PARTE 2 - ESTADISTICA. 7- Estimación puntual Introducción

Transcripción

1 arte Estmacó utual rof. María B. tarell ARTE - ETADITICA 7- Estmacó utual 7. Itroduccó uogamos la sguete stuacó: e ua fábrca se roduce artículos el terés está e la roduccó de u día esecífcamete de todos los artículos roducdos e u día os teresa ua característca determada s el artículo es o o defectuoso. ea la roorcó de artículos defectuosos e la oblacó es decr e la roduccó de u día. Tomamos ua muestra de 5 artículos odemos defr la v.a. : úmero de artículos defectuosos e la muestra y odemos asumr que ~ B(5 ). E robabldades se coocía todos los datos sobre la v.a. es decr coocíamos. De esa forma odíamos resoder regutas como: cuál es la robabldad que etre los 5 artículos halla 5 defectuosos?. or ejemlo 0. etoces calculábamos ( 5) dode ~ B(5 0.). E Estadístca descoocemos las característcas de total o arcalmete y a artr de la muestra de 5 artículos tratamos de ferr formacó sobre la dstrbucó de o dcho de otra forma tratamos de ferr formacó sobre la oblacó. or ejemlo e estadístca sabremos que tee dstrbucó bomal ero descoocemos y a artr de la muestra de 5 artículos trataremos de hallar formacó sobre. E Estadístca os haremos regutas tales como: s e la muestra de 5 artículos se ecotraro 5 defectuosos ese hecho me ermte ferr que el verdadero es 0.?. El camo de la fereca estadístca está formado or los métodos utlados ara tomar decsoes o ara obteer coclusoes sobre el o los arámetros de ua oblacó. Estos métodos utla la formacó coteda e ua muestra de la oblacó ara obteer coclusoes. La fereca estadístca uede dvdrse e dos grades áreas: estmacó de arámetros y ruebas de hótess. 7. Muestreo aleatoro E muchos roblemas estadístcos es ecesaro utlar ua muestra de observacoes tomadas de la oblacó de terés co objeto de obteer coclusoes sobre ella. A cotuacó se reseta la defcó de alguos térmos Ua oblacó está formada or la totaldad de las observacoes e las cuales se tee certo terés E muchos roblemas de fereca estadístca es oco ráctco o mosble observar toda la oblacó e ese caso se toma ua arte o subcojuto de la oblacó Ua muestra es u subcojuto de observacoes seleccoada de ua oblacó ara que las ferecas sea váldas la muestra debe ser reresetatva de la oblacó. e seleccoa ua muestra aleatora como el resultado de u mecasmo aleatoro. E cosecueca la seleccó de ua muestra es u eermeto aleatoro y cada observacó de la muestra es el valor observado de ua varable aleatora. Las observacoes e la oblacó determa la dstrbucó de robabldad de la varable aleatora. 4

2 arte Estmacó utual rof. María B. tarell ara defr muestra aleatora sea la v.a. que rereseta el resultado de tomar ua observacó de la oblacó. ea f () la f.d.. de la v.a.. suogamos que cada observacó e la muestra se obtee de maera deedete bajo las msmas codcoes. Es decr las observacoes de la muestra se obtee al observar de maera deedete bajo codcoes que o camba dgamos veces. ea la varable aleatora que rereseta la -ésma observacó. Etoces... costtuye ua muestra aleatora dode los valores umércos obtedos so.... Las varables aleatoras e ua muestra aleatora so deedetes co la msma dstrbucó de robabldad f() debdo a que cada observacó se obtee bajo las msmas codcoes. Es decr las fucoes de desdad margales de... so todas guales a f() y or deedeca la dstrbucó de robabldad cojuta de la muestra aleatora es el roducto de las margales f ) f ( )... f ( ) ( Las varables aleatoras (... ) v.a. s costtuye ua muestra aleatora de tamaño de ua so deedetes détcamete dstrbudas... El roósto de tomar ua muestra aleatora es obteer formacó sobre los arámetros descoocdos de la oblacó. or ejemlo se desea alcaar ua coclusó acerca de la roorcó de artículos defectuosos e la roduccó dara de ua fábrca. ea la roorcó de artículos defectuosos e la oblacó ara hacer ua fereca co resecto a se seleccoa ua muestra aleatora (de u tamaño aroado) y se utla la roorcó observada de artículos defectuosos e la muestra ara estmar. La roorcó de la muestra se calcula dvdedo el úmero de artículos defectuosos e la muestra or el úmero total de artículos de la muestra. Etoces es ua fucó de los valores observados e la muestra aleatora. Como es osble obteer muchas muestras aleatoras de ua oblacó el valor de cambará de ua a otra. Es decr es ua varable aleatora. Esta varable aleatora se cooce como estadístco. U estadístco es cualquer fucó de la muestra aleatora Estadístcos usuales ea... ua muestra aleatora de ua v.a. dode E y V ( ) descoocemos u estadístco que se utla ara estmar ese arámetro es la meda o romedo muestral Aálogamete s se descooce u estadístco usado ara teer algua formacó sobre ese arámetro es la varaa muestral que se defe como ( ) Otro estadístco es la desvacó estádar muestral ( ) Como u estadístco es ua varable aleatora éste tee ua dstrbucó de robabldad eseraa y varaa. 5

3 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Ua alcacó de los estadístcos es obteer estmacoes utuales de los arámetros descoocdos de ua dstrbucó. or ejemlo como se djo ates se suele estmar la meda y la varaa de ua oblacó. Cuado u estadístco se utla ara estmar u arámetro descoocdo se lo llama estmador utual. Es habtual smbolar e forma geérca a u arámetro co la letra θ y al estadístco que se utla como estmador utual de θ smbolarlo co Θ. Θ h... or lo tato Θ es ua fucó de la muestra aleatora: Al medr la muestra aleatora se obtee... y etoces el valor que toma Θ es θ h (... ) y se deoma estmacó utual de θ El objetvo de la estmacó utual es seleccoar u úmero a artr de los valores de la muestra que sea el valor más robable de θ. or ejemlo suogamos que 3 4 es ua muestra aleatora de ua v.a.. abemos que tee dstrbucó ormal ero descoocemos. Tomamos como estmador de al romedo muestral es decr Tomamos la muestra (medmos 3 4 ) y obteemos Etoces la estmacó utual de es la varaa de també es descoocda u estmador utual usual de es la varaa muestral es decr ( ) ara la muestra dada la estmacó de es.5. Otro arámetro que a meudo es ecesaro estmar es la roorcó de objetos de ua oblacó que cumle ua determada característca. E este caso el estmador utual de sería dode s la í ésma observacó tee la característca det erés... 0 caso cotraro or lo tato es la roorcó de objetos e la muestra cumle la característca de terés uede ocurrr que se tega más de u estmador ara u arámetro or ejemlo ara estmar la meda muestral se uede cosderar el romedo muestral o també la semsuma etre y es decr. E estos casos ecestamos de algú crtero ara decdr cuál es mejor estmador de. 7.3 Crteros ara evaluar estmadores utuales Lo que se desea de u estmador utual es que tome valores rómos al verdadero arámetro. odemos egr que el estmador Θ tega ua dstrbucó cuya meda sea θ. 6

