MATEMÁTICAS I SEPTIEMBRE 2005

Transcripción

1 MTEMÁTICS I SEPTIEMBRE 5 INSTRUCCIONES El eamen resenta ds cines B; el alumn deberá elegir una de ellas resnder ranadamente a ls cuatr ejercicis de que cnsta dicha ción. Para la realiación de esta rueba uede utiliarse calculadra cientíica, siemre que n disnga de caacidad gráica de cálcul simbólic. TIEMPO MÁXIMO Una hra media. CLIFICCIÓN Cada ejercici lleva indicada su untuación máima. Ejercici. (Puntuación máima unts) OPCIÓN En una emresa de alimentación se disne de Kg. de harina de trig 5 Kg. de harina de maí, que se utilian ata btener ds tis de rearads B. La rearación del rearad cntiene gr de harina de trig gr. de harina de maí, cn 6 cal de valr energétic. La ración de B cntiene gr. de harina de trig gr. de harina de maí, cn cal de valr energétic. Cuántas racines de cada ti ha que rearar ara btener el máim rendimient energétic ttal? Obtener el rendimient máim. Variables nº de racines de rearad. nº de racines de rearad B. Dats Harina de trig Harina de Maí Calrías Prearad gr gr 6 Prearad B gr gr Valres Máims Kg 5 Kg Función bjetiv F, 6 Restriccines ' ' ' ' 5 5 Región actible Las restriccines,, sitúan la región actible en el rimer cuadrante. Si se tma (, ) cm reerencia, las ds inecuacines restantes se cumlen, r l que la región actible queda 5 delimitada cm el cuadriláter de la igura.

2 Vértices 5 5 (,) B B ( 5,5) C C ( 5, ) Otimación F(, ) 6 8. B C 5. El máim de la unción bjetiv cumliend las restriccines ruestas es de 5. calrías, se btiene cn 5 rearads ti 5 rearads ti B Ejercici. (Puntuación máima unts) Se cnsidera la curva de ecuación. Se ide (a) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el unt de abscisa. La ecuación de la recta tangente a una unción en un unt en rma unt-endiente es m ( ) (, ) Punt dnde m Pendiente Teniend en cuenta que la endiente de la recta tangente es la derivada de la unción articulariada en el unt ( m ( )), que el unt ertenece a la unción r tant tiene la rma (, ( )), la ecuación de la tangente en el unt tiene la rma () se btiene sustituend en la unción () () se btiene sustituend en la derivada ( ) ( ) ( ) () ( ) Sustituend en la eresión de la recta tangente rdenand en rma elicita

3 (b) Hallar las asínttas de la curva. sínttas verticales Teniend en cuenta que ara td R, su Dmini es td R, r tant n tiene asínttas verticales. sínttas hrintales ± (r ser el grad del numeradr mar que ± ± el del denminadr). La unción n tiene asínttas hrintales sínttas blicuas m n. m n La unción tiene una asíntta blicua sbre la recta ( m) Otra rma de calcular la asíntta blicua, ttalmente válida, es dividiend ls linmis r el métd de la caja, el cciente igualad a es la asíntta blicua. Ejercici. (Puntuación máima unts) En un clectiv de inversres bursátiles, el % realia eracines vía Internet. De ls inversres que realian eracines vía Internet, un 8% cnsulta InBlsaWeb. De ls inversres bursátiles que n realian eracines vía Internet sól un % cnsulta InBIsaWeb. Se ide (a) Obtener la rbabilidad de que un inversr bursátil elegid al aar en este clectiv cnsulte InBlsaWeb. Sucess Hace eracines vía Internet; B Cnsulta InBlsaWeb Dats ' B ; B ' ; ' 8 INCOMPTIBLES Se ide ( B) ( B) ( B ) S. ( B) ( B) ( B ) B { '8} ''8 '8 ' ' S. DEPENDIENTES (b) Si se elige al aar un inversr bursátil de este clectiv resulta que cnsulta InBIsaWeb, cuál es la rbabilidad de que realice eracines r Internet? BYES Se ide ( B ) B ' '8 '5 B B B '

