x1 + 1 x4-2x3-6x2-2x y = i -. Resp.: y = x 2-x-2 (x2-x-2y

Transcripción

1 30 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Y en virtud de la fórmula (4), obtenemos: p' cotg p. = = a, es decir, p. = arccotg a = const. P Ejercicios Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las funciones:. y = 3. Resp.: y =. Resp.: y B V Resp.:. 4. y = _ Resp.: 2V V 2V 5. y = sen2. Resp.: 2 sen eos. 6. y = 22 - Resp.: 4 -. Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las las líneas tangentes a las curvas: 7. y = 3; a) Cuando =. Resp.: 3. b) Cuando = -. Resp.: 3; construir la gráfica. 8. y =. a) Cuando =. Resp.: -4. b) Cuando =. Resp.: - ; 2 construir la gráfica. " nr 9. y = V cuando = 2. Resp.: V2. 7 ' 2 Hallar las derivadas de las funciones: 0. y = * Resp.: y' = y = ó3-2. Resp.: y' = ' 2 5< 2 2. y = -. Resp.: y = -. a + b a - b a + b a b y =. Resp.: y' = y = 2a3 h c. Resp.: y' = 6a2. b 7 _5_ y = 6T Resp.: y' = 2T + 0T+ 2. _ VT 6. y = V3 + ^' +. Resp.: y' = +. 2V 3>^2 ( + iy M + lh-l) 7. y = -. Resp. y ;. ~ 2~ 2 b DERIVADA Y DIFERENCIAL 3 m 2 n2 m 2 2n2 < _ * III.II 8. y m , R e sp- : / = r + -T r «2 2 m 2 n y = ^ 2-2</ + 5. Resp.: V =. 3 ^ V a2 b y = +. Resp.: y' = ai b 2 + *. 'v' V v y = ( + 43)(l + 22). Resp.: y' = 4(l ). 22. y = (2 - l)(3 + 2). Resp.: y' = 2( ). 23. y = (2 - l)( Resp.: y' = < 43(2b2-2) 24. y =. Resp.: y' = b2-2 (b2-2)2 a 2a 25. y =. Resp.: y' = - a + (a + Y '3 /2(3 + /2) 2<. /(O = -. Resp.: /'(/) = + t' " ( + t2)2 ' u <s + 4^ r, ( s + 2)(s + 4) 27. /(s) =. Resp.: f(5) =. s + 3 (s + 3? y = i -. Resp.: y = 2--2 (2--2Y 29. y =. Resp.: >' = i '" - a'" {Xm _ a-yt 30. y = (22-3)2. Resp.: y' = 8(22-3). 3. y = {2 + a2)k Resp.: y = 0(2 + a2) y = V2 + a2. Resp.: y' = VT+fl J a y = (a + )Va -. Resp.: y' = 2VÜ-X ( - )VT >- y = Resp.: y' = VTT2" *~- ' 3 2(l + 2)2 36. y = -f/2 + í + T Resp.: y' = ' ^(2 + + l) 2

2 32 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DERIVADA Y DIFERENCIAL y = ( + V?. Resp.: y' = ( * ^ = ) ' 5 7. y = i n tg(^ + ).Resp, v^-i^. 58. y = sen ( + a) eos ( + a). Resp.: y' = eos 2 ( + 2). 39. y = sen2. Resp.: y' = sen 2. + V 40. y = 2 sen + eos 3. Resp.: y' = 2 eos - 3 sen y = tg. («+ *). Resp.: y' = c o s 2 (^ + j)- sen 42. y =. Resp.: y = + eos + eos 43. y = sen 2 eos 3. Resp.: y' = 2 eos 2 eos 3-3 sen 2 sen y = cotg2 5. Resp.: y' = - 0 cotg 5 esc y = t sen t + eos t. Resp.: y' = r eos f. 46. y = sen3 t eos f. Resp.: y' = sen2 í (3 eos2 t sen2 /). 47. y = a Veos 2. Resp.: y' = ( a sen 2 V eos 2 O <t> <I> 48. r = a sen3. Resp.: r' = a sen2 eos tg + cotg i 2 eos +, / * '* ) sen2 I tg + cotg 45). y = L. R e Sp. : y = _, \ 2 ' 7 2 sen2 X \ X X eos2 y j. Resp.: y' = 2a sen3 eos. 5. y = tg2. Resp.: y' = tg se y = ln eos. Resp.: y = - tg. 33. y = ln tg. Resp.: y' = sen y = ln sen2. Resp.: y' = 2 cotg. ls * - D 5». y =. Resp.: y = sen + eos. SC X «* / + sen r. 56. y = ln \. Resp.: y' = V - en Í ' eos eos (ln ) 59. f() = sen (ln ). Resp.: f() = se2 (ln ) 60. /() = tg (ln ). Resp.: /'() = X > 6. /() = sen (eos ). Resp.: f'() = sen eos (eos ). '" dr u < 62. r = tg3 $ - tg $ + 4>. Resp.: = tg* <t>. 3 dí> 63. /() = ( cotg )2. Resp.: /'() = 2 cotg (cotg - esc2 ). 64. y = ln (a + b). Resp.: y' = y = log(< (2 + ). Resp.: y' = (2 + l) ln a 66. y = ln-. Resp.: y = - r - ' 67. y = log3 (2 sen ). Resp.: y' = y = ln. Resp.: y' = - * a a + b y = ln (2 + ). Resp.: y' = y = ln ( ). Resp.: y' = 7. y = ln. Resp.: y' = ln +. 3 ln2 72. y = ln3. Resp.: y' =. 73. y = ln ( + VI + 2). Resp.: y' = 74. y = ln (ln ). Resp.: y' = ln.... \ i + _....:f(*) = 2 eos (2 sen ) ln VI + 2 T