4 arte Estmacó utual rof. María B. tarell e dce que el estmador utual Θ es u estmador sesgado del arámetro θ s cualquera sea el valor verdadero de θ E ( Θ ) θ La defereca E ( Θ ) θ se cooce como sesgo de estmador Θ. Aotamos b ( Θ ) E( Θ ) θ Notar que s u estmador es sesgado etoces su sesgo es cero Ejemlos: - ea... ua muestra aleatora de ua v.a. dode E y V ( ) descoocemos u estadístco que se utla usualmete ara estmar este arámetro es la meda o romedo muestral E.. Veamos s es u estmador sesgado de. Debemos ver s Usamos las roedades de la eseraa artcularmete la roedad de lealdad. E E E( ) E. ero tratádose de las comoetes de ua muestra aleatora es: ( ) E... E. Luego:. E - ea ua varable aleatora asocada co algua característca de los dvduos de ua oblacó y sea E y / Etoces ( ) ues: la varaa muestral (co V. ea la eseraa muestral) ara ua muestra aleatora de tamaño ( ) E es decr.... es u estmador sesgado de V E E ( ) E. Reescrbremos la suma de ua forma más coveete. umamos y restamos y desarrollamos el cuadrado: ( ) ( ) ([ ] [ ] ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 7

5 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. Esto es: [ ] [ ] Etoces: [ ] [ ] E E E [ ] [ ] E E [ ] V V E E V dode e la últma gualdad tuvmos e cueta que... V V y que V. Luego llegamos a lo que se deseaba demostrar: E. 3- uogamos que tomamos como estmador de a Etoces otar que odemos escrbr or lo tato E E E Es decr o es u estmador sesgado de es sesgado y su sesgo es E b Como el sesgo es egatvo el estmador tede a subestmar el valor de verdadero arámetro E ocasoes hay más de u estmador sesgado de u arámetro θ or lo tato ecestamos u método ara seleccoar u estmador etre varos estmadores sesgados. Varaa y error cuadrátco medo de u estmador utual uogamos que Θ y Θ so dos estmadores segados de u arámetro θ. Esto dca que la dstrbucó de cada estmador está cetrada e el verdadero arámetro θ. embargo las varaas de estas dstrbucoes uede ser dferetes. La fgura sguete lustra este hecho.

6 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Dstrbucó de Θ Dstrbucó de Θ θ Como Θ tee meor varaa que Θ etoces es más robable que el estmador Θ roduca ua estmacó más cercaa al verdadero valor de θ. or lo tato s teemos dos estmadores sesgados se seleccoará aquel te tega meor varaa. Ejemlo: ea... ua muestra aleatora de ua v.a. dode E y V ( ) uoemos descoocdo. Estmamos al arámetro co la meda o romedo muestral estmador sesgado de. Aotamos uogamos que tomamos otro estmador ara lo aotamos Etoces como E( ) E ( E( ) E( ) ) ( ) es també u estmador sesgado de Cuál de los dos estmadores es mejor? Calculamos la varaa de cada uo utlado las roedades de la varaa. Ya sabemos cuál es la varaa de (se la halló ara T.C.L.): V V V V( ). abemos que es u dode e la últma gualdad hemos tedo e cueta que or tratarse de ua muestra aleatora las co so varables aleatoras deedetes y e cosecueca la varaa de la suma de ellas es la suma de las varaas. teemos e cueta que además todas tee la msma dstrbucó que y or lo tato la msma varaa: ( ) V... V teemos V. 9

7 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Aálogamete calculamos la varaa de : V( ) V ( V ( ) V ( )) ( ) 4 4 Vemos que s > etoces V ( ) < V ( ). or lo tato s > es mejor estmador uogamos ahora que Θ y Θ so dos estmadores de u arámetro θ y alguo de ellos o es sesgado. A veces es ecesaro utlar u estmador sesgado. E esos casos uede ser mortate el error cuadrátco medo del estmador. El error cuadrátco medo de u estmador Θ de u arámetro θ está defdo como ECM Θ E Θ θ El error cuadrátco medo uede escrbrse de la sguete forma: ECM ( Θ ) V( Θ ) ( b( Θ ) Dem.) or defcó ECM ( Θ ) E ( Θ θ). umamos y restamos el úmero ( Θ ) ECM ( Θ ) E ( Θ E( Θ ) E( Θ ) θ) y desarrollamos el cuadrado: ECM E : ( Θ ) E ( Θ E( Θ ) E( Θ ) θ) E ( Θ E( Θ ) ( E( Θ ) θ) ( Θ E( Θ )( E( Θ ) θ) Alcamos roedades de la eseraa: ( Θ E( Θ ) ( ) E E Θ θ E Θ ( b Θ) V Θ ( θ) E( Θ E( Θ ) V( Θ ) ( b( Θ ) 443 El error cuadrátco medo es u crtero mortate ara comarar estmadores. 0 Θ y Θ so dos estmadores de u arámetro θ. La efceca relatva de Θ co resecto a ECM( Θ ) Θ se defe como ECM( Θ ) la efceca relatva es meor que etoces Θ tee meor error cuadrátco medo que Θ or lo tato Θ es más efcete que Θ 30

8 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Observacoes: - Θ es u estmador sesgado de θ etoces ECM ( Θ ) V( Θ ) - A veces es referble utlar estmadores sesgados que estmadores sesgados s es que tee u error cuadrátco medo meor. E el error cuadrátco medo se cosdera tato la varaa como el sesgo del estmador. θ Θ y Θ so dos estmadores de u arámetro θ tales que E Θ ; E ( Θ ) θ y V ( Θ ) < V( Θ ) habría que calcular el error cuadrátco medo de cada uo y tomar el que tega meor error cuadrátco medo. ues uede ocurrr que Θ auque sea sesgado al teer meor varaa tome valores mas cercaos al verdadero arámetro que Θ Dstrbucó de Θ Dstrbucó de Θ θ Ejemlo: uógase que Θ Θ y Θ 3 so dos estmadores de u arámetro θ y que E ( Θ ) ( EΘ ) θ; E ( Θ 3 ) θ V ( θ ) 0 V ( Θ ) 6 y E ( Θ 3 θ) 4. Haga ua comaracó de estos estmadores. Cuál refere y or qué? olucó: Calculamos el error cuadrátco medo de cada estmador ECM ( Θ ) ( V Θ) 0 ues Θ es sesgado ECM ( Θ ) ( V Θ ) 6 ues Θ es sesgado ECM ( Θ ) ( 3 E Θ3θ) 4 es dato E cosecueca Θ 3 es el mejor estmador de los tres dados orque tee meor error cuadrátco medo. Cossteca de estmadores utuales ea Θ u estmador del arámetro θ basado e ua muestra aleatora ( ) tamaño. e dce que Θ es u estmador cosstete de θ s ( Θ θ ε) 0 lm ara todo ε > 0... de 3

