4º ESO VECTORES y RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa. VECTORES y RECTAS

Transcripción

1 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo VECTORES RECTS L geoeí nlíic e coo e ll e pe de l eáic de eplic odo lo elciondo con l ec en el plno (en.º de bchilleo en l odlidd de Cienci Tecnologí e edi l ec en el epcio e dienione) ilizndo eccione en ee co en do dienione eo e do vible l l nolene. ne de eeno de lleno en el edio nlíico de l ec en el plno vo ecod pli neo conociieno obe vecoe en el plno. pi de ho do po hecho qe lo vecoe l ec eán id en el plno (do dienione) no en el epcio (e dienione)..- VECTORES EN EL PLNO * Un veco fijo e n egeno qe coienz en (oigen) ein en (eeo). Si el veco e el enonce el oigen e el eeo e. Lo eleeno qe deeinn n veco on.- MÓDULO de E l longid del veco. Se deno po..- DIRECCIÓN de E l diección de l ec qe p po po. Tod l plel con ell ienen l i diección..- SENTIDO de Cd diección iene do enido de o de.. Coodend de n veco Ddo n pno ( ) n pno ( b b) e clcln l coodend del veco coodend del pie pno l coodend del egndo pno ( b b ) EJEMPLO_ Clcl l coodend del veco iendo () (7). Reo l coodend de l de (7 ) () Clqie veco qe eng coodend () eá n veco eqipolene (io ódlo i diección io enido) l VECTOR FIJO deá odo eo vecoe fon lo qe llo VECTOR LIRE de coodend () on odo lo vecoe qe engn e coodend. De odo ello h no epecil qel co oigen e encen en el oigen de coodend O () qe ee veco endá el eeo en n pno P c coodend on jene l del veco () ee veco del pno P. Po ello p diingi n veco O P e le ll veco de poición debeeo gino po el coneo qe no qe el enncido del poble. endo l O P de coodend () de n pno P de coodend ().- OPERCIONES CON VECTORES. S de vecoe * Ddo do vecoe ( ) v (v v ) e define el veco v w ( v v ). L gáfic e hce poniendo el veco con oigen en O() colocndo coninción el veco v con oigen en el eeo del el veco v w e el veco con oigen en O() eeo en el eeo de v. Un egnd fo de vecoe conie en pone bo vecoe con oigen en O() z el plelogo qe fon el veco v w e l digonl o del plelogo. En ee éodo l e v v digonl eno en n enido o en oo. Ee éodo e conoce con el nobe de Méodo del plelogo.

2 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo EJEMPLO_ Ddo lo vecoe (8) v ( ). Clcl l de fo nlíic de fo gáfic. ) De fo nlíic v w (8) (-) (8-) (86) ) De fo gáfic ) Colocndo el veco veco v igen izqied. coninción el ) Méodo del plelogo igen deech. El veco w e el veco de poición del pno P.. Podco de n núeo el po n veco * Ddo n veco ( ) el podco de n núeo el po el veco e define coo n veco qe iene po coodend ( ). Si > el veco endá i diección io enido o ño qe. Si << el veco endá i diección io enido eno ño qe. Si < el veco endá i diección enido conio o ño qe. Si << el veco endá l i diección enido conio eno ño qe. EJEMPLO_ Ddo el veco ( ). Clcl el veco. ( ) ( ) veco Se pede obev qe ddo qe > enonce el iene l i diección el io enido e co vece o qe el veco..- PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES * Ddo do vecoe ( ) v (v v ) e define el podco ecl de v coo el podco del ódlo de po el ódlo de v po el coeno del ánglo qe fon v v v co( v) El eldo del podco ecl de do vecoe e n núeo c inepeción no vo nliz lvo en n co cndo el podco ecl e ceo v en ee co e cple qe el ánglo fodo ene v debe e de º pe p qe el podco ecl e ceo debe e ceo no de lo e fcoe o bien o bien v o bien co( v) peo coo lo ódlo no peden e ceo (endío n veco de ño ceo) debeá e ceo el coeno del ánglo eo e co( v) qe olo oce cndo ng ( v ) º po lo qe llego l conclión de qe i el podco ecl de do vecoe e ceo eo on pependicle v v EJEMPLO_ Clcl el ánglo qe fon do vecoe co ódlo on v 7 v. Si iio en l epeión del podco ecl v v co( v) 7 co ( v endeo ) ( ) ng ( co v v ) 6 º 7 8

