MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

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1 Cesiones Poblems de MECÁNIC DE MEDIOS CONTINUOS X. Olie C. gele de Scib

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3 Cesiones Poblems de MECÁNIC DE MEDIOS CONTINUOS X. Olie C. gele de Scib

4 X. Olie C. gele de Scib Cesiones Poblems de Mecánic de Medios Coninos Compildo po J. Míne Pejo Jlio -7

5 Descipción del moimieno Cesiones esels Descipc ión del moimieno CUESTIONES RESUELTS CR - Jsific si son cies o flss ls sigienes fimciones: ) Si el cmpo de elociddes es escionio, el cmpo de celeciones mbién lo es. b) Si el cmpo de elociddes es nifome, el cmpo de celeciones es siempe nlo. c) Si el cmpo de elociddes es escionio el medio es incompesible el cmpo de celeciones es siempe nlo. ( Tem 5) Resolción: ) Qe el cmpo de elociddes se escionio signific lo sigiene: (, ) ( ) L deid meil de l elocidd d l celeción po no: (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) L epesión qe qed no depende del iempo. sí se concle qe l fimción del enncido es cie. b) Si el cmpo de elociddes es nifome implic qe no depende de l coodend espcil po no: (, ) () Deindo l elocidd qed: (, ) () (, ) (, ) (, ) qe el gdiene de l elocidd es: j () [ () ] ij () Po lo no, l fimción es fls qe no iene poqé se nlo. c) Como en el pdo ), l elocidd es del ipo: (, ) ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) i

6 Descipción del moimieno Cesiones esels Medio incompesible signific, memáicmene, qe l diegenci de l elocidd es nl: ( ) Peo eso no implic necesimene qe el gdiene de l elocidd mbién lo se, es deci, l celeción no iene poqé se ceo: (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) Se concle qe l fimción es fls. CR - Deemin en qé condiciones ls sigienes ecciones peden se ls ecois de n medio conino: X Z(e )( ) Y Z(e e )( ) e Z( ) Z Resolción: F (X, ) es el enso Gdiene Meil de l Defomción, definido de l sigiene mne: i Fij X j Se debe cmpli: F > F (e )( ) (e e )( ) F ( e ( )) > e ( ) e ( ) (e ) e > e <.57 e GENERLIZCIÓN: P n cso más genel, donde se eng l Fom Cnónic de ls Ecciones del Moimieno: (C,C, C, ) C C (e C C (e e ) e C ( ) se debeá cmpli l mism condición F >. Peo ho ls epesiones son difeenes ls neioes. Tomndo como insne inicil n iempo * : ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

7 Descipción del moimieno Cesiones esels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) ) ( ) ( ) ( C e Z e e C C Y e C C X despejndo { },, i, C i : ) ( e Z C )] e ( Z [Y C )] e ( Z [X C 4 Ess ecciones esán definids p. Ssiendo en ls ecciones de ls ecois del medio conino esl: Z ) e ( * Z ) e ( Z Y ) e ( * Z ) e ( Z X 4 4 De eso se dedce qe. Si ho se clcl j i ij X F s deeminne, qed l condición: > F O lo qe es lo mismo:,, > > < < CR - Clcl l celeción en el insne en el pno ( ),, del sigiene cmpo de elociddes : [ ] T ), e (e,. Resolción: Como se d l epesión espcil de l elocidd se pide el lo de l celeción en n pno T (,,) del espcio, no hce fl encon ls Ecciones de Moimieno. Únicmene h qe plic:

8 4 Descipción del moimieno Cesiones esels donde: d(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) d [, (e e ), ] T [, (e e ), ] [,, ] T ( (e [, (e e ), ] T, ) [, e e, ] T e ) CR -4 Ls ecciones de n cieo moimieno son: X, ( Y Z) e ( Y Z) e, Y Z Clcl ls celeciones qe obseí lo lgo del iempo: [ ] [( ) e ( Y Z) e ] ) Un obsedo sido en el pno fijo (,,). b) Un obsedo qe ij con l pícl qe en ocpb el pno (,,). c) Un obsedo sido en el pno (,,) qe midiese ls celeciones como difeenci de ls elociddes en dicho pno po nidd de iempo. Resolción: Pimeo se clcln ls Ecciones de Moimieno Iness: (Y Z)e Y Z ( )e (Y Z)e Y Z ( )e X Y ( )e ( )e Z ( )e ( )e ho l elocidd: ( X, ) ( X, ) (Y Z)e (Y Z)e (Y Z)e (Y Z)e Uilindo ls Ecciones de Moimieno Iness se obiene l descipción espcil de l elocidd: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

9 Descipción del moimieno Cesiones esels 5 (, ) ( ) P clcl l celeción se pocede de l mism mne: ( X, ) ( X, ) (Y Z)e (Y Z)e ( ) (Y Z)e (Y Z)e Y con ls Ecciones de Moimieno Iness se dedce l descipción espcil de l celeción: (, ) ( ) ) Se iene qe ili l epesión ( ) p * (,,) T (, ) : [,,] T b) Se iene qe ili l epesión ( ) p * (,,) T ( X, ) X : [, e, e ] T c) Se iene qe clcl l deid locl de ( ), como no depende de eplícimene, és seá nl. No dependeá ni de ni de : (, ) [,, ] T CR -5 Ddo el cmpo de elociddes [,, ] T : ) Deemin ls ecciones de ls línes de coiene ecois. b) Deemin los posibles loes de los pámeos β α, p los cles l fnción f(,,, ) Resolción: α e β C, donde C es n consne, define n speficie meil. ) Ls ecois cmplen ls sigienes ecciones: d d d d d d C C e C e imponiendo l condición Ecciones de Moimieno: X p, se obiene l Fom Cnónic de ls -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

10 6 Descipción del moimieno Cesiones esels Ye Z X Ls línes de coiene cmplián: d dλ d dλ d dλ λ C C C e λ b) f(,,, ) define l speficie meil Σ : { f(,,, ) }, po lo no debeá cmpli: df f f d Σ f β α βe f β α (,α e, ) T f α e β α df β α β α β βe α e ( β α )e d Σ β α β f(,,, ) e C e α α C Σ ( β α )e β α C( β α ) β α ( β α )e Σ C( β α ) β α CR -6 Ddo el sigiene cmpo de elociddes (descipción espcil) en coodends cesins: [,, ϕ() ] T, l speficie: Σ : { F(,,, ) e ( ) e C } donde C es n consne, deemin ϕ () sbiendo qe ls pícls qe esán sobe dich speficie son siempe ls misms. Resolción: F define l speficie meil Σ : { F(,,, ) }, po no debeá cmpli: donde df F (, ) F Σ d -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

11 Descipción del moimieno Cesiones esels 7 eslndo finlmene: Po o pe: F e ( ) e e F e e F (,, ϕ() ) F e e e ϕ( ) ( ϕ() )e Σ Σ F(,,, ) e ( ) e C ( ϕ() )e [ C e ( )] [ e ( )]( ϕ() ), C ϕ() e CR -7 ) Obene l diegenci en el pno (,,) T del cmpo ecoil definido en coodends esféics po eˆ. b) Jsific qe, en el cso más genel, p clqie cmpo ecoil como el de l Fig. ( conegene hci el pno ) o el de l Fig. (diegene desde el pno ), el lo de l diegenci en es negio posiio, especimene. Fig. Fig. Resolción: ) El cmpo de elociddes en coodends esféics es el sigiene: φ L definición de diegenci en coodends esféics es: ( En ese cso picl qed sí: ) ( sen sen ) sen φ φ ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

12 8 Descipción del moimieno Cesiones esels P el cso de l Fig esl < qe el eco elocidd iene difeene senido qe ls cecienes, po no, l diegenci es negi. P el cso de l Fig esl > qe el eco elocidd iene el mismo senido qe ls cecienes, po no, l diegenci es posii. b) P demoslo, se om n olmen difeencil qe enel el pno se on sobe él: FIGUR : Los ecoes n ienen difeene senido, qe n es el eco niio eeio del olmen dv hci deno. Po no s podco seá negio. dv ( ) dv dv nds < V dv dv ( ) FIGUR : En ese cso, oce odo lo conio, n ienen el mismo senido, po no, s podco seá posiio. < dv dv dv dv ( ) dv nds > V ( ) > -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

13 Descipción del moimieno Poblems Reselos 9 PROLEMS RESUELTOS PR - P el sigiene cmpo de elociddes:,, f (, ) Se pide: ) Hll ls ecois ls línes de coiene indicndo cómo son. f b) Dd l fnción g(,,, ) Ln( ), deemin el lo de f(, ) p qe g(,,, ) se n speficie meil. c) Deemin l densidd sbiendo qe en, ρ f (, ). d) En el insne, en los pnos de n speficie esféic de ceno (,,) dio R, se iee n colone. Obene l ección de l mnch lo lgo del iempo. e) P el cso picl f(, ), clcl l cnidd de ms po nidd de iempo qe ies l speficie cilíndic de l fig c dieci iene longid L esá Tem 5 conenid en el plno. ( ) L Áe S Resolción: ) P hll ls ecois se debe ineg l descipción espcil de l elocidd qe: d d (, ) Se pede plic l igldd componene componene, l piclil p ese poblem esl: d () C d d d () C d d d f(, ) f(c, C ) d d f(c, C ) d () f(c,c ) k Ln () C P obene l epesión en fom cnónic se impone qe: () X e f(c,c ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

14 Descipción del moimieno Poblems Reselos L ección de ls ecois es: () C () C () C X Y f Z e X Y Z ( X, Y) ( ) P hll ls línes de coiene, se endí qe ineg el cmpo de elociddes especo λ, peo en el poblem el cmpo de elociddes en descipción espcil no depende eplícimene del iempo,, es deci, el cmpo de elociddes es escionio, po no, ls línes de coiene coinciden con ls ecois. L ección de ls línes de coiene seá enonces: C C C X e f ( C, C )λ Ls ecois ( ls línes de coiene) son eicles qe sólo í l componene, debido qe el cmpo de elociddes es eicl. Como ls línes de coiene son ss enolenes mbién deben se eicles. b) Recod qe (, ) φ es speficie meil si, sólo si, s deid meil es nl: dφ d Se iene l speficie definid po: (, ) φ(, ) φ (, ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) f g(,,, ) Ln() Se clcl s deid meil se igl ceo. g L deid meil esl: g f(, ) g g g [ ] f(, ) f(, ) g

15 Descipción del moimieno Poblems Reselos dg d f(, ) f(, ) Si se om f(, ) : f(, ) f(, ) f(, ) f(, ) [ Ln( f(, ) )] Po no, g es meil si, sólo si, f(, ) f Ln( f(, ) ) () e P el cso f (, ) se iene qe ( ) po no, od speficie es meil. ϕ() (, ) ψ( ) e f(, ) f(, ) ϕ Ψ() e,, es deci, el medio conino esá en eposo, c) L densidd eific l sigiene ección de coninidd: ρ Epesd en componenes esl: ρ, siendo F( X, ) F i ij. X j F. X Teniendo en cen ls ecciones de moimieno ( ), se peden clcl ls componenes de F : X Y Z F X Y Z f(x,y) * * e X Y Z Los loes * no se necesin po ello no se eplicin. El deeminne de ( X, ) F es: F( X, ) e f(x,y) En el enncido se dice qe en ρ, es deci, según ls epesiones ( ), ρ f ( X, Y). f ( X, Y) ρ, f (, ) () f ( X,Y) e -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

16 Descipción del moimieno Poblems Reselos d) Se pide hll l ección de l mnch lo lgo del iempo, es deci, l descipción espcil de l speficie meil de ls pícls qe en esbn sobe l esfe de ceno el oigen de coodends de dio R. En l mnch es n esfe peo no se sbe ls pícls qe l consien: (*) (*) (*) Inodciendo ls ecciones del moimieno ( ) piclids en,se eig l posición inicil de ls pícls qe fomn pe de l esfe en. Como es n speficie meil, éss fomán l mnch p odos los iempos (idenificción de ls pícls): * X X * Y * Z e Y Z e f (X,Y) f(x,y) qe es l epesión meil de l speficie meil. Se bsc l descipción espcil, po lo qe se debe ssii en l epesión neio ls ecciones iness del moimieno: X Y Z e - R R f(,) e f(,) e f(,) R ( - ) f (,) e R e) L cnidd de ms po nidd de iempo qe ies n speficie se define de l sigiene fom: φ ρ nds ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) S P ese poblem según el pdo c), l densidd iene l sigiene epesión: ρ e S Se obse qe l densidd no depende de los pnos del espcio, sino qe únicmene lo hce del iempo, po lo no pede sli fe de l inegl. Y si l speficie encie n olmen V plicmos el Teoem de l Diegenci qed: φ S ρ nds ρ dv ( ) S Se clcl ho el fljo de ms és de cd speficie ilindo l epesión ( ) lego el fljo ol medine l ( ). sí se despej el esldo finl. Vmos denomin ls difeenes speficies de l sigiene mne: Sp. : l conenid en el plno - con. Sp. : l conenid en n plno plelo l - con L. V

17 Descipción del moimieno Poblems Reselos Sp. : l conenid en el plno - con. Sp. 4: l speficie iegl qe cie finlmene el olmen V. Fljo de ms és de l speficie : φ Fljo de ms és de l speficie : S ρ nds ρ ( e)ds ρ ds S S S φ Fljo de ms és de l speficie : S ρ nds ρ eds ρ ds S S S φs ρ nds ρ ( e)ds ρ ds ρ ds ρ ds S S S S S Fljo de ms és de ods ls speficies: φ S ρ ndv ρ V V ( )dv ρ Po lo no, se pede encon φ S de l sigiene mne: 4 φ S 4 φ S φ φ φ V φ S S S S4 φs φ 4 S φs φ S φ S ρls ρls ( )dv ρv ρls Y finlmene, el fljo és de l speficie cilíndic, fomd po ls speficies 4, es: φ φ ρls S S 4 φs ρls PR - L descipción espcil del cmpo de elociddes de n flido pefeco es: (, ) e,, L descipción meil del cmpo de pesiones es ( X, ) T e p ρ Z, siendo ce ρ. ϕ, e k es n speficie meil. Se sbe mbién qe l speficie ( ) ( ) Se pide: ) Ección de ls ecois de ls línes de coiene. b) Ls fes de olmen qe oiginn el moimieno. ( Tem 4) c) En el pno * se podce n eido en el inelo [, ]. Obene l ección de l líne de l posición de ss pnos inicil finl. d) Clcl el fljo de ms qe ies l speficie de l esfe de ceno en (,,) dio R. ( Tem 5) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

18 4 Descipción del moimieno Poblems Reselos Resolción: ) En pime lg, h qe ili l infomción sobe l speficie ϕ p pode comple el cmpo de elociddes espcil, qe el enncido no d eplícimene l componene. Qe dich speficie se meil signific qe ods ls pícls qe l componen son siempe ls misms, epesdo memáicmene qed: ϕ (e dϕ ϕ ϕ d e ( )) (e e ( )) e ( )e T (,, ( )e ) ϕ Po lo no: T (, ) e,, ho se pede clcl ls ecois según l ección: d() ( (), ) d de l qe esln ecciones difeenciles odinis de e oden: d d d e d d Ze d d d Ls ecciones de ls ecois son: e Z Ze X Z ln ln( ) k, Y( ) X Z Y( ) Ze ( ) P ls línes de coiene se debe cmpli: donde es fijo l ineg. d dλ d( λ) ( ( λ), ) dλ d dλ e d dλ C λ e e (C,C, C, λ, ) ln λ k C e λ C C e d d dλ λ ln k C dλ e Ls ecciones de ls línes de coiene son: λ λ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

19 Descipción del moimieno Poblems Reselos 5 C C C λ e λ e λ e C b) En el cso de n flido pefeco se iene qe s enso de ensiones es esféico: p Y po lo no, ssiéndolo en l Ección de Cch nos qed lo sigiene: p ρb ρ ( ) P clcl l celeción piendo de l elocidd únicmene se h de clcl l deid meil especo del iempo. Si se om l epesión espcil de l elocidd (, ) se iene qe: (, ) (, ) (, ) (, ) Peo si se bj con l epesión meil (X, ) : d( X, ) ( X, ) d Se opeá con es segnd epesión ilindo ls ecciones ( ): Deindo se obiene l celeción: (, ) e ( X, ) Ze e Z Y( ) (, ) ( X, ) Y (, ) ( X, ) Ze d( X, ) ( X, ) d [,, Ze ] T e iniiendo ls ecciones ( ), se obiene l epesión espcil: (, ) [,, ] T L epesión de l pesión p iene en el enncido de fom meil, peo con ls iness de ls fómls ( ) se pede clcl l epesión espcil. El gdiene se clcl de l sigiene fom: p(, ) p(, ) p(, ) p,, P clcl l densidd ρ se ili l fóml: T ρe,, T ρ(, ) ρ( X,) F( X, ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

20 6 Descipción del moimieno Poblems Reselos donde F(X, ) es el Tenso Gdiene de l Defomción ρ( X,) ρ : i F ij l densidd inicil X j F( X, ) F ( )e e ρe ρ ( ) Únicmene fl ssii esos esldos en l ección ( ) despej b : b(, ) [,, ] T c) Ls pícls qe psn po el pno * dne el inelo de iempo τ [, ] qedín mnchds po el eido si ése fese n colone (es n mne de isli el poblem). P deec ess pícls (líne de ) bs impone: X Zτ Y( τ) Ze τ Ze τ X Zτ τe Y τ τ Z e τ ( 4 ) Ssiendo ess pícls X, Y, Z ( 4 ) en ls ecciones ( ), se obiene l descipción del moimieno de l líne de : X Z Y( ) Ze τ e τ τ τe τ e τ e ( τ ) P cd insne, se pede isli l líne de según el pámeo τ, qe d l sición espcil de ls pícls inds. Se pede compob qe p τ se debe cmpli: qe lo qe indic es qe l líne de esá psndo po el pno de eido. ho h qe delimi es líne p cd iempo : En ese cso, el pime pno qe se in es el qe ps po el pno de eido p τ, miens qe el úlimo esá psndo, en el insne τ, po el pno de eido. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

21 Descipción del moimieno Poblems Reselos 7 Un eemo es τ * El oo eemo es τ e e ( ) < < * * * (, ), pno de eido τ τ líne de P > los eemos son los coespondienes : τ e ( ) e τ e ( ) e > * * * (, ), pno de eido τ τ líne de d) El fljo de ms Φ qe ies clqie speficie Ω se define de l sigiene mne: Φ S ρ( n)ds Y si se de n speficie ced qe encie n olmen Ω, se pede plic el Teoem de l Diegenci: Φ Ω ( ρ) dv -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

22 8 Descipción del moimieno Poblems Reselos Po o pe, según l Ección de Coninidd (locl, espcil): ρ ρ ( ρ) ( ρ) como se h obenido l epesión de l densidd en ( ), se pede clcl s deid locl: ρ ρe ( ) H qe dse cen qe dich deid es consne en el espcio. sí, únicmene h qe ssii: ρ ρ Φ dv V Ω ρe Φ ( ) 4 πr -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

23 Descipción del moimieno Cesiones Popess 9 CUESTIONES PROPUESTS CP - Defini descipción meil espcil de n moimieno. CP - Ennci e inepe físicmene ls condiciones qe debe eific l fom cnónic de l ección de moimieno: Φ( X, ) CP - Defini escibi ls ecciones de: ) Líne de coiene. b) Tecoi. c) Líne de. CP -4 Ron si son cies o flss ls sigienes fimciones: ) Dos línes de coiene, coespondienes n mismo insne de iempo, no peden cose nnc, slo qe l elocidd en el pno de coe se nl. b) Dos ecois disins no peden cose nnc. c) Dos línes de, coespondienes dos pnos de eido con el mismo peiodo de eido, peden cose en no o más pnos. CP -5 Jsific si son cies o flss ls sigienes fimciones: ) En égimen escionio, ls ecois línes de coiene coinciden. b) Si n cieo fljo iene como ecois línes de coiene ecs plels l eje, dicho fljo es escionio. CP -6 Ddo el sigiene cmpo de elociddes (descipción meil): [ e X, X, CX ] T con, C consnes, obene s descipción espcil ls condiciones qe deben cmpli,, C p qe el moimieno se fcible p < <. CP -7 Dds ls ecciones del moimieno: X Y Z, Y Z, Y ) Jsific cl es el inelo de iempo p el qe desciben n moimieno físicmene posible. b) Obene l eolción de l densidd lo lgo del iempo. Z CP -8 Dds ls ecciones de moimieno X, Y, Ze l disibción de densiddes en el insne de efeenci ρ ( X, Y, Z) Z, obene l ición de l densidd po nidd de iempo obsed po: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

24 Descipción del moimieno Cesiones Popess ) Un obsedo sido en el pno del espcio (,,) qe midie l densidd de ls pícls qe n psndo po dicho pno. b) Un obsedo qe ij con n pícl qe en el insne ocpb l posición (,,), midiendo s densidd. CP -9 Ddo el cmpo de elociddes de n medio conino (descipción meil) : dϕ() X X Xϕ (), Y Ye, Z d obene l epesión más genel de l fnción ϕ () sbiendo qe el moimieno es escionio (l configción de efeenci se conside en ). CP - Jsific si es cie o fls l sigiene fimción: Ls ecois línes de coiene socids l cmpo de elociddes ( X, ) X e, i {,, } coinciden. i i CP - Clcl ls ecois línes de coiene socids l cmpo de elociddes: i i, i {,,} compob si coinciden o no. Ron el esldo. ( ) CP - En n flido, con el sigiene cmpo de elociddes: [ e,, ] T se iee n colone desde el insne hs el insne en el pno (,,). Obene l ección de l líne de en el insne 5 ls coodends de ss pnos inicil finl. CP - En el pno (,,) del ineio de n flido, se iee n colone desde el insne hs el insne. Si l ección de ls línes de coiene es : λ λ λ e, C e, Ce C deemin l ección de l líne de, indicndo los pnos inicil finl de l mism p 5. CP -4 L descipción espcil del cmpo de elociddes de n flido es: [ e, e, ] T En el insne se iee n colone en el plno. Obene l ección espcil de l mnch lo lgo del iempo. CP -5 Un moimieno iene definido po el cmpo de elociddes:,, Ron si l speficie Σ : { } es meil. T -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

25 Descipción del moimieno Cesiones Popess CP -6 Ddo el cmpo de elociddes:,,, demos qe clqie de ls speficies Σ : { R }, donde R es n consne, es n speficie meil. T CP -7 Ddo el cmpo de elociddes:,,, sbiendo qe l speficie Σ : α β es meil, encon odos los posible loes de α β. { } T CP -8 Ddo el cmpo de elociddes: [ ϕ(),, ] T, l speficie definid po l fnción F(,,, ) e e ( ), deemin ϕ ( ) sbiendo qe ls pícls qe esán sobe dich speficie son siempe ls misms. Obene ls ecois línes de coiene jsificndo si coinciden o no. CP -9 Se n moimieno definido po l sigiene ección de ss línes de coiene: λ λ C f()e, C e, C C se l speficie meil : { e } Σ. Obene l ección de ls ecois en fom cnónic del moimieno sí definido -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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27 Descipción del moimieno Poblems Popesos PROLEMS PROPUESTOS PP - P el moimieno definido po el cmpo de elociddes: e ; ; Se pide: ) Hll ls ecois en fom cnónic ls línes de coiene. b) Obene l epesión de l densidd sbiendo qe s lo en el insne es ρ. c) Clcl l cnidd de ms qe po nidd de iempo ies l speficie cilíndic S de l fig. ( Tem 5) d) Obene l ección espcil de l speficie meil qe, en el insne, e n esfe de ceno (,,) de dio R. e) Clcl el olmen encedo po dich speficie meil en el insne. ( Tem) S S h PP - P el moimieno definido po el cmpo de elociddes: ; b ; c Se pide: ) Hll l ecciones de ls ecois en fom cnónic l ección de ls línes de coiene. b) Deemin los posibles loes de, b c p qe el moimieno eng senido físico p [, ). (P el eso del poblem conside b c ) c) Obene l epesión de l densidd sbiendo qe s lo en el insne de efeenci ( ) es ρ ce. d) Clcl el fljo de ms qe ies l speficie cilíndic S de l fig.( Tem 5) e) Obene l descipción espcil de l speficie meil qe en el insne e n esfe de dio R ceno en (,,). f) Clcl el olmen encedo po dich speficie en el insne. ( Tem) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

28 4 Descipción del moimieno Poblems Popesos S h PP - Un medio conino iene el sigiene cmpo de elociddes, en descipción espcil: - [ e,, ] T Se pide: ) L ección en fom cnónic de ls ecois línes de coiene, omndo como insne de efeenci. b) L ección espcil lo lgo del iempo de n speficie meil qe en el insne es n speficie esféic de ceno en (,,) dio R. Obene el olmen encedo po dich speficie en el insne. ( Tem) c) L longid, en el insne, de n segmeno qe en el insne es eco ne los pnos (,,) (,,). ( Tem) d) Sponiendo qe se dmie n ección consii elásic-linel ene ls ensiones de Cch ls defomciones de Geen-Lgnge especo l configción, obene l epesión de ls fes de olmen necesis p mnene el moimieno. ( Tem 4) NOT: ij λδ ij d E µ E ll ij Ln λ, µ ces ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

29 Descipción de l defomción Cesiones Resels 5 Descipción de l defomción CUESTIONES RESUELTS CR - Se iene el sigiene enso espcil de defomción p el moimieno de n medio conino: e e(, ) e (e e ) Clcl l longid, en el insne del segmeno qe en el insne es ecilíneo ne los pnos (,,) b(,,). Resolción: Se dn ls condiciones eisenes en el Tenso Espcil de Defomción eso pemiiá eocede en el iempo clcl ls condiciones iniciles p. Z Y ds b ds X En l defomción de n segmeno se define el esimieno en l diección como: λ En ese cso el eco niio le: Opendo esl lo sigiene: e ( ) T ds ds -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

30 Descipción de l defomción Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 6 [ ] e ) e (e e e e e 4 e λ λ λ λ λ b b ds ds ds l e 4 l CR - En n cieo insne el moimieno de n medio conino iene definido po: X X X, X X, X X Hll el enso meil de defomción. Demos qe si es peqeño, el moimieno pede enendese como n oción de sólido ígido clcl el eco de oción. Resolción: El Tenso Meil de Defomción ( E ) se elcion con el Tenso Gdiene de l Defomción ( F ) según l epesión: ) ( T F F E po lo no, se debe encon el lo de F : X j i F T T ; F F F El enso E esl finlmene: E Según l eoí genel, se define el Tenso Gdiene Meil de Desplmienos como: - F J

31 Descipción de l defomción Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 7 En el cso de peqeño se cmplen ls condiciones de defomciones infiniesimles, po lo no, el Tenso Infiniesiml de Roción ldá: ) ( T J J Ω el Veco Infiniesiml de Roción: Ω Ω Ω El moimieno de ls pícls pede definise como: X F d d donde F εω demás, en peqeñs defomciones se cmple qe: ) ( T J J E ε Eso indic qe no eisen defomciones, po lo no hbá n gio infiniesiml de sólido ígido: ( ) X d d Ω CR - En n cieo insne, el cmpo de desplmienos de n medio conino es: ( ) ( ) ( )Z ; α X Y ; X Z Y X. Deemin, sbiendo qe el sólido es incompesible, qe n segmeno plelo l eje Z no se lg qe el áe de n elemeno sido en el plno XZ no se h modificdo. Resolción: pi del cmpo de desplmienos se peden encon ls ecciones del moimieno según: Z Z α X Y Y X X Z Y X Obenids éss, se clcl el Tenso Gdiene de l Defomción s deeminne: α F F

