Matemáticas II (preparación para la PAU) Tomo 1 (Análisis)

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1 Matemáticas II preparación para la PAU Tomo Análisis José Luis Lorente Aragón

2 A mi mujer, Ruth, y a mi hijo David. Muchas gracias al corrector, el otro José L. Lorente

3 ÍNDICE: Tema. Funciones reales. Definición y límites Tema. Funciones. Continuidad Tema. Funciones. Derivabilidad Tema 4. Aplicaciones de la derivada Tema 5. Representación de funciones Tema 6. Integrales indefinidas Tema 7. Integrales definidas. Áreas. Tema 8.Matrices Tema 9. Determinantes Tema. Sistemas de ecuaciones lineales. Tema.Espacios Vectoriales Tema.Ecuaciones de recta y plano Tema. Producto escalar, vectorial y mito. Aplicaciones BLOQUE I. ANÁLISIS BLOQUE II. ÁLGEBRA LINEAL BLOQUE III. GEOMETRÍA

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5 Unidad. Funciones. Definición y Límites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Funciones reales de variable real. Dominio de una función.. Dominios de las funciones más habituales. Composición de funciones. Propiedades. Función inversa 4. Límite de una función. Funciones convergentes 4.. Límites laterales. 4.. Propiedades de los límites 5. Distintos tipos de límites 5.. Límites infinitos cuando tiende a un número real asíntota vertical 5.. Límites finitos cuando tiende a infinito asíntota horizontal 5.. Límites infinitos cuando tiende a infinito 6. Cálculo de límites 6.. Operaciones con límites de funciones. Indeterminaciones 6.. Resolución de indeterminaciones del tipo 6.. Resolución de indeterminaciones del tipo 6.4. Resolución de indeterminaciones del tipo k 6.5. Resolución de indeterminaciones del tipo 6.6. Resolución de indeterminaciones del tipo 6.7. Resolución de indeterminaciones del tipo 6.8. Resolución de indeterminaciones del tipo y José Luis Lorente Aragón

6 Conteto con la P.A.U. Unidad. Funciones. Definición y Límites En los eámenes de la PAU por lo general hay dos problemas.5 puntos en cada una de las dos opciones del bloque de análisis. De esta forma el bloque de análisis es, de los tres, el más importante. Este tema es básico para el conocimiento y dominio de las funciones que en los temas siguientes abordaremos con detenimiento. Por lo general en el eamen de la PAU no hay problemas ni cuestiones específicamente relacionadas con este tema, si bien el no dominar los conceptos que se plantean en la unidad, hará dificultoso, por no decir imposible, realizar los ejercicios del eamen relacionados con este, bloque I. Nótese que con bastante asiduidad en el eamen de la PAU, hay una o dos cuestiones relacionadas con el cálculo de límites de funciones, si bien por lo general se resuelven a partir del teorema de L Hopital que veremos en el tema 4; no obstante en alguna ocasión estos límites se resuelven mediante los métodos de resolución que veremos en este tema, en especial los límites relacionados con el número e, las indeterminaciones eponenciales y los límites de funciones racionales. Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

7 Unidad. Funciones. Definición y Límites. Funciones reales de variable real. Dominio de una función Las funciones se utilizan en numerosos campos, tanto de las ciencias física, biología, química como en economía, etc. Definamos funciones reales de variable real: Definición: Una función real de variable real es una aplicación o correspondencia entre un subconjunto de R, llamado dominio de la función Domf,y otro subconjunto de R llamado conjunto imagen o recorrido de la función Imf, tal que a cada elemento de Domf le corresponda un único elemento de Imf. Una forma habitual de epresar las funciones es: f : R R y f Ejemplos de funciones: a yf - f : R R y f y f 6 Gráfica: Como puedes ver en la gráfica de la función, a cada valor del conjunto dominio eje OX, abscisas u horizontal le corresponde un único valor y del conjunto imagen eje OY, ordenado o vertical José Luis Lorente Aragón

8 Unidad. Funciones. Definición y Límites b Veamos la siguiente gráfica que representa las soluciones de la epresión y : En este caso la gráfica no representa una función, pues para cada elemento del dominio eje OX le corresponden dos valores. Por ejemplo, la solución a 4 es y e y-, que no es un valor único, como deberían de ser las funciones. En este caso tendremos que las soluciones de la ecuación de segundo grado vienen dadas por dos funciones: y rama encima del eje OX, e y- rama por debajo del eje OX. No es necesario para que no sea función que todo valor le correspondan dos o más valores, con que sólo haya un valor de con dos o más imágenes la epresión no será una función.. Dominio de las funciones más usuales En este apartado vamos a ver el estudio del dominio de las funciones reales de variable real más usuales y utilizadas: Funciones polinómicas: Son funciones del tipo yfa a a n n, es decir, f es un polinomio. El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, ya que para cualquier valor de, por ejemplo, la función tiene sentido siendo su imagen y a a a n n. Luego en estas funciones DomfR P Funciones racionales fraccionarias: Son del tipo yf, siendo P y Q Q polinomios. El dominio de la función son todos los número reales, ecepto aquellos que anulan el denominador soluciones de Q, ya que no se puede dividir entre cero. Así en estas funciones DomfR-{:Q} Ejemplo: 4 f DomfR-{,,-} Funciones irracionales: Son del tipo f n g ; dos casos: o Si n es impar el dominio de f es el mismo que el de g, pues las raíces impares de números negativos son valores reales. Así tenemos que DomfDomg 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

9 Unidad. Funciones. Definición y Límites o Si n es par el dominio de f es el conjunto de números del domino de g, tales que g, ya que las raíces pares de números negativos no son números reales. Así Domf{ Domg: g } Ejemplo: y f Domf{ / } Domf-,-] [-, Funciones eponenciales: son funciones del tipo ya g, su dominio es el mismo que el dominio del eponente g. Así en estas funciones DomgDomf Funciones logarítmicas: flog a g el dominio es el conjunto de puntos del dominio de g en los que se cumple g>, pues no eiste solución real para los logaritmos cuando el argumento es negativo o cero. Así en estas funciones Domg{ Domf:f>} Ejemplo: yf log el dominio de g es R-{}, veamos el dominio de f >: Domf -,-, José Luis Lorente Aragón 5

10 Unidad. Funciones. Definición y Límites. Composición de funciones. Propiedades Definición: Dadas dos funciones f y g tales que Imf Domg se llama función compuesta de g con f y se denota g º f, a la función definida de la siguiente forma: g º fg[f], es decir la imagen en g º f de es la imagen del punto f en g: g º f R f R g R f gf Ejemplos: f, gsen g º fsen ; f º gsen Propiedades:. Asociativa: h º g º fh º g º f. No conmutativa: en general la composición de funciones no es conmutativa g º f f º g, ver ejemplo anterior sen sen. Función Inversa Definición: La función inversa de una función f inyectiva no eisten dos valores y Domf tal que f f es otra función, que se denota por f -, tal que se cumple: f º f - f - ºfid Domf Dom f f Imf f - Ejemplos: a yf-4 -y/4 f -. fº f b yln ye Representación gráfica de las función inversa: la propiedad más importante de las funciones inversas es que la gráfica de f es simétrica a f - respecto a la bisectriz del primer cuadrante, y. 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

11 Unidad. Funciones. Definición y Límites Representación gráfica de los ejemplos: y 4 y y-4 ye y yln Ejercicio. Sean las siguientes funciones f, g, h siguientes composiciones: a g f h, b f g h, c h g f a g o f o h go f o h go f g b f - - o go h f o go h f o g f c ho go f ho go f ho g h h / 5 realizar las José Luis Lorente Aragón 7

12 Unidad. Funciones. Definición y Límites 4. Límite de una función. Funciones convergentes La idea intuitiva de límite de una función en un punto es fácil de comprender: es el valor hacia el que se aproima la función cuando la variable independiente,, se aproima a dicho punto. Ejemplo: sea f el límite de la función cuando tiende a es infinito, ya que cuanto más se aproima a entonces - más próimo a cero positivo, y por tanto la función se hace más grande /.. Definición: Matemáticamente una función f tiene límite L cuando tiende a un valor, y se denota f L si se cumple: f L ε > ; δ > : < δ f L < ε El significado de la definición es la siguiente: sea cual sea el entorno de yl, eiste un entorno de tal que en este entorno la función cae dentro del entorno de L. Veámoslo gráficamente: Lε L L-ε ε ε δ δ -δ δ Vamos a considerar dos casos diferentes: a f L y f L b f L pero f L Ejemplo: a f f f 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

13 Unidad. Funciones. Definición y Límites Veamos la gráfica de la función: b g si si g g Definición: Dada una función f, se dice que es convergente en si, eiste el límite f L. Para que f sea convergente en no es necesario que pertenezca al dominio, por ejemplo g si R-{} es decir g, Dom g Cuando se aproima a la función se acerca a y tanto antes de como después, aunque justo en la función no definida. José Luis Lorente Aragón 9

14 Unidad. Funciones. Definición y Límites 4. Límites laterales Eisten funciones definidas a trozos, son aquellas que están definidas de diferente manera a lo largo de distintos intervalos de la recta real. En estas funciones, cuando queremos estudiar el límite en los puntos donde cambia la epresión analítica, es necesario calcular los límites laterales, viéndose así la tendencia de la función a ambos lados del punto. Definición: Una función f tiene límite L cuando tiende a un valor por la izquierda, y se denota f L, si se cumple: f L ε > ; δ > : δ < < f L < ε Consiste en estudiar el comportamiento de la función en el entorno a la izquierda de. Definición: Una función f tiene límite L cuando tiende a un valor por la derecha, y se denota f L, si se cumple: f L ε > ; δ > : δ > > f L < ε Consiste en estudiar el comportamiento de la función en todo entorno a la derecha de. Teorema: El límite de una función f en eiste si, y sólo si, eisten los límites laterales y éstos coinciden: f f L f f L f L f L Este teorema será muy importante en los ejercicios de la PAU donde se nos pide estudiar la continuidad de funciones definidas a trozos. Además, como veremos en el apartado 6.4, es el método utilizado para resolver las indeterminaciones de los límites del tipo 4.. Propiedades de los límites:. Si una función es convergente en un punto ésta acotada en un entorno del punto.. Sean f y g dos funciones convergentes en, tal que f L g L'. Se cumplirá: y a fg es convergente en tal que f g L L' b f-g es convergente en tal que f g L L' c f g es convergente en tal que f g L L' d f/g es convergente en si L tal que f / g L / L' Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

15 Unidad. Funciones. Definición y Límites Ejercicio. Dada la función f con la siguiente gráfica, calcular los límites: a f n b f n con n Z f n n con n Z f n n c f n con n Z f n no eiste pues f f n n Ejercicio. Hallar el ite, si eiste, de f - cuando tiende a cero Siempre que tengamos una función con valor absoluto, la redefiniremos como una función definida a trozos. La forma de proceder es estudiar los intervalos donde el argumento del valor absoluto es negativo, cambiando en dichos intervalos el signo de dicho argumento y conservando el signo en el resto de la recta real: si si > si f si > Nota: el igual se puede poner en cualquiera de los dos trozos de la función pero sólo en uno ya que en ambos casos el valor de y es cero. f, f f Veamos la gráfica de la función: José Luis Lorente Aragón

16 Unidad. Funciones. Definición y Límites Ejercicio 4. Hallar el ite, si eiste de f - cuando tiende a y a - Definamos la función como una función a trozos. En este caso - es negativo en el intervalo -,. f f si si si < <, f f f, f f 5. Distintos tipos de límites 5. Límites infinitos cuando tiende a un número real asíntota vertical En este apartado vamos a estudiar el caso de funciones que cuanto más se aproima a un valor, bien por la izquierda, por la derecha o por los dos, la función se hace infinitamente grande tiende a o pequeña tiende a -. Cuando esto ocurre se dice que la función f tiene asíntota vertical en Veamos los siguientes casos: Definición: Una función f tiene ite cuando tiende a por la izquierda si cuando para todo valor K eiste un entorno a la izquierda de, tal que la función en este entorno es mayor que K. Matemáticamente f K > δ > : δ, f > K Ejemplo: f si si < f ya que cuanto más se aproime a por la izquierda entonces - más pequeño y positivo y por tanto f más grande. Es decir, cuando - entonces la función f. En cambio f Cuando esto ocurre la función se aproima a la asíntota vertical. Es decir cuando la función se aproima a por la izquierda, ésta se acerca infinitamente a la recta, que es paralela al eje OY Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