9 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Observacó: Este to de covergeca que volucra a ua sucesó de varables aleatoras se llama covergeca e robabldad y es la msma que cosderamos e relacó a la ley de los grades úmeros uele escrbrse també Θ θ. Este to de covergeca debe dstgurse de la cosderada e relacó al teorema cetral del F Z y se límte. E este últmo caso teíamos ua sucesó de dstrbucoes: Z ( ) cosdera el límte lm F lm ( Z ). Z Φ e habla etoces de covergeca e dstrbucó y suele dcarse Teorema. ea E Θ d Z Z N ( 0 ). Θ u estmador del arámetro θ basado e ua muestra aleatora ( ) lm θ y lm ( Θ ) 0 V etoces Dem.) Utlamos la desgualdad de Chebyshev ε > 0 : Θ es u estmador cosstete de θ. ( Θ ) Θ E θ Θ Θ Θ θ ε ECM V b ε Etoces al tomar el límte ( Θ θ ε) 0 ε lm y teedo resete que ε lm E( Θ ) θ y lm V ( Θ ) 0 lm ε > 0 es decr Θ es u estmador covergete de θ..... vemos que Ejemlo: ea ua varable aleatora que descrbe algua característca umérca de los dvduos de ua E V la eseraa oblacoal y la varaa oblacoal oblacó y sea y resectvamete. ea la eseraa muestral basada e ua muestra aleatora (... ). Etoces es u estmador cosstete de la eseraa oblacoal E abemos que E E a) V b) V. or otra arte s a) vale ara todo també vale e artcular e el límte : lm E E. La roedad a) ya me dce que es u estmador sesgado de E Además de b) deducmos medatamete que lmv. 0 or lo tato vemos que es u estmador cosstete de E.. 3

10 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 7.4 Métodos de estmacó utual Los crteros aterores establece roedades que es deseable que sea verfcadas or los estmadores. Etre dos estmadores osbles ara u dado arámetro oblacoal es raoable elegr aquél que cumle la mayor catdad de crteros o alguo e artcular que se cosdera mortate ara el roblema que se esté aalado. embargo estos crteros o os eseña or sí msmos a costrur los estmadores. Este ua sere de métodos ara costrur estmadores los cuales e geeral se basa e rcos báscos de raoabldad. Etre éstos odemos mecoar: - Método de los mometos - Método de máma verosmltud Método de los mometos e uede robar usado la desgualdad de Chebyshev el sguete resultado: Ley débl de los grades úmeros: ea (... ) varables aleatoras deedetes todas las cuales tee la msma eseraa E y varaa V. ea. Etoces ( ε) 0 lm Decmos que coverge a e robabldad y lo dcamos:. Defmos los mometos de orde k de ua varable aleatora como: k k ( ) E ( k 0... ) es dscreta k R k k ( ) f k E d ( k 0... ) es cotua y defmos los corresodetes mometos muestrales de orde k como: M k k ( k 0... ) Etoces la ley débl de los grades úmeros se uede geeralar: ( M ε) 0 lm k k ( k 0... ). De acuerdo co esto arece raoable estmar los mometos oblacoales de orde k medate los mometos muestrales de orde k: k M k ( k 0... ). 33

11 arte Estmacó utual rof. María B. tarell uogamos etoces ua varable aleatora y suogamos que la dstrbucó de deede de r arámetros θ θ... θr esto es la fd oblacoal es ( θ θ... θr) s es dscreta o f( θ θ... θ r) s es cotua. ea... r los rmeros r mometos oblacoales: k k ( ) ( θ θ θ r) E... k R k k ( ) f( θ θ θ ) E... d k y sea M k k ( ) ( k...r) ( k...r) ( k...r) r es dscreta es cotua los r rmeros mometos maestrales ara ua muestra de tamaño.... Etoces el método de los mometos cosste e latear el sstema de ecuacoes: Es decr M M M M M r M r R R R r ( θ θ... θ ) ( θ θ... θ ) ( θ θ... θ ) M r r r M M r es dscreta o f r ( θ θ... θ ) f f ( θ θ... θ ) ( θ θ... θ ) M r d d M M r r d r es cotua. 34

12 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Resolvedo estos sstema de ecuacoes ara los arámetros descoocdos θ θ... θr e fucó de la muestra aleatora (... ) obteemos los estmadores: Θ Θ Θ r H H H r (... ) (... ) M (... ) Observacó: E la forma que resetamos aquí el método ecestamos coocer la forma de la fd oblacoal or lo tato estamos frete a u caso de estmacó utual aramétrca. Ejemlos: - ea ua varable aleatora. uogamos que tee dstrbucó gama co arámetros y λ : Γ λ es decr su fd está dada or: f ( ) Γ 0 ( λ) co > 0 ; > 0 ea (... ) λ e > 0 demás valores λ y Γ( λ) λ e d. 0 ua muestra aleatora de tamaño. Deseamos calcular los estmadores de y λ dados or el método de los mometos. olucó: Como teemos dos arámetros descoocdos a estmar lateamos el sstema de ecuacoes: e uede robar que Teemos etoces el sstema de ecuacoes M M λ. λ. λ. λ. λ. λ. λ. λ. λ. 35

13 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Reemlaado e la seguda ecuacó: Y desejado λ de la rmera ecuacó y reemlaado la eresó hallada ara λ ( ) ( ) - ea (... ) ua muestra aleatora de tamaño de ua v.a. dode ~ U[ 0θ] descoocdo. Hallar el estmador de θ or el método de los mometos. olucó: lateamos la ecuacó: M 0 θ θ θ abemos que E ( ). Etoces Θ Observacó: otar que el estmador Θ es u estmador cosstete de θ ues θ E E E θ y V( Θ ) V 4V Θ 3- ea(... ) ua muestra aleatora de ua v.a. ~ N ( ). Ecuetra los estmadores de y or el método de mometos. olucó: lateamos las ecuacoes 4 ( θ 0) θ 3 0 θ M M E( ) ero e geeral es váldo que V ( ) E( ) E ( ) V ( ) Etoces las ecuacoes queda 4- ea(... ) ua muestra aleatora de ua v.a. ~ N ( 0 ). Hallar u estmador or el método de los mometos de olucó: e este caso o es coveete latear M ues quedaría 36

14 arte Estmacó utual rof. María B. tarell la ecuacó 0 que o coduce a ada. Etoces odemos latear M es decr E( ) 0 Observacó: s Θ es u estmador or el método de los mometos de u arámetro θ el estmador de los mometos de g ( θ) es g ( Θ ) s g() es ua fucó yectva. or ejemlo e el ejemlo ateror u estmador de or el método de los mometos sería. Notar que g es yectva ara los reales ostvos. Método de máma verosmltud Uo de los mejores métodos ara obteer u estmador utual de u arámetro es el método de máma verosmltud. uogamos que es ua v.a. dscreta co fucó de dstrbucó de robabldad ( θ ) dode θ es u arámetro descoocdo. ea... los valores observados de ua muestra aleatora de tamaño. e defe la fucó de verosmltud como la fucó de dstrbucó cojuta de las observacoes: L (... θ) ( ) ( )... ( ) ( θ ). ( θ )... ( θ ) Notar que la fucó de verosmltud es ua fucó de θ. El estmador de máma verosmltud de θ es aquel valor de θque mama la fucó de verosmltud La terretacó del método sería: el estmador de máma verosmltud es aquel valor del arámetro que mama la robabldad de ocurreca de los valores muestrales La adatacó ara el caso e que es ua v.a. cotua sería la sguete uogamos que es ua v.a. cotua co fucó de desdad de robabldad f ( θ ) dode θ es u arámetro descoocdo. ea... los valores observados de ua muestra aleatora de tamaño. e defe la fucó de verosmltud como la fucó de dstrbucó cojuta de las observacoes: L (... θ) f ( θ ). f ( θ )... f ( θ ) La fucó de verosmltud es ua fucó de θ. El estmador de máma verosmltud de θ es aquel valor de θque mama la fucó de verosmltud Notacó: abrevamos estmador de máma verosmltud co EMV 37

