"LA INTEGRAL DE NEWTON Y SU RELACIÓN CON LA INTEGRAL DE LEBESGUE"

Transcripción

1 Benemérit Universidd Autónom de Puebl Fcultd de Ciencis Físico-Mtemátics "LA INTEGRAL DE NEWTON Y SU RELACIÓN CON LA INTEGRAL DE LEBESGUE" T E S I S Que pr obtener el título de Licencido en Mtemátics Present Víctor Hugo Rodríguez Ávil Director de tesis Dr. Jun Alberto Escmill Reyn Puebl, Pue. Agosto de 2013 i

2 Agrdecimientos Le grdezco Dios por permitirme vivir hst este dí, hberme compñdo y guido lo lrgo de mi crrer, por ser mi fortlez en los momentos de debilidd y por brindrme un vid llen de prendizjes, experiencis y sobre todo de felicidd. Le doy grcis mis pdres Eustoli y Mrio por poyrme en todo momento, por los vlores que me hn inculcdo, y por hberme ddo l oportunidd de tener un excelente educción en el trnscurso de mi vid. Sobre todo por ser un excelente ejemplo de vid seguir. A mis hermnos por ser prte importnte de mi vid y representr l unidd fmilir. Por poyrme en quellos momentos de necesidd; hgo este triunfo comprtido, sólo esperndo que comprendn que mis ideles y esfuerzos son inspirdos en cd uno de ustedes. A mis migos Erick, Socorro, Myr, Anbel, Noemi, Susn, Arturo, Nelson, Alberto por todos los momentos que psmos juntos, por ls tres y lrgs trdes de estudio que juntos relizmos hombro hombro (en lguns ocsiones soportándome). A Dmián por su vlios mistd y compñi. A todos ustedes por l confinz que en mí depositron y su vlios mistd que me brindron. A mis sinodles. M.C. Gudlupe Rggi Cárdens, Dr. Jcobo Oliveros Oliveros y M.C. Luis Ángel Gutíerrez Méndez por hberse tomdo el tiempo pr revisr este proyecto. Y en prticulr l M.C. Gudlupe Rggi Cárdens por hber revisdo el trbjo ntes de ser termindo. Al Dr. Jun Alberto Escmill Reyn, por hberme ceptdo como su tesist, fue un grn plcer estr bjo su tutel en el desrrollo de este trbjo. Grcis los Profesores de l Fcultd de Ciencis Físico Mtemátics por todo el poyo brinddo lo lrgo de l crrer, por su tiempo, mistd y por los conocimientos que me trnsmitieron. ii

3 Finlmente tods ls persons que, de un u otr mner, me yudron llegr este momento. L originlidd de ls mtemátics consiste en el hecho de que en l cienci mtemátic se exhiben conexiones entre coss que, prte de por l cción de l rzón humn, son extrordinrimente poco obvis. -A.N. Whitehed iii

4 Índice generl Introducción 1 1. Preliminres σ-álgebrs Medids Medids Positivs Generción de Medids vi Medids Exteriores Funciones Medibles µ-integrl Integrl de Newton Definición de l Integrl de Newton Propieddes Integrción Absolut Generlizción de l Integrl de Newton Integrl de Newton y de Lebesgue Relción con l Integrl de Lebesgue Conclusiones y Perspectivs 35 Bibliogrfí 36

5 Introducción L teorí clásic de integrción usulmente utiliz dos mners diferentes pr definir un integrl. Un es l llmd descriptiv y l otr constructiv, est últim es l más usd en los cursos básicos de l teorí de integrción. Por ejemplo, l definición que dió Newton es descriptiv mientrs que l de Riemnn es constructiv. L definición de l integrl dd por Newton, escrit en términos modernos, es: Sen, b números reles, < b y f : [, b] R un función. Decimos que f es Newton integrble en [, b], si existe F : [, b] R diferencible, tl que F (x) = f(x) pr cd x [, b]. En este cso l integrl de Newton de f en [, b], denotd por f, se define como f = F (b) F (). Newton definió l integrl en términos de lo que ctulmente se conoce como un primitiv o ntiderivd de l función f. Observemos que si G : [, b] R es un función diferencible, tl que G (x) = f(x) pr tod x [, b], entonces por el Teorem del Vlor Medio, F = G slvo un constnte. Este hecho, nos permite concluir, que l integrl de Newton de f, no depende de l primitiv de f que tomemos. L definición de l integrl dd por Riemnn, escrit en términos modernos, es: Se f : [, b] R un función. Decimos que f es Riemnn integrble en [, b], si existe un número rel A, con l siguiente propiedd: pr cd ɛ > 0, existe δ = δ(ɛ) > 0 que cumple que, pr tod prtición P = { = x o < x 1 < 1

6 < x n = b} y pr tod t i [x i 1, x i ], si máx{x i x i 1 i = 1, n} < δ, entonces n f(t i )(x i x i 1 ) A < ɛ. i=1 Se puede probr que si f es Riemnn integrble en [, b] el número A es único, y se le denot por f, f(x)dx,... y se le llm l integrl de Riemnn de l función f en [, b] (o simplemente l integrl de f cundo no hy confusión). Ambs integrles no son equivlentes, es decir, existen funciones Riemnn integrbles que no son Newton integrbles y recíprocmente, como lo veremos más delnte. Sin embrgo mbs integrles están relcionds con lo que ctulmente se le conoce como el Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo: Se f : [, b] R un función Riemnn integrble, tl que, existe F : [, b] R diferencible en [, b] y F = f, entonces f = F (b) F (). Observemos que en términos de ls definiciones de ls integrles de Newton y de Riemnn, este teorem nos dice que si f es Riemnn integrble y Newton integrble, entonces mbs integrles son igules. Por necesiddes propis de l mtemátic y de sus plicciones, Lebesgue, en 1902, definió un integrl (conocid como l integrl de Lebesgue), más generl que l integrl de Riemnn. Est integrl tiene mejores propieddes que l integrl de Riemnn y es con l que ctulmente se trbj más. Con est integrl, se tiene un generlizción del Segundo Teorem Fundmentl del Cálculo: Se f : [, b] R un función Lebesgue integrble, tl que, existe F : [, b] R diferencible en [, b] y F = f. Entonces f = F (b) F (). Tmbién observemos que en términos de l definición de l integrl de Newton, este teorem nos dice que, si f es Newton integrble y Lebesgue 2

