Unidad Nº 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss! 24

Transcripción

1 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA "# Discute los siguientes sistes de ecuciones: k k b c d ---oooo--- k k k k k k k k Siste coptible deterindo pr todo vlor de k. b (,, Solución trivil S.C.I incognits Ecuciones c Siste coptible deterindo pr culquier vlor de que l tercer ecución no depende de. d 8 S.C.D. incógnits Ecuciones S.C.I. incógnits Ecuciones 8 "' Discute los siguientes sistes resuélvelos cundo se posible : k / b ---oooo---

2 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA S.C.D. k S.C.I k k k k k k / ( Si k -/ el siste const de un sol ecución dos incógnits, es coptible e indeterindo: ;, si hceos λ, l solución es ( λ, λ- ( Si k -/, h dos ecuciones dos incógnits, luego el siste es coptible deterindo, que resolveos: (k Solución (, b, Si, h dos ecuciones con tres incógnits, luego el siste es coptible e indeterindo, lo resolveos: si hceos λ, l solución es: λ, Si, el siste es incoptible l ª ecución serí iposible. "* Resuelve por el étodo de Guss es siguiente siste e interprétlo geoétricente:

3 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 6 Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA s.c.i. Si hceos λ, l solución es ( λ, λ, - λ. Los cutro plnos se cortn según un rect: " Resuelve cd uno de los siguientes sistes pr los vlores de que lo hcen coptible : b ---oooo--- ; Si, quedn dos ecuciones con incógnits luego el siste es coptible deterindo, lo resolveos: Solución(, Si, l tercer fil es iposible el siste serí incoptible.

4 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA b ; Si -, el siste tendrí dos ecuciones ( ls dos ultis serín nuls tres incógnits el siste serí coptible e indeterindo, lo resolveos: Si hceos λ l solución del siste es λ λ λ,, Si -, l curt fil seri iposible el siste incoptible. ", Discute resuelve en función del práetro : b ---oooo--- Si l tercer fil serí nul quedn dos ecuciones con tres incógnits, luego el siste serí coptible e indeterindo, lo resolveos: Si hceos λ, l solución del siste serí:

5 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 8 Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA ( - λ, - λ. Si tendríos tres ecuciones tres incógnits, el siste serí coptible deterindo, lo resolveos: ( Solución ( -,,. b Si, l segund fil serí iposible ( el siste socido incoptible. Si, hbrí tres ecuciones tres incógnits, luego el siste serí coptible e indeterindo, lo resolveos: ( ( 6 L solución del siste es:,, "- Discute los siguientes sistes según los vlores de α e interprétlos geoétricente : α α α α 6 b ---oooo--- α α α α α α α α α α α ± ± α α, hbrá que discutir csos:

6 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 9 Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA Si α, l tri del siste qued,coo qued un ecución con dos incógnits, luego el siste serí coptible deterindo. Lo resolveos: - ;, si hceos λ, l solución es: ( λ, λ. Desde el punto de vist geoétrico se trt de dos rects coincidentes: Si α -, l tri del siste qued coo l ecución socid l ª fil serí iposible, el siste es incoptible. Se trt de os rects prlels: Si α ±, el siste es coptible deterindo. Ls dos rects son secntes pues se cortn en un punto coún. b α α α 8 6 6

7 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA 8 α α α Si α, l ª fil drí lugr un ecución iposible el siste serí incoptible. Los tres plnos se cortn dos dos según rects pero no tienen puntos counes los tres: Si α, el siste serí coptible deterindo los tres plnos se cortrín en un punto../ Se consider el siste de ecuciones lineles : 6 ( Encuentr un vlor del práetro pr el cul el siste se incoptible. b Discute si eiste lgún vlor del práetro pr el cul el siste se coptible deterindo. c Resuelve el siste pr ---oooo ( pr que el siste se incoptible, es decir con lo que l ecución socid l ª fil serí iposible ( no puede ser igul. b Coo sólo quedn dos ecuciones tres incógnits, el siste serí coptible pero indeterindo pr.