3 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo E definición del podco ecl de do vecoe e poco opeiv no inee á l epeión del podco ecl en fnción de l coodend de lo do vecoe pe nolene lo qe conoceo de lo vecoe on coodend. Sen do vecoe ( ) v (v v ) podco ecl eá v v v * EJEMPLO_ Clcl el podco ecl de lo vecoe ( ) v (7). v ( ) (7) 7 ( ) 8 8 (Ee vlo néico no no popocion infoción dicionl en pincipio n olo no indic qe lo vecoe no on pependicle) EJEMPLO_ Clcl el vlo de p qe lo vecoe ( ) v (6) en pependicle. Teniendo en cen qe v v bco el vlo de qe hg el podco ecl ceo. v ( ) (6) ( ) 6 L olción gáfic pone bc el veco qe e pependicl con el veco v de ene odo lo qe ienen de egnd coodend el vlo ( ) de odo lo vecoe ojo (h pindo do) olo el veco vede ( ) e pependicl con el zl v (6)..- CÁLCULO DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS. Módlo de n veco Ddo n veco ( ) e clcl ódlo (longid del veco) con l epeión Tbién e pede clcl el ódlo de ( ) po edio del podco ecl co ( ) co º EJEMPLO_ Clcl el ódlo del veco ( ). ( ) 6 nidde Se pede obev qe p clcl el ódlo de n veco lo qe elene hceo e plic el eoe de Piágo p el cálclo de l hipoen (ódlo del veco) del iánglo qe e fo ene el veco lo eje de coodend.. Dinci ene do pno Ddo do pno ( ) ( b b) e clcl l dinci de e deno po d() edine l epeión d() ( ) ( ) b b Ddo qe l coodend del veco e obienen con l epeión ( b b ) e pede concli qe clcl l dinci ene do pno e lo io qe clcl el ódlo del veco d ( ) ( ) ( ) b b EJEMPLO_ Clcl l dinci ene lo pno () (6). d() ( 6 ) ( ) 6 nidde Tbién e podín clcl l coodend del veco ódlo (6 ) () 6 lego hce nidde

4 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo. Ánglo ene do vecoe Ddo do vecoe ( ) v (v v ) e obiene el coeno del ánglo qe fon edine l v v epeión ( co v ) n olo depejndo ( co v ) en l epeión v v co( v). co v Qe en coodend eá ( ) EJEMPLO_ Clcl el ánglo qe fon lo vecoe ( ) v (). co ( v) 6 ( ) v Lego el ánglo qe fon v eá α º.. Pno edio de n egeno v v v Ddo do pno ( ) ( b b) e clcl el pno edio del egeno edine l epeión M b b EJEMPLO_ Clcl el pno edio del egeno fodo po lo pno () (8). 8 Sipleene plicndo l fól eá M ( ). Pno edio de n iánglo (RICENTRO) El pno edio de n iánglo clqie e RICENTRO (pno de coe de l edin qe on l ec qe nen n véice con el pno edio de ldo opeo). L coodend del biceno de n iánglo de véice ( ) ( b b) C ( c c) e obiene con l epeión C b c b c EJEMPLO_ Clcl l coodend del biceno del iánglo de véice () (8) C(8). Sipleene plicndo l fól eá 8 8 C ( ).- ECUCIONES DE L RECT P pode deein n ec e necei ene n pno n veco (bién podí obenee pi de do pno peo enonce oío no de lo pno el veco ). Ddo n pno ( ) n veco ( ) e pede d l ección de l ec qe deeinn de h iee fo diin cd n de l cle ecibe n nobe difeene en cd co l ección debe peii obene l olidd de lo pno qe fon pe de dich ec.

