ANÁLISIS MATEMÁTICO I Licenciatura de Matemáticas. Curso 2004/2005. Grupo B

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Licencitur de Mtemátics. Curso 24/25. Grupo B Prof. Rento Álvrez Nodrse Deprtmento de Análisis Mtemático Fcultd de Mtemátics (despcho: Módulo 5, er piso, 5-6) WWW: Índice I Breve resumen de l teorí. Definiciones y teorems principles II Colección de problems 8. Cálculo de Primitivs 8 2. Integrl definid 9 3. Aplicciones de l integrl. 4. Integrles impropis 6 5. Series númerics 7 6. Sucesiones y series de funciones Series de potencis y funciones nlítics 2 8. Problems complementrios 23 III Bibliogrfí 26

2 2 Licencitur en Mtemátics Análisis Mtemático I. Progrm. Introducción los números complejos 2. Cálculo de primitivs: métodos de integrción 3. Introducción l integrción: integrl de Riemnn 4. Integrles impropis 5. Aplicciones de l integrl 6. Series de números 7. Sucesiones y series de funciones 8. Series de potencis y funciones nlítics Símbolos. Ddo un conjunto A, si el elemento es miembro del conjunto A, diremos que pertenece A y lo denotremos por A. Si no pertenece A lo denotremos por / A. Si un condición se cumple pr culquier se el elemento de A lo denotremos por A, donde signific pr todo. Si existe un vlor del conjunto A pr el cul se cumple determind condición cond escribimos A tl que se cumple cond, donde signific existe. Si existe un sólo elemento del conjunto que cumpl con l condición cond (el elemento es único) se escribe!. Pr los intervlos usremos l notción común: [, b] denot un intervlo cerrdo y cotdo. (, b) denot un intervlo bierto [, b) y (, b] denotn intervlos cerrdo por l izquierd y bierto por l derech y bierto por l izquierd y cerrdo por l derech respectivmente. Otros símbolos son: Supongmos se denot por. Implic se denot por = o. si y sólo si (implicción en mbos sentidos) o. L unión de dos conjuntos A y B que es el conjunto C de elementos que o pertenecen A o pertenecen B lo denotremos por C = A B. L intersección de dos conjuntos A y B que es el conjunto C de elementos que pertenecen A y pertenecen B l mismo tiempo lo denotremos por C = A B.

3 Prte I Breve resumen de l teorí. Definiciones y teorems principles Definición L división del intervlo [, b] en n subintervlos definidos por los puntos {, x, x 2,..., x n, b} de form que se teng: [, b] = [, x ] [x, x 2 ] [x n 2, x n ] [x n, b], se denomin prtición del intervlo [, b]. Denotremos ls prticiones por P n, donde n indic el número de subintervlos utilizdos. Definición 2 Se f(x) : [, b] R. Se P n un prtición de [, b] y ξ k [x k, x k ] un número culquier del intervlo [x k, x k ]. Se λ(p ) = máx{ x k x k }. Diremos que un función es integrble según Riemnn en [, b] y diremos que el número I es su integrl de Riemnn en [, b] si pr todo ɛ >, existe un δ > tl que, pr culquier prtición P n con λ(p ) < δ se cumple que n I f(ξ k )(x k x k ) < ɛ, o, equivlentemente, si existe el límite A l sum lím λ(p ) n f(ξ k )(x k x k ) = I. n f(ξ k )(x k x k ) se le denomin sum integrl socid l prtición P n y los números {ξ, ξ 2,..., ξ n }. Definición 3 L sum s f (P N ) = n m k (x k x k ), m k = inf f(x), (.) x [x k,x k ] se denomin sum inferior socid l prtición P n = {, x, x 2,..., x n, b}. Definición 4 L sum S f (P N ) = n M k (x k x k ), M k = sup f(x), (.2) x [x k,x k ] se denomin sum superior socid l prtición P n = {, x, x 2,..., x n, b}. L siguiente definción de integrl Riemnn es equivlente l nterior: Definición 5 El único número I tl que pr culquier se l prtición P n de [, b] cumple con s f = n m k (x k x k ) I n M k (x k x k ) = S f se denomin integrl definid de f(x) en [, b] y se denot por llm integrl Riemnn de f(x) en [, b]. f(x) dx y l número I se le

4 2 Teorem (Condición necesri de integrbilidd) Pr que un función f(x) : [, b] R se integrble es necesrio que esté cotd. Teorem 2 (Teorem de Drboux) Pr que un función cotd f(x) : [, b] R se integrble es necesrio y suficiente que l integrl superior de Drboux I = inf S(P ) y l integrl inferior de Drboux I = sup s(p ) P P coincidn, donde el inf y sup se tomn sobre el conjunto de tods ls prticiones de [, b]. Teorem 3 (Criterio de Riemnn de integrbilidd) Pr que un función cotd f(x) : [, b] R se integrble es necesrio y suficiente que pr todo ɛ >, exist un prtición P n de [, b] tl que n S(P ) s(p ) = ω(f, [x k, x k ])(x k x k ) < ɛ, donde ω(f, [x k, x k ]) [ sup f(x ) f(y ) ]. x,y [x k,x k ] Teorem 4 (Criterio de Du Bois-Reymond) Se f : [, b] R cotd en [, b] cuyos puntos de discontinuidd sen tles que se puedn recubrir por un número finito de intervlos cuy longitud totl se tn pequeñ como se quier. Entonces f es integrble en [, b]. Observción: Como consecuenci de este teorem se tiene que tod función cotd y continu trozos (y en prticulr tod función continu) con un número finito de discontinuiddes es integrble. Teorem 5 (Teorem de monotoní y cotción de l integrl) Sen f, g dos funciones integrbles en [, b]. Entonces se cumple que: ) Si f(x) g(x) pr todo x [, b], entonces b) Existen dos constntes m y M tles que m(b ) f(x)dx g(x)dx. f(x)dx M(b ) Teorem 6 (Primer teorem del vlor medio integrl.) Se f : [, b] R y g : [, b] [, + ) integrbles en [, b] y sen m = sup f(x). Entonces existe un µ [m, M] tl que x [,b] f(x)g(x) dx = µ Además, si f es continu en [, b] entonces existirá un ξ [, b] tl que f(x)g(x) dx = f(ξ) inf f(x) y M = x [,b] g(x) dx. (.3) g(x) dx. (.4) Observción: Nótese que en el cso g(x) =, se obtiene el clásico Teorem del vlor medio integrl. Teorem 7 (Segundo teorem del vlor medio integrl o Fórmul de Bonnet.) Se f : [, b] R integrble en [, b], g : [, b] R un función monóton no decreciente y no negtiv en [, b]. Entonces existe un ξ [, b] tl que ξ f(x)g(x) dx = g() f(x) dx + g(b) f(x) dx. (.5) ξ