17 Unidad. Funciones. Definición y Límites José Luis Lorente Aragón Veamos la gráfica: Definición: Una función f tiene ite cuando tiende a por la derecha, si para todo valor K eiste un entorno a la derecha de tal que la función en este entorno es mayor que K. Matemáticamente K f K f > > >, : δ δ Definición: Una función f tiene ite al acercarse a, cuando para todo valor K eiste un entorno de tal que la función en este entorno es mayor que K. Es decir, tiende a por la izquierda y por la derecha. Matemáticamente K f K f > > >, : δ δ δ Ejemplo: f f f f Veamos la gráfica de la función y así podremos interpretar el significado del límite:

18 Unidad. Funciones. Definición y Límites De igual forma que hemos estudiado el límite a, el límite a - es equivalente, sólo hay que cambiar K por K f K < δ > :, δ f < K f K < δ > : δ, f < K f K < δ > : δ, δ f < K Muchas veces las funciones f tienden a por un lado de y a - por el otro lado de ; cuando esto ocurre el f no eiste, ya que para eistir debe coincidir los límites laterales. Ejemplo: f, Veamos la gráfica: noeiste Definición: La función f tiene asíntota vertical en cuando alguno de los dos límites laterales o los dos valen o -, es decir ocurre al menos uno de estos 4 límites: f f, f, f 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

19 Unidad. Funciones. Definición y Límites 5. Límites finitos cuando tiende a infinito asíntota horizontal En este apartado estudiamos el comportamiento de algunas funciones en las que, cuando la toma valores muy grandes o muy pequeños es decir muy negativos la función se aproima cada vez más a un valor L. Si esto ocurre se dice que f tiende a L cuando tiende a o a -. Veamos la definición: Definición: Una función f tiene por límite un número real L cuando tiende a, si se cumple: f L ε >, K > : > K f L < ε Interpretación gráfica de la definición: Para cada entorno de yl encontramos un valor de K, tal que para valores de mayores que K, la función y dentro de este entorno en yl. Definición: Una función f tiene por límite un número real L cuando tiende a -, si se cumple: f L ε >, K < : < K f L < ε Interpretación gráfica de la definición: Para cada entorno de yl encontramos un valor de -K, tal que para valores de menores que -K, la función y dentro de este entorno en yl. Cuando ocurre una de las dos condiciones, o las dos, la función tiene una asíntota horizontal yl. Es decir, cuando se hace infinitamente grande o infinitamente pequeño -, la función se acerca a la recta paralela al eje OX yl Ejemplo: y/ A.H. y José Luis Lorente Aragón 5

20 Unidad. Funciones. Definición y Límites Definición: Una función f tiene una asíntota horizontal en yy si se cumple una de las siguientes condiciones o las : a f y b f y 5. Límites infinitos cuando tiende a infinito En este último apartado estudiaremos 4 casos: a f b f c f d f a f K >, M R : > M f > K Ejemplo: K M b f K <, M R : > M f < K Ejemplo: y- M -K 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

21 Unidad. Funciones. Definición y Límites c f K >, M R : < M f > K Ejemplo: yf, K -M d f K <, M R : < M f < K Ejemplo: yf- -M - K 6. Cálculo de límites 6. Operaciones con límites. Indeterminaciones En el apartado 4. vimos las propiedades de los límites, y como se relacionan los límites de dos funciones cuando estas funciones se están sumando, multiplicando y dividiendo. Al haber límites cuyo valor es y -, tendremos que ver cómo operan los números con ±. Veámoslo: Suma y diferencia: k R k± ± José Luis Lorente Aragón 7

22 Unidad. Funciones. Definición y Límites Producto: k R k> k ejemplo -k R - -k< -k - ejemplo k R k> k - - ejemplo 4 -k R - -k< -k - ejemplo Cociente: k k R ejemplo ± k R ± ± ejemplo k -k R - ± m ejemplo k Eponente: 4 4 k R k> k ejemplo k R <k< k ejemplo k R k> k ejemplo 4 k R <k< k ejemplo Indeterminaciones: -, - ejemplo ± ejemplo 4 5 k ejemplo ± ejemplo ± ejemplo ± 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

23 Unidad. Funciones. Definición y Límites José Luis Lorente Aragón 9 6 ejemplo 7 ejemplo: 8 ejemplo: 9 ejemplo: Nota: a en el apartado 7, cuando epresamos el significa tendencia a de hecho. b en el apartado 8, es tendencia al. 6. Resolución de indeterminaciones del tipo Las situaciones más simples en las que aparece es al calcular los límites infinitos de fracciones polinómicas. Estas indeterminaciones se resuelven dividiendo el numerador y el denominador por la máima potencia de del denominador Ejemplos: a b c Conclusión: b b b a a a n n n n m m m m a n>m b b b a a a n n n n m m m m b m>n b b b a a a n n n n m m m m > < n m n m a a a a si si c mn b b b a a a n n n n n n n n n n a a

24 Unidad. Funciones. Definición y Límites Estos no son los únicos tipos de límites en donde aparece la indeterminación, veamos otros casos diferentes a m b n n m a b m k n k m n... a... b k > k > a m b n n m a b m log log n k m k n... a... b k > k > En estos límites hay que fijarse en la tendencia a de las funciones del numerador y del denominador. Así si la función del numerador crece más rápido se cumple que el ite será ± el signo depende de los signos de la fracción; por el contrario si la función que más rápido crece es la del denominador el límite será ; por último si ambas crecen de igual forma el ite será el cociente de los coeficientes de mayor grado de cada función. Ordenando las funciones de menor a mayor crecimiento a se cumple: <log <log < log.< 6.. Resolución de indeterminaciones del tipo / << < 5 < < < < Aparece este tipo de límites principalmente en casos diferentes: Cociente de funciones polinómicas: Se resuelven descomponiendo factorialmente numerador y denominador aplicando Ruffini con raíz la del límite, ya que es el valor donde sea anulan los dos polinomios, simplificando los factores comunes. Ejemplos: nota: cuando el límite tiende a en vez de Ruffini sacamos factor común, pues la raíz es cero, y por tanto el factor es. Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

25 Unidad. Funciones. Definición y Límites Cociente con funciones racionales: Se resuelven multiplicando numerador y denominado por la epresión conjugada de la que lleva raíz y aplicando Ruffini: Ejemplos: Resolución de indeterminaciones del tipo k Este límite puede ser, - o no eistir por ser los límites laterales diferentes uno y otro -. Se calcula a partir de los límites laterales: Ejemplo: k k k k no eiste el límite k k 6.5. Resolución de indeterminaciones del tipo Se resuelven transformándolas en indeterminaciones del tipo o. 6 9 Ejemplo: Resolución de indeterminaciones del tipo - En estos límites domina la función que crezca tienda a más rápido ver el final del apartado 6.. Las indeterminaciones de este tipo con funciones irracionales que tiendan a igual de rápido se resuelven multiplicando y dividiendo la función por el conjugado: José Luis Lorente Aragón

26 Unidad. Funciones. Definición y Límites 6.7. Resolución de indeterminaciones del tipo Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e. Se calculan de la siguiente forma: f f e g g f g g f e Ejemplo: 4 e e e e 6.8. Resolución de indeterminaciones del tipo y Estas indeterminaciones se resuelven aplicando logaritmos y transformándolas de este forma aplicando la regla del logaritmo loga b b loga en los anteriores límites: Veamos un ejemplo de cada tipo: Ejemplo : L ln L ln Como lnl- Le - Ejemplo : L ln L ln ln ln ln Como lnl Le Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

27 Unidad. Funciones. Definición y Límites Ejercicios Ejercicio 5. Calcula, en las siguientes funciones representadas, las siguientes cuestiones: a f-, f-, f, f4 no eiste 4 Domf b f, f, f, f no eiste, f no eiste f, f, f no eiste, f c g, g no eiste Domf d g, g, g, g, g, g, g no eiste, g no eiste Ejercicio 6: Calcular el límite: e e e e e no eiste e e Ejercicio 7: Calcula cuánto debe valer a para que la siguiente función, f, sea si convergente en : -a a si f a, f. El límite f eiste siempre que a. Ejercicio 8: Siendo f calcular el siguiente límite: 4 f f 4 José Luis Lorente Aragón

28 Unidad. Funciones. Definición y Límites 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU Ejercicio 9: Calcular los siguientes límites a 4, b 4 4, c eiste no ind d ind e 5, f 5 g, h i j k l 4 m n 6 o p 5 6 q no eiste r s t u no eiste v no eiste

29 Unidad. Funciones. Definición y Límites José Luis Lorente Aragón 5 w e e e y e e e e z e e aa ab ac 4 Ejercicios PAU Septiembre 4. Prueba B. C-4. Determínese el valor del parámetro a para que se verifique a. punto 4 a a a a a a a a a a a

30 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

31 Unidad. Funciones.Continuidad TEMA FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Definición de Continuidad. Tipos de discontinuidades. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas 4. Teoremas de continuidad 4.. Teorema de conservación del signo 4.. Teorema de Bolzano 4.. Teorema de Darbou José Luis Lorente Aragón 7

32 Conteto con la P.A.U. Unidad. Funciones.Continuidad Los problemas que aparecen en el eamen de la PAU relativos a este tema son de dos tipos:. Aplicaciones del teorema de Bolzano. Estudiar la continuidad de funciones En muchos de los eámenes de la PAU aparecen cuestiones donde tenemos que aplicar el teorema de Bolzano. La forma de plantearnos el problema en el eamen varía: Nos dan una ecuación y nos piden demostrar que eiste al menos una solución pueden darnos o no un intervalo para tal ecuación Nos dan una función y nos piden demostrar que esa función toma un valor determinado pueden darnos o no un intervalo Nos dan dos funciones f y g, nos piden demostrar que estas funciones se cortan pueden darnos o no un intervalo, es decir fg. Todos estos problemas se resuelven operando con las igualdades de forma que obtengamos una epresión de la forma F, a dicha función, F, tendremos que aplicar Bolzano, bien en el intervalo que nos dan o buscar nosotros el intervalo. En alguna de estas cuestiones se nos pide demostrar que la solución es única, para lo cual debemos probar que en ese intervalo la función es sólo creciente o decreciente, para lo cual necesitamos la derivada de la función y aplicar su relación con el crecimiento que veremos en el tema 4. Otro problema típico de selectividad es el estudio de la continuidad y derivabilidad de una función generalmente definida a trozos o un valor absoluto, o bien determinar el valor de unos parámetros para que la función sea continua o derivable. En este tema veremos cómo estudiar la continuidad de tales funciones, la derivabilidad se verá en el tema siguiente. 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

33 Unidad. Funciones.Continuidad. Definición de Continuidad Veamos la definición de la continuidad: Definición: Una función f es continua en un punto si en dicho punto se cumplen las siguientes tres condiciones:. Eiste f. La función definida en, es decir Domf. Los dos valores anteriores coinciden: f f. Ejemplo: Domf-, [5, Continua en todos los puntos del dominio menos en a - f f b f no eiste pues los límites laterales son distintos c 5 f no eiste pues no eiste el límite por la izquierda 5 Domg-,,],, Continua en todos los puntos del dominio menos en a g no eiste pues los límites laterales son distintos b g no eiste pues no eiste el límite por la derecha c g pero Domg José Luis Lorente Aragón 9

34 Unidad. Funciones.Continuidad Definición: Una función f es continua en un intervalo a,b si en todos los puntos del intervalo es continua. Esto ocurre cuando al dibujar la gráfica no levantamos el boli de la hoja para dibujarla En el ejemplo anterior f continua en -,- -,, 5,. La función g en -,,,,.. Tipos de discontinuidades Definición: Una función f es discontinua en un punto si no es continua en dicho punto. Eisten dos tipos de discontinuidades: a Discontinuidad evitable b Discontinuidad no evitable Discontinuidad evitable: Una función f presenta una discontinuidad evitable en el punto si se cumple las siguientes condiciones:. El límite de la función en eiste,. El límite no coincide con f o bien la función no está definida en es decir Domf Ejemplos: f 4 f. Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en, haciendo que en este punto la función tome el mismo valor que el límite es decir f4 4 Así la función f si si es continua pues f 4 f 4 si Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

