10.3 Sucesiones geométricas

Transcripción

1 T n 10. Sucesiones geométricas El segundo tipo especial de sucesión que estudiaremos, la sucesión geométrica, se presenta con frecuencia en aplicaciones. Definición de Una sucesión a 1, a,..., a n, es una sucesión geométrica si a 1 0 y sucesión geométrica si hay un número real r 0 tal que para todo entero positivo k, El número r a a k a a k r. se llama razón común de la sucesión. Note que la razón común r a a k es la razón de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica. I LUS T R AC I Ó N Sucesión geométrica y razón común 6, 1, 4, 48,..., 6,... razón común 9,, 1, 1,...,n,... razón común La fórmula a a k r da un método repetitivo para obtener términos de una sucesión geométrica. Empezando con cualquier número real a 1 diferente de cero, multiplicamos por el número r repetidas veces, obteniendo a 1, a 1 r, a 1 r, a 1 r,....

2 10. Sucesiones geométricas 701 El n-ésimo término a n de esta sucesión está dado por la siguiente fórmula. Fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica a n a 1 r o en general a n a k r nk, donde n y k son enteros positivos y r es una razón común. E J E M P L O 1 Hallar términos de una sucesión geométrica Una sucesión geométrica tiene como primer término y una razón común de. Encuentre los primeros cinco términos y el décimo término. 1 SOLUCIÓN Si multiplicamos a sucesivamente por r 1 1, entonces los primeros cinco términos son,, 4, 8, 16. Usando la fórmula a n a 1 r con n 10, encontramos que el décimo término es a 10 a 1 r E J E M P L O Hallar un término específico de una sucesión geométrica El tercer término de una sucesión geométrica es 5 y el sexto término es 40. Encuentre el primero y el octavo términos. SOLUCIÓN 1 Nos dan a 5 y a 6 40 y deseamos hallar a 8. Los si - guien tes son sistemas equivalentes de ecuaciones con las variables a 1 y r: sea n en a n a 1 r a a 1 r 1 a sea n 6 en a n a 1 r 6 a 1 r 61 5 a 1r 40 a 1 r 5 a 5 a 6 40 Al despejar a 1 del primer sistema de ecuaciones tendremos a 1 5r. Sus ti - tu yendo esta expresión en la segunda ecuación tendremos 40 5 r r 5. Simplificando, obtenemos r 8 y por tanto r. A continuación usamos a 1 5r para obtener a Finalmente, usando a n a 1 r con n 8 tendremos a 8 a 1 r

3 70 CAPÍTULO 10 SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD SOLUCIÓN En esta solución usamos la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica. Encontrar r: a n a k r nk a 6 a r r 8 r r fórmula del n-ésimo término n 6, k términos dados divida entre 5 saque la raíz cúbica Encontrar a 1 : a a 1 r 1 5 a a 1 n, k 1 a 5, r divida entre 4 Tenga en cuenta que se utilizó k 1 para encontrar a 1, pero podríamos haber utilizado k 6. Tal vez se pregunte si podríamos usar n 1 y k. Sí, y ello nos da a 1 a r 1, que se simplifica en a 1 5() y, por último, a Encontrar a 8 : a 8 a 6 r 86 a 8 40 n 8, k 6 a 6 40, r a simplifique El siguiente teorema contiene una fórmula para la n-ésima suma parcial S n de una sucesión geométrica. Teorema: fórmula para S n La n-ésima suma parcial S n de una sucesión geométrica con primer término a 1 y razón común r 1 es S n a 1 1 r n 1 r. Por definición, la n-ésima suma parcial S n de una suce- DEMOSTRACIÓN sión geométrica es Si multiplicamos ambos lados de (1) por r, obtenemos Si restamos la ecuación () de la (1), se cancelan todos los términos del lado derecho con excepción de dos y obtenemos lo siguiente: E J E M P L O S n a 1 a 1 r a 1 r a 1 r n a 1 r. rs n a 1 r a 1 r a 1 r a 1 r a 1 r n. S n rs n a 1 a 1 r n S n 1 r a 1 1 r n 1 r n S n a 1 1 r reste () de (1) factorice ambos lados divida entre 1 r Hallar una suma de términos de una sucesión geométrica Si la sucesión 1, 0., 0.09, 0.07,... es una sucesión geométrica, encuentre la suma de los primeros cinco términos (1) ()

