ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II PROBLEMAS DE EXAMEN RESUELTOS

Transcripción

1 Estadístca Empresaral II ESTADÍSTICA EMPRESARIAL II PROBLEMAS DE EAMEN RESUELTOS º) Supongamos que nos dcen que la v. a. Renta anual de las personas en Valladold (en mllones de ptas.), sgue una dstrbucón U[.5, ]. Comentar esta armacón. Crees que puede ser certa? Estría la msma probabldad de superar.5 que de no hacerlo, de estar entre.5 que de estar entre 9.5 (ser mu rco o en absoluto). Luego esta armacón no puede ser certa..5.5 º) Sea una v. a. con dstrbucón bnomal, sendo n, su meda 5. Calcular la probabldad de que sea menor que 8, comentando los pasos. Puesto que B(,p) su E() np 5 p.5 luego B(,.5), la probabldad pedda sería: p( < 8) 79 k k k.5.5 k dícl de obtener. Entonces, como toda varable bnomal se puede escrbr como suma de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas de la sguente orma: n tal que eto p racaso q con v. a... d. podemos aplcar el Teorema Central del Límte tendremos: p( < 8 ) p np npq 8 np < p 5 npq 5 < 8-5 Φ(-.6).8 5 Aplcando el Teorema Central del Límte

2 Problemas de eamen resueltos º) Se desea estudar la relacón entre el preco () la cantdad vendda () de un determnado producto. Para de derentes establecmentos que venden dcho producto, se ha obtendo la sguente tabla de la le de probabldad conjunta de ambas varables:.... a) Calcular el valor del coecente de correlacón. Comentar el resultado obtendo en relacón con las varables. b) Sn realzar nngún cálculo, s nos dcen que en una determnada tenda, el preco del producto es 8, cuál sería apromadamente el número de undades vendda? c) Calcular p( > 5). p( ) p( )... a) Para calcular el coecente de correlacón tenemos que calcular la covaranza entre e las desvacones típcas de ambas varables, para ello necestamos obtener las esperanzas sguentes: E() (.5) + (.) + (.) 8 E( ) (.5) + (.) + (.) 86 E() (.) + (.) + (.). E( ) (.) + (.) + (.) 5. E() () + () + (.) + (.) + (.) + () + + (.) + () + () 5 Var() E( ) - E () Var() E( ) - E () Cov (,) E() - E()E() 5 - (8.) -6.8 ρ, Cov (,) Var() Var()

3 Estadístca Empresaral II La correlacón negatva nos ndca que la relacón entre ambas varables es nversa, es decr, cuando aumenta una varable la otra dsmnue al revés, además como esta mu próma a -, nos dce tambén que el grado de relacón o de dependenca entre ambas varables es mu alto. b) Como hemos dcho en el apartado anteror, a medda que aumenta la, la dsmnue por que el coecente de correlacón es negatvo, luego s el preco es 8, un valor cercano a, la cantdad vendda lo será a undad. c) Obtengamos la dstrbucón de p( ) p(, ) + p(, ). +.. p( 6) p(, ) + p(, ) luego: con lo que p( k). 6.6 p( > 5) p( 6).6. º) El número de undades venddas al día de tres productos A, B C son v. a. que sguen respectvamente dstrbucones N(, ), N(, 5) N(5, ). S los precos de dchos productos son 5, ptas. se pde: a) Calcular la dstrbucón de la v. a. ngresos daros (I). b) Calcular p( I > 6 58) el valor de k tal que p( I > k).975. c) Calcular la moda de la v. a. ngresos daros (No se necesta realzar nngún cálculo). d) Calcular la probabldad de que los ngresos mensuales ( días) estén entre Denmos las sguentes varables: A Número de undades venddas del producto A N(,) B Número de undades venddas del producto B N(,5) C Número de undades venddas del producto C N(5,) a) Sea la v. a. I Ingresos daros 5 A + B + C E(I) 5E(A) + E(B) + E(C) (5) + () + (5) 7 Var(I) 5 Var(A) + Var(B) + Var(C) (5 ) + ( 5 ) + ( ) 5 σ I 5

4 Problemas de eamen resueltos luego I N(7, 5) I 7 b) p( I > 6 58) p 5 > Φ(-.) I p( I > k) p 5 > k k 7 Φ 5 Φ k k k 6 c) I sgue una dstrbucón unmodal smétrca como es la dstrbucón normal, en la que la moda concde con la meda, luego Moda de I Meda de I 7 d) Sean I, I, I,, I v. a... d. con una dstrbucón N(7, 5) sea IM Ingreso mensual I + I + I + + I E(IM) E(I + + I ) E(I ) 5 Var(IM) Var(I + + I ) Var(I ) 5 6 Con lo que IM N( 5, 5 ) p( 75 < IM < 8 ) 75 p 5 < IM 5 < 8 5 p(-.59 < Z < -.8) Φ(-.8) - Φ(-.59) º) Sea (, ) una v. a. bdmensonal con uncón de densdad conjunta: (, ), k < < < en el resto

5 Estadístca Empresaral II 5 a) Hallar el valor de k. b) Comprobar s las v. a. e son o no ndependentes. c) Calcular E( + ). d) Calcular la uncón de dstrbucón de la v. a.. e) Sea Z 5 - /. Calcular la uncón de densdad de Z. ) Calcular la uncón de densdad de condconada a que / calcular p( / ). / a) k d d k d - ( ] - ( + ) k ( + ) d k k k / b) () d + () + < < en el resto () d () - < < en el resto Como el producto de las uncones de densdad margnales no es la uncón de densdad conjunta, las varables e no son ndependentes. c) E( ) + d + d + /

6 6 Problemas de eamen resueltos E() d d -/ E( +) E( ) + E() ( /) - / / d) Al ser t t t + dt ( t + ) t t ( + ) la uncón de dstrbucón de la v. a. es: F () p( ) ( + ) e) Sea la v. a. Z 5 -, para calcular la uncón de densdad de Z empezaremos vendo que relacón ha entre las uncones de dstrbucón de Z de, luego dervando tendremos la relacón entre las respectvas uncones de densdad. F (z) Z p(z z) p(5 - z) p(- z - 5) p( - z) - F ( z) 9 (z) ( z) ( ) ( z) ( z ) z 9 Z Además, como - < < - < - z < - < -z < -9 9/ < z < / (Tambén se puede hacer - < < > - > - / > -/ > -/ / > z > 9/) tenemos nalmente que la uncón de densdad de Z es: (z) Z z 9 9 < z < en el resto ) Nos pden calcular (), lo haremos en general luego partcularzaremos en /. /

7 Estadístca Empresaral II 7 () (,), () / ( ) / luego < < () en el resto con lo que () / < < / en el resto > ( ) p / / / d /. / 6º) Sabemos que los ngresos de una empresa son una v. a. cua uncón de densdad es una de estas: (,) Funcón de densdad (,) Funcón de densdad a) Con cual de las dos es maor el ngreso medo? b) Cual de las dos tene maor dspersón? c) En cual de ellas la p(5 < < 5) será maor? Razona la respuesta. a) A la vsta de los grácos ambas uncones de densdad tenen la msma esperanza, 5. b) La segunda tene los valores más dspersos que la prmera que les tene más agrupados. La mas avorable para la empresa será la prmera por tener maor segurdad en los ngresos (menos resgo). c) La p(5 < < 5) será maor en la prmera, por haber menor dspersón. 7º) Sea (, ) una v. a. bdmensonal con uncón de densdad conjunta: (, ), < <, < < en el resto

8 8 Problemas de eamen resueltos a) Calcular las margnales de e. b) Calcular la p( >). c) Calcular Var(+) Var(-). a) Funcón de densdad margnal de : () d () < < en el resto Funcón de densdad margnal de : () d () < < en el resto e son ndependentes, pues la uncón de densdad conjunta concde con el producto de las uncones de densdad margnales. b) p( >) () d c) Por ser ndependentes, d - /. Var(+) Var() + Var() Var(-) Var() + (-) Var() Var() + Var() E() d 6 / E( ) d 8 Var() E( ) - E () - (/) /9 E() d / E( ) d / Var() E( ) - E () / - (/) /

9 Estadístca Empresaral II 9 luego Var(+) Var(-) Var() + Var() /9 + / /6 8º) Un estudo de Arqutectura tene tres tpos de ngresos mensuales ndependentes, por Tara de Edcacón, de Urbansmo por Pertacones, que sguen dstrbucones normales N(, ), N(, ) N(, 5 ), respectvamente, meddas en mllones de ptas. Se pde: a) Calcular la probabldad de que los ngresos totales mensuales sean maores de mllones. b) Calcular la probabldad de no cubrr gastos s estos se estman en.5 mllones mensuales. c) S consderamos meses, cuál es la probabldad de que al menos un mes no se cubran gastos? Consderemos las varables sguentes: Ingresos mensuales Tara de Edcacón N(, ) Ingresos mensuales Urbansmo N(, ) Z Ingresos mensuales Pertacones N(, 5 ) a) Sea I Ingresos totales + + Z N(9, 5) a que: E(I) E( + + Z) E() + E() + E(Z) Var(I) Var ( + + Z) Var() + Var() + Var(Z) + + ( 5 ) 5 con lo cual la probabldad pedda es: p(i > ) p I 9 5 > 9 p(z >.) - Φ(.) b) p(i <.5) p I 9 5 <.5 9 p(z < -.9) Φ(-.9).9 5 c) Llamamos T s en ese mes no se cubren gastos p.9 s en ese mes s se cubren gastos q.998 Entonces S T B(,.9) p(s ) - p(s ) - (.998).56. 9º) Una ndustra conservera obtene al día, por termno medo,.5 toneladas de tomate en conserva, con una desvacón típca de klogramos.

10 Problemas de eamen resueltos a) S la ndustra conservera vende su producto al preco de pesetas el klogramo los costes de elaboracón, etc., son de pesetas por klogramo, más unos gastos jos de pesetas, calcular la probabldad de que el beneco en un trmestre (9 días) sea maor que 555 pesetas. Comentar el sgncado de dcha probabldad. b) Cuantos días tardarán en obtener al menos toneladas con una probabldad del 97.5%? a) Sea Klogramos de tomate en el día -ésmo que obtene la empresa. De esta varable conocemos: E( ) 5 Kg. σ Kg. Denmos B Beneco del día -ésmo I - C - ( + ) 8 - E(B ) E(8 - ) 8E( ) Var(B ) Var(8 - ) 8 Var( ) Consderemos la varable B Beneco en un trmestre 9 B Calculemos cuanto valen la esperanza la varanza de B. 9 E(B) E( B ) E(B ) Var(B) Var( B ) Var (B ) σ B Como B,, B 9 son v. a... d. con esperanza varanza nta, a la varable B le podemos aplcar el Teorema Central del Límte. B 7 p( B > 555 ) p > Φ(8.75) Por el Teorema Central del Límte b) Sean,, n v. a... d., sea S entonces n E(S) 5n Var(B) 9n n Ha que calcular un valor de n tal que p.975

11 Estadístca Empresaral II Como no conocemos la dstrbucón de S es suma de varables aleatoras ndependentes e déntcamente dstrbudas con esperanza varanza nta, podemos aplcar el Teorema Central del Límte para obtener el valor de n. p(s ) p S 5n n 5n - 5n - Φ.975 n n - 5n n -.96 n. º) Sea el tempo que tarda un taller en detectar una avería en un vehículo, desde el nstante en el que entra, dado en horas. Sea el tempo que transcurre desde que el vehículo entra hasta que nalmente es reparado (horas). Una vez detectado el problema, comenza la reparacón. Se sabe, en teoría, que ambas varables se relaconan probablístcamente según la uncón de densdad conjunta sguente: (,), e, < < <, nula en el resto. a) Interpretar las restrccones de, (,), según el contendo del problema. b) Deducr qué dstrbucones sguen ambos tempos. Son ndependentes? c) S Z es el tempo que se emplea desde que se localza el allo hasta que se arregla, calcular, por térmno medo, cuánto debemos esperar. Calcular tambén la varanza de Z. d) S el tempo que permanece un vehículo en el taller, desde que entra hasta que sale reparado, son horas, cuánto tempo es de esperar que se tarde en averguar su avería? k (Nota: e d k! ) a) Como ambas varables mden tempos, toman valores postvos. Además el tempo que tarda un taller en detectar una avería en un vehículo, desde el nstante en el que entra, es sempre menor que el tempo que transcurre desde que el vehículo entra hasta que nalmente es reparado,. El valor nnto le toman cuando no ha posbldad de reparacón. b) Con el n de conocer que dstrbucones sguen tanto como, calcularemos sus densdades margnales Funcón de densdad margnal de : () ( ] e d e e < <

12 Problemas de eamen resueltos () e > en el resto γ(,) pues () a (p) e > Γ resto! e > resto p a Funcón de densdad margnal de : () e d e 6 6 e < < () 6 e > en el resto γ(,) a que () a (p) e > Γ resto! e > resto p a Como en general, (,) () () las varables e son dependentes. c) Sea Z - E(Z) E() - E() (la esperanza de una γ(a,p) es p a ) E() e d d e d 8 5 e d 5 5! e d usando la nota del enuncado

13 Estadístca Empresaral II Cov(,) E() - E()E() 5 - Var(Z) Var() + Var() - Cov(,) + (la varanza de una γ(a,p) es p ) a d) () / (,) e, < < sempre que > () 6 e / () 9 < < E( / ) 9 d º) Sea la v. a. Ventas daras de harna (klogramos), con dstrbucón N(, ). a) S suponemos que otra ábrca vende daramente kg. de harna, más el doble de lo que vende la prmera, cuál será la esperanza la desvacón típca de las ventas de la segunda ábrca? b) Supongamos que la prmera ábrca vende su producto a 5 ptas. el klogramo. Cuál será la dstrbucón de la v. a. I Ingresos mensuales de la prmera ábrca, consderando que vende días al mes? (Representar grácamente, de orma apromada, la dstrbucón). c) Calcular representar la probabldad de que los ngresos mensuales estén comprenddos entre 58 ptas. Sea Ventas daras de harna (en kg.) N(,) a) Denmos + E() E( + ) E() Var() Var( + ) Var() 6 σ b) Para cada día: I 5 N(5, ) En un mes I Ingresos mensuales de la ª ábrca I + + I N( 5, )

14 Problemas de eamen resueltos (.) ( ) 5 c) p( < I < 58 ) p < Z < 58 5 p(-.6 < Z <.6) Φ(.6) - Φ(-.6) º) Una empresa de transporte tene tres tpos de camones. El número medo de ltros de combustble que repostan los camones de tpo A es de ltros, con una desvacón de ; los de tpo B, 5 de meda desvacón de ; los de tpo C, a) S en una semana repostan 5 camones de tpo A, de tpo B de tpo C, cuál es la probabldad de que el número total de ltros repostado esté entre 5 5 ltros? b) S la empresa pensa destnar al consumo de combustble para los camones de tpo A durante otra semana un mllón qunentas ml pesetas, cuál es el número mámo de camones de tpo A que podrán repostar, con una probabldad del 95%, sabendo que esa semana el combustble estará a ptas./ltro? Denmos las varables: A número de ltros de combustble que repostan los camones de tpo A B número de ltros de combustble que repostan los camones de tpo B C número de ltros de combustble que repostan los camones de tpo C Desconocemos la dstrbucón de estas varables. Sólo conocemos sus esperanzas sus varanzas, por lo que aplcaremos el Teorema Central del Límte. a) Consderemos la varable aleatora número total de ltros repostados A + B + C 5 E() 5E(A) + E(B) + E(C) Var() 5Var(A) + Var(B) + Var(C) luego σ 8