8 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA c Si, el siste qued: si λ, l solución es λ λ,,." Consider el siste de ecuciones : eiste un solución en l que se igul? b Resuelve el siste. c Interprétlo geoétricente. ---oooo--- coo quedn dos ecuciones tres incógnits el siste es coptible e indeterindo, lo resolveos: si hceos λ, l solución es: λ λ λ,, pr que λ λ, con lo cul l solución serí (,,. b Lo heos resuelto en el prtdo nterior. c Tres plnos que se cortn según un rect:

9 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss!.. En ciert helderí, por un cop de l cs, dos horchts cutro btidos te cobrn un dí. Otro dí, por cops de l cs horchts te cobrn, un tercer dí, te piden 6 por un horcht cutro btidos. Tienes otivos pr pensr que lguno de los tres dís te hn presentdo un cuent incorrect? ---oooo--- Pr plnter estos ejercicios es conveniente, disponer l inforción ls incógnits en un tbl que nos ude, coenndo por signr un síbolo ls incógnits: Cntiddes Costes Productos Precios er dí º dí er dí er dí º dí er dí Cops Horchts Btidos Totl ( 6 Y es sencillo plnter el siste de tres ecuciones con tres incógnits que debe cuplirse: tri l ª fil d lugr un ecución iposible ( no puede ser igul 6 luego el siste no tiene solución ( es incoptible, lgún dí hn vrido los precios l cuent es incorrect.. Dos igos invierten cd uno. El priero coloc un cntidd A l % de interés, un cntidd B l % el resto l 6%. El otro invierte l is cntidd A l %, l B l 6% el resto l %. Deterin ls cntiddes A, B C sbiendo que el priero obtiene unos intereses de el segundo de oooo--- H resolver un siste de tres ecuciones con tres incógnits ( A, B C: L su de cntiddes invertids A B C Los intereses percibidos por elº,a,b,6c Los intereses percibidos por el º 9,A,6B,C 9 A B C A B 6C 6 A 6B C Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

10 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! A B C A B C s.c.d. B C B C C C Ls cntiddes invertids son: ( A, B, C COMPROBACIÓN! L su de los invertido son A B C.! Intereses del priero,,,6 6.! Intereses percibidos por el segundo,,6, 9..# Un tiend h vendido 6 ejeplres de un videojuego por un totl de 6 8. El precio originl er de, pero tbién h vendido copis defectuoss con descuentos del % del %. Sbiendo que el núero de copis defectuoss vendids fue l itd del de copis en buen estdo, clcul cuánts copis se le plicó el % de descuento. ---oooo--- Tipo Cntiddes Ingresos ( Originles Copis l % 8, Copis l %, Totl 6 68 Teneos dos ecuciones, l tercer es l relción entre ls cntiddes de los distintos tipos de videos: ,, Siste luego ls copis vendids l % de descuento fueron. Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

11 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Coprobción! Ejeplres vendidos 8 6 ejeplres.! Copis defectuoss l itd de ls originles / /.! Ingresos,, 8,, ' Un cjero utoático contiene 9 billetes de, un totl de. Sí el núero de billetes de es el doble que el núero de billetes de, verigu cuántos billetes h de cd tipo. El siste qued: ---oooo--- Tipo billete Cntidd de billetes Dinero ( De De De Totl S.C.D. 8 Solución: ( billetes de, billetes de billetes de. Coprobción! Totl de billetes De de de 9 billetes! Dinero.! Nº de billetes de billetes doble ( nº de billetes de. Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

12 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss!.* Se dispone de tres cjs A, B C con oneds de euro. Se sbe que en totl h 6 euros. El núero de oneds de A ecede en l su de ls oneds de ls otrs dos cjs. Si se trsld oned de l cj B l cj A, est tendrá el doble de oneds que B. Averigu cuánts oneds hbí en cd cj. ---oooo--- Cjs Moneds Ps B A A B - C Totl 6 6 Moneds en totl El tipo A tipo B tipo C Nº tipo A ( nº tipo B, después del trsldo ( S.C.D Hbí 9 oneds en A, en B 6 en C Coprobción! Dinero totl ( que cd oned es de.! Nº oneds en A 9 ecede en l su de B C 6.! Si psos oned de B A, B se qued con A con, que son el doble de ls que h en A.. Un especuldor dquiere objetos de rte por un precio totl de illones de euros. Vendiéndolos, esper obtener de ellos uns gnncis del %, del % del %, respectivente, con lo que su beneficio totl serí de 6. Pero consigue ás, pues con l vent obtiene gnncis del 8%, del 9% del 8%, respectivente, lo que le d un beneficio totl de, illones de euros. Cuánto le costó cd objeto? ---oooo--- Objetos Precios Beneficio Gnncis esperdo A,,8 B,,9 C,,8 Totl MM 6 Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

