el roceso de medda o vestgacó sea destructvo, como ocurre al comrobar la caldad de ua artda de arajas ara la eortacó. Aalar sus característcas suoe cortar las arajas ara etraer su umo. S las aalamos todas, las destrumos todas. d) Raoes de temo, ecoomía, recursos humaos, S e la seleccó de la muestra se comete errores ésta uede o ser reresetatva las coclusoes obtedas a artr de la muestra o ser fables. Por tato, se roducrá errores mrevstos e cotrolables deomados sesgos. Este dsttos tos de sesgos: Sesgo de muestreo: La certdumbre sobre la reresetatvdad de la muestra, roa del muestreo, que semre se va a teer. Se reduce mejorado la seleccó de la muestra. Sesgo de o resuesta: o resode a la ecuesta aquellos que tee u comortameto dferecado resecto al resto. Ejemlo: Pregutar sobre la evolucó olítca de u aís que o de su oó los votates del artdo de la ooscó. Sesgo de seleccó: o todas las udades de la oblacó tee la msma robabldad de formar arte de la muestra resetado además característcas dferetes. Ejemlo: Pregutar a la salda de u cetro comercal sobre la refereca de comrar e equeños comercos o e grades suerfces. La dea de que a artr de cojutos de datos mu grades se obtee coclusoes dgas de cofaa O semre es correcta; a veces ua muestra equeña uede roducr formacó sufcete. E cambo s esa muestra tee el maor tamaño osble uede ocurrr que la roa fatga e las ersoas que la aala de lugar a malos resultados debdo a errores o sesgos. 3. ALGUOS TIPOS DE MUESTREO. Este dsttas formas de seleccoar los elemetos que coforma ua muestra. Dstgumos etre: A. Muestreos aleatoros (o robablístcos): Se basa e el rco aleatoro medate el cual todos cada uo de los elemetos de la oblacó tega la msma robabldad de ser elegdos formar arte de la muestra. Es osble estmar el error cometdo debdo al muestreo mmarlo aumetado el tamaño de la muestra. Dstgumos cuatro tos: muestreo aleatoro smle, muestreo aleatoro sstemátco, muestreo aleatoro estratfcado muestreo aleatoro or coglomerados o áreas. B. Muestreos o aleatoros (o robablístcos): E este caso o todos los elemetos de la oblacó tee la msma robabldad de ser elegdos ara formar arte de la muestra. La eleccó uede hacerse segú la oó de ua ersoa co lo cual la reresetatvdad es totalmete subjetva, o smlemete tomar la muestra de cualquer maera or raoes de comoddad o carcho. Dstgumos varos tos de muestreos o aleatoros: muestreo or cuotas (tíco de las vestgacoes de mercado), muestreo causal muestreo tecoal. Sólo os vamos a ocuar del estudo de muestreos aleatoros: Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

3 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II a) Muestreo aleatoro smle (m.a.s.) Se toma al aar los elemetos que ha de formar arte de la muestra uo a uo CO reemlaameto. E este to de muestreo todas las osbles muestras de tamaño tee la msma oortudad de ser escogdas. El m.a.s. es adecuado cuado la oblacó es homogéea resecto a la característca que se estuda. Fíjate: Al ser muestreo co reemlaameto, ua ve elegdo u elemeto éste se devuelve a la oblacó or lo que más adelate uede volver a aarecer e la muestra (muestra fta). Para obteer ua muestra or m.a.s.: º) Eumeramos los elemetos de la oblacó (desde a ). º) Se elge el tamaño de la muestra se seleccoa los elemetos de la oblacó, be medate ua tabla de úmeros aleatoros, be medate ua etraccó de bolas umeradas de ua ura... formada or 3 elemetos, obté todas las osbles muestras obtedas or m.a.s. de tamaño. Calcula la meda de cada muestra, la meda de las medas muestrales la meda oblacoal. Qué observas? Muestras de tamaño,,,,,3,,,,,,3, 3,, 3,, 3,3 Ejemlo: Dada la oblacó {,,3} Meda de cada muestra Meda oblacoal ( + + 3)/3 6/3 { } { } { } { } { } { }{ }{ }{ }.5.5 Meda de todas las muestras ( ) / 9 8 / Cocde! Va a asar semre? ota: Auque osotros vamos a eteder semre el m.a.s. CO REPOSICIÓ, també uede darse la stuacó de que el muestreo fuese s reoscó, es decr, elegdo u elemeto de la muestra o se devuelve a la oblacó, or lo que o uede volver a aarecer e esa muestra. Por tato, la robabldad de seleccó de la sguete udad de la muestra se ve afectada or el resultado de la etraccó ateror. Ejemlo: Se quere coocer la oó de los 300 estudates de u curso e ua uversdad sobre ua cuestó académca. E el muestreo aleatoro smle todos debe teer la msma robabldad de erteecer a la muestra. Para geerar ua muestra de tamaño 0 se dsoe de ua lsta umerada de los estudates. U rocedmeto adecuado sería dsoer de ua ura co bolas umeradas de a 300 elegr s reemlaameto 0 bolas que será los úmeros de los estudates que va a ser ecuestados. formada or 3 elemetos, todas las osbles muestras obtedas s reemlaameto de tamaño so las sguetes:,,,3,,,,3, 3,, 3, Ejemlo: Dada la oblacó {,,3} { }{ } { } { } { } { } Ua tabla de úmeros aleatoros está formada or gruos de dígtos obtedos al aar ordeados or flas columas. Se usa ara seleccoar las udades que debe formar arte de ua muestra. La que damos al fal de la udad erteece a Fsher Yates. Para utlarla se uede emear or cualquer úmero cotuar haca arrba, haca abajo, a la derecha o a la querda. Ejemlo: Queremos seleccoar e ua oblacó de 40 ersoas ua muestra de 0 medate ua tabla de úmeros aleatoros. Para ello, asgamos u úmero etre 40 a cada ersoa, elegmos al aar ua de las 0 columas de úmeros, or ejemlo la 3ª, como se trata de úmeros etre 40, tomamos, or ejemlo, los 3 rmeros dígtos de los úmeros de dcha columa: 3, 804, 7, 605, 536, 73, 607, 504, 00, 357, 975, 079, 44, 98, 893, 849, 46, 33, 383, 040, 48, 076, 896, 66, 566, 4, 478, 39, 36, 54, 507, 58, 374, 07, 840, 455, 835, 883, 73, 307, 700, 6, 0, 76, 43, 049, 47, 774, 54, Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 3 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