15 Estadístca Empresaral II p( 5 < < 5) p 8 < Z < 5 8 p(-.79 < Z <.8) 8 Aplcando el Teorema Central del Límte tpcando Φ(.8) - Φ(-.79) b) Sea A n E() n E(A) n Var() n Var(A) 6 n σ n p( < 5 ) p Z < 5 n.95 n Aplcando el Teorema Central del Límte tpcando 5 n n 65. n n - 5 luego n ± con lo que n la solucón n 5.57 la tenemos que desechar pues al susttur su valor en la probabldad de partda no da.95, que es el valor peddo, sno que da una probabldad de.5. Por tanto el valor peddo, redondeando, es n 8. º) En una pequeña empresa, consderamos las sguentes característcas: Número de empleados Número de artículos abrcados daramente

16 6 Problemas de eamen resueltos como varables aleatoras. La le de probabldad conjunta es la sguente: \ 8 /9 /9 /9 5 /9 /9 a) Son ndependentes e? b) Calcular p( ). c) Obtener el valor de p( + ). d) Calcular al covaranza de e. e) Indcar, sn hacer nngún cálculo, basándose úncamente en los valores de la tabla anteror, cuál es el valor apromado del coecente de correlacón entre e. a) Para que dos varables sean ndependentes se tene que vercar que: (,) () (), R \ 8 p( ) /9 /9 /9 /9 /9 5 /9 /9 /9 p( ) /9 /9 /9 Como (,8) /9 /9 /9 () (8) e son dependentes b) ( ) p ( ) p, p ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) p, 8 p, p 5, 8 p 5, p ( 8 ) + p ( ) + / / 9 /9 + /9 c) p( + ) p( ) p( ) + 9 9

17 Estadístca Empresaral II 7 d) E() E() E() Cov(,) E() - E()E() e) El coecente de correlacón varía entre -. En este caso como la covaranza calculada en el apartado anteror es postva eso no quere decr que el coecente de correlacón es postvo, además, por el prmer apartado sabemos que es maor que cero pues las varables son dependentes. De la observacón de la tabla de probabldades conjuntas, podemos deducr que tendrá un valor relatvamente alto, puesto que a valores bajos de, la toma tambén valores bajos para valores ntermedos o altos de, predomnan los valores ntermedos o altos de. º) Sea (,) una v. a. bdmensonal, con uncón de densdad conjunta: (, ), e < < ; > en el resto a) Las varables e, son ndependentes? b) Qué dstrbucón sgue cada una de ellas? c) Calcular el coecente de correlacón de estas varables comentar su sgncado. d) Hallar el valor de Var(5 + ). a) Dos varables son ndependentes s se verca que:, (,) () (), R Calculemos las margnales de las varables e. ( ] () e d e < < ( ] - - () e d e e >

18 8 Problemas de eamen resueltos e >, < <, (,) en el resto () () luego las varables e son ndependentes. b) β(,) () β(p,q) p q ( ) < < resto < < resto pues β(,) Γ( + ) Γ() Γ()!!! ε() () a a e > resto e > resto c) Como e son ndependentes, son ncorreladas, luego ρ,. d) Como sabemos que dstrbucón sgue tanto como, calculamos su varanza por la órmula pq Var() (p + q + )(p + q) ( + + )( + ) 8 Var() a S no conocemos que dstrbucón sgue n tendríamos que empezar calculando la esperanza la varanza de de. E() d E() ( ] ( ] e d - e - e d e

19 Estadístca Empresaral II 9 Obtendremos ahora las esperanzas de de, para luego ver cuanto valen las respectvas varanzas. E( ) d E( ) ( ] e d - e - e d + e d E() luego Var() E( ) - E () 8 Var() E( ) - E () - con lo cual, aplcando las propedades de la varanza tendremos: Var(5 + ) 5 Var() + Var() 5 8 por ser e ndependentes ) º) Sea una v. a. dada por la demanda dara, en klogramos, de un determnado producto, que sgue una dstrbucón normal con meda desvacón típca. S se vende cada klogramo a 5 pesetas sabemos que los costes jos daros son pesetas los varables pesetas por klogramo venddo: a) Deducr la dstrbucón del beneco daro. b) Obtener la probabldad de que en un mes ( días) el beneco sea maor que pesetas. c) Como cambaría el problema s no conocésemos la dstrbucón de la varable, aunque sí su meda su varanza? Demanda dara (en kg.) N(,) a) B Benecos Ingresos - Costes 5 - ( + ) - E(B) E( - ) E() - - Var(B) Var( - ) Var() 6 σ B 8 luego B N(,8)

20 Problemas de eamen resueltos b) Llamando B, B,, B, al beneco de cada uno de los días de un mes, el beneco mensual (T) será: T B + + B E(T) E(B + + B ) E(B ) + + E(B ) Var(T) Var(B + + B ) Var(B ) + + Var(B ) 6 9 Suponendo que los benecos daros son ndependentes σ T p(t > ) p Z > Φ(.9) Tpcando c) S no supéramos que dstrbucón sgue, como s conocemos su meda su varanza, podríamos aplcar el Teorema Central del Límte, a que la varable T Beneco mensual es una suma de varable aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con meda varanza nta. La únca derenca que habría sería que como consecuenca de aplcar el Teorema Central del Límte la probabldad calculada no sería eacta, s no que sería apromada. 6º) Sea la v. a. proporcón de tornllos deectuosos en una máquna, con uncón de densdad: () ( ) < < en el resto a) Cuál es la dstrbucón de la varable? b) Cuál es la proporcón esperada de tornllos deectuosos? c) Hallar la probabldad de que la proporcón de tornllos deectuosos sea menor que.. d) Trabajando con máqunas smlares a la anteror, cuál es la probabldad de que, al menos en dos de ellas, la proporcón de tornllos deectuosos sea menor que.? a) β(,) () β(p,q) p q ( ) < < resto ( - ) < < resto a que

21 Estadístca Empresaral II β(,) Γ( + ) Γ() Γ()!!! b) Como β(,) E() p p + q +.5 S no conocéramos la dstrbucón de la esperanza la podríamos calcular: E() (- ) d +. ( ] + c) p( <.) ( ) d ( ) d) Denmos el suceso E Éto La proporcón de tornllos deectuosos es menor que., consderamos la varable aleatora Número de máqunas en las que la proporcón de tornllos deectuosos es menor que. de las vente dadas Como la varable cuenta el número de étos en ensaos de Bernoull, sgue una dstrbucón bnomal de parámetros n p p(e) p( <.).7. La probabldad que nos pden es: B(,.7) p( ) - p( < ) - [p( ) + p( )] º) En una bbloteca públca han realzado un estudo sobre Nº de lbros prestados a una persona el msma día e Nº de vídeos prestados a una persona el msmo día con los sguentes resultados: \ a) Calcular e nterpretar el coecente de correlacón.

22 Problemas de eamen resueltos b) Obtener la dstrbucón del número de lbros prestados para aquellos usuaros de la bbloteca que no se llevan en préstamo nngún vídeo, cuál es su esperanza? c) Calcular la probabldad de que el número de objetos prestados a un usuaro el msmo día sea maor que dos. d) S en el préstamo de cada lbro se tarda segundos en el de cada vídeo se tarda segundos, cuál es el tempo medo que se tarda en atender a una persona? con qué varanza? a) Tenemos las varables Nº de lbros prestados a una persona el msma día e Nº de vídeos prestados a una persona el msmo día. Para calcular el coecente de correlacón nos hacen alta los sguentes cálculos: \ p( ) p( ).5... E() (.) + (.) + (.) + (.).6 E( ) (.) + (.) + (.) + (.). Var() E( ) - E () E() (.5) + (.) + (.).7 E( ) (.5) + (.) + (.). Var() E( ) - E () E() () + (.) + () + (.) + (.) + (.) + + (.) + (.) () + (.) + () + ().7 Cov(,) E() - E()E().7 - (.6.7) -. Cov(,) ρ, Var() Var() Como el coecente de correlacón es negatvo, quere decr que cuanto maor es el número de lbros que se lleva una persona en préstamo, menor es el número de vídeos que se lleva, al revés, a maor cantdad de vídeos llevados en préstamo, menor es el número de lbros que se lleva. b) Empezaremos calculando la le de probabldad de /.

23 Estadístca Empresaral II, (,) / (/ ) ().5, (,). / (/ ) ().5, (,). / (/ ) ().5, (,). / (/ ) ().5... luego / p(/)... con lo cual su esperanza es: E(/) (.) + (.) + (.). c) p( + > ) p(, ) + p(, ) + p(, ) d) Denmos la varable T +. Tenemos que calcular su esperanza su varanza, para ello aplcaremos las propedades de ambas. E(T) E( + ) E() + E() (.6) + (.7) 5 segundos Var(T) Var( + ) Var() + Var() + Cov(,) (.8) + (9.6) + ((-.)) 8 8º) Sea (,) una varable aleatora bdmensonal con uncón de densdad conjunta: (, ), ( ) < < < < 8 en el resto a) Obtener las densdades margnales de de. Indcar que dstrbucón sguen. b) Son e ndependentes? c) Calcular la varanza de - +. d) Comparar la p( < < ) la p ( < < ) < / comentando el resultado.

24 Problemas de eamen resueltos e) Hallar la uncón de densdad de Z e - calcular su esperanza. a) Funcón de densdad margnal de β(,) () ( ) d ( ) ( ) < < 8 ( ] 8 () β(p,q) p q ( ) < < resto ( - ) < < resto a que β(,) Γ( + ) Γ() Γ() 5!!! Funcón de densdad margnal de U(,8) () ( ) d < < 5 () a < < b b a resto < < 8 5 resto b) Dos varables son ndependentes s se verca que:, (,) () (), R en este caso tenemos: ( ) < <, < < 8, (,) en el resto () () luego las varables e son ndependentes.

25 Estadístca Empresaral II 5 c) Var( - + ) Var() + (-) Var() Por e ndependentes pq Var() (p + q + )(p + q) ( + + )( + ) 6 Var() (b a) (8 ) 5 d) ( < < ) p < / [( < < ) ( )] p ( ) p ( < < ) ( ) p ( ) p p Por e ndependentes p( < < ) 5 d 5 5 Ambas probabldades concden por ser e ndependentes. e) Sea Z e - F Z (z) p(z z) p(e- z) p(- Ln z) p( -Ln z) - F (-Ln z) Z (z) ( Ln z) z 5 z < -Ln z < 8 - > Ln z > -8 e -8 < z < e - luego (z) Z e < z < e 5 z en el resto 8 z e z 5 z dz 5 z 5 e e E(Z) ( ) z e z e z e

26 6 Problemas de eamen resueltos 9º) Sea la v. a. duracón de un componente electrónco de una máquna, medda en meses, con dstrbucón eponencal negatva de parámetro a.. a) Calcular p(µ - σ < < µ + σ). b) S tenemos otros cnco componentes de repuesto cambamos la peza en el msmo momento que deja de unconar, cuál será la probabldad de que podamos mantener la máquna en unconamento 6 meses sn pedr repuestos? (Indcar los cálculos. No se pde el valor numérco concreto). c) S consderamos componentes. Cuál es la probabldad de que al menos para dos de ellos su duracón sea neror a meses? Consderamos la varable aleatora Duracón de un componente electrónco de una máquna en meses ε(.) a) E() a luego Var(). a. µ E() σ Var() con lo que p(µ - σ < < µ + σ) p( - < < + ) p(- < < ). e d e e ( ] b) Denmos la varable T γ(.,6) pues la suma de eponencales negatvas es una gamma. p(t 6) t 6. (6) t 5 e.t dt Γ t 6 c) Sea Número de componentes cua duracón es neror a meses de los consderados. Llamando éto al suceso E Duracón de un componente electrónco de una máquna neror a meses p(e) p( < ).959 la varable cuenta en número de étos en ensaos de Bernoull, luego B(,.959)

27 Estadístca Empresaral II 7 la probabldad que nos pden es: p( ) - p( < ) º) En una ocna de una entdad nancera saben que los ngresos que se eectúan son por térmno medo de ml pesetas con una desvacón típca de ml pesetas que los rentegros medos son de ml pesetas con una desvacón de ml. Al nco del día un urgón lleva la cantdad de dnero solctada el día anteror. a) El día de ebrero antes de abrr al públco, había mllones de pesetas en caja. Se eectúan 6 ngresos 7 rentegros. La cantdad sumnstrada por el urgón ue de 6 mllones, cuál es la probabldad de que al hacer el arqueo al nal del día haa en caja a lo sumo 5 mllones? b) Una vez realzado el arqueo se observa que en caja ha mllones medo para el día sguente. S la prevsón de ngresos de rentegros para el día de ebrero concde con los que se eectuaron el día, qué cantdad de dnero habrá que pedr que lleve el urgón para que con una probabldad del 97.5% al nal del día quede en caja al menos la msma cantdad que al prncpo del día? Denmos las sguentes varables aleatoras: sabemos que Ingresos en una entdad nancera (en mles de pesetas) Rentegros en una entdad nancera (en mles de pesetas) E() σ E() σ 6 7 a) Sea W E(W) E E( ) E( ) Var(W) Var Var( ) + Var( ) σ W 9 La probabldad pedda es:

28 8 Problemas de eamen resueltos 6 7 p p(w 5 ) p W Φ Φ(.) Tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte b) Ha que encontrar un valor k tal que luego p(w k 5) p(w -k) p(w - k) p W k k Φ 9 Tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte k 5 8 Φ k k 5 5. mles de pesetas. º) Sea una varable aleatora con la sguente le de probabldad: p() /8 / / /8 a) Cuánto vale la varanza de + 5? b) Calcular la p( < / ). c) Podemos suponer que sgue una dstrbucón bnomal, por qué? a) E() E( )

29 Estadístca Empresaral II 9 Var() E( ) - E () Var( + 5) Var() b) < ( ) p p[ ( < ) ( ) ] p( ) p( ) + p( ) p( ) + p( ) + p( ) c) La uncón de densdad de una varable aleatora que sgue una dstrbucón B(n,p) es: donde n número de epermentos realzados p Probabldad de éto n k n k p( k ) p ( p) k,,..., n k En este caso n, el valor de p le obtendremos despejando, por ejemplo, en la probabldad de valga cero. p( ) 8 p ( p) ( p) 8 p p Luego s sgue una dstrbucón bnomal, esta es una B(,/). Comprobemos s para el resto de valores concden las probabldades. p( ) no sgue una dstrbucón bnomal. 8 º) Dada la varable aleatora con uncón de densdad: () 6(-) < < Denmos la varable 5 -. Obtener su uncón de densdad deducr qué dstrbucón sgue.

30 5 Problemas de eamen resueltos Empezaremos calculando la relacón que ha entre las uncones de dstrbucón para luego ver que relacón este entre las uncones de densdad. F () p( ) p(5 ) p( 5) p luego 5 - F 5 ( ) ( )( ) < 5 < < 5 < 5 < < < < 5 con lo que ( ) ( )( ) 9 5 < < 5 en el resto β(,,,5) () β(p,q) (b-a) p+q- p q (-a) (b ) a < < b resto (-) (5- ) < < 5 9 resto a que β(,) (5-) Γ( + ) Γ() Γ() +-!!! 7 9 º) Sea la v. a. número de accdentes laborales daros en un determnado grupo de empresas. a) Sabendo que p( ).55, calcular la esperanza la varanza de dcha varable la probabldad de que un día determnado haa más de accdentes. b) Probabldad de que en una semana (5 días) ocurran menos de accdentes. Sea número de accdentes laborales daros en un determnado grupo de empresas P(λ) λ λ a) p( ).55 e λ!