4 10. Sucesiones geométricas 70 FIGURA 1 SOLUCIÓN Si hacemos a 1 1, r 0. y n 5 en la fórmula para S n expresada en el teorema precedente, obtenemos S 5 a 1 1 r 5 1 r (Vea en la figura 1 el apoyo de calculadora para este resultado.) E J E M P L O 4 El rápido crecimiento de términos de una sucesión geométrica Un hombre desea ahorrar dinero al separar 1 centavo el primer día, centavos el segundo día, 4 centavos el tercer día y así sucesivamente. (a) Si él continúa duplicando la cantidad separada cada día, cuánto debe haber ahorrado el quinceavo día? (b) Suponiendo que no se le agote el dinero, cuál es la cantidad ahorrada al término de 0 días? SOLUCIÓN (a) La cantidad (en centavos) separada en días sucesivos forma una sucesión geométrica 1,, 4, 8,..., con primer término 1 y razón común. Encontramos la cantidad por separar en el quinceavo día usando a n a 1 r con a 1 1 y n 15: a 15 a 1 r ,84 Entonces, debe ahorrar $16.84 en el quinceavo día. (b) Para hallar la cantidad total ahorrada después de 0 días, usamos la fórmula para S n con n 0, obteniendo (en centavos) 1 0 S 0 1 1,07,741,8. 1 Por tanto, la cantidad total ahorrada es $10,77,418.. La terminología empleada con sucesiones geométricas es análoga a la empleada con sucesiones aritméticas. Si a y b son números reales positivos, entonces un número positivo c se denomina media geométrica de a y b si a, c, b es una sucesión geométrica. Si la razón común es r, entonces r c a b c, o c ab. I LUS T R AC I Ó N Sacando la raíz cuadrada de ambos lados de la última ecuación, vemos que la media geométrica de los números positivos a y b es ab. Como generalización, k números reales positivos c 1, c,...,c k, son k medias geométricas entre a y b si a, c 1, c,...,c k, b es una sucesión geométrica. El proceso de determinar estos números se conoce como insertar k medias geométricas entre ayb. Medias geométricas Números Medias geométricas 0, ,

5 704 CAPÍTULO 10 SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD Dada la serie geométrica con primer término a 1 y razón común r 1, podemos escribir la fórmula para S n del teorema precedente en la forma Si r 1, entonces r n se aproxima a 0 cuando n aumenta sin límite. Por tanto, S n se aproxima a a 1 (1 r) cuando n aumenta sin límite. Usando la notación desarrollada para funciones racionales de la sección 4.5, tenemos El número a 1 1 r se denomina suma S de la serie geométrica infinita Esto nos da el siguiente resultado. S n a 1 1 r a 1 1 r r n. S n l a 1 1 r cuando n l. a 1 a 1 r a 1 r a 1 r. Teorema sobre la suma de Si r 1, entonces la serie geométrica infinita una serie geométrica infinita a 1 a 1 r a 1 r a 1 r tiene la suma S a 1 1 r. El teorema precedente implica que cuando agregamos más términos de la serie geométrica infinita indicada, la suma se acerca a a 1 (1 r). El siguiente ejemplo ilustra la forma en que se puede usar el teorema para demostrar que todo número real representado por un decimal periódico es racional. E J E M P L O 5 Expresar un decimal periódico infinito como número racional Encuentre un número racional que corresponda a SOLUCIÓN Podemos escribir la expresión decimal como Empezando con el segundo término, 0.07, esta suma tiene la forma dada en el teorema sobre la suma de una serie geométrica infinita, con a y r Por tanto, la suma S de esta serie geométrica infinita es Entonces, el número deseado es S a r Una prueba por división muestra que corresponde a 5.47.

6 10. Sucesiones geométricas 705 En general, dada cualquier sucesión infinita, a 1, a,..., a n,..., la expresión a 1 a a n se denomina serie infinita o simplemente una serie. Denotamos esta serie por a n. Cada número a k es un término de la serie y a n es el n-ésimo término. Como sólo sumas finitas se pueden agregar algebraicamente, es necesario definir lo que se entiende por suma infinita. Considere la sucesión de sumas parciales S 1, S,...,S n,... Si hay un número S tal que S n l S cuando n l, entonces, como en nuestra exposición de serie geométrica infinita, S es la suma de la serie infinita y escribimos S a 1 a a n. En el ejemplo previo encontramos que el decimal periódico infinito corresponde al número racional 110. Como 110 es la suma de una serie infinita determinada por el decimal, podemos escribir Si los términos de una sucesión infinita son alternadamente positivos y negativos, como en la expresión a 1 a a a 4 1 a n para números reales positivos a k, entonces la expresión es una serie alternante infinita y la escribimos en la forma a 1 a a a 4 1 a n. Los tipos más comunes de serie infinita alterna son series geométricas infinitas en las que la razón común r es negativa. E J E M P L O 6 Hallar la suma de una serie geométrica infinita Hallar la suma S de la serie geométrica infinita alterna SOLUCIÓN Usando la fórmula para S en el teorema sobre la suma de una serie geométrica infinita, con a 1 y r, obtenemos S a 1 1 r