4 Ejercici. (Puntuación máima unts) La duración de las baterías de un determinad mdel de telén móvil tiene una distribución nrmal de media 5 hras desviación tíica 6 hras. Se tma una muestra aleatria simle de 6 teléns móviles. (a) Cuál es la rbabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra esté cmrendida entre,5 hras? Duración de las baterías en hras. Variable cntinua que sigue una distribución nrmal cus arámetrs sn µ Media '5 h N( µ, σ) N( '5, 6') σ Desviación 6' h Si se tman muestras de tamañ 6, las medias de la muestras también siguen una distribución nrmal. σ 6' N, { n 6} N'5, µ N( '5,'5) n 6 Se ide '5 TIPIFICNDO µ ' 7 ( '5) ' 5 ( ' 7 ' 87) N( '5,'5) σ '5 '5 '5 '87 ' 5 ( '87 ' 7) ( ' 7) ( < '87) φ( ' 7) φ( ' ) 87 N(,) φ φ ( ' 7) ( '87) (b) Y de que sea mar de 8 hras? Se ide calcular TIPIFICNDO ( 8) N( '5,'5) 8 Fila ' '788 Clumna '7 '85 '878 ' 77 Fila '8 '57 Clumna '7 ( '5) 7'7% > µ σ 8 '5 ' ' 5 N(,) Fila ' φ( ') '88 ' Clumna ' La rbabilidad de que una batería dure más de 8 h es del %. ( > ') ( ') ( ' )

5 OPCIÓN B Ejercici. (Puntuación máima unts) Se cnsidera el siguiente sistema lineal de ecuacines que deende del arámetr real (a) Discutir el sistema según ls distints valres de. El sistema viene deinid r las matrices * * rg rg * n (númer de incógnitas) Sí el, el sistema es cmatible determinad, r l tant, se discute el sistema ara ls valres del arámetr que anulan el. Discusión i. Si, r tant rg rg * n. Sistema cmatible determinad. La slución se uede btener r el métd de Cramer. ii. Si.,, rg <. Se busca un menr de rden ds distint de cer ara cmrbar si tiene rang., rg. *, rg * >. Ha que estudiar si uede tener rang tres. Se estudian ls menres rlads al menr de rden anterir. De ls ds sible, un es el determinante de la matri de ceicientes, que es cer, el tr es el rmad r la ª, ª ª clumna. 6, rg *. rg rg * Sistema incmatible. (b) Reslver el sistema ara.. Según la discusión del aartad a, el sistema es cmatible determinad se resuelve r el métd de Cramer.

6 Ejercici. (Puntuación máima unts) Se cnsidera la unción real de variable real deinida r (a) Hallar sus asínttas. sínttas verticales. De eistir asínttas verticales estarán en unts ecluids del Dmini de la unción en ls que el límite sea ininit. { } { } R R / D ±. síntta vertical síntta vertical síntta hrintal. ± ± Y síntta hrintal síntta blicua. N tiene r tener hrintal. Una eclue a la tra. (b) Calcular sus máims sus mínims relativs, si eisten. Para que () tenga un etrem relativ en se debe cumlir ds cndicines. i. que la rimera derivada se anule en. ii. que la segunda derivada en sea distinta de cer. Para dierenciar el ti de etrem se usa el criteri > < Mínim, Máim, < En el unt (, ) la unción tiene un máim

7 Ejercici. (Puntuación máima unts), ( B) ( B) Sean B ds sucess, tales que. Nta reresenta el suces 5 cmlementari del suces. Calcular (a) ( B ) BYES ( B ) ( B ) ( B) ( B) se btiene a artir de ( B) alicand las lees de Mrgan ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) sustituend ( B ) ( B) sustituend (b) B SOLO B BYES ( B) B ( B) 5 ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) ( ) ( B) B ( B) ( B) ( B) 5 7 ( B) 5 5 Ejercici. (Puntuación máima unts) El tiem de reacción de una alarma electrónica ante un all del sistema es una variable aleatria nrmal cn desviación tíica segund. artir de una muestra de alarmas se ha estimad la media blacinal del tiem de reacción, mediante un interval de cniana, cn un errr máim de estimación igual a segunds. Cn qué nivel de cniana se ha realiad la estimación? artir del errr máim admitid, se btiene el valr Z α. Cncid el Z crític, se calcula el nivel de signiicación mediante la tabla de la distribución nrmal (α), cncid este últim, se calcula el nivel de cniana (α). σ σ ε ma Zα n ' Zα Zα ' n má ' ε α α Zα φ φ Zα φ desejand el nivel de signiicación (α). α ' 56 Nivel de cniana α 56 5 (5 %) ( ') ' 77 N(,)