31 Estadístca Empresaral II 5 Luego E() λ Var() λ. p( > ) - p( ) b) Sea número de accdentes laborales semanales. Como la suma de varables de Posson es otra varable de Posson, el parámetro es la suma de los parámetros, tenemos que P() 5 p( < ) p( ).5 º) Sea e dos varables aleatoras con la sguente uncón de densdad conjunta: (, ), (+ ) K e resto a) Comprobar que la constante K. b) Calcular las uncones de densdad margnal de la de la. Qué dstrbucón sguen? c) Son ndependentes las varables e? d) Calcular la esperanza la varanza la varable Z -+5. e) Plantear la P(+< ). a) Para comprobar que la constante vale, usaremos el hecho de que la ntegral en todo el domno de dencón de la uncón de densdad es. (+ ) K e d d K e e d K e d K K e d K pues la ntegral en todo el domno de dencón de una γ(,) vale b) Margnal de

32 5 Problemas de eamen resueltos ε(), pues (+ ) () e d e e d e () a e > resto -a - e > resto Margnal de (+ ) () e d e e d e γ(,) () p a (p) p- e -a > Γ resto - e > resto pues a Γ(p) Γ()! p c) Dos varables son ndependentes s se verca que:, (,) () (), R en este caso tenemos:, (,) e (+ ) resto () () luego las varables e son ndependentes. d) Calcularemos prmero las esperanzas las varanzas de e. E() a 5. E() p a

33 Estadístca Empresaral II 5 Var() 5. Var() a p a E( - + 5) E() - E() +5 (.5) - () + 5 Var( - + 5) Var() + (-) Var() (.5) + (9) 9 Por ser e ndependentes e) + (+ ) p( + < ) e d d 5º) Un producto se presenta a la venta en un paquete que contene tres bolsas de producto en su nteror. Sabendo que: El peso del envase eteror es una v. a. con dstrbucón N(5, 6) medda en gramos El peso de cada bolsa de producto es una v. a. con dstrbucón N(, 6) medda en gramos a) Calcular la dstrbucón de la v. a. peso total de un paquete. b) S para su dstrbucón los paquetes se envían en cajas de, calcular la probabldad de que una caja pese más de 5. Klogramos. Denmos las sguentes varables: Peso del envase eteror N(5,6) Peso de una bolsa de producto N(,6) Las varables e son ndependentes. a) Sea Z Peso total de un paquete N(µ,σ), pues la suma de varables normales es otra varable normal. Determnemos el valor de sus parámetro. E(Z) µ E( ) E() + E( ) + E( ) + E( ) Var(Z) σ Var( ) Var() + Var( ) + Var( ) + Var( )

34 5 Problemas de eamen resueltos luego Z N(5,) b) Sea W Peso de una caja Z N(n µ, n σ) N(5, ) N(5,) W 5 p(w > 5 ) - p(w 5 ) p - Φ(.67) º) Una empresa dedcada a la venta de ordenadores se plantea contratar a una persona para el montaje de los equpos en las sguentes condcones: cobrará una cantdad ja de 75 ml pesetas al mes más una cantdad varable por cada equpo que monte, que segurá una dstrbucón unorme de parámetros ml dos ml qunentas pesetas, en uncón de los componentes que lleve. El preco de cada ordenador se verá ncrementado por el concepto de montaje en una cantdad varable en uncón del número de componentes que segurá una dstrbucón unorme de parámetros dos ml cuatro ml cuatrocentas pesetas. a) Calcular la probabldad de que la cantdad varable del salaro del empleado por el montaje de un equpo oscle entre novecentas ml trescentas pesetas. b) S se estma que el número de equpos venddos mensualmente es 7, cuál sería el salaro esperado? con que varanza? c) Cuál será el número mínmo de equpos que se deberán vender durante un mes, para que los servcos de este empleado no superen a los ngresos obtendos por la empresa en concepto de montaje, con una probabldad del 97.5%? a) Consderamos la varable Cantdad cobrada por el empleado por el montaje de un equpo (en mles de pesetas) U(,.5) según nos dce el enuncado del problema. () a < < b b-a resto.5- < < 5..5 < < 5. resto resto. p(.9.) () d d ( ].5 d.5, < < b) S Salaro mensual del empleado

35 Estadístca Empresaral II 55 E() a + b Var() ( b a) (.5 ) E(S) E E( ) 75 + (7.75) 97.5 mles de pesetas. 7 7 Var(S) Var75 + Var( ) c) Sea Incremento en el preco de un equpo en concepto de montaje (en mles de pesetas), que según el enuncado U(,.) Denmos B Benecos de la empresa por el concepto de montaje. El problema nos pde encontrar B Ingresos - Gastos 75 n n / p(b > ).975 Como la dstrbucón de B no la conocemos es suma de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, podemos aplcar el Teorema Central del Límte, es decr, n B E(B) Var(B) L N(,) n n n n E(B) E 75 E( ) 75 E( ) +. n 75 (.75 n).5 n - 75 n n n n Var(B) Var 75 Var( ) + Var( ) (. -) n + (.875 n).6675 n

36 56 Problemas de eamen resueltos B.5n p(b > ) p.6675n Tpcando.5n n + 75 > n Φ.6675n Aplcando el Teorema Central del Límte -.5n + 75 Φ n 75.5 n.6675 n n n - 75 n n la solucón n 7.87 la tenemos que desechar pues al susttur su valor en la probabldad de partda no da.975, que es el valor peddo, sno que da una probabldad de.5. Por tanto el valor peddo, redondeando, es n 56 equpos. 7º) Sean e varables aleatoras ndependentes con uncones de densdad: e () en el resto () en el resto a) Calcular la uncón de densdad conjunta. b) Calcular la probabldad de que la varable sea maor que. c) Calcular la esperanza varanza de la varable: T - d) Comprobar que se verca: E() E() E(), ndcando el motvo. e) Calcular p( + < ). (Dejar ndcada la ntegral correspondente). a) Como las varables e son ndependentes, la uncón de densdad conjunta es el producto de las margnales, luego, (, ) () () e, en el resto

37 Estadístca Empresaral II 57 b) p( > ) d c) Comprobemos que γ(,) > > Γ resto e resto e (p) a () - -a p- p pues! () (p) a p Γ Γ luego a p E() a p Var() Calculemos ahora la esperanza la varanza de. 6 d E() 5 6 d ) E( Var() E( ) E () Con lo que E(T) E( ) E() E() ( ) 6 -.5

38 58 Problemas de eamen resueltos.75 6 Var(T) Var( ) Var() + (-) Var() ( ) + 9 por ser e ndependentes d) E() e d d e d 6 e d 6 e d! 6 E() E() E() 6 La gualdad se verca por que las varables e son ndependentes. e) p( + < ) e d d e d d + 8º) En una poblacón ormada por trabajadoras, se desea estudar las sguentes varables aleatoras: Nº de hjos ; Nº de días de absentsmo laboral al mes. S la le de probabldad conjunta de ambas varables es: \ / / / / / / / / / / a) Calcular las lees de probabldad margnales de e.

39 Estadístca Empresaral II 59 b) Cuantas empleadas tenen menos de hjos? c) Calcular: p. d) Calcular: E. a) Para obtener las lees de probabldad margnales sumaremos por las por columnas la le de probabldad conjunta \ p( ) / / / 6/ / / 7/ / / 8/ / / / / p( ) / 7/ 6/ luego la le de probabldad margnal de es la le de probabldad margnal de es p( ) 6/ 7/ 8/ / p( ) / 7/ 6/ b) Calcularemos prmero la probabldad de que una mujer tenga menos de dos hjos a esa probabldad le multplcaremos por el número total de mujeres para obtener el valor peddo. p( < ) p( ) + p( ) con lo que N p( < ) mujeres tenen menos de hjos. c) p p (, ) p( ) p (, ) + p(, ) + p(, ) + p(, ) p( ) + p( )

40 6 Problemas de eamen resueltos d) Empezaremos obtenendo la le de probabldad de condconada por luego calcularemos la esperanza. La le de probabldad de condconada por se obtene p p(, ) p( ) por ejemplo para sería: p(, ) p ( ) p( ) luego la le de probabldad de condconada por es: con lo que la esperanza pedda es: / p( / ) / / / ( ) + + E 9º) Se sabe que la proporcón de grasa en cada lata de paté es una varable aleatora que tene como uncón de densdad: ( ) () en el resto a) Qué dstrbucón sgue la varable? b) S se analzan latas, cuál es la probabldad de que al menos dos latas tengan un contendo en grasa menor que el por cento? c) S ahora se van analzando las latas una a una, cuál es la probabldad de que la prmera lata que contene menos del por cento en grasa sea la qunta? Sea Proporcón de grasa en cada lata de paté

41 Estadístca Empresaral II 6 a) β(,) () p ( β(p,q) ) q < < resto (- ) < < resto a que β(,) Γ(+ ) Γ() Γ()!!! b) Consderamos el suceso E El contendo de grasa de una lata de paté es menor que el %. Calculemos la probabldad de este suceso... p(e) p( <.) ( ) d ( + )d. ( ].8 Denmos ahora la varable Número de latas de las analzadas con menos de un % de grasa. Llamando éto al suceso E anteror, la varable aleatora cuenta étos en ensaos, por lo tanto, sgue una dstrbucón bnomal. La probabldad que nos pden es: B(,.8) 9 p( ) p( < ) c) Denmos ahora la varable Z Número de latas con más del % de grasa antes de la prmera con menos del % de grasa. S se segumos llamando éto al msmo suceso de antes, la varable Z cuenta los racasos antes del prmer éto, luego sgue una dstrbucón geométrca. la probabldad pedda es: Z G(.8) p(z )

42 6 Problemas de eamen resueltos º) El traecto de una línea de autobuses urbana se realza por térmno medo en 8 mnutos, con una desvacón de mnutos. Durante un día se realza el recorrdo 6 veces. a) Calcular la probabldad de que la duracón total de los sesenta cuatro traectos sea maor que mnutos. b) Calcular la probabldad de que la duracón meda de esos sesenta cuatro recorrdos sea menor que 7 mnutos. c) Sabendo además, que el número de vajeros daro de esa línea es de, que el preco medo del bllete es de 7 pesetas con una desvacón de, que el ltro de combustble cuesta 96 pesetas, que el consumo en ltros de combustble es la vgésmo cuarta parte de la duracón del traecto, que cada traecto tene unos costes jos de pesetas, calcular la probabldad de tener beneco al nal de un día. Sea la varable aleatora Duracón de un traecto de una línea urbana. Sabemos que E() 8 σ número de traecto 6 a) Consderamos la varable aleatora Duracón total de los sesenta cuatro traectos E E( ) Var( ) Var 6 6 σ 6 por ser ndependentes La probabldad pedda es: p 6 > De la varable aleatora duracón total no conocemos su dstrbucón, pero s sabemos que es suma de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, con lo cual podemos aplcar el Teorema Central del Límte, apromar el valor de dcha probabldad. 6 6 p p > 7 > 7 Φ() tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte

43 Estadístca Empresaral II 6 b) Denmos Duracón meda de los sesenta cuatro traectos 6. 6 Estamos en las msmas condcones del apartado anteror volveremos a aplcar el Teorema Central del Límte. Calcularemos prmero la esperanza la varanza de la varable. 6 6 E 7 E Var.5 σ Var p < ( 7) p < Φ( ) tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte c) Dsponemos de la sguente normacón: Número de vajeros de la línea P Preco del bllete E(P) 7 σ P Preco del ltro de combustble 96 pesetas C Consumo de combustble Denmos la varable Costes jos de cada traecto B Benecos Ingresos Gastos 6 P 96 + Al gual que en los apartados anterores, aplcaremos el Teorema Central del Límte.

44 6 Problemas de eamen resueltos 6 6 E E(B) P 96 + E( P ) [ E( ) + ] ( 7) {6 [( 8) + ]} 5 6 Var 6 [ ] Var(B) P 96 + Var( P ) + Var( ) ( ) + (6 ) 6 8 σ B p B 5 5 > ( B ) p > Φ(.88) tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte º) Para estudar la relacón entre el preco la cantdad vendda de un determnado artículo, se observa durante certo tempo ambas varables en varas tendas, obtenendo la sguente le de probabldad conjunta: Preco del artículo; Cantdad adqurda por clente en cada compra. \ a) Calcular el coecente de correlacón de e, comentando el resultado. b) Calcular la probabldad de que el gasto total por clente en cada compra sea maor que 6 ptas. a) Para calcular el coecente de correlacón de e, nos hace alta calcular prevamente las esperanzas las varanzas de e, así como la covaranza entre ambas varables. Empezaremos calculando las lees de probabldad margnales.

45 Estadístca Empresaral II 65 \ 5 5 p( ) p( ).5.. E() (.) + (.) + (.5). E( ) (.) + (.) + (.5) 5.6 Var() E( ) E () E() (5.5) + (.) + (5.) 9 E( ) (5.5) + (.) + (5.) 86 Var() E( ) E () E() (5) + (.5) + (5.5) + (5.) + (.5) + + (5.5) + (5.) + (.) + (5) 6.75 Cov(,) E() E()E() 6.75 (.9) -.5 Cov(, ).5 ρ, Var() Var().76 9 El valor del coecente de correlacón está prómo a lo que quere decr que entre las varables Preco del artículo, e Cantdad adqurda por clente en cada compra ha una relacón lneal alta negatva, es decr, cuando aumenta el preco dsmnue la cantdad adqurda por el clente. b) Sea G Gasto total por clente en cada compra. Nos pden calcular: p(g > 6) p( > 6) p[( ) ( 5)] + p[( ) ( 5)] + + p[( ) ( )] + p[( ) ( 5)] º) Sean e dos varables aleatoras con uncón de densdad conjunta: (,), 8 < < < en el resto

46 66 Problemas de eamen resueltos a) Comprobar que es uncón de densdad. b) Obtener las uncones de densdades margnales de e. c) Obtener la uncón de densdad condconada de por. d) Qué dstrbucones sguen e /? e) Calcular E(/). ) Calcular la p(+ ). a) Para comprobar que es uncón de densdad, tendremos que ver que es sempre maor o gual que cero, que la ntegral en todo el domno de dencón vale uno. Claramente, se puede observar que es maor o gual que cero, pues o ben vale /8 o ben vale. Veamos que la ntegral vale. ( ] d 8 d d 8 6 d 8 luego eectvamente es uncón de densdad. b) Funcón de densdad margnal de () 8 8 d 8 < < luego < < resto en el 8 () Funcón de densdad margnal de () ) ( d 8 < <

47 Estadístca Empresaral II 67 luego () 8 ( - ) < < en el resto c) Funcón de densdad condconada de por., (, ) ( ) 8 / < < () 8 sempre que < < / d) βe(,,,) () β (p,q) (b - a) p+ q- ( -a) p (b ) q a < < b en el resto 8 < < en el resto a que β (,) ( ) Γ(+ ) Γ() Γ() 6!!! / U(,) / () b-a a < < b en el resto < < en el resto e) Susttuendo en la uncón de densdad / tenemos: ( / ) < < /