7 integrble, entonces mbs integrles coinciden. L definición de l integrl de Newton dmite vris generlizciones, ls cules, básicmente consisten en modificr ls condiciones de l función primitiv, tles como, que se diferencible, slvo en un conjunto finito, en un conjunto numerble infinito, en un conjunto de medid cero, etc. O tmbién cmbir los dominios de ls funciones con ls que se trbj, por ejemplo que el dominio se un intervlo bierto, infinito,.... El objetivo generl de este trbjo es presentr un breve introducción l integrl de Newton y estudir l relción que tiene con l integrl de Lebesgue. Los objetivos prticulres son: I Presentr y demostrr lguns propieddes básics de l integrl de Newton pr funciones reles de vrible rel, tles como: l linelidd, l monotoní, l fórmul de integrción por prtes, el método de cmbio de vribles, etc. II En cunto l relción entre l integrl de Lebesgue y l de Newton probremos: Si f : [, b] R es Lebesgue y Newton integrble, entonces ls dos integrles son igules. Si un función f : [, b] R es bsolutmente Newton integrble, entonces tmbién es Lebesgue integrble. Este trbjo const de un introducción, tres cpítulos, conclusiones, perspectivs y un bibliogrfí. En el Cpítulo 1 presentmos un breve introducción xiomátic l Teorí de l Medid y l integrción, proporcionndo un pnorm generl de los principles resultdos: definimos los conceptos básicos de medid, integrl y sus principles propieddes. Los resultdos se presentn sin demostrción, y que, nuestro objetivo en este cpítulo, es contextulizr nuestro tem de estudio y fcilitr l lectur del trbjo. En el Cpítulo 2 se present l definición de l integrl de Newton y ls propieddes básics tles como: l linelidd, positividd, monotoní de l integrl de Newton, ditividd de l integrl con respecto l intervlo de integrción, l fórmul de integrción por prtes, el método de cmbio de 3

8 vribles, etc. Veremos que l integrl de Newton, diferenci de l integrl de Riemnn o l de Lebesgue, no es un integrl bsolut, es decir, si f es Newton integrble no necesrimente se sigue que f lo se. Posteriormente se drán lguns definiciones que generlizn l integrl de Newton. En el último cpítulo se bord l relción que existe entre l integrl de Newton y l integrl de Lebesgue, est relción l veremos en los Teorems 3.7 y 3.8; por último vemos un demostrción lterntiv de l integrción por prtes pr ls integrles de Lebesgue utilizndo l integrl de Newton. Los resultdos fundmentles sobre l integrl de Newton y su relción con l integrl de Lebesgue están bsdos principlmente en [3, 4]. 4

9 Cpítulo 1 Preliminres El propósito de este cpítulo es presentr los conceptos, y teorems que nos servirán en el desrrollo de este trbjo. Los teorems de este cpítulo no serán demostrdos, ls demostrciones pueden ser consultds en [2, 4, 5]. Definición 1.1. Ddos dos conjuntos A y B, decimos que A tiene l mism crdinlidd que B si existe un función f : A B biyectiv. Tmbién decimos que A es equipotente con B, y lo denotmos por A B. Definición 1.2. Se A un conjunto. 1. Decimos que A es finito si A = ó existe un n N tl que A {1,..., n}. 2. A es infinito si no es finito. 3. A es numerble si A N. 4. El conjunto A es lo más numerble, si es finito o numerble. 5. A es no numerble, si es infinito pero no numerble. Definición 1.3. Un función f : [, b] R se dice Absolutmente Continu en [, b] si pr todo ɛ > 0, existe δ > 0, tl que, pr tod fmili de subintervlos disjuntos {( k, b k ) n k=1 } en [, b] si n (b k k ) < δ, entonces k=1 n f(b k ) f( k ) < ɛ. k=1 5

10 1.1 σ-álgebrs 1.1. σ-álgebrs Se un conjunto distinto del vcío. Consideremos, como es usul, P () como el conjunto potenci de, es decir, el conjunto que contiene todos los subconjuntos de. El objetivo es medir (de lgun mner) lgunos elementos del conjunto potenci y definir l estructur que tienen dichos elementos. Definición 1.4. Se un conjunto. Un colección A σ-álgebr si cumple con ls siguientes propieddes: ) A, P (), es un b) Si A A, entonces A C A, c) Si A 1,, A n, A, entonces A i A. Así, un σ-álgebr sobre es un fmili de subconjuntos de que contiene, que es cerrd bjo complementos, cerrd bjo uniones numerbles. Ejemplo 1.5. Se un conjunto. 1. P () es un σ-álgebr sobre. 2. {, } es un σ-álgebr sobre. i=1 3. Se un conjunto con un número infinito de elementos. Consideremos l colección A de todos los subconjuntos A de, tles que A o A C es numerble. Entonces A es un σ-álgebr sobre. Definición 1.6. Llmmos espcio medible l pr (, A ), donde es un conjunto y A es un σ-álgebr sobre. Llmmos conjuntos medibles (o más preciso A -medibles) los elementos de A. Como l intersección rbitrri de σ-álgebrs es un σ-álgebr, l siguiente definición tiene sentido. Definición 1.7. Sen un conjunto y C un fmili de subconjuntos de, denotremos con σ(c) l mínim σ-álgebr que contiene C, l cul existe y es l intersección de tods ls σ-álgebrs que l contienen. A l fmili σ(c) l llmremos l σ-álgebr generd por C. 6

11 1.2 Medids Un cso prticulr e importnte de espcio medible se tiene cundo el espcio medible sobre el cul se trbj, (, τ), es un espcio topológico, pues por definición se tiene que σ(τ) es un σ-álgebr. En bse esto, definimos los conjuntos de Borel. Definición 1.8. Ddo un espcio topológico (, τ), llmremos σ-álgebr de Borel l generd por sus biertos, que denotremos por B() = σ(τ) y sus elementos los llmmos borelinos. Definición 1.9. Sen (, A )un espcio medible y {A n } n=1 un sucesión de subconjuntos de, 1. Diremos que {A n } n=1 es un expnsión, si A n A n+1 pr tod n N. Si A = A n, entonces se denotrá como n=1 A = lím n A n ó A n A. 2. Diremos que {A n } n=1 es un contrcción, si A n A n+1 pr tod n N. Si A = A n, entonces se denotrá como n= Medids A = lím n A n ó A n A. A prtir de hor, con R (reles extendidos) denotremos el conjunto R {, } y R + como R + {0, } Medids Positivs Definición Un medid positiv o simplemente medid sobre un espcio medible (, A ), es un función µ : A R +, que es σ-ditiv y se nul en el vcío, es decir, µ es un medid, si y sólo si, ) µ( ) = 0, 7