15 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Ejemlos: - ea(... ) ua muestra aleatora de ua v.a. ~ B ( ) or ejemlo se elge al aar objetos de ua líea de roduccó y cada uo se clasfca como defectuoso (e cuyo caso ) o o defectuoso (e cuyo caso 0 ). Etoces ( ) es decr es la verdadera roorcó de objetos defectuosos e la roduccó total. Queremos hallar el EMV de olucó: ~ B ( ) etoces k lateamos la fucó de verosmltud L k k ( k) ( ) k 0 (.. ; ) ( ; ) ( ; )... ( ; ) ( ) [ ][ ] [ ]... Esto uede escrbrse: ( ) L... ; ara mamar la fucó de verosmltud y facltar los cálculos tomamos el logartmo atural de L ues mamar L es equvalete a mamar l(l) y al tomar logartmos trasformamos roductos e sumas. Etoces l( L(... ; ) ) l l( ) Y ahora odemos mamar la fucó dervado e gualado a cero de dode desejado l L(... ; ) la roorcó de defectuosos e la muestra or lo tato se toma como estmador a 0 - El temo de fallar T de ua comoete tee ua dstrbucó eoecal co arámetro λ: E λ es decr la fd es T f ( t; λ ) Recordemos que la eseraa y varaa so: λt λe 0 t< 0 demás valores 38

16 arte Estmacó utual rof. María B. tarell E ( T) y V ( T) λ resectvamete. λ e desea calcular el estmador de máma verosmltud del arámetro λ ara ua muestra de tamaño. olucó: La fucó de robabldad es: λt λt L t t... t ; λ f t ; λ f t ; λ... f t ; λ λe λe... λe λt [ ] [ ] [ ] que uede escrbrse: λt L t e ( t t ; λ ) ( λ)... Nuevamete tomamos logartmo atural de dode odemos desejar λ : l L l L ( t t... t ; ) λλ l t ( t t... t ; λ) T λ λ 0 λ t etoces el estmador de λ es t λ T El método de máma verosmltud reseta alguas veces dfcultades ara mamar la fucó d de verosmltud debdo a que la ecuacó obteda a artr de ( θ ) 0 dθ L o resulta fácl de resolver. O també uede ocurrr que los métodos de cálculo ara mamar L (θ ) o so alcables. or ejemlo: ea (... ) descoocdo. Hallar el estmador de θ or el método máma verosmltud. olucó: La f.d.. de es s 0< < θ f θ 0 caso cotraro lateamos la fucó de verosmltud ua muestra aleatora de tamaño de ua v.a. dode ~ U[ 0θ] θ 39

17 arte Estmacó utual rof. María B. tarell L ( θ )... θ 0 s 0< < θ caso cotraro θ 0 s ma ( ) < θ caso cotraro d dervamos co resecto a θ obteemos θ dθ θ que es semre meor que cero. or lo tato la fucó de verosmltud es ua fucó decrecete ara todos los θ > ma( ) hacemos u gráfco de la fucó de verosmltud L (θ ) ma ( ) θ Vemos que dode la fucó tee el mámo hay ua dscotudad o evtable. Θ ma or lo tato El método de máma verosmltud uede emlearse e el caso dode hay más de u arámetro descoocdo ara estmar. E ese caso la fucó de verosmltud es ua fucó de varas varables. Esecífcamete s teemos ara estmar k arámetros θ θ... θk etoces la fucó de verosmltud es ua fucó de k varables L(... θ θ... θk) y los estmadores de máma verosmltud Θ Θ... Θ k se obtee al latear ( s este las dervadas arcales) y resolver el sstema de k ecuacoes co k cógtas θ θ... θ d L dθ (... θ θ... θ ) 0.. k k k Ejemlo: La varable aleatora tee dstrbucó N ( ) co y ambos arámetros descoocdos ara los cuales se desea ecotrar los estmadores máma verosmltud. La fd es ( ; ) f e < < π La fucó de verosmltud ara ua muestra aleatora de tamaño es 40

18 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 4... ;... π π π π e e e e L Luego l ;... l L π y el sstema de ecuacoes de verosmltud queda: 0 ;... l 0 ;... l 4 L L Resolvemos co resecto a y : Etoces los estmadores máma verosmltud de y so roedades de los estmadores máma verosmltud - Los EMV uede ser sesgados ero e geeral s Θ es el EMV de u arámetro θ basado e ua muestra de tamaño etoces θ Θ ) lm E( es decr so astótcamete sesgados - Bajo codcoes bastates geerales se uede robar que los EMV so astótcamete cosstetes 3- Bajo codcoes bastates geerales se uede robar que los EMV astótcamete tee varaa míma 4-Los EMV cumle la roedad de varaa es decr: s Θ es u EMV de u arámetro θ el EMV de θ g es Θ g s ) ( g es ua fucó yectva. Ejemlos: - cosderamos uevamete la stuacó cosderada e el Ejemlo dode teíamos ua v.a. T cuya dstrbucó es ua eoecal: T λ E etoces s queremos el EMV de la varaa

19 arte Estmacó utual rof. María B. tarell oblacoal odemos calcularlo recordado que V ( T) es decr V ( T) g( λ ) que λ T λ. or lo tato el EMV de la varaa es. T λ. Vmos λ - ea... ua muestra aleatora de ua v.a. B ( ). U EMV de es e seleccoa ua muestra aleatora de cascos ara cclstas fabrcados or certa comañía. ea : el úmero etre los que tee defectos y (el casco tee defecto). uogamos que solo se observa ( el úmero de cascos co defectos). 3 0 y 3 es la estmacó de es 0 El E.M.V. de la robabldad (-) 5 de que guo de los sguetes cco cascos que se eame tega defectos será 5 y su estmacó e este caso Itervalos de cofaa 8. Itroduccó e ha vsto como costrur a artr de ua muestra aleatora u estmador utual de u arámetro descoocdo. E esos casos ecestábamos dar alguas característcas del estmador como or ejemlo s era sesgado o su varaa. A veces resulta más coveete dar u tervalo de valores osbles del arámetro descoocdo de maera tal que dcho tervalo cotega al verdadero arámetro co determada robabldad. Esecífcamete a artr de ua muestra aleatora se costruye u tervalo ( Θ Θ ) dode los etremos Θ y Θ so dos estadístcos tal que ( ( θ Θ Θ ) dode θ es el arámetro descoocdo a estmar y es u valor real etre cero y uo dado de atemao. or ejemlo s 0.05 se quere costrur u tervalo ( Θ Θ ) tal que ( θ ( Θ Θ ) o escrto de otra forma ( Θ θ Θ ) Esta robabldad tee el sguete sgfcado: como Θ y Θ so estadístcos los valores que ellos toma varía co los valores de la muestra es decr s... so los valores meddos de la muestra etoces el estadístco Θ tomará el valor θ y el estadístco Θ tomará el valor θ. medmos uevamete la muestra obtedremos ahora valores y or lo tato Θ tomará... el valor θ y el estadístco Θ tomará el valor θ dferetes e geeral de los aterores. Esto sgfca que s medmos la muestra 00 veces obtedremos 00 valores dferetes ara Θ y Θ y or lo tato obtedremos 00 tervalos dsttos de los cuales aromadamete 5 de ellos o cotedrá al verdadero arámetro. Al valor se lo llama vel de cofaa del tervalo. També se suele defr como vel de cofaa al ( ) 00% 4

