Capítulo 6: Variables Aleatorias Multivariadas

Transcripción

1 Unversa Técnca Feerco Santa María Departamento e Inormátca ILI-8 Capítulo 6: Varables Aleatoras Multvaraas staístca Computaconal I Semestre 6 Pro. Carlos Valle Págna : e-mal : [email protected] Sea... k vector aleatoro P : B k R caracterzaa por F screta contnua Caso k : Dstrbucones Multvarantes F : uncón e Dstrbucón conjunta : uncón e ensa cuantía F : uncón e Dstrbucón margnal e : uncón e ensa margnal

2 > / s [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T Dstrbucones Dstrbucones Multvarantes Multvarantes 4 [ ] [ ] [ ] cov [ ] [ ] cov V V cov [ ] [ ] [ ] Dstrbucones Dstrbucones Multvarantes Multvarantes

3 jemplos e Vectores Aleatoros Dscretos Sea vector aleatoro screto con varable aleatora que representa el número e allas el turno. La sguente tabla nos proporcona la uncón e cuantía conjunta: jemplos e Vectores Aleatoros Dscretos. Determnar las cuantías margnales. Determne las cuantías conconales / / 6

4 4 7. Cuantías margnales. Cuantías margnales ; 4 ; 4 ; 5 ; ; ; Solucón Solucón 8. Cuantías conconales ; 8/ ; 8/ ; 4 / / ; / ; / ; / / Solucón Solucón

5 Nota Obtenga aemás:.. [ ] [ ]. V / 9 jemplo e vectores aleatoros contnuos Sea vector aleatoro contnuo con ensa: + e I + [ ] R Calcular: 5

6 6 [ ] + 5 e [ ] + 4 e [ ] e [ ] e Solucón Solucón [ ] e [ ] 6 V [ ] 9 7 V [ ] [ ] 95 cov V V Solucón Solucón

7 Teorema e Transormacones Vectores Aleatoros Sea vector aleatoro contnuo con ensa conjunta sea g con g: D R R uncón vectoral. S se cumple: D conjunto aberto: P D g es una transormacón nvertble con ervaas parcales contnuas g ste g J J ntonces J I g D Funcón e Regresón Sea vector aleatoro sea uncón e ensa margnal e. Aemás sea M { : > } sea g : D R R. Conseremos ϕ : M R / ϕ [g / ]. ϕ se llama uncón e regresón e g en. 4 7

8 Propeaes:. [ [ / ] [ ] [ / ].. [ ] [ ] [ ] [ V [ / ] + V [ [ ] V / Y A + B Y C + D A B C D R Funcón e Regresón ntonces: Y Y AC AC 5 Sean v.a.c. 4 I ] [ sean tambén Y / Y ncontrar:. Y. Y. jemplo e Transormacones Y / Y 4. s? 6 8

9 9 7 ][ Y Y Y /Y Con Y > ; Y > ; Y Y < ; Y /Y < Sean Y g Y g h h h h h h h h g g Solucón Solucón 8... ] [ I J g I S g Y Y / / 4 < < ln / Y Y Y Solucón Solucón

10 Solucón 4. Y + Y Y Como I + [ ] [ [ I no son nepenentes 9 Propeaes speranza Varanza Sean Y v.a. α C R 4 [ α ] α [ α ] α[ ] [ + Y ] [ ] [ Y ] + [ Y ] [ ] [ Y ]

11 Sean Y v.a. α C R V α [ ] [ α ] V [ ] [ + C] V [ ] [ + Y ] V [ ] + V [ Y ] s Y [ + Y ] V [ ] + V [ Y ] cov V α 4 Propeaes speranza Varanza V V 5 V + Y Propeaes speranza Varanza Sean... n v.a. nepenentes: n n n n [ ] V V [ ] n general para... n v.a. cualesquera: n n [ ] n n 4 V α α [ ] + αα j cov j < j

12 Caso Dscreto: Dstrbucón Bnomal ; n pp q-pp Dstrbucones Multvaraas : étos : n! p p I!! A { : } A n racasos Caso Polnomal: Dstrbucones Multvaraas n p p... p k n! k... k p p... pk I A.. k! { } A n... k np np npk : [ ]... k np p Μ np pk np p Ο Κ Κ np p k Μ k np p k 4

13 5 Dstrbucón Normal Bvaraa: NµΣ : µ µ π Σ T e Matrcal + µ µ µ µ π e [ ] µ µ Dstrbucones Normal Dstrbucones Normal Multvaraa Multvaraa 6 µ N µ N ; / µ µ + N [ ] / [ ] V / Propeaes Normal Propeaes Normal Bvaraa Bvaraa

14 Propeaes Normal Bvaraa Análogamente se tene que: [ / ] V [ / ] / N µ + µ ; 7 jemplo Las probablaes e que certa lámpara e un moelo e proector ure menos e 4 horas entre 4 8 horas más e 8 horas e uso nterrumpo son.;.5. respectvamente. Calcular la probabla e que entre 8 e tales lámparas uren menos e 4 horas; cnco uren entre 4 8 horas una ure más e 8 horas. 8 4