7 706 CAPÍTULO 10 SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD Para comprobar nuestro resultado del ejemplo 6, podemos sustituir con un número razonablemente grande y hallamos la suma de esa serie geométrica. Como se ve en la figura, usar 55 términos nos da 1.8, nuestra respuesta obtenida previamente. Nota: la calculadora sólo da apoyo a nuestra respuesta; la fórmula debe usarse para hallar sumas de series geométricas infinitas. FIGURA E J E M P L O 7 Una aplicación de una serie geométrica infinita 10 Una pelota de caucho se deja caer desde una altura de 10 metros. Suponga que rebota la mitad de la distancia después de cada caída, como se ilustra con flechas en la figura. Encuentre la distancia total que se mueve la pelota SOLUCIÓN La suma de las distancias que baja la pelota y la suma de las distancias que se mueve en los rebotes forma dos series geométricas infinitas: Serie hacia abajo: Serie hacia arriba: Suponemos que la distancia total S que se mueve la pelota se puede hallar al sumar las sumas de estas series infinitas. Esto nos da S Usando la fórmula S a 1 (1 r) con a 1 5 y r 1, obtenemos S m. Un problema relacionado: alguna vez llega la pelota al reposo? Vea el ejercicio de análisis 7 al final de este capítulo. 10. Ejercicios Ejer. 1 : Demuestre que la sucesión dada es geométrica y encuentre la razón común. 1 5, 5 4, 5 16,..., 5 1 4, , 7, 9 7,...,1 7,... Ejer. 14: Encuentre el n-ésimo término, el quinto término y el octavo término de la sucesión geométrica. 8, 4,, 1, , 1., 0.6, 0.108, n ; 1 ; ; 0.04; , 0,, 0., ,,,, ; 0.0; ; 9; 7 7 5, 5, 15, 65,... 8, 6, 18, 54,... 5 n ; 15; 90,65 ; 16; , 6, 9, 1.5, , 54, 18, 6,... ; 0.5; ; ; 11 1, x, x 4, x 6, , x, x x n ; x 8 ; x 14 1 ; x, x1, x1, x1,... x1 ; 4x1 ; 7x1 10, 10 x1, 10 4x, 10 6x5, xn ; 10 8x7 ; 10 14x1, x 7,... x 4 x7 ;

8 10. Sucesiones geométricas 707 Ejer : Encuentre todos los posibles valores de r para una sucesión geométrica con los dos términos dados. 15 a 7, a a 4 1, a a 4, a a 4, a Ejer. 19 6: Encuentre los términos específicos de la sucesión geométrica que tiene los dos términos dados a 6 ; a 1 4, a a 7 ; a, a 9 1 ; 401 a 5 ; a 1 4, a 7 64 a 10 ; a 4 4, a a 9 ; a, a a 7 ; a 1 4, a 1 6 ; a, a4 6 4 Ejer. 7 0: Encuentre la suma S n de la sucesión geométrica que satisface las condiciones dadas 7 8 a 1 17 r, n , 9 a r 1 4 7, n 7 109, 0 a 6 a 8 a 1 16, a 4 4 1, a, r, a n r 1 4, 105 n 6 4 Ejer. 1 6: Encuentre la suma k 88,57 9 k j j Ejer. 7 40: Exprese la suma en términos de notación de suma. (Las respuestas no son únicas.) n n k k 79 14j k7 j k Ejer : Encuentre la suma de la serie geométrica infinita si existe Does not exist Does not exist x x x, x 9 7 x x x 50 x 4x 8x, x 1 1 x Ejer : Encuentre el número racional representado por el decimal periódico , Encuentre la media geométrica de 1 y Encuentre la media geométrica de 0 y , , Inserte dos medias geométricas entre 4 y , 0, 100, Inserte tres medias geométricas entre y 51., 8,, 18, 51 6 Uso de una bomba de vacío Una bomba de vacío saca la mitad del aire de un recipiente en cada carrera del pistón. Después de 10 carreras del pistón, qué porcentaje de la cantidad original de aire continúa en el recipiente? 64 Cálculo de una depreciación La depreciación anual de cierta máquina es 5% de su valor al principio del año. Si el costo original de la máquina es $0,000 cuál es su valor después de 6 años? $ Crecimiento de bacterias Cierto cultivo contiene inicialmente 10,000 bacterias y aumenta en 0% cada hora. (a) Encuentre una fórmula para el número N(t) de bacterias presentes después de t horas Nt 10,0001. t (b) Cuántas bacterias hay en el cultivo al término de 10 horas? 66 Intereses sobre ahorros Una cantidad de dinero P se deposita en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de r por ciento por año capitalizado trimestralmente; el principal y el interés acumulado se dejan en la cuenta. Encuentre una fórmula para la cantidad total en la cuenta después de n años