13 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 6,,, ,8,9, S.C.D. Coprobción! Precio de los tres objetos.! Gnncis esperds,,,,,, 6.! Gnncis obtenids,8,9,8,8,9,8 6.., Un epres dispone de pr ctividdes de forción de sus cien epledos. Después de estudir ls necesiddes de los epledos, se h decidido orgnir tres cursos: A, B C. L subvención por person pr el curso A es de, pr el curso B es de 6, de pr el C. Si l cntidd que se dedic l curso A es cinco veces or que l correspondiente l B, cuántos epledos siguen cd curso? ---oooo--- Cursos Epledos Dinero A B 6 C Totl Ls dos priers ecuciones están clrs, ls obteneos directente de l tbl, l que flt es: Cntidd dedicd l curso A ( cntidd dedicd l curso B, es decir 6; 8;,. Luego el siste qued: Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

14 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 9 S.C.D Solución: (Curso A epledos, curso B epledos, curso C Coprobción! Nº de epledos que prticipn en los tres cursos.! Euros destindos forción ! Epledos que prticipn en el curso A epledos (epledos que prticipn en el curso B epledos..- Antonio tiene un ño ás que Jun, Luis, uno ás que Ángel. Deterin l edd de los cutro sbiendo que l de Luis es l su de l tercer prte ás l sépti prte de l de Antonio que l de Ángel es l su de l curt prte ás l quint prte de l de Jun. ---oooo--- Edd de Antonio. Edd de Jun uno enos que Antonio. Edd de Luis. Edd de Ángel uno enos que Luis. Edd de Luis ( tercer prte sépti prte de l de Antonio. Edd de Ángel ( curt prte quint prte de Jun. Psos ests dos últis ecuciones vribles: ( S.C.D. luego ls eddes son: Antonio ños. Jun ños. Luis ños. Ángel 9 ños. Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

15 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 8 Coprobción Edd de Luis (tercer prte sépti prte de Antonio. 9 Edd de Ángel 9 (curt prte quint prte de Jun 9. / Tres igos cuerdn jugr tres prtids de ddos de for que, cundo uno pierd, entregrá cd uno de los otros dos un cntidd igul l que cd uno poseer en ese oento. Cd uno perdió un prtid, l finl cd uno tení. Cuánto teni cd jugdor l coenr? ---oooo--- Pierde Inicil ª prtid ª prtid ª prtid Priero - (-- (-- Segundo ( -- (-- Tercero -(---(-- Totl Del últi colun teneos ls tres ecuciones que forn el siste: ( 6 ( S.C.D El priero tení inicilente 9, el segundo el tercero Coprobción Pierde Inicil ( ª prtid( ª prtid( ª prtid( Priero 9 6 Segundo Tercero 8 Totl " Un joero tiene tres clses de oneds: A, B C. Ls oneds de tipo A tienen gros de oro, gros de plt gros de cobre; ls de tipo B tienen 6 gros de oro, gros de plt gros de cobre, ls de tipo C tienen 8 gros de oro, 6 gros de plt 6 gros de cobre. Cuánts oneds de cd tipo debe fundir pr obtener gros de oro, gros de plt gros de cobre? Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

16 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 9 ---oooo--- Tipo oneds Cntidd Oro (g Plt (g Cobre (g A B 6 C Totl De ls tres últis coluns obteneos el siste: : 6 8 : 6 : S.C.D. Debe fundir oneds de tipo A, de tipo B de tipo C. Coprobción 98 Tipo oneds Cntidd Oro (g Plt (g Cobre (g A 6 B 6 8 C Totl. Un fbricnte produce electrodoésticos. L fábric bstece tiends, que dendn tod l producción. En un ciert sen, l prier tiend solicitó tnts uniddes coo l segund tercer junts, ientrs que l segund pidió un % ás que l su de l itd de lo pedido por l prier ás l tercer prte de lo pedido por l tercer. Qué cntidd solicitó cd un? ---oooo--- L prier tiend solicit electrodoésticos, l segund l tercer. Totl de electr. prier segund tercer Segund,(Pr ier / tercer /, S.C.D. 6 6 Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