32 Descipción de l defomción Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 8 Qe el sólido se incompesible implic qe no se modific s olmen, po lo no: dv dv F F Qe n segmeno plelo l eje Z no se lge conlle qe: E λ λ ds ds T E T donde el Tenso Meil de Defomción le: α α ) α ( ) ( T F F E sí se concle lo sigiene: E E Po úlimo se esdi l condición de qe el áe de n elemeno sido en el plno XZ no se h modificdo. Si se define n áe en el plno XZ según los ecoes dx dx les plicmos l defomción coespondiene : ds d d ds d ds α d d ds d X F X X F X El áe eslne seá: ds ds α α d d k j i l igl ls áes inicil finl esl: ds ds ) ( α) ( Áe finl ds ds Áe inicil ) ( ) ( α α Si se iene en cen qe qed lo sigiene: α ) ( α α Finlmene se obienen ls posibles solciones:

33 Descipción de l defomción Cesiones Resels 9 Solción Solción Solción Solción : : : 4: α α α α,,,, α α α α,,,, CR -4 P l defomción definid po: X mz, Y, Z mx donde m es n consne, hll el olmen de l defomd de n esfe de ceno (,,) dio R. Resolción: En pime lg, se debe clcl el Tenso Gdiene de l Defomción s deeminne: i F F X j m m m Teniendo en cen qe F no depende del espcio, l elción eisene ene olmen inicil finl qed de l sigiene mne: dv F dv dv F dv V F V V ( m ) 4 πr CR -5 En n medio conino se podce n defomción con ls sigienes consecencis sobe el iánglo de l fig: ) El segmeno O ps medi ( p) eces s longid inicil. b) El ánglo O dismine en q dines s lo inicil. c) El áe ps se ( ) eces l inicil. d) p, q,, s << O Sbiendo qe l defomción es nifome, qe el eje es n diección pincipl del enso gdiene de l defomción, qe ése es siméico qe el esimieno en dich diección es λ s, obene el enso de peqeñs defomciones. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

34 Descipción de l defomción Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) Resolción: Como l defomción es nifome enonces el Tenso Gdiene de l Defomción ( F ) no dependeá de ls ibles espciles. Consecenemene, el Tenso de Defomción ( E ) los esimienos ( λ ) mpoco. Recod qe se esá bjo condiciones de defomciones infiniesimles. Se endá qe elcion l longid inicil finl de n segmeno plelo l eje : p λ p)o ( O O λ dx λ dx O inicil finl inicil O O finl λ p p ε ε λ qí elcionemos n ánglo eco ( ene los ejes e ) inicil con el qe qed despés de l defomción: q q Φ Φ Ánglo finl Ánglo inicil ε ε γ π π F es siméico el eje es diección pincipl: () ) (, ) (, F F F F F J F ε ε ε ε s s λ λ ε ε demás, según l epesión: F εω donde Ω qe es n enso nisiméico, po lo no, se pede obene F : s F F ε L elción eisene ene ls áes es: d d F F P clcl l ines de F, se ili l sigiene noción: s F

35 Descipción de l defomción Cesiones Resels donde se clcl l ines de sí se obiene l ines de F : C C C C F C C C C Si definimos el eco áe: eniendo en cen qe: d d d F F () ε Despecindo los éminos de segndo oden esl: d s s d ( )d d ( p s ε ) d s ε p Y finlmene, eniendo en cen qe el Tenso de Defomción es siméico: p q ε q p s CR -6 Un b (consided como n sólido de n dimensión) sfe n esimieno nifome en odos ss pnos ddo po λ e ( ce). Obene el enso elocidd de defomción ls ecciones del moimieno. λe Resolción: Como l b únicmene sfe n esimieno en l diección se pede plne l sigiene ección: λ ds ds d dx e d e dx e X C P hll l Fom Cnónic de ls Ecciones de Moimieno imponemos qed: X en -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

36 Descipción de l defomción Cesiones Resels e X Y Z p encon l elocidd únicmene se iene qe dei: d Xe d El Tenso Velocidd de Defomción: se obiene de l sigiene fom: ( ) i j d ij j i d CR -7 Demos qe p odo poceso de defomción en el qe los desplmienos eolcionn linelmene con el iempo ( ( X, ) f( X) ), el enso de defomciones infiniesimles ε pede obenese medine l linelición en del enso meil de defomciones, de l fom ε ( X, ) E& ( X,). ( Uili l epesión E & F T d F ) Resolción: P el iempo se cmple qe el Tenso Gdiene de l Defomción se coniee en l idenidd ( F ), eniendo en cen l epesión del enncido, qed: E & ( X(, ),) D( X(,),) donde D es el Tenso Velocidd de Defomción. P el insne, se iene demás qe X enonces: po lo no, esl: i j i j d ij (,) d j i d j i p d ε& ij ij E& ( X,) ε& ( X,) Po o pe, eniendo en cen l epesión de los desplmienos : i εij X j X j i f i X j f j X i d d ε ij -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

37 Descipción de l defomción Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) definiendo n enso como i j j i ij X f X f, qed n epesión linel en : ε qe l desoll esl:,) (,) (,) (,) (,) ( ), ( X E X X X X X & & & ε ε ε ε ε,) ( ), ( X E X & ε

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39 Descipción de l defomción Poblems Reselos 5 PROLEMS RESUELTOS PR - Sobe el eedo de l fig se podce n defomción nifome ( F ce) con ls sigienes consecencis:. Los pnos O, no se meen.. El olmen del sólido ps se " p" eces el inicil.. L longid del segmeno C ps se p / eces l inicil. 4. El ánglo OC ps se de 45º. C O Se pide: ) Jsific po qé no pede ilise l eoí de l defomción infiniesiml. b) Obene el enso gdiene de l defomción, los posibles loes de " p" el cmpo de desplmienos en ss foms meil espcil. c) Dibj el sólido defomdo. Resolción: ) El ánglo OC ps de 9 º 45 º po lo qe, eidenemene, no se de n peqeñ defomción. demás en peqeñs defomciones se cmple qe Φ <<, en ese poblem Φ π / 4,7854. Obseción: ls defomciones no ienen dimensiones; en ingenieí se cosmb - -4 conside como peqeñs defomciones cndo son del oden de -. b) Impondemos n po n ls condiciones del enncido. Piendo de qe F ( X, ) ce sbiendo qe d F dx, se pede ineg es úlim epesión se obiene: d FdX F dx F X C F F F F F F F F F F, C C C C -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

40 6 Descipción de l defomción Poblems Reselos con lo qe esln incógnis. Se imponen ho ls condiciones del enncido: El pno O no se mee: F C C El pno no se mee: F F F F F F F El pno no se mee: F F F F F F F gpndo od l infomción esl: F F F F V p V. finl inicil L igldd dvf F dv pemie elcion loclmene olúmenes difeenciles en difeenes insnes de iempo. En ese cso F es consne p cd fijdo, po lo qe se pede ineg l epesión sc el deeminne de F fe de l inegl: V Po lo qe se debe de impone f dvf F dv F V V V F F p dv F V p l Como F es consne l nsfomción es linel, es deci, nsfom ecs en ecs, po lo qe C en l configción defomd mbién seá n segmeno ecilíneo. sí:. l C,finl C, inicil F C X C F F F F p p l C, finl l C (F, F, p) (,,) ( (F ),F, p) p p ( (F ) ) (F ) (p) (F ) F p l C p Po lo no: (F ) F p p (F ) F -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

41 Descipción de l defomción Poblems Reselos -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 7 F ; F Se iene ho: p F po lo qe fl encon el lo de p / 45º OC finl π p p d d (,,) d p d d (,,) d () () () () () () X F X X F X Segidmene se imponemos qe: d d d d cos 45º ) (OC cos () () () () finl d d, p d, d () () () () Po lo no: p p ±. Peo p > F, po no p. El Tenso Gdiene de l Defomción es, po no: - F Ls ecciones del moimieno son X F Z Y Z X Z Y X El cmpo de desplmienos en descipción meil es: ( ) Z, X X U Y en descipción espcil es: ( ),

42 8 Descipción de l defomción Poblems Reselos c) Repesención gáfic del eedo defomdo: C C' O ' ' PR - El sólido de l fig sfe n defomción nifome. Se pide: ) Obene l epesión genel de l descipción meil del cmpo de desplmienos U (X, ) en fnción del enso gdiene meil de los desplmienos J. b) Obene dich epesión sbiendo qe, demás, se cmplen ls sigienes condiciones de conono: U U, X, Y, Z U U Y X X X X L Z δ, Y, Z c) Jsific los loes posibles (posiios negios) qe pede om δ. d) Clcl los ensoes meil espcil de defomciones el de defomciones infiniesimles. e) Dibj los gáficos E δ δ ε δ XX ; e ; p odos los posibles loes de δ L L L condo los loes significios. δ O L -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

43 Descipción de l defomción Poblems Reselos 9 Resolción: ) Un defomción nifome implic: F ( X, ) F(),, X Se qiee obene l epesión genel de l descipción meil del cmpo de desplmienos U ( X, ) en fnción del enso Gdiene Meil de los Desplmienos J. Po definición se iene qe: F J Po lo no, si F es consne según l posición, J mbién lo seá. Teniendo en cen l definición de J e inegndo s epesión qedá lo sigiene: U( X, ) J X du J du JdX dx donde C es n consne de inegción. Po lo no esl: U(X) J X C du U J X C JdX b) Piendo del esldo neio plicndo ls condiciones de conono del poblem, se obendá el lo de J C. Condiciones de conono: U Y U X U X U Z, X, Y, Z Los pnos únicmene se despln en l diección X. X, Y, Z El plno YZ en el oigen es fijo. δ X L, Y, Z Ese plno se mee en l diección X nifomemene. Escibiendo en componenes el esldo del pdo ), se eán mejo ls ecciones ls conclsiones ls qe se pede lleg: U U U De l condición de conono : De l condición de conono : De l condición de conono : Finlmene qed: X Y Z J J J X J X J X J Y J Y J Y J Z C Z C Z C U, X, Y, Z J J J C, X, Y, Z J J J C Y U Z U, Y, Z J J C X X U X δ, Y, Ζ JL δ J X L δ L -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

44 Descipción de l defomción Poblems Reselos -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 4 ; L δ C J δ X L ) ( C X J X U c) P jsific los posibles loes posiios negios qe pede om δ l condición impone es l sigiene: > F Po lo no, se debe clcl el deeminne de F : > δ δ L L F J F δ > L d) P clcl los ensoes espcil meil de ls defomciones, sí como el enso de defomciones infiniesimles, se pe de ss especis definiciones: ) ( Tenso de defomciones infiniesimles: ) ( Tenso meil de defomciones : ) ( Tenso espcilde defomciones : T T T J J F F E F F e ε plicndo ess definiciones con los loes de F J encondos en el pdo b) c), se obienen ls epesiones coespondienes: δ δ δ δ δ δ L ; L L ; L L L / ε E e

45 Descipción de l defomción Poblems Reselos 4 e) Gáficos E XX δ ; e δ ; ε δ : L L L E, e,ε E XX ε δ L e δ L E es n pábol de º gdo qe ps po el oigen, con n mínimo en: XX δ / L E XX / ε es l ec idenidd (pendiene 45º ps po el oigen). e iene dos sínos, n eicl en δ / L n hoionl en e /. Se concle, po no, qe p defomciones δ / L peqeñs ls es fnciones ienen n compomieno m simil ienen l mism pendiene en el oigen. Es deci, se obendí el mismo esldo con clqie de ls definiciones de enso de defomciones. Sin embgo, fe de ese dominio (gndes defomciones) se e qe ls es cs son clmene difeenes. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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47 Descipción de l defomción Cesiones Popess 4 CUESTIONES PROPUESTS CP - Jsific l sigiene fimción: Sólo son físicmene posibles los moimienos de medios coninos en los qe el deeminne del enso gdiene de l defomción es posiio. CP - pi de l definición de los ensoes meil espcil de defomción dedci, jsificndo odos los psos, ls epesiones qe elcionn los lgmienos niios con dichos ensoes. CP - Defini esimieno en n pno según n diección dedci s epesión memáic en fnción de: ) El enso meil de defomción. b) El enso espcil de defomción. c) Veific qe, p el cso de peqeñs defomciones, mbs epesiones coinciden. CP -4 Dedci en fnción del enso espcil de defomciones l epesión del ánglo qe fomn en l configción meil dos segmenos difeenciles qe en l configción espcil esán oiendos según dos ejes coodendos cesinos defomción fini). CP -5 Demos l igldd: dv de( F) dv. CP -6 Inepe físicmene el significdo de ls componenes del enso de defomciones meil medine el nálisis de l defomción de n plelepípedo elemenl. Piclilo l cso de peqeñs defomciones. CP -7 Escibi l epesión de l descomposición pol del enso gdiene de l defomción p el cso de defomción fini de defomciones infiniesimles, indicndo el significdo de cd émino e inepeándolo de fom gáfic. CP -8 pi de l descomposición pol en peqeñs defomciones, jsific el moimieno lededo de n pícl como n defomción más n oción. CP -9 Dedci l epesión de l defomción olméic p los csos de defomción fini defomción infiniesiml. CP - Dedci ls epesiones de l deid meil de enso gdiene de l defomción del enso meil de defomción. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

48 44 Descipción de l defomción Cesiones Popess CP - Jsific en qé condiciones el enso elocidd de defomción coincide con l s de ición (deid meil) del enso meil de defomción. CP - P el cmpo de elociddes [, b, ] T se pide: ) Obene ls ecciones del moimieno en fom cnónic omndo como configción de efeenci l coespondiene. b) Ls ecciones de ls línes de coiene. c) L eolción de l densidd lo lgo del iempo en fnción de s lo en el insne de efeenci. CP - Un defomción iene dd po ls ecciones: X 4Z, Y Z, Z X Hll los ensoes espcil meil de defomción. CP -4 P los sigienes cmpos de elocidd:,, T X, Y, Z Se pide: ) Obene l descipción meil de l descipción espcil de (configción de efeenci ). b) L disibción de densiddes en mbos csos (densidd inicil ρ ). c) P el cmpo de elociddes, obene ls descipciones meil espcil del cmpo de desplmienos, sí como de los ensoes de defomción meil (Geen - Lgnge) espcil (lmnsi). d) Repei c) p configciones m póims ls de efeenci ( ). e) Demos qe en ese cso los dos ensoes de defomción coinciden T CP -5 Medine es eensómeos se miden los lgmienos niios en n pno P de n pie someid ensión pln en es diecciones, fomndo ánglos de 6 º (e fig). Sen dichos lgmienos, b c. Deemin el enso de defomciones en el pno P. ε c 6º P 6º ε b ε -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

49 Descipción de l defomción Cesiones Popess 45 CP -6 Sen ls ecciones del moimieno: X, Y Z, Z Y Hll l longid, en el insne, del segmeno qe en l configción de efeenci es eco ne los pnos (,,) (,,). CP -7 Sen ls ecciones de moimieno de n medio conino: X Y, Y, Z Obene p l longid del segmeno de líne meil qe en el insne ení definido en fom pméic po: ( α ), ( α) α, ( α) α α. CP -8 Se el enso meil de defomción: X e X E e Y e Obene l longid en el insne del segmeno qe en el insne de efeenci) es eco ne los pnos (,,) (,,). (configción CP -9 Sen ls ecciones de moimieno de n medio conino: X αy, Y, βz ) Deemin el lo de α β p qe no h cmbios en l densidd de ls pícls. b) Obene l epesión de l longid en el insne genéico del segmeno qe en el insne e eco ní los pnos (,,) (,,). CP - Ls ecciones de moimieno de n cieo medio conino ienen dds po: X, Y, Z X Clcl el ánglo qe fombn en el insne los segmenos difeenciles qe en el insne son plelos los ejes,. CP - Se el moimieno : X e X, Y, Z Esdi cómo í lo lgo del iempo n elemeno difeencil de áe qe en om el lo de ds s eco noml es n (,,). CP - Clcl el enso de peqeñs defomciones en n pno, sbiendo qe n iánglo ecánglo de ldos ds, 4ds 5ds sido en dicho pno sfe n lgmieno -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

50 46 Descipción de l defomción Cesiones Popess de n % de l hipoens, n disminción de n 6 % en el ánglo eco n meno del 4 % en s áe. CP - En n cieo insne de n poceso de defomción, el enso de defomciones infiniesimles iene el sigiene lo: e ε Obene el eco de desplmienos el enso de oción sbiendo qe mbos se nln en el pno (,, ). CP -4 El medio conino de l fig esá someido n esdo de defomción pln nifome: (, ), (, ),,,,. Deemin el enso de peqeñs defomciones sbiendo qe: D(,) C(,) ) El áe ps se p eces s lo inicil. ) El segmeno ps ene n longid q eces l inicil. ) El segmeno C no se defom. (,) (,) CP -5 El elemeno difeencil de l fig, se esi en l diección del eje n cnidd δ ds, ( < < ). Dibj los gáficos E XX, e ε, donde E, e ε son ls componenes de los ensoes meil de defomciones, espcil de defomciones de peqeñs defomciones, especimene (co los loes significios). ds ()ds -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

51 Descipción de l defomción Cesiones Popess 47 CP -6 Sen ls ecciones de moimieno: ϕ X Z (X, ) X Y Z ϕ(x, ) Jsific qe odos los plnos, pependicles l eje X nes de l defomción, pemnecen plnos despés de l mism (Hipóesis de Nie-enoilli p fleión de igs). CP -7 Ddos dos cmpos de desplmienos () ( ) U ( X, ) ; U ( X, ) n eceo de l fom () () ( ) () U U k U, demos qe ss especios ensoes meiles de () () () defomción fini ( E, E, E ) e infiniesiml ( ε ( ) ( ) ( ) ε ε kε ( ) ( ) ( ) E E ke. () ( ) (), ε, ε ) cmplen: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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53 Descipción de l defomción Poblems Popesos 49 PROLEMS PROPUESTOS PP - Se considen los sigienes cmpos de elociddes en n medio conino: Se pide: I X Y Z, II ) Clcl los coespondienes ensoes meiles espciles de defomción ( E I,E II ) e I,e II. b) Demos qe en n cieo enono m póimo l configción de efeenci (, ), los co ensoes de defomción del pdo ) coinciden clcl s lo. Jsific es coincidenci. c) Obene los coespondienes ensoes Velocidd de Defomción ( D I, D II ) ls I II I II deids meiles de los ensoes de defomción ( E &, E&, e&, e& ). d) Clcl el lo de los seis ensoes del pdo c) en n enono m póimo l configción de efeenci (, ) p l popi configción de efeenci ( ). Jsific los csos en qe coinciden. PP - Un medio conino se mee mneniendo n esdo de defomción nifome de l modo qe los es ejes coodendos son línes meiles. Se pide: ) L epesión más genel de ls ecciones de moimieno bjo ess condiciones. b) Sbiendo ho qe los esimienos según ls es diecciones coodends son igles qe l densidd eolcion de l fom ρ ρ e, obene l descipción espcil del cmpo de elociddes del enso Gdiene de l Defomción. c) Sponiendo qe el enso de ensiones de Cch es de l fom: ρk() g(,, ) h() - ρk() qe el eco de cciones cne en el pno (,,) sobe n plno de noml T n iene l diección del eje módlo nidd p odo insne de iempo, obene ls fnciones g h el pámeo K, sí como ls fes de olmen (descipción espcil) qe genen el moimieno.( Tem 4) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

54 PP - Sobe l descipción meil de n cieo cmpo de desplmienos U(X, Y, Z) se iene l sigiene infomción: ) Es linel en X, Y, Z. Z, w ) Es nisiméico especo l plno Y, es C deci, se cmple qe: U ( X, Y, Z) U( X,-Y, Z), X, Y, Z. ) jo dicho cmpo de desplmienos el Y, elemeno de l fig no cmbi de olmen, el ánglo O pemnece consne, el O segmeno O ps medi eces s longid inicil l componene eicl del desplmieno del pno es posii ( w > ). D X, Se pide : ) Deemin l epesión más genel de dicho cmpo p qe se cmpln ls condiciones ) ). b) Deemin l epesión del cmpo U cndo, demás, se cmple l condición ). Obene el enso gdiene de l defomción el enso meil de defomción. Dibj l defomd del elemeno de l fig, condo los loes significios. c) Deemin ls diecciones (definids po ss ecoes niios T ) p los cles l defomción se edce n esimieno (no h oción). NOT : Se consideán defomciones finis (no infiniesimles). PP -4 Sobe el sólido de l fig se podce n defomción nifome l qe los pnos, C no se meen. Sponiendo defomción infiniesiml, se pide : ) Epes el cmpo de desplmienos en fnción de loes genéicos de ls defomciones de ls ociones. D F b) Idenific ls componenes nls del enso de defomciones epes el eco de ociones en fnción de ls defomciones. E Se sbe demás qe: ) El segmeno E ps medi ( p) eces s longid inicil. ) El olmen del sólido ps se ( q) eces s lo inicil. ) El ánglo se incemen en n lo (en dines). jo ess condiciones se pide: C D EC C

55 Descipción de l defomción Poblems Popesos 5 c) Obene el enso de defomciones, el eco de oción el cmpo de desplmienos en fnción de p, q. NOT : Los loes de p, q son peqeños peden despecise infiniésimos de segndo oden. PP -5 Sobe el sólido de l fig se podce n defomción nifome con ls sigienes consecencis: ) Los ejes, son dos línes meiles. El pno no se mee. ) El olmen del sólido no í. ) El ánglo no í. 4) El ánglo se incemen en dines. 5) El segmeno F ps medi p eces s longid inicil. 6) El áe del iánglo E ps se q eces s lo inicil. Se pide: ) Epes el cmpo de desplmienos en fnción de loes genéicos de ls defomciones ociones. b) Idenific ls componenes nls del enso de defomciones epes el eco de ociones en fnción de ls componenes del enso de defomciones. c) Obene el enso de defomciones, el eco de oción el cmpo de desplmienos en fnción de p, q. NOT: Los loes de p, q son peqeños peden despecise los infiniésimos de segndo oden. E Θ Θ C F D PP -6 Sobe el plelepípedo de l fig se podce n defomción nifome qe lo lle defomse como se indic. Se pide: ) Obene el enso meil de defomción el enso de defomción infiniesiml (edonde l 4ª cif deciml en mbos csos). b) Obsendo los loes obenidos p los dos ensoes de defomción, nli jsific si l hipóesis de peqeñs defomciones seí decd p ese cso. Es hipóesis se spondá cie p los sigienes pdos c) d). c) Obene el cmpo de desplmienos el eco de oción sbiendo qe el pno O pemnece fijo, el pno esá sobe el eje, el pno esá sobe el plno. d) Obene el olmen del sólido defomdo. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

56 E D O b C c E'.8c ' D'.4b.996 C' Θ Θ Θ ' Θ. π 5 Θ. 996 π Θ. 998 π D'E'.996 C'D'.4 b 'E'.8 c PP -7 En el plelepípedo de l fig, el plno C D sfe n desplmieno de lo: U δ() () Y ; U () X ; U, Z D C Todos los pnos del plno infeio se mnienen fijos. Sbiendo qe l ec O - O se defom O mneniéndose ec, se pide: h ) Qé condición deben cmpli δ si l C descipción meil del cmpo de D Y desplmienos es linel en X, Y, Z (polinomio O de e. gdo). Obene dicho cmpo. b) Obene el cmpo de desplmienos p clqie lo de δ (spone polinomios de X segndo gdo). c) Obene el coespondiene enso meil de defomciones p los csos de defomción fini e infiniesiml. Demos qe cndo δ son peqeños mbos coinciden. Inepe en dicho cso los desplmienos del plno C D. d) Obene el enso gdiene de l defomción el olmen del sólido defomdo p los csos de defomción fini e infiniesiml. e) Clcl el áe de l speficie defomd de n plno hoionl genéico del plelepípedo, p los csos de defomción fini e infiniesiml. PP -8 L esfe de l fig sfe n defomción nifome ( F ce) de l fom qe los pnos,, C psn ls posiciones,, C el pno O no se mee. Se pide: ) Obene el enso gdiene de l defomción en fnción de p q. b) Obene ección de l defomd de l speficie eeio de l esfe, indicndo qé ipo de speficie es dibjl. c) Obene los ensoes meil espcil de defomción. Obene el lo de p en fnción de q si el meil es incompesible.

57 Descipción de l defomción Poblems Popesos 5 d) Repei el pdo c) ilindo l eoí de defomción infiniesiml. Demos qe cndo p q son peqeños, los esldos de los pdos c) d) coinciden. C O C R ' p ' q CC' q p > q > -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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59 Ecciones de compibilidd Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 55 Eccio nes de compibilidd CUESTIONES RESUELTS CUESTIONES RESUELTS CUESTIONES RESUELTS CUESTIONES RESUELTS CR - En n cieo insne de n poceso de defomción, el enso de peqeñs defomciones iene el sigiene lo: 8 ε Obene el eco de desplmienos el enso de oción sbiendo qe mbos se nln en el pno (,,). Resolción: Únicmene se hn de ili ls ecciones del Fomlio ásico e inegls, eniendo en cen qe se esá bjo condiciones de defomción infiniesiml. El enso de peqeñs defomciones iene piclido p n insne deemindo de iempo, es deci: ( ) () * 8, ε ε VECTOR DE ROTCIÓN: () C ; ; () ; ; C () ; ; C

60 Ecciones de compibilidd Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 56 Se h de impone ho qe se nl en el pno ),, (, obeniendo fácilmene qe ls consnes ( ) i C son nls: VECTOR DE DESPLZMIENTOS: () C 4 ; ; 8 ' () C ; ; ' () C ; ; ' Se h de impone ho qe el pno oigen no se despl. sí se obiene mbién fácilmene qe ls consnes ( ) ' i C son nls : () 4 TENSOR DE ROTCIÓN: Lo obenemos pi del eco de oción según l epesión: ( ), Ω () Ω CR - Deemin l descipción espcil del cmpo de elociddes coespondiene l sigiene enso elocidd de defomción: ( ) e e e, d sbiendo qe p se cmple: [ ] T,, w [ ],,, T.