5 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo. Ección vecoil Ddo n pno ( ) n veco ( ) e peden obene l coodend de n pno clqie de l ec P () edine l igiene vecoil OP O P Ddo qe el veco iene l i diección qe el veco P e iene OP O Si dcio l vecoil coodend no qed l epeión () ( ) ( ) qe e l ección vecoil de l ec qe p po iene po veco de diección. EJEMPLO_ Ecibe l ección vecoil de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco (). L ección vecoil eá () ( ) () EJEMPLO_ Ecibe l coodend de do pno de l ec. P copende el fncionieno de e ección vo clcl l coodend de do pno de l ec p ello b con d vloe.- Si () ( ) () () ( ) () () C (7).- Si () ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( ) EJEMPLO_ Indic i el pno D (8) peenece l ec. Se de ii en l ección vecoil l coodend de n pno clqie () po l del pno qe qeeo copob i eá o no en l ec (8) eolve l eccione qe e genen cpliéndoe b p n único vlo de. (8) ( ) () (8) ( ) () (8) ( ) 8 Coo el vlo de e el io en b eccione e concle qe el pno D (8) peenece l ec (D ) i el vlo de hbie ido difeene enonce el pno no hbie peenecido l ec coo el pno E () () ( ) () () ( ) () () ( ). Eccione péic Piendo de l ección vecoil de depejo lo vloe de e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qedndo í l epeión de l ección péic de l ec EJEMPLO_ Ecibe l eccione péic de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco (). () ( ) () () ( ) () () ( ) EJEMPLO_ Clcl el vlo de p qe el pno F () peenezc l ec ( ). F 6 6 6

6 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo. Ección conin Piendo de l eccione péic de depejo lo vloe de en b e iglo Qedndo í l epeión de l ección conin de l ec EJEMPLO_ Ecibe l ección conin de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco ()..- Podeo hcelo diecene iendo l coodend del pno del veco ) (.- Podeo ecibi l ección vecoil o l péic d odo lo po h l ección conin () ( ) () () ( ). Ección Genel Piendo de l ección conin de hceo el podco czdo ognizo ( ) ( ) ( ) Qedndo í l epeión de l ección genel de l ec ( ) E epeión e ele ecibi de l fo C Copndo b epeione e iene C EJEMPLO_ Ecibe l ección genel de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco ()..ª FORM Piendo de l ección conin hceo el podco czdo odeno ( ) ( ).ª FORM Uilizo l eqivlenci C p obene el vlo de C ddo qe enonce l coodend del pno ( ) deben cpli l ección ( ) C C C C.ª FORM Uilizo l eqivlenci ) ( C p e fo e neceio pendee de eoi l eqivlenci plicd peo e l eno ilizd. 6

7 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo. Ección Eplíci L epeión de l ección eplíci hbilene ilizd e pendiene indic l inclinción de l ec ( > ceciene < dececiene) n donde ( ) n odend en el oigen e el pno de coe de l ec con el eje veicl (eje ) Piendo de l ección genel de depejo () C Tbién piendo de l ección conin de qed () peo e epeión no e deido obe odo l pe coepondiene l odend en el oigen pe pendel de eoi e deido efezo p el endiieno qe e obiene. Po no l epeión á ilizd e () n peo vece lleg h ell e coplejo el á cóodo iliz l epeión () eniendo en cen qe n C. EJEMPLO_ Ecibe l ección eplíci de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco ()..ª FORM Piendo de l ección genel depejo.ª FORM Piendo del pno ( ) del veco () eneo qe po no l ec qe bco e n p clcl n bí con ii l coodend del pno ( ) en l neio epeión ( ) n n n.6 Ección Pno-Pendiene L ección pno-pendiene ddo n pno ( ) l pendiene eá ( ) ( ) E ección e cndo e conocen el pno ( ) l pendiene o en defeco el veco ( ). EJEMPLO_ Ecibe l ección pno-pendiene de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco (). L pendiene eá po lo no l ección e ( ) ( ). P ve qe no no heo eqivocdo opendo en l epeión neio e debe lleg l ección genel ( ) ( ) ( ) ( ).7 Ección Segeni L ección egeni e iliz cndo e conocen lo pno de coe con lo eje coodendo de l ec P (p) Q (q). L ección qed de l igiene fo p q EJEMPLO_ Ecibe l ección pno-pendiene de l ec qe p po el pno ( ) ige l diección cd po el veco (). Debeo clcl lo pno de coe con lo eje de e ec. Too fo eplíci (i no l eneo l debeo clcl o clqie o fo qe no pei hll lo pno de coe con lo eje) do vloe ceo no coo oo e 7