3 76. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL V2 + - n 2 W = l n v*-i + * R e s p" : m - " " v l ^ a + Va2 + f 77. y = Va a ln. Resp.: y' 78. y = ln ( + V~cM- a2) y = V"2~Ta2 Resp.: y' = eos : + ln tg. Resp.: y =. 2 sen2 2 2 sen3 sen + sen2 80. y = Resp.: y' = 2 eos2 2 eos3 Va2 + 2 V2 Ta2" y = i- tg2 + ln eos. Resp.: y' = tg y = e«. Resp.: y' = ae<". y = e*+5. Resp.: y' = 4e y = a*. Resp.: 2a<2 ln a. y = Resp.: y' = 2( + )7*,+2* ln 7. y = ca2-'. Resp.: y' = 2ca'-*J ln c. y = aev*. Resp.: y' = 2 VT >VT i. r = a0. Resp.: r = a8 ln a. 0. y = tn. Resp.: y' = "" ln y = e*'. Resp.: y' = e* ( + ln )*. DERIVADA Y DIFERENCIAL 35,., í = (i)"-.resp, >. = ( ) " (. +. ). / sen - \ 04. y = 5cn. Resp.: sen I - ln eos J. 05. y = (sen ><. Resp.: (sen >l(ln sen + cotg ). 06. y = (sen )l'. Resp.: y' = (sen )'»(l + sec2 ln sen ). - e* e2-» 07. y = tg-. Resp.: y' = - + e* ( + e*)2 l - e* eos2 + e eos V - 2* 08. y = sen VI - 2X. Resp.: y = 2 X ln 2 2V - 2X 09. y = 0* 'Í * Resp.: y' = 0* «ln 0 ( tg + - J. \2 /. Calcular las derivadas de las siguientes funciones hallando previamente sus logaritmos: r = a' 8. Resp.: dr d9 ain e ln a V (- l)2 P 7 3 V ( - l) 2 \ 2 + -ij: 92. y = ln = e* ( - 2). Resp.: y = e ( - 2-2). e - 2c«Resp.: y = e* + (e» + l) 2 -. Resp.: y' = + e + e* a * f * y = (C - e»). Resp.: y' = y (efl + e ). y = esen Resp.: y' = esen* eos. y =a'«n*. Resp.: y' = na' n se2 n ln a. y = ecos sen. Resp.: y' = ecos y = (eos - sen2 ). ln sen. Resp.: y' = e* (ctg + ln sen ). y = "escn*. Resp.: y' = "-lescn y = *. Resp.: y' = (ln + ). (n + eos ). m y = ( + i>3vt-=tf R e s p, v. = ( +imt32jr ^( - 3)2 ^( - 3)2 / \ X \ + +4(-2) 5(-3) J',., (*+l)2, ( + l)( ) 2. y =. Reso ' v = ( + 2)3( + 3)< P y ( + 2)<( + 3)5 3. y = fczjy R e s p ; y = </{%- 2^{ - 3)7 60^( - l)3v( - 2)^( - 3) 0 (l + 2) n * m- v = Tí^r- Resp-: y = ( -X 2) 2 5. y = \a + 3)3(a - 2Y. Resp.: y' = 54(a + 3)2(a - 2)(a2 + 2a - 22). 6. y = aresen. Resp.: y' = a 7. y = (arasen )2. Resp.: y' = Va2-2 2 aresen VI - 2