61 Ecciones de compibilidd Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 57 Resolción: El méodo de esolción es i inegndo ls ecciones difeenciles coespondienes eniendo en cen el plelismo eisene ene ls ibles: ε ω d VELOCIDD DE ROTCIÓN: () e e ω ω ω ω C ; ; () C ; ; ω ω ω ω () C ; ; ω ω ω ω Se imponen ho ls condiciones de conono: C C C C C C : p ω El esldo finl es: ( ) e, ω VECTOR VELOCIDD: ( ) e C ; ; e () C ; ; ( ) e C ; e ; Se imponen coninción ls condiciones de conono: C C C C C C p ' ' ' ' ' ' - : L descipción espcil del cmpo de elociddes qed finlmene: ( ) e e,

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63 Ecciones de compibilidd Cesiones Popess 59 CUESTIONES PROPUESTS CP - Indic el ppel qe jegn ls ecciones de compibilidd de n cmpo de defomciones en l Mecánic de Medios Coninos, eplic esqemáicmene el poceso de obención de dichs ecciones p el cso de defomción infiniesiml. CP - Hll el cmpo de elociddes en n insne sbiendo qe, en dicho insne, el enso elocidd de defomción es: e e d CP - Dedci el cmpo de elociddes coespondiene l enso elocidd de defomción: e d(, ) e e Se sbe qe en el pno (,,) se eific: [ e, e, e ] T, ω [,, e ] T CP -4 Deemin l descipción espcil del cmpo de elociddes coespondiene l enso elocidd de defomción sigiene: d(, ) e e e Se sbe qe: p p : :,,,,,, CP -5 Se iene el enso elocidd de defomción sigiene: d(, ) Obene l fom cnónic de ls ecciones del moimieno sbiendo qe en el pno (,,) el cmpo de elociddes, (, ), el enso elocidd de oción, w (, ), se nln en odo insne. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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65 4 Tensiones Cesiones Resels 6 4 Tensiones CUESTIONES RESUELTS CR 4- Un medio conino se mee con n cmpo de elociddes c descipción espcil es: (, ) [,, ] T. El enso de ensiones de Cch es de l fom: g(,, ) (, ) h() ( ) Deemin ls fnciones g, h l descipción espcil de ls fes de olmen, b (, ), qe genen el moimieno. Resolción: El Tenso de Tensiones es siméico po lo no: donde C es n consne. T h() g(,, ) h() C g(,, ) C demás l diegenci del enso es nl: C ( ) [ ] -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) L Ección de Cch qed de l sigiene mne: ρb ρ C b Y si se plic l fóml de l deid meil sobe l elocidd: (, ) d d [ ]

66 6 4 Tensiones Cesiones Resels [ ] [ ] Ls fes de olmen son po no: b(, ) [ ] T CR 4- Ls ensiones pinciples en n pno son:, 5, En n cieo plno qe ps po dicho pno ls ensiones noml ngencil son τ, especimene. Ron si son posibles los sigienes loes de τ : ), τ. b) 5, τ 4. c), τ. Resolción: Se dibjá el Cíclo de Moh en -D p el esdo ensionl qe se define p los pnos pedidos: τ Pno b Pno 5 Pno c L on sombed es l on donde es posible encon pnos qe epesenen esdos ensionles. Únicmene h qe epesen cd pno (esdo ensionl) e si ce en dich on. Se concle qe ningún esdo ensionl es posible. No: en el cso c) el signo negio de ls ensiones ngenciles no se iene en cen poqe cndo se epesen en el Cíclo de Moh en -D se conside el lo bsolo. Cos qe no scede con ls ensiones nomles (cción posii). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

67 4 Tensiones Cesiones Resels 6 CR 4- De n esdo ensionl se sbe: ) L diección es pincipl ) L ensión medi es m >. ) L ensión ngencil máim en plnos plelos l eje es τ b. m > Dibj, condo los loes significios, los Cíclos de Moh en es dimensiones del enso de ensiones de s desido. Resolción: Se debe ene en cen pimeo qe l únic difeenci qe eisiá ene ls dos cicnfeencis es qe esán desplds n lo m. Según l definición del Tenso de Tensiones Desido se lleg l sigiene conclsión: m m Teniendo en cen qe l es n inine qe T ( ), enonces se cmple: Únicmene nos qed po deemin el dio de l cicnfeenci mo ( ene ), do qe es popociondo po l condición ): τ τ m τ m b b b - b b CR 4-4 Del esdo ensionl en n pno se sbe lo sigiene: ) ( donde el eje es n diección pincipl). ) L ensión ngencil máim en plnos plelos el eje es igl. ) L ensión ngencil máim en plnos plelos l ensión pincipl meno es. Obene odos los posibles cíclos de Moh coespondienes dicho esdo, condo los loes de ls ensiones pinciples. Resolción: P esole es cesión, h qe ene en cen l sigiene popiedd del Cíclo de Moh en -D: τ Cíclo Cíclo Cíclo -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

68 64 4 Tensiones Cesiones Resels El cíclo númeo: : Coesponde plnos plelos. : Coesponde plnos plelos. : Coesponde plnos plelos. Se ienen en cen ho ls sigienes consideciones:. es l ensión pincipl mo: τ τ τ 9. es l ensión pincipl inemedi: τ τ τ 5. es l ensión pincipl meno: Es imposible pes ls condiciones ) ) son incongenes qe hbln de ensiones ngenciles máims sobe el mismo plno. CR 4-5 Clcl ls ensiones qe cún en el esdo III I II. 5 45º 45º τ ESTDO I ESTDO II ESTDO III Resolción: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

69 4 Tensiones Cesiones Resels 65 P pode sm los dos esdos, ls ensiones deben c sobe los mismos plnos. Como los dos esdos pesenn oienciones difeenes, debeemos bsc ls ensiones del esdo II eisenes sobe los plnos del esdo I. P ello, epesenemos el Cíclo de Moh del esdo II: Plno : τ 45º 45º Plno b: τ τ Plno c: > τ < τ Polo Plno hoionl Plno Plno b Plno eicl P eli el cíclo, se epesenn los plnos b, qe conocemos ods ss coodends. demás, como peenecen l eje de bciss, definen el diámeo del cíclo, po lo no, qed deemindo. El polo se encen como inesección de línes plels los plnos po los pnos qe los epesenn. Un e obenido, se ps n líne eicl, p n plno eicl, n hoionl, p n plno hoionl, po el polo, enconndo sí ss epesenciones. Finlmene qed: 5 7 ESTDO I ESTDO II ESTDO III -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

70 66 4 Tensiones Cesiones Resels CR 4-6 En el medio conino de l fig () se podce n esdo ensionl nifome co lo sobe dos deemindos plnos es el indicdo en l fig (b). Considendo plnos ngenes los pnos,, C, D, E, F, G, H, deemin dónde se podcen: ) Ls moes ensiones ngenciles, en lo bsolo. b) Ls moes ensiones nomles. c) Ls menoes ensiones nomles. d) L mo ensión eslne, en lo bsolo. Indic demás el coespondiene lo. F E D G 45º C * 45º H fig τ * fig b τ Resolción: Pimeo se iene qe epesen el cíclo del esdo ensionl: > Plno eicl: Plno inclindo: τ τ > τ τ Plno eicl τ Plno inclindo Polo ho n sólo h qe fijse en los plnos qe, psndo po el polo, cmplen l condición pedid: τ m plnos hoionles eicles - C - E - G : m plnos inclindos 45 posiios con l hoionl min plnos inclindos 5 posiios con l hoionl τ τ m τ - F: D - H : El cso qe pooc máims ensiones coincide con el pdo b), qe coesponde l cso de ensión pincipl. m m τ τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

71 4 Tensiones Cesiones Popess 67 CUESTIONES PROPUESTS CP 4- Ennci los sigienes posldos de l Mecánic de Medios Coninos: ) Posldo de Cch. b) Pincipio de cción ección. CP 4- Dedci l ección de Cch pi del pincipio de conseción de l cnidd de moimieno. CP 4- Defini el enso de ensiones esféico, l ensión medi el enso desido escibi ls elciones ene ellos. CP 4-4 Jsific l elción ene ls diecciones ls ensiones pinciples de n enso de ensiones de s pe desido. CP 4-5 Hll l elción ene el Cíclo de Moh coespondiene n esdo ensionl plno el de s enso desido. CP 4-6 Ls componenes cesins del enso de ensiones de Cch en n pno son: Deemin los posibles loes de b, sbiendo qe el módlo de l ensión ngencil l plno c noml es n,, T b om el lo τ. CP 4-7 El sólido de l fig esá someido l sigiene esdo ensionl en eqilibio: Se pide: ( en MP) ) Obene l epesión de ls fes po nidd de ms sobe el mismo. cm b) Obene l epesión de ls componenes noml ngencil de ls fe cnes en el conono (indicndo s signo de cedo con el cm cieio del Cíclo de Moh). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

72 68 4 Tensiones Cesiones Popess CP 4-8 Se conoce l descipción espcil del enso de ensiones de Cch (, ) de n medio conino s densidd ρ (, ). Sbiendo qe no h fes de olmen, qe l elocidd en el insne inicil es nl p ods ls pícls, indic delldmene los psos necesios ls ecciones ili p obene l descipción espcil del coespondiene cmpo de elociddes. CP 4-9 Un medio conino esá someido l cción de ns fes másics de l fom: b (, ) [,, m], (, m ces.) El coespondiene enso de ensiones de Cch iene n descipción espcil nifome ( () ). Sbiendo qe en el insne de efeenci ( ) el cmpo de elociddes es nlo, obene l descipción espcil de dicho cmpo de elociddes l ección de ls línes de coiene. T CP 4- Un pobe cúbic, inicilmene descgd, se somee los sigienes esdos de ensiones. (cd no se spepone l neio): ) ) τ ) Dibj los cíclos de Moh coespondienes cd n de ls fses del enso. CP 4- En n pno de n sólido ígido, dos de ls ensiones pinciples son 5. Sbiendo qe el módlo de l máim ensión ngencil qe se podce en el pno es τ 6, deemin en qé cicnsncis son posibles los sigienes esdos ensionles: ), τ b) 5, τ c), τ CP 4- Deemin odos los posibles loes de ( > ) τ ( τ > ), de l fig sbiendo qe l máim ensión ngencil sobe clqie plno en el pno es τ m. τ τ CP 4- El esdo ensionl en n pno de n medio conino es l qe, τ, τ. Se sbe demás qe l ensión ngencil, sobe los plnos plelos l eje, om n lo máimo τ * 4. Si τ m es l máim ensión ngencil cne sobe clqie plno obene ods ls posibles combinciones de p qe: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

73 4 Tensiones Cesiones Popess 69 ) τ m 6 b) τ m 4 CP 4-4 Del esdo ensionl en n pno de n medio conino se sbe qe l máim m ensión ngencil en plnos plelos es τ. Obene odos los loes de, qe hcen posible el esdo ensionl, τ sobe n cieo plno, en los sigienes csos (independienes ene sí): m ) L máim ensión ngencil en plnos plelos es τ. m b) L máim ensión ngencil en plnos plelos es τ. m c) L máim ensión ngencil en plnos plelos es τ 4. * CP 4-5 Deemin p qé loes de son posibles los sigienes esdos ensionles en plnos qe psen po P : ) 4, τ b) 4, τ c) 7, τ P 6 * CP 4-6 Deemin p qé loes de * es posible encon n plno qe pse po P cs ensiones noml ngencil sen * τ * τ τ. P τ * τ * CP 4-7 Deemin de fom gáfic odos los posibles loes * de τ sbiendo qe en n cieo plno ls ensiones noml ( ) ngencil ( τ ) son: τ * τ * ), τ b), τ CP 4-8 L fig epesen el esdo ensionl en n pno del qe se sbe qe l ensión ngencil máim sobe clqie plno es τ m. Dibj los coespondienes Cíclos de Moh en D. dicho esdo se le ñde n esdo *. Deemin odos los posibles ensionl hidosáico ( ) loes de * p qe se posible, en n cieo plno, el esdo ensionl 6, τ. * > τ * -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

74 7 4 Tensiones Cesiones Popess CP 4-9 Del esdo ensionl en n pno se sbe lo sigiene: ) L máim ensión ngencil en plnos plelos (ensión pincipl inemedi) es igl. ) L máim ensión ngencil en plnos plelos (ensión pincipl mo) es igl. ). ese esdo ensionl se le sm n esdo hidosáico de ensiones de lo -p ( p ). Obene odos los posibles loes de p p los qe es posible encon lgún plno p el cl el esdo finl de ensiones se, τ. CP 4- Deemin odos los posibles loes de p qe: ) Eis n solo plno en el pno con ensión noml nl. b) El esdo ensionl en el pno se de cone po. 4 τ 4 CP 4- Deemin odos los posibles loes de * ) El esdo ensionl es el mismo sobe clqie plno qe ps po P. b) L ensión noml clqie plno es de cción. c) L máim ensión pincipl es negi fom n ánglo de º con l hoionl. d) L máim l mínim ensión pincipl omn el mismo lo. * τ en los sigienes csos: τ P τ NOT : Se consideá l posibilidd de loes negios de * τ. CP 4- Deemin el lo de * τ en fnción de τ. τ τ * CP 4- Deemin los posibles loes de,, sbiendo qe l máim ensión ngencil en el pno es 5 τ. 6τ 4τ 5τ 6º τ 4τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

75 4 Tensiones Cesiones Popess 7 CP 4-4 El esdo ensionl en n pno es el de l fig. Deemin odos los posibles loes de α, β, τ τ * sbiendo qe τ m 5. 4 τ τ * α β * CP 4-5 Obene odos los loes posibles de τˆ, τ, sbiendo qe en n cieo plno el esdo ensionl es τ. 5 * τ τˆ 4 τˆ CP 4-6 En l fig se epesenn los esdos ensionles sobe co plnos qe psn po n pno. Deemin los posibles loes de, τ, dibj los coespondienes esdos ensionles. 4 τ 6 τ 4 CP 4-7 Deemin los loes de α β p los qe son posibles los sigienes esdos ensionles, siendo > τ. 5 : τ τ τ τ α β τ α β τ α β τ ( ) τ ( b ) τ ( c ) * CP 4-8 Obene odos los posibles loes de τ, τ, * β p el esdo ensionl de l fig sbiendo qe τ m. β α τ ) α º -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) τ * *

76 7 4 Tensiones Cesiones Popess b) α 45º CP 4-9 Deemin odos los posibles loes de, * ** *,, τ β,sbiendo qe el esdo ensionl en n pno es el de l fig qe m 9 τ m 5. * β 5 4 τ * ** CP 4- Sbiendo qe l máim ensión pincipl es de,5 MP, dibj los esdos ensionles en odos los ldos del sigiene heágono egl: CP 4- Un esdo ensionl plno es l qe, en el plno donde l ensión ngencil es máim posii (cieio del Cíclo de Moh), l ensión noml iene dd po: * 5 * * τ, τ Se pide: * * ) Obene el lo de ls ensiones pinciples en fnción de τ. b) Obene el máimo lo qe pede om n ensión pincipl en ess condiciones. CP 4- Ddos los esdos ensionles plnos I II, deemin el lo de p qe en el esdo III I II, oc qe: ) No h compesiones en ningún plno. b) No h cciones en ningún plno. c) Se n esdo de cone po. 4 4 ESTDO I ESTDO II -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

77 4 Tensiones Cesiones Popess 7 CP 4- Clcl el lo de p qe: ) L máim ensión ngencil en el esdo I se mo qe l máim ensión ngencil en el esdo II. b) L máim ensión noml en el esdo I se mo qe l máim ensión noml en el esdo II c) L máim ensión noml en el esdo I se meno qe l mínim ensión noml en el esdo II. Dibj los cíclos de Moh de los es csos. 8 τ τ 8 ESTDO I ESTDO II CP 4-4 Clcl los posibles loes de, τ, τ α p qe el esdo ensionl III se l sm de I II. ( τ ) 4 τ τ τ 6 45º 45º 4 α ESTDO I ESTDO II ESTDO III CP 4-5 Obene, en fnción de τ, ls ensiones pinciples el lo de l máim ensión cone del esdo sm de los esdos I II. τ α 6º τ τ * b τ 6º ESTDO I τ b τ 45º ESTDO II τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

78 74 4 Tensiones Cesiones Popess CP 4-6 Ddos los esdos ensionles I II, deemin los posibles loes de de τ p qe en el esdo III I II se eifiqe qe l ensión pincipl se posii fome n ánglo de º con el eje. 4 º τ ESTDO I 4 ESTDO II * CP 4-7 Deemin odos los posibles loes de τ p qe en el esdo ensionl sm de I II se eifiqe: ) No eisn cciones en ningún plno. b) No eisn compesiones en ningún plno. c) L máim ensión ngencil, ( τ m ), se meno qe. d) Se n esdo de coe po. e) Se n esdo de ensión hidosáico. τ * τ * ESTDO I τ * τ * ESTDO II -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

79 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Resels 75 5 Eccio nes de conseción-blnce CUESTIONES RESUELTS CR 5- Jsific si son cies o no ls sigienes fimciones: ) El fljo de ms és de n speficie meil ced sólo es nlo si el moimieno es escionio. b) El fljo de ms és de n speficie de conol ced es nlo si ese fljo es escionio. Resolción: ) L fimción es fls poqe n speficie meil siempe esá fomd po ls misms pícls, po no, no pede se esd po ningn pícl lo lgo del moimieno. Po ese moio, el fljo de ms és de n speficie meil es siempe nlo, independienemene de si el moimieno es escionio o no. b) L fimción es cie qe l Ección de Coninidd plicd n fljo escionio implic lo sigiene: Ec.de coninidd Fljo escionio Reslndo, sí, lo qe se qeí demos: ρ ( ρ) ρ ( ρ) ( ρ) ( ρ) dv ρ n ds V V CR 5- Jsific si son cies o no ls sigienes fimciones: ) El fljo conecio de n popiedd és de n speficie meil es siempe nlo. b) El cdl neo (sliene menos enne) és de n speficie de conol ced es siempe nlo. Resolción: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

80 76 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Resels ) L fimción es cie qe n speficie meil siempe esá fomd po ls misms pícls, n fljo conecio implicí qe lgn debeí es l speficie. b) L fimción es fls. Seí cie si el meil fese incompesible, peo no se cmple en genel: ρ ce n ds V dv V CR 5- P n cieo moimieno escionio de n flido se eific qe el cdl és de clqie speficie de conol ced es nlo. Obene l epesión de l ección difeencil qe se debe cmpli qe elcion l elocidd l densidd. Resolción: l cmplise qe el cdl és de clqie speficie de conol ced es nlo, se eific qe: V V n ds dv dv, V Si se iene en cen l Ección de Coninidd: se pede escibi: dρ ρ d dρ d V V (el flidoes incompesible) Finlmene, según l definición de deid meil sbiendo qe el fljo es escionio, se obiene: dρ ρ ρ d ρ ρ CR 5-4 Un gs pesión en n ecipiene de ms M sle del mismo n elocidd escioni po n condco de sección S. Jsific hci dónde endeá moese el conjno con qé celeción lo há. M S Resolción: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

81 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Resels 77 Sponemos po hipóesis qe el peso del gs es despecible fene l del ecipiene, qe l pesión mosféic mbién lo es fene l pesión ineio. L fe qe cá sobe el gs endá l sigiene epesión si se iene en cen l ª Epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds: F d dv dv n ds e ds d ρ ( ρ ) ρ ( ) ρ ρ V V V V donde: n es l noml nii eeio l speficie qe encie l gs. e es el eco niio en l diección de l elocidd. Po oo ldo, l fe qe cú sobe el gs es: F F F F d / g pesión m Según el Pincipio de cción Rección l fe qe eli el gs sobe el depósio seá: d / g S e F g/d Fd/g ρ Se M g / d g/d ρ S e M CR 5-5 Un choo de g de sección S, pesión p elocidd, incide pependiclmene sobe n disco l como se indic en l fig. Clcl l fe F ejece sobe el disco en égimen escionio p qe ése no se me ( p m despecible). p S F Resolción: Si se iene en cen l ª Epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds qe el égimen es escionio, ls fes qe cún sobe el flido ienen l sigiene epesión: F e/f d d V ρ dv ( ρ) dv ρ( n ) ds ρ( n ) ds V V S -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

82 78 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Resels Speficie S l- Sección S S e Speficie S l- Sección S 4 En pime lg, h qe no qe el eco elocidd del flido lo lgo de ls speficies S l- S l- es pependicl l noml nii eeio l olmen qe encie l flido: S S l l Lo mismo oce en l ped del disco. n En ls secciones S S 4 los ecoes n no son pependicles, peo como eise simeí es pependicl F, no pon componenes de fe hoionles. sí qe únicmene qedá: F e/f Fe/f ρ( n ) ds ρe( e e) ds ρ Se V S Fe fes de pesión mosféic pse Fe pse Y ho n sólo h qe despej el lo del módlo de l fe F : F ρ S ps -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

83 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos 79 PROLEMS RESUELTOS PR 5- Po l beí de l fig cicl, en égimen escionio, n cdl de g Q desde el eemo (de sección S ) l eemo (de sección S < S ). L beí esá ssend en el pno O medine el elemeno ígido P - O. Se pide: ) Deemin ls elociddes de end slid en fnción del cdl. b) Deemin los loes del ánglo qe hcen máimo mínimo el módlo de l ección F en O, los coespondienes loes de dich ección. c) Lo mismo qe en el pdo b) peo especo l momeno M en O. d) Deemin l poenci W de l bomb necesi en cd cso p popocion el cdl Q. e S R p p S e P F O M HIPÓTESIS: ) El g es n flido pefeco ( ) e incompesible. ij pδ ij ) Se despeci el peso de l beí del g. Resolción: ) Qe el g se n flido incompesible signific lo sigiene: dρ ρ ce p n mism pícl d L ección de Conseción de l Ms en fom locl esblece es elción: dρ ρ d De qí se lleg dedci qe : dv, V ( ) V Se debe ho esblece el olmen decdo de inegción. P ello h qe bsc n olmen de conol l qe s conono se n speficie ced ( S V), p pode plic el Teoem de l Diegenci: V dv n ds, V ( ) V donde n es l noml eeio nii en el conono del olmen V. sí, po ls ecciones ( ) ( ), se lleg l conclsión qe el fljo de olmen sliene neo, és del conono de n olmen de conol, es nlo: V n ds, V -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

84 8 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos Considendo como olmen de conol el definido po el g compendid en l beí ene ls secciones S S, los ecoes niios e e pependicles dichs secciones, especimene, en el senido del fljo de g, se lleg l sigiene epesión (h qe mencion qe l inegl eendid sobe el conono V, únicmene l plicmos sobe ls secciones S S, qe en ls pedes de l beí se cmple n, es deci, son pependicles): n ds n ds n ds V S S ( e ) e ds S S - S S e S S Q e ds Se compeb, po no, qe el cdl de end el de slid son igles:: Q S Q S ( ) b) P encon el lo de l fe F h qe plic l ección de lnce de l Cnidd de Moimieno : R dv ds d ρb dv V V d ρ ( 4 ) V donde R es l eslne ol de ls fes qe cún sobe el flido. Po oo ldo, desollndo el émino de l deech medine l segnd epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds, se obiene l sigiene epesión: d dv dv ( )ds d ρ V ρ V ρ n ( 5 ) V En ese cso, se esá en égimen escionio, es deci, l deid locl de clqie popiedd es nl, demás, se sbe qe eise únicmene fljo és de ls secciones S S, qe se cmple qe n son pependicles en ls pedes de l beí. Po lo no, según ls epesiones ( 4 ) ( 5 ), se obiene: R ρ( n )ds ρ( n )ds S S ρ e ( e e ) ds ρ e ( e S S e ) ds R ρ S e ρ S e ( 6 ) Si se epes en fnción de Q, según l epesión ( ), esl: R ρq e e S S -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

85 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos 8 Se hn de nli ho ls difeenes fes qe fomn pe de R. l despeci ls fes másics ( b ), sólo se ienen en cen ls fes speficiles, es deci, ls plicds en el conono del olmen de conol ( S, S S l, és úlim, speficie lel de ls pedes): R ρ bdv ds ds ds ds V V V ds S S Sl p e ds p ( e )ds S S qí R /f epesen ls fes ejecids sobe el flido po ls pedes de l beí, qe en pincipio desconocemos, peo qe ilindo l epesión ( 6 ) peden obenese: /f R /f R p e ds S S p ( e R /f )ds R ρ S e ρ S e p S e p /f R ( ρ p )S e ( ρ p ) S e ( 7 ) Epesándolo odo en fnción de Q según l epesión ( ), esl: R /f Q ρ S p S e Q ρ S ho hbá qe pens qé elción iene R /f con nes incógni F. P ello h qe ene en cen el Pincipio de cción Rección, conside l beí el elemeno ígido P - O como n sólido único. En ess condiciones, l fe qe ejece el flido sobe l beí es: R f/ R /f Como es l únic cción qe cú sobe el sólido, eniendo en cen qe el peso de l beí es despecible, es fe debeá se compensd po l cción eeio F p lleg l eqilibio: R F f/ p F R f/ R /f Y po no, se obiene finlmene el lo de F según ( 7 ): S S e F ( ρ p )S e ( ρ p ) S e Epesándol en fnción de Q, según l epesión ( ), esl: Q Q F ρ p S e ρ p S e ( 8 ) S S e P encon los loes máimo mínimo de F en fnción de, h dos posibiliddes:. Encon l epesión de F bsc los eemos iglndo ceo s deid. (Opción no ecomendble).. Méodo dieco: donde nos fijmos en los dos ecoes cnes en el lo de F. (Opción qe se desoll coninción). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

86 8 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos El lo de F, según ( 7 ), depende de nos loes posiios, F F, qe compñn los ecoes (- e ) e, especimene. - e - F e e F F e El eco (- e ) es fijo, no depende de, miens qe e í con es ible. demás, F F son loes mbién consnes. Po lo no, los loes máimo mínimo se obendán cndo F F se smen o se esen, especimene. Es deci, cndo los ecoes (- e ) e sen plelos. Teniendo en cen ls epesiones ( 8 ): Vlo mínimo de F : π F mínim ρq S S p S p S Vlo máimo de F : π F máim ρq p S p S S S c) P encon el lo del momeno M, especo del pno O, h qe plic l ección de lnce del Momeno de l Cnidd de Moimieno: donde M d liq ρbdv ds dv V V d ρ ( 9 ) V M liq es el momeno eslne de los momenos qe cún sobe el flido. Po oo ldo, desollndo el émino de l deech según l segnd epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds, se obiene l sigiene epesión: d d ρdv ρdv ( ρ)( n )ds ( ) V V V Igl qe en el pdo b), se iene n égimen escionio, po no, l deid locl es nl. Tmbién qí, h qe ene en cen qe n son pependicles en ls pedes de l beí. De es fom, según ls epesiones ( 9 ) ( ), se obiene: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

87 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos 8 M ( ρ)( n )ds ( ρ)( n ) ds ( ) liq S S donde h qe ene en cen ls sigienes consideciones:. L solción de cd inegl se pede eli considendo l eslne de ls elociddes en el pno medio de cd sección, qe ls disibciones en cd cso son nifomes plels.. En el cso de l sección S, se compeb qe el eco elocidd eslne plicdo en el ceno de l sección, ps po el pno O, po no no poocá momeno qe el podco ecoil del eco posición del ceno de S el de elocidd seá nlo.. En el cso de l sección S, los ecoes peenecen l plno del ppel, po no s podco ecoil iene l diección senido del eco (- e Z ). demás son ecoes pependicles, po lo qe el módlo del podco es el podco de módlos. plicndo ess consideciones en ( ) se iene: M liq S Rρ ( e Z Q M liq ρ RSe Z ρ Re Z ( ) S El sigiene pso consise en lo ls conibciones de ls fes másics, qe en ese cso son nls ( b ), de ls fes speficiles: M liq )( e V V V ρbdv ds ds ds S S Sl Rp e Z ds M /f S Rp S e Z M /f e ) ds ds ds donde M / f es el momeno qe ejece l beí sobe el flido. P hll s lo se iliá l epesión ( ): M /f M liq Rp Se Z ρ RS e Rp S Z e Z Q M /f RS ( ρ p ) e Z R( ρ p S ) e Z ( ) S plicndo el Pincipio de cción Rección, se eigá el momeno qe ejece el flido sobe l beí: M f/ M /f Y plicndo eqilibio sobe l beí el sopoe P - O, como n cepo conjno eniendo en cen qe el peso de l beí es despecible: M f/ M M M M f/ /f -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