35 Unidad. Funciones.Continuidad g g pero Dong. Esta discontinuidad se evitaría si redefinimos la e función tal que en esta valga lo mismo que el límite: g / si si Discontinuidad no evitable: Es aquella en la que el límite en el punto o no eiste o es infinito. Pueden ser a su vez de tipos: Salto finito en : los límites laterales no coinciden f f José Luis Lorente Aragón

36 Unidad. Funciones.Continuidad Salto infinito en : cuando los dos límites laterales en o al menos uno de ellos es o -.. Continuidad de las funciones elementales. Operaciones con funciones continuas. Las funciones elementales, por lo general, son continuas en todos los puntos del dominio. Las discontinuidades más importantes aparecen en funciones definidas a trozos discontinuidades evitables o de salto finito, y en funciones con denominador en el valor donde se anula éste discontinuidad de salto infinito. Operaciones de funciones continuas: Sean f y g funciones continuas en Las funciones suma y resta f ± g son continua en La función producto f g es continua en La función división f/g es continua en si g 4 Si g es continua en y f es continua en g entonces la función compuesta f g es continua en. 4. Teoremas de Continuidad 4.. Teorema de conservación del signo Teorema de conservación del signo: si una función f es continua en el punto de manera que f, se cumple que en un entorno del punto la función conserva el signo, Esto es si f > se cumple que en un entorno de la función positiva, y si f < entonces en un entorno de la función es negativa. Veamos un ejemplo gráfico: Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

37 Unidad. Funciones.Continuidad 4. Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en un intervalo [a,b] tal que fa y fb tienen distinto signo fa fb<, entonces eiste al menos un punto c a,b tal que fc. Veámoslo gráficamente: a c b a c c c b Vemos que el teorema de Bolzano nos asegura al menos una valor c tal que fc, pero como vemos puede ocurrir que este valor de no sea único. Para asegurar que sólo es único debemos además de aplicar Bolzano ver que la función en el intervalo a,b es siempre creciente o decreciente José Luis Lorente Aragón

38 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio: encontrar un intervalo donde la función f decir f corte al eje, es Tenemos que la función es continua en R-{}. Busquemos un intervalo, que no contenga, tal que el signo de sus etremos sea diferente. f /> f-/< Así la función f cumple Bolzano en [,]: - es continua en este intervalo - f f< Luego c, : fc. Veamos la gráfica de la función: 4. Teorema de Darbou El teorema de Darbou es un corolario del teorema de Bolzano: Teorema de Darbou: Si f es una función continua en un intervalo [a,b], se cumple que para todo valor M [fa, fb] eiste c a,b tal que fcm. Demostración: sea gf-m, esta función cumple Bolzano en [a,b]: es continua en [a,b] al serlo f y ga gb<, y por lo tanto, eiste al menos un valor c: gcfc-m fcm. fb Mfc fa a c b 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

39 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio : Decir un intervalo de donde la función f - valga 5. Esta función es continua en R, luego podemos aplicar el teorema de Darbou. Tenemos que buscar un intervalo [a,b] tal que 5 esté comprendido entre fa y fb. Sea [,] se cumple f y f9 luego como 5 f,f eiste c, tal que fc5. También podemos hacer este problema aplicando Bolzano: Si f5 entonces Llamando g --, veamos que cumple Bolzano en [,]: - Es continua en este intervalo - g-, g4, luego g g< Eiste c, donde gc, y por tanto fc-5, y por tanto fc5 José Luis Lorente Aragón 5

40 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios Ejercicio : Estudia la continuidad de las siguientes funciones 5 a f 5 si si El valor absoluto puede dividirse en dos partes: cuando lo que está dentro del valor es negativo este cambia de signo, y si es positivo no se cambia. f 5 si < 6 5 si 5 5 si > 4 o f o f 4 f 6 o f es por tanto continua en R-{} si si si < > no eiste, discontinuidad de salto finito b g si si > Es una función definida a trozos, donde cada uno de ellos es un polinomio, que son continuos en R; El único punto que tenemos que estudiar la continuidad es en, donde g cambia de epresión analítica: g g. Luego g continua en R. c h 9 6 si si Es una función definida a trozos, uno de ellos es una fracción algebraica, así que en los puntos donde se anule el denominador puede no ser continua. Como coincide el punto donde se anula el denominador con el cambio de epresión analítica sólo hay que estudiar la continuidad en este punto. 9 h La función h es continua en R 6f6 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

41 Unidad. Funciones.Continuidad d l si si > Es una función definida a trozos, en cada uno de ello la función es un polinomio, así que el único punto donde hay que estudiar la continuidad es en -, allí donde cambia de epresión analítica: l salto finito. l l De esta forma l continua en R-{-}. No eiste, luego no es continua en -, de Ejercicio 4: Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en todo R a f sen k cos si si π / > π / Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son epresiones trigonométricas, continuas en R. Luego el único punto donde puede eistir discontinuidad es en π/, allí donde la función cambia de epresión analítica. Veamos si f es continua en π/ f k cos k ` π π f π f sen π π El límite eiste si los límites laterales son iguales, esto ocurre si k. Además cuando k se cumple fπ/-,y por tanto la función es continua en π/ De esta forma la función es continua en R si k b g k si si Es una función definida a trozos, en uno de ellos la función es una fracción algebraica que puede no ser continua en los puntos donde se anual el denominador. Como este punto coincide con el punto donde la función cambia de epresión analítica, es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad de g. 4 4 g el límite no eiste, así que 4 independientemente del valor de k la función g no es continua en José Luis Lorente Aragón 7

42 Unidad. Funciones.Continuidad c k k si < si si > Como está definido para valores negativos <, es equivalente a sustituir por : k k si < si si > Es una función definida a trozos; en cada uno de ellos las funciones son polinomios, y estos son continuos en R. El único punto donde puede presentar discontinuidad es en, allí donde la función cambia de epresión analítica. k Para que sea continua ha de cumplir que k k. Por tanto k será continua si kk k e si > m k si 4 Es una función definida a trozos, en cada uno de ellos las funciones son fracciones algebraicas, que no son continuas en los puntos donde se anulan el denominador. En la primera de ellas ocurre en, pero como esa epresión analítica sólo eiste para >, nuca tomará ese valor. La segunda se anula para 4, pero como la epresión definida para nunca tomará ese valor. Así que sólo hay que estudiar la continuidad en, donde la función cambia de epresión analítica: k 6 k m 4 El límite eiste si k7. Además si k7 m y por tanto continua en y en todo R. Ejercicio 5: Hallar el dominio y la continuidad de las siguientes funciones: a f -65 El dominio de la función f -65 y su continuidad es todo R, ya que el valor absoluto de f es continuo en los mismos puntos en los que sea continua la función -65, que es un polinomio. 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

43 Unidad. Funciones.Continuidad b g 4 4. El dominio de una raíz cuadrada son todos los puntos donde el radicando es positivo o cero. Como g está definida a partir de suma la de tres funciones, el dominio será la intersección de los tres dominios. Veamos uno a uno por separado: 4 Dom[-4, 4 Dom-,4] DomR Domg [-4, -,4] R[-4,4] En los puntos del dominio la función es continua menos en -4 y 4 De esta manera g continua en -4,4 En -4 no es continua pues En 4 no es continua pues g no eiste 4 g no eiste 4 Ejercicio 6: Determinar los parámetros a y b para que la siguiente función sea continua en todo R e si f a b si < ln si Es una función definida a trozos, y en cada trozo la función es continua en su dominio de definición, ya que el único que no es continua en todo R es ln, pero como está definida para en este intervalo es continua. Tendremos que ver la continuidad en y para asegurar que la función f continua en todo R. Continuidad en f e f f a b b El límite eiste si b, además para este valor de b f y por tanto la función será continua Continuidad en f ln f El límite eiste si a, f a a además para este valor fa y por tanto la función será continua Si a y b la función será continua en R José Luis Lorente Aragón 9

44 Ejercicio 7: Sean las funciones,, Unidad. Funciones.Continuidad,, estudiar la continuidad de fg, f g, f/g Estudiemos la continuidad de las funciones f y g Fácilmente se puede comprobar que f es continua en todo el dominio de definición [,, y g continua en todos los puntos de definición menos en, donde los límites laterales no coinciden, es decir en [,,. a fg por las propiedades de continuidad será continua en [, [,, [,, b f g por las propiedades de continuidad será continua en [, [,, [,, c f/g por las propiedades de continuidad será continua en [, [,, [,,, ya que g no se anula para ningún valor de y Ejercicio 8: Hallar y clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones a f 4 Será continua en R menos en los puntos donde se anula el denominador es decir y, por tanto, Domf. Veamos el límite en estos puntos para discernir el tipo de discontinuidad. En En 4 4 salto inf inito en evitable b g si e si > Tanto - como e - son continuas para todo R, luego la única posible discontinuidad puede ocurrir en. g e g g Discontinuidad de salto finito. 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

45 Unidad. Funciones.Continuidad c f e f e si si f Salto finito Ejercicio9: Estudiar la continuidad de f ln sen π f si si si si < < < 4 4 Función definida a trozos y en cada uno de ellos la función es continua en su dominio de definición, ln- es continua si <. Veamos la continuidad en los puntos donde cambia la epresión analítica: En - f sen π f f ln Discontinua de salto finito En En 4 f f f sen π f f 4 f 4 Continua en Discontinua de salto finito Ejercicio : Demuestra: a s encos tiene solución en [-π,π]: Definimos f sencos- tal que. Es continua en R y por tanto en [-π,π].. f-π-π>, fπ--π<. De esta forma cumple Bolzano c -π,π: fc, es decir, la ecuación tiene solución en este entorno. b sene - cos en algún valor de. Definimos fe - cos-sen tal que. es continua en R.. Tomamos el intervalo [,π/] f> fπ/-<. Cumple Bolzano c,π/: fc, es decir la ecuación solución en este entorno. Ejercicio : La función cotg tiene distintos signos en los etremos del intervalo [π/4, 5π/4] y sin embargo no corta el eje. Entonces contradice esto Bolzano? No contradice Bolzano pues cotag no es continua en π [π/4, 5π/4] José Luis Lorente Aragón 4

46 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicio : Demostrar f -8 corta al eje OX en,. se puede decir lo mismo de? f cumple:. Continua en,. f>, f-6< Luego cumple Bolzano c,: fc No podemos decir lo mismo de, pues en, no es continua. Ejercicio : Sea f una función que cumple f-< y f> Es siempre cierto que eiste un valor c en -, tal que fc Si f es continua en el intervalo [-,] podemos asegurar que se cumple dicha afirmación por el teorema de Bolzano. Sino no es así no podemos asegurar tal afirmación. Lo cual no contradice que alguna función discontinua en donde fa fb< esta corte al eje en a,b Ejercicio 4: Estudiar el dominio y discontinuidad de fln/ Pasos: Dominio de / R-{} Al ser un logaritmo / >: Como siempre positivo tenemos que ver cuándo >, esto ocurre en el intervalo -, - - De esta forma el dominio será -, menos el punto Domf-,,. En todos los puntos del dominio la función es continua pues, el límite eiste y coincide con el valor de la función en el punto. Ejercicio 5: Hallar a y b para que f cumpla Bolzano en [-π,π]. Hallar c que cumple Bolzano cos f a b si π si < < si π Para que cumpla Bolzano tenemos que obligar a la función a que sea continua en [-π,π], y por tanto en y 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

47 Unidad. Funciones.Continuidad En : f cos f f a a a En : f f b f b b Si a y b la función es continua en [-π,π], veamos ahora que cumple la segunda condición: f-π-< fπ/π> Luego cumple Bolzano c -π,π: fc Busquemos el valor c: a Veamos si c [-π,] cosc c-π/ b Veamos si c, no solución c Veamos si c [,π]/ no solución Ejercicio 6: Demuestra que la ecuación π e tiene solución en,, lo cumple también φ e? a π e solución en, definimos fπ -e, se cumple: a Continua en [,] b Además f-e< y fπ-e> Al cumplir Bolzano c:,: fc, y por tanto la ecuación tiene solución en, b φ e solución en, definimos f φ -e, se cumple: a continua en [,] b pero f-e< y f φ-e< Luego no cumple Bolzano y no podemos asegurar que la ecuación tenga solución. José Luis Lorente Aragón 4