5 3 Teorem 8 (Teorem fundmentl del cálculo y Fórmul de Newton-Leibniz.) Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces f tiene primitiv en [, b] y un de ells es l función F (x) = Además, f(x) es integrble en [, b] y x c f(x) dx = Φ(x) siendo Φ(x) un primitiv culquier de f(x). f(t) dt, c (, b). (.6) b = Φ(b) Φ(), (.7) Teorem 9 (Formul de Tylor en con el resto en form integrl) Supongmos que l función f(x) es (n + ) veces derivble y cuys derivds hst orden n + son continus en el intervlo [, x] y se P n (x, ) el polinomio de Tylor de grdo n de l función f(x) definido por P n (x, ) = f (n) () (x ) n + f (n ) () n! (n )! (x )n + f ()(x ) + f() = n k= f (k) () (x ) k. k! Entonces, f(x) = P n (x, ) + n! x f (n+) (t)(x t) n dt. Definición 6 Se un función f(x) integrble Riemnn en culquier intervlo [, t] [, b). Si existe el límite lím t b diremos que existe l integrl impropi l = t f(x) dx = l < f(x) dx en [, b) que converge l y escribiremos f(x) dx = lím t b t f(x) dx. Si no existe el l nterior diremos que l integrl impropi f(x) dx diverge. Análogmente se pueden definir ls integrles impropis en (, ]. Definición 7 Se f(x) un función integrble en culquier intervlo [, t] [, b), b < +. Si existe el límite lím t b t f(x) dx = l < diremos que existe l integrl impropi de segund especie y escribiremos l = f(x) dx = lím t b t Si no existe el l nterior diremos que l integrl impropi f(x) dx. f(x) dx en [, b) que converge l f(x) dx diverge. Observción: Obvimente mbs definiciones se pueden unificr en un únic

6 4 Definición 8 Se un función f(x) integrble Riemnn en culquier intervlo [, t] [, b). Si existe el límite diremos que existe l integrl impropi l = lím t b f(x) dx = l < f(x) dx en [, b) que converge l y escribiremos f(x) dx = lím t b t Si no existe el l nterior diremos que l integrl impropi f(x) dx. f(x) dx diverge. Teorem (Criterio de comprción pr ls integrles impropis.) Sen f(x) y g(x) dos funciones integrbles en culquier intervlo [, t] [, b) tles que x [, b), f(x) g(x). Entonces si l integrl f(x) dx es divergente, entonces g(x) dx es convergente, l integrl g(x) dx tmbién será divergente. f(x) dx tmbién lo es, y si Teorem (Criterio de Abel-Dirichlet pr ls integrles impropis.) Sen f(x) y g(x) dos funciones integrbles en culquier intervlo [, t] [, b) y se g un función monóton. Entonces, pr que l integrl impropi que se cumpln culquier de ls dos siguientes pres de condiciones: ) b) t f(x)dx converj y g cotd en [, b), o f(x)g(x) dx converj es suficiente f(x)dx este cotd pr todo t [, b) y g(x) converj cero cundo x b. Definición 9 L expresión k = k + se denomin serie infinit o serie de números reles y los números, 2,..., elementos de l serie. Ls sums n s n = n = n, se denominn sums prciles de l serie. Definición Diremos que l serie k converge s, si l sucesión de sums prciles {s n } tiene límite s y dicho número le denominremos sum de l serie. Si, por el contrrio, l sucesión de sums prciles no tiene límite, entonces diremos que l serie diverge. Definición Diremos que un serie k es convergente, es decir, si k es bsolutmente convergente si k < +. Si l serie k es convergente pero no bsolutmente, entonces diremos que l serie es condicionlmente convergente. Nótese que l sucesión de sums prciles es un sucesión monóton, luego si demás le exigimos que esté cotd, entonces existirá el límite que es precismente l sum de l serie.

7 5 Es evidente que si un serie es bsolutmente convergente, entonces es convergente. Teorem 2 (Criterio de Comprción pr series númerics) Sen k y b k dos series de términos positivos. Si existe un N N tl que pr todo n > N, n b n, entonces:. Si 2. Si b k < +, entonces k < + k = +, entonces b k = + Un corolrio inmedito del teorem nterior es que si lím = L, entonces mbs b n series k y b k tienen el mismo crácter convergente o divergente. En el cso cundo n n L =, esto no es cierto en generl. En este cso sólo se puede concluir lo mismo que en teorem de comprción (este corolrio sigue siendo válido sólo pr series de términos positivos). Teorem 3 (Criterio del cociente de D Alembert) n+ Se k un serie de términos positivos tl que lím = q. Entonces, n n. Si q <, l serie 2. Si q >, l serie 3. Si q =, l serie k es convergente k es divergente. k puede ser convergente o divergente. Teorem 4 (Criterio de l ríz de Cuchy) Se k un serie de términos positivos tl que lím n n = q. Entonces, n. Si q <, l serie 2. Si q >, l serie 3. Si q =, l serie k es convergente k es divergente. k puede ser convergente o divergente. Teorem 5 (Teorem de reordención de Riemnn) Tod serie condicionlmente convergente se puede reordenr de tl form que sume culquier vlor rel prefijdo de ntemno. Definición 2 Se (f n ) n= un sucesión de funciones f n(x) definids en A R pr todo n N. Diremos que l sucesión de funciones converge puntulmente en x A, si l sucesión f n (x ) converge. Diremos demás que (f n ) n= converge puntulmente en todo un conjunto I A si (f n ) n= converge pr todo x I.