9 708 CAPÍTULO 10 SUCESIONES, SERIES Y PROBABILIDAD 67 Pelota que rebota Una pelota de caucho se deja caer desde una altura de 60 pies. Si rebota aproximadamente dos tercios de la distancia después de cada caída, use una serie geométrica infinita para calcular la distancia total que recorre la pelota 00 ft EJERCICIO 7 Madre 68 Movimiento de un péndulo La pesa de un péndulo oscila en un arco de 4 centímetros de largo en su primera oscilación. Si cada oscilación sucesiva es aproximadamente cinco sextos de la longitud de la precedente, use una serie geométrica infinita para calcular la distancia total que viaja la pesa. 144 cm 69 Efecto multiplicador Una empresa fabricante que acaba de instalarse en una pequeña comunidad pagará dos mi - llones de dólares por año en salarios. Se ha estimado que 60% de estos salarios se gastarán en la localidad y 60% del dinero gastado cambiará de manos otra vez dentro de la comunidad. Este proceso, llamado efecto multiplicador, se repite hasta el infinito. Encuentre la cantidad total de gasto local que será generado por los salarios de la compañía. $,000, Erradicación de plagas En un programa de erradicación de plagas, N moscas macho esterilizadas se sueltan en una población general cada día. Se estima que 90% de estas moscas seguirán con vida en un día determinado. (a) Demuestre que el número de moscas esterilizadas de la población n días después de iniciado el programa es N 0.9N 0.9 N 0.9 N. (b) Si la meta del programa a largo plazo es mantener 0,000 moscas esterilizadas en la población, cuántas moscas deben soltarse todos los días? 000 Lector 7 La primera figura muestra algunos términos de una sucesión de cuadrados S 1, S,..., S k,. Denote con a k, A k y P k el lado, área y perímetro, respectivamente, del cuadrado S k. El cuadrado S está construido a partir de S k al conectar cuatro puntos en S k, con cada punto una distancia de desde un vértice, como se ve en la segunda figura. (a) Encuentre la relación entre a y a k. a a k (b) Encuentre a n, A n, y P n. a n a 1, 16a (c) Calcule P n EJERCICIO 7 Padre a k 1 4 a k A n 5 8 A 1, P n P 1 71 Dosis de medicamento Cierto medicamento tiene una vida media de horas en el torrente sanguíneo; está formulado para ser administrado en dosis de D miligramos cada 4 horas pero D está por determinarse. ~a k a (a) Demuestre que el número de miligramos de medicamento en el torrente sanguíneo después que la n-ésima dosis se ha administrado es D 1 4 D 1 4 D y que esta suma es aproximadamente grandes de n. 4 D para valores (b) Un nivel de más de 500 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo se considera peligroso. Encuentre la dosis máxima que se pueda dar repetidamente en un periodo largo. 7 Genealogía En la figura se muestra un árbol genealógico que muestra la generación actual (el lector) y generaciones anteriores, con un total de 1 abuelos. Si usted rastrea la historia de su familia hasta 10 generaciones, cuántos abuelos encontraría? La figura muestra varios términos de una sucesión formada por círculos y cuadrados alternados. Cada círculo está inscrito en un cuadrado y cada cuadrado (excluyendo el mayor) está inscrito en un círculo. Denote con S n el área del n-ésimo cuadrado y con C n el área del n-ésimo círculo. (a) Encuentre las relaciones entre S n y C n y entre C n y S (b) Qué parte del cuadrado más grande está sombreada en 4 la figura? 4%