88 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 84 Finlmene, se encen el lo del momeno M, según ( ): ( ) Z e Z e M ρ ρ S p S Q R p RS Se pede compob qe ese esldo no depende del ánglo, po no, s módlo endá n lo consne. d) P deemin l poenci W necesi p popocion el cdl Q, se debe ili el Teoem de ls Fes Vis: ρ V V dv : dv d d W d ( 4 ) En n medio pefeco e incompesible l poenci ensionl es ceo, es deci: dv : V d Eso se compeb de l sigiene fom : ( ) p p pt ) pt( pt ) pt( : p : T d d d l l l donde se h plicdo l epesión ( ), efeene l incompesibilidd, p concli qe se nl l diegenci de l elocidd. plicndo l émino de l deid meil (deid meil de l enegí cinéic de ls pícls qe consien V ) l segnd epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds se obiene: ρ ρ ρ V V V )ds ( dv dv d d W n Y si se ele conside qe se esá en égimen escionio qe n son pependicles en ls pedes de l beí, l epesión de l poenci enne W, qed de l sigiene mne: ρ ρ ρ ρ S S S S )ds ( )ds ( )ds ( )ds ( W n n

89 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos 85 ρ S ρ Uilindo l epesión ( ), se obiene el esldo finl: S W ρq S S PR 5- Un bbj esféic podcid po fenómenos de cición en el seno de n flido incompesible (qe se conside de dimensión infini) iene n dio R() qe dismine n elocidd R&. Sen R R() R & () el dio s s de ición, especimene, en el insne de fomción de l bbj, spes consne lo lgo del iempo. Se pide: ) L elocidd del flido n disnci del ceno de l bbj (en fnción de R R & ). b) L enegí cinéic K del dominio infinio de flido. c) Si p ce es el lo de l pesión en el flido p, clcl l lo de p R (). d) Sponiendo qe p R (), obene l ección difeencil qe descibe l eolción del dio de l bbj. Indic como se clclí el insne en qe despece l bbj. p, p R, R R p R HIPÓTESIS: ) Flido pefeco: p ) Spone n disibción dil de elociddes ( - e ). ) Densidd del flido: ρ ce. 4) Fes másics despecibles. 5) El poblem debe esolese ilindo eclsimene foms globles (inegles) de ls ecciones de conseción-blnce. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

90 86 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos Resolción: ) P encon l elocidd h qe ili el Pincipio de Conseción de l Ms, qe en fom globl iene l sigiene epesión: dm d ρ V d d d V demás se endá en cen el Teoem del Tnspoe de Renolds: d d l se de n flido con V ρdv V ρdv ρ ce esl: V ρdv V V ρ dv ρ nds Si se plicn ess fómls n olmen de conol con n dio genéico limido po l bbj de dio R, se lleg l sigiene epesión: V nds Si se desoll, sbiendo qe el conono de V se descompone en dos pes n l speficie de l bbj Γ R l o n speficie esféic Γ de dio biio, se iene: V nds ΓR ( R e nds ΓR R ) ( e R nds Γ )ds Γ ( e ) e ds Teniendo en cen qe n es l noml eeio nii qe R R() &, qedá: R()4 & πr () 4π R () R() & b) L enegí cinéic K de n olmen V de n flido es: K ρ dv V donde es el módlo del cmpo de elociddes. En ese cso se iene simeí esféic, po lo qe hbá qe ineg especo de l ible dio, desde R() hs el infinio. El olmen difeencil de n esfe es: dv 4π Teniendo en cen ess consideciones: d -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

91 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos 87 K R& 4 ρ ρr& V V 4 () ρr dv 4 ()4π K πρ R & R() 4 ()R R () () dv d () c) Se debe conside ho el Teoem de ls Fes Vis: P e V ρb dv V ds d d V ρ dv : ddv donde P e es l poenci mecánic enne. En ese cso b po hipóesis. demás : d, en el cso de flido pefeco e incompesible.( e el poblem neio). sí qed: P ds K& e V Sbiendo qe los flidos únicmene sfen ensiones de compesión qe p es n consne po hipóesis, se desoll el pime émino: p R P e ds (p ) (R() )ds Re & R e R Γ lim V R()4 & πr R Γ V (p ( e () lim p R P p R()4 & πr () p R()R & () 4π )) ( e )ds { 4π } p R()4 & πr () lim p R() & 4π El segndo émino se obiene del pdo b): K& dk πρ d d d Ssiendo los loes obenidos se iene qe: e p R R () p ρ ( R& ()R ()) d d ( R&& ()R ()) R()R & Po úlimo se desoll el lo de l deid se ssie en l epesión: d ( R& () R () ) R () R& () R() R&& () R & () d () R [ ] () p R () p ρ () () () R R&& R& d) Si p R () enonces de c) se obiene: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

92 88 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Reselos donde Enonces se iene: p p d d ρ () () () R R&& R& d & R () R d R () ρ d d & ()R() ( R ()R ()) donde ρ p son consnes. Si se ineg ene n iempo genéico l neio epesión se impone qe R & ( ) R( ) R, qedá l EDO bscd : ( p R ()) ρ( R& ()R ()) p (R () R ) ρr ()R& () R() & p ρ R R R () () P encon el insne en el qe despece l bbj, únicmene h qe hll R() e impone R( finl ). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

93 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Popess 89 CUESTIONES PROPUESTS CP 5- Dd l descipción espcil de n cie popiedd Ψ po nidd de olmen de ls pícls, inepe físicmene el lo de: dψ ) d b) Ψ c) d Ψ dv d d) Ψ dv CP 5- Indic e inepe físicmene el significdo de ls sigienes epesiones en l Mecánic de Medios Coninos: Ψ( ( X, ), ) - Ψ( ( X, ), ) ) Ψ(, ) dv Ψ(, )dv V lim c) V lim Ψ(, ) - Ψ(, ) Ψ(, ) dv Ψ(, )dv V b) lim d) V lim V CP 5- Inepe físicmene los sigienes concepos: ) Deid meil locl de n popiedd. b) Deid meil locl de n inegl de olmen. c) Jsific po qé moios podí inepese qe ρψ nds es l deid coneci de l inegl de olmen ρψ dv. V CP 5-4 Dedci ls elciones ene: ) L deid locl l deid meil de n mgnid Ψ. b) L deid locl meil de n inegl ρψ dv, cndo odo el fljo de l mgnid Ψ esá socido l nspoe de ms. CP 5-5 Dedci l ección de l coninidd en ss foms meil (o Lgngin) espcil (o Elein). V V V CP 5-6 Dedci l epesión de l fom locl espcil de l ección de conseción de n popiedd de n medio conino p el cso más genel. CP 5-7 Obene l epesión del eoem del nspoe de Renolds inependo físicmene cd émino. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

94 9 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Popess CP 5-8 Jsific ls sigienes fimciones: ) En n fljo incompesible, el cdl és de n speficie de conol ced es nlo. b) En n fljo escionio el fljo de ms és de n speficie de conol ced es nlo. CP 5-9 Jsific cndo es álid l sigiene fimción: P n flido incompesible en égimen escionio, l densidd es nifome. ) Siempe. ) Nnc. ) Sólo cndo l densidd en el insne inicil es nifome. CP 5- Jsific si son cies o no ls sigienes fimciones: ) El fljo conecio de n popiedd és de n speficie meil es siempe nlo. b) El cdl neo (sliene menos enne) és de n speficie de conol ced es siempe nlo. CP 5- P n cieo moimieno escionio de n flido se eific qe el cdl és de clqie speficie de conol ced es nlo. Obene l epesión de l ección difeencil, elcionndo l elocidd l densidd, qe debe cmplise. CP 5- Dedci l fom espcil de l ección de Cch pi del blnce de l cnidd de moimieno. CP 5- Demos l simeí del enso de ensiones de Cch pi de l ección de conseción del momeno ngl. (plic l fóml ( b) e b ) i ijk j k CP 5-4 Desoll los concepos: ) Poenci mecánic. b) Teoem de ls fes is. c) Poenci ensionl. CP 5-5 Dedci l epesión espcil de l poenci mecánic en n medio conino defomble. CP 5-6 Dedci el Teoem de ls fes is en Mecánic de Medios Coninos (ili l epesión ( ) ( ) : ). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

95 5 Ecciones de conseción-blnce Cesiones Popess 9 CP 5-7 Obene l epesión de l poenci cloífic enne en n medio conino, indicndo el significdo de cd émino. CP 5-8 Ennci los posldos qe se esblecen en el pime pincipio de l Temodinámic obene l fom locl Elein de l ección de conseción de l enegí, indicndo el significdo de los éminos qe ineienen. CP 5-9 Significdo del émino ij d ij de l ección de conseción de l enegí, siendo: ij : Tenso de Tensiones de Cch. d ij : Tenso Velocidd de Defomción. E ij : Tenso Defomción. CP 5- Defini: ) Vibles emodinámics b) Vibles de esdo c) Pocesos emodinámicos eesibles e ieesibles. Indic l ilidd del º pincipio de l emodinámic en l Mecánic de Medios Coninos. CP 5- P n esdo ensionl de pesión hidosáic ( ) : ij pδ ij p dρ ) Demos qe l poenci ensionl es dv. ρ d V b) Epes l ección de l enegí, en pocesos emodinámicmene eesibles, en fnción de l empe, enopí, pesión, enegí inen, densidd iempo. CP 5- Foml en fom Elein, indicndo el significdo de cd símbolo, los sigienes pincipios l como se sn en Mecánic de Medios Coninos en s fom locl: ) Conseción de l Ms ( Ección de Coninidd ). ) Conseción de l Cnidd de Moimieno ( Ección de Cch ). ) Conseción del Momeno ngl. 4) Conseción de l Enegí (Ección de l Enegí). CP 5- Ennci escibi ls ecciones necesis p esole n poblem mecánicoémico en Mecánic de Medios Coninos. Indic cles son ls incógnis del poblem s ipo (mecánico o émico). Eplic cndo pede decise qe el poblem esá descopldo, esblece ls epesiones p ese cso. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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97 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Popesos 9 PROLEMS PROPUESTOS PP 5- El cmpo de elociddes de n flido incompesible en égimen escionio es: Se pide: () [- - ; - ; f() ] T ) Deemin f(), sbiendo qe l elocidd en (,,) es nl. b) Obene ls ecciones de ls ecois línes de coiene. c) Clcl el enso elocidd de defomción el eco oicidd. d) Clcl ls fes de olmen necesis p mnene ese moimieno en n medio ilimido siendo consne l pesión. e) Ene los iempos π π se inec colone en el pno (,,). Clcl ls coespondienes línes de lo lgo del iempo. PP 5- Po el ndo de beís de l fig cicl en égimen escionio n flido pefeco e incompesible. El ndo esá ssendo po n elemeno ígido O - D. Se pide: ) Deemin, jsificndo ls fómls empleds, ls elociddes de end ( ) de slid ( C ) en fnción del cdl Q. b) Clcl l eslne (fe momeno en el pno O ) de ls cciones sobe el flido del ineio del ndo. c) Clcl ls ecciones (fe momeno) en el pno D del sopoe. d) Deemin l poenci W de l bomb necesi p popocion los cdles indicdos. Q c c S c S C P c P Q Q S S P b P O h Q b Q b S b S P b P D HIPÓTESIS: ) Peso del flido de l beí despecibles. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

98 94 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Popesos PP 5- En el speso p iego c pln ldo se pesenn en l fig en és de l sección C n cdl de g Q n pesión P sle po los eemos l pesión mosféic P m. El fljo se spone escionio. Se pide: ) Ls elociddes de end de slid. (Jsific l fóml empled). b) L eslne en el pno O de ls fes ejecids sobe el flido del ineio del speso (fes momenos). c) Ls ecciones ejece sobe dicho pno O, p ei qe el speso se desplce eiclmene. d) Sponiendo qe I e I son, especimene, los momenos cenles de ineci del speso en cío del speso lleno de g, especo del pno O, clcl l celeción ngl de gio del speso α. * e) Si W es l poenci de l bomb necesi p popocion el cdl Q, clcl l poenci necesi p popocion n cdl Q. P P m S S α Q/ h/ Q/ Q/ O h/ C Q/ Q C P P m P C P S S d d S C S * LZDO PLNT HIPÓTESIS: ) Flido incompesible ) Flido pefeco: ij pδ ij ) Se despeci el peso del speso del g de s ineio. 4) S S S 5) S C S 6) m Iα * PP 5-4 En el dibjo se esqemi l pln de n bin en l qe en n cdl Q de g po l sección O qe sle epido pes igles po ls obes - - ls elociddes, especimene. Ls secciones de slid de ls obes son S S, ss eceniciddes especo l eje de l bin son R α R (e fig). Se pide : ) Ls elociddes en fnción del cdl Q (jsific ls fóml empled). b) El momeno especo l eje O ejecido sobe l bin po el flido de s ineio. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

99 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Popesos 95 c) L elción ene S S (en fnción del pámeo α ) necesi p qe l bin no gie. α R α R p p m S Q 4 R S Q 4 O Q Q 4 S HIPÓTESIS: ) Fes másics despecibles. ) Régimen escionio. ) Flido incompesible. 4) Flido pefeco: ij pδ ij Q 4 R S PP 5-5 En l fig se pesen l sección longidinl de n beí de sección nsesl cdd po l qe cicl g qe en po l sección E sle po l sección CD. En l sección de slid se dispone n compe C qe pede bscl lededo de l ól, qe se mniene en posición eicl medine l cción de l fe F. Se pide: ) L elocidd de slid en fnción de l de end (jsific l fóml empled). b) L eslne en el pno (fes momenos) de ls cciones ejecids sobe el flido del ineio de l beí. c) L eslne en el pno (fes momenos) de ls cciones ejecids po el flido sobe l compe C. d) El lo de l fe F de ls ecciones qe ejece l beí sobe l compe en. e) L poenci de l bomb necesi p mnene el fljo. ê E C F h/ h/ D p p m $e h $e h -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

100 96 5 Ecciones de conseción-blnce Poblems Popesos HIPÓTESIS: ) Régimen escionio ) Flido incompesible ) Ls pesiones sobe ls pedes leles de l beí se sponen consnes e igles l pesión de end p. 4) Flido pefeco: ij pδ ij 5) Se despeci el peso del flido de l compe. PP 5-6 En l fig se esqemi n bomb p inección de n flido incompesible pois de n áll de eención O co peso, po nidd de nch, es W. Se conside n cieo poceso se inección en égimen escionio definido po l elocidd del émbolo V ls pesiones P (en el ineio de l cám de pesión) P (en el eeio). Deemin: ) Ls elociddes en fnción de V (jsific l fóml empled). b) Ls fes, po nidd de nch, ejecids po el flido sobe l áll O. c) El momeno, po nidd de nch, en O ejecido po flido sobe l áll. d) El lo de W p qe l áll O se mneng en l posición de l fig dne el poceso de inección. b O P α / / P W P O α P Delle HIPÓTESIS: V ) Se despecin ls fes másics en el flido. ) Flido pefeco: ij pδ ij. Considee el nálisis po meo linel. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

101 6 Elsicidd linel Cesiones Resels 97 6 Elsicid d linel CUESTIONES RESUELTS CR 6- Jsific si son cies o no ls sigienes fimciones: ) En n meil emoelásico, los éminos isenópico dibáico son eqilenes. b) P meiles emoelásicos lineles, l segnd nlogí émic es plicble siempe. Resolción: ) Según el º Pincipio de l Temodinámic, enemos l sigiene epesión: ρ & & s i loc ρ s ( ρ q) P n meil emoelásico siempe endemos pocesos eesibles po no es desigldd se coniee en igldd: ρ & ρ s& ρ q) ( ) s i loc ( L definición de n poceso isenópico (se mniene l enopí consne) es: s & L definición de n poceso dibáico ( l ición de clo es nl) es: ρ q Po lo no, si se spone n poceso isenópico, se inodce s epesión memáic en l ección ( ), qedá l definición de poceso dibáico: ρ q Y l eés, si se spone n poceso dibáico, se inodce s epesión memáic en l ección ( ), qedá l definición de poceso isenópico: En conclsión, l fimción es cie. s& b) L ª nlogí émic no es plicble siempe. Se iene qe eific l condición qe el cmpo de defomciones émics se inegble, es deci, iene qe eific ls Condiciones de Compibilidd. Peso qe ls condiciones de compibilidd inolcn deids segnds de ls componenes del enso de defomciones especo,,, se eificá omáicmene si α ce. ce., o bien, si α es linel en,,. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

102 98 6 Elsicidd linel Cesiones Resels CR 6- El cilindo indefinido de l fig, consiido po n meil elásico linel isóopo, esá someido l sigiene esdo de defomción (en coodends cilíndics): cos E E sin ; E ; E E E ; << Clcl el eco de cciones, en el conono, en componenes cilíndics R HIPÓTESIS: ) λ, µ son ls consnes de Lmé. Resolción: El Tenso de Defomción coincidiá con el Tenso de Defomción Infiniesiml endá l sigiene epesión en coodends cilíndics: sin cos E(,, ) ε(,, ) cos sin Uilindo l Ección Consii de n meil elásico linel e isóopo se pede obene el Tenso de Tensiones en coodends cilíndics: λt( E ) µe ( λ µ )sin µ cos µ cos ( λ µ )sin λsin El eco noml eeio l cilindo endá l sigiene epesión en cilíndics: n (,, ) T Uilindo l definición del eco de cciones se obiene l sigiene epesión en coodends cilíndics: ( λ µ ) sin n µ cos CR 6- Un sólido sin fes de olmen ni cocciones eeioes, co meil es isóopo, esá someido n incemeno de empe igl en odos ss pnos. Encon s cmpo de desplmienos, ensiones defomciones en coodends cesins. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

103 6 Elsicidd linel Cesiones Resels 99 Resolción: P esole ese poblem se plicá l ª nlogí Témic. Se iene n poblem I qe se descompondá en sm de dos poblems: II III. PROLEM I: PROLEM II: b cciones: II II II II b cciones: b III, en I Γ,en Γ, en, en Γ Γ Respes : Respes :, ε,, ε II II, II PROLEM III: b cciones: III III III III,en Γ,en Γ Respes : III III, III, ε ε Si el meil es homogéneo e isóopo iene nifome, enonces ε endá l sigiene epesión: ε α ( ce. ) Teniendo en cen qe se esá con defomciones infiniesimles, se dedce: F ε Ω ( ε Ω) X C ( ε Ω) C Resl, po no, qe el cmpo de desplmienos es: α Ω (,,) α Ω α Ω Ω Ω Ω C C C L solción finl seá: ε ε II II II ε III III III ε -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

104 6 Elsicidd linel Cesiones Resels CR 6-4 Un sólido elásico, linel e isóopo, esá someido en odo s conono eeio n pesión consne,de lo, jno con n incemeno de empe en s ineio de lo (,, ). mbs cciones se compensn de fom qe no se podcen desplmienos. Obene el lo de en cd pno del sólido. Resolción: Se plicá l ª nlogí Témic: P ello el poblem oiginl I se descompondá en sm de dos poblems: II III. PROLEM I: b pn,en Γ cciones:, en Γ PROLEM III: Respes :, ε, Se esele pimeo el poblem III, c solción es iil: b cciones: PROLEM II: III III III III β ( ) ρ β n,en Γ,en Γ Respes :, ε III III β III, b cciones: II II II II β ( ) ρ ( p β ) n, en Γ,en Γ P esole el poblem II se endá en cen l Ección de Nie qe II : demás se iene qe: b ( λ µ ) ( µ ρb II II ) β ( ) II II es nifome ε II ( II II ) λ ) µ ( ) II II ( II II n II ( p β ) n, n p β De es fom se obiene el lo del incemeno de empe pedido: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

105 6 Elsicidd linel Cesiones Resels p β CR 6-5 Se conocen ls espess de n sólido emoelásico linel en eqilibio n (I) *(I) *(I) (I) b, en ; en Γ ; oo sisem de cciones II sisem de cciones I ( Γ ) (II) *(II) *(II) (II) ( b, en ; en Γ ; ) Γ Resolción: Ls cciones eslnes seín ls sigienes: b b * *. Jsific cál seí l espes l sisem I II. (I) (I) (I) (I) b (II) (II) Po hipóesis, se spondá qe l solción es l sm de ls solciones de los dos sisems: ε ε (I) (I) (I) (II) (II) Se endá qe compob si se cmplen ls ecciones de Eqilibio (o Cch), Geoméics Consiis. Se sbe qe l solción es únic, po no, si se encen n qe cmpl ls Ecciones de Gobieno en el dominio ls Condiciones de Conono en los límies del dominio (L solción popes cmple ls condiciones de conono, po definición), dich solción seá l coec. ECUCIÓN DE EQUILIRIO: (I) (II) (I) (II) ρb ( ) ρ( b b ) ( ρb ) ( ρb ) ECUCIONES GEOMÉTRICS: ε ( ) ( ε en (II) (II) (II) en (I) ) [( Γ Γ (I) (II) (II) )] [ (I) (II) (I) (I) (II) (II) (I) (II) (I) (II) ij εij εij i, j j,i i, j j,i i, j i, j ) ( j,i j,i i, j ECUCIONES CONSTITUTIVS: (I) ij (II) ij (I) kl [C ε β ] [C ε β ] ij (I) kl (II) kl ijkl ij (I) (I) ijkl (II) kl Cijkl [ ε ε ] βij[ ] Cijklε kl βij (II) ij (II) j,i ] Se compeb, po no, qe se cmplen ods ls condiciones qe es es, enonces, l solción del poblem. Se concle qe el pincipio de speposición mbién fncion en emoelsicidd. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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107 6 Elsicidd linel Poblems Reselos PROLEMS RESUELTOS PR 6- Un coon cilíndic de l h, dio ineio R dio eeio R, se encen en el ineio de n cilindo de igide infini de l h dio R, con << R. Se somee l coon n cmpo nifome de empe. Deemin: ) El lo de p el qe ls pedes leles de l coon el cilindo enn en conco. b) Dibj, condo los loes significios, l c δ -, siendo δ el lgmieno del dio ineio de l coon. Deemin el lo de p el cl dicho dio ecpe s lo oiginl. c) Dibj, condo loes significios, ls cs -, -, -, en los pnos. R R h HIPÓTESIS: ) Módlo de Elsicidd: E ) Coeficiene de Poisson: ν ) Coeficiene de dilción émic : α 4) Meil elásico linel e isóopo. 5) No se conside el peso popio. 6) No se conside el omieno ene pedes. Resolción: En el poblem se peden disingi dos fses disins: R R ª Fse Se conside qe l coon cilíndic no h endo en conco con el cilindo ígido. L condición de conono en ls pedes leles, no inen como een, seá qe l ensión dil se nl. Po no, se debeá conol el momeno en qe se oqen, es deci, cndo se cmpl: ( R) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

108 4 6 Elsicidd linel Poblems Reselos ª Fse Se conside qe eise conco, po no, l condición de conono en l ped lel een es disin qe l de l pime fse. En ese cso, se impondá qe el desplmieno dil se nlo. Sin embgo, en l ped inen l condición de conono es l mism qe en el oo pdo. l plic n posiio, el dio ineio disminiá, pes el dio eeio no pede men más, l es limido po el cilindo infinimene ígido. sí, l únic posibilidd es qe l coon se sig dilndo hci deno. Llegá n momeno en qe el dio ineio, qe en l ª fse hbí mendo, oleá ecpe s lo inicil. Se plicá l pime nlogí émic el pincipio de speposición. P ello se descompondá el poblem oiginl (poblem I) en l sm de dos: poblem II poblem III. En el cso del poblem III, llmdo poblem iil, ls cciones cnes son: b III ( β ) ρ Peo en ese cso se iene nifome β es n enso esféico consne ( β β) po no esl: b III ( β ) ρ Ls condiciones de conono son ls sigienes:. En el conono esán los moimienos pescios Γ : III. En el conono esán ls ensiones pescis Γ : β n β n L solción de ese poblem se conoce: ε III β En el poblem III no se conside el incemeno émico. En el cso del poblem II, llmdo poblem nálogo, ls cciones cnes son: b II b ( β ) ρ III III En es epesión b es n do el oo émino mbién se nl como nes se h iso. Po no se iene: b II Ls condiciones de conono p el poblem II son: * *. En el conono esán los moimieno pescios según Γ : II, siendo el moimieno impeso del poblem I. *. En el conono con ensiones pescis en : n β n * β n, siendo * el eco de cciones impeso del poblem I. Γ II II ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

109 6 Elsicidd linel Poblems Reselos 5 Se esole el poblem nálogo, coninción se le smá l solción del poblem iil sí se llegá l solción finl. (En ese pdo no se ñde el sbíndice II, peo h qe conside qe se esá bjndo con los moimienos, defomciones ensiones del poblem II). Po simeí cilíndic, se sbe qe el eco de desplmienos endá esos loes: (, ) [ () ()] demás, se impondá qe () en odos los pnos, qe no se dispone de ningún do sobe S speio S infeio de l coon. P ess cs no se pede plne ningn condición de conono en desplmienos de qí no se peden deemin ls consnes de inegción de en cso de spone.sí qe finlmene se dop: () [ () ] Con l Ección de Nie-Sokes se podá solcion ese poblem: ( λ µ ) ( ) µ ρ b ρ H qe ene en cen qe se esá bjndo en coodends cilíndics po no l ección neio h qe dpl ese sisem de coodends. Peimene, pi de los dos, h qe esblece el lo de los pámeos qe ineienen en el poblem ( E, α, ν ) : ν λ λ ( λ µ ) µ E ( ν) β E α ν Inodciendo los dos del poblem se obiene: ω ω ω Si se ineg es úlim ección se obiene: β Eα µ G E e ( ) E [ ( )] ( ) ( ) () Con esos desplmienos se peden obene fácilmene ls coespondienes defomciones: ( ) ( ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

110 6 6 Elsicidd linel Poblems Reselos ε () ( 4 ) Po úlimo, p obene ls ensiones se s l ección consii de n meil elásico linel isóopo, piclido con ls epesiones ( ): ª Fse λ( T( ε)) µ ε Eε Se ienen dos incógnis deemin ( ) po ello se deben esblece dos condiciones de conono. Se peden impone en el poblem ls ensiones en ls dos pedes leles de l coon: CONDICIÓN DE CONTORNO EN Si R ( 5 ) R se iene, según ls condiciones de conono Γ en el poblem nálogo: n De qí se conocen los sigienes dos: n [ ] : noml nii eeio. * β n * β n * : qe en el poblem I en es fse, ls pedes leles no ienen cgs. : iene ddo po ls epesiones ( 4 ) ( 5 ). Po no, qed l sigiene condición: ( R) β Y ssiendo el lo de l ensión dil eniendo en cen ( ) esl: α ( 6 ) 4R R Si R según ls condiciones de conono Γ en el poblem nálogo se iene qe: * * n β n β n CONDICIÓN DE CONTORNO EN De qí se conocen los sigienes dos: n [ ] : noml nii eeio. * : qe en el poblem I en es fse, ls pedes leles no ienen cgs. : iene ddo po ls epesiones ( 4 ) ( 5 ). Po no, qed l sigiene condición: ( R) β Y ssiendo el lo de l ensión dil eniendo en cen ( ) esl: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