8 6 Obvimente, por l unicidd del límite de un sucesión númeric, tenemos que si f n (x) converge en un intervlo I, entonces existe pr cd x de I un único vlor f(x) l cul tiende l sucesión de funciones, por tnto podemos definir l función límite de f n (x) como quell función que cd x de I le hce corresponder dicho límite. Al myor intervlo I A donde converge f n (x) se le llm región de convergenci de l sucesión. Así, podemos dr l siguiente definición: Definición 3 Diremos que un sucesión de funciones (f n ) n= conjunto I R l función f(x), si converge puntulmente en un x I, y ɛ >, N N, tl que n > N, f n (x) f(x) < ɛ. Definición 4 Diremos que un sucesión de funciones (f n ) n= conjunto I R l función f(x), si converge uniformemente en un ɛ >, N N, tl que n > N, y x I, f n (x) f(x) < ɛ. Nótese que en el cso de l convergenci uniforme l N sólo depende de ɛ mientrs que en el de l puntul puede depender tmbién del punto x donde se esté clculndo el límite. Teorem 6 (Condición necesri y suficiente de convergenci uniforme pr un sucesión de funciones) Pr que un sucesión de funciones (f n ) n= converj uniformemente un función f en un intervlo I R es necesrio y suficiente que lím f n (x) f(x) =. sup n x I Teorem 7 (Criterio de Cuchy pr l convergenci uniforme de un sucesión de funciones) Un sucesión de funciones (f n ) n= es uniformemente convergente en I R si y sólo si ε >, N N tl que n > N, p N, x I, se tiene que f n+p (x) f n (x) < ε. Teorem 8 (Criterio de Weierstrss pr l convergenci uniforme de un serie de funciones) Se (f n ) n= un sucesión de funciones definids en I R, y ( n) n= un sucesión de números reles no negtivos, tles que f n (x) n pr todo n N y x I y cuy serie n es convergente. Entonces l serie de funciones n= f n (x) es uniformemente convergente n I. n= Teorem 9 (Criterio de Abel-Dirichlet pr series de funciones) Se l serie de funciones k (x)b k (x) siendo n+ (x) un sucesión monóton pr cd x I R. Pr que dich serie se uniformemente convergente en I es suficiente que se cumpln culquier de los dos pres de condiciones siguientes:. L sucesión de sums prciles s n (x) = n k (x) se cotd y n (x) converj uniformemente cero, ó 2. L serie k (x) converj uniformemente en I y n (x) esté cotd en I. Teorem 2 (Sobre l continuidd de un sucesión de funciones) Se (f n ) n= un sucesión de funciones definids en I R. Si f n es continu en I pr todo n N, y f n converge uniformemente f en I entonces f es continu en I.

9 7 Teorem 2 (Sobre l integrbilidd de un sucesión de funciones) Se (f n ) n= un sucesión de funciones definids en [, b] R e integrbles en [, b] y se f n uniformemente convergente f en [, b]. Entonces lím n f n (x)dx = [ lím n f n(x)]dx = f(x)dx. Teorem 22 (Sobre l derivbilidd de un sucesión de funciones) Se (f n ) n= un sucesión de funciones definids en I R y derivbles en I tles que pr cierto x I se tiene lím f n(x ) = l y demás l sucesión de funciones (f n n ) n= converj uniformemente g en I. Entonces l sucesión (f n ) n= converge uniformemente ciert función f en I y demás f (x) = g(x) pr todo x I. Teorem 23 (Primer Teorem de Abel pr ls series de potencis) Se l serie de potencis n z n, n, z C. Si l serie converge pr cierto w C, entonces k= l serie converge bsolutmente pr todo z C con z < w. Observción: L región de convergenci de un serie de potencis siempre son círculos en el plno complejo. Teorem 24 (Fórmul de Cuchy-Hdmrd) Dd un serie de potencis n z n, su rdio de convergenci R viene ddo por l fórmul R = lím n n n. k= Teorem 25 (Sobre l convergenci uniforme de un serie de potencis) Se l serie de potencis n x n, n, z C con rdio de convergenci R >. Entonces l serie k= converge uniformemente en culquier región del plno complejo contenid en z r < R. Teorem 26 (Derivción e integrción término término de un serie de potencis rel) Se l serie de potencis f(x) = n x n, n, x R con rdio de convergenci R >. Entonces k=. f(x) es continu en ( R, R) 2. L serie se puede integrr término término y l serie resultnte tiene el mismo rdio de convergenci, o se, se cumple que x n x n = k= k= n n + xn+. 3. L serie se puede derivr término término y l serie resultnte tiene el mismo rdio de convergenci, o se, se cumple que ( ) n x n = n n x n. k= Teorem 27 (Condición necesri y suficiente de nliticidd) Pr que un función f(x) infinitmente derivble en x = y todo su entorno se nlític es n f (k) () necesrio y suficiente que el resto de Tylor de l función R n (x) = f(x) (x ) k, k! k= tiend cero pr todo x de dicho entorno. k=

10 8 Prte II Colección de problems. Cálculo de Primitivs Problem. Clculr ls siguientes primitivs dx i) (x + )(x + b), ii) x x 2 3x + 2 dx iv) vii) x (x )(x 2 dx, v) + ) dx cos x + b sen x viii) x (x )(x 2 dx vi) + ) 2 sen 3 x cos 4 x dx ix) iii) x (x ) 3 (x 2) 2 dx x 5 + 3x 4 + x 2 3x + 5 x 2 dx + 3x + 2 cos 5 x dx x) tn 5 x dx xi) (x ) 2 + dx xii) 4 x 2 dx xiii) x 2 25 dx Problem.2 Clculr ls siguientes primitivs dx i) (2 + x) dx ii) + x x iv) x 2 log x dx v) sen 3 x cos 2 x dx iii) vi) exp x sen 2x dx cos 4 x dx vii) x) xiii) tg 4 x dx cos 2 (log x) dx dx exp 2x viii) xi) xiv) sec 3 x dx dx x 2 x 2 exp 4x exp 2x +2 exp x +2 dx ix) xii) xv) dx sen x x + x 2 dx x 5 2x 3 x 4 2x 2 + dx. Problem.3 Clculr l primitiv, pr x [, ], de ls siguientes funciones: i) f(x) = x { x < 2, ii) g(x) =. x + x