4 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Ahora elegmos los 0 úmeros meores o guales que 40, obteemos la muestra de 0 ersoas. 3,73, 00, 079, 040, 076, 4, 36, 07, 6 S la ordeamos: 0, 40, 7, 76, 79, 73, 4, 6, 3, 36. b) Muestreo aleatoro sstemátco (m.a.ss.) Para obteer ua muestra or m.a.ss.: º) Se eumera desde a los elemetos de la oblacó, se fja el tamaño de la muestra se elge al aar uo de ellos etre h (coefcete de elevacó de la muestra f e ). º) A cotuacó se elge elemetos gualmete esacados a artr del rmero (saltos umércos guales) del sguete modo: a a a + h a 3 a K + h a a + h Ejemlo: De ua oblacó de 000 edfcos quere obteerse u m.a.ss. co tamaño muestral 5. Solucó: 000 h 00 (Coefcete de elevacó de la muestra f e ) 5 Elegmos al aar (or ejemlo, co ua tabla de úmeros aleatoros) u úmero etre 00. Suogamos que ha saldo a 37. a , a , 37, 337, 537, 737, 937 a , a c) Muestreo aleatoro estratfcado (m.a.e.) E ocasoes la característca que se quere estudar o es homogéea e toda la oblacó, so que varía segú dferetes gruos o estratos. E este caso se utla el m.a.e. ara obteer muestras e oblacoes o homogéeas cosguédose así ua maor recsó u meor error. El m.a.e. se reala del sguete modo: º) La oblacó de elemetos se dvde e suboblacoes o estratos homogéeos de elemetos,, Kk de forma que + + K + k. º) Se reala e cada uo de ellos u m.a.s. o sstemátco. Para elegr el tamaño de la muestra e cada estrato odemos segur dos crteros: M.a.e. co afjacó de gualdad: se toma el msmo úmero de elemetos e cada estrato. K k k També se le llama m.a.e. costate o uforme. M.a.e. co afjacó roorcoal: el úmero de elemetos seleccoados e cada estrato es roorcoal a su tamaño. k + + K+ k K, sedo k + + K+ k També se le llama m.a.e. roorcoal. Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 4 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