48 Unidad. Funciones.Continuidad Ejercicios de la P.A.U. Junio de 4.Prueba A C-: Demuéstrese que las gráficas de las funciones fe y g se cortan en un punto si > Si se cortan las dos funciones cumplen entonces que fg. Definimos hf-ge -/. Si h entonces fg y las funciones se cortarán. Veamos que h cumple Bolzano, y por tanto h: a Es continua para > no se anula el denominador. b Busquemos un intervalo donde cumpla Bolzano, por ejemplo [.,]: h.e. -< ; he-> Luego cumple Bolzano c.,: hc, y por tanto fcgc, cortándose en c estas dos funciones Junio de 5. Prueba B C-.- Estúdiese, según los valores de los números reales α y β, la continuidad de la función f definida por f α e β / si. si α La función / es continua en R-{}, pues e / nunca se anula. El único problema e está en, al anularse el denominador del eponente. Por otro lado en la función cambia de epresión analítica, luego es el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad: Continua en si f α α f / e e f β α α / / ind e e α α / / e e α / α Para que eista el límite α. Si α f. Por otro lado para ser continua f f β Luego si β y α la función será continua en, y por lo tanto en todo R. 44 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

49 Unidad. Funciones.Continuidad Septiembre de 6. Prueba A PR. b Pruébese que la ecuación e tiene alguna solución en,] Definamos la función f-e ; si demostramos que f en -,], entonces se cumplirá la ecuación. Para esto apliquemos Bolzano: a f es continua en R y por tanto continua en todo el intervalo b busquemos el intervalo [a,b] comprendido en,] y tal que fa fb<. Por ejemplo [.5, ]: f-e<, f.5.5-e.5 >. Así f cumplirá Bolzano en [.5, ], y por lo tanto, eiste al menos un valor c.5,, luego c -,] tal que fc, y por tanto se cumple la ecuación. Junio de 7.Prueba A C-4. Demostrar que las curva fsen y g/ se cortan en algún punto del intervalo π, 5π/ Si f y g se cortan en algún punto se cumple que fg, es decir sen/. Para poder aplicar Bolzano pasamos / al otro miembro sen. De esta 44 forma resolver la ecuación es lo mismo que ver que h. Apliquemos Bolzano a h en el intervalo marcado π,5π/: a Continua en [π,5π/], ya que h es continua en todos los reales menos en el, y [π,5π/]. b hπsenπ-/π-/π<, h5π/sen5π/-/5π/-/5π> Luego cumple Bolzano, y por lo tanto, eiste un punto c π,5π/ tal que hc, y por ello en este punto se cumple la igualdad fcgc, cortándose las dos curvas h Junio de 7.Prueba B PR- b Demostrar que eiste algún número real c tal que ce -c 4. Si modificamos la igualdad 4 e 4 4 tendremos que la ecuación solución si f eiste un punto c tal que f,es decir si podemos aplica Bolzano: a Continua en R, luego podemos tomar cualquier intervalo para aplicar Bolzano b Busquemos el intervalo f-4<. Si tomamos 4, como e - siempre es positivo entonces f44e -4-4>. Luego cumple Bolzano en [.4], y por lo tanto, eiste c,4 tal que fc, y entonces ce -c 4 solución en,4. José Luis Lorente Aragón 45

50 Unidad. Funciones.Continuidad C. Hallar a y b para que f continua en todo R a ln si > f b si sen π si < sen π La función ln es continua si > y es continua en <, pues no toma el valor. De esta forma, en cada trozo las funciones son continuas en los dominios de definición. Por esta razón sólo hay que estudiar la continuidad en Continuidad en. Será continua si f f f * π f el límite eiste si aπ y valdrá f π f * a * Calcularemos estos límites en el tema 4 Teorema de L Hopital fb, como f f bπ De esta forma si aπ y bπ la función es continua en, y por lo tanto en todo R. 46 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

51 Unidad. Funciones.Continuidad José Luis Lorente Aragón 47

52 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

53 Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación media.. Definición de derivada en un punto.. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad y derivabilidad.. Función derivada. Derivadas de orden superior... Función derivada.. Derivadas de orden superior 4. Derivabilidad de las funciones elementales. Operaciones con derivadas 4.. Derivadas de la función elementales 4.. Operaciones con derivadas 4.. Derivación logarítmica José Luis Lorente Aragón 49

54 Unidad. Funciones.Derivabilidad Conteto con la P.A.U. El saber derivar es básico a la hora de realizar el eamen de la PAU. En este tema se recuerda como se deriva y se realizan diferentes ejercicios, pero en caso de resultar insuficientes se recomienda que se repase la derivada en cualquier libro de º de Bachiller. En el eamen de selectividad no suele haber ningún ejercicio concreto de derivar una función, si bien la derivada aparece en multitud de ocasiones. Algunos ejemplos de ejercicios en los que hay que saber derivar son en los problemas de representación y estudio de funciones, los de estudiar la continuidad y derivabilidad de una función, los límites que se calculan con L Hopital Problemas más concretos en el eamen de la PAU relacionados con el tema son los siguientes: Estudio de la continuidad y derivabilidad de una función, o cálculo de algún parámetro para que la función sea continua o derivable. Estudiar la derivabilidad de una función en un punto por la definición de derivada. Cálculo de rectas tangentes y/o normales a una función en un punto. En este tema abordaremos estos problemas para que el alumno se encuentre familiarizado con ellos el día del eamen. 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

55 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación. Tasa de variación Media Definición: se llama tasa de variación media de una función f entre los valores y al cociente entre el incremento que eperimenta la variable dependiente y, y la variable independiente : f T vm,,f f, Interpretemos gráficamente su significado: Ejemplo: f - f f f f f 4 f 5 Veamos la tasa de variación media entre y 4: 4 4 Para interpretar f,,4 fijémonos en el triángulo rectángulo rojo de la imagen, donde los catetos son f -f y -. De esta forma catetos, y así f,,f y,f con el eje, y por tanto f, es el cociente de los dos es la tangente del ángulo que forma la recta que une los puntos f, es la pendiente de dicha recta José Luis Lorente Aragón 5

56 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Definición de derivada de una función en un punto Definición: la derivada de una función f en el punto, se denota como f, es la tasa de variación instantánea, es decir: f ' f f f h f h h Generalmente suele ser más fácil calcular esta derivada a partir de la segunda igualdad de la definición. Una función es derivable en un punto cuando el límite eiste, aunque este sea o -. Ejemplos: a f en f h f ' h h f h La función f es derivable en y f 4 b f - si > en si h 5 h 4h h 4 4 h h f f h f h h h h h h h h f - f h f h h h h h h h h No eiste el límite por tanto la función f no es derivable en. Nota: las funciones valor absoluto no son derivables en los puntos de donde se anulan. En estos puntos las derivadas laterales son de distinto signo.. Interpretación geométrica de la derivada En el apartado. vimos que la tasa de variación media se interpretaba como la pendiente de la recta que unía los dos puntos. La derivada es el límite de la variación media cuando los puntos se acercan infinitamente, veamos esto de forma gráfica en h h derivada 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

57 Unidad. Funciones. Derivabilidad Como vemos en la gráfica anterior si nos acercamos infinitamente al punto la recta que une los dos puntos tiende a ser la recta tangente a la función. Por tanto la derivada en de f, es decir f, es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, f. α mtgαf Conclusión: f tgαm recta tangente en o Conociendo la pendiente de la recta y el punto por el que pasa,f es fácil calcular la ecuación de la recta tangente y normal la pendiente es -/m-/f aplicando la ecuación punto pendiente yy m - : Ecuación de la recta tangente a la función f en : y-f f - Ecuación de la recta normal a la función f en : y-f - f ' Ejemplo: calcular la recta tangente y normal a la curva yf en el punto de abscisa f h f ' h h f h h m recta tang f 5 y el punto es P,f P,4 recta tangente y-ff - h 4 h h h y-45- y5- recta normal y-f - y-4 - y f ' h h 5 5 h h José Luis Lorente Aragón 5

58 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Continuidad y derivabilidad Teorema: toda función f derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no siempre es cierto para toda función. Ejemplo: como vimos la función f era derivable en eiste el límite f h f luego es continua en h h Nota: Todas las funciones polinómicas, son continuas y derivables en todos los puntos. Veamos otros dos ejemplos donde el recíproco al teorema no es cierto, son continuas y no derivables: a f - si > en es continua f f si en no es derivable ver página 5 b g en es continua pero no es derivable : f h f h h h h h h h h h h h / h h h h / h h h h Veamos la representación gráfica de estas dos funciones no derivables, y entandamos su interpretación gráfica: a f - 54 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

59 Unidad. Funciones. Derivabilidad b g Gráficamente vemos que en los puntos donde la función no es derivable eiste un pico o punto anguloso que nos indica el cambio de pendiente de la recta tangente en dichos puntos límites laterales son diferentes. Ejercicio : Sea la función f f sea continua y derivable. calcular a y b para que La función está definida a trozos pero tanto sen como ab son continuas y derivables en todos los puntos, luego punto donde hay que estudiar la continuidad y derivabilidad es donde la función cambia de epresión algebraica a Continuidad: f b continua si b f sen Luego si b independientemente del valor de a la función es continua b Derivabilidad f h f h ah a h h h h derivable si a f h f sen h L' Hopital h h h h José Luis Lorente Aragón 55

60 Unidad. Funciones.Derivabilidad Otro método más sencillo: cuando la función es continua podemos derivarla, veremos cómo se deriva en el apartado 4. : cos si f ' a si < > Nota: el valor para de f no se incluye hasta que se compruebe que la función es derivable. La función será derivable en el punto si eiste el límite f ', aunque este sea infinito. f ' a derivable si ' cos a f. Función derivada. Derivadas sucesivas. Función derivada Cuando la función f es continua podemos obtener su función derivada f. La función derivada, f, para cada valor de nos da el valor de la derivada en ese punto, es decir la pendiente de la recta tangente en dicho punto. f : R R f f ': R R f ' A la función f se le llama función derivada de f, tal que si somos capaces de calcular esta función la derivada de f en un punto es f, es decir la imagen de f en el punto. A partir de definición de derivada la función f se obtiene aplicando la definición de derivada para una genérica: f ' h f h h f Calculo de alguna función derivada: f - f h f h f ' h h h h h h h h h h fk cte f h f k k f ' h h h h h h Si bien para el cálculo de la función derivada veremos en el siguiente apartado la tabla de derivadas y las reglas necesarias para realizar cualquier tipo de derivada. 56 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

61 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Derivadas de orden superior En todos los puntos del dominio de f donde f es derivable podemos considerar otra función f, que asigna a cada punto de el valor de la derivada de f en este punto. f '': R R f '' f '' h f ' h f h La función así definida recibe el nombre de segunda derivada de f, f. De forma análoga podemos definir la tercera derivada f, cuarta f IV, etc. 4. Derivada de funciones elementales. Operaciones con derivadas 4. Derivadas de las funciones elementales Se puede calcular a partir de la definición vista en el apartado anterior la función derivada de las funciones elementales. Veamos en la siguiente tabla la derivada de algunas funciones elementales. Derivada elementales Función Función derivada Ejemplo fk f f-e f f n f n n- f f ' fe f e fa f a lna f5 f 5 ln5 fln f / flog a f ln a flog f ln fsen f cos fcos f -sen ftg f tg cos farc sen f farc cos f farc tg f José Luis Lorente Aragón 57

62 Unidad. Funciones.Derivabilidad 4. Operaciones con derivadas Aplicamos la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtienen las reglas que permiten derivar funciones que son resultado de operar con otras funciones derivables. Para ver las propiedades de las derivadas veamos otra tabla: Propiedades de las derivadas Propiedad Suma: fg f g Ejemplo -cose --sene Constante por una función: kf kf 5arc sen 5 Producto: f g f gf g 5 sen 5sen5 cos Cociente: f g ' f ' g f g' g 7 ln ' 7ln 7 ln 7 ln 7 ln Función compuesta regla de la cadena: g º f gf g f f ' cos cos e e cos sen A partir de las derivadas elementales y de las propiedades de las derivadas es sencillo calcular la derivada de toda función, sólo hay que aplicar las propiedades con orden. Ejercicio : calcular las derivadas siguientes a D[ - 5 ] b D[ / ] / c D[ 4 ]4 4 ln4 d D[e 4 ]4 e e 8 e e e D[ln- 4 4 ] f D 6 g D / Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