12 1.2 Medids b) Dd {A n } n=1 un fmili de conjuntos disjuntos dos dos de A, entonces ( ) µ A n = µ(a n ). n=1 n=1 A l tern (, A, µ) le llmremos espcio de medid. Diremos que es de medid finit si µ() < y es σ-finit si existe un sucesión de conjuntos medibles disjuntos {A n } n=1 A tl que = y cd µ(a n ) <. Ls propieddes siguientes de ls medids se deducen inmeditmente de l definición. Teorem [5, Propieddes de ls medids] Se (, A, µ) un espcio de medid, µ stisfce ls siguientes propieddes: ) µ es ditiv, es decir, si {A n } p n=1 A con p N, es un fmili de conjuntos disjuntos dos dos, entonces ( p ) p µ A n = µ(a n ). n=1 b) µ es monóton, es decir, si A B y A, B A, entonces µ(a) µ(b). Además, si µ(a) <, entonces µ(b A) = µ(b) µ(a). c) Pr un número finito de conjuntos medibles culesquier, µ stisfce que si A, B A, entonces µ(a)+µ(b) = µ(a B)+µ(A B). Además, si {A n } p n=1 A, entonces ( p ) p µ A n µ(a n ). n=1 n=1 n=1 Est últim condición se llm subditividd. d) µ es σ-subditiv, es decir, si {A n } n=1 A, entonces ( ) µ A n µ(a n ). n=1 8 n=1 n=1 A n

13 1.2 Medids Los conjuntos de medid cero se llmn conjuntos nulos. Si A es un conjunto nulo y B A entonces B no es medible o es nulo. Sucede que siempre podemos suponer que es nulo, en el sentido de que l σ-álgebr donde está definid un medid siempre se puede extender pr que incluy todos los subconjuntos de los conjuntos nulos Generción de Medids vi Medids Exteriores Con frecuenci, el problem de construir σ-lgebrs y medids es díficil. Un procedimiento clásico (conocido como procedimiento de Crtheodory) es trvés del concepto de medid exterior. A continución describimos dicho procedimiento y construiremos un σ-lgebr y un medid (conocid como l medidd de Lebesgue), trvés de este procedimiento. Definición Se un conjunto. Un medid exterior, usulmente denotd µ, es un función µ : P () R +, l cul se nul en el vcío, es monóton y σ-subditiv. Definición Se µ un medid exterior. Diremos que un subconjunto E es µ -medible si pr todo A se cumple que µ (A) = µ (A E) + µ (A E C ). Se M = {E E es µ -medible }, entonces M es un σ-álgebr y l restricción de µ M es un medid. Un ejemplo de medid exterior es l medid exterior de Lebesgue en l rect, que se define de l siguiente mner: Definición Se E P (R). L medid exterior de Lebesgue de E se define por el número { } m (E) = ínf l(i j ) : I j intervlo bierto y E I j j=1 donde l(i j ) es l longitud del intervlo. Sen = R y E un conjunto µ -medible. Definimos l medid de Lebesgue denotd por m(e) como l medid exterior de E, es decir, m(e) = m (E) por lo tnto m es l función obtenid restringiendo m M. El espcio de medid (R, M, m) será llmdo el espcio de medid de Lebesgue en l rect. 9 j=1

14 1.3 Funciones Medibles 1.3. Funciones Medibles Si (, A, µ) es un espcio de medid, menudo tendremos que trbjr con subconjuntos de definidos prtir de un función f : Y y necesitremos grntizr que dichos conjuntos son medibles. Esto se logrrá medinte el concepto de función medible. Definición Sen ( 1, A 1 ) y ( 2, A 2 ) espcios medibles. Un función f : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ) es medible (o más preciso A 1 -A 2 -medible) si f 1 (B) A 1 pr todo B A 2. Se f : R, definimos ls funciones f + = máx{f, 0}, f = máx{ f, 0}, con ls cules f = f + f y ls llmmos prte positiv y prte negtiv de f, respectivmente. Además, se cumple que f = f + +f. Un resultdo básico es que l composición de funciones medibles es medible. Además, ls funciones continus entre espcios topológicos son medibles cundo el codominio de l función es un espcio medible en el cul se consider l σ-álgebr de Borel. Se (, A ) un espcio medible. Si tenemos que f : (, A ) (R, B(R)) es medible, entonces f : (, A ) (R, B(R)) es medible, esto es debido que l inclusión i : R R es un función continu, y por lo tnto medible. Así, cundo tommos un función rel, estremos considerndo que el codominio de l función es (R, B(R)). Alguns propieddes de ls funciones medibles son ls siguientes: Teorem [5, Proposición 3.18] Se f : R un función donde el dominio es medible. Entonces ls siguientes firmciones son equivlentes: 1. Pr c R el conjunto {x : f(x) > c} es medible. 2. Pr c R el conjunto {x : f(x) c} es medible. 3. Pr c R el conjunto {x : f(x) < c} es medible. 4. Pr c R el conjunto {x : f(x) c} es medible. Teorem [5, Proposición 3.19] Sen f, g : R funciones medibles y c R. Entonces ls funciones f + c, cf, f + g, y fg tmbién son medibles. 10

15 1.3 Funciones Medibles Es importnte mencionr que l medibilidd se conserv l tomr el límite puntul de un sucesión de funciones medibles. Recordemos, si { n } n=0 es un sucesión en R, definimos sus límites superior e inferior como lím n = ínf sup n y lím n = sup ínf n k 0 n n, respectivmente. n k n k k 0 Definición Sen un conjunto y f n : R un sucesión de funciones, pr cd n N. Entonces, pr cd x ls funciones ínf f n, sup f n, lím f n y lím f n se definen puntulmente como: n n ) (ínf f n )(x) = ínf{f n (x) n N}, b) (sup f n )(x) = sup{f n (x) n N}, c) ( lím n f n )(x) = lím n f n (x), d) ( lím n f n )(x) = lím n f n (x). Podemos ver en [2], que el límite superior de un sucesión es el supremo de sus puntos dherentes, y el límite inferior es el mínimo de sus puntos dherentes. Teorem [5, Proposición 3.20] Pr cd n N, se f n : R funciones medibles, entonces: ) El sup f n y el ínf f n son funciones medibles. b) El lím n f n y el lím n f n son funciones medibles. Teorem [4, Teorem 13.28] Se {f n } n=1 un sucesión de funciones medibles que convergen puntulmente l función f en. Entonces f es medible. Definición Se (, A ) un espcio medible y A A, llmremos función crcterístic de A, l función χ A : R l cul se define como { 1 si x A χ A (x) = 0 si x / A L función crcterístic es un ejemplo de función medible. 11