5 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Ejemlo: E ua oblacó este tres cetros hostalaros, que dsoe de 00, camas, resectvamete. Ua vestgacó de los resosables sataros, realada e u mometo e el que todas las camas está ocuadas, retede coocer las característcas socodemográfcas de los acetes. Para ello se latea obteer ua muestra de 90 acetes. Cómo se debería llevar a cabo el muestreo aleatoro? Solucó: Como se desea que e la muestra esté reresetados acetes de los tres cetros se ota or u muestreo estratfcado cosderado cada cetro hostalaro como u estrato. S se utla afjacó de gualdad: 30 3 Evdetemete, el cetro hostalaro más equeño tedría ua reresetacó muestral más tesa que el maor. Por el cotraro, s se ota or ua afjacó roorcoal, el tamaño total de la muestra se reartría roorcoalmete a los tamaños de los cetros, dado lugar a muestras de tamaño 9, 8 63 resectvamete: d) Muestreo aleatoro or coglomerados (m.a.c.) Para realar u muestreo estratfcado es ecesaro coocer co gra recsó la oblacó de la que se quere etraer formacó, esto o semre es osble. E cambo, e muchos estudos, la oblacó se agrua físca o temoralmete e coglomerados que so arecdos a la oblacó total. Este to de muestreo recbe el ombre de muestreo aleatoro or coglomerados o áreas. Es, e geeral, meos recso que el muestreo aleatoro smle o el muestreo estratfcado ero e alguos casos resulta más coveete or la seclle de su realacó. El m.a.c. se reala del sguete modo: º) Se dvde la oblacó e suboblacoes más equeñas: coglomerados, de forma que los elemetos que forma cada uo de ellos so heterogéeos resecto a la característca objeto de estudo, ero los coglomerados so mu arecdos etre sí. º) Se toma ua muestra aleatora smle de coglomerados, detro de los seleccoados, se odrá cosderar todos sus elemetos o be muestras aleatoras etraídas de ellos. Ejemlo: S se reala u sodeo electoral, los electores se agrua de maera atural e mucos. S la tecó de voto detro de los mucos es smlar a la de toda la oblacó, se uede elegr rmero al aar los mucos e los que muestrear desués realar u muestreo aleatoro smle e cada uo de ellos. El muestreo estratfcado es referble cuado los estratos so teramete mu homogéeos co resecto a la característca que se estuda, además, so mu dferetes etre sí e relacó a dcha característca; e cambo el muestreo or coglomerados es más recomedable s los coglomerados reroduce teramete la varabldad de la oblacó so bastate arecdos etre sí. 63 MUESTREO ESTRATIFICADO MUESTREO POR COGLOMERADOS Detro estratos Homogeedad Heterogeedad Fuera estratos Heterogeedad Homogeedad Rereseta a la oblacó La muestra Cada coglomerado Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 5 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

6 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II 4. DISTRIBUCIÓ ORMAL. La dstrbucó ormal, també llamada de Gauss, es ua de las más mortates del Cálculo de Probabldades, o solo or el gra úmero de feómeos que modela (aturales, ecoómcos, socológcos ) so orque so muchos los eermetos aleatoros que uede ser aromados or esta dstrbucó. Varable aleatora: Fucó que a cada suceso elemetal del esaco muestral E le asga u úmero real. X : E R A X ( A) Dscretas Tos Cotuas Ejemlo: Laameto de dos moedas. E { CC, CX, XC, XX} Defo: X º de caras obtedas e dos laametos X(CC) ; X(XC) ; X(CX) X(XX) 0 Probabldad de que la V.A. tome u certo valor: P(X 0) P (XX) 4 P(X ) P (CX XC) P (CX) + P(XC) 4 P(X ) P (CC) 4 També so V.A. Y 0 s o sale cara, s sale cara Z Suma que se obtee al laar dos dados + 4 Ua varable aleatora X cotua sgue ua dstrbucó ormal de meda μ desvacó tíca se escrbe X ~ ( μ, ) s cumle: a) La varable uede tomar cualquer valor desde a +. b) Su fucó de desdad vee dada or: ( μ ) f e sedo ( ) π <, μ < + > 0 Curva ormal o Camaa de Gauss : es la reresetacó gráfca de la fucó de desdad: S μ 0, etoces X~ ( 0, ) estádar. Su fucó de desdad es ( ) Es cotua, smétrca resecto de μ su mámo cocde co la meda μ. Toda la suerfce tee área. La mtad tee área 0,5. llamada ormal Tfcada o ormal f e su gráfca: π Cálculo de robabldades asocadas a ua ormal: Las robabldades (área bajo la curva ormal) se calcula así: P( a X b) b ( μ) e d. a π Es mu comlcado hallar robabldades hacedo tegrales de este to. Además, e este curso o hemos martdo gua udad de tegracó. Este, ara subsaar lo ateror, tablas dode aarece las rcales robabldades. Obvamete o ha ua tabla dferete ara cada ( μ, ) ( 0, ). El resto de varables será ecesaro asarlas revamete a ( 0, ) robabldades. Proedad: S X ~ ( μ, ) etoces Z, so que sólo se utla tabulada la ara calcular X μ ~ ( 0, ) se le llama tfcacó de la varable aleatora X. La tfcacó os ermte comarar elemetos erteecetes a dsttas oblacoes. Al roceso medate al cual se obtee la varable Z~ ( 0, ) a artr de X ~ ( μ, ) Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 6 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