11 9 2. Integrl definid Problem 2. Estudir si ls siguientes funciones son integrbles Riemnn en [, b]: {, x Q f(x) =, x R\Q, f(x) = const, f(x) = x 2 2. Problem 2.2 Se f(x) = si x Q, f(x) = x si x Q. Demostrr que f no es integrble Riemnn en el intervlo [, ]. Clculr ls integrles superior e inferior. Problem 2.3 Clculr x dx y prticiones regulres del intervlo [, b]. x 2 dx medinte sums superiores e inferiores socids Problem 2.4 Pruebe que tod función cotd y continu en [, b] excepto en un número finito de puntos de [, b] es integrble. El recíproco de est firmción no es cierto. De ejemplo de funciones integrbles en [, b] con infinitos puntos de discontinuidd en [, b]. Problem 2.5 Sen f, g dos funciones definids en [, b] R.. Prueb que si f y g difieren en un número finito de puntos entonces, f es integrble si y sólo si g es integrble y demás f(x)dx = g(x)dx. 2. Prueb que si f, g R [,b], entonces mín(f, g) R [,b] y máx(f, g) R [,b]. 3. Se f : [, b] R continu verificndo f(t) pr todo t [, b]. Demostrr que si f(t)dt =, entonces f(t) = pr todo t [, b]. Problem 2.6 Clculr los siguientes límites sociándolos lgun integrl definid: [ ] i) lím n n n n n n n 2 +n 2 [ ] ii) lím n n+ + n n+n iii) lím n v) lím n n exp 2 + n exp n exp 2n n ( + 2k n n. ) n Problem 2.7 Clculr ls integrles definids siguientes, cmbindo los límites de integrción si se reliz lgún cmbio de vrible: log 2 2 x i) exp x dx, ii) 2 dx. x Problem 2.8 Hllr 2 2e 2x e x e 2x + 4 dx y π/2 Problem 2.9 Demostrr ls siguientes firmciones: i) f(x) dx = +c +c cos x 3 + cos 2 x dx. f(x c) dx ii) iii) iv) f(x) dx = f( + b x) dx f(x) dx f(x) dx dx b x + dx b x = dx x.

12 Problem 2. Derivr ls siguientes funciones: i) F (x) = x 3 x 2 exp t dt, ii) F (x) = t R x 2 exp tg t dt ds log s iii) F (x) = x x 2 f(t) dt, con f continu. Problem 2. Clculr el punto donde l siguiente función lcnz su máximo: Problem 2.2 f(x) = x ( exp t2 exp 2t) dt.. Enúnciese el Teorem Fundmentl del Cálculo. Aplicr este Teorem pr encontrr l derivd de l función 2. Hllr lím x x 3/2 F (x). F (x) = x 2 sen t /4 dt. Problem 2.3 Se l función F (x) = x t e t4 dt.. Hllr un mínimo locl de F. Es un mínimo bsoluto de F? 2. Hllr F (x) lím x x 2. Problem 2.4 Clculr l rect tngente l curv y = 3π x 2 tg(t 2 ) dt en el punto x = 4 3π. Problem 2.5 Clculr el siguiente límite: Problem 2.6 Se l función lím x F (x) = x expt2 dt x x 3. x t 2 cos(t 2 ) dt.. Hllr su polinomio de Tylor de orden 3 en el punto. 2. Hllr F (x) lím x x 3.

13 3. Aplicciones de l integrl. Problem 3. Clculr el áre encerrd entre ls curvs dds: i) y = x 2, y = x; ii) y = x +x, y = 2 x +x, y =, y = ; iii) x 2 + y 2 =, (x ) 2 + y 2 =, iv) f(x) = x 3 + 2x 2 5x y g(x) = 2x 2 + 4x. Problem 3.2 Se un función continu en [, b].. Probr que el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene l girr l figur Φ definid por l gráfic de f y ls rects x =, x = b e y = lrededor del eje x (ver figur () se expres como V x = π f 2 (x)dx Cuerpo de Revolucion f[b] y f[] z b x x Figur : Volumen de un cuerpo de revolución. 2. Probr que si f(x), entonces el volumen l girr Φ lrededor del eje y se expres medinte l fórmul V y = 2π xf(x)dx 3. Encuentre un expresión pr el cso cundo l curv viene dd en form prmétric. Problem 3.3 Clculr el volumen generdo l girr el conjunto ddo en el plno lrededor del eje horizontl: i) y x + sen x, x 2π; ii) x 2 + (y 2) 2 2 ; iii) r 2 x 2 + y 2 4r 2, y ; iv) 4x 2 + y 4 =, (elipse). Problem 3.4 Clculr el volumen del cuerpo de revolución generdo l girr ls siguientes curvs respecto l eje x y l eje y respectivmente.. f(x) = sen x, x π y en x 2π. 2. Un elipse x2 2 + y2 b 2 =.

14 2 3. L cicloide x(t) = (t sen t), y(t) = ( cos t), t 2π. 4. L stroide x(t) = cos 3 (t), y(t) = sen 3 t, t 2π. 5. L región comprendid entre ls curvs x 2 + y 2 = y (x ) 2 + y 2 =. Problem 3.5 Se un función continu en [, b].. Probr que el áre de l superficie del cuerpo de revolución que se obtiene l girr l figur Φ definid por l gráfic de f y ls rects x =, x = b e y = lrededor del eje x (ver figur () se expres como S = 2π f(x) β + [f (x)] 2 dx o S = 2π y(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. α 2. Que ocurrirá l girr respecto l eje y? 3. Clculr el áre de l superficies de los cuerpos de revolución definidos en el problem 3.4 Problem 3.6 Demostrr que l longitud de un curv se expres medinte ls expresiones: l = + [f (x)] 2 dx o l = β α [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. Problem 3.7 Clculr l longitud de los trmos de curv siguientes: i) y = log sec x, x π/3; ii) y = exp x/2 + exp x/2, x 2; iii) y = (4 x 2/3 ) 3/2, 8 x 8; iv) f(x) = αx 2, x ; v) L cicloide (ver problem 3.4) pr t 2π; vi) L stroide (ver problem 3.4) pr t 2π. Aplicciones problems físicos y geométricos sencillos Problem 3.8 Encontrr un fmili de curvs y(x) tl que el segmento de l tngente t l curv y en un punto culquier P (x, y) dibujdo entre P y el eje y quede bisecdo por el eje Ox. y = 2y/x Problem 3.9 Encontrr un fmili de curvs y(x) tl que l pendiente de l tngente t l curv y en cd punto se l sum de ls coordends del punto. Encuentr demás l curv que ps por el origen. Problem 3. Se sbe que l intensidd i del circuito eléctrico representdo en l figur 2 está gobernd por l ecución diferencil L di + Ri = U, dt donde L es l impednci, R l resistenci y U el voltje. Supongmos que el voltje U es constnte y que i() = i. Encontrr l dependenci de i respecto l tiempo t. Relizr el mismo estudio si U = U sen(ωt).