20 arte Estmacó utual rof. María B. tarell La costruccó reetda de u tervalo de cofaa ara se lustra e la sguete fgura 8. Itervalo de cofaa ara la meda de ua dstrbucó ormal varaa coocda. El método geeral ara costrur tervalos de cofaa es el sguete llamado método del vote: uogamos el sguete caso artcular sea (... ) ua muestra aleatora de tamaño de ua v.a. dode ~ N( ) coocdo se quere costrur u tervalo de cofaa ara de vel. uogamos tomamos u estmador utual de sabemos que es u estmador co bueas roedades. - a artr de costrumos el estadístco Z. Notar que Z (vote) cotee al verdadero arámetro y que bajo las codcoes dadas Z ~ N(0) 3- como coocemos la dstrbucó de Z odemos latear: hallar u úmero tal que ( Z ) or la smetría de la dstrbucó ormal estádar odemos escrbr Z Φ Φ Φ 0. Φ( ) Z or lo tato (.96.96) Desejamos : 43

21 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Etoces ; Es decr el tervalo de cofaa ara es.96 ;.96 y tee vel de cofaa 0.95 o 95%. Aquí.96 Θ y.96 Θ Reetmos el rocedmeto ateror y costrumos u tervalo de cofaa ara co vel de cofaa -artmos de la eseraa muestral ara ua muestra aleatora... de tamaño. abemos que es u estmador sesgado y cosstete de. -Costrumos el estadístco N ~ / Z (0) La varable aleatora Z cumle las codcoes ecesaras de u vote ara costrur u tervalo de cofaa al vel de cofaa - artedo del vote Z comeamos or latear la ecuacó Z - dode la cógta es el úmero real. reemlaamos la v.a. Z or su eresó teemos: / - Multlcado todos los membros de la desgualdad or - (el orde de los membros se verte) llegamos a: - Evdetemete s defmos

22 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Θ Θ hemos costrudo dos estadístcos Θ y es decr hemos costrudo el tervalo de cofaa blateral deseado [ Θ Θ ] Θ tales que ( Θ ) - Θ. Todos los elemetos que forma los estadístcos Θ y Θ so coocdos ya que el úmero verfca la ecuacó ateror es decr (ver fgura): ( Z ) Φ Φ( ) - dode Φ es la Fda ara la v.a. Z ~ N (0) Recordado que ( ) Φ Φ Φ( ) Φ( ) Φ esta ecuacó queda: - o be (ver fgura ateror) Φ o de otra forma ( Z > ). Al valor de que verfca esta ecuacó se lo suele dcar cofaa blateral al vel de sgfcacó - queda:. E cosecueca el tervalo de [ Θ Θ ] E cosecueca: (... ) ua muestra aleatora de tamaño de ua v.a. dode ~ N( ) coocdo u tervalo de cofaa ara de vel es (8.) Ejemlo: U geero cvl aala la ressteca a la comresó del cocreto. La ressteca está dstrbuda aromadamete de maera ormal co varaa 000 (s). Al tomar ua muestra aleatora de esecímees se tee que 350 s. a) Costruya u tervalo de cofaa del 95% ara la ressteca a la comresó romedo. 45

23 arte Estmacó utual rof. María B. tarell b) Costruya u tervalo de cofaa del 99% ara la ressteca a la comresó romedo. Comare el acho de este tervalo de cofaa co el acho ecotrado e el cso a). olucó: La v. a. de terés es : ressteca a la comresó del cocreto e u esécme Teemos ua muestra de esecímees. Asummos que ~ N( ) ara 3... co 000 a) Queremos u tervalo de cofaa ara de vel 95%. or lo tato El tervalo a utlar es. Buscamos e la tabla de la ormal estádar el valor de. 96 Reemlaado: b) reetmos lo ateror ero ahora 0. 0 El tervalo a utlar es. Buscamos e la tabla de la ormal estádar el valor de. 58 Reemlaado: La logtud del tervalo ecotrado e a) es: La logtud del tervalo ecotrado e b) es: Notar que la segurdad de que el verdadero arámetro se ecuetre e el tervalo hallado es mayor e el tervalo b) que e el a) ero la logtud del tervalo b) es mayor que la del tervalo a). Al aumetar el vel de cofaa se erdó recsó e la estmacó ya que a meor logtud hay mayor recsó e la estmacó. E geeral la logtud del tervalo es L Notar que: a) s y está fjos a medda que dsmuye teemos que aumeta or lo tato L aumeta. b) s y está fjos etoces a medda que aumeta teemos que L dsmuye. odemos latearos la sguete reguta relacoada co el ejemlo ateror: qué tamaño de muestra se ecesta ara que el tervalo tega vel de cofaa 99% y logtud la mtad de la logtud del tervalo hallado e a)? olucó: el tervalo hallado e a) tee logtud y queremos que el uevo tervalo tega logtud aromadamete. lateamos: 46

24 arte Estmacó utual rof. María B. tarell L Desejado : O sea hay que tomar or lo meos 84 esecímees ara que el tervalo tega la logtud edda. E geeral s queremos hallar tal que desejado estmamos utualmete al arámetro co estamos cometedo u error e la estmacó L meor o gual a que se cooce como recsó del estmador Ejemlo: e estma que el temo de reaccó a u estímulo de certo dsostvo electróco está dstrbudo ormalmete co desvacó estádar de 0.05 segudos. Cuál es el úmero de medcoes temorales que deberá hacerse ara que la cofaa de que el error de la estmacó de la eseraa o eceda de 0.0 sea del 95%? L Nos de calcular tal que < 0. 0 co or lo tato L l dode l es u valor dado etoces Además Etoces (. 96 5) O sea hay que tomar or lo meos 97 medcoes temorales. l ara muestras tomadas de ua oblacó ormal o ara muestras de tamaño 30 de ua oblacó cualquera el tervalo de cofaa dado aterormete e (8.) roorcoa bueos resultados. E el caso de que la oblacó de la que se etrae la muestra o sea ormal ero 30 el vel de cofaa del tervalo (8.) es aromadamete. ero ara muestras equeñas tomadas de oblacoes que o so ormales o se uede garatar que el vel de cofaa sea s se utla (8.). Ejemlo: uogamos que rereseta la duracó de ua ea de equo y que se robaro 00 de esas eas dado ua duracó romedo de 50. horas. e sabe que la desvacó estádar oblacoal 47

25 arte Estmacó utual rof. María B. tarell es 4 horas. e desea teer u tervalo del 95% de cofaa ara la eseraa oblacoal E. olucó: E este caso s be o coocemos cuál es la dstrbucó de teemos que el tamaño de la muestra es 00> 30 (muestra grade) or lo tato el tervalo buscado es uesto que De la tabla de la ormal estadarada obteemos Etoces reemlaado: ara el valor artcular 50. teemos el tervalo Al establecer que es u tervalo al 95% de cofaa de estamos dcedo que la robabldad de que el tervalo cotega a es O e otras alabras la robabldad de que la muestra aleatora (... ) tome valores tales que el tervalo aleatoro defa u tervalo umérco que cotega al arámetro fjo descoocdo es Itervalo de cofaa ara la meda de ua dstrbucó ormal varaa descoocda Nuevamete como se trata de ecotrar u tervalo de cofaa ara os basamos e la eseraa muestral que sabemos es u bue estmador de. ero ahora o odemos usar como vote a Z / orque descoocemos y ua codcó ara ser vote es que eceto or el arámetro a estmar ( e este caso ) todos los arámetros que aarece e él debe ser coocdos. Etoces rooemos como vote ua varable aleatora defda e forma arecda a Z ero reemlaado or u estmador adecuado. Ya vmos que la varaa muestral defda 48