48 68 Problemas de eamen resueltos luego ) E 6 ( / ) d.5 + p( + ) d d 8 d 8 8 ( ) d 8 ( ].5 º) Sean e dos varables aleatoras con dstrbucones γ(,) T(,6,) respectvamente, con Cov(,). Sean S + T Obtener: a) La esperanza la varanza de S de T. b) El coecente de correlacón entre S T. a) Para calcular las esperanzas las varanzas peddas, aplcaremos las propedades de ambas. Empezaremos calculando la esperanza la varanza de de. Como γ(,) p E() a como T(,6,) p.5 Var() a.75 a + m + b + 6+ E() 7 b-a b m 8 m a Var() ( ) ( )( ) ( ) ( )( ).5 E(S) E( + ) E() E() + (.5) (7) + -

49 Estadístca Empresaral II 69 Var(S) Var( + ) Var() + (-) Var() + [(-)]Cov(,) (.75) + [(-).5] + {[(-)]}.5 E(T) E(5 + 8) 5E() + 8E() (5.5) + (87) 6.5 Var(T) Var(5 + 8) 5 Var() + 8 Var() + (58)Cov(,) (5.75) + (8.5) + [(58)].75 b) Para calcular el coecente de correlacón entre S T necestamos obtener el valor de la covaranza entre dchas varables, el cual se obtendrá aplcando sus propedades. Cov(S,T) Cov[( + ),(5 + 8)] (5)Cov(,) + (8)Cov(,) + (-5)Cov(,) + (-8)Cov(,) Var() + 6Cov(,) -5Cov(,) Var() (.75) + () (.5) Cov(S,T) 75.5 ρs,t Var(S) Var(T).5.75 º) Una tenda vende dos tpos dstntos de leche A B. Las ganancas daras por la venta de leche, se dstrbue normalmente en cada caso. Se sabe que la gananca meda dara por la venta de la marca A es de 6 ptas. con una desvacón típca de, que el.8 % de las ganancas daras obtenda por la venta de la marca B son superores a 8 que el 96.9 % están comprenddas entre 69 8 ptas. a) Calcular la meda la varanza de las ganancas daras obtendas por la venta de leche de la marca B. b) Cuál será el número mínmo de días que tene que vender leche de la marca A para que la gananca, por este concepto, supere las 9 ptas. con una probabldad del.998? c) Qué dstrbucón sgue la gananca semanal (7 días) por la venta de leche? a) Sea B Ganancas obtendas por la venta de leche de la marca B N(µ,σ). Para determnar el valor de los parámetros dsponemos de las sguentes gualdades: Tpcando despejando tenemos: p(b > 8).8 p(69 < B < 8).969

50 7 Problemas de eamen resueltos 8 µ p(b > 8).8 Φ.8 σ 8 µ Φ.977 σ 8 µ σ p(69 < B < 8) µ 69 µ 69 µ Φ - Φ Φ. 969 σ σ σ 69 µ 69 µ Φ.8. σ σ resolvendo el sstema: 8 µ σ 69 µ σ -. se obtene que µ 75 σ 5 luego B N(75,5). E(B) 75 Var(B) 5 65 b) Sea A Ganancas obtendas por la venta de leche de la marca A N(6,). Denmos la varable: Ganancas obtendas por la venta de leche de la marca A en n días n A Aplcando las propedades de la normal sabemos que N(n µ, nσ) N(6n, n ) n En este apartado pden encontrar un valor de n tal que p( A > 9).998. Tpcando se tene:

51 Estadístca Empresaral II 7 n.998 p( A > 9) p n A 6 n n > 9 6 n n 9 6 n Φ n 9 6n Φ n n n -.5 6n - 5 n - 9 n ) n la solucón n 6 la tenemos que desechar pues al susttur su valor en la probabldad de partda no da.998, que es el valor peddo, sno que da una probabldad de.6. Por tanto el valor peddo, redondeando, es n 7 días. c) Denmos la varable aleatora G Gananca semanal por la venta de leche ( + ) 7 A B Como la varable G es suma de varables aleatoras normales e ndependentes, G tambén sgue una dstrbucón normal, veamos de que parámetros E E(G) ( A B ) ( E( A ) + E( B )) ( 6 + ) Var + ( ) ( + 5 ) Var(G) ( A B ) Var( A ) + Var( B ) luego G N( 9 5, 7 75)

52 7 Problemas de eamen resueltos 5º) El número medo de cheques ngresados en un banco es de 5 por día con una desvacón típca de. Calcular la probabldad de que en un trmestre (8 días) el número de cheques ngresados esté entre. Sea Número de cheques ngresados en un banco al día. Sabemos que: E() 5 σ Sea Número de cheques ngresados en un banco al trmestre E E( ) Var( ) Var 8 σ 8 8 por ser ndependentes Nos pden: p( < < ) 8 De la varable aleatora número de cheques ngresados en un banco al mes no conocemos su dstrbucón, pero s sabemos que es suma de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, con lo cual podemos aplcar el Teorema Central del Límte, apromar el valor de dcha probabldad p < < < < p tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte Φ(.78) Φ(.78)

53 Estadístca Empresaral II 7 6º) En una caetería se realza un estudo sobre las varables Nº de caés servdos por mesa e Nº de nusones servdas por mesa, con la sguente le de probabldad conjunta: \ a) Calcular el coecente de correlacón de e. Interpretar su resultado. b) Obtener la probabldad de que el número total de consumcones (caés, nusones) servdas por mesa sea al menos tres. c) Calcular el número medo de caés servdos por cada mesa en la que se ha servdo una nusón. a) Para calcular el coecente de correlacón de e, nos hace alta calcular prevamente las esperanzas las varanzas de e, así como la covaranza entre ambas varables. Empezaremos calculando las lees de probabldad margnales. \ p( ) p( )..5. E() (.) + (.) + (.) + (.).9 E( ) (.) + (.) + (.) + (.).5 Var() E( ) E () E() (.) + (.5) + (.).7 E( ) (.) + (.5) + (.).9 Var() E( ) E ().9.7. E() () + () + (.) + () + (.) + () + +(.) + (.) + () + (.) + (.) + () Cov(,) E() E()E() (.9.7) -.

54 7 Problemas de eamen resueltos Cov(, ). ρ, Var() Var().89. El valor del coecente de correlacón esta apromadamente a la mtad entre lo que quere decr que entre las varables Nº de caés servdos por mesa, e Nº de nusones servdas por mesa ha una relacón lneal meda negatva, es decr, cuando aumenta el nº de caés servdos dsmnue el nº de nusones servdas por mesa. b) p( + ) p( + ) + p( + ) + p( + 5) p(, ) + p(, ) + p(, ) + p(, ) + + p(, ) + p(, ) c) E ( ) p p p p p ( ) p( ) p ( ) p ( ) + + p ( ) p( ) 7º) Sea (,) una varable aleatora bdmensonal con uncón de densdad conjunta: (,), k resto a) Comprobar que el valor de k es. b) Son ndependentes las varables e? c) Qué dstrbucón sgue la varable? cuál la varable? d) Calcular la uncón de densdad de la varable Z -. Qué dstrbucón sgue la varable Z? e) Calcular: Var( -+). ) Calcular: E. / a) Para comprobar que la constante vale : k d d k ( ] d k ( ) d k k

55 Estadístca Empresaral II 75 Como k k b) Para ver s son ndependentes las varables e, comprobaremos s se cumple la gualdad:, (, ) () (), para ello necestamos calcular prmero las margnales de de. Funcón de densdad margnal de luego ( ] () d ( ) < < Funcón de densdad margnal de () ( ) < < en el resto ( ] () d ( ) < < luego () ( -) < < en el resto Como, (, ) () (), entonces e no son ndependentes. c) βe(,,,) β (p,q) (b-a) () p+q- (-a) p (b ) q a < < b ( - ) < < resto resto a que β (,) ( ) Γ(+ )! Γ() Γ()!! +- βe(,,,)

56 76 Problemas de eamen resueltos β (p,q) (b-a) () p+q- (-a) p (b ) q a < < resto b ( ) < < resto a que β (,) (-) Γ( + )! Γ() Γ()!! +- d) Z. Para calcular la uncón de densdad de la varable Z prmero calculamos su uncón de dstrbucón F Z (z). z z FZ (z) p(z z) p( z) p p F ' z z (z) FZ (z) F z z z Z z < < < z < < - z < - < -z < < z < z Z (z) < z < resto Z βe(,,,) Z β(p,q) (b-a) (z) p+q- (z-a) p (b z) q a < < resto b z < z < resto a que β (,) (- ) Γ( + ) Γ() Γ()!!! +- e) Como sabemos la dstrbucón que sguen las varables e aplco las ormulas correspondentes para calcular las varanzas esperanzas p S βe(p,q,a,b) E() a + (b-a) p + q Var() ( b a) p q (p + q + ) (p + q)

57 Estadístca Empresaral II 77 Como β(,,,) e β(,,,), tenemos: E() + ( -) + Var() ( ) (+ + )(+ ) 8 E() + ( -) + 5 Var ( ) (+ + )(+ ) 8 E() (, ) d d d -, d ( ] d ( ) d.5 Cov (,) E() E()E() Por lo tanto: Var(-+) Var() + Var() Cov (,) 9 Var() + Var() Cov (,) / ) E ( ) - / () d Funcón de densdad condconada de por : / () / ( -) -, ( ) (, ) () sempre que / () - < < en el resto () / / < < / en el resto

58 78 Problemas de eamen resueltos E / ( ) () d d ( ] / - / / 5 8º) Para subr a la cma en una estacón de sk, se necesta coger cada uno de los remontes de dos pstas. El tempo de espera en mnutos para coger el remonte de cada psta es una varable aleatora con la sguente uncón de densdad: e > () resto a) Qué dstrbucón sgue la varable? b) Cuál es la probabldad de que el tempo de espera para subr a la cma no sea maor que 6? c) Un grupo de personas descende por una de las pstas con ntencón de volver a tomar el remonte de esa psta. Cual es la probabldad de que menos de dos personas de ese grupo tengan que esperar para coger el remonte entre mnutos? a) γ(,) ε(), pues a () e -a > resto - e > resto b) Sean Tempo de espera para coger el remonte de la psta Tempo de espera para coger el remonte de la psta Son varables ndependentes con la msma dstrbucón γ(,) ε(). Denmos la varable Z Tempo de espera para subr a la cma +. Entonces por propedades de la dstrbucón gamma dado que e son ndependentes, la varable Z γ(,) con lo que su uncón de densdad es: Z (z) p a Γ(p) z p- e -az z > resto -z z e z > resto pues a Γ(p) Γ()! p Nos pden calcular la probabldad de que el tempo de espera para subr a la cma no sea maor que 6, luego

59 Estadístca Empresaral II 79 z 6 p( Z 6) z e z 6 e z 6 dz + z 6 z z 6 z ( z e ] z + e dz z z z 6 6 ( e ] 7e z c) Sea W Nº de personas que esperan entre mnutos de entre las personas que descenden la psta. W B(n,p) donde n p p(éto) p( < < ) p( < < ) e d ( e ] e e.79 W B(,.79) Nos pden la probabldad de que menos de dos personas de ese grupo tengan que esperar para coger el remonte entre mnutos: p(w < ) p(w ) + p(w ).79 (.79) +.79 (.79) º) Una empresa necesta personal aular admnstratvo, para su seleccón realza dstntas pruebas, la prmera elmnatora consste en escrbr un teto a máquna durante un mnuto, pasa la prueba quen supere pulsacones correctas por mnuto. Un canddato da,, 5, 6 pulsacones por segundo con unas probabldades de.,.,.. respectvamente, pero comete,, errores por segundo, con probabldades /5, /5 /5 respectvamente. Calcular la probabldad de que este canddato supere la prmera prueba. (Trabajar con dos decmales). Consderemos Nº pulsacones por segundo, su esperanza su varanza es: 5 6 P( ) E() p( ) (.) + (.) + (5.) + (6.).7

60 8 Problemas de eamen resueltos 6 E( ) p( ) (.) + (.) + (5.) + (6.).9 Var() E( ) - E () consderemos Nº errores por segundo, su esperanza su varanza es: P( ) /5 /5 /5 E() p( ) E( ) p( ) Var() E( ) - E 7 (). 5 5 Sea W Nº de pulsacones correctas en un mnuto 6 6 Nos pden: p(w > ) p( E(W) E( 6 Var (W) Var ( > ) ) ( ) E ( ) 6 ) ( ) 6 e ndependentes E (6.7) (6 ) 6 Var + ( ) Var (6.8) + (6.) 7.6 De la varable aleatora W no conocemos su dstrbucón, pero s sabemos que es suma resta de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, con lo cual podemos aplcar el Teorema Central del Límte, apromar el valor de dcha probabldad. p(w > ) p( < < ) p tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte Φ(.).986.7

61 Estadístca Empresaral II 8 º) En una era, una churrería hace un estudo de las varables Nº de churros que compra el clente e Nº de buñuelos que compra el clente, con la sguente le de probabldad conjunta: \ a) Calcular el coecente de correlacón. Interpretar su resultado. b) Calcular el número medo de buñuelos comprados por un clente que sabemos ha comprado a churros. a) Sean Nº de churros que compra el clente, e Nº de buñuelos que compra el clente. Calculemos sus margnales, sus esperanzas, sus varanzas la covaranza para poder obtener el coecente de correlacón. \ 6 P( ) P( ).7.. E() (6.) + (.6) + (8.) + (.).6 E( ) (6.) + (.6) + (8.) + (.) 8.6 Var() E( ) - E () E() (.7) + (6.) + (.). E( ) (.7) + (6.) + (.).6 Var() E( ) - E () E() (6.) + (66) + (6) + (.) + (6.) +(.) + + (8) + (86.) + (8) + (.) +(6) + (). Cov(,) E() - E()E(). - (..6).6 ρ Cov(, ) Var() Var().6,

62 8 Problemas de eamen resueltos Como el coecente de correlacón es postvo, quere decr que cuanto maor es el número de churros que compra el clente, maor es el número de buñuelos que compra, al revés. Aunque el valor es tan pequeño, tan prómo a cero, que la correlacón entre el nº de churros el nº de buñuelos que compra el clente es práctcamente nula. b) Empezaremos calculando la le de probabldad de /. luego ( / ) (,). ().6, / (6 / ) (,6). ().6, / ( / ) (,). ().6, / con lo cual su esperanza es: / p(/) /6 6 /6 /6 E(/) ( 6 ) + (6 6 ) + ( 6 ). º) Sean e dos varables aleatoras contnuas con uncón de densdad conjunta:, k (,) en el resto a) Comprobar que la constante k vale 9. b) Obtener las uncones de densdades margnales de e. Qué dstrbucón sgue la varable? c) Obtener la uncón de densdad condconada de por. Qué dstrbucón sgue la varable /? d) Calcular E(/). e) Calcular la p(+ ). a) Para comprobar que la constante vale /9, usaremos el hecho de que la ntegral en todo el domno de dencón de la uncón de densdad es.

63 Estadístca Empresaral II 8 d k d k d k d 9 k 9k 6 9 k o ben: ( ] 9 k 9k k d k d k d d k b) Margnal de 9 9 d 9 () βe(,,,) < < < < + resto en el 9 resto en el b a ) (b ( -a) a) (b - (p,q) () q p q- p β a que 9 7!!! 7 () () ) ( ) ( (,) Γ Γ + Γ + β Margnal de 8-8 d 9 () c) Funcón de densdad condconada de por : () /

64 8 Problemas de eamen resueltos / U(,) (, ) () 9 9, ( ) / sempre que / () b-a a < < b en el resto < < en el resto d) Susttuendo en la uncón de densdad / tenemos: ( ) / < < luego E ( / ) d ) p( + ) d d 9 + d 8 ( ] d º) Del presupuesto destnado para las estas, se tene que el gasto (en mllones de ptas.) para los uegos artcales de un día es una varable aleatora cua uncón de densdad es la sguente: ( ) () en el resto a) Qué dstrbucón sgue dcha varable?