7 IES Padre Poveda (Guad) Proedades: S a b so úmeros reales ostvos, ara calcular a) P( Z a) mrar valor e la tabla b) P ( Z a) P( Z < a) c) P ( Z a) P( Z a) P( Z < a) d) P( Z a) P( Z a) e) P ( a Z b) P( Z b) P( Z < a) f) P( a Z b) P( b Z a) P a Z b P Z b P Z a g) ( ) ( ) [ ( )] P Observacoes : P Matemátcas Alcadas a las CCSS II ( Z a) P( Z < a) ( Z a) 0 Ejemlo: Cosulta maejo de la tabla de la ( 0, ) E ua dstrbucó ormal ( 0, ) a) P ( Z.) b) P ( Z.5) c) P ( Z 0.83) d) P ( Z.7) e) P ( 0.7 Z.6) f) P (.95 Z ) g) P ( Z 0.35), calcula las sguetes robabldades. Solucó: a) P ( Z.) b) P ( Z.5) P( Z <.5) c) P ( Z 0.83) P( Z 0.83) P( Z < 0.83) d) P ( Z.7) P( Z.7) e) P ( 0.7 Z.6) P( Z.6) P( Z < 0.7) P.95 Z P Z.95 P( Z.95) P Z < g) P ( Z 0.35) P( Z 0.35) P( Z < ) P( Z 0.35) [ P( Z ) ] f) ( ) ( ) ( ) Ejemlo: Las estaturas de los dvduos de ua oblacó se dstrbue ormalmete co meda 75 cm desvacó tíca 0cm. a) Calcula la robabldad de que u dvduo tega ua estatura maor que 80 cm. b) Calcula la robabldad de que u dvduo tega ua estatura meor de 70 cm. c) Qué roorcó de dvduos tee ua estatura comredda etre 70 cm 80 cm? Solucó: X Estatura e cm. de u dvduo. X 75 X ~ ( 75, 0) Z ~ ( 0,) a) P ( X > 80) P Z > P( Z > 0.5) P( Z 0.5) b) P ( X < 70) P Z < P( Z < 0.5) P( Z 0.5) c) P ( 70 X 80) P( 0.5 Z 0.5) P( 0 Z 0. 5) [ P ( Z 0.5) P( < 0) ] [ ] Z 5 Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 7 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

8 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Proedad: S X ~ ( μ, ) a) El 68.6% de la oblacó se ecuetra e el tervalo ( μ, μ + ) b) El 95.44% de la oblacó se ecuetra e el tervalo ( μ, μ + ) c) El 99.74% de la oblacó se ecuetra e el tervalo ( μ 3, μ + 3 ) Ejemlo: E el ejemlo ateror: (, μ + ) ( 65cm,85cm) ;, μ + 55cm,95cm μ ( μ ) ( ); ( μ 3, μ + 3 ) ( 45cm, 05cm); 68.6% de la oblacó Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 95.44% de la oblacó % de la oblacó 5. PARÁMETROS POBLACIOALES, ESTADÍSTICOS Y ESTIMADORES. Usualmete se desea coocer alguas de las característcas más teresates de ua oblacó que uede servros ara determar comletamete su dstrbucó de robabldad. Estas característcas se llama arámetros oblacoales. La fereca estadístca os ermte acercaros al coocmeto de los arámetros de ua oblacó a artr de las característcas obtedas de ua muestra etraída de dcha oblacó. Recordemos alguos cocetos báscos del comeo del tema: Parámetro oblacoal: característca umérca de la oblacó (meda, varaa, desvacó tíca ). Recuerda alguos arámetros oblacoales: Meda oblacoal: μ Varaa oblacoal: ( ) μ Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca μ Desvacó tíca oblacoal: Varaa Proorcó oblacoal: Parámetro muestral o estadístco: característca umérca referda a la muestra. Es cualquer fucó defda sobre los datos de la muestra. Alguos arámetros muestrales so: Meda muestral: Total muestral: Varaa muestral: S Cuasvaraa muestral: S ( ) Proorcó muestral: ( ) La roorcó muestral es la meda muestral e ua oblacó dcotómca, esto es, asocada a ua alteratva (verdadero o falso, a favor o e cotra, ato o o ato) a cuos elemetos se les asga sólo los valores 0 o. Estmador: de u arámetro oblacoal es u estadístco (arámetro muestral) cuo valor sobre ua muestra teta acercarse lo más osble al valor del arámetro oblacoal. Es decr, es ua fucó de la muestra que se usa ara estmar u arámetro. El valor que toma u estmador sobre ua muestra da lugar a ua estmacó. Por ello, dado u estmador, ha tatas estmacoes asocadas al msmo como muestras osbles. Dstrbucó e el muestreo de u estmador: es la dstrbucó del estmador al tomar dsttas muestras de tamaño e la oblacó. 8