26 arte Estmacó utual rof. María B. tarell dode es la eseraa muestral es u estmador sesgado de la varaa oblacoal V decr E ( ) V. Etoces estmamos co y rooemos como vote a la varable aleatora es T. / ero ara oder usar a T como vote debemos coocer su dstrbucó. e uede robar que la dstrbucó de T es ua dstrbucó llamada tudet co arámetro -. Nota: Ua v.a. cotua tee dstrbucó tudet co k grados de lbertad s su f.d.. es de la forma ( k ) Γ f < < k k πk Γ k Notacó: T ~ tk La gráfca de la f.d.. de la dstrbucó tudet tee forma de camaa como la ormal ero tede a cero más letamete. e uede robar que cuado k la fd de la tudet tede a la fd de la N (0 ). E la fgura sguete se grafca f() ara dferetes valores de k 0.4 k k k Aotaremos t k al cuatl de la tudet co k grados de lbertad que deja bajo la fd a derecha u área de y a su querda u área de. 49

27 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Luego ara costrur el tervalo de cofaa buscado a artr del vote T rocedemos como e los casos aterores: Comeamos or latear la ecuacó ( t T t) - dode la cógta es el úmero real t. reemlaamos la v.a. T or su eresó teemos sucesvamete (multlcado or / y restado ): t t t t t t - / Multlcado todos los membros de la desgualdad or - (el orde de los membros se verte) llegamos a: t t - Evdetemete s defmos Θ t hemos costrudo dos estadístcos Θ y Θ Θ tales que ( Θ ) Θ - t veamos que es el úmero t que verfca la ecuacó es decr (ver fgura): k 4 grados de lbertad t t ( t T t) F( t) F( t) - dode ( t) F es la Fda ara la v.a. T t. or la smetría de la dstrbucó t de tudet se deduce fáclmete de la fgura ateror que F t F t etoces: F F ( t) F( t) F ( t) ( t). - o be (ver fgura ateror) 50

28 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Al valor de t que verfca esta ecuacó se lo suele dcar cofaa blateral al vel de sgfcacó - queda: t. E cosecueca el tervalo de t t co E cosecueca: F t. (... ) ua muestra aleatora de tamaño de ua v.a. dode ~ N( ) descoocdo u tervalo de cofaa ara de vel es t t (8.) Ejemlo: e hcero 0 medcoes sobre la ressteca de certo to de alambre que dero valores tales que ohms y ( ).36 ohms. uógase que 9 ~N( ). e desea obteer u tervalo de cofaa ara la eseraa oblacoal al 90 %. Teemos que / De la Tabla de la t de tudet teemos que t Etoces el tervalo de cofaa buscado es: t t Esto es: [.69.7] 9. la muestra aleatora se toma de ua dstrbucó ormal es descoocdo y el tamaño de la muestra grade etoces se uede robar que al reemlaar or el estadístco! Z N( 0 ) aromadamete / y uedo costrur el tervalo ara como ates: ero su vel es aromadamete 8.3 Itervalo de cofaa ara la dfereca de dos medas varaas coocdas uogamos que teemos dos varables aleatoras deedetes ormalmete dstrbudas: 5

29 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 5 N ~ N ~ y suoemos que las varaas y so coocdas. ea además... ua muestra aleatora de tamaño de... ua muestra aleatora de tamaño de. Deseamos costrur u tervalo al vel de cofaa ara la dfereca de eseraas. Ya sabemos cuál es la dstrbucó del romedo de varables aleatoras ormales deedetes: N ~ N ~ Cosderemos ahora la dfereca Y. y tee dstrbucó ormal y so deedetes su dfereca també es ormal co eseraa gual a la dfereca de las eseraas y la varaa es la suma de las varaas: N ~. or lo tato N 0 ~ Z es decr tee dstrbucó ormal estadarada. La v.a. Z cumle co toda las codcoes ara servr de vote y costruremos uestro tervalo e forma aáloga a cómo hcmos e los casos aterores: Comeamos or latear la ecuacó Z - dode la cógta es el úmero real. Reemlaamos la v.a. Z or su eresó y teemos sucesvamete (multlcado or / y restado ):

30 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Multlcado todos los membros de la desgualdad or - (el orde de los membros se verte) llegamos a: ( ) Evdetemete s defmos Θ Θ habremos costrudo dos estadístcos Θ y Θ tales que ( ) habremos costrudo el tervalo de cofaa blateral deseado [ Â ] ( Θ ) - es decr Θ Â. Todos los elemetos que forma los estadístcos Θ y Θ so coocdos ya que el úmero verfca la ecuacó ateror es decr: ( Z ) Φ Φ( ) - dode Φ es la Fda ara la v.a. Z ~ N (0) o be segú vmos: Φ que aotamos E cosecueca el tervalo de cofaa blateral al vel de sgfcacó - queda: or lo tato y so dos varables aleatoras deedetes ormalmete dstrbudas: ~ N( ) ~ N( ) y suoemos que las varaas de vel es tervalo de cofaa ara la dfereca y so coocdas. U r (8.3) Ejemlo: e utla dos máquas ara llear botellas de lástco co detergete ara máquas lavalatos. e sabe que las desvacoes estádar de volume de lleado so 0. 0 oas de líqudo y 0.5 oas de líqudo ara las dos máquas resectvamete. e toma dos muestras aleatoras botellas de la máqua y 0 botellas de la máqua. Los volúmees romedo de lleado so oas de líqudo y oas de líqudo. 53

31 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Asumedo que ambas muestras rovee de dstrbucoes ormales Costruya u tervalo de cofaa de vel 90% ara la dfereca etre las medas del volume de lleado. olucó: Como etoces 0. 0 or lo tato O sea ; El tervalo será ( ).65 ;( ) se cooce las desvacoes estádar y los tamaños de las muestras so guales (es decr ) etoces uede determarse el tamaño requerdo de la muestra de maera tal que la logtud del tervalo sea meor que l l l ( ) L las muestras aleatoras se toma de ua dstrbucó ormal dode y so descoocdos 30 y 30 etoces se uede robar que al reemlaar or y or el estadístco ( ) N(0). aromadamete y uedo costrur el tervalo ara como ates: (8.4) ero su vel es aromadamete ara muestras tomadas de dos oblacoes ormales o ara muestras de tamaño 30 y 30 de dos oblacoes cualesquera el tervalo de cofaa dado aterormete e (8.3) roorcoa bueos resultados. E el caso de que la oblacó de la que se etrae la muestra o sea ormal ero 30 y 30 el vel de cofaa del tervalo (8.3) es aromadamete. Ejemlo: 54