65 Estadístca Empresaral II 85 b) Calcular la probabldad de que el gasto en los uegos artcales de un día sea neror a ptas. c) Ha uegos artcales durante nueve días. Calcular la probabldad de que al menos un día de esos el gasto sea menor que ptas. a) β(,) () β (p,q) p ( ) q < < resto (- ) < < resto a que β (,) Γ(+ ) Γ() Γ()!!!.. b) p(<.) ( ) d ( ( ) ]. 7 c) Sea W Nº de días en los que el gasto en uegos artcales es menor que. mllones de entre los nueve días W B(n,p) donde n 9 p probabldad de éto p( <.).7, luego W B(9,.7) p(w ) - p(w < ) p(w ) (.7) º) Una compañía de teatro tene dos obras en cartelera: Sueños Pasones, cada día realza una representacón de cada una. Las ganancas (en mles de pesetas) por uncón se dstrbue normalmente en cada caso. Se sabe que la gananca meda por representacón de la obra de teatro Sueños es de 6 ml ptas. con una desvacón típca de, que el,8% de las ganancas obtendas por representacón de la obra Pasones son superores a 8 ml ptas. que el 96,9% están comprenddas entre 69 8 ml ptas. a) Calcular la meda la varanza de las ganancas obtendas por representacón de la obra Pasones.

66 86 Problemas de eamen resueltos b) Qué dstrbucón sgue la gananca total semanal (7 días) por la representacón de ambas obras? a) Sean Gananca (en mles ptas.) por la representacón de la obra Sueños N(6,) Gananca (en mles ptas.) por la representacón de la obra Pasones N(µ,σ) Para determnar el valor de los parámetros dsponemos de las sguentes gualdades: Tpcando despejando tenemos: p(b > 8).8 p(69 < B < 8) µ p(b > 8).8 Φ.8 σ 8 µ Φ.977 σ 8 µ σ p(69 < B < 8) µ 69 µ 69 µ Φ - Φ Φ. 969 σ σ σ 69 µ 69 µ Φ.8. σ σ resolvendo el sstema: 8 µ σ 69 µ σ -. se obtene que µ 75 σ 5 luego N(75,5). E() 75 Var() 5 65

67 Estadístca Empresaral II 87 b) Sea Z + N(75 + 6, + 5 ) N(5, 5 ). Denmos la varable: G Gananca total semanal por la representacón de ambas obras 7 Z Aplcando las propedades de la normal sabemos que G N(n µ, nσ ) N(7 5, 7 5) N (95, 775 ) º) Una empresa de alquler de vehículos es rentable s el número total de coches alqulados en los 8 prmeros días del año es superor al número total de motos alquladas en todo el año (6 días). Al día, el número de coches que esa empresa alqula es de,,, con unas probabldades de.,.,.,.. respectvamente, el número de motos alquladas, tambén al día, es de,, con probabldades.,.,.. respectvamente. Calcular la probabldad de que el negoco sea rentable. Denmos las varables: Nº coches alqulados al día e Nº motos alquladas al día. Calculemos sus medas sus varanzas. P( )..... E() p( ) (.) + (.) + (.) + (.) + (.) E( ) p( ) (.) + (.) + (.) + (.) + (.) 5.8 Var() E( ) - E () P( ).... E() p( ) (.) + (.) + (.) + (.).5 E( ) p( ) (.) + (.) + (.) + (.) 7. Var() E( ) - E ()

68 88 Problemas de eamen resueltos El negoco es rentable s 8 6 > Sea W 8 6 Nos pden: p(w > ) p( 8 6 > ) E(W) E( 8 6 ) ( ) 8 E ( ) 6 E (8 ) (6.5) 6 Var (W) Var ( 8 6 ) ( ) 8 e ndependentes Var + ( ) 6 Var (8.8) + (6.5) 5 De la varable aleatora W no conocemos su dstrbucón, pero s sabemos que es suma resta de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, con lo cual podemos aplcar el Teorema Central del Límte, apromar el valor de dcha probabldad. p(w > ) p( ) p 5 5 tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte Φ(-.6) º) El tempo meddo en horas, que un proesor emplea en resolver una duda a un alumno por medo de tutoría electrónca es una varable aleatora que sgue una dstrbucón gamma γ(, ¼). a) S en un día resuelve ocho consultas, cuál es la probabldad de que tarde menos de una hora cuarto?. Cuál es el tempo medo que tarda en resolver ocho consultas? b) S durante el curso recbe consultas, cuál es la probabldad de que emplee entre 5 5 horas en responder? c) Durante todo el curso, este proesor ha realzado horas de atencón al alumno medante el procedmento de tutoría electrónca. Cuántas consultas calculas que habrá contestado como mámo, con una probabldad de.977?

69 Estadístca Empresaral II 89 a) Tempo empleado en contestar a una consulta γ (, ¼), 8..d. γ (, ¼) γ (,) p 8 8 por lo tanto:.5.5 ( e ) e d.5.5 <.5 e d e d +,5 e.5e + 8 E p a.5.5e -.5 e El tempo medo en resolver 8 consultas es una hora. b) Sea Tempo empleado en responder consultas.,..d. γ (, ¼) con µ E( ) 8 < σ Var( ) 6 <, aplcando el T. C. L. 5 L N(,) p ( 5 < < 5) 5 p < 5 tpcando < por el T.C.L. por el T.C.L. φ (.9) φ (.9) φ (.9). 8 n c) Tempo empleado en responder n consultas γ (, n ) S el tempo dedcado a tutoría electrónca en todo el año es horas, cabe suponer que el número de consultas sea sucentemente grande (n>), podemos aplcar el T. C. L., n..d. γ (, ¼) con µ E( ) 8 < σ Var( ) 6 <, por el T. C. L.. n n n 6 8 L N(,) p ( < ) p <.977 tpcando n 8 n n 8 n por el T.C.L. n n 8 n + n - n 6 n 56 no válda válda

70 9 Problemas de eamen resueltos 6º) Sea la varable aleatora bdmensonal (, ), donde es el número de kg. de acetunas e es el número de kg. de pepnllos venddos daramente en una tenda de encurtdos. Conocemos las sguentes uncones de densdad: 5 ( ) < < / < ( /) < a) Calcular la uncón de densdad conjunta de (, ) la margnal de. b) Las margnales sguen alguna dstrbucón conocda? Son ndependentes e? c) Calcular la esperanza la varanza del número total de kg. venddos daramente entre acetunas pepnllos. d) Calcular la probabldad de que se vendan como mámo kg. entre acetunas pepnllos. e) Calcular el número de kg. de pepnllos que se espera vender al cabo de un día, sabendo que se venden kg. de acetunas. ) S los pepnllos se venden a ptas. el kg., qué dstrbucón sguen los ngresos daros por las ventas de este producto? 5 a) (, ) < < < 5 < ( ) d < b) βe(,,, ) e βe(,,, ) La constante en ambos casos va a ser la msma: β + q ( p,q)( b a) Γ() Γ( ) Γ() p + 5 e son dependentes pues () () (, ) p p + q c) E ( ) a + ( b a) ( ) a + ( b a) ( ) ( b a) pq 5 ( ) ( p + q + )( p + q) 9 Var E 5 p E p + q ( b a) pq ( p + q + )( p + q) 9 Var ( ) d d d ( ) d 5 5

71 Estadístca Empresaral II Cov, 5 9 Por tanto, ( ) 5 Esperanza del número total de kg. de acetunas pepnllos venddos en un día: E ( + ) E( ) + E( ) + kg. Varanza del número total de kg. de acetunas pepnllos venddos en un día: Var ( + ) Var( ) + Var( ) + Cov(,) d) p ( < ) d d d d 5 [ ] [ 5 5] e) / ( / ) < < + E ( / ) 7, por ser unorme la uncón de densdad condconada. ) Sea Z Ingresos por las ventas daras de pepnllos F Z z z () z p( Z z) p( z) p F z z () z < z. 5.. Z < Por tanto, Z βe(,,,.).

72 9 Problemas de eamen resueltos 7º) El consumo mensual de carne de vacuno por persona, en cuatro países de la Comundad Europea antes de la crss de las vacas locas, se dstrbuía normalmente. Los datos de las medas desvacones típcas guran en la sguente tabla: Nº Medo de kg. D. Típca Gran Bretaña.6. Franca.8. Alemana.6.6 España.5.5 Se puede consderar que estas cantdades son ndependentes, por depender undamentalmente de los hábtos de consumo costumbres gastronómcas de los dstntos países. A raíz del problema de las vacas locas, se ha observado que Gran Bretaña ha dsmnudo su consumo en un %, Franca en un %, Alemana en un 5% España en un 8%. a) Cuál es la probabldad de que actualmente un ndvduo en Gran Bretaña consuma menos de. kg. de carne de vacuno al mes? b) Cuál es la probabldad de que un alemán actualmente consuma menos carne de vaca que un español antes de la crss? c) A un curso de un mes de duracón programado para el verano de, pensan acudr un estudante de cada uno de estos cuatro países. Cuál es la probabldad de que el consumo de los cuatro esté entre 9. kg. de carne de vaca? Sean las varables: Consumo mensual en kg. por persona, de carne de vaca en Gran Bretaña antes de la crss. Consumo mensual en kg. por persona, de carne de vaca en Franca antes de la crss. Z Consumo mensual en kg. por persona, de carne de vaca en Alemana antes de la crss. T Consumo mensual en kg. por persona, de carne de vaca en España antes de la crss. N(.6,.) N(.8,.) Z N(.6,.6) T N(.5,.5) a) p(.7 <.) p( < ) p < φ ( ). 977 tpcando b) Debemos consderar la varable.85z T, que por ser una combnacón lneal de varables normales ndependentes, sgue una dstrbucón normal de parámetros:.85z T N( , ) N(.56,. 5 ).85Z T p.5.5 (.85Z T < ) p < φ (.78). 77 c) Sea la varable S Z +.9 T. Por ser combnacón lneal de varables aleatoras ndependentes normales, sgue una dstrbucón normal. ( S) E

73 Estadístca Empresaral II 9 Var ( S) Entonces, S N( 9.7,.56) p ( 9 < S <.5) p < < S tpcando (.9) φ 8º) El dámetro de las pezas que abrca una máquna es una varable aleatora, con dstrbucón unorme. Se sabe que el dámetro posble más pequeño es 5 que el dámetro medo es 5 mm. a) Calcular la dstrbucón de la v.a.. b) Una peza es apta para su venta s su dámetro está comprenddo entre 5 55 mm. Calcular la probabldad de que una peza sea deectuosa. c) S en un día se abrcan pezas, calcular la probabldad de que al menos 8 sean correctas. a + b E ; luego b 56. < < 55 p 5 55 d 5 6 a) U(a, b), con a 5. ( ) 5 b) p(deectuosa) - ( ) c) Nº de pezas correctas en un día. B(, /) ( 8) p( 8) + p( 9) + p( ) p º) En un determnado sector de empresas, consderamos las varables aleatoras, Nº de empleados jos e Nº de empleados temporales, con la sguente le de probabldad conjunta: \ /9 /9 /9 /9 /9 /9

74 9 Problemas de eamen resueltos a) Son e ndependentes? b) Calcular p +. c) Calcular el coecente de correlacón de e. \ p() /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 /9 p() /9 /9 /9 a) No son ndependentes puesto que p(, ) p(). p() b) p + p ( + ; ) p( ) p(, ) + p(, ) + p(, ) + p( p( ) + p( ), ) + p(, ) 7/8 c) E ( ) E ( ) Var( ) E ( ) E ( ) Var( ) 9 9 E( ) Cov (, ) ρ(, ) Entre e ha una relacón drecta. 5º) Un agente decde nvertr en unos ondos con nterés varable, sn resgo. El comportamento de las ganancas obtendas () sgue una dstrbucón con uncón de densdad. ( ) ( ) < < en el resto

75 Estadístca Empresaral II 95 Esta gananca es renvertda en ondos con nterés varable, en esta ocasón con resgo de pérdda. Dependendo del valor de las ganancas dadas por, las nuevas ganancas/pérddas () sguen una dstrbucón con uncón de densdad: ( ) < < en el resto a) Indcar cuál sería la dstrbucón de las ganancas. b) Descrbr el comportamento de la renversón, en uncón de los posbles valores que toma de su dstrbucón (varable ). c) Por térmno medo, s las ganancas han sdo de u.m., cuánto cabe esperar que ganemos tras renvertrlas? d) Obtener la covaranza entre las dos varables, eplcando el resultado. Para ello, tener en cuenta que: ( ) 8 ( + ) ( ) < < < < en el resto a) β e (,,,) b) U(-, ). Esto sgnca que podemos perder una cantdad ó ganar una cantdad, tenendo en cuenta que la dstrbucón es unorme, es decr, para ntervalos con la msma longtud, la probabldad es la msma. En nuestro caso, la probabldad de perder ó de ganar sería la msma (estamos consderando los ntervalos (-,) (,). c) U(-, ). Por tanto, una de las ormas de obtener esta esperanza es: [ a + b + ] E. En el caso concreto en que, el valor medo es.5. p p + q d) E [ ] ( b a) + a + + ( ) E [ ] ( + ) d ( ) d d + d

76 96 Problemas de eamen resueltos (, ) ( ) ( ) ( ) < <, en el resto < < E [ ] d d d d d d 6 d d d d 8 Entonces, Cov(,) E[ ]- E [ ] [ ] E 5 -. S las ganancas en el prmer caso son elevadas, parece ser que las ganancas/pérddas de la renversón tenden a ser elevadas (sgno postvo de la covaranza), aunque tendríamos que conocer el coecente de correlacón para poder dar un grado de asocacón entre las dos varables. 5º) Una empresa se dedca a la venta de un producto que orece al públco en un envase de metal. Se sabe que el peso del contendo es una varable aleatora,, con dstrbucón normal de parámetros gramos. Por otra parte, el peso del envase es otra v.a.,, tambén normal e ndependente de, con parámetros gramos. a) Calcular la dstrbucón de la v.a. peso total del producto. b) Para que el producto cumpla con las especcacones legales, su peso no debe ser menor de 5 gramos. Calcular (con dos decmales) la probabldad de que el producto cumpla las especcacones. c) S tenemos productos. Calcular la probabldad de que, como mucho, de ellos sean deectuosos. a) N(, ); N(, ); e ndependentes. Peso total T +. T N(, ) E(T) E() + E() + Var(T) Var() + Var () + ; b) p (el producto cumpla las especcacones) p(t 5) - p(t < 5) T 5 - p < - φ(-.7) (con dos decmales) c) Sea Z nº de productos deectuosos en los. Z B(,.7) σ T p (deectuoso) p(z ) p(z ) + p(z ) + p(z )