17 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! L prier tiend solicit electrodoésticos, l segund l tercer 6. Coprobción Totl 6. Solicit l ª solicit l ª solicit l ª 6. Pr ier tercer 6 Segund,,, 6 Se ecln 6 l de vino blnco con l de vino tinto se obtiene un vino de grdos (% de lcohol. Si, por el contrrio, se ecln l de blnco con 6 l de tinto, se obtiene un vino de grdos. Qué grdución tendrá un ecl de l de vino blnco l de vino tinto? ---oooo--- porcentje de lcohol en el vino blnco. porcentje de lcohol en el vino tinto. 6 ( 6,6, 8 6 (,,6 8, S.C.D. 8 9, 8, 9, Si eclos l de vino blnco de grdción 9, % con l de vino tinto (grdción, % se obtienen 8 l de ecl de grdción:,9, 8, %. CUESTIONES TEÓRICAS (págin 6 # Se puede conseguir que un siste coptible indeterindo de ecuciones con incógnits se incoptible ñdiéndole otr ecución? ---oooo--- Si, si l ecución que ñdios es cobinción linel de l incógnits pero no de los térinos independientes, por ejeplo: El siste Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

18 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA 9 9 S.C.D tiene por solución ( -, si ñdios un ecución que se ((- pero iguld un núero distinto de, por ejeplo: l últi fil es un desiguldd ( eso hce el siste incoptible. ' Si un siste de ecuciones con incógnits incoptible le gregos otr ecución, podríos logrr que fuer coptible indeterindo? Y deterindo? Justific ls respuests. ---oooo--- No, si ls dos ecuciones que forn el siste son incoptibles, el que ñdos otr ecución no v cbir ese hecho, seguirá siendo incoptible. * Dds ls ecuciones: Añde un ecución pr que el siste se: Incoptible. b Coptible deterindo. ---oooo--- Pr que se incoptible, l ecución ñdir h de tener ls incógnits coo un cobinción linel de ls dos que teneos, pero no los térinos independientes, es decir, l nuev ecución será: α( β( α - β, por ejeplo, si α β, l nuev ecución serí, el siste qued: 6 6 l últi fil hce el siste incoptible. b L ecución no h de ser proporcionl ni cobinción linel de ls dds, ni de l for del prtdo, por ejeplo :

19 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA L solución: (, 9, Define cuándo dos sistes de ecuciones lineles son equivlentes. Justific si son equivlentes o no los siguientes sistes: ---oooo--- Dos sistes son equivlentes si tienen ls iss soluciones, lo que no ocurre en este cso, que el priero es coptible e indeterindo con infinits soluciones (dos ecuciones tres incógnits el segundo un solución únic., Encuentr dos vlores del práetro pr los cules este siste se incoptible: ---oooo--- 6 Si, l ª fil drí un ecución incoptible:. Si 6, l ª fil drí un ecución incoptible: -. - Sen S S' dos sistes equivlentes con solución únic que tienen igules los térinos independientes. Podeos segurr que tienen igules los coeficientes de ls incógnits? ---oooo--- No, pues pueden ser dos pres de rects secntes en el iso punto, l solución únic.

20 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Por ejeplo, los sistes tienen por solución (,, los isos térinos independientes pero distintos coeficientes, son cutro rects secntes en el (, diferentes: PARA PROUNDIZAR (págin 9 #/ En el trecto que h entre su cs el trbjo, un individuo puede repostr gsolin en estciones de servicio (A, B C. El individuo recuerd que este es el precio de l gsolin en A h sido de, /litro el precio en B, de,8 /litro, pero h olviddo el precio en C (supongos que son /litro, con desconocido. Tbién recuerd que: L su del gsto en litros de gsolin en ls estciones A B superó en 6,8 l gsto en C. El núero de litros consuidos en B fue el iso que en C. El gsto en litros en A superó l de B en,6. Plnte un siste de ecuciones (en función de pr deterinr los litros consuidos en cd gsoliner. b Estudi l coptibilidd del siste en función de. Puedes dr lgún precio l que se iposible hber vendido l gsolin en C? Si llos: ---oooo--- nº de litros repostdos en A. nº de litros repostdos en B. nº de litros repostdos en C. Se cuplirá: Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

21 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA,6,8, 6,8,8,,6,8, 6,8,8,,6,8, 6,8,8,,6,8,,,6,6,8,,,6,6 Coo,6, si,6, teneos: " Si,6, l prier fil drí un ecución iposible elsite serí incoptible. A,6 no puede vender l gsolin l estción C.. Si,6 el siste es coptible deterindo. #"Discute los siguientes sistes en función del práetro resuélvelos en el cso en que sen coptibles indeterindos: b ---oooo--- Si, l tri qued el siste socido es incoptible l tercer fil d lugr un ecución iposible. Si, l tri qued el siste es coptible e indeterindo, hciendo λ, l solución es ( - λ,, λ Si, el siste es coptible deterindo. b