16 1.4 µ-integrl 1.4. µ-integrl En todo espcio de medid podemos definir un integrl, en l cul juegn un ppel importnte los conjuntos medibles. Por el hecho de que quí se integr sobre conjuntos que son más generles que los intervlos, se obtienen más funciones integrbles, lo que se trduce en que l integrbilidd se conserv no sólo por ls operciones lgebrics sino tmbién tomndo límites bjo el signo de l integrl. Será importnte dr un ritmétic propid los números reles extendidos pr que tengn sentido ls siguientes definiciones. Dich ritmétic es l siguiente: Recordemos que denotmos R = R {, }. Adicionlmente ls operciones con ls que cuent R, definimos en R: x = y x + =, pr x R. ( ) = y + =. x( ) = y x( ) =, si x < 0. x( ) = y x( ) =, si x > 0. 0( ) = 0( ) = 0. Notemos que l ley de cncelción dej de ser válid y que no está definido. De hor en delnte llmremos = (, A, µ) l espcio de medid. Definición Se un espcio de medid. Un función simple, es un función medible s : R + que sólo tom un número finito de vlores α 1, α 2,..., α n. Si llmmos A i = s 1 (α i ) con i = 1, n, entonces los conjuntos A i son medibles disjuntos y s = n α i χ Ai. i=1 L bse de l construcción de l integrl de Lebesgue, es el siguiente teorem: 12

17 1.4 µ-integrl Teorem [2, Teorem 7.10] Se un espcio de medid y se f : R + un función medible, entonces existe un sucesión {s n } n=1 de funciones simples en tl que 0 s 1 s 2 f y f = lím n s n. Un vez enuncido el teorem nterior, podemos definir l integrl de funciones simples como sigue: Definición Se un espcio de medid y s = n α i χ Ai un función simple en. Definimos l integrl de s en con respecto de µ como s dµ = n α i µ(a i ) R +. Entonces diremos que s es integrble o más preciso µ-integrble. i=1 Est definición podemos restringirl conjuntos medibles, pues si E es n un conjunto medible de, entonces s E = α i χ Ai, donde ls funciones E crcterístics se tomn hor sobre E, y sí E s E dµ = Por otro ldo vemos que sχ E = con ls funciones crcterístics en, y sí concluimos que E s dµ = i=1 n α i µ(a i E). i=1 n α i χ Ai E i=1 sχ E dµ = i=1 n α i µ(a i E). Es decir, que pr efectos de integrción se puede doptr consistentemente el convenio explicdo ntes por el que identificmos l función s E con sχ E. Por hor demos el siguiente resultdo que después generlizremos. Teorem [2, Teorem 7.12] Se un espcio de medid. i=1 13

18 1.4 µ-integrl 1. Se s un función simple en. Pr cd subconjunto medible E de, definimos ν(e) = s dµ. Entonces ν es un medid en. E 2. Si s y t son funciones simples en, se cumple (s + t) dµ = s dµ + t dµ. En prticulr notemos que si s t son funciones simples en un espcio de medid, entonces t s tmbién es un función simple y demás s dµ s dµ + (t s) dµ = t dµ. En prticulr se cumple que { } t dµ = sup s dµ s es un función simple, s t Grcis lo nterior tenemos que l definición que continución se present es consistente: Definición Se un espcio de medid y f : R + un función medible. Definimos l integrl de f con respecto de µ como { } f dµ = sup s dµ s es un función simple, s f R + Observemos que si E es un subconjunto medible de y si s es un función simple en E tl que, s E f E, l extensión de f (hciéndol nul fuer de E) es un función simple, donde f = fχ E ; y l restricción E de un función simple f en es un función simple en E, denotd por f E. De esto se concluye que f dµ = fχ E dµ, E por el hecho de que mbs integrles son el supremo del mismo conjunto. A prtir de est definición podemos enuncir lguns propieddes: Teorem [2, Teorem 7.14] Sen un espcio de medid y E un subconjunto medible de. 14

19 1.4 µ-integrl ) Si 0 f g son funciones medibles en, entonces f dµ g dµ. b) Si f 0 es un función medible en y A B son subconjuntos medibles de, entonces f dµ f dµ. A c) Si f 0 es un función medible en y f E = 0, entonces (unque ν(e) = ). d) Si f 0 es un función medible en y µ(e) = 0, entonces (unque f E = ). B E E f dµ = 0 f dµ = 0 Uno de los resultdos más importntes del cálculo integrl es el siguiente, el cul nos yud demostrr propieddes importntes sobre convergenci de l integrl. Teorem 1.28 (Teorem de l Convergenci Monóton). [5, Teorem 4.10] Sen un espcio de medid y {f n } n=1 un sucesión monóton creciente de funciones medibles no negtivs en que convergen puntulmente f. Entonces f es medible y fdµ = lím f n dµ. n El Teorem de l Convergenci Monóton nos permite reducir propieddes de l integrl de funciones no negtivs propieddes de funciones simples. Por ejemplo, hor es inmedito que si f : R + es medible y α R, entonces αfdµ = α fdµ Otr plicción importnte, en donde se utiliz el teorem nterior, es que l integrl conserv sums. 15

20 1.4 µ-integrl Teorem [5, Corolrio 4.11] Se un espcio medible y se {f n } n=1 un sucesión de funciones no negtivs medibles en. Entonces f n dµ = f n dµ. n=1 Otro de los resultdos clásicos y no menos importnte dentro de l teorí de integrción, es el Lem de Ftou: Teorem 1.30 (Lem de Ftou). [5, Teorem 4.9] Sen un espcio de medid y {f n } n=1 un sucesión de funciones medibles en tl que f n 0 pr n N, entonces (lím inf f n )dµ lím inf f n dµ. Y con tod est teorí estmos en condiciones de definir l integrl de funciones más generles: Definición Sen un espcio de medid y f : R un función medible. Diremos que f es µ-integrble (o integrble con respecto de µ) en si tnto f + dµ como f dµ son finits. En este cso definimos l integrl de f como fdµ = n=1 f + dµ f dµ R. En l definición nterior si el espcio de medid es el de Lebesgue entonces diremos que l función f es Lebesgue integrble. Llmremos L 1 (µ) l conjunto de ls funciones integrbles en respecto l medid µ. Con est definición, si f es un función no negtiv, entonces f = 0 y su integrl es l que y tenímos definid. Ls siguientes propieddes se siguen inmeditmente de los resultdos enuncidos previmente. Teorem [2, Teorem 7.20] Se un espcio de medid y sen f, g : R funciones medibles. ) f es integrble, si y sólo si, f dµ <, y en tl cso fdµ 16 f dµ.