111 6 Elsicidd linel Poblems Reselos 7 Teniendo en cen ( 6 ) ( 7 ): α ( 7 ) R α ( 8 ) Ssiendo ( 8 ) en ( ), ( 4 ) ( 5 ) se obendán los desplmienos, ls defomciones ls ensiones del poblem nálogo: II [ α ] α ε II α ( 9 ) Eα II Eα Teniendo en cen el pincipio de speposición, ( ),( ) ( 9 ), se esele el poblem oiginl en l pime fse: [ α ] α ε α ( ) Eα P obene el lo de p el cl ls pedes leles del cilindo l coon enn en conco, bs impone: ( R) α R ( ) αr b) Pimeo se deeminá posición inicil., p el qe se cmple qe el dio ineio ecpe s ª Fse Se oleá s l mism geomeí qe en el poblem inicil, peo ho eise conco ene l coon el cilindo. Es como esole n poblem pe, con l mism geomeí peo con difeenes condiciones de conono. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

112 8 6 Elsicidd linel Poblems Reselos En ese pdo se pescindiá de l pime fse, peo ecodndo qe el sólido pe de n esdo qe es el esldo de l neio fse, es deci, h enido nos desplmienos, defomciones, ensiones e incemenos de empe. Se iliá l ible. Se plic l nlogí émic, igl qe en el pdo neio. El poblem III qed igl po no mbién s esldo ( ).Po no h qe esole el poblem II con ls misms epesiones ( ), ( 4 ) ( 5 ): (qí mbién se omien los sbíndices II, nqe h qe ole emc qe odo esá efeido l poblem II no l oiginl) Se ienen dos incógnis deemin:,. Po ello se deben esblece dos condiciones de conono. Se peden impone ls ensiones en l ped lel inen de l coon los desplmienos de l eeio: CONDICIÓN DE CONTORNO EN R Si R según ls condiciones de conono Γ en el poblem nálogo se iene: Po no, qed l sigiene condición: ( R) R ( ) R CONDICIÓN DE CONTORNO EN R Si R se iene según ls condiciones de conono Γ en el poblem nálogo: n De qí se conocen los sigienes dos: * β n * β n n [ ] : noml nii eeio. * : qe en el poblem I en es fse, l ped lel inen no iene cgs. : iene ddo po ls epesiones ( ) ( 4 ). Po no, qed l sigiene condición: ( R) β Y ssiendo el lo de l ensión dil eniendo en cen ( ) esl: α ( ) R Teniendo en cen ( ) ( ): α 5 ( 4 ) 4 α R 5 Ssiendo ( 4 ) en ( ), ( 4 ) ( 5 ) se obienen los desplmienos, ls defomciones ls ensiones del poblem nálogo: III α ( 4R ) 5-4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

113 6 Elsicidd linel Poblems Reselos 9 ε III α ( 4R 5 ) α ( 4R 5 ) Eα ( 4R ) 5 α ( 4 III E R ) ( 5 ) 5 Teniendo en cen el pincipio de speposición, ( ), ( ) ( 5 ), se esele el poblem oiginl en l segnd fse: α ( 4R ) 5 α ( 4R ) 5 ε α ( 4R ) ( 6 ) 5 4 Eα ( R 5 ) 4 Eα ( R 5 ) Eα H qe ene en cen qe no se h considedo p nd qe se h pido del esdo finl de l fse ª no de n esdo neo como se h speso en ese pdo. En elidd se pe del esdo con moimienos, defomciones, ensiones e incemeno de empe coespondienes : inicil ε inicil inicil ε ª Fse ª Fse ª Fse ( ( ( ) ) ) ( 7 ) Y, en elidd, l ible en ls epesiones ( 6 ) no es el incemeno de empe ol, sino qe es l difeenci de empe del momeno con. Es deci: ( 8 ) sí eniendo en cen ( 6 ), ( 7 ) ( 8 ) se obienen los moimienos, defomciones ensiones dne l fse ª: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

114 6 Elsicidd linel Poblems Reselos ε ª Fse ª Fse ª Fse inicil ( ) ε inicil inicil ε( ) ( ) Po lo no, p deemin, bsá con impone qe el moimieno del dio ineio, según l ª fse, se igl peo de signo conio l de l ª fse, p qe sí el moimieno ol se nlo. ª fse: desplmieno p R. Según ( ) ( ) se obiene: δ ( R, ) α R ª fse: desplmieno p R. Según ( 6 ) se obiene: δ ( R, ) α R 5 δ 5 δ 6αR ( 9 ) ( ) Finlmene, según ( 8 ) se encen el incemeno de empe ol: 5 6αR αr 4 αr ho se dibjá el gáfico δ ( desplmieno del dio ineio de l coon ) - : δ δ αr αr 5 c) P dibj ls gáfics,, p los pnos ( R ) ( R ), se deben ene en cen ls epesiones ( ) ( 6 ): -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

115 6 Elsicidd linel Poblems Reselos pno : E R pno Eα 5 Eα pno 5 E 6 R 4 E R pno 8 Eα 5 pno pno Eα 4 E R -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

116 6 Elsicidd linel Poblems Reselos PR 6- El cilindo mcio de l fig iene impedido el moimieno de s bse infeio esá someido l sigiene cmpo de defomciones infiniesimles: ϕ ϕ ε ε ε ε ; ε ; ε ) Obene el cmpo de desplmienos. b) Demos qe dichos desplmienos peden inepese como n gio ígido, lededo del eje, de cd sección hoionl del cilindo especo l bse. Inepe el lo de ϕ en ese coneo. c) l l de lo indicdo en el pdo neio, obene el cmpo de desplmienos de defomciones en coodends cilíndics. d) Sponiendo qe el meil sige l Le de Hooke, obene ls componenes en cilíndics del enso de ensiones dibj l disibción de ensiones sobe l sección lel del cilindo sobe n sección hoionl clqie del mismo. Obene l ección, fe momeno en O, sobe l bse del cilindo. R h HIPÓTESIS: ) Popieddes del meil: E, G. COMENTRIO: Se demos qe l solción de Colomb en el cso de n pie empod con n momeno oso en el oo eemo no es n solción simplificd como l moí de ls de Resisenci de Meiles, sino qe se de n solción ec. Resolción: ) P obene el cmpo de desplmienos debemos ineg el cmpo de defomciones ddo en el poblem. Pimeo se encen el Veco de Roción : E E E E E E ϕ no depende de ( no depende de ( O ( )) ( )) ϕ C -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

117 6 Elsicidd linel Poblems Reselos -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) ) ( E E ) ( C E E E E ϕ ϕ ϕ ) ( ) ( C E E E E E E ϕ ϕ ϕ ϕ Poseiomene se bsc el Veco de Desplmienos : ) ( ) ( C C C C d d C E C C E E ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ) ( ) ( C C C C d d C E E C C E ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ d d C C E C C C E ) ( ) ( ψ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ

118 4 6 Elsicidd linel Poblems Reselos E C C C P obene ls consnes se impondán ls condiciones de conono, es deci, se impondá qe el cilindo esá empodo en l bse:,, C C,, C,, C C,, C C,, C C C,, C C C Finlmene qed: ϕ (,,) ϕ b) Si enonces (,, ), lego el eje del cilindo no se mee. Considéese n sección nsesl del cilindo de co k ce. Spóngse ho qe od l sección gi n ánglo φ peqeño, qe se esán considendo peqeñs defomciones ( g φ φ ). Enonces se pede inepe el desplmieno de n pno P como φ, siendo l disnci del pno en cesión l eje. sí, si od l sección iene n moimieno de gio de sólido ígido de ánglo φ, el cmpo de desplmienos se escibe como: φ (,,) φ Y compándolo con el esldo del pdo ) se pede concli lo sigiene: φ k ϕk φ Es deci, ϕ es el gio po nidd de l. k c) Se obiene ho el lo del desplmieno en l diección dil: (,, ) [ ϕ ϕ ] ϕ ( ) ϕ ϕ demás, es deci, no h desplmieno ni en l diección del eje ni dilmene. sí qe el cmpo desplmienos en cilíndics qed de l sigiene fom: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

119 6 Elsicidd linel Poblems Reselos 5 (,, ) ϕ P hll ε (,, ) pi de (,, ) se sán ls ecciones qe elcionn desplmienos defomciones en coodends cilíndics. El cmpo de defomciones eslne en cilíndics es: ε(,, ) ϕ ϕ d) Sponiendo qe el meil cmple l Le de Hooke, el cmpo de ensiones se pede escibi como: Qe en ese cso qed como: El cmpo de ensiones eslne es: λ( ε) µ ε Gε (,, ) Gϕ Gϕ Ls ensiones en l speficie lel son, po no: τ τ Y ls ensiones sobe n sección hoionl clqie son: GϕR, τ ϕg, τ GϕR -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

120 6 6 Elsicidd linel Poblems Reselos RECCIÓN EN L SE DEL CILINDRO: Se pden clcl ls ecciones según ls sigienes fómls, plicds l sección : R ds, M ds donde es el eco posición n. O mne es bsse en el dibjo de ls ensiones en dich sección: S R se clcl como l sm de ls ensiones ngenciles en l sección empod. Po simeí, en cd diámeo de l sección l sm es nl, po lo no, l sm ol (de odos los diámeos) es nl mbién. S R P clcl el momeno se plic l fóml inicil: ( τds) e ( GϕdS) e Gϕ( ds) e GϕI e M S S S M GI ϕ Donde I es el momeno de ineci pol de l sección especo del eje. sí qe l fóml qe se s en Resisenci de Meiles poimción, sino qe es ec. M ϕ GI T no es ningn -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

121 6 Elsicidd linel Cesiones Popess 7 CUESTIONES PROPUESTS CP 6- Obene l ección consii de n meil elásico linel pi del poencil elásico. CP 6- Jsific si es cie o no l sigiene fimción: En n meil emoelásico, l poenci ensionl es n difeencil ec. CP 6- Se l epesión del poencil elásico: () ˆ ε Ke Gε ε E E ij ij K G ( ν) ( ν) Deemin, jsificándolo, el ngo de loes posibles de E ν. CP 6-4 Obención de l le de Hooke en fnción de l pe esféic desido de los ensoes de ensión defomción. CP 6-5 Defini n poblem csiesáico: ) Ecciones e incógnis en el poblem csiesáico. b) Condiciones de conono. CP 6-6 Defini qé es n poblem elásico csiesáico en elción con el cso genel del poblem elásico dinámico (qé lo ccei en cno ls cciones, ls fes de ineci ls condiciones iniciles). Piendo de ls ecciones de gobieno del poblem dinámico, escibi ls ecciones difeenciles condiciones de conono qe gobienn el cso csiesáico. CP 6-7 Condiciones de conono e iniciles del poblem elásico linel. CP 6-8 Eplic de fom esqemáic (no hce fl escibi ls ecciones en fom eplíci) el esqem de esolción (obención de, ε, ) de n poblem esáico, elásico-linel, plnedo en ensiones, indicndo cándo se ilin ls diess condiciones de conono. CP 6-9 Eplic de fom esqemáic (no hce fl escibi ls ecciones en fom eplíci) el esqem de esolción (obención de, ε, ) de n poblem esáico, elásico-linel, plnedo en desplmienos, indicndo cándo se ilin ls diess condiciones de conono. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

122 8 6 Elsicidd linel Cesiones Popess CP 6- nli el concepo de eesibilidd en los meiles elásicos mi l fimción: P n meil elásico, ls elciones ensión-defomción son únics e independienes del poceso de cg. CP 6- Desoll los sigienes concepos en emoelsicidd linel p meiles nisóopos: ) Hipóesis. b) Ecciones de Lmé. CP 6- Defini beemene e indic el cmpo de lide de los sigienes pincipios de l Mecánic de Sólidos: ) Pincipio de l nicidd de l solción. b) Pincipio de speposición. c) Pincipio de Sin-Venn. CP 6- Ennci el pincipio de speposición, esblece s cmpo de lide demoslo. CP 6-4 Eplic gáficmene escibi ls ecciones condiciones de conono necesis p esole n poblem emoelásico linel plicndo: ) L pime nlogí émic. b) L segnd nlogí émic. CP 6-5 pi de l descomposición de ls ensiones en s pe émic no-émic, jsific l pime nlogí émic. CP 6-6 Defini ls hipóesis básics, esdos conside condiciones de conono en l plicción de l segnd nlogí émic p l esolción de n poblem emoelásico linel. Jsific en qé siciones seá o no plicble. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

123 6 Elsicidd linel Poblems Popesos 9 PROLEMS PROPUESTOS PP 6- Un cilindo mcio de dio R l h esá sido ene dos pedes infinimene ígids, encjndo pefecmene ene ells sin podcise ningn ensión. Se somee l cilindo n incemeno de empe. Se pide: ) Obene el cmpo de desplmienos en fnción de ls coespondienes consnes de inegción. b) Deemin ls consnes de inegción. c) Deemin el esdo ensionl dibj s ición lo lgo del dio. R R h HIPÓTESIS: ) Popieddes del meil: λ µ α α() α α ) Se spone omieno nlo ene pedes. PP 6- Un cilindo de dio R i esá sido en el ineio de n coon cilíndic de dio ineio R i e dio eeio R e. Ene el cilindo l coon se encen n jn elásic de dio ineio R i co espeso es e. Se somee l coon n pesión eeio p. Se pide: ) Obene el cmpo de desplmienos, defomciones ensiones en el cilindo l coon. b) Dibj los gáficos U - p, donde U es el desplmieno dil, - p, donde es l ensión dil p los pnos, C de l fig. jn C R e p R i DTOS: R i ) ) R e ) ν e e -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) coon cilindo

124 6 Elsicidd linel Poblems Popesos 4) E (Módlo de Yong) HIPÓTESIS: ) Le consii de l jn elásic: * l jn, ) e << R i. * * K δ, donde * p es l pesión qe cú sobe p δ es el comieno de s espeso K es s módlo de defomción. ) Se dmie n compomieno de defomción pln en peqeñs defomciones. PP 6- Un cilindo de meil isóopo, elásico linel, se encen podo sobe n bse ígid. n disnci m peqeñ ( << h ) de s c speio se encen o speficie ígid. Sobe el cilindo cú n pesión nifome p en od l speficie lel. Dibj, condo los loes significios, ls sigienes cs: ) C p - δ, donde δ es el comieno del dio R del cilindo. b) C p -, donde es l ensión noml l speficie de conco infeio en el pno. p p h HIPÓTESIS: ) No se consideá l cción del peso popio. ) Coeficienes de Lmé: λ µ ) Se conside el poblem csiesáico. R R PP 6-4 Dos cilindos mcios consiidos po meiles elásicos disinos se encenn spepesos eiclmene confindos ene dos pedes infinimene ígids. Los cilindos se hlln someidos l cción de ls pesiones eeioes p α p ( p >, α > ) l como se indic en l fig. Se pide: ) Obene el cmpo de desplmienos p los dos cilindos en fnción de ls consnes de inegción ( pi de hipóesis onds). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

125 6 Elsicidd linel Poblems Popesos b) Indic ods ls condiciones de conono plic p los disinos cononos del poblem. c) Sponiendo qe el lo de l consne α es l qe l sección de conco de los dos cilindos no iene desplmieno eicl, clcl ls consnes de inegción el lo de α. HIPÓTESIS: ) Cilindo speio: λ µ ) Cilindo infeio: λ µ ) Se spone omieno nlo ene cilindo-cilindo cilindo-ped. 4) Se despeci el peso popio. αp p h/ h/ R R PP 6-5 L esfe mci de dio eeio R l coon esféic mci, de dio eeio R son del mismo meil. L speficie eeio de l ineio de se encenn sepds n disnci m peqeñ ( << R << R ). Se pide: ) P qé lo de l pesión noml nifome p ls dos speficies esán en conco. b) Dibj, condo los loes significios, l c p - δ, donde δ es el comieno de R. p HIPÓTESIS: ) Módlo de elsicidd: E ) Coeficiene de Poisson: ν ) R R 4) R R R R PP 6-6 En l fig se esqemi l disposición de n cil de feocil consiido po íles ecos de longid L ene los cles se coloc n jn elásic de consne K. Po consideciones de simeí conscis pede sponese qe l sección no se -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

126 6 Elsicidd linel Poblems Popesos despl longidinlmene qe l pe infeio del íl no se despl eiclmene. Se conside n incemeno de empe consne en odos los pnos. Se pide: ) Obene l ección de los desplmienos, defomciones ensiones en fnción de ls coespondienes consnes de inegción. b) Indic clmene cáles seín ls condiciones de conono plic p deemin ls consnes de inegción. c) Deemin dichs consnes obene los coespondienes cmpos de desplmienos, defomciones ensiones. d) Picli dichos esldos p los csos K (jn bie) K (cil conino). jn jn h L/ L/ LZDO SECCIÓN HIPÓTESIS: ) Spone desplmienos de l fom: [ ( ), ( ), w( ) ] T ) Meil elásico linel. ) λ µ. 4) β ce. 5) Peso del íl despecible. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

127 7 Elsicidd pln Cesiones Resels 7 Elsicid d pln CUESTIONES RESUELTS CR 7- Jsific si son cies o no ls sigienes fimciones: ) Si n esdo ensionl bidimensionl iene n pno singl, ods ls isoclins psn po dicho pno. b) Si n esdo ensionl bidimensionl es nifome, ods ls línes de máim ensión ngencil son plels ene sí. Resolción: ) Un pno singl se define de l sigiene mne: τ τ El esdo ensionl se epesen po n pno Po lo no, ods ls diecciones son pinciples ddo n ánglo clqie, l ensión pincipl fomá n ánglo con el eje. Po dicho pno psá enonces n isoclin de ánglo, como eso se cmple p clqie, ods ls isoclins psán po dicho pno. L fimción es cie. b) l ene n esdo nifome de ensiones, eso implic qe el Cíclo de Moh se igl en odos los pnos, po no, los plnos de máim ensión cone seán los mismos en odos los pnos, sí qe ls línes de máim ensión cone seán ecs plels ene sí. τ P L fimción es cie. Diecciones de τm -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

128 4 7 Elsicidd pln Cesiones Resels CR 7- L plc ecngl de l fig esá someid los sigienes esdos de ensión pln: ) ; b > ; ) τ m, m > Dibj p cd esdo ls línes isosáics, ls línes de máim mínim ensión ngencil e indic los pnos singles. Resolción: ESTDO TENSIONL I: τ Diección de τm b P I II b Diección de τmin Línes isosáics: Isosáics Isosáics I II Línes de máim mínim ensión ngencil: τ m τ min No eisen pnos singles. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

129 7 Elsicidd pln Cesiones Resels 5 ESTDO TENSIONL II: P τ > Diección de τm m II I m Diección de τmin τ < II I m Diección de τmin P m Diección de τm Línes isosáics: Isosáics I Isosáics II Pnos singles Línes de máim mínim ensión ngencil: τ m τ min Pnos singles -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

130 6 7 Elsicidd pln Cesiones Resels CR 7- L plc ecngl de l fig esá someid l sigiene esdo de defomción pln: τ ; b ( >, b ) ; > Dibj en el plno de l fig ls línes isosáics, ls línes de máim mínim ensión ngencil e indic los pnos singles. Resolción: Pnos singles: τ Ls ensiones nomles cmplen qe son igles. Isosáics línes de máim mínim ensión ngencil: τ P > Diección de τm II I < τ Diección de τmin II I Diección de τmin P Diección de τm < Isosáics Isosáics II Pnos singles I τ m < τ min Pnos singles -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

131 7 Elsicidd pln Cesiones Resels 7 CR 7-4 Un plc esá someid l sigiene esdo ensionl: ; ; τ ; τ τ Obene dibj los pnos singles ls edes de isosáics p cd ensión pincipl. Resolción: Los pnos singles se definen según: τ Se impondá l definición p obene l condición qe hn de eific los pnos singles: τ Se concle qe los pnos singles son los qe cmplen: Ls línes isosáics cmplián l sigiene epesión: En ese poblem esl: d d τ d d d d ( τ ) C C Po no, ls isosáics son dos fmilis de hipébols eqiláes oogonles ene sí. L ec singl diide l plc en dos egiones. P idenific l fmili de ls se endá qe om n pno en cd egión: Pno (,) : ; ; τ Pno (-,): ; ; τ Po no, l ed de ls isosáics es l sigiene: < Isosáics I Isosáics II Pnos singles > Isosáics I Isosáics II Pnos singles -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

132 8 7 Elsicidd pln Cesiones Resels CR 7-5 Dibj ls línes isosáics en l sección nsesl del cilindo de l fig. Spone n cmpo de desplmienos de l fom: ; > ; > p Resolción: Se conside l sigiene noción: f f () () Po lo no, se iene n cmpo de desplmienos con l sigiene epesión: [ f,, ] T El Tenso de Defomción endá enonces l sigiene epesión en coodends cilíndics: f' ε ( ) ε f Ése se podá elcion con el Tenso de Tensiones según l ección: λt( ε) µ ε λ f' f µ f ' ( λ µ ) µ λ f' f µ f ( λ µ ) µ λ f' f λ En ess epesiones odos los pámeos ( λ, µ,, ) son posiios: > I II Isosáics I Isosáics II -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

133 7 Elsicidd pln Cesiones Resels -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 9 CR 7-6 Se iene n beí cicl de dio ineio mm eeio mm 5, sficienemene lg p spone n esdo de defomción pln, someid n pesión ineio de MP. P n sección noml del bo se pide: ) Clcl dibj ls lees de ición de ls ensiones pinciples sobe el espeso. b) Dibj ls isosáics difeencindo ls dos fmilis Resolción: Se ilián coodends cilíndics. Considendo n cmpo de desplmienos, po simeí, no fcible seí: [ ],, () Si se plic l Ección de Nie en coodends cilíndics con simeí dil, l epesión qe qed es: T,, ) ( El Tenso de Defomción endá enonces l sigiene epesión: ) ( ε ε Se pede ho elcion con el Tenso de Tensiones según l ección: µ λ ε ε ) T( λ µ λ µ µ λ µ ) ( ) ( Imponiendo ls condiciones de conono esl: µ λ µ p p p ) ( Y ssiendo esos loes en ls epesiones de ls ensiones se obienen los esldos finles: ν ν λ µ λ ) ( ) ( p p p p

134 7 Elsicidd pln Cesiones Resels demás se iene qe: > I II Isosáics Isosáics I II b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

135 7 Elsicidd pln Cesiones Popess CUESTIONES PROPUESTS CP 7- Defini cáles son ls hipóesis básics qe se elin en los esdos de ensión pln defomción pln, cáles son ss consecencis. Ci, p cd cso, n ejemplo en el qe se pedn plic dichs hipóesis. CP 7- Descibi el poblem ipo de defomción pln: Geomeí, cgs cocciones cnes, hipóesis, cmpo de desplmienos, defomciones, ensiones elciones ensión-defomción. CP 7- Descibi el poblem ipo de ensión pln: Geomeí, cgs cciones cnes, cmpo de desplmienos, defomciones ensiones. Pone n ejemplo de plicción en Ingenieí Ciil. CP 7-4 Defini línes isosáics línes de máim ensión cone. Dedci s ección difeencil jsific el ánglo qe fomn ene sí. CP 7-5 Defini: Isoclins, isobs, isosáics, línes de máim ensión cone, pnos singles pnos neos. CP 7-6 Defini esqemi gáficmene los sigienes concepos en esdos plnos de ensión-defomción: línes isosáics, línes isoclins, línes isobs, pnos singles pnos neos. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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137 8 Plsicidd Cesiones Resels 8 Plsicidd CUESTIONES RESUELTS CR 8- Jsific si son cies o flss ls sigienes fimciones: ) El pno (,,) del espcio de ensiones pinciples debe es en el ineio de clqie speficie de flenci plásic. b) L speficie de flenci, c inesección con n cieo plno océdico del espcio de ensiones pinciples iene dd en l fig, es fcible. Resolción: ) L fimción es cie qe el oigen epesen el esdo neo no pede es en esdo de plsificción, sino qe esá en el ineio de l speficie de flenci, lg geoméico del cmpo elásico. b) L fimción es fls pes los es ejes hn de se de simeí, en l fig no lo son. CR 8- P cd no de los sigienes csos, jsific l fom de l speficie de flenci en el espcio de ensiones pinciples: ) f ( I ). b) f ( J ). c) I bτ c,, b, c esicmene posiios. oc Resolción: ) En ese pime cso se iene n condición sobe l ensión medi qe se cmple: I Como el pime inine esá eledo l cddo, eso impone l disnci plnos océdicos, no en n senido como en el oo. m m m -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) Eje de ensión hidosáic

138 4 8 Plsicidd Cesiones Resels b) qí, lo qe esá impeso es l disnci ene n esdo ensionl n esdo hidosáico de ensiones, po lo no el esldo es n cilindo de sección cicl en los plnos océdicos: J ' τoc disnci τ oc τ oc Eje de ensión hidosáic c) Si se epesen el plno definido po n pno clqie de l speficie de flenci el eje de ensiones hidosáico, qed l sigiene fig: Pno R d eje hidosáico De donde se dedcen ls sigienes elciones: R τ I I τ d oc oc sí, si se ssien esos loes en l epesión de l speficie de flenci qed: I bτoc b oc R c c c c b Es es l epesión de n elipse en ese plno -. demás, como no ineiene el e inine en l definición de l speficie de flenci, hbá simeí de eolción lededo del eje hidosáico, po lo no, l oción de l elipse lededo del eje ( eje hidosáico) coá l speficie definii. En conclsión, si se omn nos ejes ( hidosáico),, l speficie de flenci endá l sigiene epesión: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

139 8 Plsicidd Cesiones Resels 5 c c b c b Eje de ensión hidosáic CR 8- Jsific cáles de los cieios de flenci plásic, Von-Mises, Tesc, Dcke- Pge Möh-Colomb, podín se decdos p modeli n meil en cd no de los sigienes csos. ) L plsificción del meil sólo depende de J. b) L plsificción del meil depende de I J. c) L plsificción del meil depende de I, J J. d) L plsificción del meil depende de J J. Resolción: ) Qe l plsificción depend de J, es deci, qe depend de τ oc, signific qe depende únicmene de l disnci del esdo ensionl l eje hidosáico. Po lo no, l speficie de flenci seá n cilindo de dieci el eje de ensiones hidosáics. El único cieio con es fom es el de Von-Mises. b) qí no h dependenci de l ible J, eso implic qe eise simeí especo l eje de ensiones hidosáico, cos qe cmplen los cieios de Von-Mises Dcke- Pge. Peo como l speficie de flenci depende de I, es deci, de l disnci l esdo neo ( ), Von-Mises se desc.. Qed, finlmene, el cieio de Dcke-Pge. c) l depende de I, no cmplián es condición ni Von-Mises ni Tesc. l depende de J, mpoco lo há Dcke-Pge. Po lo no, únicmene qed el cieio de Möh-Colomb. d) l no depende de I, cepemos Von-Mises Tesc. Como depende de J descemos Von-Mises, po lo no, qedá el cieio de Tesc. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