4 36 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 8. y = arctg {* + ). Resp.: y = y - + i y. 2*, 2 9. y = arctg - j -. Resp.: y = J-J y = arceos (2). Resp.: y' =, -j==r arceos, _ ( + VI - 2 arceos ) 2. y = Resp.: y = i - = ' 2 V y = aresen t±l. Resp.: y' = - = ^ = = f. 23. y = Va2-2 + a2 aresen. Resp.: y' = 2Va y = V a2-2 + a aresen i Resp.: y' = ^/ v + a du 25. u = arctg av. Resp.: dv + v2 VT y = arctg. Resp.: y' = VT - 2 * J 27. y = aresen. Resp.: y' = aresen /() = arceos (ln ). Resp.: f'() = /() = aresen V sen. Resp.: f() = V I yjx^2 a + V ln2 eos 2 V sen sen2 - eos i n. _ (0 < < Tt). Resp.: y' =. + eos 2 earctg 3. y = earctg. Resp.: y' = + 2 gjc g- 2 l. y = arctg. Resp.: y'= e' + e-< I. y = jaresen, Resp.: y' = aresen * ^ aresen X + ln VI - 2., eos ( + en los cuadrantes. y = aresen (sen ). Resp.: y = - =,,,, eos j - en ios cuadrantes 2. y 3. DERIVADA Y DIFERENCIAL 4 sen y = arctg. Resp.: y' = eos eos a A / a 2a3 36. y = arctg h ln \. Resp.: y =. V j + a 4 - a4 \_, / + * \ ~ y = ln - arctg. Resp.: y' = -. V - / * y = + ln V arctg. Resp.: y' = 3*J c. r * < + * ', m y = T V2-ZTTT + 7T arctg "TT' Resp-: y =, + V"2~+ 2. v't w 4 VT 0. y = ln 7= + 2 arctg -. Resp.: y' =. - V v * + * 2" - 2«I» 4. y = arceos. Resp.: y' = - 2" + r (2" + l) Derivación de funciones implícitas: Calcular y, si: d dy 2p 42. y2 = 4p. Resp.: = y2 = a2. Resp. d y dy b2 44. b22 + a2y2 = a2b2. Resp.:. d a2y 45. y3-3y + 2a = 0. Resp.: " dy. / y y2 = at Resp.: = - i / - d""" " V y 3 = a3. Resp.: 48. y2-2y + b2 = 0. ~ d dy dy 2a a 3( -y 2) 3 <*> \ y d I 7- y dy ay ' + y3-3ay = 0. Resp.: = d y2 a

5 38 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL dy 5. eos (y) =. Resp.: d = Hallar + y sen (y) sen (y) dy ":,' - -.;:' " para las funciones dadas paramétricamente: d dy b 52. = a eos t, y = b sen t. Resp.: = cotg t. d a 53. = a(t - sen /); y = a{l - eos f). Resp.: dy t = cotg. d 2 dy b 54. = a eos3 /; y b sen3 t. Resp.: = tg /. d a lat Sat2 dy 2t 55. = -; y = - Resp.: + + t2 d - t2 du 56. u = 2 ln cotg s, v = tg s + cotg s. Demuéstrese que ds = tg 2s. Hallar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las las líneas tangentes a las curvas: VT = eos í, y = sen í en el punto =, y = y. Construyase la grá- fica. Resp.:. VT vi" 58. = 2 eos t, y = sen í en el punto =, y = 2. Construyase la grá- fica. Resp.: 2 V3 59. = a(t - sen?), y = a(l - eos t) cuando t =. Construyase la gráfica. Resp.:. 60. = a ees3 t, y = a sen3 t cuando t =. Construyase la gráfica. Res- 4 puesta:. ciones son = v0 eos at, y --= v sen af 6. Un cuerpo lanzado al vacío, formando con la horizontal un ángulo a, describe, por acción de la gravedad, una curva (parábola) cuyas ecuagt2 (g = 9,8 m/s2). Sabiendo que a = b0*( i»0 = 50 m/seg, determinar la dirección del movimiento cuandu: ) / = 2 seg; 2) t = 7 seg. Construir la gráfica. Resp ) tg <p, = 0,948, cp, = 43 30'; 2) tg q>2 = -,02, <p2 = + 34' 7'. DERIVADA Y DIFERENCIAL 39 Hallar las diferenciales de las funciones siguientes: 62. y = (a2-2)5. Resp.: dy = - 0(a2 - a2)4 d., d 63. y = V + 2. Resp.: dy = V y = y tg3 + tg. Resp.: dy = se4 d. ln,,. '. ln d 65. y = - j - + ln ( - ). Resp.: dy = -. i - (l - y Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones: 66. y = 22 - cuando =, A = 0,0. Resp.: Ay = 0,0302, dy = 0, Dada y = Hállese Ay y dy cuando = -, A = 0,02. Respuesta: Ay = 0,098808, dy = 0,. u n n 68. Dada y = sen. Hállese dy cuando =, A =. Resp.: dy = = = 0, VT i 69. Sabiendo que sen 60 = = 0,866025; eos 60 =, hallar los valores aproimados de sen 60* 3' y sen 60 8'. Comparar los resultados con datos tabulares. Resp.: sen 60" 3'= 0,86646; sen 60* 8'» 0, Hallar el valor aproimado de tg 45 4'30". Resp.:, Sabiendo que log0 200=2,3003, hallar el valor aproimado de loe, Resp.: 2,3046. Derivadas de diversas órdenes. 72. y = Hallar y". Resp.: 8-4. _ 42 JL 73. y = V3. Hallar y". Resp.: y = 6. Hallar y<6>. Resp.: 6!. 25 C M(M + )C 75. y = " "+2. Hallar y". Resp.: 76. y = Va2-2. Hallar y". Resp.: y = 2V. Hallar y<4>. Resp.: y = a2 + b + c. Hallar y'". Resp.: 0. 5 a2 (a2-2) V a ,{) = ln ( + ). Hallar P(). Resp.: - (+ l) 4