63 h D [4 4 ] Unidad. Funciones. Derivabilidad i D[sen 4 ]4 sen cos j D[sen 4 ]cos 4 4 k D l D[sen ]sen cos 4 sen cos m D [ arc sen ] n D o D [ arc tg ] p D ln q D [ sen cos ] sen cos cos sen cos sen 6 sen cos cos 6 sen cos sen r D [ arc sen tg ] tg tg 4. Derivación logarítmica Cuando las funciones en forma de eponente, donde tanto la base como el eponente son funciones, fg h. El cálculo de la derivada debe de hacerse siguiendo el siguiente procedimiento usaremos el ejemplo f7 cos. Tomamos logaritmos en ambos lados: lnfh lng Ejemplo: lnfcos ln7. Derivamos a ambos lados de la igualdad: Ejemplo: f ' h g' h' ln g f g f ' cos 4 cos sen ln7 sen ln7 f 7 José Luis Lorente Aragón 59

64 Unidad. Funciones.Derivabilidad h g'. Despejamos f : f ' f h' ln g g Ejemplo: f sen ln7 Ejercicio : calcular la derivada: a D[ ] f. lnf ln f '. ln f. f ln b D[ ln ] f ln. lnfln lnln f '. ln f ln. f ln cos 7 7 cos 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

65 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios del tema Ejercicio 4: Estudiar la derivabilidad de. La función es continua en R, pues es una raíz cúbica que eiste para números negativos. Veamos la derivabilidad: f / Se anula el denominador en y, estudiemos la derivabilidad en estos puntos f 9 6 f ' f ' f ' f 9 6 f ' es decir la tangente es una recta paralela al eje OY. No derivable derivable m-, Nota: una función derivable en un punto si eiste la derivada, aunque esta sea infinito. Veamos la gráfica para interpretar los resultados en y José Luis Lorente Aragón 6

66 Unidad. Funciones.Derivabilidad Ejercicio 5: estudiar la derivabilidad de Veamos primero la continuidad: / g e Continua / e / e Veamos ahora la derivabilidad por la definición: g h g h g / e h h h h No es derivable en Veamos la gráfica: h h e / h / en. h e h e / h / h Ejercicio 6: Deriva la función f lncos e sen f e e tg e cos Ejercicio 7: Calcula un punto de la función f 5 en la que la recta tangente sea paralela a la recta y- Si la rectas son paralelas misma pendiente, luego la recta tangente tiene pendiente m, por tanto buscamos el punto donde f f P,f,7 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

67 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio 8: Hallar b y c para que f sea continua y derivable en, f b c si si <. Continuidad: las funciones definidas en los dos trozos son polinomios y por tanto el único punto hay que estudiar la continuidad es en. f f f b c b c. Derivabilidad: si b y c cumplen la anterior ecuación f continua y podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio f ' 4 b si < si < < Volvemos a tener dos polinomios, así que el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad es en : f ' 9 f ' f 4 b Resolviendo el sistema b-49 y c9 9 4 b Ejercicio 9: Dada la función f a hallar a, b para que f sea continua. b Calcular los puntos donde es derivable si f a b si < si > a Las funciones y son continuas en R. La función a b será continua en,] dependiendo de a y b. Veamos los valores de a y b para que sea continua en y f b b 4 f f a f a 4 Para estos valores de a y b 4 es continua en,] ya que 4 en este intervalo es mayor de cero. Luego si a- b4 la función f continua en R, y podemos calcular f José Luis Lorente Aragón 6

68 Unidad. Funciones.Derivabilidad b f 4 Derivabilidad en Derivabilidad en si < si < < si > f ' f ' f ' No derivable f ' f ' 4 f ' f ' f ' f ' derivable en f ' Luego f derivable en R-{} Ejercicio : Calcular los puntos donde la recta tangente a y --6 paralela a la recta y6-5 Si es paralela tienen misma pendiente, es decir m6. Como la pendiente de la recta tangente es f se tiene que cumplir que f 6 f 6 6-6, -. P,f,-8 P -,f--,57 Ejercicio : Dada la función f -4 encontrar los puntos donde la recta tangente a esta función sea paralela a la recta que corta la curva en, 4 Si son paralelas tienen la misma pendiente, calculemos las dos pendientes f 4 f Pendiente recta secante en, 4 m 4 Pendiente rectas tangentes f -4 Luego -4 5/ P5/,-/4 Ejercicio : Hallar los valores de b y c para que la recta tangente a la curva con función y bc en el punto P, sea perpendicular a y-.5 Primera condición la curva pasa por P, es decir f 9bc Segunda condición al ser perpendicular la pendiente de la recta tangente será la inversa con signo menos m-/-.5 para la recta tangente en f 6b b-4,c 64 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

69 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de f/, y calcular f a f es continua en todo R pues el denominador no se anula y la función valor absoluta es continua en R. Calculemos la derivada, para esto primero ponemos la función definida a trozos conforme a los valores del que cambian el signo de : f si si > f si si < > El único punto donde hay que estudiar la derivabilidad es en, donde cambia de epresión analítica, ya que los denominadores no se anulan en ningún punto donde estén definidas. f ' o f ' f '. o f ' o o Función derivable en R, pues f. continua si <, Como es derivable en R podemos definir la segunda derivada: continua si > y si < b f en la función f no es dos veces derivable pues si > f '' f '' o o Ejercicio 4. Sea f a estudiar los valores de a que hacen continua f, b ver para estos valores si la función es derivable: f a a si si a > a a Los dos trozos de definición de f son polinomios luego continuos en todo R y en por tanto en su dominio de definición. Sólo nos falta por estudiar la continuidad en a: f a a f a f a a a a a -a a -a a,a b a f f f - Luego es derivable en. si si > f si < si > José Luis Lorente Aragón 65

70 Unidad. Funciones.Derivabilidad Veamos la gráfica a f 4 si si > f si < 4 si > f - f 4, luego es derivable en. Veamos la gráfica: 66 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

71 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios de la P.A.U. Septiembre 4. Prueba A. PR- a Sea f la función dada por f -, estúdiese la derivabilidad de f en mediante la definición de derivada si a f, R. si < f h f h h f h f h h h h No derivable. h h f h f h h h h h h Septiembre 5. Prueba A PR-. a Estúdiese la derivabilidad de Primero tenemos que estudiar la continuidad de f: los dos trozos de la función son continuos, pues el argumento del logaritmo es siempre positivo. De esta forma sólo tenemos que ver la continuidad en f ln f f f, luego es continua en R y podemos calcular la función derivada en todos los puntos:, > f ', < Los dos trozos son continuos pues uno es un polinomio y el otro es un denominador que nunca se anula. Sólo tenemos que calcular la derivabilidad en : f f - luego es derivable en y por tanto en R Junio 6. Prueba B. C-. Sea fa b cd. Determínense a, b, c y d para que la recta y sea tangente a la gráfica de f en el punto,-, y la recta -y- sea tangente a la gráfica de f en el punto,-. Condiciones:.- Recta y- m y Pasa por,-. fd-.. f c.- Recta y- m y Pasa por,- José Luis Lorente Aragón 67

72 Unidad. Funciones.Derivabilidad. fab--, f ab. Resolviendo el sistema: a, b- Septiembre 6. Prueba B. C- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f en el punto. f la pendiente de la recta paralela es mf, es decir paralela al eje OX, y la de la recta normal es m, paralela al eje OY. Las dos pasan por el punto P,f P, a Tangente en y- y eje OX b Normal eje OY Veamos la gráfica de f: Septiembre 7. Prueba A C-.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y -, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y7. Si las rectas son tangentes misma pendiente. La pendiente de la recta y7 es m. La pendiente de la recta tangente es igual a f -6. Obliguemos a que la pendiente sea y calculemos el valor de la coordenada de los puntos buscados: -6-6, P,f P, P,f P,- Junio 8. Prueba A C-.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f a en el punto sea perpendicular a la recta y. Si la recta tangente es perpendicular a y--, entonces la pendiente es m-/-. La pendiente de las rectas tangente en es f aa. Igualando la derivada al valor de m obtenemos que a. 68 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

73 Unidad. Funciones. Derivabilidad Prueba B PR- Dada la función f, se pide a Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f Continuidad: sólo hay que estudiar la continuidad en que es donde la función cambia de epresión analítica y donde se anula en denominador de la primera. sen f L Hopital tema 4 f f f es por tanto continua en R Derivabilidad: como es continua en R podemos definir la función derivada : sen f cos si si > < Sólo hay que estudiar la derivabilidad en f sen sen cos L Hopital tema 4 f - - Luego no es derivable en La función f es derivable en R-{} José Luis Lorente Aragón 69

74 7

75 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.. Monotonía. Crecimiento y decrecimiento de una función. Etremos relativos. Optimización 4. Curvatura 5. Punto de Infleión 6. Propiedades de las funciones derivables 6.. Teorema de L Hopital 6.. Teorema de Rolle José Luis Lorente Aragón 7

76 Conteto con la P.A.U. Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. En los eámenes de selectividad suele haber un problema en cada opción en donde se pide calcular el crecimiento y/o la curvatura de una función. Por lo general las funciones que aparecen son, en una opción, una fracción polinómica, y en la otra, o un eponente o un logaritmo. Aunque de primeras puede parecer que las funciones eponenciales o logarítmicas son más complicadas, por lo general suelen ser más sencillas, ya que las derivadas, en especial la segunda, son más fáciles de igualar a cero, y así estudiar la curvatura o el crecimiento. Otros problemas que aparecen son los de optimización. Por lo general estos problemas son relativos a la maimización o minimización de funciones áreas máimas o mínimas, pendiente mínima o máima. Una cuestión muy común en los eámenes de selectividad son los límites, que se calculan a partir de L Hopital. También se utiliza L Hopital en el estudio de asíntotas de las funciones, la continuidad y la derivabilidad de funciones ver tema anterior. 7 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

77 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Monotonía. Crecimiento y decrecimiento de una función En el tema anterior relacionamos las derivadas con la pendiente de las rectas tangentes a la gráfica descrita por la función, es decir, f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica f en. Vamos a relacionar el signo de mf con el crecimiento o decrecimiento de la función; para esto nos valemos del siguiente ejemplo: yf -5 f - - -,- - -,, Signo f - Crecimiento José Luis Lorente Aragón 7

78 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Claramente vemos que cuando f > la recta tangente es creciente, pues la pendiente es positiva, y por lo tanto f es creciente en. De igual forma si f < la recta tangente es decreciente, pues su pendiente es negativa, y por lo tanto f es decreciente en Conclusión: a Si f > la función f es estrictamente creciente en b Si f < la función f es estrictamente decreciente en. Etremos relativos Antes de relacionar los etremos relativos con la derivada definámoslos. Definición: Etremo relativo de una función f es todo punto tal que, para todo entorno del punto E,r, se cumple que la función en este intervalo crece y decrece. Según crezca antes o después de, distinguimos dos tipos de etremos relativos: a Máimo relativo en : la función crece hasta y decrece a partir de. b Mínimo relativo en : la función decrece hasta y crece a partir de. Está claro que si es un etremo relativo de f, en este punto la gráfica ni crece ni decrece, luego una condición necesaria es que f, así la pendiente de la recta tangente es m, siendo por tanto paralelo al eje. Pero está no es la única condición. Es necesario, que además, se cumpla una segunda condición que además nos permite discernir si es máimo o mínimo relativo: Sea un punto de una función en el que se cumple a f b f < entonces,f es máimo relativo Sea un punto de una función en el que se cumple a f b f > entonces,f es mínimo relativo En la práctica, si se cumple que f y viendo el crecimiento de la función antes y después del punto podemos ver si es punto relativo y si es máimo o mínimo. En el caso de que f pero también f esto ocurre cuando es raíz doble o de mayor multiplicidad de f, no podemos asegurar que este punto sea etremo relativo y hay que estudiar las derivadas de orden superior. Tendremos que calcular las derivadas en, hasta la primera derivada no nula. Para ver si la función tiene etremo relativo o no vemos el siguiente esquema: 74 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

79 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada f n con n impar Punto de Infleión n f ' f '' f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejemplo: Estudiar si en las siguientes funciones hay máimo, mínimo o punto de infleión en a yf f en f f 6 en f f 6 en f 6 Como la primera derivada no nula es la tercera impar, tenemos un Punto de Infleión en P. I,f, b yf 4 f 4 en f f en f f 4 en f f IV IV 4 en f 4 Como la primera derivada no nula es la cuarta par, tenemos un Punto relativo en IV. Además como f 4 > será mínimo m,f, Veamos las gráficas de y e y 4 : 4 José Luis Lorente Aragón 75