9 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Observa: Para ua muestra,, K, obteemos ua meda muestral : + + K+ Para otra muestra,,, K obteemos otra meda muestral : K Estos valores so los que toma la varable aleatora X. Fíjate: como el estmador toma valores dferetes e las dsttas muestras, lo cosderamos como ua varable aleatora or eso hablamos de su dstrbucó de robabldad e el muestreo: Veamos ahora la dstrbucó e el muestreo de alguos estmadores. Estos resultados se obtee como cosecueca del Teorema Cetral del Límte que os dce: S,, K, es ua muestra aleatora smle de ua oblacó co meda μ desvacó tíca, etoces la varable aleatora X + + K+ sgue ua dstrbucó ormal de meda X μ desvacó tíca X. Es decr: X ~ ( μ, ) μ E el resto del tema semre os referremos a muestreo aleatoro smle (m.a.s.) Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 6. DISTRIBUCIÓ DE LAS MEDIAS MUESTRALES. Cada muestra de tamaño que odamos etraer de la oblacó roorcoa ua meda (muestral). S cosderamos cada ua de estas medas como valores de ua varable aleatora odemos estudar su dstrbucó de robabldad: X Varable aleatora que a cada muestra de tamaño le hace corresoder su meda. Dada ua oblacó co meda μ desvacó tíca,,, K, ua m.a.s. de tamaño, s μ,, o be o la sgue ero 30, etoces la la oblacó sgue ua dstrbucó ormal ( ) dstrbucó de la varable aleatora de las medas muestrales de tamaño, X ~ μ, 9 X vee dada or: Observacoes: ) μ cocde co la meda de la dstrbucó de las medas muestrales X. Es decr, ) es la desvacó tíca de la dstrbucó de las medas muestrales μ μ. X X, or tato, es su varaa. Es decr, X X. 3) Auque la oblacó O sga ua le ormal, la dstrbucó de las medas muestrales SÍ la sgue semre que 30. Coforme aumete mejor será la estmacó. 4) dca el grado de varabldad de la medas muestrales. Al aumetar, dsmue or tato más smlares será la meda de la oblacó μ la meda obteda e la muestra. 5) S e lugar de realar m.a.s. se efectúa m.a. s reemlaameto, etoces la desvacó tíca de las medas muestrales es Ejemlo: Las otas de u eame se dstrbue segú ua le ormal de meda 5.6 varaa 9. Seleccoamos al aar 6 estudates calculamos la meda de sus otas. Calcule la robabldad de que dcha meda esté comredda etre Solucó: μ 5.6 S X V.A. que mde las otas de u eame X ~ ( 5.6, 3) a que X6 5.6 Como 6 X 6 ~ 5.6, X 6 ~ ( 5.6, 0.75) { Z ~ ( 0,) 6 Tf P( 4.7 X6 6.5) P Z P(. Z. ) P 0 Z. P Z. P Z ( ) [ ( ) ( )] [ ] 7698 ( 4.7 X 6.5) P 6 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

10 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II 7. DISTRIBUCIÓ DE LAS PROPORCIOES MUESTRALES. Cosderemos ua oblacó formada or u úmero determado de dvduos. Cada uo de ellos osee ua característca determada o o la osee, sedo: Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro Proorcó (oblacoal) de dvduos que la osee. q Proorcó (oblacoal) de dvduos que O la osee. Cosderamos ua muestra de tamaño, habrá ua roorcó de dvduos co esa característca (roorcó muestral). Cada muestra roorcoa u valor de la roorcó (muestral). P Varable aleatora que asga a cada muestra la roorcó de dvduos co esa característca. Etoces, s es sufcetemete grade ( 30 ) la roorcó muestral P de dvduos que tee esa característca e las muestras de tamaño es ua varable aleatora que sgue ua dstrbucó: q P ~, Observacoes: ) cocde co la meda de la roorcó muestral P. Es decr μ q ) es la desvacó tíca de la roorcó muestral P. Es decr º de dvduos co la característca 3) roorcó de la muestra P q P q Ejemlo: Ua marca de automóvles vede mesualmete 4000 coches, de los cuales 350 utla gasola el resto désel. Se toma ua muestra de tamaño 500 e la cual ha 60 coches désel. Escrbe los valores de los arámetros de la roorcó de coches que utla désel. Cuál será la dstrbucó de las roorcoes muestrales ara muestras de tamaño 500? Solucó: Proorcó de coches que usa désel Proorcó muestral de coches que usa désel coches désel Como q P 500 ~ , 500 ~ ( 0.45, 0.0) 8. DISTRIBUCIÓ DE LA DIFERECIA DE MEDIAS MUESTRALES. Cosderemos todas las muestras aleatoras de tamaños resectvos que ueda etraerse de dos oblacoes. Sus resectvas medas muestrales, cosderadas como valores de ua varable aleatora, da lugar a dos varables aleatoras X e Y ua ara cada oblacó. Sea dos oblacoes co medas μ P500 μ, desvacoes tícas Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca, dos m.a.s. de tamaño etraídas resectvamete de cada oblacó. S las oblacoes sgue dstrbucoes μ, o be o las sgue ero 30 30, etoces la ormales ( ) μ,, ( ) dstrbucó de la dfereca de medas muestrales X Y vee dada or: X Y ~ μ μ, 0 + P