21 1.4 µ-integrl b) Si α, β R y f, g son integrbles, entonces αf + βg es integrble y (αf + βg)dµ = α fdµ + β gdµ. c) Si f g y mbs son integrbles, entonces fdµ gdµ. d) Si E es un subconjunto medible de y f es integrble en, entonces f es integrble en E y fdµ = fχ E dµ. E e) Si E y F son subconjuntos medibles disjuntos de, entonces l función f es integrble en E F, si y sólo si, lo es en E y en F, en tl cso, fdµ = fdµ + fdµ. E F f) Si E es un subconjunto medible de y f E = 0, entonces g) Si E es un subconjunto nulo de, entonces E F E fdµ = 0. E fdµ = 0. Como consecuencis inmedits de este teorem tenemos que: por ) si f g y g es integrble, entonces f tmbién lo es, por d) vemos que 1dµ = χ E dµ = µ(e). E Además, podemos deducir que tod función medible y cotd sobre un conjunto de medid finit es integrble. Teorem 1.33 (Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue). [5, Teorem 4.16] Sen un espcio de medid y {f n } n=1 un sucesión de funciones medibles de en R, l cul converge puntulmente un función 17

22 1.4 µ-integrl f. Si existe un función g : R integrble tl que f n g pr tod n N, entonces f es integrble y f dµ = lím f n dµ. n Observción L integrl de Lebesgue en el intervlo I = (, b) se denotrá como: f dm = f(t)dt. I Definición Sen I un intervlo en R y f : I R un función. F : I R es un Primitiv de f en I, si F es diferencible en I y F = f en I. Observción Ls condiciones que se pueden pedir pr diferencibilidd de l función F pueden ser debilitds: diferencible en un conjunto finito, diferencible en un conjunto numerble, pero en nuestro cso pedimos que se diferencible en todo el intervlo. Teorem [4, Teorem 13.20] Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces f es Lebesgue integrble en [, b]. Teorem [4, Teorem B.25] Se F : (, b) R continu en (, b) tl que F (x) 0 pr tod x (, b)\d, donde D es un conjunto lo más numerble de (, b). Entonces F es creciente en (, b). Corolrio [4, Corolrio B.26] Se F : (, b) R continu en (, b) tl que F (x) = 0 pr tod x (, b)\d, donde D es un conjunto lo más numerble de (, b). Entonces F es constnte en (, b). 18

23 Cpítulo 2 Integrl de Newton A medidos del siglo VII, Newton concibe un concepto de integrl cuyo significdo es simplemente el proceso inverso de l derivd. L definición descriptiv de l integrl de Newton es muy nturl: un función es Newton integrble si tiene un ntiderivd. Tiempo después, Cuchy define un integrl de mner constructiv restringiéndose l clse de ls funciones continus. Est integrl coincide con l integrl de Newton, sin embrgo, debido l existenci de derivds no cotds, l de Newton permnece más generl. L derivd de un función de un vrible tiene motivciones geométrics y físics: construir l líne tngente l gráfic de l función y l determinción de l velocidd instntáne de un prtícul cuy posición es un función de tiempo. Uno puede pensr en otros dos problems de l geometrí y de l físic: encontrr el áre de l superficie y dd l velocidd de un prtícul, podrí deserse conocer su posición en un instnte ddo (este último fue el problem con el que trbjó Newton). En biologí, si se conoce l rzón l que crece un poblción de bcteris, nos interes deducir el tmño de l poblción en lgún momento futuro. En ingenierí, un person que puede medir l rzón vrible l cul se fug el gu de un tnque, quiere conocer l cntidd que se h fugdo durnte cierto período. En cd cso, el problem es hllr un función F cuy derivd se un función conocid. Si tl función existe, se llm primitiv o ntiderivd de f. 19

24 2.1 Definición de l Integrl de Newton 2.1. Definición de l Integrl de Newton Definición 2.1. Se < b. Un función f : (, b) R se dice Newton Integrble (N-integrble) en (, b), si existe un primitiv F pr f en (, b) y los límites lterles F (+) y F (b ) existen. El número rel es l Integrl de Newton en (, b). f = F (b ) F (+) Observemos que si G es otr primitiv de f en (, b), entonces por el Teorem del Vlor Medio, existe C R tl que G = F + C en (, b). De quí se concluye que G(b ) G(+) = F (b ) F (+), es decir, l integrl de Newton de f en (, b) no depende de l primitiv de f que se tome. Observción 2.2. En l definición nterior cundo hblmos de los límites lterles F (+) y F (b ) nos referimos : F (+) = lím F (x) y F (b ) = lím F (x) x + x b L integrl de Newton tiene vris ventjs sobre l integrl de Riemnn. Mientrs que l integrl de Riemnn es definid solmente pr funciones cotds o intervlos cotdos, l integrl de Newton se plic tmbién funciones no cotds e intervlos no cotdos. A continución dremos lgunos ejemplos de como se utiliz l integrl de Newton. Ejemplo 2.3. Clculemos l integrl de Newton de ls funciones siguientes: 1. f(x) = x 2 en el intervlo ( 2, 3). 2. s(x) = 1 x en el intervlo (0, 1). 3. g(x) = sen x en el intervlo (0, π 2 ). 4. h(x) = e x en el intervlo (0, ). 20