6 40 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 80. y = tg. Hallar y'". Resp.: 6 sec4-4 sec2. 8. y = ln sen. Hallar y'". Resp.: 2 ctg cosec /( X)= Vsec 2'. Hallar f\). Resp.: /"(*) = 3 [f()v - /(*) 83. y = -y^y- Hallar /<4>(). Resp.: { l^ ) S- q cpp 4a3 84. p = (q2 + a2) arctg -. Hallar. Resp.: ( q 2 - q 2 y «i _ i _ d^y y 85. y = y (e- + e Hallar. Resp.: 86. y = eos a. Hallar y<">. Resp.: a" eos f a+wy J. 87. y = a*. Hallar y<">. Resp.: (ln a"ja*. (n- D! 88. y = ln ( + ). Hallar y<»>. Resp.: (- )"-' -. ( + )" - n! 89. y =. Hallar y<">. Resp.: 2(- )"- + ( + >'+«90. y = e'. Hallar y(,l). Resp.: e( + n). (n- )! 9. -y = "-' ln. Hallar y'"». Resp.:. 92. y = sen2. Hallar y<">. Resp.: - 2"-' eos ^ 2 + y n j 93. y = sen. Hallar ym. Resp.: sen ^ + yh^-n eos 94. Si y = e* sen, demuéstrese que y" 2y' + 2y = 0. cp-y 4a2 95. y2 = 4a. Hallar. Resp.:. d2 P-y d3y b* 3b* 96. b2 + a2y2 = a2b2. Hallar y. Resp.: ;. d2y r y2 = r2. Hallar -. Resp.: -. d2 d3y 98. y2-2y = 0. Hallar. Resp.: 0. d3 y3 d2 d} a2y3 a*ys d3p 2(5 + 8p2 + 3p«) 99. p s tg (<p + p). Hallar. Resp.:. dy y3 p8 DERIVADA Y DIFERENCIAL 4 (Pp tg2 p - tg2 <p 200. sec <p eos p = C. Hallar -. Resp.: dep2 ' tg3 p Py ( - e**'j(e* - ey) 20. M + =2e>' + y. Hallar. Resp, ^ + ^ d2y 2a3y 202. y ÍIXV = 0. Hallar. Resp.: d2 (y2 - a)3 (Py 203. = a(í - sten f), y = a(l - eos í). Hallar. Resp.: - d2 4a sen4 (Py 204. = a eos 2i, y = b sen2 /. Demuéstrese que = 0. d3y 205. = a eos f, y = a sen f. Hallar. Resp.: d3 - d2 3 eos í a2 sen5 í d2» cp-'+i 206. Demuéstrese que (sh ) = sh ; (sh ) = ch. d2". d2n+i Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la subtangente y de la subnormal Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = en el punto M(3, 2). Resp.: tangente 8 - y - 22 = 0; normal + 8y - 9 = Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal, así como las longitudes de la subtangente y subnormal de la circunferencia 2 + y2 = r2 en el punto M(\, y ). Resp.: tangente i + yyi = r2; normal Xiy - y, = 0; st = \ ; SN I \ 209. Demostrar que la subtangente correspondiente a un punto arbitrario de la parábola y2 = 4p queda dividida por el vértice en dos partes iguales y que la subnormal es constante e igual a 2p. Construir la gráfica. 20. Hallar la ecuación de la tangente en el punto AÍ(X, yj): a) A la elipse 2 y2 i yy, 2 v2 + =. Resp.: + =. b) A la hipérbole =. a2 b7 a? h- a2 b2 yy, Resp.: =. a2 b2 2. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva de Agnesi y - en el punto donde = 2a. Resp.: tangente + 2v = 4a; 4a2 + 2 normal v + 2-3a. (T)