15 Solucón: jemplo n8 ; p ; p 5 ; p ; 5 ; P ; ; n!! p p p!! 5!! jemplo Dos elementos Y se strbuen como N µ Σ seno : 4. 8 µ Σ 6 Al analzar un elemento se observa que contene 6 gramos e. - Cuál es el valor más probable e Y? 5

16 La respuesta consste en encontrar: [ / 6] gramos [ 6] µ + µ 76 / V Solucón: jemplo [ / 6] 8 Tarea: Recomenable Una línea eléctrca se avería cuano la tensón sobrepasa la capaca e la línea. S la tensón se strbue como N ; la capaca como N 4 ; calcular la probabla e avería suponeno nepenenca. 6

17 Dstrbucones normal: -multvaraa La..p. normal multmensonal. Forma unconal. T ep µ µ π Σ Σ : matrz e covaranza Σ : etermnante e Σ Σ - : matrz nversa e Σ - µ T : vector traspuesto e - µ Funcón e ensa normal bmensonal Representacón e una p normal bmensonal 4 7

18 Funcón e ensa normal Parámetros que especcan la strbucón - La p normal multvarante está completamente especcaa por los parámetros µ Σ µ µ µ Μ µ Σ Μ - n la práctca estos parámetros son esconocos eben estmarse a partr e prototpos. Μ Ο Μ 5 Funcón e ensa normal stmaores no sesgaos e µ e Σ : ˆ µ N N l l 5 Σ ˆ N N l l ˆ µ l ˆ µ T 6 one: N es el número e prototpos. l es el l-ésmo prototpo. 6 8

19 Funcón e ensa normal - stmacón alternatva elemento a elemento: para j k... one: * j l : componente j-ésma el prot. l-ésmo µˆ * j Σˆ jk N l : componente j-ésma el vector N l j ˆ µ j l k ˆ µ k 7 7 Funcón e ensa normal Propeaes e Σ Σ es smétrca. Como Σ jk Σ kj ha que calcular + / componentes. Σ es sem-ena postva Σ > Σ jk es la covaranza entre las varables j k jk... j k se nterpreta como la relacón o epenenca entre estas os varables. 4 Los valores e la agonal e la matrz e covaranza son las varanzas e las varables nvuales esto es Σ jj j 5 S Σ jk las varables j k son estaístcamente nepenentes. S no este correlacón entre ellas. 8 9

20 Funcón e ensa normal A Vars. nepenentes B Vars. correlaas 9 Funcón e ensa normal. La..p. normal multmensonal... La stanca e Mahalanobs Los puntos para puntos para los que el valor e la p es constante están stuaos en hperelpsoes en las que la orma cuarátca - µ T Σ - - µ es constante: stanca e Mahalanobs al cuarao e a µ. 4

21 Funcón e ensa normal A Dens. e prob B Dagrama e spersón 4 Funcón e ensa normal Las reccones e los ejes prncpales e estos hperelpsoes están etermnaas por los autovectores e Σ sus longtues por los autovalores corresponentes. Al estar poneraa por Σ esta métrca consera la stnta spersón e las varables en el espaco. Importante: con una métrca e este tpo el concepto e stanca es mu stnto al concepto e stanca en nuestro muno uclíeo 4

22 Funcón e ensa normal Dos strbucones normales con gual mea erentes matrces e covaranza T T A µ A µ B µ B µ 4 Funcón e ensa normal La..p. normal multmensonal. Correlacón e varables A Alta covaranza B Baja covaranza. n ambos casos

23 45 Funcón e ensa normal Coecente e correlacón. Mea normalzaa el grao e relacón entre las varables nepenente e las unaes e mea. ste coecente verca que j 8 j j j 46 Funcón e ensa normal Relacón entre covaranzas correlacones: Σ Γ R Γ Γ Μ Ο Μ Μ Μ Ο Μ Μ R Γ R Μ Ο Μ Μ

24 Funcón e ensa normal ΓR Γ Μ Μ Ο Μ Σ Σ j - j entonces Σ j j j. Aemás como Σ j Σ j j Σj Σ j entonces j j Σ j j - Como. Σ porque j 47 Interpretacón el actor e correlacón S proectamos la nube e puntos sobre un plano eno por los ejes abscsas orenaas: - Superce: etermnaa por Γ esvacones típcas. - Forma: etermnao por R correlacones. Dao que j - j Correlacón. S j la correlacón es nula son nepenentes: los puntos se sponen aleatoramente en un círculo o en una elpse cuo centro es µ µ j. Una correlacón con valor nca que no este relacón lneal en absoluto. 48 4

25 CORRLACIÓN jemplos e correlacón nula 49 Funcón e ensa normal. S < j < los puntos se sponen en una elpse centraa en µ µ j. l eje prncpal tene una penente postva una orma más o menos crcular epeneno e s j está más o menos cercano a. jemplos e correlacón postva 5 5

26 Funcón e ensa normal. S j la correlacón el lneal perecta j epene lnealmente e : los puntos se sponen a lo largo e una línea recta con penente postva jemplos e correlacón lneal 5 6