15 3 y t y(x) P(x,y) R (x/2,) x U L Q Figur 2: Curv del ejemplo 3.8 (derech) y circuito eléctrico del ejemplo 3. (izquierd) Problem 3. L ecución brométric de Pscl es l EDO p (h) = λp(h), λ >, donde p es l presión en función de l ltur h. Si h =, l presión l nivel del mr ( tm). Cómo vrí l presión con l ltur? Si λ,27 26 cm, clcul l presión en l cim de ls sierrs de l tbl djunt. Sierr ltur máxim (metros) presión (tm) Grzlem (Cádiz) Picos de Europ (Cntbri) Sierr Nevd (Grnd) Teide (tenerife) Everest (Himly) Problem 3.2 L descomposición rdioctiv Si N es el número de átomos de un substnci rdioctiv, entonces N(t + h) N(t) N(t + h) N(t) = λn(t)h = λn(t). h Si h, entonces podemos proximr l ecución nterior medinte l siguiente EDO N (t) = λn(t), N(t ) = N. (3.) Resuelve l EDO nterior. Se llm período de semi-desintegrción T l tiempo necesrio pr disminuir en l mitd el número de átomos. Prueb que λ = log 2 T =, T En muchos csos un elemento rdioctivo puede obtenerse prtir de otros medinte un cden rdioctiv. E.g.

16 4 Elemento Período T λ Rdio 226 Plomo 24 6 ños /ños Plomo 24 Plomo 2 47 min /min Plomo 2 Polonio 2 22 ños.3567 /ños Polonio 2 Plomo dís.5228 /dis Crbono 4 Nitrógeno ños /ños Urnio 238 Torio 234 4,5 9 ños,52 /ños Urnio 238 Torio 234 Urnio 234 Rdio 226 Plomo 26 Polonio 2 Plomo 2 Plomo 24 Así, por ejemplo, si estudimos l cntidd de Plomo 2 que hy en un muestr tenemos que tener en cuent no sólo l cntidd que se desintegr sino l que port culquier de los elementos que precen por encim de él en l cden rdioctiv. Por ejemplo, prácticmente en culquier muestr que tomemos siempre hy un determind cntidd de Rdio 226, lo que implic un portción l cntidd de Plomo 2 después de vris desintegrciones. Si llmmos es portción r(t), entonces l ecución que gobiern l desintegrción del Plomo 2 es l siguiente N (t) = λn(t) + r(t), N(t ) = N, (3.2) donde r(t) represent l cntidd de átomos de Rdio que se desintegr en l muestr. Resuelve l EDO nterior. Problem 3.3 Supongmos que tenemos un rección químic A + B C y que en t = l concentrción de A es y l de B es b. Se sbe que l velocidd l velocidd de formción de C es proporcionl l concentrción de A y B. Lo nterior nos conduce l EDO x = κ( x)(b x), x() =, (3.3) donde κ es l constnte de proporcionlidd. Deduce el vlor de x(t) suponiendo que b y que x() =, C = /b. Problem 3.4 L velocidd de escpe de l Tierr. Nos interes resolver el problem de encontrr l velocidd de escpe l espcio exterior de un cuerpo que se encuentre en l superficie de l tierr. Si usmos l ley de Newton tenemos dv dt = GM T r 2, donde G es l constnte universl grvittori y M T es l ms de l tierr. Como g = GM T /R 2, siendo R el rdio de l tierr (que supondremos un esfer), tenemos GM T = gr 2. Obvimente r vri con el tiempo por lo que l ecución nterior se torn lgo complicd simple vist. Usndo l regl de l cden tenemos v dv dr = gr2 r 2. L solución de est EDO usndo el método de seprción de vribles es v 2 = 2gR 2 /R + C. Supongmos que v es l velocidd inicil del cuerpo sobre l superficie terrestre, prueb que l

17 5 velocidd del cuerpo culquier distnci de l tierr viene dd por v 2 = 2gR r + v 2 2gR. A prtir de lo nterior deduce el vlor de l velocidd de escpe. Problem 3.5 L cíd de un cuerpo en un medio viscoso se puede modelizr medinte l ecución pr l velocidd v(t) v = g κv r, v() = v, (3.4) donde g y κ son cierts constntes (l grvedd y l viscosidd). Resuelve l EDO nterior pr r =, 2, 3. Problem 3.6 El modelo de crecimiento de poblciones. Imginemos que tenemos un poblción de ciert especie (considerremos que tenemos un número bstnte lto de individuos) y se p(t) el número de individuos de dich especie en el momento t (evidentemente p(t) N). Se r(t, p) l diferenci entre en índice de ntlidd y mortlidd de l poblción. Supongmos que l poblción está isld (o se, no hy emigrción ni inmigrción). Entonces l vrición p(t + h) p(t) es proporcionl p(t)h y el coeficiente de proporcionlidd es r(t, p). Luego p(t + h) p(t) = r(t, p)p(t)h, h, = p (t) = r(t, p)p(t). L ecución más sencill posible se obtiene si considermos r(t, p) = r, constnte. Así, l poblción de individuos de l especie puede ser modelizd medinte el PVI p (t) = r p(t), p(t ) = p, r >, (3.5) que es del tipo de l EDO de Pscl o l de desintegrción rdioctiv y cuy solución p(t) = p e r(t t ). El modelo nterior se conoce como modelo de Mlthus o modelo mltusino pues fué propuesto por el economist inglés Thoms R. Mlthus ( ). Si r < l especie est condend l extinción y si r > ést crece en proporción geométric. Un modelo más relist es el modelo logístico propuesto por el mtemático y biólogo holndés, P. F. Verhulst. Verhulst rzonó que como estdísticmente el encuentro de dos individuos es proporcionl p 2 ( por qué?) entonces tendremos que sustrerle l término rp un término cp 2, de form que l EDO que modeliz un poblción será p (t) = r p(t) cp 2 (t), p(t ) = p, r, c >. (3.6) En generl c h de ser mucho más pequeño que r y que si r no es muy grnde l EDO (3.5) es un proximción bstnte buen, pero si p comienz crecer demsido entonces el término cp 2 no se puede obvir y termin frenndo el crecimiento exponencil. Resuelve l EDO (3.6) y prueb que que lím t p(t) = r/c independientemente de p.