80 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Ejercicio : Estudiar la monotonía, y los etremos relativos de las siguientes funciones: a yf Veamos el signo de la derivada: f 6-6 f , f - -,,, Signo f - Crecimiento,f,6,f,5 f < Máimo f > Mínimo Máimo M,f,6 Mínimo m,f,5 M m b y/ln Primero estudiemos el dominio. Veamos los puntos que no pertenecen al dominio a > por el logaritmo neperiano b Denominador es cero: ln e, asíntota vertical Domf, -{} ln f ln ln ln ln- e f ln ln ln ln ln ln 4 4 ln ln ln 76 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

81 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada Además de los puntos donde se anula la primera derivada hay que añadir los puntos que no pertenecen al dominio, ya que en ellos puede cambiar el crecimiento. En este caso añadimos. Nota: las asíntotas verticales no suelen cambiar la monotonía aunque si la curvatura.,,e e e, Signo f - - Crecimiento Mínimo me,fee,e Dom f e,fee,e f e/e> Mínimo m c y f DominioR-{4} 8 f, 4 8 f Signo de f : 8 No solución no etremos relativos f > Sólo tenemos que ver el crecimiento antes y después de 4, que no pertenece al dominio: José Luis Lorente Aragón 77

82 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. -,4 4 4, Signo f Do min io Crecimiento. Optimización En muchas situaciones se plantean problemas de optimización, es decir hacer que una función sea máima o mínima para unas premisas impuestas. Los casos de optimización que trabajaremos es cuando la función depende de una sola variable. Pasos a seguir para optimizar:. Epresar la función que deseamos optimizar en función todas variables.. Si la función tiene más de una variable relacionar las variables con los datos del problema y obtener una función de una sola variable mediante la función ligadura.. Derivar la función, igualarla a cero y así obtener los puntos relativos 4. Comprobar, mediante la segunda derivada, si estos puntos son máimos o mínimos. Ejemplo: Se quiere construir botes de enlatar de forma cilíndrica de litros de capacidad. Calcular las dimensiones para que el gasto sea mínimo y Vπ y función ligadura y /π El gasto es proporcional a la superficie función a optimizar: Gasto,yK SuperficieK π π y GK [π π /π ]K[π /] G K[4π-/ ] 4π-/ 4π - 5 r π dm hy π 5 π dm G 4π4/ G 5 π > Mínimo 78 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

83 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada Ejercicio : Descomponer el número 48 en dos sumandos tal que el quíntuplo del cuadrado del primero más el sétuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. 48y ligadura y48- f,y5y 6 función a optimizar f f -48 4/, y 88/ f f 4/> Mínimo Ejercicio : Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso, márgenes superior e inferior de cm y laterales de cm. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie del papel y y8 ligadura y8/ Area,y y4 función a optimizar A 8/4846/8646/ A 4-6/ cm y6cm A 7/ 4. Curvatura A > mínimo Dimensiones: 5cm cm Veamos las definiciones de los dos tipos de curvaturas posibles en una función: Definición : Una función es cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba en un punto P,y, si la recta tangente en este punto está por debajo de los puntos próimos a P. Gráficamente tiene forma de Definición : Una función es cóncava hacia las y negativas o cóncava hacia abajo en un punto P,y, si la recta tangente en este punto está por encima de los puntos próimos a P. Gráficamente tiene forma de. José Luis Lorente Aragón 79

84 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Podemos saber si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo a partir de la segunda derivada: Si f >, entonces f es cóncava hacia arriba en el punto,f. Recordar la curvatura de yf y como f > Si f <, entonces f es cóncava hacia abajo en el punto,f. Recordar la curvatura de yf- y como f -< Ejemplo: yf f 6, si > cóncava hacia arriba y si < hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 5. Puntos de Infleión Uno de los puntos más importantes a la hora de representar una función son los puntos de infleión; veamos que es un punto de infleión: Definición: Se dice que f tiene punto de infleión en,f si en ese punto cambia la curvatura de la función, es decir pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o al revés. En este punto la recta tangente a la función corta a la función. Vamos a ver la relación entre los puntos de infleión y las derivadas de la función, en el siguiente teorema: Si f cumple en que la segunda derivada es nula f y además la tercera derivada es distinta de cero f, entonces la función f tiene un punto de infleión en,f. En el caso de que tanto f como f, tendremos que recurrir a las derivadas de orden superior, y ver el orden de la primera no nula en. Como vimos en el apartado. f n con n impar Punto de Infleión 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

85 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada n f ' f '' f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejemplo: Estudia el crecimiento, puntos relativos, la curvatura y los puntos de infleión de la función f Primero estudiemos el dominio DomfR-{-} f Vemos que siempre es positiva para todo valor de que pertenezca al dominio: -,- - -, Signo f No eiste - Domf Crecimiento No Punto relativo Calculemos ahora la curvatura y los puntos de infleión 4 f El signo de la segunda derivada es: -,- - -, Signo f No eiste - Domf - Cocavidad No P.I. José Luis Lorente Aragón 8

86 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Ejercicio 4: Estudiar monotonía y curvatura de f Primero vemos el dominio de f, como --, entonces DomfR-{} f ' f -,,, Signo f - No eiste - Crecimiento m,f, Domf 4 f '' f > Mínimo 4 [ ] 4 / 4 Se anula en -/ Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

87 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada -,-/ -/ -/,, Signo f - No eiste Concavidad PI-/,f-/ -.5,/9 Domf f -/ PI m Nota: darse cuenta que en este ejemplo en la asíntota vertical si cambia la curvatura, pasando de creciente a decreciente, esto es porque es una raíz doble del denominador. Cuando esto ocurre cambia la monotonía pero no la curvatura. José Luis Lorente Aragón 8

88 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. Ejercicio 5: sean f, g 4 y h 5 ; determinar si en hay un P.I. o un punto relativo. a f f f 6 f f 6 f 6 n P.I., b g 4 g g g g 4 g g 4 4 g 4 4> n4 Punto relativo Mínimo m, c h 5 4 h h h h 6 h h 4 h 4 h 5 h 5 n5 P.I., y y 4 y 5 84 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

89 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada José Luis Lorente Aragón Propiedades de las funciones derivables 6.. Teorema de L Hopital Ya hemos visto en el tema anterior que hay límites que, para calcularlos, es necesario utilizar el teorema de L Hopital, veamos en que consiste: Teorema: Sean f y g continuas y derivables en que verifican: a g f b ± g f entonces se cumple: ' ' g f g f Esta regla es válida para R, o -. Esta regla se puede aplicar sucesivas veces si el límite sigue siendo / o / Ejemplos: a cos ' sen H L b cos cos 6 ' ' ' sen sen H L H L H L c ln ' H L d / ln ln ' H L e cos cos cos cos ' ' ' sen sen tg tg H L H L H L π π π π π π π π π π π

90 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. 6.. Teorema de Rolle Un teorema muy importante es el denominado teorema de Roll que nos demuestra que cuando una función derivable pasa dos veces por la misma altura entonces tiene un punto relativo entre estos dos puntos: Teorema de Rolle: Sea f, que cumple las siguientes condiciones: continua en [a,b] derivable en a,b fafb entonces eiste al menos un punto c a,b, tal que f c es decir tiene al menos un máimo o mínimo relativo Veamos cómo es fácil de interpretar este teorema, si lo hacemos de forma gráfica, es semejante al de Bolzano Interpretación gráfica: Puede ocurrir que haya dos o más puntos que cumplan el teorema f c a c c b 86 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

91 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada Ejercicios PAU: Sólo veremos los que están relacionados con la optimización y con L Hopital, los relativos al crecimiento y a la curvatura se verán en el tema siguiente A Optimización Septiembre 4. Prueba B. PR.- a Dada la función f/ln definida en [,e], calcular la recta tangente con mayor pendiente. Escribir ecuación de dicha recta La pendiente de las rectas tangentes viene dada por la derivada de f f -/ /. Como tenemos que buscar el valor con mayor pendiente, la función a optimizar es f, que llamaremos g, gf. Optimicémosla g - [,e] Veamos si es máima o mínima: g / -6/ 4 g /4-/8< máimo La pendiente máima es m ma gf -/4//4; esta es la pendiente de la recta tangente en el punto P,f,/ln La recta tangente es por tanto: y-/ln/4- y.5 ln Junio 6. Prueba A. PR- Considérense las funciones fe, g-e -. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. Las rectas perpendiculares al eje OX son del tipo. Corte con las gráficas a fe A,e o b g-e - B,-e -o Longitud segmento AB da,b AB, e d e e. Como tiene que ser distancia mínima, calculemos la derivada de d e igualemos a cero e d e e e e -. e e Veamos si es mínima o máima d e e d > Mínimo Por tanto la recta es. Corta con f en,e, y con g en,-e -,- Así la recta que minimiza la distancia entre las dos funciones es e e José Luis Lorente Aragón 87

92 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. e A, B,- -e - Septiembre 8. Prueba B PR-. Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación y -, los que se encuentran a distancia mínima del punto A-,-/ Los puntos de la parábola son P, -. La distancia entre P y A es: 4 d A, P AP, d 4 Nota si buscamos el valor que minimice la distancia se 4 cumplirá también que para ese valor d también será mínima, siendo la función mucho más sencilla al quitarnos la raíz: fd f P-, Veamos que es mínimo f, f ->, es mínimo 4 88 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

93 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada Otros ejercicios optimización: Ejercicio 6: sean las funciones f- y ge, de todas las rectas paralelas al eje OX que cortan en A a g y a B a f, calcular aquella que minimiza las distancias entre los dos puntos. Las rectas paralelas al eje OX son de la forma yt, que será el parámetro libre. Los puntos A y B serán: y t A e t Alnt,t y e y B y t t Bt,t da,b AB t ln t, t ln t t ln t La función que tenemos que maimizar será dtt--lnt: d t t. t Comprobemos que es un mínimo: d t t Luego la recta buscada es y. d < Ejercicio 7: sea la función f, calcular el punto P de la gráfica tal que la ordenada en el origen de la recta tangente a dicha función en P sea máima. Los puntos de la gráfica serán Pt,ftt, y las pendientes de las rectas tangentes para estos puntos vienen definidas por mf t-t. De esta forma las rectas tangentes son: r: y-y m- r: y- -t -t r: y-t t. Por lo tanto la ordenada en el origen es nt t. Calculemos el valor de t que minimiza la función: José Luis Lorente Aragón 89

94 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. n t-t 4t -4t t-4t t-t t, t ± Veamos cuál de estos valores máimiza la función: n t 4t 4-8t n > Mínimo n ± < Máimo. Luego los punto son P, e -/, P -, e -/ Ejercicio 8: calcular el rectángulo de área máima inscrita en una circunferencia de radio cm: Área,y4 y función a optimizar y y 4 ligadura Ay4y 4 y 4 y A y4 4 y - 4y 4 y 6 4y 4y 4 y y y cm cm cuadrado Veamos que es máima: A <. Máimo 9 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

95 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada B L Hopital PAU Septiembre 6. Prueba A C-. sen sen lncos cos cos L' H tg cos L' H tg sen PAU Junio 6 Prueba A C-. lncos sen cos ' H L tg tg ' H L PAU Junio 6 Prueba BC-4. Calcular a y b para que el límite sea : a b cos a b sen b b para ite sen L' H cos a sen cos a cos ' H cos 4 sen L a a / PAU Septiembre 4 Prueba A C- tg tg tg π 6 ' 6 6 tg L H π tg π tg 6 PAU Junio 4 Prueba B C- sen ' sen sen L H sen L ' H cos cos sen cos sen cos PAU Septiembre 5 Prueba A C-4. Calcular λ para que el límite valga -: sen cos λ sen cos λ L' H L' H cos 4 sen λ 4 λ cos λ cos λ sen λ cos λ λ λ λ±. José Luis Lorente Aragón 9