11 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Observacoes: ) μ μ cocde co la meda de la dstrbucó de la dfereca de medas muestrales X Y. Es decr, μ μ μ. ) X Y + es la desvacó tíca de la dstrbucó de la dfereca de medas muestrales X Y. Es decr, +. Su varaa es +. X Y X Y 3) Auque las oblacoes O sga ua le ormal, la dstrbucó de la dfereca de medas muestrales SÍ la sgue semre que Coforme aumete mejor será la estmacó. 4) La dfereca de medas os ermte comarar dsttas oblacoes. Ejemlo: El eso de los huevos de galla roducdos or ua graja sgue ua dstrbucó ormal de meda 63g desvacó tíca 5g. E otra graja co otro to de almetacó se ha comrobado que el eso de los huevos corresode a otra dstrbucó ormal de meda 68g desvacó tíca g. S se toma al aar muestras de 00 huevos de cada graja, determa la dstrbucó ara la dfereca de medas muestrales. Cuál es la robabldad de que la dfereca e los esos de los huevos o sea maor de 4g? Solucó: X V.A. que mde el eso de los huevos de galla roducdos or la rmera graja Y V.A. que mde el eso de los huevos de galla roducdos or la seguda graja X ~ ( 63, 5) Y ~ ( 68, ) μ 63 μ a que como 5 00 X 00 Y 00 ~ 63 68, X00 Y { Z 0.54 Tf X 00 Y00 ~ ( 0,) ~ ( 5, 0.54) ( ) ( ) X Y P 4 X Y 4 P P Z P.85 Z 6.69 P Z 6.69 P Z < ( ) ( ) ( ) ESTIMACIÓ PUTUAL Y POR ITERVALOS La estmacó, como a sabemos, os roorcoa formacó sobre u arámetro descoocdo de la oblacó a artr de la formacó que os aorta la muestra. Para ello se costrue u estmador (fucó de los valores de ua muestra), que os roorcoe u valor umérco que costtue la estmacó del arámetro oblacoal. Dstgumos dos tos de estmacó: 9. ESTIMACIÓ PUTUAL. Proorcoa u solo valor del arámetro descoocdo. Los estmadores más usuales utlados e la estmacó utual so: meda muestral, estmador de la meda oblacoal μ Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

12 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II S S ( ) ( ) La cuasvaraa muestral suele ser mejor estmador de la varaa oblacoal que la varaa muestral. Varaa estmador de la muestral Varaa oblacoal Cuasv araa muestral Varaa estmador de la oblacoal ( ) μ ( ) Proorcó muestral, estmador de la roorcó oblacoal μ Ejemlo: Las últmas 4 ersoas que ha etrado e ua sala de eoscoes ha ermaecdo e ella durate los sguetes erodos de temo (e mutos): 5, 47, 89, 36, 55, 6, 50, 6, 38, 49, 66, 30, 6, 7 a) Estma el valor medo la varaa de los temos de ermaeca de los vstates de la sala. b) Estma la roorcó de vstates que ermaece e la sala más de ua hora. Solucó: a) La estmacó de la meda varaa oblacoales μ, la hacemos a través de la meda muestral de la varaa muestral S S També odíamos haber estmado calculado la cuasvaraa muestral S. b) La estmacó de la roorcó será la roorcó muestral de ersoas que 6 asa más de ua hora e la sala: ESTIMACIÓ POR ITERVALOS. Los estmadores O aorta formacó sobre la recsó co que se reala la estmacó. El estmador utual uede ser oco fable a que su valor deede de la muestra elegda. Por ello, e lugar de utlar u úco valor, covee costrur u tervalo que cotega al verdadero valor del arámetro descoocdo co gra robabldad. Itervalo de cofaa I.C. ( a,b) : tervalo que cotedrá al verdadero valor del arámetro descoocdo co ua certa segurdad. vel de cofaa : es la robabldad de que el arámetro se ecuetre e ese tervalo. vel de sgfcacó : es la robabldad de que el arámetro O se ecuetre e ese tervalo (dfereca etre la certea el vel de cofaa). Amltud del tervalo de cofaa: A I.C. b a (es la logtud del I.C.) b a Error de estmacó mámo: se defe como E (es decr, la mtad de A I.C. ) Sedo a b los etremos de u tervalo de cofaa: I.C. ( a,b) També se llama Error mámo admsble. Por tato: U tervalo de cofaa co vel de cofaa cotee el verdadero valor del arámetro co robabldad. es u tervalo ( a,b) μ μ I.C. que Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

13 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Valor crítco : E la costruccó de u tervalo de cofaa, fjado u vel de cofaa, llamamos valor crítco e la dstrbucó ormal estádar ( ), al úmero real que deja a su derecha ua robabldad 0, P ( Z > ) Así, s Z es ua varable co dstrbucó ( 0, ), u tervalo de cofaa co robabldad, se obtee dejado robabldad gual a a ambos lados, como uede verse e la fgura: P ( Z ) Ejemlo: Calcular el valor crítco corresodete a u vel de cofaa del 90%. 0,90 0,0 0,05 P ( Z > ) 0, 05 P( Z > ) P( Z ) P( Z ) 0, 95, 645 Valores crítcos Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 0,90 0,05,645 0,95 0,05,96 0,99 0,005,575 Comruébalos! 3 más utlados segú el vel de cofaa. / Fíjate: se uede obteer també co la eresó: +.c. P(Z ) usar, como ates, la tabla de la dstrbucó ormal estádar. Por qué? Cuado se estma or tervalos ha tres elemetos que está relacoados: el tamaño muestral, el vel de cofaa la logtud del tervalo (es el doble del error). Fíjate que: a) Cuato más equeño es el tervalo (meor error), maor es la recsó de la estmacó ero dsmue el vel de cofaa. b) Cuato maor sea el vel de cofaa, más segurdad tedremos e la estmacó ero aumeta el error (aumeta la amltud). Es decr Maor Maor Maor E c) Para aumetar el vel de cofaa ara ser más recsos e la estmacó (meor error), teemos que aumetar el tamaño de la muestra. (Maor Meor error E) Dados dos de esos elemetos, el tercero vee determado, co lo cual el rofesoal de la estadístca tee la caacdad de decdr cual de ellos suborda e beefco de los dos restates. Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