8 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo Si Si Q P ( ) Po no l ección eá - qe e n epeión poco opeiv. l igl qe con l ección pno-pendiene opendo obe l epeión neio e debe lleg l epeión de l ección genel POSICIONES RELTIVS DE DOS RECTS Do ec en el plno peden peen e icione.- SECNTES.- PRLELS.- COINCIDENTES Dependiendo de l ección de l ec ilizd e pede dedci l poición eliv de do ec en el plno egún lo igiene cieio Cieio de l Ección Genel C Sen C Cieio de l Ección Eplíci n Sen n e cple e cple C C C C Cndo l ec on ecne e pide clcl el pno de coe. n n SECNTES SECNTES n n PRLELS COINCIDENTES PRLELS COINCIDENTES EJEMPLO_ Dd l ec ( ) ( ) l ec. Edi poición eliv i on ecne clcl el pno de coe. Vo eolve el poble plicndo lo do cieio..- CRITERIO DE L ECUCIÓN GENERL Debeo p l do ec fo genel ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 8

9 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo Lego SECNTES. ho debeo clcl el pno de coe eolviendo el ie. ( ) ( ) Solción.- CRITERIO DE L ECUCIÓN EXPLÍCIT Debeo p l do ec fo eplíci ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 Ddo qe lego SECNTES. ho debeo clcl el pno de coe eolviendo el ie. ( ) Solción

10 º ESO VECTORES RECTS DEPRTMENTO DE MTEMÁTICS. COPIRRI_Jlio Cé bd Mínez-Lo NOTS_ VECTORES RECTS * SÍMOLOS _ Iplic ó qiee deci ó pone qe l elción e cie de izqied deech. _ Iplic ó qiee deci ó pone qe l elción e cie de deech izqied. _ Doble iplic l elción e cie en bo enido. _ Diino _ Infinio _ poido _ Peenece _ No peenece / _ Tl qe Π _ Tl qe _ Eie _ No eie α _ lf β _ e γ _ G > _ Mo qe _ Mo o igl qe < _ Meno qe _ Meno o igl qe \ _ Meno de conjno _ Conjno vcío * PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES Llo i l veco c coodend on i () llo j l veco c on coodend j () de l fo qe cndo eneo n veco de coodend ( ) ignific qe i j. í el veco () e obiene edine l i j. Según l definición de podco ecl v v co( v).- i i i i co( i i ) i i co º.- j j j j co( j j) j j co º.- i j i j co( i j) i j co º.- j i j i co( j i ) j i co (-º ) e cple Y po no e obiene l epeión del podco ecl en coodend edine lo igiene cálclo. Sen do vecoe ( ) v (v v ) e podán epe coo i j v v i v j. S podco ecl eá v ( i j ) (v i v j ) i v i i v j j v i j v j v i i v i j v j i v j j v v v v v v v v v * PUNTOS NOTLES DE UN TRIÁNGULO.- CIRCUNCENTRO Pno de coe de l ediice (n ediiz e l ec pependicl de n ldo po pno edio). E el ceno de l cicnfeenci cicnci..- INCENTRO Pno de coe de l biecice (n bieciz e l ec qe divide n ánglo po l id). E el ceno de l cicnfeenci inci..- ORTOCENTRO Pno de coe de l l (n l e l ec pependicl dede n véice h ldo opeo o polongción). No cple nd picl..- RICENTRO Pno de coe de l edin (n edin e l ec qe ne n véice con el pno edio del ldo opeo). E el pno de eqilibio del iánglo. Se cple qe dede el biceno n véice h el doble de dinci qe del biceno l pno edio de ldo opeo. En n iánglo eqiláeo lo co pno coinciden.