77 Estadístca Empresaral II 97 5º) Una compañía de alquler de vehículos ha determnado que la probabldad de que un coche neceste una revsón en un mes es.. La compañía tene automóvles. S suponemos que la dstrbucón del número de revsones es una bnomal: a) Calcular la probabldad apromada de que el número de vehículos revsados esté comprenddo entre 79. Comentar todos los pasos a segur a la hora de buscar esta apromacón el resultado compararlo con la probabldad eacta que toma el valor.9. b) Tenendo en cuenta el número medo de vehículos revsados la probabldad obtenda en el apartado anteror, cómo cabría esperar que uese la probabldad de que el número de vehículos revsados uese superor a 5? Razonar la respuesta, puesto que no hace alta realzar nnguna operacón adconal. a) Para cada vehículo, denmos una varable de Bernoull el vehículo ésmo es revsado caso contaro Son varables B(,p), donde p es la probabldad de ser revsado, es decr,.. La suma de estas varables, sgue una dstrbucón bnomal B(n,p). En este caso n (n ) p.. Para calcular la probabldad pedda, podemos aplcar el Teorema Central del Límte. Tan sólo necestamos conocer la esperanza del total de vehículos revsados, es decr, su varanza. [ ] E np. [ ] Var npq..8 6 [ < ] 79 < p Tp p [ Z <.66] - [ Z <.66] 79 p < < [.66< Z <.66] T. C. L. p p La apromacón es cas perecta. b) La probabldad dentro del ntervalo [79, ] es elevada: [ 79 < < ] ndca que, para un número superor a, como es 5, la probabldad [ ] baja. p.9. Esto p > 5 será mu 5º) Una lbrería ha observado que la densdad conjunta de sus ventas mensuales en mles de euros, correspondentes al Dcconaro de la Real Academa en la edcón de senclla () en la edcón de lujo (), es de la orma: < 6 (,) < < 6

78 98 Problemas de eamen resueltos a) Calcular las margnales. Alguna de ellas sgue una dstrbucón de tpo conocdo? Son ndependentes las varables e? b) Calcular las esperanzas varanzas margnales probar que Cov(,).9. c) Cuáles son las ventas esperadas en la edcón de lujo, sabendo que las ventas correspondentes a la edcón senclla han sdo? d) S el % de las ventas de la edcón senclla el % de las ventas de la edcón de lujo se realzan por nternet, cuál es la esperanza varanza de las ventas realzadas por este medo? a) ( ) d < < 6 6 ( ) d [] ( 6 ) 6 < Las varables son dependentes porque (, ) ( ) ( ) < 6 βe (,,, 6) βe (,,, 6) b) E ( ). 5 E ( ) 7 Var ( ).5 Var ( ) E 6 6 ( ) dd [ ] d d 8 5 [ ] 6 5. Cov(,) E() E()E()..5.9 (, ) 6 / ( ) < < 7 c) ( /) Concretamente, s, la uncón de densdad condconada es: 9 ( /) < / <

79 Estadístca Empresaral II 99 E 9 7 ( / ) d [ ] por lo que se espera vender por térmno medo de la edcón de lujo, cuando se han venddo de la edcón senclla. d) Z Ventas por nternet. +. E(Z). E() +. E() Var(Z). Var() +. Var() +.. Cov(,). 5º) Las dstrbucones de las varables aleatoras, e, nº de encclopedas venddas al día por dos vendedores, en zonas ndependentes de una cudad, son: P( ).... P( j ).5.. a) Calcular la le de probabldad conjunta de e. b) Calcular la probabldad de que, entre los dos vendedores, en un día vendan más de encclopedas. c) S el prmer vendedor vende sus encclopedas a la undad el otro a, calcular la meda desvacón típca de los ngresos obtendos al día en total. a) Por ser ndependentes: p ( ; j ) p( ). p/( j ), j \ P( ) P( j ).5.. b) P( + > ) p( ; ) + p( ; ) + p( ; ) c) I Ingresos daros + E ( ) E ( ) Var( ) E( ) (E( )).5..8 E ( ) E ( )

80 Problemas de eamen resueltos Var( ) E( ) (E( ))..7.6 E ( I ).E ( ) +.E ( ) Por ser e e ndependentes, Cov (, ), por tanto: Var ( I ).Var ( ) +.Var ( ) σ I 55º) Una ábrca de alombras coneccona determnados modelos a medda. La superce de las alombras que los clentes demandan es una varable aleatora que sgue una dstrbucón unorme entre 6 m. El mes pasado abrcaron 8 alombras. a) S el preco de venta es de el m. De alombra, calcular la probabldad de que el valor total de las ventas del últmo mes supere los 5. b) Se desea estudar el tpo de alombra que suele solctar el clente. Para ello se calcula la meda artmétca de la superce de las ochenta una alombras. Con qué probabldad estará comprendda entre..8 m.? a) T Cantdad de m. de alombra venddos el mes pasado. Las varables aleatoras,,, 8 son ndependentes déntcamente dstrbudas según una U(, 6) por lo tanto tenen esperanza varanza ntas, 8 a + b E ( ).5 < Var ( ) ( b a).75 < por el Teorema Central del Límte, la suma de estas varables, tpcada, converge en le a la N(, ). Var E La probabldad pedda es: 8 8 ( T) E E( ) ( T) Var Var( ) ndep. 6.5 ( > 5) p( T > 75) p < p T tpcando T porelt.c.l. ( ) φ.5

81 Estadístca Empresaral II b) Superce de las alombras U(, 6) Superce meda 8 8 Las varables aleatoras,,, 8 son ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, luego por el T.C.L, la meda artmétca de estas varables, tpcada, converge en le a la N(, ). ( ) E( ).5 Var( ) E Var ( ) n 8 p L (.5) 8 N(,) ( ) (. <.8) p (..5) 8 < (.5) 8 < (.8.5) < 8 tpcando porelt.c.l. φ (.) φ(.) φ(.) º) En una ábrca donde se hacen cajas de cartón, tenemos en cuenta las varables: cantdad de cartón abrcada daramente (en kg.) e cantdad de cartón que, al nal del día, se ha encontrado en mal estado (en kg.) (deterorado por la abrcacón, el transporte, la humedad, etc.). Sabemos que sguen una dstrbucón normal, con medas 5,, respectvamente varanzas,, respectvamente. a) Supongamos que el control de caldad ege que, cada día, la cantdad de cartón en mal estado no supere los kg. Consderemos un perodo de un mes ( días). Calcular la probabldad de que el número de días en los que la cantdad de cartón deectuoso no supere los kg. sea neror a. b) Supongamos que Cov(,). S T es la varable cantdad de cartón que al nal de la jornada se encuentran en perecto estado (en kg.), con dstrbucón normal, obtener su esperanza su varanza. a) Sabemos que N(5, ) que N(, ). Entonces: p[ < ] p[z <.6].757, sguendo Z una dstrbucón normal tpcada. Ésta sería la probabldad de nuestro éto. En días, el número de días en los que se verca el éto sgue una dstrbucón bnomal: N nº de días en un mes en los que la cantdad de cartón deectuosa no supera los kg. B(,.757). La probabldad que nos pden es: p[n < ] p[n ] p[n ] + p[n ]

82 Problemas de eamen resueltos a) Cov(,). T E[T] E[ ] E[] E[] 5 8. Var[T] Var[ ] Var[] + Var[] Cov(,) +. 57º) Sea (, ) una v.a. bdmensonal con uncón de densdad conjunta;, k < < ; < < (,) en el resto a) Obtener el valor de k, comprobar s estas varables son o no ndependentes. Qué dstrbucón sgue cada una de las varables? b) Obtener la uncón de densdad de Z +. Sgue algún tpo de dstrbucón conocda? c) Calcular Var( ). a) Para que sea uncón de densdad debe cumplr que: (, )d d, por tanto: k d d k d k d k k de donde k Calculamos las margnales de e : (), (, )d d < < (), (, )d d < < La dstrbucón de puede comprobarse que es β(,) La dstrbucón de es una βe(,,,) Las varables son ndependentes, puesto que ( ) ( ) ( ),, para todo valor de e.

83 Estadístca Empresaral II b) Sea Z + z z c) FZ (z) p(z z) p( + z) p F z z dfz (z) z < < Z (z) 8, esto es: dz en el resto (z) Z z 8 < z < 8 en el resto, es decr, sea una βe(,,,8) d) Var( ) por ser e ndependentes es: Var( ) Var() + Var() Calculamos las varanzas de e. Puesto que conocemos su dstrbucón: pq Var() (p + q + )(p + q) 8 ; (b a) pq Var(), de donde (p + q + )(p + q) 9 88 Var( ). 7 58º) Se consderan las varables Tempo de espera de coneón a la red, epresada en mnutos, e Tempo que se permanece conectado, tambén en mnutos. Tras observar su comportamento durante certo perodo de tempo, se llega a la conclusón de que su dstrbucón conjunta es: \ a) Calcular la probabldad de que un usuaro esté rente al ordenador dos horas meda ó más, desde que se ntenta conectar hasta que apaga el ordenador. b) Son ndependentes las varables? Caso contraro, calcular la covaranza e comentar su sgncado. c) Suponendo que el tempo de coneón ha sdo de mnutos, n más n menos, ndcar, por térmno medo, cuál sería el tempo que se ha estado conectado. a) Denmos la varable + Tempo que un usuaro está rente al ordenador, desde que se ntenta conectar hasta que desconecta. Esta varable vene epresada en mnutos. Entonces: p [ + 5] p [, ] + p [, 8] + p [ 5, 8] + p [, 8]

84 Problemas de eamen resueltos b) p [, 6]. p [ ] [ 6] p \ 6 8 p [ ] p.6..5 [ ] E[] p[ ] 7.57 E[] p[ ] E[] j p[, j ] j Cov(,) E[] E[] E[] La relacón entre las varables es nversa. Cuanto más tardemos en conectarnos, más pronto lo dejaremos. c) La dstrbucón condconada : [ ] E p 6 /7 /7 8 5/ º) Un sstema electrónco compuesto por componentes ndependentes actúa de la orma sguente: al prncpo sólo uncona el prmer componente cuando éste alla, empeza a unconar automátcamente el segundo así sucesvamente hasta el últmo, de orma que el sstema sólo deja de unconar cuando han allado los componentes de orma sucesva. Sabendo que la duracón (en horas) de cada componente es una v. a. con dstrbucón eponencal tal que p( ).65: a) Comprobar que el valor del parámetro a es. b) Calcular la duracón meda del sstema. c) Calcular de orma eacta (plantear) apromada la probabldad de que la duracón del sstema sea maor que horas. a) Sea Duracón (en horas) de un componente. Sabemos que sgue una dstrbucón ε(a), por tanto: ( ) ae a <

85 Estadístca Empresaral II 5 a a a Luego: p( ) ae d [ e ] e. 65. Despejando a -ln( ). b) D Duracón total del sstema Puesto que E( ) a E(D) E( ) + E( ) + + E( ) Hallamos la dstrbucón de D. Puesto que sgue una dstrbucón ε(a), es decr una γ(a,), por la propedades de la dstrbucón gamma: por tanto, de orma eacta: D γ (, ) es decr una γ (, ) p( D > ) e d Γ( ) Como ha que calcular esta ntegral, podemos hacerlo de orma apromada utlzando el Teorema Central del Límte, puesto que: D N( nµ, σ n ) en este caso N(, ) de donde: D p ( D > ) p > p( Z >. 85 ) Φ(. 8 ) º) La cantdad dara de leche que se srve en una caetería se comporta con ndependenca a lo largo de los dstntos días del año. De lunes a vernes sgue una dstrbucón normal de meda 5 ltros desvacón típca ltros. Los sábados domngos, dcha cantdad se ncrementa en un %. a) Qué dstrbucón sgue la cantdad de leche consumda en un día de n de semana? b) Qué dstrbucón sgue la cantdad de leche que se srve semanalmente?. Calcular la probabldad de que en una semana se utlcen más de 5 ltros de leche. c) Tenendo en cuenta que un año tene 5 semanas, calcular la probabldad de que al menos en una semana al año, la cantdad de leche consumda en esa caetería sea superor a 5 ltros. a) Cantdad de leche consumda los días de daro N(5, ) Cantdad de leche consumda los días de n de semana. N(7, ) pues tenendo en cuenta las propedades de la dstrbucón normal,

86 6 Problemas de eamen resueltos s N(µ, σ) b N(bµ, bσ) b) Z Cantdad de leche consumda semanalmente +. Por ser suma de normales 5 ndependentes, Z tambén sgue una dstrbucón normal, con los sguentes parámetros: E 5 ( Z ) E( ) + E( ) Var 5 ( Z ) Var( ) + Var( ) Z N(9, 89 ) 5 9 p 89 ( Z > 5 ) Φ Φ( ) c) T Nº de semanas al año con consumo de leche superor a 5 ltro B(5,.8) 5 5 p( T ) p( T ) º) Contestar las sguentes cuestones de orma razonada (ncluso s la decsón ha sdo aleatora): a) Para eplcar el comportamento estadístco del tempo que se tarda en realzar una operacón bancara (evaluada en días) se puede optar entre un modelo gamma o una dstrbucón beta etendda. Indcar cuál de los dos modelos sería el más acertado en el caso en el que el tempo mámo de la operacón uera de días. b) Sea una v.a. con dstrbucón γ(5,) e una v.a. con dstrbucón T(,,). S la varanza de + es 5, podemos armar que las varables son ndependentes? c) Sguendo un plan de caldad, los audtores de una empresa analzan durante cnco días la estenca de ncdencas s es posble una solucón de manera eectva. Suponendo que el número de ncdencas daro es una v.a. de Posson de parámetro,5, calcular la probabldad de que el número total de ncdencas durante los cnco días sea superor a e neror a 5. a) En el caso de tener etremos ntos, sería más adecuado utlzar una beta etendda. (b a) (b b) Var() ; Var() ap 5 8 m)(m a) Var(+) Var() + Var() + Cov(,) + + Cov(,) 5 8 5

87 Estadístca Empresaral II 7 c) (.5) Cov(,) -. este certo grado de dependenca (lneal, al menos). Ρ 5 Ρ(.5) p( < < 5) p( ) + p( ) e + e.6665!! 6º) Sea una v.a. con dstrbucón β(,) e otra v.a. con uncón de densdad gual a: ( ) () < < enel resto Calcular: a) La esperanza la varanza de e. b) Sabendo que la Cov(,) /75, la esperanza la varanza de 8. a) E() p p + q +. 5 pq Var() (p + q + )(p + q) ( + + )( + ) ; 75 E() ( )d E( ) ( )d Var() E( ) - E() ; 5 b) E( 8) E() 8E() Var( 8) Var() + 8 Var() 8Cov(,)

88 8 Problemas de eamen resueltos 6º) La normatva de contratos de obra en un determnado sector ege que se concedan medante una subasta. El presupuesto (en mllones de ) que presenta cada empresa se puede consderar, desde un punto de vsta probablístco, que es una varable aleatora con dstrbucón N(,;,). a) Obtener, en porcentaje, el número de empresas que probablemente presenten un presupuesto neror a mllón de. b) Supongamos que antes de ncada la obra, de orma nesperada, por tanto, ndependentemente del presupuesto ncal, se detecta que se tendrá que hacer rente a unos costes adconales, que tambén se dstrbuen normalmente. La prevsón es que, por térmno medo, este coste adconal sea de., con una desvacón típca de, mllones de. Obtener la dstrbucón del coste nal de la obra calcular la probabldad de que dcho coste sea neror a mllones de. a) Sea Presupuesto que presenta una empresa (mllones de ) N(.,.)... p ( < ) <.. p p( Z.) < Φ (.).7 % de empresas. b) Sean Costes adconales N(.,. ) C Coste nal de la obra +. Como e están normalmente dstrbudas su suma tambén es una normal, veamos de que parámetros. E(C) E(+) E() + E() Var (C) Var(+) Var() + Var() σ C.5. e ndependentes C N(.,.5) ( C ). p < p Z < Φ (.) tpcando 6º) En la elaboracón de un determnado tpo de galleta, una ábrca utlza, entre otros, dos componentes (A B). S denmos las varables Nº de gramos del producto A por cada galleta (no ecede de gramo) e Nº de gramos del producto B por cada galleta (no ecede de gramos), con uncón de densdad conjunta: (,), cuando < < ; < <. 5 a) Obtener las dstrbucones margnales de cada una de las varables. Indcar s pertenece a alguno de los modelos conocdos. b) Calcular el número medo de gramos de cada ngredente en cada galleta.