14 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Deartameto de Matemátcas Bloque III: Probabldad Estadístca Profesor: Ramó Lorete avarro Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca 4 (Desejado e la eresó ateror) També se oe: ± q I.C. ITERVALO DE COFIAZA PARA LA MEDIA U tervalo de cofaa co vel de cofaa ara la meda μ de ua oblacó ormal co desvacó tíca coocda costrudo a artr de ua muestra de tamaño, vee dado or la eresó: +, I.C. μ P + < < El tervalo de cofaa ateror ( ) b a C I,.. está cetrado e la meda muestral: b a + Error de estmacó mámo: E Amltud del I.C.: A I.C. Determacó eleccó del tamaño muestral: E També es u tervalo de cofaa váldo cuado es sufcetemete grade ( 30 ) auque la oblacó O sea ormal. ITERVALO DE COFIAZA PARA UA PROPORCIÓ U tervalo de cofaa co vel de cofaa ara la roorcó oblacoal de dvduos que cumle ua característca e ua oblacó ara muestras aleatoras smles sufcetemete grades de tamaño tee la sguete eresó: + q, q I.C. q q P + < < Sedo: la roorcó muestral la oblacoal q El tervalo de cofaa ateror ( ) b a C I,.. está cetrado e la roorcó muestral. Error de estmacó mámo: q E Amltud del I.C.: q A I.C. Determacó eleccó del tamaño muestral: E q (Desejado e la eresó ateror de E) També se oe de modo formal: ± I.C. (Desejado e la eresó ateror de E)

15 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II ITERVALO DE COFIAZA PARA LA DIFERECIA DE MEDIAS U tervalo de cofaa co vel de cofaa ara la dfereca de medas μ dos oblacó ormales co desvacoes tícas muestras de tamaño, vee dado or la eresó: μ de coocdas costrudo a artr de dos I.C. ( ) +, ( ) + + P ( ) + < μ μ < ( ) El tervalo de cofaa I C. ( a, b). está cetrado e la dfereca de las medas muestrales: a + b També se oe de modo formal: I.C. ( ) ± + Error de estmacó mámo: E + Amltud del I.C.: A I.C TIPOS DE PROBLEMAS DE IFERECIA ESTADÍSTICA DE UA POBLACIÓ CUYA VARIABLE ALEATORIA ES ORMAL. Caso º Cálculo de u tervalo de cofaa ara la meda muestral. Cosste e costrur u tervalo de cofaa ara la meda μ de ua oblacó ormal o co 30, cua varaa oblacoal es coocda. Ejemlo: U fabrcate de fbras stétcas desea coocer la tesó de rutura meda de ua fbra. La tesó de rutura se uede modelar or ua varable aleatora ormal, co varaa coocda e gual a 4. Para ello, dseña u eermeto e el que se observa las tesoes de rutura de 6 hlos del roceso, seleccoados aleatoramete, obtee ua meda muestral de 0.3. Costrua u tervalo de cofaa ara estmar la tesó de rutura meda de las fbras roducdas or el fabrcate, co cofaa del 95%. Calcule el error mámo cometdo e la estmacó. Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 5 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

16 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Solucó: 4 X V.A. que mde la tesó de rutura de ua fbra stétca. X ~ ( μ, ) 6; 0.3. c X6 ~ μ, X6 ~ ( μ, 0.5) ; / (Ver tabla o calcularlo) Por tato, u tervalo de cofaa ara la meda oblacoal μ es: I.C. ± 0.3 ±.96 ( 0.3 ± 0. 98) I.C. ( 9.34,.30) 6 Por tato P ( 9.34 < μ <.30) La terretacó del tervalo de cofaa es la sguete: La meda μ de la tesó de rutura de ua fbra stétca, oscla etre , co u vel de cofaa del 95 %. Error mámo cometdo e la estmacó: E (o hacía 6 falta calcularlo. Fíjate, a lo teíamos). Caso º Determacó del tamaño muestral mímo. Cosste e determar el tamaño muestral mímo ecesaro ara acotar el error cometdo al estmar, or tervalos de cofaa, la meda de ua oblacó ormal de varaa coocda ara cualquer vel de cofaa. Ejemlo: La meda de edad de los alumos que se reseta a las ruebas de acceso a la Uversdad tee u comortameto ormal, co desvacó tíca de 0.6 años. Determa el úmero de alumos que ha que cosderar (tamaño muestral ecesaro) ara estmar la edad meda de esos alumos, co u error mámo de 0. años cofaa del 95%. Solucó: X V.A. que mde la edad de los alumos que se... X ~ ( μ, 0.6) 0.6? alumos mímo. E 0. E 0.. c Fíjate que 0.05 / Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 6 Caso 3º Obtecó del vel de cofaa co el que se ha costrudo u tervalo de cofaa. Ejemlo: Al medr el temo medo de reaccó de u coductor ate ua osble cdeca se sabe que su desvacó tíca es 0.5. Se obtee ua muestra de 00 coductores ara estmar el temo medo de reaccó co u error mámo de 0.s. Determa el vel de cofaa de la estmacó. Solucó: X V.A. que mde el temo de reaccó de u coductor ate ua 0.5 osble cdeca. 00 X ~ ( μ, 0.5) E E 0.. c.? P Z ( > ) > Z P P( Z > ) P( Z ) c % Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