32 arte Estmacó utual rof. María B. tarell De ua muestra de 50 lámaras del fabrcate A se obtuvo ua vda meda de 400 hs y ua desvacó tíca de 0 hs. Metras que de ua muestra de 00 lámaras del fabrcate B se obtuvo ua vda meda de 00 hs. y ua desvacó tíca de 80 hs. Halla los límtes de cofaa del 95% ara la dfereca las vdas medas de las oblacoes A y B. olucó: ea las varables aleatoras: : duracó e horas de ua lámara del fabrcate A : duracó e horas de ua lámara del fabrcate B No se dce cuál es la dstrbucó de estas varables ero como 50 y 00 odemos usar el tervalo dado e (8.4) Teemos que s 0 y s 80. Además Etoces el tervalo es ; ; Observacó: como este tervalo o cotee al cero odemos ferr que hay dfereca etre las medas co robabldad 0.95 es más odemos ferr que la meda del temo de duracó de las lámaras del fabrcate A es mayor que la meda del temo de duracó de las lámaras del fabrcate B co robabldad Itervalo de cofaa ara la dfereca de dos medas varaas descoocdas Nuevamete dstrbudas: ~ N ~ N ( ) ( ) suogamos que teemos dos varables aleatoras deedetes ormalmete y suoemos que las varaas y so descoocdas. ea además (... ) ua muestra aleatora de tamaño de (... ) ua muestra aleatora de tamaño de. ero ahora o o so mayores que 30 uogamos que es raoable suoer que las varaas descoocdas so guales es decr Deseamos costrur u tervalo al vel de cofaa ara la dfereca de eseraas ea y las medas muestrales y estmadores de la varaa comú estmador es y las varaas muestrales. Como y etoces costrumos u estmador combado de so los. Este ( ) ( ) 55

33 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 56 e uede comrobar que es u estmador sesgado de. e uede robar que el estadístco T r tee dstrbucó tudet co grados de lbertad or lo tato se latea la ecuacó t T t o t t r Desejamos y queda la eresó t t Etoces Ejemlo: e esa que la cocetracó del gredete actvo de u detergete líqudo ara roa es afectada or el to de catalador utlado e el roceso de fabrcacó. e sabe que la desvacó estádar de la cocetracó actva es de 3 g/l s mortar el to de catalador utlado. e reala 0 observacoes co cada catalador y se obtee los datos sguetes: Catalador : Catalador : a) Ecuetre u tervalo de cofaa del 95% ara la dfereca etre las medas de las cocetracoes actvas ara los dos cataladores. Asumr que ambas muestras fuero etraídas de oblacoes ormales co varaas guales. b) Este algua evdeca que dque que las cocetracoes actvas medas deede del catalador utlado? y so dos varables aleatoras deedetes ormalmete dstrbudas: N ~ N ~ y suoemos que las varaas y so descoocdas e guales es decr U tervalo de cofaa ara la dfereca de vel es ; t t (8.5)

34 arte Estmacó utual rof. María B. tarell olucó: ea las varables aleatoras : cocetracó del gredete actvo co catalador : cocetracó del gredete actvo co catalador Asummos que ambas varables tee dstrbucó ormal co varaas guales Estamos e3 las codcoes ara usar (8.5) Teemos que s s. 4 0 ( ) ( ) Calculamos or lo tato Buscamos e la tabla de la tudet t t Etoces el tervalo es ; [ ] 0 ; b) Este algua evdeca que dque que las cocetracoes actvas medas deede del catalador utlado ues el 0 o erteece al tervalo. E muchas ocasoes o es raoable suoer que las varaas so guales. o odemos garatar que las varaas so guales ara costrur u tervalo de cofaa de vel ara utlamos es estadístco e uede robar que dode T * ( ) * T tee aromadamete ua dstrbucó tudet co ν grados de lbertad ( ) ( ) ( ) ν s ν o es etero se toma el etero más rómo a ν or lo tato lateamos la ecuacó * t T t ν ν Y desejado el tervalo es t ν t ν 57

35 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Etoces y so dos varables aleatoras deedetes ormalmete dstrbudas: ~ N( ) ~ N( ) y suoemos que las varaas y dsttas U tervalo de cofaa ara la dfereca de vel aromadamete es t t (8.6) ν ν Dode Ejemlo: Ua muestra de 6 soldaduras de u to teía romedo de rueba fal de ressteca de 83. ks y desvacó estádar de 5.. Y ua muestra de 0 soldaduras de otro to teía ressteca romedo de 7.3 ks y desvacó estádar de 3.. suogamos que ambos cojutos de soldaduras so muestras aleatoras de oblacoes ormales. e desea ecotrar u tervalo de cofaa de 95% ara la dfereca etre las medas de las resstecas de los dos tos de soldaduras. olucó: Ambos tamaños muestrales so equeños y las muestras rovee de oblacoes ormales. No odemos asumr gualdad de varaas. Etoces alcamos (8.6) Teemos que s 5. s 3. ; 0 Como etoces Además ν ( ) 5. 6 ( ) ( 5. ) ( 3. ) Etoces buscamos e la tabla de la tudet t. 365 or lo tato el tervalo es ν ( ) ( ) ( ) so descoocdas y t ν t ν ;

36 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 8.5 Itervalo de cofaa ara ara datos areados Hasta ahora se obtuvero tervalos de cofaa ara la dfereca de medas dode se tomaba dos muestras aleatoras deedetes de dos oblacoes de terés. E ese caso se tomaba observacoes de ua oblacó y observacoes de la otra oblacó. E muchas stuacoes eermetales este solo udades eermetales dferetes y los datos está recolados or ares esto es cada udad eermetal está formada or dos observacoes. or ejemlo suogamos que se mde el temo e segudos que u dvduo tarda e hacer ua maobra de estacoameto co dos automóvles dferetes e cuato al tamaño de la llata y la relacó de vueltas del volate. Notar que cada dvduo es la udad eermetal y de esa udad eermetal se toma dos observacoes que o será deedetes. e desea obteer u tervalo de cofaa ara la dfereca etre el temo medo ara estacoar los dos automóvles. ; ;...;. E geeral suogamos que teemos los sguetes datos Las varables aleatoras y tee medas y resectvamete. ea co j.... D j j j Etoces y V E ( D j) E( j j) E( j) E( j) ( D ) V( ) V( ) V( ) Cov( ) Cov( ) j j j j j j j Estmamos E ( D j ) co D D j ( j j) j E lugar de tratar de estmar la covaraa estmamos la V ( D j ) co D ( D j D) j D y D V( D j ) Aotamos Asummos que D N( ) j ~ D D co j... Las varables aleatoras e ares dferetes so deedetes o lo so detro de u msmo ar. ara costrur el tervalo de cofaa otar que j T D D t D / etoces al latear la ecuacó ( t T t) - deducmos que t t or lo tato el tervalo de cofaa ara D de vel se obtedrá al susttur T e la ecuacó ateror y desejar D El tervalo resultate es D D D t ; D t Etoces 59

37 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Ejemlo: Cosderamos el ejemlo lateado al comeo. Deseamos u tervalo de vel 0.90 ea las varables aleatoras : temo e segudos que tarda el dvduo j e estacoar automóvl co j... j : temo e segudos que tarda el dvduo j e estacoar automóvl co j... j Medmos estas varables de maera que teemos las sguetes observacoes Automóvl Automóvl dfereca sujeto (observacó j ) (observacó j ) D j A artr de la columa de dferecas observadas se calcula D. y. 68 Además t t etoces el tervalo ara la dfereca D de vel 0.90 es Cuado las observacoes se da de a ares ( )( ; ) ;...;( ) so tales que D N( ) ara j... D j j j j ~ D D vel ara D es D D D t ; D t (8.7) ; ; y las dferecas u tervalo de cofaa de D 8.6 Itervalo de cofaa ara la varaa de ua dstrbucó ormal uogamos que se quere hallar u tervalo de cofaa ara la varaa de ua dstrbucó ormal. ea (... ) ua muestra aleatora de ua v.a. dode ~ N( ). 60