22 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA ± ± 8 Si - l tri del siste es el siste es incoptible. Si l tri del siste es el siste es coptible e indeterindo, lo resolveos: si hceos λ, l solución es ( λ, - λ, λ Si -, el siste es coptible deterindo. #. Discute el siguiente siste según los vlores del práetro : Interprétlo geoétricente. ---oooo--- el siste es incoptible que ls dos priers ecuciones dn distintos vlores pr ( /, -. Los dos prieros plnos son prlelos (incoptibilidd el tercero les cort.

23 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 6 - el siste es incoptible ( segund ecución iposible Los dos últios plnos son prlelos el tercero los cort. # Resuelve el siguiente siste: t t t t w w w w 6 Si sus ls cinco igulddes, obtendrás otr con l que se te pueden siplificr ucho los cálculos. ---oooo--- Si suos ls ecuciones, coo nos recoiend el utor: t w 6, es decir ( t w 6, o se t w 9. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t por teneos: t w w 9, luego w 9. ( Si teneos en cuent l segund ecución sustituios w por 6 teneos: t w 6 t 9, luego t 9 6. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por teneos: t w 9, luego 9. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por teneos: t w 9, luego 9. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por teneos: t w 9, luego 9. Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

24 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! ## Nos dicen que,,, t w son núeros enteros que k vle 6 ó 8. Decide rondente cuál de los dos es su vlor resuelve el siguiente siste: t t t t w w w w k ---oooo--- Si procedeos, coo en el ejercicio nterior, sur ls ecuciones, teneos: t w 8 k, es decir ( t w 8 k, o se: t w 8/ k/; t w k/, luego k h de ser últiplo de cutro pr que l su se enter ( que se nos dice que los sundos lo son 6 es últiplo de 8 no, entonces deducios que k 6, por tnto t w 6. Pr hllr ls incógnits procedeos coo en el ejercicio nterior: ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t por teneos: t w w 6, luego w 6. ( Si teneos en cuent l segund ecución sustituios w por 6 teneos: t w 6 t 6, luego t 6 6. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por 8 teneos: t w 8 6, luego ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por 9 teneos: t w 9 6, luego 6 9. ( Si teneos en cuent l prier ecución sustituios t w por 6 teneos: t w 6 6, luego 6 6. #' Un cudrill de obreros se coproete podr los árboles de un plntción. Trbjn de lunes sábdo. Cd dí, cutro de ellos podn el quinto los tiende (repone herrients, les d gu, recoge los troncos que cen... Cd obrero pod el iso núero dirio de árboles; es decir, si Alberto pod 8 árboles un dí, podrá 8 árboles cd dí que interveng. Los resultdos son: Lunes: árboles poddos. Mrtes: 6 árboles poddos. Miércoles: 6 árboles poddos. Jueves: 8 árboles poddos. Viernes: 8 árboles poddos. Sábdo: 9 árboles poddos. Clcul cuántos árboles dirios pod cd uno de los cinco obreros sbiendo que ninguno de ellos está los seis dís podndo. Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA

25 Unidd Nº Sistes de ecuciones. Método de Guss! 8 ---oooo--- w nº de árboles dirios que pod el obrero que descns el lunes. t nº de árboles dirios que pod el obrero que descns el rtes. nº de árboles dirios que pod el que descns el jueves. nº de árboles dirios que pod el que descns el sábdo. nº de árboles dirios que pod el obrero que flt. (Descnsrá el iércoles o el viernes; coincidirá con t o con. Luego los árboles que podn cd dí, teneos el siste: t w 6 t w 8 en donde k será 6 o 8 t w 9 t w k Esto es justo el ejercicio nterior que heos resuelto, luego: w nº de árboles dirios que pod el obrero que descns el lunes. t nº de árboles dirios que pod el obrero que descns el rtes. nº de árboles dirios que pod el que descns el jueves 8. nº de árboles dirios que pod el que descns el sábdo nº de árboles dirios que pod el obrero que flt. Coprobción t t t t w w w w k Mteátics plicds ls Ciencis Sociles II. ANAYA