89 Estadístca Empresaral II 9 c) Son ndependentes? Obtener el valor de E(). d) S un paquete de galletas se compone de undades, ndcar con qué probabldad el número de galletas que contenen menos de gramos del producto B en su composcón es a lo sumo. a) ( ) 5 d 5 < < β(,). ( ) 5 d 5, < < βe(,,,). 5 b) E( ) p p + q p E ( ) ( b a) + a p + q c) Claramente, las varables son ndependentes pues:, (, ) 5 5 ( ) ( ). Como son ndependentes, la covaranza es cero E() E() E(). 9 d) S número de galletas con menos de gramos en su composcón en un paquete de. S segurá una dstrbucón B(, [ ] p < ). [ ] p < 5 d. S B(,.). p[ S ] p [ S ] + [ S ] p

90 Problemas de eamen resueltos 65º) El tempo, en horas, que tarda un empleado en completar un epedente, sgue una dstrbucón gamma de meda horas varanza gual a. S dcho empleado realza 5 epedentes al mes: a) Calcular la probabldad apromada de que el tempo total que emplea sea maor de 95 horas. Indcar asmsmo como se calcularía esta probabldad de orma eacta. b) S por cada epedente el empleado recbe jos, más un plus de por hora trabajada, calcular la meda la desvacón típca de la v.a. ngresos mensuales. a) Sea la v.a. T tempo (en horas) en completar un epedente. p p T γ(a,p), tal que E(T) Var(T) a a de donde a p Sea tempo total en completar 5 epedentes T + T + + T 5. Su dstrbucón eacta por ser suma de varables aleatoras ndependentes con dstrbucón gamma, con el msmo parámetro a, será γ(, ) por tanto: 99 p( 95) e d que manualmente es cas mposble de resolver > 95 Γ() La dstrbucón apromada de T por ser suma de v.a ndependentes, utlzando el Teorema Central del Límte es N(5, 5 ) es decr N(, 5), por tanto 95 p( > 95) p > p(z >.77) Φ Z (.7) tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte b) Sea G ngresos mensuales (por los 5 epedentes) G 5 + (T + T + + T 5 ) 6 + E(G) 6 + E() Var(G) Var() Var() 5 5 σ G 5

91 Estadístca Empresaral II 66º) Una empresa comercalza un producto en lotes de undades que se embalan en una caja de madera. Se sabe que el peso de cada undad es una varable aleatora con dstrbucón normal de meda 9 gramos varanza. Además el peso de la caja de madera, en gramos, es otra varable aleatora con dstrbucón N(, ). a) S cada undad, según su etqueta, debe pesar al menos 9 gramos, calcular la probabldad de que una undad no cumpla lo estpulado. b) En un lote, cuál es la probabldad de que todas las undades del msmo no cumplan lo ndcado en su etqueta? c) Calcular la dstrbucón de la v.a. peso total del lote embalado la probabldad de que dcho peso sea maor que.5 gramos. a) Sea la v.a. peso en gramos de una undad, puesto que Var(), N(9,) p( < 9) p < p(z < ) Φ Z ().8 sendo la dstrbucón de Z una N(,). b) Sea T número de undades que no cumplen lo estpulado en las undades de un lote. Llamando Éto una undad no cumple lo estpulado, la v.a. T sgue una dstrbucón bnomal de parámetros n p p( < 9).8. Nos pden: p(t ) c) Sea peso de la caja de madera (en gramos) N(, ) sea P peso total de una lote embalado. Podemos escrbr esta varable como: puesto que: P E(P) E( ) + E() E() + E() 9 + Var(P) Var( ) + Var() Var() + Var() + La dstrbucón de P N(, ) Por tanto: P 5 p(p > 5) p > p(z >.8) Φ Z (.8)

92 Problemas de eamen resueltos 67º) Sea la varable aleatora bdmensonal (,), de la que poseemos los sguentes datos de su le de probabldad conjunta: \ p( ) a b / / c d 9/ e 9/ g / p( j ) 8/ / / a) Sabendo que p( + ) comprobar que p(, ) /. b) Completar la tabla. c) Calcular la esperanza la varanza de -. d) Calcular E( ). a) p( + ) p(, ) + p(, ) + p(, ) + a + / / de donde a /. b) La tabla de la le de probabldades conjunta es: \ p( ) / b / / c d 9/ e 9/ g / p( j ) 8/ / / sabendo como se calculan las dstrbucones margnales a partr de la conjunta es sencllo completar la tabla. Por ejemplo de la prmera la: + / + b / de donde b / La tabla completa es la sguente: \ p( ) / / / / / / 9/ / 8/ 9/ / / p( j ) 8/ / /

93 Estadístca Empresaral II c) Calculamos las esperanzas varanzas de e la covaranza entre ambas 9 9 E() E( ) Var() E( ) E() 8 E() E( ) Var() E( ) E() E() Cov(, ) E() E()E() 5 6 E( ) E() E() 6 5 Var( ) Var() + Var() Cov(, ) d) Calculamos la le de probabldad de la varable condconada / p(, ) p p( )

94 Problemas de eamen resueltos de donde se obtene: p /6 /6 / (La probabldad para es cero) ( ) E p º) Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal con uncón de densdad conjunta: (,) < < < Calcular: a) Las uncones de densdad margnal de e, son ndependentes? b) La covaranza entre e. c) La uncón de densdad de //. Qué dstrbucón sgue? d) La esperanza de //. Sea la uncón de densdad conjunta (,) < < < a) Funcón de densdad margnal de d 5 5 < < () ( ] luego () 5 < < en el resto Funcón de densdad margnal de () d (- ) < <

95 Estadístca Empresaral II 5 luego () (- ) < < en el resto Dos varables son ndependentes (,) () () gualdad en este caso. (,). Veamos s se verca la Como () () 5 (- ) (,) e son estadístcamente dependentes. b) β(5,) pues () β(p,q) p ( ) q < < resto 5 < < resto a que β(5,) Γ(5+ ) Γ(5) Γ() 5!!! 5 luego E() p p + q pq Var() (p + q + )(p + q) 5 (5 + + )(5 + ) 5 ; 5 E() ( )d E( ) ( )d

96 6 Problemas de eamen resueltos Var() E( 5 5 ) - E() ; E(), (, ) d d d d - d 6 d Cov (,) E() E()E() c) Funcón de densdad condconada de por. (, ), ( / ) / < < () 5 En partcular, para /, tenemos: sempre que < <. ( / /) 8 < < / / / ( ) Veamos que // sgue una dstrbucón βe(,,,/) / / (/ /) β(p, q) (b - a) p+ q- ( -a) p (b ) q a < < b en el resto 8 < < / en el resto a que β(,) (/ ) Γ( + ) Γ() Γ()!!! + 8 / d) E(/ /) 8 d ( ] /. 8

97 Estadístca Empresaral II 7 69º) El número de servcos que realza un chóer de una empresa al día () tene la sguente le de probabldad P( ),,,, a) Calcular la probabldad de que en un trmestre (8 días) el número total de servcos realzados (T) esté comprenddo entre b) Sabendo que por cada servco cobra 9,5, que el número de klómetros recorrdos por servco es de,5, que cada klómetro recorrdo tene un coste en combustble de,7 que al mes tene unos gastos jos de 7, calcular la probabldad de que la gananca del chóer en un trmestre sea maor que.75. a) Sean número de servcos que realza el choer de una empresa al día, 8 T número de servcos que realza el choer de una empresa al trmestre Ha que calcular p(65 < T < 7), pero como no conocemos la dstrbucón de T es una suma de varables aleatoras ndependentes déntcamente dstrbudas con esperanza varanza ntas, la probabldad pedda la podemos apromar aplcando el Teorema Central del Límte. E() E( ) Var() E( ) E() E E(T) E( ) Var Var(T) Var( ) por ser ndependentes σ p65< < < < 7 p tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte

98 8 Problemas de eamen resueltos Φ(.8) Φ(.69) b) G Gananca T E(G) E(8.5T ) 8.5E(T) Var(G) Var(8.5T ) 8.5 Var(T) σ T p G ( G > 75) p > tpcando Aplcando el Teorema Central del Límte Φ(.9) º) Las varables Nº de deltos cometdos anualmente en la cudad A Nº de deltos cometdos anualmente en la cudad B se consderan ndependentes. Se sabe que las dstrbucones de estas varables son normales con meda.5 desvacón típca 5, en el prmer caso, con meda 8 desvacón típca, en el segundo caso. El número de eectvos polcales que anualmente se destna en cada cudad es una v.a. que dependerá del número de deltos cometdos. La relacón en ambos casos es la sguente: + + Con qué probabldad la derenca del número de eectvos entre las cudades A B será neror a 6? + N(,,5) 6 p( < 6) p(z <,5),56.,5

99 Estadístca Empresaral II 9 7º) Sea Nº de días que una mercancía se encuentra depostada en un almacén e Coste daro de almacenamento (centos de euros), que depende del peso de la mercancía. La dstrbucón conjunta de estas varables es la sguente: \,,,,,,,, a) Calcular el coste medo daro sabendo que el número de días que estará almacenada la mercancía será menor que. Compara este resultado con el coste medo daro de almacenamento e ndca s este resultado nduce a pensar en la dependenca entre las varables. b) S la varable producto,, representa el coste total (número de días que estuvo depostada la mercancía coste daro), calcular la probabldad de que el coste total sea neror a 5. a) E(/ ),5 5. E(),. S las varables uesen ndependentes, las medas deberían ser guales. b) p( < 5) p( 5) p(,) p(,),,9. 7º) Sea T a + b + donde a, b R e son dos varables aleatoras tales que: E() E() 6 E( ) E( ) 6 E() 58. Indcar qué relacón deben cumplr a b para que los coecentes de correlacón ρ sean guales T, ρt, Var( ) ( ) Var() 5 Var() Cov ( T, ) Cov( a + b, ) avar( ) bcov(, ) 5a b ( T, ) Cov( a + b, ) acov(, ) + bvar( ) a b Cov + ( T, - ) Cov( T, ) Cov ρ T, ρt, σ σt σ σt - 5a b a + b ρ 5 T, ρt, a b

100 Problemas de eamen resueltos 7º) Sea (,) v.a. bdmensonal con uncón de densdad conjunta: Calcular E ( ). (,), ( + ) < < ; < < en el resto ( ) E ()d Puesto que (), (, ) () calculamos la margnal de. + () (, )d ( )d < +, + ( + ) < (, ) (+ ), + () () + (+ ) < < ; < + Susttuendo por : () < 6 < ( ) ()d E + d º) La duracón en horas de un determnado servco tene dstrbucón gamma de parámetros a p. Una persona alqula tres veces segudas dcho servco. Sabendo que la duracón de un servco es ndependente de los anterores que el coste es de la hora, calcular la dstrbucón de la varable C, coste total la esperanza de la v.a. C + C 5. a) Sea Duracón de un servco en horas γ(,),,,..d γ(,) Duracón total + + γ(, + + ) γ(,)

101 Estadístca Empresaral II γ, Coste total C ( + + ) b) E(C + C 5) E(C ) + E(C) 5 E(C) ; Var(C) E(C ) E (C) de donde E(C ) Var(C) + E (C) + 8 E(C + C 5) E(C ) + E(C) º) El número medo de entradas daras que se venden en una sala de cne es con una desvacón típca de 5. El dueño quere cerrar la sala para reormarla los gastos de dcha reorma ascenden a 7.. a) S el preco de la entrada es de los costes jos daros son, qué probabldades tene el propetaro de recuperar el dnero nvertdo en un plazo de dos meses sn subr el preco de la entrada? b) Cuántos días necestaría para recuperarse de la nversón con una probabldad del 95%? a) Sea Nº de entradas venddas daramente E() Var() 5 B Beneco daro E(B) Var(B) B,, B 6, sucesón de v.a..d. con esperanza varanza ntas, por el T.C.L. 6 B L ( µ, σ 6) N( 8, 6) N 6 p B > 7 p B 7 Φ por el TCL 6 (,65),578,7 Φ

102 Problemas de eamen resueltos n L b) B N( nµ, σ n ) N( n, n ) p n n 7 n B > 7 p B 7 Φ por el TCL n,95 7 n Φ n,5 7 n n,65 n 9 n 7 n 8,96 n 65,55 n 6,99 Absurdo La solucón válda es n 66 76º) Un propetaro arma que la gananca en un determnado negoco, epresada en mles de euros, vene representada por una v.a. que sgue una dstrbucón N(5,). Tene dos opcones: s elge la prmera, correrá con unos gastos adconales, cantdad que se puede nterpretar como una v.a. con dstrbucón N(,). En la segunda opcón, los gastos se presentan como una v.a. que sgue una dstrbucón N(,8). Gasto gananca se supone que son ndependentes. a) Indcar qué opcón es mejor desde el punto de vsta de obtener un maor beneco por térmno medo. b) S su meta se ja en obtener unos benecos de. euros como mínmo, cuál será la mejor opcón desde el punto de vsta probablístco? Comentar el resultado, comparándolo con el del apartado anteror. N(5,) N(,) N(,8) B - N(6, 8) B N(, 68 ) a) Se obtene maor beneco por térmno medo con la segunda opcón: E(B ) 6; E(B ). 6 b) p(b ) p Z,,7,98. 8

103 Estadístca Empresaral II P(B ) p Z,,, Con la segunda opcón, los benecos medos son superores a los de la prmera; sn embargo, la probabldad pedda es maor en el prmer caso. 77º) De la dstrbucón conjunta entre dos varables, conocemos la sguente normacón: \ p() - - -,,6,,,,,,,5 p() - - -, Además, se sabe que las varables / (condconada) están gualmente dstrbudas. Completar la tabla hallar el coecente de correlacón. Comentar el resultado. S / están gualmente dstrbudas, toman los msmos valores con las msmas probabldades. p() / P( / ),,,,,5,5 p(, ) p( / ) p( ) p( / ), Por ejemplo: p(, ) p( / ) p( ) p( / ),,,,. \ P(),,6,,,6,,,,,,,5 P(),,,5, E(), E( ) 5,9 Var(),6 E(), E( ) 5,6 Var(),76 E(),9 Cov(,),, ρ,76.,6,76 78º) Sean e dos varables aleatoras ndependentes con meda desvacón típca, sean S T:

104 Problemas de eamen resueltos S + + b T con a, b R a Calcular el valor de a b para que E(S) Var(T) 5. Calcular Cov(S,T) para cualquer par de valores a b. Son S T varables ndependentes? luego a ó a. b b E ( S) E ( ) + E( ) + b 5 Var a a a ( T) ( Var( ) + Var() ) ( + ) 5 Cov(S, T) Cov + + b, a a ( Var( ) Cov(, ) + Cov(, ) Var( ) ) por lo tanto, S T están ncorreladas, pero no son necesaramente ndependentes. 79º) Sea (,) v.a. bdmensonal con uncón de densdad conjunta:, 6 e < < ; > (,) en el resto Qué dstrbucón sguen e? Son ndependentes? Hallar las esperanzas de e. p,5; Calcular ( ) a) () (, )d 6 e d, - 6 e e d 6 < < () (, )d 6 e d e -, 6 d e e >

105 Estadístca Empresaral II 5 luego e son ndependentes pues (, ) () (),, además β (, ) e ε(). Por tanto, E() / E() /. b) p,5,5,5 ( ),5; (, )d d 6 e d d 6 e d, e,5 d e,5 e ( ],69 8 ( p(,5) p( )). 8º) El tempo de abrcacón de una determnada peza (en horas) es una varable aleatora con dstrbucón trangular de parámetros, 7. Calcular la probabldad de tardar más de horas en abrcar una peza. S a lo largo de una semana se abrcan pezas. Cuál es la probabldad de que al menos en dos de las pezas se haan nvertdo como mucho tres horas en su abrcacón? Sea Tempo de abrcacón de una peza (en horas). a) Susttuendo el valor de los parámetros, la uncón de densdad de será: ( ) 5 () (7 ) 5 7 en el resto 7 p( > ) ()d ( ) d (7 ) d 7, b) Sea la v.a. Número de pezas en las que se han nvertdo menos de tres horas en su abrcacón de las producdas. B(, p) sendo la probabldad de éto: p p( ) p( > ),9,. 9 p( ) p( < ) [ p( ) + p( ) ],,9 +, +,9,69.