96 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada. 9 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU PAU Septiembre 5 Prueba B C- cos cos cos cos ln ln ' ' sen sen sen sen sen sen H L H L PAU Junio 5 Prueba A C- / ln ln ' ' H L H L e e e PAU Junio 7 Prueba A. C- ln ln ln ln ln ln ' ' H L H L PAU Septiembre 7 Prueba B C ' ' H L H L e e e e e e e e e e. PAU Junio 8 Prueba A. C-: cos 4 cos ' sen sen sen H L PAU Septiembre 8 Prueba B. C-: Calcular a para que el límite sea 8 8 ' ' a e a e a a a e a e a H L a a H L a a±4

97 Unidad 4. Funciones. Aplicaciones de la derivada José Luis Lorente Aragón 9

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99 Unidad 5. Representación de funciones TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Representación de funciones.. Dominio.. Puntos de corte con los ejes... Con el eje... Con el eje y.. Signo de la función.4. Periodicidad y simetría.4.. Periodicidad.4.. Simetría.5. Asíntotas.6. Primera derivada, crecimiento y puntos relativos.7. Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión.8. Representación de la función. Aneo: representación funciones circulares José Luis Lorente Aragón 95

100 Unidad 5. Representación de funciones Conteto con la P.A.U. En este tema aplicaremos lo visto en los temas anteriores para la representación gráfica de las funciones. En el eamen de la PAU no se suelen pedir todos los pasos que estudiaremos para la representación de la función, por lo general tendremos que esbozar la gráfica a partir de: Monotonía o Crecimiento Curvatura Asíntotas Por lo general es suficiente con estas tres pautas el esbozo de la gráfica, si bien se recomienda, aunque no lo pida el eamen calcular el dominio. Las funciones que suelen representarse son: Funciones fraccionales, la mayor dificultad es en la segunda derivada, la cual hay que factorizar para calcular los valores que la anulan puntos de infleión. Funciones eponenciales, la mayor dificultad es resolver las distintas ecuaciones eponenciales que aparecen al igualar las derivadas. Cuando estudiemos las asíntotas horizontales y oblicuas hay que estudiar los límites tanto cuando tiende a o a -, ya que no siempre dan el mismo resultado, como ocurre en las funciones fraccionales. Nota: recordemos que e f siempre es mayor que cero, con independencia de f. Funciones logarítmicas, cuyas complicaciones con el cálculo de las asíntotas son las mismas que las eponenciales. También es importante el cálculo del dominio; recordemos que los puntos del dominio son aquellos en los que el argumento del logaritmo es positivo. Funciones trigonométricas: donde lo más complicado es resolver las ecuaciones trigonométricas. Se recomienda ver el tema de ecuaciones trigonométricas del curso anterior en cualquier libro de primero. También es importante calcular el periodo de la función, ya que a partir del mismo la función se repite. 96 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

101 Unidad 5. Representación de funciones ANEXO I: Resolución de ecuaciones logarítmicas y eponenciales a Eponenciales: para quitar la incógnita del eponente tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad b Logaritmos: agrupamos todos los logaritmos en uno a partir de las propiedades de los logaritmos. Para quitar la incógnita del logaritmo tomamos eponente a ambos lados de la igualdad. Ejemplos: e 5 e ln ln 4 5 ln 4 ln5 / e ANEXO II: Resolución de ecuaciones trigonométricas 4 ± ln5 / e Para resolver ecuaciones trigonométricas lo más importante es epresar todas las razones trigonométricas en función de una sola de ellas aplicando las igualdades: a sen cos b tgsen/cos c tg /cos Cuando los argumentos de las razones son diferentes es decir, hay que aplicar las transformaciones de las suma de razones trigonométricas en productos, ángulos dobles, etc. No trataremos al corresponder al curso anterior. Generalmente en los problemas de selectividad estas ecuaciones con distinto argumento no aparecen. Ejemplo: sencos Pongamos sen en función de cos o al revés cos cambio variable cosy elevando al cuadrado -y -yy y -y y, cos cos 6k Tenemos que comprobar que solución es válida al elevar al cuadrado surgen a veces soluciones no válidad: - 9 sen9cos9 válida - 7 sen7cos7-, no válida - sencos, válida ANEXO II: periodo de funciones trigonométricas. El periodo de una suma o multiplicación de funciones trigonométricas es el mayor de los periodos. El periodo de senk, cosk, tgk es Tπ/k Ejemplo: yfsen cos4cos T π, T π/, T π f periodo Tπ. 4 José Luis Lorente Aragón 97

102 Unidad 5. Representación de funciones. Representación de funciones Mediante el ordenador o algunas calculadoras representar una función es sencillo, pero sin estas herramientas debemos estudiar características previas de la función antes de representarla. Los pasos son: El dominio Puntos de corte con los ejes Signo de la función Simetría y periodicidad Asíntotas Monotonía y puntos relativos Curvatura y puntos de infleión.. Dominio El primer paso es ver donde está definida la función, es decir los posibles valores que puede tomar la variable independiente. Recordemos que el domino de los polinomios son todos los reales. Los casos en los que algún punto no pertenece al dominio son: ver tema a Se anulan denominadores asíntota vertical en el punto b No eisten logaritmo de números negativos c No eiste el logaritmo del cero asíntota vertical, cuando el logaritmo en el denominador cuando el argumento tiende a por la derecha log - d No eisten raíces cuadradas o de orden par para números negativos.. Punto de corte con los ejes... Con el eje OX Corta al el eje OX cuando y. Obtendremos los puntos de corte con este eje igualando la función a cero, viendo los puntos,, Domf que anulan la función. Los puntos,,, son los puntos de corte con el eje OX... Con el eje OY Corta al el eje OY cuando, siempre que Domf. Sólo puede cortarse una vez con el eje OY. El punto de corte con el eje OY es,f Ejemplo: fln - Con eje OX y ln - -e 4 ± P, y P -, Con eje OY Domf, luego no corta con el eje OY.. Signo de la función Estudiar el signo de la función es ver los valores de en los cuales f> o f<. Para obtener estos intervalos basta con estudiar el signo entre los intervalos de los valores de que anulan la función corte eje OX y los puntos que no pertenecen al dominio. En el caso que la función definida a trozos, también se toman los puntos donde cambia de epresión analítica. 98 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

103 Unidad 5. Representación de funciones.4. Periodicidad y simetría.4. Periodicidad: Las funciones son periódicas cuando se repiten cada cierto intervalo, T, llamado periodo de la función ffnt. Los ejemplos clásicos son las funciones trigonométricas. Ejemplo: sen su periodo es Tπ, pues sennπsenπnsen.4. Simetría La simetría puede ser de dos tipos: a Simetría par o respecto al eje OY, la función es igual a la izquierda y derecha del eje OY. Es como si este eje hiciera de espejo. Ocurre cuando se cumple: ff- b Simetría impar o respecto al origen, la función a la derecha del eje OY es igual que a la izquierda pero con distinto signo. Ocurre cuando se cumple: -ff- Ejemplo: estudiar simetría de las siguientes funciones: f 4-6, g 5 - -, h, i 5, j - 5 a f f Par b g g Impar c h- h Par d i- - -i Impar e j j y de -j No simetría Nota: si no hay denominadores será par cuando sólo tenemos epresiones n con n par recordar que 55, luego es par. Será impar cuando sólo tenemos epresiones n con n impar; si están mezclados términos impares y pares la función no tendrá simetría. Si tenemos denominadores, para que sea simétrica tanto el denominador como el numerador han de ser simétricos. Así: - si numerador y denominador tienen la misma simetría los dos par o los dos imparla función simetría par ver h - si numerador y denominador tienen distinta simetría uno par y otro impar entonces la función simetría impar ver i José Luis Lorente Aragón 99

104 Unidad 5. Representación de funciones.5 Asíntotas Vertical La función f tiene asíntota vertical en cuando alguno de los límites laterales o los dos son infinitos: f, f, f, f, La asíntota vertical tiene de epresión analítica. La función f se aproima infinitamente a la recta. En la práctica las asíntotas son los puntos en los que se anula el denominador o se anula un logaritmo cuando está en el numerador. Una función puede tener varias asíntotas verticales y nunca se cortan por la gráfica. Horizontal Una función f tiene una asíntota horizontal en yy si se cumple una de las siguientes condiciones o las dos: a f y tiende a la recta yy cuando b f y tiende a la recta yy cuando - Cuando la función tiene una asíntota horizontal se aproima infinitamente a la recta yy cuando tiende a, - o los dos. Una función tiene como máimo asíntotas horizontales, una cuando y otra cuando -, aunque por lo general coinciden funciones de fracciones algebraicas. Las funciones que son fracciones algebraicas p tienen asíntotas horizontales q cuando el grado del numerador es menor al del denominador asíntota o igual asíntota a n /b n,con a n y b n coeficientes de mayor grado de p y q respectivamente. Oblicua Una función f tiene una asíntota oblicua cuando se aproima infinitamente a una recta de la forma ymn m. Eiste si se el límite f eiste y es distinto de ± y de. Si esto ocurre: m f n f m por lo general, si m y m entonces n es un número real. Pero hay algún caso donde n es ; si esto ocurre f no tiene asíntota oblicua PAU Septiembre 8 Si una función tiene asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua, por lo que no sería necesario su estudio. En la práctica las asíntotas oblicuas en las funciones fraccionarias ocurren cuando el grado del denominador es un grado inferior al del numerador Nota: las asíntotas horizontales y oblicuas pueden ser cortadas por la gráfica de la función Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

105 Unidad 5. Representación de funciones Ejemplo: calcular las asíntotas de las siguientes funciones a f 4 - Asíntota Vertical: 4 -, -. - Asíntota Horizontal: f, f. No asíntota horizontal f - Asíntota Oblicua: 4 m 4 n 8 6 f m Luego la asíntota oblicua es y-8 b g 4 - Asíntota Vertical: -4 -, - Asíntota horizontal:, 4 y 4 - No puede tener asíntota oblicua al tener horizontal José Luis Lorente Aragón

106 Unidad 5. Representación de funciones ln c h - Asíntota Vertical: ln se anula el logaritmo se anula el denominador ln ln ln ln ln ln ln / - Asíntota Horizontal y cuando L' H ln no eisten logaritmos negativos Luego la asíntota horizontal es y, pero sólo eiste cuando - No asíntota oblicua cuando al tener horizontal. Veamos cuando - f ln no tiene.6. Primera derivada. Crecimiento y puntos relativos Para estudiar el crecimiento y decrecimiento y los puntos relativos de una función f tendremos que estudiar el signo de la primera derivada, f. Como vimos en el tema anterior: a si f > creciente b si f < decreciente c si f punto relativo si f En la práctica igualamos f y estudiamos el signo de f entre los puntos donde se anula la derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función está definida a trozos también tendremos que añadir, entre estos puntos, aquellos donde f cambia de epresión analítica Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

107 Unidad 5. Representación de funciones.7. Segunda derivada. Curvatura y Puntos de Infleión Para estudiar la curvatura y los puntos de infleión de una función f tendremos que estudiar el signo de la segunda derivada, f. Como vimos en el tema anterior: a si f > cóncava hacia arriba b si f < cóncava hacia abajo a si f punto de infleión si f En la práctica igualamos f y estudiamos el signo de f entre los puntos donde se anula la ª derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función está definida a trozos también tendremos que añadir, entre estos puntos, aquellos donde cambia de epresión analítica.8. Representación de la función A partir del estudio realizado en los anteriores apartados no debería ser difícil representar un boceto de la función. Ejemplos: f I DominioR-{-} II Puntos de cortes: a Con el eje OY: Domf f- P c,- b Con eje OX: y f. P c, III Signo de la función: se estudia el signo entre los puntos de corte con el eje OY y los puntos que no pertenecen al dominio: -,- - -,, Signo f - P c, IV Simetría y Periodicidad No periódica Simetría f- f y -f No simétrica V Asíntotas a Asíntota Vertical: - José Luis Lorente Aragón

108 Unidad 5. Representación de funciones b Asíntota Horizontal: f, f y cuando y - c Asíntota oblicua: no tiene al tener horizontal VI Primera derivada, crecimiento y puntos relativos f Vemos que siempre es positiva para todo valor de -,- - -, Signo f No eiste - Domf Crecimiento No Punto relativo VII Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión f 4 El signo de la segunda derivada es: Intevalo -,- - -, Signo f No eiste - Domf - Cocavidad No P.I. 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

109 Unidad 5. Representación de funciones VIII Representación: yf 4 I Dominio -4 DomfR-{-,} II Puntos de corte con los ejes: a Eje OY, como Domf P c,f P c, b Eje OX y. P c, III Signo de la función: Puntos representativos -,, Intervalo -,- - -,,, Signo f - - P c, José Luis Lorente Aragón 5