25 2.1 Definición de l Integrl de Newton 1. Un primitiv pr f es F (x) = x3 3 entonces con F ( 2+) = x 3 dx = F (3 ) F ( 2+) = y F (3 ) = 27 3, 2. Un primitiv pr s es S(x) = 2 x con S(0+) = 0 y S(1 ) = 2 entonces 1 1 dx = S(1 ) S(0+) = 2. 0 x 3. Un primitiv pr g es G(x) = cos x con G(0+) = 1 y G( π ) = 0, 2 entonces π 2 sen x dx = G(π/2 ) G(0+) = Un primitiv pr h es H(x) = e x con H( ) = 0 y H(0+) = 1, entonces 0 e x dx = H( ) H(0+) = 1. No tods ls funciones son N-integrbles, como lo veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.4. Mostrremos que l función f : [0, 1] R definid por 0, si x [0, 1], 2 f(x) = 1, si x ( 1, 1]. 2 no es N-integrble. Supongmos que f es N-integrble, entonces existe un función F : [0, 1] R diferencible en [0, 1] tl que F = f en [0, 1]. Observemos que F (0) = f(0) < 1 < f(1) = F (1), por el Teorem del Vlor Intermedio pr 4 derivds, existe c (0, 1) tl que F (c) = 1, pero esto es un contrdicción 4 pues F = f en [0, 1]. Por lo tnto f no es N-integrble. Existen funciones que son N-integrbles pero no Lebesgue integrbles, como lo veremos en el siguiente ejemplo. 21

26 2.2 Propieddes Ejemplo 2.5. Demostrremos que l función f(t) = [t 2 cos 2 (1/t 2 )], con 0 < t < 1. es Newton integrble pero no Lebesgue integrble. L primitiv de f es F (t) = t 2 cos 2 (1/t 2 ) en (0, 1), F (0+) = 0 y F (1 ) = cos 2 1. Por lo tnto 1 0 f(t) dt = F (1 ) F (0+) = cos 2 1. Sin embrgo, f no es Lebesgue integrble en (0, 1) como podemos consttr en [3] Propieddes Enunciremos y demostrremos lguns de ls propieddes que tiene l integrl de Newton. Teorem 2.6. Sen f, g Newton integrbles en (, b); α, β R. Entonces: 1. (Linelidd de l integrl.) L función αf + βg es N-integrble y (αf + βg) = α f + β 2. (Propiedd ditiv de intervlos.) Si c b, entonces f = c f + c 3. (Propiedd de comprción.) Si f g en (, b), entonces f g. f. g. 22

27 2.2 Propieddes Demostrción. 1. Como f y g son N-integrbles, entonces existen F y G en (, b) tles que F = f y G = g, demás F (+), F (b ), G(+) y G(b ) existen. Se h = αf + βg, entonces h = (αf + βg) = αf + βg. h(+) y h(b ) existen, y que existe, y existe. Entonces h(+) = (αf + βg)(+) = αf (+) + βg(+) h(b ) = (αf + βg)(b ) = αf (b ) + βg(b ) (αf + βg)f(x) dx = h(b ) h(+) = [αf (b ) + βg(b )] [αf (+) + βg(+)] = α[f (b ) F (+)] + β[g(b ) G(+)] = α f(x) dx + β g(x) dx. 2. Como f es N-integrble en (, b), entonces existe F en (, b) tl que F = f y F (+), F (b ) existen. F 1 = F (,c) es un primitiv pr f en (, c) y F 2 = F (c,b) es un primitiv pr f en (c, b). Demostremos que F 2 (c+) y F 1 (c ) existen. Como F es diferencible en (, b) entonces F es continu en (, b) por lo tnto lím F (x) = F (c) x c existe, eso implic que los límites lterles F 2 (c+) y F 1 (c ) existen y son igules. c f(x) dx + c f(x) dx = F (c ) F (+) + F (b ) F (c+) = F (b ) F (+) = f(x) dx. 23

28 2.2 Propieddes 3. Como f, g son N-integrbles en (, b), entonces existen F, G en (, b) tles que F = f, G = g, demás F (+), F (b ), G(+) y G(b ) existen. Como f(x) g(x) pr tod x (, b) entonces 0 g(x) f(x) = G (x) F (x) = [G(x) F (x)], y por el Teorem 1.38, G(x) F (x) es creciente en (, b) y sí por lo tnto 0 [G(b ) G(+)] [F (b ) F (+)], f(x) dx = F (b ) F (+) G(b ) G(+) = Teorem 2.7. Sen f, f N-integrbles en (, b), entonces b f f. g(x) dx. Demostrción. Sbemos que f f f, entonces por el Teorem 2.6 inciso 3, y por lo tnto f f b b f f. Definición 2.8. Sen, Ω conjuntos biertos en R y h : Ω un función biyectiv, tl que h y h 1 tienen derivds continus de orden 1 ( son de clse C 1 ), entonces diremos que h es un difeomorfismo de sobre Ω. Teorem 2.9 (Cmbio de Vribles). Sen g : (, b) (c, d) un difeomorfismo y f : (c, d) R un función Newton integrble, entonces (f g)g = 24 g(b) g() f. f

29 2.2 Propieddes Demostrción. Como f es N-integrble, entonces existe F tl que F = f en (, b). Observemos que, por l Regl de l Cden, [F (g(x))] = f(g(x))g (x).. Entonces por otro ldo tenemos que f(g(x)) g (x) dx = F (g(b) ) F (g()+), g(b) g() f(u) du = F (g(b) ) F (g()+). Teorem 2.10 (Integrción por Prtes). Sen f, g : (, b) R funciones. Supongmos que F, G son primitivs de f, g, respectivmente, en (, b). Si (F G)(+) y (F G)(b ) existen y fg es Newton integrble en (, b), entonces F g es Newton integrble y F g = (F G)(b ) (F G)(+) fg. Demostrción. Por l regl del producto pr derivds tenemos que (F G) = F G + F G = fg + F g y como por hipótesis (F G)(+) y (F G)(b ) existen, entonces fg + F g es N-integrble en (, b), entonces F g es N-integrble, y que demás F g = (F G) fg, F g = = [(F G) fg] (F G) fg = (F G)(b ) (F G)(+) fg. 25