18 4. Integrles impropis Problem 4. Estudir l convergenci o divergenci de ls siguientes integrles impropis: i) e x dx ii) cos πx dx iii) dx x 3 + iv) dx x 2 + v) dx x vi) 4 dx (x 2) 2 Problem 4.2 Estudir l convergenci o divergenci de ls siguientes integrles impropis: i) log x dx, ii) exp x2 dx, iii) cos x b 2 + x 2 dx, iv) dx x α + x 2. Problem 4.3 Estudir l convergenci o divergenci de ls siguientes integrles impropis: x i) x 4 + dx, ii) log x dx, 5 iii) π 2 log sen x dx, iv) sen xdx. x Problem 4.4. Clculr: 2 + x x 3 2x 2 + x dx. 2. Estudir l convergenci de l integrl Γ(t) = Γ(t + ) = tγ(t). Clculr Γ(n + ), n N. 3. Estudir l convergenci de l integrl B(p, q) = que B(p, q) = q p Problem 4.5 Se l función f(x) = x e x. x t e t dt, t R. Probr que, t > x p ( x) q dt, p, q R. Prueb B(p +, q ) = p B(p, q + ). Clculr B(n, m), n, m N.. Represéntel gráficmente, estudindo el crecimiento, concvidd, y síntots. q 2. Clculr el volumen del sólido de revolución obtenido l hcer girr en torno del eje OX, el áre contenid en el primer cudrnte que limitn l gráfic de f(x) = x e x y el propio eje OX. Problem 4.6 Se l función f(x) = /( + e x ).. Represéntel gráficmente, estudindo el crecimiento, concvidd, y síntots. 2. Clcúlese el áre del conjunto determindo por l curv y = f(x) y ls rects y =, x =.

19 7 5. Series númerics Problem 5. Prueb los siguientes criterios de convergenci de series: () Criterio de McLurin-Cuchy: Se f(x) un función no negtiv definid en [, + ) y monóton decreciente en todo su dominio. Entonces l serie f(n) y l integrl impropi f(x)dx tienen el mismo crácter de convergenci. (b) Criterio de Leibniz pr un serie lternd: Se { n } n un sucesión de términos no negtivos, monóton decreciente y tl que lím n n =. Entonces l serie ( )n n converge. (c) Criterio de condensción de Cuchy: Sen k y b k dos series de términos positivos con { n } un sucesión decreciente culquier y b n = 2 n. Entonces l serie k converge si y sólo si l serie 2k 2 k converge. (d) Criterio generlizdo de l ríz n ésim de Cuchy: Se k un serie de términos positivos tl que lím n n n = lím sup n n = q. Entonces,. Si q <, l serie k es convergente 2. Si q >, l serie k es divergente. 3. Si q =, l serie k puede ser convergente o divergente. Problem 5.2 Estudi el crácter de ls siguientes series: () (b) (c) n n 3 n n!, sen n n 2 + n, Problem 5.3 ( n n ) n, n + b n n b n xn,, b, x, n= ( ) n [ n 2 n], 2n 4 +, n p, p R, log( + 4/n 2 ), n(log(n)) x, x R, n(log n) p, p R. sen(/n), ( k) k k! k 2 2 k. Sum, si es posible, ls siguientes series: n= 3 n+ 2 n 3 4 n, n + n n(n + ), [ ] n(n + 2) ln (n + ) 2, ( ) n+, n n 2 n. Problem 5.4 () Si ls series de téminos positivos n n y n b n son convergentes, prueb que tmbién lo es n b n. Indicción: Utilice l desiguldd de Cuchy-Schwrz n (b) Si n n <, con n, prueb que n n n <. Problem 5.5 Se {u n } l sucesión de los números nturles que no contienen l cero en su expresión. Prueb que < 9. u n

20 8 Problem 5.6 () Estudir l convergenci de l serie n n n, con >, según los vlores de. n! b n (b) Demuestr que n <, donde b n {,,..., 9} pr n y b Z. Qué represent n= est serie y cuál es su importnci? Problem 5.7 Se {u n } un sucesión de términos u n > tl que lím n u n =. Demuestr que ls series n u n y n ln( + u n ) comprten el mismo crácter convergente o divergente. Aplic este resultdo pr determinr el crácter de l serie Problem 5.8 ( ) 2 ln + n 2. + n +. Probr que l mnipulción de un número finito de términos de un seri no lter l convergenci de l mism. 2. Probr que si n y b n convergen entonces ) l serie ( n + b n ) converge pero el recíproco es flso. b) l serie α n converge si y sólo si n converge. c) (n b n ) no tiene porque converger. Problem 5.9 Además de los criterios estudidos en clse existe otro muy útil debido Rbe. L demostrción se dej como ejercicio. Criterio de Rbe: Si existe el lím n n( n+ n ) = L. Entonces,. Si L >, l serie k es convergente 2. Si L <, l serie k es divergente. Utilizndo el criterio de Rbe estudir l convergenci de ls siguientes series: k=2 +/2+ +/(k ), n!e n n n+p, p(p + ) (p + n ) n!n q, k=2 [ ] p(p + ) (p + n ) α, p, q >, q(q + ) (q + n ) n! p(p + ) (p + n ), p >.

21 9 6. Sucesiones y series de funciones. Problem 6. Estudir l convergenci y l convergenci uniforme de ls sucesiones funcionles {f n (x)} en los conjuntos A ddos.. f n (x) = x n en A = [, ], [, )] y [, ], < <. 2. f n (x) = sen n2 x n y f n (x) = sen nx n 2 en A = R. 3. f n (x) = 2(n + )x( x 2 ) n en A = [, ] y [ 2, ]. 4. f n (x) = lím m + [cos(n!πx)]2m en A = [, b] y R. Problem 6.2 Estudi l convergenci puntul y uniforme de ls series: x n, n= n= x 2 ( + x 2 ) n, x n n 2, x + ( ) n n x 2 + n 2, 2 n sen n x. Problem 6.3 Prueb que si ls sucesiones {f n (x)} y {g n(x)} son uniformemente convergentes en A, entonces l sucesión {αf n (x) + βg n (x)}, α, β R tmbién lo es. Problem 6.4 Demostrr el Teorem de Dini: Se {f n (x)} un sucesión de funciones continus que tienden, monótonmente, f(x) pr cd x A, cerrdo y cotdo (compcto). Entonces f n converge uniformemente f en A si y sólo si f es continu en A. Dr un ejemplo de un sucesión de funciones continus que converjn un función continu pero no uniformemente. Problem 6.5 Que ocurre con l continuidd, derivbilidd e integrbilidd de ls funciones límite del ejercicio? Problem 6.6 () Se l sucesión de funciones de término generl f n (x) = {f n }? Lo hce uniformemente? (b) Clcul lím n f n(x), siendo f n (x) = convergenci? { si x n si x > n 2n 2 x si x /2n 2n 2n 2 x si /2n x /n si /n x. Converge. Es uniforme l (c) Demuestr que l serie funcionl de término generl f n (x) = ( ) n x2 + n, n, es uniformemente convergente en culquier intervlo cerrdo y cotdo [, b], pero no converge bsolutmente. n 2