17 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II Ejemlo: E u terado se sabe que la estatura meda de los estudates está etre co ua desvacó tíca de 5.3cm. S se ha etraído ua muestra de 30 alumos, cuál es el vel de cofaa co el que se ha realado la estmacó? Solucó: X V.A. que mde la estatura de los estudates de ese terado. I. C. ( 79,80) X ~ ( μ, 5.3) b a E 0. 5 Por tato:. c.? E P Z ( > 0.5) > P Z P( Z > 0.5) P( Z 0.5) c. 39.7% Caso 4º Cálculo de u tervalo de cofaa ara las roorcoes. Ejemlo: E ua muestra de 400 adolescetes se ecotró que 54 ractca deorte habtualmete. Halla co u vel de cofaa del 90% u tervalo ara estmar la roorcó de adolescetes que ractca algú deorte. Calcule el error mámo cometdo e la estmacó. Solucó: 400 Proorcó de adolescetes que ractca algú deorte habt. 54 Proorcó muestral de adolescetes que ractca algú deorte habtualmete. 400 q 0.65.c ; / Puesto que 400 es grade, u I.C. ara la roorcó oblacoal es: q I.C. ± ( ± ) I.C. ( 0.345, 0.45 ) 0.385± Por tato P ( < < 0.45) La terretacó del tervalo de cofaa es la sguete: La roorcó de adolescetes que ractca algú deorte habtualmete, oscla etre u 34.5% u 4.5% aromadamete, co u vel de cofaa del 90 % q Error mámo cometdo e la estmacó: E (a estaba calculado). Caso 5º Cálculo de u tervalo de cofaa ara la dfereca de medas. Ejemlo: Para estudar la flueca del tabaco e el eso de los recé acdos se reala u estudo e u hostal cosderado dos gruos de futuras madres resectvamete. El rmero es de mujeres o fumadoras el segudo de fumadoras. E el gruo de las madres o fumadoras los esos de los bebés que forma la muestra ha dado ua meda de 3.6kg coocemos la desvacó tíca oblacoal que es de 0.5kg, metras que e el de las fumadoras el eso medo ha sdo de 3.kg la desvacó tíca oblacoal es també coocda, 0.8kg. a) Determa, co u vel de cofaa del 95%, como flue que la madre sea fumadora e el eso de su hjo al acer. b) Cuál es la logtud del tervalo de cofaa calculado e el aartado ateror? Y el error mámo admsble? Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 7 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

18 IES Padre Poveda (Guad) Solucó: a) 300 0; kg 3. kg. c ; / 0.05 Matemátcas Alcadas a las CCSS II X V.A. que mde el eso de los bebés de madres o fumadoras Y V.A. que mde el eso de los bebés de madres fumadoras X ~ ( μ, 0.5) Y ~ ( μ, 0.8) X 300 Y 0 ~ μ + μ, ( μ μ, 0.06) (Ver tabla o calcularlo) Por tato, u tervalo de cofaa ara la dfereca de medas oblacoales μ μ es: I. C. I.C. 0.76, P 0.76 μ μ < ( ) ± + ( ) ±.96 + ( 0.4 ± 0.4) ( ) < Por tato ( ) 95 La terretacó del tervalo de cofaa es la sguete: La dfereca de medas oblacoales μ μ de los esos de los bebes de las madres o fumadoras fumadoras está comredda etre 76g 54g. Por tato, el eso medo de u bebé de madre o fumadora suera como mímo e 76g al de u bebé de madre fumadora, como mámo, e 54g. Todo esto co u vel de cofaa del 95 % (co ua robabldad del 95%). b) A I.C o be A I.C. b - a E g (o hace falta calcularlo. Fíjate, a lo teemos). Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 8 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

19 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II. TABLA DE ÚMEROS ALEATORIOS DE FISHER Y YATES. Podemos costrur ua tabla de úmeros aleatoros oedo los úmeros remados e los sorteos de la lotería uo detrás del otro. Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 9 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca

20 IES Padre Poveda (Guad) Matemátcas Alcadas a las CCSS II. TABLA DE PROBABILIDADES DE LA ( 0, ) Deartameto de Matemátcas Profesor: Ramó Lorete avarro 0 Bloque III: Probabldad Estadístca Udad 0: Muestreo e Ifereca Estadístca