7 42 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 22. Demostrar que la normal a la curva 3y = 6-53 en el punto M (, y J, pasa por el origen de las coordenadas. DERIVADA Y DIFERENCIAL 43 2 l a-b - b \ 225. y = 7 - arctg I - tg - (a > 0, b > 0). va2 b2 \ + b 2/ Resp.: y' = a + b eos 23. Demostrar que la tangente a la curva ( ~~ ) + ( ) = 2 e n e l P u n t 0 y M(a, b) viene dada por la ecuación H = 2. a b 24. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2 = 20 que forma con el eje O un ángulo de 45. Resp.: y = + 5 [en el punto (5, 0)]. 25. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia, paralelas a la recta 2 + 3y = 6. Resp.: 2 + 3y ± 26 = Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 42-9y2 = 36, perpendiculares a la recta 2y + 5 = 0. Resp.: no eisten tales tangentes. 27. Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola y = m, comprendido entre los ejes de coordenadas, queda dividido por el punto de tangencia en dos partes iguales. L 28. Demostrar que el segmento de tangente a la astroide 3 + y 3 = a3, comprendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud constante. 29. Hallar el ángulo a de corte de las curvas y = a e y = b. Respuesta: ln a ln b tg a =. + ln a ln b 220. Hallar las longitudes de la subtangente, subnormal, tangente y normal de la cicloide = a(9 sen 9), y = a(l eos 9) en el punto en que K 9 =. Resp.: st = a; sn = a; T = a V 2; A/ = av Hallar los valores st, sn, T y N para la hipocicloide de = 4a eos3 /, sen4 t y = 4a sen3 t. Resp.: st = - 4a sen2 / eos t; sn = - 4a ; T = eos / = 4a sen2 t; N = 4a sen2 t tg t. Problemas diversos Calcular las derivadas de las funciones: sen / TZ \ 222. y = - ln tg - - Resp.: y' = - 2 eos2 2 \ 2 / eos 223. y = aresen. Resp.: y' = r ' I I V 2 - sen 224 y = aresen (sen ). Resp.: y' = I sen _ 226. y =. Resp.: y' = y = aresen v 2. Resp.: y' =» V De las fórmulas para calcular el volumen y la superficie de la esfera 4 dv... v = itr3 y s = izr2, se deduce que = s. Eplicar el significado géo- 3 dr métrico de este resultado. Hallar la relación análoga entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia En el triángulo ABC, el lado a se epresa en función de los otros dos lados b, c y el ángulo A formado por estos últimos, mediante la fórmula a = V b2 c2 2bc eos A. Siendo invariable b y c, a es función da del ángulo A. Demostrar que = ha, donde ha es la altura del triando guio correspondiente a la base a. Interpretar el significado geométrico de este resultado Empleando el concepto de diferencial, interpretar el origen de las fórb b muías aproimadas v a2 + b = a -\ -v^a3 + b» a -\ donde \b\ 2a 3a es un número pequeño, en comparación con a. 23. El período de oscilaciones de un péndulo es T = n ^ ~ Oué influencia tiene sobre el error, al calcular el valor del período T, un error del % cometido al medir: ) la longitud del péndulo /; 2) la aceleración de la fuerza de la gravedad g? Resp.: ) * %; 2) = % La tractriz tiene la propiedad de que en cada uno de sus puntos, el segmento de tangente T es de longitud constante. Demostrar esto: ) dada la ecuación de la tractriz: fl a _ Va2 - y2 = V a2 - y2 + ln J ( a > 0); 2 a + V a2 y2 2) dadas las ecuaciones paramétricas: t = a(ln tg + eos /), y = a sen t Demostrar que la función y = Ce~ + C2e-2 satisface la ecuación y + 3y' + 2y = (Cj y C2 son constantes).

8 44 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 234. Suponiendo que y = a sen, z = e* eos, demostrar que y" = 2z, z" = - 2y Demostrar que la función y = sen (m aresen ) satisface la ecuación ( - 2) y" - y + m2y = 0. y 236. Demostrar que si (a - b)e =, se tiene:. X d2 \ d y )