22 2 Problem 6.7 Estudi l convergenci puntul y uniforme de ls siguientes sucesiones {f n } n N : ) f n (x) = Problem nx, x, b) f n(x) = xe nx, x < + c) f n (x) = 2n2 x + n 2 x 2, x R Demostrr que l serie de funciones n x n ( x) converge puntul pero no uniformemente en [, ], mientrs que l serie n ( x) n ( x) si es uniformemente convergente en dicho intervlo. Problem 6.9 Se f n (x) = x n log x, n N. ) Estudir l convergenci puntul de l sucesión {f n } n en (, + ). b) Estudir l convergenci uniforme en [, + ). c) Probr que l serie n f n converge si x, y clculr su sum explícitmente. d) Estudir l convergenci uniforme de n f n en [, + ) y en [, + ), con >. Problem 6. Se f n (x) = rctn (nx). ) Estudir l convergenci puntul de {f n }. Es uniformemente convergente en R?. b) Demostrr que converge uniformemente en {x R : x > }. c) Estudir l convergenci uniforme de l serie de funciones n rctn (nx) n 2. + d) Demostrr que l función sum de l serie nterior es derivble en R\{}. Problem 6. xe nx, x < Se f n (x) = x 2 e x, x. Demostrr que:. f n tiende uniformemente cero en A = R. 2. Demostrr que que l serie n f n (x) converge puntulmente en A = R. 3. Estudir l convergenci uniforme de l serie nterior. 4. Clculr, si es posible, l sum de l serie.

23 2 7. Series de potencis y funciones nlítics Problem 7. Determin el rdio de convergenci de ls siguientes series de potencis: ) n = log n b) n = ( )n n, c) n = [( )n + 3] n, d) n = n2 n 2, e) n = n! n n, e) n = n n, f) n = n!, e) n = (sen nπ 4 )n, g) n = ( + /2 + + /n), h) n = ( )E( n Problem 7.2 n) (E(x) es l prte enter de x, i) n (x) = ( 3 (2n ) 2 4 (2n) ) p 2 n. Demuestr el siguiente teorem de Abel: Si l serie de potencis (en R) n= nx n tiene rdio de convergenci R > y demás converge pr x = R, entonces converge uniformemente en [, R]. Corolrio: Si n= nx n tiene rdio de convergenci R y converge un función f(x) y demás converge en x = R, entonces lím x R n= nx n = n= nr n = lím x R f(x). (Est fórmul se conoce como método de sumción de Abel.) Utilizndo los dos prtdos nteriores prueb que log 2 = Problem 7.3 ( ) n+. n Obtener ls series de potencis de ls siguientes funciones indicndo l región de convergenci de ls misms: ( + x ) f(x) = log ), b) f(x) = rctn (x), c) f(x) = cos ( (x 2)n x), d) f(x) = x 3 n, e) f(x) = sen 2 x, f) f(x) = cosh (x), g) f(x) = log ( + bx), ( ) h) f(x) = (+e x ) 3. Problem 7.4 Sumr ls siguientes series indicndo l región de válidez de l mism: p(p q)(p 2q) (p nq + q) ) n = n!q n, b) n = n2 + 3n + 5, c) n = ( )n n n(n + ), d) n = 3n2 n + 2 2, e) 3n 2 = 3n, n = en el resto, f) n = ( )n 2 n (n + ), Problem 7.5. Probr que l función e x = n= x n n! cumple con ls propieddes (e x ) = e x, e x+y = e x e y 2. Probr l fórmul de Euler: e ix = cos x + i sen x, pr todo x R. ( ) n ( ) n+ 3. Prueb que ls funciones sen x = (2n + )! x2n+ y cos x = x 2n, relmente (2n)! n= n= representn l seno y l coseno respectivmente. O se, que se cumple que: ) cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y, b) mbs son funciones periódics y cotds.

24 22 4. Prueb que l función log x = ( ) n+ (x ) n n es l función invers de e x (en un entorno de x = ). Problem 7.6 Estudir l convergenci de l integrl impropi. Prueb que t (, ), 2. Prueb que x (, ), 3. Concluir que Problem 7.7 log( t) t x log( t) t = log( t) t dt = n= dt = t n n +. log( t) dt. t n= x n+ (n + ) 2., clculndo, si es posible, el vlor de l integrl. n2 Obtener por el método de los coeficientes indetermindos los cinco primeros términos de ls series de potencis de ls funciones: ) f(x) = tn x, b) f(x) = sen x 2x, c) f(x) = 2 sen 2 x. Problem 7.8 Hll un función f(x), desrrollble en serie de potencis, que verifique: { f ) (x) = f(x) + x, b) x f() = 2 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = (Ecución de Bessel), c) x(x )y [γ (α + β + )x]y + αβy = (Ecución hipergeométric de Guss). Problem 7.9 Prueb ls siguientes expresiones pr clculr ls integrles elíptics ( π 2 dt K(k) = k 2 sen 2 t = π ( ) ) (2n )!! 2 + k 2n, 2 (2n)!! E(k) = π 2 k 2 sen 2 tdt = π 2 ( ( ) ) (2n )!! 2 k 2n, (2n)!! 2n siendo (2n )!! = 3 (2n ) y (2n)!! = 2 4 (2n). Problem 7. Como fect l rdio de convergenci de un serie de potencis que tomemos puntos distintos pr el desrrollo? Pr primero ello prueb que f(x) = αx = α k ( α) k (x )k. n= Clcul, usndo lo nterior, l serie de f(x) = ± α 2 x 2. Estudi el efecto en l serie de l función: f(x) = ± α 2, desrrolld lrededor del origen x2 y lrededor de un punto (, ).