30 2.3 Integrción Absolut 2.3. Integrción Absolut Cundo se trbj con un función f que es Riemnn integrble, (Lebesgue integrble) se demuestr que l función f tmbién es Riemnn integrble (Lebesgue integrble). Pr l integrl de Newton esto no es necesrimente verddero. Dremos un ejemplo que no cumple con dich firmción. Ejemplo Demostrremos que l función f(x) = [x cos(π/x)] N-integrble pero f no es N-integrble en el intervlo (0, 1). es Un primitiv pr f es F (x) = x cos(π/x) y los límites lterles F (0+) = 0, F (1 ) = 1 existen. Entonces 1 0 f(x) dx = F (1 ) F (0+) = 1. Por lo tnto f es N-integrble. Supongmos que f es N-integrble. Pr cd k N consideremos los puntos k = 2/(2k + 1) y b k = 1/k, entonces tenemos que F ( k ) = 0 y F (b k ) = ( 1) k /k. Observemos que y que entonces k f(x) dx k n k=1 1 k 0 < k < b k < k 1 < b k 1 < < 1 n k=1 k f(x) dx = F (b k) F ( k ) = 1 k, k k k f(x) dx 1 0 f(x) dx, pero esto es un contrdicción, pues l serie rmónic es divergente. Este ejemplo justific l siguiente definición. Definición Sen < b. Un función f : (, b) R se dice bsolutmente Newton Integrble si f y f son Newton integrbles. 26

31 2.4 Generlizción de l Integrl de Newton 2.4. Generlizción de l Integrl de Newton Hy rzones por ls que se necesitn, en ocsiones, pedir excepciones en l Definición 2.1, como por ejemplo: trbjr con intervlos cerrdos, un pequeño conjunto en el que F no se diferencible o en el que F (x) f(x). Antes de presentr un vrinte de l Definición 2.1, definmos el concepto de primitiv generlizd. Definición 2.13 (primitiv generlizd). Sen I un intervlo en R y f : I R. Diremos que un función F : I R continu, es un primitiv generlizd de f, si existe un subconjunto de R, lo más numerble, N, tl que F es diferencible en I \ N y F (x) = f(x) pr cd x I \ N. Definición Sen < b. Un función f : (, b) R se dice Newton Integrble en (, b), si existe un primitiv generlizd F pr f en (, b) tl que F (b ), F (+) existen. Al número rel f = F (b ) F (+) le llmremos l Integrl de Newton de f en (, b). Por el Corolrio 1.39, se sigue que el vlor de l integrl de Newton en l definición nterior, no depende de l primitiv generlizd de f que se elij. Not: Pr otrs generlizciones de l integrl de Newton, ver [7]. Es clro que si un función es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.1, entonces es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.14, pero el recíproco no siempre es verddero, ejemplos de ésto son: Ejemplo Demostrremos que l función f : ( 1, 1) R definid como 1, si x 0 x f(x) = 0, si x = 0 no es Newton integrble en ( 1, 1), en el sentido de l Definición 2.1, pero si lo es en el sentido de l Definición

32 2.4 Generlizción de l Integrl de Newton Se r R. L función F : ( 1, 1) R definid como 2 x, si x > 0, F (x) = 2 x si x < 0, r, si x = 0, es continu en ( 1, 1), diferencible en ( 1, 1) {0} y F (x) = f(x) pr cd x ( 1, 1) {0}, por lo tnto f es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.14, F ( 1+) = 2 y F (1 ) = 2, entonces x dx = F (1 ) F ( 1+) = 4. Supongmos que f es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.1, entonces existe G : ( 1, 1) R diferencible, tl que G (x) = f(x) pr cd x ( 1, 1) y G(1+), G( 1+) existen. Como G y F son primitivs de f en ( 1, 0) y (0, 1), entonces existen C 1, C 2 R tles que G(x) = 2 x + C 1, si x > 0, G(x) = 2 x + C 2, si x < 0. Además G es continu en 0, entonces C 1 = C 2 y G(0) = C 1, y como f(0) = G (0) G(h) G(0) = lím h 0 + h 2 h = lím h 0 + h, pero este último límite no existe, por lo tnto llegmos un contrdicción. Así que f no es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.1. Ejemplo Demostrremos que l función f : (0, 1) R definid como 0, si x I, f(x) = 1, si x = p. q q es Newton integrble en (0, 1), en el sentido de l Definición 2.14, pero no lo es, en el sentido de l Definición

33 2.4 Generlizción de l Integrl de Newton Se F : (0, 1) R un función definid como F (x) = 1. Observemos que F es continu en (0, 1), F (1 ), F (0+) F (x) = 0 = f(x) pr cd x I y F (x) f(x) pr cd x Q, este último es un conjunto numerble de puntos pr los cules fll l iguldd, entonces es Newton integrble en el sentido de l Definición 2.14, pero no lo es en el sentido de l Definición 2.1. L integrl de Newton en el sentido de l Definición 2.14 es 1 0 f(x) dx = F (1) F (0) = 0. Los teorems demostrdos en este cpítulo pr l integrl de Newton en el sentido de l Definición 2.1, se pueden demostrr pr l integrl de Newton en el sentido de l Definición En el siguiente cpítulo, pr obtener resultdos más generles, trbjremos con l Definición

34 Cpítulo 3 L Integrl de Newton y su Relción con l Integrl de Lebesgue 3.1. Relción con l Integrl de Lebesgue En muchs ocsiones somos cpces de encontrr un primitiv pr un función dd, por lo que es de grn vlor práctico conocer l relción que gurd l integrl de Lebesgue con l integrl de Newton. Como se vió en el Ejemplo 2.5 no tods ls funciones Newton integrbles son Lebesgue integrbles. En est sección, nuestro objetivo es probr ls dos propieddes siguientes de l integrl de Newton. (i) Si f : [, b] R es Lebesgue y Newton integrble, entonces ls dos integrles son igules. (ii) Si un función f : [, b] R es bsolutmente Newton integrble, entonces tmbién es Lebesgue integrble. Antes de demostrr ls firmciones nteriores dremos los siguientes teorems, pr fcilitr l lectur del trbjo, cuys demostrciones se encuentr en [4]. Teorem 3.1. [4, Teorem 13.41] Un función es integrble, si y sólo si, f es medible y existe un función integrble g 0 tl que f g. 30