140 6 8 Plsicidd Cesiones Resels CR 8-4 Obene gáficmene, condo los loes significios, l cohesión el ánglo de omieno ineno de n meil elsoplásico, qe sige el cieio de flenci de Möh-Colomb, pi de los sigienes dos: ) En n esdo de cción niil (, ), el meil plsific p. ) En n enso de isocción iil del mismo meil ( ), ése plsific p. Resolción: En el esdo de cción niil se endá n cíclo de Moh qe psá po el oigen po en el eje de ls bciss. Sin embgo, p l isocción iil, el cíclo de Moh degeneá en n pno del eje de ls bciss. τ c R g φ c sen φ φ φ csen c g φ CR 8-5 Un meil plásico pefeco se somee n enso de cción niil (, ) empie plsific p n lo de l cción e. Si s cohesión es de c MP, deemin el ánglo de omieno ineno qe h qe conside p plic l meil el cieio de Möh-Colomb. (s con obene l coespondiene ección scendene). Resolción: Se epesen el esdo ensionl en el Cíclo de Moh cndo empie l plsificción (cíclo ngene l speficie de flenci): -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

141 8 Plsicidd Cesiones Resels 7 τ c e C e φ d pi del iánglo ecánglo C se pede dedci l elción bscd: g φ c d c e e d g φ e c e φ φ e g sen d e e sen φ d c e g φ sen φ Y opendo se obiene l ección scendene definii: sen φ c cos φ e e e sen φ CR 8-6 Un pobe de homigón someid compesión niil nifome ompe según n plno inclindo qe fom n ánglo con el de cg. Deemin dicho ánglo en fnción del ánglo de omieno ineno de l cohesión del meil. Resolción: En el plno de ensiones de Moh se epesená l o de l sigiene mne: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

142 8 8 Plsicidd Cesiones Resels τ P c α pi del iánglo ecánglo qe se fom se pede obene el lo de α : π π φ α α π φ Fijándose en los ánglos inscios en l cicnfeenci, se concle: α φ π 4 φ Como se pede compob, el lo de l cohesión c no infle. CR 8-7 Epes el cieio de plsificción de Tesc en fnción de l ensión noml l ensión ngencil n sección nsesl de n ig bjndo fleión compes. Resolción: El esdo ensionl es el sigiene: τ τ ; τ τ τ M τ τ e R C τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

143 8 Plsicidd Cesiones Resels 9 plicndo el Teoem de Piágos en el iánglo ecánglo C: Y l condición impone es: R τ 4τ R El cieio de plsificción de Tesc esl se, po no: e 4τ e CR 8-8 Se conside n meil isóopo elsoplásico pefeco qe sige el cieio de flenci de Von-Mises, co límie elásico en n enso niil es e. Deemin los loes de τ e γ e (e Fig ) qe se obendín en el enso de coe esqemido en l Fig. τ τ τ τ e G γ e γ τ τ γ Fig Fig Resolción: El Tenso de Tensiones p el enso de l fig endá l epesión: τ τ m Se define l ensión efeci como: J ( ) donde: J ( : ) ( : ) τ El cieio de Von-Mises es: e L plsificción empie p τ τe po no, según l fig, esl: τ e e τ e e ; γ e e G -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

144 4 8 Plsicidd Cesiones Resels CR 8-9 De n cieo meil se hn deemindo epeimenlmene ls sigienes popieddes: ) En égimen de compesión hidosáic el meil no plsific nnc. ) En égimen de cción hidosáic el meil igen plsific p n lo de l * ensión medi m ) En égimen de cción niil el meil igen plsific ensión. 4) En oos csos l plsificción se lcn cndo l nom de ls ensiones desidos í linelmene con l ensión medi ( : m b ). Dibj l speficie de flenci, condo los loes significios, clcl los loes * de b en fnción de. Resolción: L fom poimd de l speficie de flenci es l sigiene (cono eco): Eje de ensión hidosáic m Uilindo l infomción del enso de cción niil, en el plno océdico qe ps po el oigen, se iene l sigiene fig: En el éice del cono se plic el cieio de plsificción : m b : m m b b Y se hce lo mismo p los pnos de inección con los ejes,, : Con ess dos ecciones se peden encon los loes bscdos: b b -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

145 8 Plsicidd Poblems Reselos 4 PROLEMS RESUELTOS PR 8- L pie meálic PQRS iene n espeso e esá consiid po meiles disinos, () (), considedos elsoplásicos pefecos. Se somee l pie n enso de coe po en l máqin de l Fig de l fom qe se podce n esdo de ensiones defomciones nifome ddo po: ε ε ε ; γ γ ; γ δ γ h ; τ τ ; τ τ Cndo se ens po sepdo n pie de cd no de los meiles se obiene n c τ - γ como l de l Fig. Se pide: ) El límie elásico qe se obendí en n enso de ensión niil de cd meil po sepdo, sponiendo qe obedecen l cieio de Von-Mises. Cndo se ens l pie consiid po los dos meiles se obiene l c Fig. Se pide: b) El lo de l cg del desplmieno elásico P e δ e. c) Ídem p los loes plásicos P p δ p. d) Ls coodends P δ de los pnos C D de l Fig. P δ de l h / h h / Mco ígido P τ() Q () () R h δ () () P S Fig τ P τ e P p G P e γ δ p δ e δ e δ τ e Fig D C Fig -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

146 4 8 Plsicidd Poblems Reselos HIPÓTESIS: Meil (): Meil (): G G ; G G ; τ τ e e τ * τ * Resolción: ) Con los dos neioes se qiee obene el límie elásico qe se obendí en n enso de ensión niil de cd no de los meiles po sepdo, sponiendo qe obedecen el Cieio de Von-Mises. sí se sbe qe l plsificción empie cndo: e Siendo l ensión efeci e el límie elásico. Se ienen ls elciones iss en eoí p el cso de n esdo ensionl ddo po n enso de ensiones : P ese poblem esl: (J ) J T( esf m m esf T( ) τ τ τ τ J τ τ ) Si se iene en cen qe el meil () plsific con enonces: τ e τ el () con e τ, τ Meil Meil e e τ τ b) l ens l pie consiid po los dos meiles se obiene n gáfico como el de l Fig. Se qiee hll el lo de l cg P e desplmieno elásico δ e, qe mcn el finl de l fse de compomieno elásico de l pie. En el enncido se dice qe l ens po sepdo cd meil, el gáfico eslne es el de l Fig, siendo τ e τ p () τe τ p (). demás, se dice qe G es común los dos meiles, es deci, ienen l mism pendiene en l gáfic τ γ. ho bien, se bsc sbe el compomieno conjno de l pie. Es de spone qe el compomieno de és seá elásico miens los dos meiles esén en s dominio elásico coespondiene. Po lo no, como el inelo elásico del meil () es meno, seá ese meil el qe defin el dominio elásico del conjno,(hs el pno de l Fig ). -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

147 8 Plsicidd Poblems Reselos 4 τ τ Pno Pno τ τ G γ γ G γ γ MTERIL () MTERIL () Si se plic eqilibio ene l fe P ls ensiones qe iene cd meil en el pno esl: (h qe igl fes, po no se mliplicn ls ensiones po l speficie en l qe cún, considendo l nidd como mgnid pependicl l ppel) h τ h τ h τ h τ hτ Pe P clcl el desplmieno se plic compibilidd de moimienos ene los dos meiles: δ γh Resmiendo: δ e γ h γ h τ h G P δ e e hτ τ h G c) Se bsc ho los loes plásicos P p δ p. Lo qe oce es qe en el pno empie plsific el meil (), miens qe en el pno empie plsific el meil (), de modo qe pi del pno el compomieno de l pie es plásico ene es elsoplásico. P bsc ls coodends de se pocede como en el pdo neio, dibjndo los gáficos ensión-defomción de mbos meiles, ensdos po sepdo. L difeenci es qe ho se nliá dónde esá el pno p cd meil. τ τ Pno Pno Pno τ τ τ Pno G γ γ γ G γ γ γ MTERIL () MTERIL () -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

148 44 8 Plsicidd Poblems Reselos Imponiendo ls ecciones de eqilibio compibilidd se obiene el esldo bscdo:: h τ h P τ h τ h τ p δ γ h γ h τ h p G δ p Pp τ h τ h δ G e d) Se bscn ls coodends de los pnos C D de l Fig. Y se hn obenido ls coodends de. Se d como do n pno, en el cl, mneniendo consne l cg P p deno del esdo plásico, l defomción es δ. Se conside pimeo el meil (): se descg pi de, según los dos, ese meil plsific cndo lleg l lo τ. L pendiene de es ec segiá siendo el pámeo G del meil, qe ése es independiene de si se cg o se descg. sí, p lleg l pno C bs po l plel O, hs lleg l lo τ. En el cso del meil () oce lo mismo qe en el cso neio, únicmene qe l l plel O po se pede lleg hs τ (seá el pno D ). e τ Pno τ τ Pno τ τ τ Pno D δ Pno C γ Pno D τ Pno C MTERIL () MTERIL () δ γ δ ' δ h τ δ G P P ' τ h nlíicmene, ls ecciones de eqilibio compibilidd p el pno C son: e -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

149 8 Plsicidd Poblems Reselos 45 P δ C C h C τ h τ C γ h τ h G C h ( τ ) h τ h PC τ h δ τ h C δ G e Y p el pno D : P δ D D h D τ h D τ D γ h τ h G h ( τ ) h ( τ ) τ h δ D PD τ h τ h δ G e PR 8- Se conside el cilindo mcio empodo en l bse de l Fig, l qe se le plic n momeno oso M en s eemo speio. Dicho cilindo esá consiido po dos meiles () (), con n compomieno ensión-defomción ngencil del ipo elsoplásico definido po l Fig. Se conside el sigiene cmpo de desplmienos en coodends cilíndics (osión de Colomb): (,, ) [ ] ϕ h T donde ϕ es el gio de l sección del eemo libe de l pie. Sponiendo peqeñs defomciones, se pide: ) Los ensoes de defomción ε de ensión en coodends cilíndics en égimen elásico. Dibj, condo los loes significios, ls cs τ p n sección nsesl del cilindo l. Repesen esqemáicmene l disibción de ensiones τ sobe dich sección nsesl. b) Deemin el lo de ϕ ( ϕ ϕe ) (e Fig ) p el cl empie l plsificción en lgún pno del cilindo, indicndo dónde se podce el coespondiene lo del momeno M τ ds. S M M e ( ) c) Clcl el lo mínimo de ϕ ( ϕ ϕ ) p el cl se h podcido l ol plsificción del meil () el coespondiene lo de M ( M M) (e Fig ). Dibj esqemáicmene el esdo ensionl sobe n sección nsesl en dicho insne. d) Ídem p los loes ϕ ϕ M M coespondienes l inicio de l plsificción del meil (). T -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

150 46 8 Plsicidd Poblems Reselos e) Clcl el lo sinóico de M ( M M p Momeno plásico ) coespondiene l plsificción de od l sección nsesl. Dibj el esdo ensionl de l sección nsesl en dicho cso. τ M τ e G Meil () ϕ R Meil () γ R/ τ e Fig h M M p M M M e Fig ϕ e ϕ ϕ ϕ HIPÓTESIS: Meil (): Meil (): G G ; G G ; τ τ e e τ * τ * Fig Resolción: ) Se bscá pimeo el enso de defomciones en cilíndics (peqeñs defomciones) pi del cmpo de desplmienos. sí se obiene el sigiene esldo: ε ϕ h ϕ h P encon el enso de ensiones únicmene se debe ene en cen l ección consii de n meil elásico e isóopo (nóese qe los dos meiles qe componen el cilindo ienen el mismo pámeo G ): λ( T( ε)) µ ε T( ε) µ G Gε -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

151 8 Plsicidd Poblems Reselos 47 Gϕ h Gϕ h τ γ GϕR h ϕr h R R R ϕ ϕ e τ Ls ensiones son lineles no dependen de l del plno de coe considedo, sí qed l sigiene disibción de ensiones en n sección ce : GϕR h Gϕ b) Dd l disibción de ensiones τ ϕ ϕe el momeno cne le: h π R Gϕ R Gϕ 4 M τ π π ()ds GR dd ϕ S d ( ) h h h Es es l elción eisene ene el momeno el ánglo de gio en el eemo libe ( M ϕ ) cndo los dos meiles se compon elásicmene. El meil () empie plsific nes qe lo hce p τ e τ, miens qe el meil () lo hce p n ensión mo τe τ. demás los pnos qe ienen mo ensión son los de l speficie eeio del cilindo ( R ) qe peenecen l meil (). Po lo no, el inicio de l plsificción se dá cndo se cmpl l sigiene condición: τ τ R; ϕϕe Gϕ e R τ h ϕ e τ h GR -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

152 48 8 Plsicidd Poblems Reselos Ese es el lo del ánglo de gio del eemo libe del cilindo p el qe empie l plsificción en los pnos eeioes de l pie (meil ()). El momeno coespondiene se hllá ssiendo ϕ e en l elción ( ): M e M( ϕ π e ) GR ϕe h 4 M e πτ R c) Si el meil fese elásico l men ϕ ií menndo l pendiene de ls ensiones τ (nqe menen, sigen siendo lineles con ), peo como el meil es elsoplásico ls ensiones no peden spe el lo τ e, qe mc el inicio de l plsicidd. sí, el lo límie se d en τ e τ cndo ϕ ϕ p R R. Es deci, el meil () endá n disibción de ensiones plásic, miens qe en el () seá elásic. P clcl ese gio ϕ se debe impone l sigiene condición: τ R ; ϕϕ τ Gϕ R τ h ϕ ϕ τ e τ ϕ τ h GR Ese es el lo mínimo de gio p el qe el meil () se encen plsificdo en s olidd. L elción ( ) ene M ϕ qí no es álid qe el meil () se compo elsoplásicmene el () lo hce odí elásicmene. L elción en ese pdo es l sigiene: π π ϕ ϕ R R R G R τ πτ π M dd dd d G R R d h h M 48 πτ R d) El inicio de l plsificción del meil (), p τe τ, no se coesponde con el finl de l plsificción del meil (), p τ e τ. L disibción de ensiones p ϕ ϕ (inicio de l plsificción del meil ()) es l sigiene: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

153 8 Plsicidd Poblems Reselos 49 Po lo no se debeá impone l sigiene condición: τ τ R ϕϕ ; Gϕ R τ h ϕ ϕ τ τ ϕ 4τ h GR Y el momeno coespondiene seá: π π ϕ R R τ M dd G dd R h M 7 4 πτ R e) Se bsc el lo sinóico de M ( M p ) coespondiene l plsificción de l olidd del meil qe compone el cilindo. L disibción de ensiones seá l sigiene: ϕ ϕ p τ τ Inegndo se enconá el momeno coespondiene: M p π R R τ dd π R τ dd M p πτ R 4-4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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155 8 Plsicidd Cesiones Popess 5 CUESTIONES PROPUESTS CP 8- Eplic los concepos de plno océdico, oc τ oc. Obene ls epesiones de oc τ oc en fnción de ls ensiones pinciples. CP 8- Jsific po qé ls speficies de flenci p meiles isóopos son siméics especo es plnos en el espcio de ensiones pinciples. CP 8- Jsific l sigiene fimción: P n speficie de flenci plásic de l fom f ( J ), n esdo de ensiones hidosáico nnc podce plsificción.. qé speficie de flenci conocid seí plicble dich fimción? CP 8-4 Demos qe si l speficie de flenci plásic no depende del pime inine del enso de ensiones, l defomción plásic es incompesible. CP 8-5 Indic de fom concis cáles son ls hipóesis fndmenles de l eoí memáic de l plsicidd. CP 8-6 Ennci ls hipóesis fndmenles de l eoí memáic incemenl de l plsicidd en es dimensiones. CP 8-7 Inepeción de l condición de consisenci en l eoí de l plsicidd. CP 8-8 Cieio de plsificción de Tesc: definición, epesión en fnción de ls ensiones pinciples, jsificción de s fom en el espcio de ensiones picli l cso de n dimensión. CP 8-9 Jsific los moios po los qe el cieio de Tesc ( F K ), ecibe el nombe de cieio de máim ensión cone. CP 8- Demos qe l speficie de flenci de Von-Mises pede epesse en fnción de ls ensiones pinciples como: ( ) CP 8- Jsific si llegá plsific según los cieios de Von-Mises, Möh-Colomb Dcke-Pge, n meil someido n esdo de: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

156 5 8 Plsicidd Cesiones Popess ) Compesión hidosáic ceciene. b) Tcción hidosáic ceciene. CP 8- Obene jsific en fnción de los inines ensionles ( I, J, J ) l epesión memáic más genel de l speficie de flenci coespondiene cd n de ls sigienes condiciones: ) L speficie de flenci iene simeí de eolción especo l eje de pesiones hidosáics. b) Todo esdo de ensión hidosáic es elásico. c) L plsificción sólo depende del lo de l pe esféic del enso de ensiones. CP 8- Jsific cál o cáles de los cieios de flenci plásic, Von-Mises, Tesc, Möh-Colomb Dcke-Pge, podín se decdos p modeli n meil en cd no de los sigienes csos: ) El meil no plsific bjo esdos de ensión hidosáic po gndes qe esos sen. b) El meil sólo plsific cndo l máim ensión ngencil lcn n cieo lo. c) El meil se compo de fom sensiblemene disin cción compesión. CP 8-4 Deemin l fom de n speficie de flenci qe en el espcio de High- Wesegd (espcio de ensiones pinciples) iene dd po: f ( J ) m CP 8-5 Indic l fom qe endín ls sigienes speficies en el espcio idimensionl de ensiones pinciples: ) m ce c) m ce b) τ oc ce τoc CP 8-6 Obene en fnción de oc τ oc l epesión de l speficie de flenci qe en el espcio de ls ensiones pinciples iene epesend po n cono cicl de éice (,,) c genei fom n ánglo de º con l biseci del e ocne. CP 8-7 Jsific, indicndo ss loes cceísicos, l fom de l speficie de flenci qe en el espcio de ensiones pinciples cmple simlánemene ls sigienes condiciones: α m β J γ ( α, β, γ esicmene posiios) f ( J ) -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

157 8 Plsicidd Cesiones Popess 5 CP 8-8 Dibj esqemáicmene condo los loes significios, el lg geoméico en el espcio de ensiones pinciples de los esdos ensionles elásicos definidos po oc τoc C, donde C es n consne ( C ). CP 8-9 Un deemindo cieio de flenci plásic define el égimen elásico po ls sigienes condiciones, qe cmple simlánemene: ( ) τ oc m K m < < ( K, m ces. ) Descibi l coespondiene speficie de flenci en el espcio de ensiones pinciples. CP 8- Foml en éminos de los inines I, J J l ección de n speficie de flenci plásic qe en el espcio de ensiones pinciples es n elipsoide de eolción de semiejes b, según se indic en ls figs. b b Inesección con plno océdico po (,,) CP 8- Un meil plásico pefeco se somee n enso de cción niil (, ) empie plsific p n lo de l ensión e. Si s ánglo de omieno ineno es de º, deemin el lo de l cohesión qe hbí qe sign l meil p pode plicle el cieio de Möh-Colomb. CP 8- Un meil elsoplásico se somee n enso de coe po (I) n enso de cción niil (II). L plsificción se podce, especimene, p τ b. Deemin los loes de l cohesión del ánglo de omieno ineno sponiendo n modelo de Möh-Colomb. τ τ (I) τ (II) τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

158 54 8 Plsicidd Cesiones Popess CP 8- El esdo ensionl en n pno de n sólido en ensión pln iene esqemido en l fig. Deemin los loes de τ p los cles el pno empie plsific (spone n cieio de flenci de Von-Mises n límie elásico niil ). e τ τ π 4 τ τ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

159 8 Plsicidd Poblems Popesos 55 PROLEMS PROPUESTOS PP 8- Se conside n esfe mci de dio R oded de n coon esféic de dio ineio R dio eeio R. L esfe l coon son del mismo meil esán inicilmene en conco sin ejecese ningn pesión. En n cieo insne se empie clen l esfe ineio hs n incemeno de empe. Se pide: ) Deemin el lo de l pesión eeio qe seí necesi plic l coon p qe és no sf cmbio de olmen (hipóesis de peqeñs defomciones). b) Deemin los cmpos de desplmienos, de defomciones de ensiones, en l esfe l coon en ess condiciones. c) Obene el meno lo de p el cl se inici l plsificción en lgún pno, sponiendo ls neioes condiciones considendo el cieio de Von-Mises. R R HIPÓTESIS: ) Popieddes del meil: E, ν, α, f, R, R. ) Se spondán despecibles ls fes másics. ) Se conoce l solción en desplmienos ensiones p n coon esféic de dio ineio R i eeio R e someid n pesión ineio P i eeio P e es, p ν : () C Pi Ri Pe Re Pi Pe Ri Re C C C E( R ) E e Ri Re Ri C E C C φφ E C φφ PP 8- ) Obene l epesión de los cieios de flenci de Von-Mises Tesc en fnción de ls ensiones pinciples el límie elásico e p esdos ensionles de l fom: >, >, b) Obene el cmpo de desplmienos, defomciones ensiones de n coon esféic de dios ineio eeio R i R e, especimene, someid n pesión ineio eeio P i P e, especimene. c) plic los esldos obenidos l esdio de l coon esféic de l fig de dios R i R e, sid en el ineio de n esfe infinimene ígid de dio R e, donde e <<. Ene mbs se siú n jn elásic de espeso e. L -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

160 56 8 Plsicidd Poblems Popesos coon esá someid n pesión ineio de lo P. Obene l c δ P, donde δ es el desplmieno dil del pno de l coon. d) Clcl los loes de e qe gnin qe l plsificción de l coon empie despés del plsmieno ol de l jn. Conside el cieio de Tesc. R R e Jn elásic P R i HIPÓTESIS: ) Coon: E, ν, e. ) Jn: P K δ. ) Fes de olmen despecibles. e e PP 8- Se conside n esfe mci de dio R meil () oded de n coon esféic de dio eeio R meil (). mbs esfes esán inicilmene en conco sin ejecese ningn pesión. Se somee l conjno n pesión eeio P n incemeno de empe.se pide: ) Deemin los loes posibles de P (posiios o negios) p qe no se pied el conco ene l esfe l coon. Repesenlos gáficmene en n digm P -. b) Obene el esdo ensionl de l coon de l esfe p dichos loes. * c) En ess condiciones, obene p cd lo de l pesión P el lo de p el qe se inici l plsificción en lgún pno del conjno según los cieios de Von- * Mises Möh-Colomb. Dibj ls coespondienes gáfics P - (gáficos de inección). HIPÓTESIS: ) Meil (): E, ν, α, f, C, φ º, R ) Meil (): E, ν, α, f, C, φ º, R ) Se conoce l solción en desplmienos ensiones p n coon esféic de dio ineio R i eeio R e someid n pesión ineio P i eeio P e es, p ν : () C Pi Ri Pe Re Pi Pe Ri Re C C C E( R ) E e Ri Re Re C E C φφ φφ C E C -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

161 8 Plsicidd Poblems Popesos 57 PP 8-4 Un cilindo de dio R l h esá someido n cg P n incemeno de empe nifome l como se indic en l fig. Se pide: ) Deemin el cmpo de desplmienos, defomciones ensiones en fnción de ls consnes de inegción. b) Deemin ls consnes de inegción los coespondienes cmpos de desplmienos, defomciones ensiones. c) Ddo p p * > deemin el coespondiene * lo de p qe no eisn desplmienos hoionles. d) En ls condiciones del pdo c), deemin el lo de p * p el cl el cilindo empie plsific de cedo con el cieio de Möh- Colomb. HIPÓTESIS: ) Popieddes del meil: - cohesión: C - ánglo de omieno ineno: φ º. - consne émic: β - Consnes de Lmé: λ µ ) No se consideá el peso popio. ) Romieno cilindo-selo nlo. p p R R h PP 8-5 P el cilindo podo de l Fig se popone l sigiene solción en desplmienos ensiones en coodends cilíndics: ( ν) p νq, E, q, ν p q E ) Demos qe l solción popes cmple odos los eqisios necesios p se solción del poblem elásico linel de l Fig. b) Se considen ho los dos cilindos de l Fig, sepdos po n disnci m peqeñ e << H. Se somee el cilindo infeio n incemeno de empe ceciene. Se conside el meil de los dos cilindos elsoplásico con n digm ensión-defomción niil como el de l Fig. Dibj, condo los loes significios, ls cs δ en el pno C del cilindo infeio:,, τ τ τ p. nes del conco ene los dos cilindos.. Despés del conco hs el inicio de l plsificción. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

162 58 8 Plsicidd Poblems Popesos q p e R C δ H H Fig Fig e ε e Fig HIPÓTESIS: ) Se despecián el omieno, ls fes másics ls de ineci. PP 8-6 Se conside l ig de sección ecngl de l fig, empod en n eemo someid n momeno fleco M en el oo. El meil es elsoplásico pefeco de límie elásico e. Se conside el sigiene cmpo de desplmienos: dϕ( ) ϕ ( ) d w ϕ( ) Se pide: ) Jsific qe clqie sección noml l eje pemnece, despés de l defomción, pln noml l defomd del eje (Hipóesis de enoilli). b) Jsific qe, si se despeci el coeficiene de Poisson, ν, el cmpo de desplmienos ddo es solción del poblem elásico. Obene el lo de ϕ ( ) los coespondienes cmpos de desplmienos, defomciones ensiones. c) Obene el máimo lo del momeno M ( M e ) p el cl odos los pnos de l ig esán en égimen elásico el coespondiene lo de l flech (desplmieno w ) δ en el eemo libe de l ig. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

163 8 Plsicidd Poblems Popesos 59 d) P M > M e obene el lo de M en fnción del mño de l on plsificd deno de n sección nsesl de l ig. e) Obene el lo del máimo momeno lcnble ( M p ) el cociene ene Dibj, condo los loes significios, el digm M - δ p < δ <., w, M p M e. M, h m HIPÓTESIS: ) No se conside el peso popio. ) Se consideán peqeñs defomciones. ) Momeno de ineci de l sección especo l eje : I mh PP 8-7 Un pie CD de n meil elsoplásico pefeco se ens en l máqin esqemid en l Fig. L c cción-espes ( P δ ) iene indicd en l Fig. Se spone n esdo ensión-defomción niil en l pie l qe: ε δ hl ε ε τ γ Se piden los sigienes loes qe con el gáfico de l Fig : ) El lo de l cg elásic P e el coespondiene desplmieno δ e. b) El lo de ls cgs úlims plásics cción P p compesión P q. c) El lo de ls odends bciss coespondienes los pnos () () del gáfico de l Fig. τ γ τ γ D C δ P h Pie infinimene ígid Fig -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) L