38 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Tomamos como estmador utual de a Luego a artr de este estmador utual costrumos el estadístco Este estadístco cotee al arámetro descoocdo a estmar y tee ua dstrbucó coocda se uede robar que tee ua dstrbucó llamada j-cuadrado co - grados de lbertad Observacó: es ua v.a. cotua se dce que tee dstrbucó j-cuadrado co k grados de lbertad s su f.d.. es f ) ( k ) k Γ ( e k > 0 k Notacó: ~ χ La dstrbucó j-cuadrdo es asmétrca. E la fgura sguete se grafca la desdad ara dferetes valores de k k k 5 k Aotaremos χ k al cuatl de la j-cuadrado co k grados de lbertad que deja bajo la fd a derecha u área de y a su querda u área de. roedades: - e uede robar que s... so varables aleatoras deedetes co dstrbucó N (0) etoces Z... tee dstrbucó j-cuadrado co grados de lbertad so varables aleatoras deedetes tal que tee dstrbucó j-cuadrado co k grados de lbertad etoces Z... tee dstrbucó j-cuadrado co k grados de lbertad dode k k k k ~ χ k etoces ara k grade ~ N k aromadamete. ara desarrollar el tervalo de cofaa lateamos hallar dos úmeros a y b tales que a b es decr a b 6

39 arte Estmacó utual rof. María B. tarell 6 e uede robar que la mejor eleccó de a y b es: a χ y b χ or lo tato χ χ y desejado se llega a χ χ Etoces Observacó: u tervalo de cofaa ara de vel es ; χ χ Ejemlo: U fabrcate de detergete líqudo está teresado e la uformdad de la máqua utlada ara llear las botellas. De maera esecífca es deseable que la desvacó estádar del roceso de lleado sea meor que 0.5 oas de líqudo; de otro modo este u orcetaje mayor del deseable de botellas co u cotedo meor de detergete. uogamos que la dstrbucó del volume de lleado es aromadamete ormal. Al tomar ua muestra aleatora de 0 botellas se obtee ua... es ua muestra aleatora de ua v.a. dode ) ( ~ N u tervalo de cofaa ara de vel es ; χ χ (8.8) χ χ 5 k

40 arte Estmacó utual rof. María B. tarell varaa muestral Hallar u tervalo de cofaa de vel 0.95 ara la verdadera varaa del volume de lleado. olucó: La v.a. de terés es : volume de lleado de ua botella e asume que ~ N( ) co descoocdo. Estamos e las codcoes ara alcar (8.8) Teemos que χ χ 8. 9 y χ Además or lo tato el tervalo es ( 0) ( 0) ; χ χ ; Y u tervalo ara es ( ; 0.036) ( 0.09; 0.805) χ ( ; 0.036) or lo tato co u vel de 0.95 los datos o aoya la afrmacó que < Itervalo de cofaa ara el cocete de varaas de dos dstrbucoes ormales uogamos que se tee dos oblacoes ormales e deedetes co varaas descoocdas y resectvamete. e desea ecotrar u tervalo de vel ara el cocete de las dos varaas. e toma ua muestra aleatora de tamaño de ua de las oblacoes y ua muestra de tamaño de la otra oblacó. ea y las dos varaas muestrales. Cosderamos el estadístco F Notar que F cotee al arámetro de terés ues F e uede robar que F tee ua dstrbucó llamada Fsher co y grados de lbertad. 63

41 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Observacó: ea ua varable aleatora cotua se dce que tee dstrbucó Fsher co u grados de lbertad e el umerador y v grados de lbertad e el deomador s su fd es de la forma f u v u Γ v u u u v u v u Γ Γ v 0< < E artcular s W e Y so varables aleatoras deedetes j-cuadrado co u y v grados de lbertad resectvamete etoces el cocete W F u Y v Tee ua dstrbucó Fsher co u grados de lbertad e el umerador y v grados de lbertad e el deomador. Notacó: ~ F F u v La gráfca de ua dstrbucó Fsher es smlar a la de ua j-cuadrado es asmétrca. Aotamos f al cuatl que deja a su derecha u área de bajo la curva de desdad. u v u 5 ; v 0 f u v Este la sguete relacó etre los cuatles de ua F y de ua u v F v u f u v f v u lateamos la sguete ecuacó ( a F b) y b es: a f y b f y se ede robar que la mejor eleccó de a 64

42 arte Estmacó utual rof. María B. tarell u 5 ; v 0 f f Etoces f f Desejado el cocete queda : f or lo tato f se tee dos oblacoes ormales e deedetes co varaas descoocdas y resectvamete etoces u tervalo de vel ara el cocete de las dos varaas es Ejemlo: Ua comañía fabrca roulsores ara uso e motores de turba. Ua de las oeracoes cosste e esmerlar el termado de ua suerfce artcular co ua aleacó de ttao. uede emlearse dos rocesos de esmerlado y ambos uede roducr artes que tee la msma rugosdad suerfcal romedo. Iteresaría seleccoar el roceso que tega la meor varabldad e la rugosdad de la suerfce. ara esto se toma ua muestra de artes del rmer roceso la cual tee ua desvacó estádar muestral 5. mcroulgadas y ua muestra aleatora de 5 artes del segudo roceso la cual tee ua desvacó estádar muestral 4. 7 mcroulgadas. e desea ecotrar u tervalo de cofaa de vel 90% ara el cocete de las dos varaas. uoer que los dos rocesos so deedetes y que la rugosdad de la suerfce está dstrbuda de maera ormal. olucó: Estamos e las codcoes ara alcar (8.9) f ; f (8.9) 65

43 arte Estmacó utual rof. María B. tarell Buscamos e la tabla de la Fsher f f f.58 y f f Etoces el tervalo es ; [ 0.46; 3.3] Como este tervalo cluye al o odemos afrmar que las desvacoes estádar de los dos rocesos sea dferetes co ua cofaa de 90%. 8.8 Itervalo de cofaa ara ua roorcó ea ua oblacó de tamaño N (evetualmete uede ser fto) de cuyos dvduos os teresa certa roedad A. uogamos que la robabldad de que u dvduo de la oblacó verfque A es ( A).El sgfcado del arámetro es e cosecueca el de roorcó de dvduos de la oblacó que verfca la roedad A. odemos defr ua varable aleatora que mde a los dvduos de la oblacó la ocurreca o o de la roedad A. La varable aleatora tedrá la dstrbucó: ( ) ( 0) ( 0) es decr es ua v.a. que toma sólo dos valores: (s el dvduo verfca A) co robabldad y 0 (cuado o verfca A) co robabldad -. Esto es equvalete a decr que tee ua dstrbucó bomal co arámetros y : ~ B(). uogamos que cosderamos ua muestra aleatora (... ) de tamaño. formamos el estadístco... es evdete que esta v.a. mde el úmero de dvduos de la muestra de tamaño que verfca la roedad A. or lo tato or su sgfcado es ua v.a. cuya dstrbucó es bomal co arámetros y : ~B(). De acuerdo co esto la varable aleatora defda: rereseta la roorcó de dvduos de la muestra que verfca la roedad A. Observemos que sedo ~ B() es E( ). Y dado que ~B() també es ( ) E E E ues. es decr es u estmador sesgado de. Esto es de eserar ero además es fácl ver que es estmador cosstete de. E efecto teemos que ero també es E ( ) 66