35 3.1 Relción con l Integrl de Lebesgue Corolrio 3.2. [4, Corolrio 13.42] Un función f es integrble, si y sólo si, f es medible y f es integrble. Teorem 3.3 (Teorem de Diferencición de Lebesgue). [4, Teorem de Diferencición de Lebesgue] Si g es un función rel vlud monóton en [, b], entonces g es diferencible csi dondequier en [, b]. Teorem 3.4. [4, Teorem 14.4] Si g es un función creciente en [, b], entonces g es integrble y g (t) dt g(b) g(). Teorem 3.5. [4, Lem 14.10] Sen F, f : [, b] R, f Lebesgue integrble en [, b] y F continu en [, b], tl que F (t) = f(t) en [, b] slvo un conjunto lo más numerble. Entonces F (b) F () f(t) dt. Teorem 3.6 (Teorem Fundmentl del Cálculo). [4, Teorem 14.11] Se f : [, b] R un función Lebesgue integrble en [, b] l cul tiene un primitiv (o primitiv generlizd) F en [, b]. Entonces F es bsolutmente continu en [, b], y f(t) dt = F (b) F (). Ahor si podemos demostrr el siguiente teorem. Teorem 3.7 (I). Sen < b. Si f : (, b) R es Newton y Lebesgue integrble en (, b), entonces f(x) dx = f(x) dx. Demostrción. Escogemos un sucesión [ n, b n ] de subintervlos de (, b) tles que [ n, b n ] (, b), y se f n = fχ [n,bn], donde χ [n,bn] es l función crcterístic de [ n, b n ]. Entonces f n f puntulmente en (, b), y f n f pr tod n N. Por el Teorem de l Convergenci Domind de Lebesgue y el Teorem Fundmentl del Cálculo, si F es un primitiv de f en (, b), entonces 31

36 3.1 Relción con l Integrl de Lebesgue f(t) dt = n lím fχ n [n,bn] (t) dt n = lím (F (b n ) F ( n )) n = F (b) F (). Teorem 3.8 (II). Sen < b y f : (, b) R bsolutmente Newton integrble en (, b). Entonces f es Lebesgue integrble, y Demostrción. f(x) dx = f(x) dx. cso I: Supongmos primero que f es Newton integrble y no negtiv. Por el Teorem 1.38, F, primitiv de f, es un función creciente en (, b) y por el Teorem 3.4, f es Lebesgue integrble en culquier subintervlo compcto de (, b). Escogemos un sucesión [ n, b n ] de subintervlos de (, b) tles que [ n, b n ] (, b). Por el Teorem Fundmentl del Cálculo, pr culquier n N 0 n n f(x) dx = F (b n ) F ( n ) F (b ) F (+). Pr cd n N, sen ls funciones f n = fχ [n,b n], entonces tenemos que f n f, por el Teorem de l Convergenci Monóton f es Lebesgue integrble en (, b). Utilizndo el teorem nterior llegmos l iguldd de ls integrles. cso II: Ahor, se f un función bsolutmente Newton integrble y F un primitiv pr f. Notemos que f = F [ F (x + h) F (x) = lím h 0 h [ ( F x + 1 = lím n = lím n n [ ( F x + 1 n 32 ] n) F (x) 1 n ) ] ] F (x)

37 3.1 Relción con l Integrl de Lebesgue Definmos [ ( F n (x) = n F x + 1 ) ] F (x), n N n entonces F n f y f es Lebesgue medible, pues es el límite de funciones continus. Por l primer prte de l prueb (por el Teorem 1.38, F es un función creciente en (, b) y usndo el Teorem 3.4), f es Lebesgue integrble en (, b). Por el Corolrio 3.2, f tmbién es Lebesgue integrble y usndo el teorem nterior se complet l prueb. A continución vemos como se usn estos dos últimos teorems en el contexto de l integrl de Lebesgue. Ejemplo 3.9. Clculemos l integrl de Lebesgue t dt. Clculr l integrl de Lebesque por definición es complicd, como se puede consttr en [4]. Utilizemos el teorem?? pr clculrl. L función f(t) = 1 t tiene un primitiv F (t) = 2 t en (0, 1), y los límites F (1+) = 2, F (0 ) = 0 existen. Y que f > 0, entonces f es bsolutmente Newton integrble en (0, 1). Por el Teorem 3.8, f es Lebesgue integrble en (0, 1) y 1 0 dt t = 1 0 dt t = F (1+) F (0 ) = 2. Ejemplo Clculemos l integrl de Lebesgue 1 0 log tdt. L función h(t) = log t tiene un primitiv H(t) = t log t t y demás h es Lebesgue integrble en (0, 1) y 1 0 log tdt = log tdt.

38 3.1 Relción con l Integrl de Lebesgue Utilizndo integrción por prtes pr ls integrles de Newton tomndo F = log t, g = dt, f = 1, t G = t. (F G)(t) = t log t, (fg)(t) = 1 y (F G)(1 ) = 0, (F G)(0+) = 0, tenemos que 1 0 log tdt = (F G)(1 ) (F G)(0+) = 0 0 (1 0) = 1. L integrl de Newton puede ser usd pr demostrr un versión de l integrción por prtes pr l integrl de Lebesgue, como lo veremos continución dt Teorem 3.11 (Integrción por prtes). Se b y sen f, g : (, b) R funciones continus y diferencibles en (, b) tles que f g y fg son Lebesgue integrbles en (, b) y los límites (fg)(+) y (fg)(b ) existen. Entonces f g = [(fg)(b ) (fg)(+)] Demostrción. Un primitiv pr l función f g + fg es H = fg en (, b) y los límites lterles (fg)(+) y (fg)(b ) existen por hipótesis, por lo tnto f g + fg es N-integrble. Observemos que f g + fg es Lebesgue integrble. Por el Teorem 3.7, ls dos integrles son igules, sí que (f g + fg ) = H(b ) H(+). fg. Aplicndo l propiedd de linelidd y despejndo tenemos f g = [(fg)(b ) (fg)(+)] fg. 34

39 Conclusiones Hemos presentdo y demostrdo lgunos de los resultdos básicos de l integrl de Newton, Tmbién demostrmos que si un función es Lebesgue integrble y Newton integrble sobre un mismo intervlo, entonces mbs integrles coinciden; ún más, demostrmos que si un función es bsolutmente Newton integrble, entonces tmbién es Lebesgue integrble. Además, mostrmos como est últim propiedd puede ser usd, entre otrs coss, pr clculr integrles. Perspectivs Alguns perspectivs son: Estudir l integrl de Newton con myor detlle, como por ejemplo, teorems de convergenci, tipo Teorem de l Convergenci Monóton, Teorem de l Convergenci Domind, etc. Estudir l relción de l integrl de Newton con otrs integrles, tles com l integrl de Henstock-Kurzweil. Estudir ls propieddes del espcio de ls funciones Newton bsolutmente integrbles, como subespcio del espcio de Bnch de ls funciones Lebesgue integrbles. 35

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