164 6 8 Plsicidd Poblems Popesos P P p e P e () E δ δ e e E L δ E e P q () HIPÓTESIS: ) Módlo de Yong: E ) Coeficiene de Poisson: ν ) Límie elásico: e 4) Espeso de l pie: b Fig PP 8-8 Ls bs iclds O, O OC de l fig son de homigón l qe se le spone n compomieno elsoplásico pefeco con n límie elásico cción e n límie elásico compesión e. Se plic n cg eicl P en el pno O, ceciene desde P, hs qe se lcn n desplmieno eicl en dicho pno de lo δ e L. Poseiomene se descg nemene hs P. Se pide: E ) Dibj el digm P - δ dne el poceso, condo los loes significios e indicndo el esdo de plsificción de ls bs en cd insne. b) Clcl el lo del desplmieno del pno O n e emindo el poceso. C L P L e 45º 45º ε O δ L e -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

165 9 Ecciones consiis en flidos Cesiones Popess 6 9 Eccio nes consiis en flidos CUESTIONES PROPUESTS CP 9- Defini los sigienes concepos: ) Pesión hidosáic. b) Pesión medi. c) Pesión emodinámic. Jsific en qé csos seán igles l pesión medi l pesión emodinámic cándo lo seán ls es. CP 9- Defini los sigienes concepos: ) Flido de Sokes. b) Flido Newonino. c) Flido pefeco. d) Flido incompesible. e) Fljo boópico. CP 9- pi de l fóml genel de l ección consii p flidos iscosos, dedci l ección consii p n flido Newonino isóopo en componenes esféics desidos. NOT: Uili l epesión: δ δ µ ( δ δ δ δ ) λ ij kl ik jl il jk. CP 9-4 Obene l ección consii de n flido Newonino, boópico e isóopo en componenes desidos esféics. CP 9-5 Defini pesión hidosáic, pesión medi pesión emodinámic p n flido Newonino obene ls elciones ene ells. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

166 6 9 Ecciones consiis en flidos Cesiones Popess CP 9-6 pi de l ección consii de n flido Newonino isóopo, obene l epesión de l poenci ensionl, indicndo s pe ecpeble s pe disipi. Obene l epesión de l poenci disipi en fnción de ls componenes esféics desidos del enso elocidd de defomción dedci ls limiciones impess los coeficienes de iscosidd. CP 9-7 Jsific ls limiciones qe el segndo pincipio de l emodinámic impone sobe los coeficienes de iscosidd p los flidos Newoninos isóopos. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

167 Mecánic de flidos Cesiones Resels 6 Mecánic de flidos CUESTIONES RESUELTS CR - Un flido pefeco boópico iene n ección cinéic de esdo definid p po ρ ρ, donde k es consne. Obene l disibción de pesiones en égimen k T csiesáico (celeción nl) bjo l cción del cmpo gioio b [ - g]. Resolción: L Ección Consii de n flido pefeco es: p ( ) L Ección de Conseción de l Cnidd de Moimieno p el cso csiesáico es: ρb p ρb El hecho de qe se flido boópico implic qe l densidd es n fnción de l pesión. Es elción es, pecismene, l Ección Cinéic del enncido: ρ ρ p ( p) ρ ρ k Uilindo ess es epesiones l definición de b se obienen ls sigienes ecciones: p p p() p dp p dp g ρ g p ρ g d k d k L solción de es ección difeencil es l sm de l solción homogéne n picl: Po lo no esl: Solción homogéne : Solción picl : dp d p kρ g p k p Ce g k p kρ Ce g k -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

168 64 Mecánic de flidos Cesiones Resels CR - El flido boópico del ineio de l beí de l fig iene po ección cinéic de esdo: ρ p βln ( β ρ ces. ) ρ Clcl en égimen escionio l pesión de slid P en fnción de ls demás ibles de l fig. Jsific l fóml empled. P S P S Resolción: Según l Ección de Coninidd (globl, espcil) se iene: d d V ρdv Uilindo l ª epesión del Teoem del Tnspoe de Renolds se pede obene: d d V ρdv V ρdv V ρ nds V ρdv demás, si se considen condiciones de égimen escionio esl: V ρdv V ρ nds plicndo es úlim epesión neso poblem, qed: ρ V S ρ S ρs ρ S ρ nds Inodciendo l Ección Cinéic de Esdo se obiene l sigiene epesión: ρ p βln ρ ρe ρ ho n sólo h qe ssii es epesión en l neio p encon el esldo qe se pide: p β ρ e p β S ρ e p β S e p p β S S p p S βln S -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

169 Mecánic de flidos Cesiones Resels 65 CR - Clcl el lo po nidd de espeso de l fe hoionl F qe h qe plic en el pno de l compe semicicl de l fig, qe pede gi lededo de l ól, p qe l ec se eicl. L compe sep dos nieles disinos de cos h α h, de n mismo flido. F h R αh R Hipóesis: ) Se despeci el peso de l compe l pesión mosféic. Resolción: Ls únics fes qe cún sobe l compe son ls fes de pesión de los flidos, l fe F l ección en (componene hoionl H componene eicl V ). F F H ρ gh H ρgα h V Fig Como los flidos ejecen n pesión pependicl l speficie de l compe és es cicl, l eslne de ineg ls pesiones sobe l speficie psá po el ceno de l cicnfeenci qe define l compe. sí, si se plne el eqilibio de momenos especo del ceno de l cicnfeenci (e Fig ) esl: FR HR H F Y si ho se impone eqilibio de fes hoionles, sbiendo qe los flidos ejecen n pesión hoionl con n disibción ingl (e Fig ), se iene: F ( ρgαh)( αh) ( ρgh)h F ρgh 4 ( α ) Fig -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

170 66 Mecánic de flidos Cesiones Resels CR -4 Un cjón ingl, compeso po dos meiles de densiddes ρ ρ, flo en el g (de densidd ρ ). Clcl el cldo h l elción ene ρ ρ p qe l floción se esble. ρ ρ 45º 45º m/ h m Resolción: Si se considen nos ejes cesinos en el éice del cjón, se pede clcl s ceno de mss: Considemos qe odo el cjón iene densidd ρ esl: Peso : W m(m) ρ ρm Ceno de gedd: G m Como se h considedo qe l pn del cjón ení densidd ρ, ho se debeá conside qe iene densidd ρ ρ ρ : Peso : W m m(ρ) ρm Po lo no, el ceno de gedd del conjno seá: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) G W G W W W Ceno de gedd: G 5 9 m m G El empje del flido seá eqilene l olmen de flido despldo, po es en eqilibio, debeá se igl l peso del cjón: W E h(h) ρ W W m h ρ ρ h m El ceno de gedd donde se plic es fe es el ceno geoméico del olmen de flido despldo, es deci: g h m P qe el eqilibio se esble es necesio qe el ceno geoméico del flido se speio l del cjón: g > 5 G ρ > ρ 54 demás, po condiciones de flobilidd, debeá imponese qe h < m : h m < Finlmene, qed l condición sigiene: 5 ρ 54 < ρ ρ ρ ρ < ρ < ρ ρ ρ m

171 Mecánic de flidos Cesiones Resels 67 CR -5 dmiiendo qe el conenido de n cop de c es n flido pefeco qe l pesión emodinámic es igl l hidosáic, clcl l celeción con qe sben ls bbjs de gs de l cop desde el fondo de l mism. Hipóesis: ) Densidd del gs: ρ ) Densidd del flido: ρc ) ρc αρ Resolción: Si se dmie qe el conenido es n flido pefeco, enonces se cmple qe: p qí p es l pesión emodinámic, peo po hipóesis se dmie qe es igl l hidosáic. En ess condiciones se pede escibi: p p p Según el Teoem de qímedes se pede el el empje scendene qe ejece el c sobe l bbj como: E ρc Vg En es ección V es el olmen de l bbj. El peso de l bbj, qe i de ell hci bjo, se pede epes de l sigiene mne: W ρ Vg Po lo no, l difeenci ene ess dos fes seá l eslne qe cúe sobe l bbj: F m ρv ρc ρ ρ V ( ρc ρ )Vg g F E W ρ ( α )g CR -6 Un depósio cicl de gn diámeo qe esá lleno de g iee po n peqeño oificio lel sido n l H po debjo del niel del g en el depósio. Si el cdl eido es Q, obene el diámeo D del oificio. H D -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

172 68 Mecánic de flidos Cesiones Resels Resolción: Como el depósio es de gn diámeo, se pede spone qe l difeenci de cos H se mniene consne con el iempo, po lo qe se endá égimen escionio. Po oo ldo, como se esá ndo con g, se esá ne n flido pefeco e incompesible. sí, se concle qe se pede plic l Ección de enoilli: p ρg g ce., en n líne de coiene l plic l Ección de enoilli los pnos peenecienes l mism líne de coiene se obiene: pm : H ρg gh pm : ρg g Finlmene se iene: Q S gh πd 4 D π 4Q gh CR -7 Se conside n flido pefeco e incompesible qe cicl po el cnl de l fig en égimen escionio. Deemin el lo de H. h m/s H m/s h Hipóesis: ) Se despeci l pesión mosféic. Resolción: Teniendo en cen l Ección de Coninidd se pede esblece l sigiene elción en el olmen de conol qe definen ls secciones consideds: h h h h h h plicndo ho l Ección de enoilli en los pnos eemos de dicho olmen de conol, esl: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

173 Mecánic de flidos Cesiones Resels 69 : (H h) g H h h g : h g H h g CR -8 Clcl l elción ene l fe F plicd l émbolo de l fig s elocidd de descenso δ &. F H δ & S Hipóesis: ) Spone qe el flido es pefeco, incompesible qe el égimen es escionio. ) Se despeci l pesión mosféic. ) S S son secciones nsesles. 4) L densidd del flido es ρ. Resolción: Como es n flido pefeco el esdo ensionl seá de l fom: p Si se plic l ección coninidd se obiene l sigiene elción ene elociddes del flido: S S δ& S S S S Si se iene en cen l Ección de enoilli ene n pno biio en conco con el émbolo oo en l slid, peenecienes l mism líne de coiene, esl: p S S H δ& ρ δ& p δ& ρg g S g S ρgh De qí se dedce qe p h de se consne p clqie pno en conco con el émbolo ( H ). Enonces se obiene qe: p ce., H F ps Finlmene, l fe F se elcion con δ & según: S -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

174 7 Mecánic de flidos Cesiones Resels ρ F S & S δ ρghs S CR -9 Un flido Newonino incompesible de iscosidd µ, fle en l diección del eje de coodends ene dos plcs plels ( (), ). Se sbe qe el gdiene de pesiones es consne qe iene l sigiene epesión: p [,,] T Clcl dibj sobe n sección nsesl l disibción de elociddes (fljo de Poiseille). () h/ h/ Hipóesis: ) Se despecin ls fes másics. ) Fljo escionio. Resolción: L Ección de Nie-Sokes iene l sigiene epesión: p ( λ µ ) ( ) µ Si se despecin ls fes másics qed: p ( λ µ ) ( ) µ ρb ρ d d ρ d d Si se iene en cen qe el flido es incompesible ( ): p µ ρ d d El émino de l deid meil se pede escibi de l sigiene fom: d d d () [ () ] d Finlmene, qed: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

175 Mecánic de flidos Cesiones Resels 7 p µ () C µ () µ µ () µ () C C Imponiendo ls condiciones de conono se obendán los loes de ls consnes: Finlmene se obiene: h µ h µ C () h () h h C C h C () µ h 4 C C h 8µ () CR - Un depósio cicl de gn diámeo sección S esá lleno de g. Ese depósio iee po n peqeño oificio lel de sección S sido n disnci H() po debjo del niel del g en el depósio. Obene l ección difeencil f(h, H,S &,S ) qe gobien el poblem de cido (se spone égimen escionio). ( ) S H() S Resolción: Según el Teoem de enoilli se eific es epesión p n líne de coiene: p ce. ρg g Po lo no, plicndo es popiedd los pnos se obiene: p ρg g p ρg g -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

176 7 Mecánic de flidos Cesiones Resels p m H() ρg g pm ρg g gh() s plne, po úlimo, ls sigienes consideciones sobe elociddes del flido en ls secciones consideds: Q H& S Q SH& S S S gh H& S CR - En el seno de n flido Newonino, incompesible de dimensión infini, eise n bbj esféic de gs co dio R() í con el iempo. Deemin en fnción de R() R () el cmpo de elociddes en el flido. No se considen ls fes másics se spone inmóil el pno O. O R() Resolción: Como se iene simeí esféic, se conside l elocidd en coodends esféics. Se há l hipóesis de qe ese cmpo de elociddes es de l fom: ( (),, ) l se de n flido incompesible se dedce: T ( ) Como l posición del conono iene definid po: R() esl: Finlmene qed: dr() R () R R R R d R R ()R () -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

177 Mecánic de flidos Cesiones Resels 7 CR - pi del eoem de ls fes is demos qe p n flido Newonino incompesible qe se mee en el ineio de n ecipiene ígido, inmóil cedo despecindo ls fes másics, se cmple: d d 4µ d :d ρ Γ Hipóesis: ) Condición de dheenci:, en Γ Resolción: El Teoem de ls Fes Vis iene l sigiene epesión: P e ρb dv ds ρ dv V V d d V V : d dv Como no se considen fes másics ( b ) como el ecipiene esá inmóil, cos qe implic po dheenci qe l elocidd del flido en el conono es nl, enonces se pede concli: d Pe ρ dv V : d dv d V pi del Teoem del Tnspoe de Renolds se pede eescibi l epesión neio como: ρ d dv : d dv, V ρ d :d V d V d Po o pe, en n flido incompesible se cmple: Po lo no, s ección consii seá: En ess condiciones, l epesión Finlmene, se concle: ( d) p λ( d ) µ d p µ d ó : d qed de l sigiene fom: : d p( d) µ d : d µ d : d d d 4µ d :d ρ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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179 Mecánic de flidos Poblems Reselos 75 PROLEMS RESUELTOS PR - Un flodo en fom de piámide de bse cdd es ilido p ob el oificio (cddo) de desgüe de n depósio qe coniene g. Se pide: ) Obene l eslne del empje hidosáico F ejecido sobe el flodo p odos los posibles nieles de g H del depósio, es deci: < H b H b b) Dibj el gáfico F - H, condo los loes significios. c) l is del gáfico neio, siendo W el peso del flodo, on e indic en qé condiciones p qé loes de W H el flodo cá elmene como n obdo. b b H W b b ldo HIPÓTESIS: ) Se despeci l pesión mosféic. Pln Resolción: ) El empje hidosáico se pede clcl como el empje qe sfií l piámide sin ene en cen l pesenci del oificio, poseiomene, esle l fe coespondiene l empje del g del gjeo, qe en el poblem és no eise. Cso < H b El olmen smegido en ese cso es : V smegido b ( b H) Po lo no, el empje hidósico consideándolo sin gjeo es: F ol ρgv smegido ρg [b (b H) El conco ene el gjeo l piámide se podce n pofndidd consne H. Po lo no, el g qe esí en el oificio poocí n empje: F pesión speficie ρgh gjeo ] -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

180 76 Mecánic de flidos Poblems Reselos Peo como el gjeo esá cío, es fe debeá se esd l ol qe en l elidd no cú: F eslne F ol F gjeo F eslne ρg [ b ( b H) ] ρgh Cso H b En ese cso el olmen smegido es: V smegido El eso del onmieno seá igl qe nes: F F ol gjeo ρgv smegido ρgh b F eslne F ol F gjeo F eslne ρgb ρgh b) F eslne ( H) es n polinomio cúbico, en el pime cso, miens qe es n ec en el segndo cso: F eslne F m F(b ) () F b ρgb b ρg b- b H H Donde el lo de H p de H e iglndo ceo: F m m F se obiene deindo F(H), del pime cso, especo ( ) F b ρg b b Y el lo del cldo H p el qe l fe ejecid po el g sobe el flodo le ceo: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

181 Mecánic de flidos Poblems Reselos 77 H b c) Se disci en qé csos el flodo cá como n obdo: Si Si m W > F m W < F : el gjeo esá siempe obdo. : h dos posibiliddes: F F m W H H H H Si H { [, H] [ H, H ]} h obción qe F Si H [ H, ] no h obción, pes qí W < F H W >. Si H H siempe h obción, pes qí F endá el mismo senido (hci bjo) qe W, po lo no el líqido d ce el gjeo. PR - Sobe n plc ígid indefinid, de densidd ρ * espeso, cú n fe * * ngencil f po nidd de speficie. L plc desli n elocidd sobe n plno inclindo con n ánglo α. Ene l plc el plno inclindo h dos flidos Newoninos, disinos e inmiscibles, de iscosiddes µ µ, qe se disiben en dos cps del mismo espeso h. Se pide: ) Esblece on ls hipóesis coespondienes los cmpos de pesión de elocidd. b) Ineg ls coespondienes ecciones difeenciles obene, slo ls consnes de inegción, l disibción de elociddes pesiones en cd flido. c) Indic jsific ls condiciones de conono qe h qe plic p deemin dichs consnes de inegción. d) Deemin complemene los cmpos de elociddes de pesión, sí como ls ensiones en cd flido. Dibj l disibción de cd ible (elociddes, pesión ensiones) sobe n sección nsesl como l - ', condo los loes significios. e) Obene el lo de * en fnción de f * el cdl q qe ps po n sección semicicl como l - '. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

182 78 Mecánic de flidos Poblems Reselos * f * ' ' h µ h µ α HIPÓTESIS: ) Flidos incompesibles. ) Régimen escionio. ) Fes de ms despecibles en los flidos. 4) Pesión mosféic despecible. Resolción: ) Comen pimeo qe l dimensión pependicl l ppel no ineiene. Se spondán n pesión n elocidd del ipo: p p(, ) (, ) [ (, ) ] T De hecho, l elocidd no dependeá de, pes seá l mism en ods ls secciones nsesles ipo -. Si no se e eso pioi, se pede obene l impone l Ección de Coninidd, eniendo en cen qe se ienen flidos incompesibles: dρ ρ d (), peo [ () ] T Po lo no, los cmpos de pesiones elociddes endán es fom: p p(, ) [ () ] T b) Se n ineg ls ecciones difeenciles de Nie-Sokes en coodends cesins p obene ls epesiones de p slo consnes: componene p µ -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

183 Mecánic de flidos Poblems Reselos 79 p componene p p() L pesión p sólo depende de l componene de sólo depende de, po lo no, según l ección en l componene, se peden ssii ls deids pciles po deids oles. De es fom se iene n igldd de fnciones en l qe el émino de ls pesiones depende únicmene de, miens qe el émino de l elocidd depende de, debiendo enonces ls pesiones se consnes: dp d µ d d f() f() d d dp d k µ k dp d µ d d k ce. p() k () k µ P obene ls ensiones, se ilián ls coespondienes fómls en coodends cesins: k µ k p() µ µ k () (, ) k τ τ µ µ k Donde ls consnes de ess epesiones ( k,,, C ) seán difeenes p cd flido. C c) Ls condiciones de conono plic en el poblem seán:: CONDICIONES DE CONTORNO PR L VELOCIDD. () h. (). h () flidos., pes l plc se mee con elocidd µ >., peso qe el plno inclindo no se mee µ >. (), condición de coninidd p en el límie ene los dos CONDICIONES DE CONTORNO PR LS PRESIONES P el flido de densidd µ esá pesci l pesión p h o, diecmene, como p no depende de ( qe no se conside el peso popio del flido), esá pesci od l pesión p. El lo de p es el coespondiene l pesión qe ejece l plc sobe el flido de densidd µ, qe es l poección según el eje del peso de l plc.. W ρ g, peso de n oo de plc de lgo l nidd, según eje eje. Se h considedo qí p m. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

184 Mecánic de flidos Poblems Reselos -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) 8., cos g p α ρ, poección sobe el eje. Como se h considedo n oo de plc con áe nidd, el peso es diecmene l pesión ejecid.., p p, condición de coninidd p l pesión en l on ene mbos flidos. CONDICIONES DE CONTORNO PR LS TENSIONES L condición de coninidd en ensiones qe h qe impone en l inefse de los dos líqidos no fec odo el enso, sino sólo l eco de cciones. Debeá eificse: Teniendo en cen qe l noml n es l noml eeio: [ ] [ ] T T n n P ese poblem se iene: τ τ d) Se dispone de 6 condiciones de conono h qe deemin 8 consnes, peo es sficiene, pes h ecciones qe dn dos consnes l e. Ssiendo ls epesiones de p, en ls condiciones de conono se obiene: k k cos g k k, k k cos g k, cos k C C C h h k C h h k µ µ α ρ α ρ α ρ µ µ g Resoliendo ssiendo esos loes esl: µ µ µ µ µ µ µ µ h () h () ce h ce. cos g p p µ µ µ τ τ α ρ

185 Mecánic de flidos Poblems Reselos 8 e) P deemin l elción f se plne el eqilibio de fes sobe n elemeno de plc de longid nidd. Ls fes qe cún son es:. L fe f qe empj l plc en el senido posiio de.. L poección sobe el eje del peso popio de l plc. Es fe i hci l diección negi del eje.. Ls fes ngenciles del flido sobe l plc, qe inenn oponese l moimieno de l plc, po lo qe n en el senido negio de ls. P sbe el cieio de signos de éss úlims bs dibj ls ensiones qe cún sobe n elemeno de flido. τ flido ensiones ngenciles posiis Plnendo el eqilibio esl: f ρ gsinα µ h µ µ µ (f µ µ h ρ gsin α) P clcl el cdl qe ies l speficie -, bs con ene en cen qe los flidos son incompesibles po no el cdl qe ps es el mismo si considemos el segmeno eco qe ne : q nds nds ' c 'ec h h ()d µ q h µ µ PR - En l Fig se pesen l sección nsesl de n moigdo de longid indefinid consiido po el émbolo qe desli deno de n ecipiene lleno de n flido Newonino incompesible de iscosidd µ. El descenso del émbolo, elocidd δ & (), podce n fljo de flido ene ls pedes leles el émbolo (e Fig ). Se pide: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

186 8 Mecánic de flidos Poblems Reselos ) Deemin los cmpos de elocidd pesión en l on del flido de l Fig (on CD ), slo ls consnes de inegción. b) Indic jsific ls condiciones de conono necesis p deemin el lo de ls consnes de inegción. c) Obene dichs consnes ls coespondienes epesiones de los cmpos de elocidd pesión. d) Obene l epesión de ls ensiones en l on CD del flido. e) Sponiendo qe el cmpo de ensiones en l speficie - es nifome e igl l del pno, demos qe eise n elción ene l fe po nidd de longid F, plicd sobe el émbolo, l elocidd de descenso del mismo, δ & (), de l fom F ηδ( & ). Obene el lo de η. D C F ' h D C h ' O m L O Fig Fig (delle) HIPÓTESIS: ) Fes de ms despecible en el flido. ) Peso del émbolo despecible. ) Fljo escionio. 4) Pesión mosféic despecible. Resolción: ) HIPÓTESIS ÑDIDS: Nd depende de l diección pependicl l ppel, pes el poblem esá indefinido en es diección. Considéese n sición bidimensionl, siendo, en pincipio po hipóesis: [ (, ) (, ) ] T Po oo ldo, sobe ls pedes CD, debe cmplise:, po condición de impenebilidd (n flido no pede pene en n sólido). Sin embgo, es coneniene inodci o hipóesis más p simplific el poblem. Se de n hipóesis poimd, no ec. Se spondá qe en od l on -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

187 Mecánic de flidos Poblems Reselos 8 CD. En elidd ls línes de coiene del flido ienen poimdmene l sigiene fom: C Inclso es posible qe se fomen óices en es egión si l elocidd es m eled. En definii, se spondá n cmpo de elociddes del ipo: [ ] T (, ) (, ) P l pesión, en pincipio, se spondá qe: p p(, ) Se impone l Ección de Coninidd. Como el flido es incompesible ( ρ ce. ) qedá: Si se plic ese poblem se obiene: sí p n mism eicl, l elocidd es l mism, qe l descipción espcil de l elocidd no depende de. Se imponen ls Ecciones de Nie-Sokes en coodends cesins, eniendo en cen ls hipóesis del enncido ls ñdids. Como el poblem es bidimensionl, l ección p l componene no po infomción: ( ) D p p p() p µ p µ De es ección se sbe qe el émino de l deech depende de, miens qe el de l iqied lo hce especo de. sí se concle, qe mbs epesiones son consnes: p K p K C µ K K C µ ( ) K C C µ CONDICIONES DE CONTORNO PR L VELOCIDD ( ), : no eise deslimieno elio del flido especo de l ped. ( ) -δ&, : igl qe nes, no eise desplmieno elio. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

188 84 Mecánic de flidos Poblems Reselos CONDICIONES DE CONTORNO PR LS PRESIONES p() p m h m CONDICIONES DE CONTORNO PR EL CUDL P n flido incompesible se eific Q Q, donde : enne Q nds S El émbolo bj n elocidd δ &, po no, el émbolo se inodce en el flido gnándole espcio ése. Es deci, es como si ense n sección (l del émbolo) cie elocidd, empjndo l flido hci fe. Po es ón se pede defini como n cdl enne (elocidd speficie): Q enne δ L & En cmbio, el cdl sliene de flido és de los espcios ene el émbolo ls pedes leles se pede clcl según l definición genel de cdl: Iglndo los cdles, qed: Q Deeminción de ls consnes: sliene nds S sliene ( ) d & L δ ( ) d ( ) () C C ( ) δ& () K C C K δ & µ µ ( ) K d C d K C δ& L µ µ 6µ K δ& ( L) C δ & L p( ) K( m h) C m h C 6µ δ& ( L)( m h) sí, finlmene se obienen ls sigienes epesiones: -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

189 Mecánic de flidos Poblems Reselos 85 6µ p p( ) δ& ( L)( m h ) ( ) ( L) L δ& δ & d) P obene ls ensiones en l on CD del flido, bs con ili ls epesiones coespondienes ls Componenes del Tenso de Tensiones p Flidos Newoninos en Coodends Cesins. Uilindo ls epesiones del pdo c) de l elocidd l pesión se obiene lo sigiene: p ; p ; p τ τ µ ; τ τ ; τ τ El Tenso de Tensiones es po no: p µ donde µ µδ& 6 ( L) L µ p p COMENTRIO: De hecho, l hipóesis de fljo escionio, miens el émbolo bj, es n hipóesis ecesi no igos, pes en lgún insne el émbolo llegá hs el pno más bjo el fljo iá. P pode plic és hipóesis, m h debeí se n longid m gnde o δ & n elocidd m bj. e) Ls ensiones qe cún sobe el émbolo son ls sigienes: F τ τ τ τ L Cieio de signos posiio Se n clcl ls ensiones coespondienes p obene ls fes eslnes plic eqilibio. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

190 86 Mecánic de flidos Poblems Reselos En l speficie infeio del émbolo: * * 6µ p( ) Km C ( L) h δ & m En ls speficies leles, po simeí se iene qe τ τ, po lo no sólo se clclá τ : τ τ τ µδ ( ) L τ τ µδ & & L 6 L 4 plicndo eqilibio de fes ( qe δ & es n elocidd consne): F L * * hτ hτ * F ηδ& µ h η L 6 L 4-4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