25 23 8. Problems complementrios Problem 8. () Clculr l integrl indefinid ( + sen x) cos x 3 + cos 2 dx x (b) Clculr el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene l girr l gráfic de l función y = x sen 2x en [, π/2]. Problem 8.2 Dd l función F (x) = x 2 + t 2 dt, () Clcule el polinomio de McLurin de orden 2 que proxim dich función en el intervlo [, ] y dé un expresión pr el resto (fórmul del error). (b) Clcule un vlor proximdo de F (/2). De qué orden es el error cometido? Problem 8.3 () Clculr l integrl impropi (b) Demostrr que integrción por prtes. n! = 2 n Problem 8.4 e x dx. x n e x dx = n!, siendo n un número nturl. Ayud: Utilice inducción e Hllr el centro de mss (x CM ) y el centro de inerci de un cono homogéneo de densidd ρ, rdio r y ltur h con el vértice en el origen de coordends y cuyo eje está en el eje de ls x. Ayud: Utilice l definción x CM = Z h Z h xρ(x)dv (x), I = ρ(x)dv (x) siendo V el volumen del cono en dependenci de l ltur del mismo Problem 8.5 Z h x 2 ρ(x)dv (x), Estudir l convergenci de l integrl sen x x p pr culquier se p >. Problem 8.6. Clcul l integrl dx x + 2 x Se Λ l region delimitd entre l función f(x) = 3 + sen x y ls rects x = π/2 e y = 3 ) Clcul el re de l región Λ. b) Clcul el volumen del cuerpo obtenido l girr l región Λ respecto l eje X. c) Clcul el volumen del cuerpo obtenido l girr l región Λ respecto l eje Y.

26 24 Problem 8.7 Se l sucesión de funciones f n (x) = + n x e nx definid pr todo x R.. Estudi l convergenci puntul de (f n ) n= en todo R 2. Estudi l convergenci uniforme de (f n ) n= en los intervlos [, ] y [/2, ) respectivmente. 3. Clcul lím n 3 /2 f n (x) dx. 4. Decide si l serie de funciones respuest. Problem n x e nx. Estudi l convergenci de l integrl impropi converge uniformemente en [ 2, 3]. Justifique su + x 3 dx. 2. Encuentr un primitiv de l función f : [, ) R, f(x) = + x Utilizndo el resultdo del prtdo nterior encuentr, en cso que se posible, el vlor de l integrl del prtdo Problem 8.9. Estudi l convergenci puntul y uniforme de l sucesión de funciones f n (x) = 2n2 x + n sen 6 (nx) n 2, n, en el intervlo [, π] y encuentre l función límite si ést existe. π 2. Clcul, si es posible, el límite lím n 3. Estudi l convergenci uniforme de l serie Problem 8. Se l función f(x) = x (2x )(x 2 + ). 2n 2 x + n sen 6 (nx) n 2 dx. sen 6 (nx) n 2 en el intervlo [, π].. Clcule un primitiv de f. x dx 2. Decid pr que vlores de R l integrl impropi (2x )(x 2, es convergente + ) o no. 3. Clcule el áre de l región comprendid entre en gráfico de f(x) y ls rects x = y y =. Problem 8. Se l serie de potencis n= ( ) n ( x ) 2n. 2n + 3. Clcule el rdio de convergenci de l serie. 2. Encuentre l sum de l serie nterior especificndo el dominio de l función resultnte (Ayud: hg el cmbio y = x/3). ( ) n 3. Pruebe que l serie númeric es convergente. 2n + n= 4. Clcule, utilizndo el prtdo 2, l sum de l serie númeric nterior.

27 25 Problem 8.2 Se l función f(x) = ( 2 x 2 ) x 2.. Clcule un primitiv de f. dx 2. Decid pr que vlores de R l integrl impropi ( 2 x 2 ), es convergente x2 o no. 3. Decid si l función g(x) = x 2 sen(πx/6) pr x [, ) y g() = es integrble según Riemnn en [, ]. Justifique su respuest. 4. Clcule, si es posible, el áre de l región comprendid entre el gráfico de g(x) y el eje de ls x en [, π]. Problem 8.3 Se l ecución f (x) = 2f(x) +, siendo f un función diferencible en R.. Prueb que f se puede expresr como un serie de potencis. 2. Encuentr l serie de potencis n= nx n solución de l ecución nterior (Indicción: Igul los coeficientes de ls potencis en l ecución) 3. Clcule el rdio de convergenci de l serie. 4. Encuentre l sum de l serie nterior especificndo el dominio de l función resultnte. Problem 8.4. Clcule un primitiv de f = ( + x 2 )(x + ) Decide pr que vlores de p R, con p R, l integrl siendo. 3. Clcul, si es posible, el áre bjo l curv f(x) = Problem 8.5 dx (x ) p ( + x 2 ) es convergente, ( + x 2 en el intervlo [, ). )(x + ) 2 Se l ecución f (x) = f(x) 2x, con f un función diferencible en R tl que f(x) = C.. Prueb que f dmite un desrrollo en serie de potencis lrededor del origen. 2. Encuentr l solución en form de series de potencis de l ecución nterior y clcul el rdio de convergenci de l mism, sí como l región de convergenci uniforme. 3. Sum l serie de potencis obtenid y encuentr el dominio de l función resultnte.

28 26 Prte III Bibliogrfí Bibliogrfí básic V. ILIN y E. POZNIAK, Fundmentos del Análisis Mtemático, 3 tomos (Mir, 99). L.D. KUDRIÁTSEV, Curso de Análisis Mtemático, tomos I y II (Mir, 984). V. ZORICH, Mthemticl Anlysis I y II, (Springer, Series: Universitext, 24). Colecciones de problems I. I. LIASHKÓ, A. K. BOIARCHUK, Iá. G. GAI y G. P. GOLOVACH, Mtemátic Superiores. Problems Resuetos (Anti-Demidovich) Vol II (Cálculo Integrl pr funciones de un vrible) III. (Series y Cálculo diferencil pr funciones de vris vribles) (Editoril URSS, 999). Bibliogrfí complementri T.M. APOSTOL, Clculus, tomos I y II (Reverté, 989). R.G. BARTLE, Introducción l Análisis Mtemático (Limus, 99). J. BURGOS, Cálculo Infinitesiml de un vrible (MGrw-Hill, 995). V.F. BUTUZOV y otros, Análisis mtemático en pregunts y problems (Mir, 984) R. COURANT y F. JOHN, Introducción l Cálculo y l Análisis Mtemático, tomos I y II (Limus, 976 y 978) B. DEMIDOVICH, 5 problems de Análisis Mtemático (Prninfo, 98). A. DURÁN, Histori, con personjes, de los conceptos del Cálculo. (Alinz, 996) E. HAIRER y G. WANNER, Anlysis by its History (Springer Verlg, 996) S. LANG, Introducción l Análisis Mtemático (Addison-Wesley, 99) M. SPIVAK Clculus (Reverté, 987). L. D. KUDRIÁTSEV, A. D. KUTÁSOV, V. I. CHEJLOV y M. I. SHABUNIN, Problems de Análisis Mtemático Vol I y II. (Mir-Rubiños, 992). G. POLYA y G. SZEGÖ, Problems nd theorems in Anlysis, tomos I y II (Springer-Verlg, 976)