10 10. Sucesiones geométricas 709 EJERCICIO 74 (c) Escriba una serie geométrica que calcule el área total removida después de n pasos. 1 n 4 4 (d) Determine el área total removida después de 1 pasos 97% 77 Anualidad Si se hace un depósito de $100 en el primer día de cada mes en una cuenta que paga 6% de interés por año capitalizado mensualmente, determine la cantidad en la cuenta después de 18 años. $8, Tamiz de Sierpinski El tamiz de Sierpinski, diseñado en 1915, es un ejemplo de un fractal (figura geométrica con cada parte igual al todo). Puede construirse comenzando con un triángulo equilátero negro sólido; este triángulo se divide en cuatro triángulos equiláteros congruentes y se elimina el triángulo del medio. En el siguiente paso, cada uno de los tres triángulos equiláteros restantes se divide en cuatro triángulos equiláteros congruentes, y se elimina el triángulo del medio de cada uno de estos triángulos, como se ve en la primera figura. En el tercer paso se eliminan nueve triángulos. Si el proceso se continúa indefinidamente, resulta el tamiz de Sierpinski (vea la segunda figura). EJERCICIO Anualidad Consulte el ejercicio 77. Demuestre que si el depósito mensual es P dólares y la tasa es r% por año capitalizada mensualmente, entonces la cantidad A en la cuenta después de n meses está dada por A P 1 r r n Anualidad Use el ejercicio 78 para hallar A cuando P $100, r 8% y n 60 $ Anualidad Consulte el ejercicio 78. Si r 10%, aproximadamente cuántos años se requieren para acumular $100,000 si el depósito mensual P es (a) $100 (b) $00.5 yr 16.4 yr Ejer. 81 8: El método de doble disminución de saldo es un método de depreciación en el que, después de cada año k = 1,,,, n, el valor de una propiedad se reduce en la fracción A k de su costo inicial. n (a) Encuentre una sucesión geométrica a k que dé el número de triángulos removidos en el k-ésimo paso a k (b) Calcule el número de triángulos removidos en el decimoquinto paso. (c) Suponga que el triángulo inicial tiene un área de 1 unidad. Encuentre una sucesión geométrica b k que dé el área removida en el k-ésimo paso. b k (d) Determine el área removida en el séptimo paso , % 76 Tamiz de Sierpinski Consulte el ejercicio 75 (a) Escriba una serie geométrica que calcule el número total de triángulos removidos después de n pasos. n (b) Determine el número total de triángulos removidos después de 1 pasos. 65,70 81 (a) Si n 5, encuentre A 1, A,...,A 5. (b) Demuestre que la sucesión en (a) es geométrica y encuentre S 5. r 5 ; (c) Si el valor inicial de una propiedad es $5,000, cuánto de su valor se ha depreciado después de años? 8 (a) Si n es cualquier entero positivo, encuentre A 1, A,..., A n. n, 1, n n,..., n (b) Demuestre que la sucesión en (a) es geométrica y encuentre. S n

11 Respuestas a ejercicios seleccionados A69 EJERCICIOS Demuestre que a a k 4. 4n ; 18; 8 5 n 19; 4; n; 1.8; n 10.1; 5.4; x 15 n (x ); 0; 10x 15 1 ln n ; ln 5 ; ln j n o 4 4 7n n o n n 41 o 5 n 4n 7 4n n o , 14, 6,, 6 5 5,, 9 55 (a) 60 (b) 1, ft 61 $ n 65 Demuestre que el n 1-ésimo término es 1 más que el n-ésimo término. 67 (a) 8 6, 7 6, 6 6,..., 1 6 (b) d 1 6 ;1 (c) $7. EJERCICIOS Demuestre que 5 4n ; 1 ; ; 0.0; n ; 15; ; 0.5; x n ; x 8 ; x 14 1 x1 ; 4x1 ; 7x j 7 7 n Como r 1, la suma no existe. x x , 0, 100, % 0.1% (a) Nt 10,0001. t (b) ft 69 $,000, (b) 75 mg 7 (a) 8 1 n0 n0 n a a k a a k (b) a n 1 4 P n 10 a 1, A n 5 1, 8A 1 (c) a 1 P (a) a k (b) (c) b k (d) 4.45% 16,84 77 $ $ (a) 5, 6 5, 18 15, 54 65, (b) r (c) $ ; EJERCICIOS 10.4 Ejer. 1 4: Se da una prueba típica para los ejercicios 1, 5, 11, 15, 19,, 7, y 1. 1 (1) P 1 es verdadera, porque () Suponga que P k es verdadera: 4 6 k kk 1. Por tanto, 4 6 k k 1 kk 1 k 1 k 1k k 1k 1 1. Entonces, P es verdadera y la demostración está completa. 5 (1) es verdadera, porque: P 1 4 k () Suponga que es verdadera: P k k 1 k5k 1. Por tanto, 7 1 5k 5k 1 1 k5k 1 5k 1 5 k 9 k 1 5k 9k 4 1 k 15k 4 1 k 15k 1 1. Entonces, P es verdadera y la demostración está completa. 11 (1) P 1 es verdadera, porque: () Suponga que P k es verdadera: kk 1k 1 1 k. 6 Por tanto, 1 k k 1 kk 1k 1 k 1 6 kk 1 6k 1 k 1 6 6