110 Unidad 5. Representación de funciones IV Simetría y Periodicidad. No periódica Simetría: f- f 4 simetría impar, respecto del origen V Asíntotas a Asíntotas Vertical: -, b Asíntota Horizontal: f ± No asíntota Horizontal ± ± 4 f 4 c Asíntota Oblicua: m,n f 4 4 y VI Primera derivada Crecimiento y Puntos relativos: 4 yf 4, f 4 doble, será PI, ± -,,- - -,,,, f crec M, PI m, M-,-.5, m,.5 VII Segunda derivada, curvatura y Puntos de Infleión: yf, f El signo de la segunda derivada es: Intervalo -,- - -,,, Signo f - - PI, 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

111 Unidad 5. Representación de funciones VIII: Representación m PI M yf ln I Dominio: -> -> Intervalo -,- - -,,, Signo No Dom No Dom Dom No Dom No Dom No dom Dom Domf-,, II Corte con los ejes: a Corte con el eje OY Domf No corte eje OX b Corte con el eje OX y f ln ± -, -, tres puntos pertenecen al dominio comprobar con la calculadora 5 los P c -,, P c 5,, P c 5, III Signo de la función: -, 5,-,,, 5 José Luis Lorente Aragón 7

112 Unidad 5. Representación de funciones -, 5 5 5, - - -,,, 5 5 5, P c 5, P c -, P c 5, IV Simetría y periodicidad a No periódica b f-ln- f y -f No simétrica V Asíntotas a Vertical donde se anula el logaritmo -,, b Horizontal f, f no eiste No horizontal f c Oblicua L' H No oblicua VI Primera derivada, crecimiento, puntos relativos f f, ± ± - Domf, pero 6 Domf -, ,, Signo f - Crecimiento 6 ln7 / M-, VI Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión 4 4 f 4 4 No solución, no puntos de infleión 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

113 Unidad 5. Representación de funciones -,, Signo f - - Curvatura VII Representación: M José Luis Lorente Aragón 9

114 Unidad 5. Representación de funciones Ejercicios PAU Septiembre 6, Prueba A PR-.- a Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de fe -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f /e puntos. b Pruébese que la ecuación e tiene sólo una solución en,]. punto a DomfR Asíntotas: No verticales Horizontales: e ; L' H e e e Oblicua: no oblicua y sólo si tiende a Crecimiento, puntos relativos f e - - e - e - - e - e - - -,, Signo f - Crecimiento M,e - Curvatura y Puntos de Infleión f -e - -e - e - e - - e - - -,, Signo f - Crecimiento PI,e - Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

115 Unidad 5. Representación de funciones 4 Representación gráfica: M PI Vemos que el máimo absoluto es el máimo relativo,e -, luego f e - b Decir si la ecuación e - alguna solución en solución,] g e - Aplicamos Bolzano: g continua en -,] ge-<, g> Aplicando Bolzano c, : g c Veamos que sólo hay una: g e - e ln, -,ln ln ln, Signo g - Crecimiento mln,-, Luego entre -, la función decrece cortando en un único punto c en el eje OX. José Luis Lorente Aragón

116 Unidad 5. Representación de funciones Septiembre 6. Prueba B PR-. Sea f a Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.,75 puntos DomfR-{} Asíntotas: Vertical Horizontal: Oblicua: m n y- 4 Simetrías: f- f Simetría Impar respecto al origen 4 Monotonía y puntos reltaivos f < Siempre decreciente. No puntos relativos 5 Representación Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

117 Unidad 5. Representación de funciones Junio 6. Prueba B PR-.- Dada la función, se pide: a Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. puntos Dominio DomfR-{-}. Asíntotas AV: - AH:, y AO: No al tener horizontal Crecimiento y puntos relativos: f > Siempre crece no puntos relativos Intervalo -,- - -, Signo f Crecimiento 4 Curvatura y P.I.: 4 f 4 4 f No P.I. -,- - -, Signo f - Curvatura No P.I. José Luis Lorente Aragón

118 Unidad 5. Representación de funciones 5 Representación Septiembre 5. Prueba A PR-.- a Estúdiese la derivabilidad de, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. a Continuidad: ln, es continua en R. Veamos en f ln f Continua. Luego podemos hacer la derivada de la f función: Derivabilidad: f, ', > < f ' f ' Derivable f f ' f ', ', > I Crecimiento: igualamos la derivada a cero cada uno de sus trozos, -,]. Luego el único punto donde f es. Este punto, además, habría que introducirlo igualmente al cambiar f de epresión en 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

119 Unidad 5. Representación de funciones -,, Signo f - Crecimiento m, Curvatura: como f es derivable en R podemos calcular la segundad derivada, f '' > < Veamos si eiste la segunda derivada en : f f - :, f '' > f, miremos los dos trozos de definición ± solo válido, ya que -, En los intervalos tenemos que considerar donde cambia la epresión analítica: Intervalo -,,, Signo f - Curvatura PI,ln PI m José Luis Lorente Aragón 5

120 Unidad 5. Representación de funciones Junio 5. Prueba A PR-.- a Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. b Esbócese la gráfica de f a DomfR Asíntotas: Verticales: no Horizontales: e e, e e y cuando y - No oblicuas ya que si tiene horizontales. Crecimiento y puntos relativos f ' e Intervalos -,, Signo f - Crecimiento M,e 4 Curvatura: f '' e 4 e e 4 ± Intervalo -,,, Signo f - Curvatura PI, e PI, e 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

121 Unidad 5. Representación de funciones b Representación gráfica PI M PI Septiembre 4-Prueba A PR- Sea f la función dada por a f a Estúdiese la derivabilidad de f en mediante la definición de derivada. b Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c Esbócese la gráfica de f. si si > Continuidad Sólo tenemos que estudiar la continuidad en ya que en los demás puntos es continua al ser los dos trozos polinomios f f f. Continua f Derivabilidad al ser continua podemos definir la función f si > si < Donde tenemos que estudiar la derivabilidad en : f - ; f - No derivable en como ocurre en las funciones valor absoluto Luego al representar la gráfica en tendrá un pico José Luis Lorente Aragón 7

122 Unidad 5. Representación de funciones > b Crecimiento de la función f : < solución. solución A estos dos puntos, / y -/, tenemos que añadir donde f cambia de epresión analítica. Intervalo -,-/ -/ -/,,/ / /, Signo f - No derivable - Crecimiento m-/,-/4 M, m/,-/4 El punto, es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función decreciente a creciente. Luego es un máimo relativo. c Podemos representarlo viendo que son dos parábolas - cuando > y si < o partir de las informaciones anteriores. M -/ / m m 8 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

123 Unidad 5. Representación de funciones Junio 4- Prueba A PR-.- Sea la función y -. a Estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. e y f e e si < si Veamos primero si es continua para poder derivar la función a trozos: f e f f e : f continua 4e si < f '. Veamos si derivable f 4 f No derivable en 4e si >, luego en habrá un pico. Estudiemos donde se anula la derivada: f 4e 4e. no no solución solución Es decir, el único punto característico a la hora de estudiar monotonía es, que es donde la función cambia de epresión analítica Intervalo -,, Signo f No derivable - Crecimiento M, El punto, es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función creciente a decreciente. Luego es un máimo relativo. Asíntotas: Verticales no tiene Horizontales: f e asíntota horizontal y cuando y - ; f e. Luego tiene José Luis Lorente Aragón 9

124 Unidad 5. Representación de funciones Gráfica: Junio 7- Prueba A PR-. Sea la función a Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, curvatura, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar la gráfica DominioR-{-,} Asíntotas: AV:, - AH: f f AO: No tiene y cuando y - Crecimiento y puntos relativos f ' f No solución. Los únicos puntos representativos para estudiar la monotonía son, - asíntotas verticales Intervalos -,- - -,, Signof - Domf - Domf - Monotonía 4 Curvatura y puntos de infleión 4 f '' 4 f. 4 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

125 Unidad 5. Representación de funciones Intervalo -,- - -,,, Signof - Domf - Domf Curvatura PI, 5 Representación gráfica Junio 6- Prueba B PR-. fe - Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica DomfR Asíntotas: Vertical: no tiene Horizontal: f e f e No asíntota horizontal ya que f e Oblicua: m n f e e el eponentecrece más rápido José Luis Lorente Aragón

126 Unidad 5. Representación de funciones Veamos si - f e e L' H Luego la asíntota es y solo si Crecimiento y puntos relativos: f ' e ' e f -e - ; e - -ln Intervalo -,-, Signof - Monotonía m, 4 Curvatura y puntos de infleión f '' e '' f no solución pues e siempre positivo Intervalo -, Signof Curvatura m Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

127 Unidad 5. Representación de funciones Junio 5- Prueba B PR-.- Sea fe ln,,.a Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.,5pto b Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo, y esbócese la gráfica de f.,5 puntos a Veamos primero el Dominio, que es necesario para el resto de cálculos Domf,, el logaritmo sólo eiste cuando el argumento es positivo. Monotonía : f e / e -/, que en el dominio no tiene solución pues para > el eponente es positivo y / negativo. En el domino f >, y por tanto la función creciente en todos los puntos del dominio es decir en,. Asíntotas: Verticales en se anula el logaritmo Horizontales f. No horizontales f e ln e / Oblicuas m. L' H No oblicuas b f e -/. Veamos que en el intervalo [/,] se anula f, para eso aplicamos Bolzano a la función f : f es continua en [/,], ya que no pertenece a este intervalo f /<; f > Luego al cumplir Bolzano eiste un punto c /, tal que f c. PI José Luis Lorente Aragón

128 Unidad 5. Representación de funciones Junio 8. Prueba A PR- Sea fln/ siendo,. Se pide a Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. Dominio: nos lo da el problema: Domf, Asíntotas: Verticales: en, pues se anula el denominador y el logaritmo. ln / Horizontales f Asíntota y sólo si L' H Oblicuas: no al tener horizontales Crecimiento y etremos relativos: ln f ln/ e / Intervalo,e / e / e /, Signof - Monotonía Me /, Luego f crece en e /, y decrece en,e /. En el punto Me /, hay un máimo relativo. Veamos la gráfica: M 4 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

129 Unidad 5. Representación de funciones Septiembre 8. Prueba B PR-.- Sea f ln con,. a Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f. b Probar que eiste un punto c /e, tal que f c. a Primero veamos el dominio: Dominio: Domf, Asíntotas: Verticales: en se anula el logaritmo Horizontales f ln. No tiene f ln Oblicua m L' H n f ln. No oblicua Etremos relativos: f -/. Intervalo,, Signof - Monotonía M, Crece en, y decrece en,. En el punto M, hay un máimo relativo 4 Curvatura: f -/ Nunca se anula f < luego siempre es cóncava hacia abajo M José Luis Lorente Aragón 5

130 Unidad 5. Representación de funciones. Representación de funciones circulares. No es normal que en la PAU haya funciones circulares, pero algún año si han salido. Por ejemplo en año9 en septiembre prueba B. Veamos los pasos a seguir con algún ejemplo, el del citado eamen y otro: PAU Septiembre 9. Prueba B PR. fsencos en [,π] Domf[,π] No asíntotas No simetría sen es impar y cos par: f-sen-cos--sencos f y f Monotonía f cos-sen cossencos. Elevamos al cuadrado, recordando que entonces hay que comprobar las soluciones. cos -cos cos / cos. La comprobación se hace cuando se obtengan las soluciones de los ángulos cos 45 5 rad Comprobación de las soluciones: cos rad 5 rad 5 rad cos sen Si cos sen No cos sen Si cos sen No Intervalo [, 4, 4, π] Sigf - Monotonia M, m, Curvatura: f -sen-cos -cossen -cos cos -cos cos / cos. cos 45 5 rad cos rad 5 rad 5 rad Comprobación de las soluciones al elevar al cuadrado puede haber soluciones no válidas: -cos sen No -cos sen si 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

131 Unidad 5. Representación de funciones -cos sen no -cos sen si Intervalo [, 5 4, 7 4, π] Sigf - - Curvatura PI, PI, Para representar veamos los valores de algún punto representativo: y π/ y π y- π/ y- π y M PI PI π/4 π/ π 5π/4 π/ π/4 7π/4 π m José Luis Lorente Aragón 7