191 Mecánic de flidos Cesiones Popess 87 CUESTIONES PROPUESTS CP - Escibi ls ecciones de gobieno del poblem genel de Mecánic de Flidos, enncindo cd ección cceindo el númeo de ecciones de incógnis. Picli p ls ecciones del poblem mecánico cndo ése esá descopldo del poblem émico. CP - Escibi ls ecciones de gobieno de n poblem de Mecánic de flidos señlndo el númeo de ecciones disponibles ls incógnis del poblem. Hce lo mismo p el cso picl en qe el flido se Newonino, indicndo cándo los poblems mecánico émico esán descopldos. CP - Dedci ls sigienes ecciones: ) Ección fndmenl de l hidosáic (eqilibio). b) Ección de eqilibio de n flido pefeco (ección de Ele). CP -4 Demos el eoem de qímedes. CP -5 Dedci l epesión del Teoem de enoilli p n flido pefeco, incompesible en égimen escionio, bjo fes giois. Inepe gáficmene el esldo. CP -6 Dedci l ección de enoilli p n flido pefeco, incompesible en égimen escionio, indicndo el significdo de cd émino el significdo de cd émino. NOT: Uili l igldd: ω CP -7 Jsific en qé condiciones l ección de enoilli se cmple p clqie pno de n flido pefeco en moimieno. CP -8 Se l ección de moimieno de n flido pefeco boópico: Φ P w donde Ineg dich ección en los sigienes csos: ) Fljo poencil. P p dpˆ ρ() pˆ Φ g -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

192 88 Mecánic de flidos Cesiones Popess b) Fljo poencil escionio. c) Fljo poencil escionio e incompesible. CP -9 Demos qe p n fljo poencil de n flido incompesible se cmple l sigiene ección, donde χ es el poencil de elociddes: χ χ Demos qe ( ) χ pede se l fnción poencil de n fljo de ess cceísics obene el coespondiene cmpo de elociddes. CP - Dedci ls ecciones de Nie-Sokes indicndo el significdo físico de cd émino. CP - Inepe físicmene cd no de los éminos qe pecen en ls ecciones de Nie-Sokes de l enegí, p n flido Newonino isóopo. CP - D l inepeción físic de los disinos éminos de ls ecciones de Nie- Sokes. Picli dichs ecciones en los csos de: ) Flido incompesible. b) Flidos con iscosidd olméic nl. c) Flidos pefecos. d) Hidosáic. CP - Indic on los disinos ipos de condiciones de conono, en elociddes pesiones, conside en l mecánic de flidos iscosos no iscosos. CP -4 Obene ls componenes hoionl eicl de l eslne de ls cciones qe ejece el g de n emblse sobe l pes de gedd de l fig, po nidd de nch de l mism. H -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

193 Mecánic de flidos Cesiones Popess 89 CP -5 Clcl l fe F, po nidd de espeso, qe h qe ejece en el pno de l compe de l fig, p mnenel en eqilibio bjo el empje del g emblsd. α F H HIPÓTESIS: ) Se despeci el peso de l compe CP -6 Deemin el lo mínimo de l fe F qe h qe hce en el pno de l compe de l fig icld en el pno, p qe no se podc pédid de g. c HIPÓTESIS: ) Se despeci el peso de l compe. F b CP -7 Clcl l eslne en el pno O de ls cciones, po nidd de espeso, (fes momeno) qe el g en eposo ejece sobe l compe de l fig. HIPÓTESIS: ) Se despeci el peso de l compe. R O CP -8 Clcl el lo de l fe F qe h qe ejece sobe el pno de l compe cicl de l fig, icld en el pno, p qe se mneng en l posición indicd. α R ρ R O F HIPÓTESIS: ) Se despeci el peso de l compe. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

194 9 Mecánic de flidos Cesiones Popess CP -9 En l ped de n depósio eise n lle de ciee qe gi lededo del pno O de l fig. Clcl ls fes el momeno eslne, po nidd de espeso, qe el flido ejece sobe l lle. HIPÓTESIS: ) Se despeci el peso de l compe. ê ê R O h ê CP - Clcl el peso del lse W qe h qe pone en el fondo del cjón de l fig, de peso W, p qe ése floe en eqilibio esble. NOT: Los pesos son po nidd de espeso. W h W h/ HIPÓTESIS: ) L densidd del g es ρ. CP - Un gn depósio de sección S coniene n flido pefeco, boópico compesible, qe sle en égimen escionio po el oificio, de sección S, debido l moimieno m leno del émbolo en. Se sbe qe l ección cinéic de esdo del flido es: p kρ, k ce. Clcl l elocidd de slid. H g P S S P P m -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

195 Mecánic de flidos Cesiones Popess 9 CP - Un depósio qe coniene n l H de g, se dej ce po n plno inclindo n ánglo, con n celeción consne de lo. Obene l disibción de pesiones l ección de l speficie libe en fnción de, H, l pesión mosféic p. H CP - Clcl l fom qe omá l speficie libe del g conenid ene dos cilindos de dios R R qe gin solidimene sobe s eje elocidd ngl consne ω. R R -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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197 Mecánic de flidos Poblems Popesos 9 PROLEMS PROPUESTOS PP - L fig mes l sección longidinl de n cnl con n compe po el qe cicl g en égimen escionio. P secciones nsesles sficienemene lejds de l compe como l, gs ib, l, gs bjo, pede considese n cmpo de elociddes hoionl nifome n disibción de pesiones hidosáic. Se pide: ) Obene los loes de l elocidd en ls secciones. b) Clcl el lo del empje E qe ejece el g sobe l compe (po nidd de nch del cnl). c) dmiiendo qe l disibción de pesiones p sobe cd pno de l sole del cnl es igl l peso de l colmn de g po encim de l mism ( p ρgh ), obene l disnci d l sole del pno de plicción de dicho empje. NOT: Todos los esldos deben dse en fnción de H, H l densidd del g eclsimene. H ρ h d E sole compe H p ρgh HIPÓTESIS: ) Se conside l g como n flido pefeco incompesible. ) Pesión mosféic despecible. ) Fes de omieno g-sole g-compe despecibles. 4) No se conside el peso popio de l compe. ) PP - Un cilindo mcio de longid indefinid se mee elocidd en el ineio de oo cilindo heco qe se mee elocidd en senido opeso l neio. Ene mbos cilindos h n flido Newonino incompesible de iscosidd µ. En el pno l pesión es P. Clcl: ) Los cmpos de elociddes, pesiones ensiones (en fnción de ls consnes de inegción) b) Ls consnes de inegción, plicndo ls condiciones de conono peinenes. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

198 F 94 Mecánic de flidos Poblems Popesos c) Ls fes, po nidd de longid, F F ejecids sobe cd cilindo p qe se podc el moimieno descio. d) L enegí disipd, po nidd de iempo de longid, debid los efecos iscosos (en fnción de ls consnes de inegción). R R F HIPÓTESIS:. Régimen escionio.. Se despecin ls fes de ms ls de ineci.. Debido l cáce indefinido de l longid se consideá qe el fljo ( ss popieddes) no ín en diección longidinl. PP - Un plc de longid indefinid espeso sep dos flidos newoninos incompesibles qe se meen ene dos cononos de longid indefinid sidos n disnci h de l plc (e fig). L plc el conono speio se meen elociddes /, especimene. Se pide: ) Los cmpos de elociddes, pesiones ensiones (en fnción de ls consnes de inegción). b) Ls consnes de inegción, plicndo ls condiciones de conono peinenes. c) Ls fes po nidd de speficie F F ejecids sobe l plc el conono speio necesis p qe se podc el moimieno descio. d) L enegí disipd, po nidd de iempo de speficie pependicl l plno del dibjo, debid los efecos iscosos. h µ ρ µ ρ h F F / HIPÓTESIS: ) Ls pesiones en los pnos son p p, especimene. ) Régimen escionio. ) Debido l cáce indefinido de l diección se consideá qe el fljo, ss popieddes, no ín en es diección. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

199 Mecánic de flidos Poblems Popesos 95 PP -4 Ene l plc l speficie hoionl cicl n cdl Q de n flido Newonino, incompesible e isóopo en égimen escionio. L plc se mniene hoionl e inmóil medine l plicción de n fe pnl de componenes H V cndo en n pno popido de l mism. Se pide: ) El cmpo de elociddes. b) El cmpo de pesiones. c) El lo de l componene eicl de l fe disnci d l oigen de s pno de plicción p qe l plc no gie. d) El lo de l componene hoionl de l fe. d V H p HIPÓTESIS: ) El fljo se spone plelo l plno -. ) Se despecin ls fes de ineci. ) Se considen Q, V H po nidd de longid en diección. 4) El peso de l plc l pesión mosféic son despecibles. L PP -5 Un sólido se peso W desli con n elocidd sobe n speficie hoionl lbicd medine n flido Newonino de iscosidd µ. L speficie infeio del sólido esá inclind, con n pendiene m peqeñ α, especo l hoionl. Se pide: ) Obene el cmpo de elociddes en el flido en fnción de, h() q, donde q es el cdl de flido qe fle po nidd de nch és de n speficie eicl ene el selo el sólido. b) Obene l disibción de pesiones en el flido en fnción de µ, α, q,, h(), h P, sbiendo qe en el pno l pesión es l mosféic P. c) Obene el cdl q en fnción de, h h sbiendo qe l pesión en el pno el P. d) Obene l ne epesión de l pesión en fnción de µ, α,, h(), h, h P. e) Obene ls componenes del enso de ensiones en fnción de µ, α,, h(), h, h P. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

200 96 Mecánic de flidos Poblems Popesos f) Obene l epesión del peso del sólido W de l fe hoionl F, necesi p moelo en fnción de µ, α,, h(), h h. g) Obene el cociene λ F/W (coeficiene de omieno efecio). F W h h() h h L h α α HIPÓTESIS: ) Flido incompesible en égimen escionio. ) Peso del flido despecible. ) Fljo m leno (fes de ineci despecibles). 4) L pendiene α es sficienemene peqeñ se conside:, (, ), PP -6 Un flido Newonino incompesible de iscosidd µ, se mee en égimen nsioio con el sigiene cmpo de elociddes: Se pide: T (,, ) [ - - g( ) ], > ) Deemin g() sbiendo qe l elocidd en (,, ) es nl en odo insne. b) Obene ls ecciones de ls ecois ls línes de coiene. c) Clcl el enso elocidd de defomción el eco oicidd. d) Clcl ls fes de olmen necesis p mnene el moimieno sbiendo qe l disibción de pesiones es nifome. e) Ene los insnes se inec colone en el pno (,, ). Clcl l ección de l líne de lo lgo del iempo dibjl p los insnes,,. PP -7 Un cilindo heco, indefinido de dio R, gi en égimen escionio con elocidd ngl ω en el ineio de n dominio infinio ocpdo po n flido Newonino -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

201 Mecánic de flidos Poblems Popesos 97 incompesible de iscosidd µ. En el ineio del cilindo eise oo flido Newonino incompesible de iscosidd µ. Se pide: ) Obene el cmpo de elociddes pesiones en el flido ineio. b) Obene el cmpo de elociddes pesiones en el flido eeio. c) Clcl el momeno qe h qe plic l cilindo p mnene s elocidd. µ ω R µ PP -8 Un disco de dio R gi con elocidd ngl consne ω n disnci de n speficie hoionl. Ene el disco dich speficie se encen n flido de compomieno Newonino con iscosidd µ. Se pide: ) L epesión del cmpo de elociddes en el flido nes de plic ls condiciones de conono. b) Dich epesión despés de plic ls condiciones de conono. c) L epesión de l pesión de l ensión ngencil τ. d) El lo del momeno M qe se h de plic en el eje del disco p mnene el moimieno. ω M R µ HIPÓTESIS: ) Peden despecise ls fes de ineci po se el moimieno sficienemene leno. ) Flido incompesible. ) No se conside el efeco de ls pedes leles (se despecin los efecos del omieno flido-ped lel). 4) Se consideá qe el cmpo de elociddes í linelmene con l disnci l speficie infeio. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

202 98 Mecánic de flidos Poblems Popesos 5) Fljo en égimen escionio. PP -9 Un coon cilíndic de dio ineio R espeso α R, se siú en el ineio de n cilindo heco lleno de n flido Newonino de iscosidd µ, l como se indic en l fig. Se spone qe no el cilindo como l coon son de longid indefinid. Medine l plicción de n momeno po nidd de longid consne M, se popocion l coon n elocidd ngl de oción ω. Se pide: ) Obene, slo consnes de inegción, los cmpos de elociddes de pesiones en el ineio eeio de l coon. b) Plne jsific ls condiciones de conono necesis p deemin ls consnes de inegción obene dichs consnes. c) Obene µ en fnción de M ω. Picli p el cso α << β <<. M R αr αr βr HIPÓTESIS: ) Flido incompesible. ) No se considen ls fes de olmen. ) Régimen escionio. ω PP - Un cilindo mcio de longid indefinid dio R gi con n elocidd ω consne, concénicmene con oo cilindo heco de dio ineio R qe s e gi elocidd ngl consne ω. En el espcio ene mbos cilindos h n líqido Newonino incompesible de iscosidd µ. Se pide: ) Deemin el cmpo de elociddes del flido en égimen escionio. b) Deemin los momenos qe h qe plic sobe mbos cilindos p mnenelos ls elociddes indicds (indicndo los senidos). c) Deemin el lo de l pesión ω R R emodinámic en ls sigienes condiciones:. Los dos cilindos gin l mism ω elocidd.. El cilindo ineio no se mee. R. El cilindo eeio no se mee. ω -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

203 Mecánic de flidos Poblems Popesos 99 PP - En el ineio de n cilindo heco de longid indefinid se encen oo cilindo mcio qe se despl eiclmene elocidd consne gi con elocidd ngl ω. Ene mbos cilindos se encen n flido Newonino con iscosidd µ. Se pide: ) Deemin el cmpo de elociddes del flido. b) Deemin el cmpo de ensiones en el flido. c) Deemin el momeno l fe eicl qe h qe plic sobe el cilindo eeio po nidd de longid del mismo p qe no se me. ω µ HIPÓTESIS: ) Moimieno escionio. ) Moimieno sficienemene leno p despeci ls fes de ineci. ) Fljo incompesible. R R PP - En l fig se pesen l sección nsesl de n pisón cilíndico consiido po el émbolo ' ', qe desli deno de n ecipiene lleno de n flido Newonino incompesible de iscosidd µ. El moimieno del émbolo n elocidd δ & podce el fljo del flido és del condco DED' E'. Se pide: ) Deemin, slo ls consnes de inegción, los cmpos de elocidd pesión en l on DED' E' del flido. b) Indic jsific ls condiciones de conono necesis p deemin el lo de ls consnes de inegción. c) Obene dichs consnes ls epesiones de los cmpos de elocidd pesión. d) Obene l epesión de ls ensiones en l on DED' E' del flido. e) Sponiendo qe l ensión noml l speficie ' en el flido es consne e igl l pesión en los pnos D D', demos qe eise n elción ene l fe F plicd sobe el émbolo s elocidd de nce δ & de l fom F ηδ &. Obene el lo de η. HIPÓTESIS: ) Fes másics despecibles en el flido. ) Peso del émbolo despecible. ) Fljo escionio. 4) Pesión mosféic despecible R F ' δ & µ C D D' E E' R -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) ' ' C'

204 Mecánic de flidos Poblems Popesos PP - Un flido Newonino incompesible fle po el espcio ene dos esfes, concénics m cecns, l se inodcido po n peqeño oificio en l pe speio de l esfe eeio. Se P P P l difeenci de pesión ene los pnos de l fig P l pesión mosféic. Se pide: ) Plne el cmpo de elociddes pesiones ls coespondienes ecciones difeenciles condiciones de conono. b) Obene el cmpo de elociddes pesiones en fnción de P. c) Clcl el cdl qe ies l speficie hoionl M - N en fnción de P. α M kr N R R/ OSERVCIÓN: d ln g sen HIPÓTESIS: ) Moimieno m leno (fes de ineci despecibles). ) Fes de olmen despecibles. ) No se conside l pebción del fljo podcid po el oificio de end. 4) El ánglo α es m peqeño (pede omse g α α ). 5) Régimen escionio. PP -4 Un semicilindo de dio R longid indefinid esá colocdo en el ineio de oo semicilindo indefinido de dio α R l como se mes en l fig. Ene mbos se inec n cdl po nidd de longid Q ce. de n flido iscoso, Newonino e incompesible. Se pide: R W Q αr -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

205 Mecánic de flidos Poblems Popesos ) Plne ls ecciones difeenciles qe gobienn el poblem. b) Obene ls epesiones de l elocidd l pesión en fnción de ls coespondienes consnes de inegción. c) Plne nlíicmene ls ecciones necesis p l deeminción de ls consnes de inegción (no hce fl esolels). d) Plne nlíicmene l ección necesi p obene el peso W del cilindo ineio (no es necesio esolel). HIPÓTESIS: ) L pesión en el pno es l mosféic. ) El moimieno es m leno (peden despecise ls fes de ineci). ) L end de cdl Q no peb el fljo ene mbos cilindos. 4) No son despecibles ls fes giois. PP -5 Un esfe hec de dio R gi con elocidd ngl consne ω lededo de s eje eicl en el ineio de n dominio infinio ocpdo po n flido Newonino incompesible de densidd iscosidd ρ µ, especimene. El ineio de l esfe esá pcilmene ocpdo po oo flido Newonino incompesible, de densidd iscosidd ρ µ, siendo el eso ie. Sbiendo qe el égimen del moimieno es escionio se pide: ) El cmpo de elociddes pesiones p el flido ineio de l esfe. b) El cmpo de elociddes pesiones p el flido eeio de l esfe. c) Obene l ección de l speficie libe del flido ineio. Demos qe es n pboloide de eolción epes s ección en fnción de ls coodends cilíndics. p ρ µ ω R p ρ ρ µ µ HIPÓTESIS: ) Pesión mosféic despecible. ) Se sgiee conside cmpos de elociddes p los flidos de l fom: T φ sin debiendo jsificse qe se cmplen ods ls ecciones de gobieno del poblem. ) Despeci ls fes de ineci de ms en el eeio de l esfe, peo no en el ineio. (,, φ) [ ] T -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

206 Mecánic de flidos Poblems Popesos PP -6 Sobe n flido pefeco qe esá en eposo en el insne cún ns fes po nidd de ms b [ α ] T (descipción espcil). L disibción (espcil) de - pesiones es p(, ) α( ) e l disibción espcil de l densidd es ρ(, ) ϕ( ).Se pide: ) Ls descipciones espciles del cmpo de celeciones del cmpo de elociddes ls ecciones de ls ecois (en fom cnónic) de ls línes de coiene. b) Deemin l fnción ϕ () sbiendo qe en el insne inicil ϕ () ϕ. c) Deemin el lo del pámeo α p qe el fljo se iocionl. P dicho cso deemin los poenciles de fes másics Φ ( b Φ ) de elociddes χ ( χ ). Demos qe en ess condiciones se cmple l ección: p Φ ρ χ,, d) Clcl el cdl qe ies l speficie (bie) de l semiesfe de l fig. R -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

207 Pincipios icionles Cesiones Resels Pincipio s icionles CUESTIONES RESUELTS CR - pi de l epesión del pincipio de los bjos iles: V : δεdv ρ δ dv δ ds δ δ b V Γ en Γ demos el pincipio de minimición de l enegí poencil p n meil elásico linel en égimen de peqeñs defomciones. Resolción: l se el meil elásico linel, enonces seá n meil hipeelásico, po lo no eisiá n poencil elásico: W() ε W ij δw ij δεij : δε ε demás, si ls fes eeioes son conseis se cmple: G( ) Φ( ) ij G( ) Φ( ) ρb δg δ δφ ρb δ ho se pede eescibi l epesión del pincipio de los bjos iles como: V δ δ δ en Γ W dv δφdv δgdγ V Γ δ W dv Φ G d Γ V V Γ δ δ en Γ Si se define l Enegí Poencil Tol como: se pede concli: U() WdV ΦdV GdΓ V V Γ δu δ δ en Γ qe es lo mismo qe deci qe U iene n eemo en. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

208 Teniendo en cen qe: donde: Si se clcl: W( ε ) ε : C : ε C ijkl W ε ε δ * U( ) ε( δ) : C : ε( δ) dv ρb ( δ) dv ( δ) dγ V V Γ * U( ) ε( ) : C : ε( ) dv ρb dv dγ V V Γ eniendo en cen qe: esl: ilindo: U( δ) U( ) V V ε( δ) ε( ) ε( δ) ε( ) : C : ε( δ) dv V ε( δ) : C : ε( δ) dv ij kl V ε( δ) : C : ε( ) dv ρb δdv ε( ) : C : ε( δ ) ε( δ) : C : ε( ) : δε Γ * δdγ * U( δ) U( ) : δεdv ε( δ) : C : ε( δ) dv ρb δdv δdγ V V V Γ Teniendo en cen qe: se iene qe: δu V : δεdv U( δ) U( ) V ρb δdv V Γ * δdγ ε( δ) : C : ε( δ) dv Y considendo qe el enso C ijkl W ε ε ij kl es definido posiio: U( δ) U( δ) Po lo qe se e qe l enegí poencil iene n mínimo en el esdo de eqilibio. CR - Jsific qé éminos de l sigiene epesión del bjo il ineno, en noción ingenieil: in δw δε δε δε τ δγ τ δγ τ δγ ) dω Ω ( son inínsecmene nlos p cd no de los sigienes csos:

209 Pincipios icionles Cesiones Resels 5 ) Tensión pln. b) Defomción pln. Resolción: En ensión pln se cmple: Po lo no se iene qe: τ τ in δw δε δε τ δγ ) dω Ω ( En defomción pln se cmple: Po no esl: ε γ γ δε δγ δγ in δw δε δε τ δγ ) dω Ω ( -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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211 Pincipios icionles Cesiones Popess 7 CUESTIONES PROPUESTS CP - Indic jsific cál es el ámbio de lide plicción en Mecánic de Sólidos de los sigienes pincipios icionles: ) Pincipio de los Tbjos Viles b) Pincipio de l Enegí Poencil mínim. CP - Ennci el pincipio de minimición de l enegí poencil, indic s cmpo de lide dedcilo pi de l epesión del Pincipio de los Tbjos Viles. CP - Demos qe el pincipio de los bjos iles es n condición necesi p el eqilibio de n medio conino. CP -4 Demos qe el Pincipio de los Tbjos Viles es condición sficiene p qe n sisem de ensiones desplmienos se solción de ls ecciones de eqilibio. -4 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

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213 Fomlio básico Tem. Defomción ( ds) ( ds) dx i Eij dx j di eij d j d F dx T T T U U i j U k U k E ( F F ) ( J J J J) Eij X j X i X i X j T ( T T i j k k e - F F ) ( j j j j) eij j i i j λ T E T λ ε e ds λ ds ε λ ds ds ε ds () () T ( E) T cos () () () () T E T T E T () () ( e) cos Θ () () () () e e () () ε sin π E XY π e csin Θ XY csin EXX E YY e e ε γ λ X E XX λ ε e T T F Q U V Q U F F V F F dv F dv dv ( T ε) dv / ( N U N) d U d Ω Ω Ω E F d d d d ds d d d ρ ρ F d d T d F ( d) ( ) d d l ( dv ) ( )dv d d d F d F T d( F ) F l F F l d d F F d 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

214 FORMULRIO ÁSICO Tem. Condiciones de compibilidd ε ε ε ε ε ε ε S S ε ε ε ε ε ε ε S S ε ε ε ε ε ε ε S S ( ε ) S e ε ε ε ε mjq e ni ε ij, q ij, kl kl, ij ik, jl jl, ik ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Tem 4. Tensiones cos sin ( ) τ ( ) τ sin cos ( ) τ ( ) Tem 5. Ecciones de conseción-blnce d d V µ dv V dµ µ dv d dψ ρ ρk j d d ρ s dv ρ dv d V V V V ρ ψ dv q n dγ V ρ k dv V d ρ : d ρ q d ds q ρ ρ d ρ ψ n ds j n ds V () s& i s& () i locl q s& cond q ρ ρ ρ s & ρ & : d ρψ& ρ s & : d ψ s 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

215 FORMULRIO ÁSICO Tem 6. Elsicidd linel ij λε ll δ ij ( ) µ ε βδ ij ij ( ) p Ke Kα ε ij ν ν ll δij E E Gε ij ij ij αδ ij ( ) λ νe ( ν)( ν) µ ( λ µ ) E λ µ E E µ β ( ν) ( ν) α E K ( ν) λ β λ µ ν α K λ µ λ µ ( ) E G ( ν ) µ G ˆ ( λ µ ) ( ) µ ρb ρ λ( ) n µ ( ) n i β ij ( ) n ˆ j β ( ) * i ij ν ij ll, ν ll, ij ij b i b i ν δ ij ll ν ν δij ρbl, l ν * ρ en Γ ( ij ) j ( ρb i ) ( ρb j ), i, j ( ) ( ρbi ) ( b j ), ρ j, i, Tem 7. Elsicidd pln τ g α g α g α g α Defomción pln C ν E( ν) ( ν)( ν) ( ) ν ν ν ν ν ( ν) Tensión pln E C ν ν ν ε ν ν ( ε ε ) ν 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

216 FORMULRIO ÁSICO Tem 8. Plsicidd J ij ij I kk I oc m τ [ ] J oc ' J H E ep E E H J f f α m J β τ n c n g φ c cos φ ( ) sin φ sinφ 6c cosφ α β ( sinφ) ( sinφ) Tem 9. Ecciones consiis de flidos dρ ij p δij λdllδij µ dij p p λ µ T() d p p K ρ d d W D K T () d µd : d p ( λ µ ) ( ) µ ρ b ρ d p Cijkl λδijδ kl µ ( δik δ jl δil δ jk ) H ce ρ g g P p ( p) ρ( p) dp ρ d d Tem. Mecánic de flidos pt P p ρ w ( d) KT ( d) µ d : d ρ ( k ) Tem. Pincipios icionles V δ ε : dv ρ b δ dv δ ds V V * 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln)

217 FORMULRIO ÁSICO 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) Tenso infiniesiml de defomción Coodends cilíndics ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Coodends esféics φ φ φ φ φ φ φ φ φ φφ co sin sin co sin ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε φ φ φφ φ φ φ φ ε sin cos ),, ( ( ) φ φ φ cos sin sin cos sin,,

218 FORMULRIO ÁSICO 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) Tenso elocidd de defomción Coodends cilíndics d d d d d d d d d d d d d d d d Coodends esféics φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φφ φφ φ φ φ φ co sin sin co sin d d d d d d d d d d d d d d d d sin cos ),, ( ( ) φ φ φ cos sin sin cos sin,,

219 FORMULRIO ÁSICO 999 b: X. Olie & C. gele de Scíb E.T.S. Engines de Cmins, Cnls i Pos (Uniesi Poliècnic de Cln) Ecciones de Nie Coodends cilíndics ( ) b G G e G ρ ρ ω ω λ ( ) b G G e G ρ ρ ω ω λ ( ) ( ) b G G e G ρ ρ ω ω λ donde Ω ω Ω ω ( ) Ω ω ( ) e Coodends esféics ( ) ( ) b sin G sin sin G e G ρ ρ φ ω ω λ φ ( ) ( ) b sin sin G sin G e G ρ ρ ω φ ω λ φ ( ) ( ) b G G e sin G ρ ρ ω ω φ λ φ φ donde ( ) φ Ω ω φ φ sin sin sin ( ) φ Ω ω φ φ sin ( ) Ω ω φ ( ) ( ) ( ) φ φ sin sin sin e sin cos ),, ( ( ) φ φ φ cos sin sin cos sin,,