106 6 Problemas de eamen resueltos 8º) Unos pntores estman que en pntar una casa de hasta m., tardan por térmno medo días con una desvacón típca de,6 en pntar una casa de maor tamaño, tardan por térmno medo 5 días con una desvacón típca de,. Se supone que el equpo de pntores no realza de manera smultánea trabajos en casas de tamaños derentes. Este año se han comprometdo con casas pequeñas casas grandes. a) Calcular la probabldad de que pasen más días pntando casas pequeñas que grandes. b) Calcular la probabldad de que les queden al menos días lbres al año entre nes de semana vacacones. Tempo que tardan en pntar una casa pequeña E() Var(),6 Tempo que tardan en pntar una casa grande E() 5 Var (),96,, es una sucesón de v.a...d. con esperanza varanza ntas (T.C.L.) L N(,,),, es una sucesón de v.a...d. con esperanza varanza ntas (T.C.L.) L a) N(, 7,) L N( 5, 58,8 ) p Φ > Φ 7, (,5),9998, L b) N( 7, 7,) + p Φ Φ 7, (,9),8. 8º) Sea (,) una varable aleatora bdmensonal con uncón de densdad conjunta:, (,) ( ) < < < < resto a) Calcular las uncones de densdad margnal de las varables aleatoras e.

107 b) Qué dstrbucón sgue cada una de las varables? c) Son e v. a. ndependentes? d) Calcular P( >, < ). e) Calcular E() E. Comenta los resultados. ) Calcular Cov( - 8, + 5). Estadístca Empresaral II 7 a) () ( ) d ( ) d ( ) ( ) Luego () ( ) < < resto () ( ) d ( ) d 8 < < resto b) sgue una dstrbucón β e (,,, ) e sgue una dstrbucón β (, ). c) Sí son ndependentes e porque, (,) () (), para todo, d) p( >, < ) p( >) p(< ), por ser ndependentes e p( >) ( ) d 6 / ; p( < ) d Entonces, p( >, < ) 6 6 e) Como e son ndependentes, E E() p Como sgue una β e (,,, ) E() a + (b a) p + q 5 6. ) Cov( 8, + 5) Cov(,) puesto que las varables son ncorreladas. 8º) En unos grandes almacenes, el número medo de devolucones por hora en un determnado departamento es de. Calcular: a) La probabldad de que no haa nnguna devolucón en una hora. b) La probabldad de que en una hora haa al menos una devolucón.

108 8 Problemas de eamen resueltos c) La probabldad de que en horas haa devolucones. d) De las horas que permanece aberto ese gran almacén, cuál es la probabldad de que haa como mámo horas en las que no se produce nnguna devolucón? e)se sabe que en lo que va de hora ha habdo a al menos una devolucón. Cuál es la probabldad de que no se produzcan más de dos devolucones durante esa hora? ) S T 5 + es el tempo en mnutos que tarda el dependente en realzar la devolucón, calcular el tempo medo que tarda el dependente en realzar una devolucón. a) nº de devolucones por hora. sgue una P(). E(). p( ) b) p( ) p( < ) p( ), c) nº devolucones en la hora -ésma. son ndependentes. e!, nº de devolucones en cuatro horas, que sgue una P() P(6). p( ) 6 6! e, d) Z nº de horas en las que no ha devolucones de las h. que permanece aberto. Z sgue una B(n, p) B(,,8), puesto que p p(éto) p( ),8. p(z ) p(z ) + p(z )+ p(z ),8,987 +,8,987 +,8,987,9988. p( ) p( ) + p( ) p( ),987 e) p( ) e! + e!,987,98,987,9 ) E() Var() Var() E( ) E() E( ). Entonces E( ). E(T) E( 5 + ) E( ) 5E() mnutos es el tempo medo que tarda en hacer la devolucón. 8º) Sean e varables aleatoras de las que sabemos los sguentes datos: 6 ( ) < < () en el resto Calcular: E() ; Var( + 5) 8; Cov(, ) 6.

109 Estadístca Empresaral II 9 a) Var( + ) Var ( ). b) Cov( +, + ). c) E( + 5). sgue una dstrbucón beta de parámetros,. Por tanto: E() ; Var() + ( + + )( + ) Var( + 5) Var() 8 Var() Cov(, ) Cov(, ) 6 Cov(, ) a) Var( + ) Var() + Var() + Cov(,) ; Var( ) Var() + Var() Cov(,) b) Cov( +, + ) Cov( +, ) + Cov( +, ) Cov(,) + Cov(, ) Var() + Cov(,) c) Cov(, ) E( ) - E() E() E( ) Cov(, ) + E() E() Var() E( ) - E () E( ) Var() + E () 7 Luego, E( + 5) E() E( ) º) Las acturas cobradas por los servcos técncos de reparacón de una empresa, constan de dos conceptos: pezas mano de obra. La meda del prmer concepto es,6 la del segundo. Las desvacones típcas respectvas son,9,. La relacón entre las cantdades acturadas por ambos conceptos vene epresada por un coecente de correlacón gual a,56. a) Calcula la esperanza varanza de la acturacón total de un servco. b) Cuál es la probabldad de que con servcos se alcance al menos una acturacón total de.5? c) En el supuesto de que solo se realzasen nueve servcos las cantdades acturadas en ambos conceptos ueran ndependentes normalmente dstrbudas, calcular la probabldad de que las cantdades ngresadas en concepto de mano de obra superen a las obtendas por recambo de pezas en 79, como mámo. Qué ocurrría s las dstrbucones no ueran normales?

110 Problemas de eamen resueltos a) Sean: acturacón por pezas en el servco -ésmo acturacón por mano de obra en el servco -ésmo T acturacón total en el servco -ésmo + E( ),6 Var ( ),8 E( ) Var ( ), ρ,56 Cov(, ) ρ Cov(,) ρ Var()Var( ) Var()Var(),56,9,,68 Luego: E(T ) E( ) + E( ) 5,6 Var(T ) Var ( ) + Var ( ) + Cov(, ),596 σ,86 T T b) Sea Z acturacón de servcos Las T son varables aleatoras..d. con esperanza varanza ntas, luego tenendo en cuenta que: E T 5,6.56 Var T,596 5,96 por el Teorema Central del Límte: T.56 8,6 L N(, ) p ,6 ( Z.5) Φ Φ(,6),57,96 T.C.L. c) S las v.a. son normales e ndependentes, por las propedades de la normal: E(D ) E( ) E( ) 8, Var(D ) Var( ) + Var ( ),5 D N(8,,,5) 9 D N(75,6,,5) p D 79, Φ(,8),788 S las varables no son normales no se puede calcular la probabldad. 9 86º) Un agente nmoblaro está nteresado en averguar cuál es la relacón entre el número de líneas de un anunco en prensa sobre un apartamento el volumen de demanda de normacón por parte de posbles nqulnos. Llamemos a la varable aleatora número de líneas e a la varable aleatora volumen de demanda, que toma el valor, s desperta poco

111 Estadístca Empresaral II nterés, para un nterés moderado, s desperta un uerte nterés. El agente estma que la le de probabldad conjunta de ambas varables es: Volumen de demanda () Número de líneas (),,6,8,,,6 5,,8,5 a) Calcular las lees de probabldad margnales de e. Son ndependentes? b) Calcular la le de probabldad de, sabendo que el número de líneas es calcular su esperanza. c) Calcular p( ) e nterpretar el resultado. > d) Calcular la covaranza de e e nterpretar el resultado. a) \ p(),,6,8,7,,,6, 5,,8,5, p(),7,,9, No son ndependentes; por ejemplo:,7,7,. b) j / p,/,,,/,,5,6/,, E(/), +,5 +,, p( 5; ),8 +,5. > p( 5), c) p ( ),767 Cuando el número de líneas del anunco es mu alto (5), este una alta probabldad (76,7%) de que la demanda sea moderada o alta. d) E() 5, E(),6 E(), Cov(, ) E( ) E() E(),57. Esto mplca que ha una relacón nversa entre el número de líneas el volumen de demanda. 87º) Sea la recaudacón, en euros, por un artículo en un kosko de lunes a vernes. Sabemos que se dstrbue normalmente, con meda 5 desvacón típca. Sea la recaudacón por el msmo concepto durante el n de semana. Su dstrbucón es N(75, 6).

112 Problemas de eamen resueltos a) Indcar en qué caso está más asegurada la recaudacón, en los cnco prmeros días de la semana o durante el n de semana, tenendo en cuenta la dspersón en cada caso. b) Calcular la probabldad de que la recaudacón total semanal sea superor a 5. c) Calcular la probabldad de que se recaude más de lunes a vernes que durante el n de semana. d) Supongamos que las varables son dependentes su coecente de correlacón es. Sabendo que la recaudacón total bajo el caso de dependenca sgue una dstrbucón normal, calcular la esperanza la varanza, así como la probabldad de que tome un valor superor a 5. Compararla con el caso de ndependenca. a) Para el caso del n de semana ( ), la varanza es superor que la de la prmera varable. Esto nduce a pensar que podemos obtener recaudacones derentes a la meda, más que con el prmer caso. b) + N(5, 5) p( + > 5) 5 5 Z >,9 5 p (,9) Φ,68,99. c) p( > ) p( > ). Como N( 5, 5). P( > ) p( > ) ( 5) Z >,7 5 p (,7) Φ,9999,. d) Como Cov(, ) ρ Cov(,) ρ Var()Var( ) Var()Var() 6 E( + ) 5; Var( + ) Var( ) + Var( ) + Cov(,) Entonces, + N(5, 69). P( + >5) 5 5 Z >, 69 p (,) Φ,5,889. En este caso, la probabldad pedda es algo neror al caso de ndependenca. 88º) El tempo que tarda un trabajador de un servco técnco en realzar cada reparacón, epresada en días, es una v.a. que sgue una dstrbucón γ,. a) S suponemos que las tareas que realza son ndependentes, calcular la probabldad de que tarde menos de medo día en cubrr dos servcos.

113 Estadístca Empresaral II b) S se tuveran que realzar 5 reparacones, plantear la probabldad eacta de que el tempo empleado en total no uese superor a los 5 días buscar medante alguna apromacón su valor, comentando las condcones que se deben cumplr para ello. Por cada trabajo deno una v.a.: T Tempo que se tarda en una reparacón tareas ndependentes, el tempo total T γ(,) ( ) ε. γ,. Para dos,5 t a) pt + T < e dt e,5, b) T T (,5) γ. La probabldad eacta: p(t < 5) 5 5 t ( 5) t e dt. Se resolvería ntegrando por partes. Γ Dado que dsponemos de 5 v.a...d., con esperanza varanza ntas, podemos aplcar el T.C.L. para resolver esta cuestón. 5 5 E(T) ; Var(T) 6 p(t < 5) p(z < ),587. T.C.L. 89º) Sea Tempo que se dedca a realzar una actvdad, epresada en horas, que sgue una dstrbucón con uncón de densdad: ( + ) ( ) < < enelresto a) Calcular E() la Var(). b) Calcular la probabldad de que el tempo empleado sea superor a hora meda. c) S se realzasen actvdades del msmo tpo, bajo las msmas condcones, calcular la probabldad de que, eactamente en de ellas el tempo que se emplea en realzar cada una sea superor a hora meda. a)e() 7 ( + ) d 6 E( ) 5 ( + ) d Var() E( ) E 5 7 () 6 b) p( >,5) ( + ) d,75.,5 6

114 Problemas de eamen resueltos c) nº actvdades entre las en las que el tempo que se emplea en realzar es maor que,5 h. 7 B(, ) P( ),555. 9º) Sean e dos varables aleatoras contnuas con uncón de densdad conjunta:, (,) 8 < < < en el resto a) Calcular las uncones de densdad margnales de las varables e. b) Qué dstrbucón conocda sguen cada una de las varables e? c) Son e varables ndependentes? d) Calcular las uncones de densdad condconadas () ( ) / e) Calcular E ( / ). ) Calcular el coecente de correlacón lneal e nterpretar su resultado. g) Calcular la esperanza la varanza de la varable Z +. h) Calcular p( > ). ) Calcular la uncón de densdad de la varable T -. 8 /. a) () 8 d 8 < < en el resto () 8 d 8 < < en el resto b) βe(,,,) βe(,,,) c) e no son ndependentes porque (, ) () (), d) / (, ), () () sempre que < < < < en el resto /,(, ) < < () () en el resto sempre que < < e) () < < / E( / ) en el resto ()d d / ) p E() a + (b a) p + q 8 p E() a + (b a) p + q

115 Estadístca Empresaral II 5 (b a) pq Var () (p + q) (p + q + ) 8 9 Var () E() (, ) d d d d, 8 Cov(, ) E() E() E() 8/ / /9 ρ Cov (, ) Var() Var() / 9 8 / 9 8 / 9, g) E(Z) E( + ) E() E() + 9/ Var(Z) Var( + ) 9Var () + Var () Cov (, ) 56/9 h) p( / > ) (, ) d d d d 8 /, j) F (t) p ( T < t) p( > 8( t) ) F (8( t)) T T (t) 8( t) / < t < (8( t)) ( 8) en el resto 9º) En una gasolnera se hace un estudo sobre dos aspectos de su unconamento: el gasto que realzan sus clentes el tempo que se tarda en realzar el pago. El gasto de los clentes por el llenado del depósto sgue una dstrbucón normal de meda 5 desvacón típca, pero los pagos con tarjeta de crédto tenen un coste para la gasolnera de un % en comsón bancara. Por otra parte, el tempo en mnutos que tarda un clente en realzar el pago sgue una dstrbucón U(, ) s lo eectúa al contado, una dstrbucón γ(, 9) s utlza tarjeta. a) Cuál es la dstrbucón de los ngresos de un día en el que se realzan pagos al contado con tarjeta? Cuál es la probabldad de dchos ngresos sean como mucho 6.? b) En ese msmo día, cuál es la probabldad de que la persona encargada de la caja haa estado ocupada cobrando, al menos durante cnco horas meda? c) Certo día, solo se realzaron pagos con tarjeta. Con una probabldad de,977, cuántos pagos es prevsble que se hceran, s la persona que atende la caja no estuvo ocupada más de cnco horas vente mnutos? Consderemos las sguentes varables: E Ingresos por pagos en eectvo N(5, ) T Ingresos por pagos con tarjeta,97e N(8,5,,88) tempo de un pago en eectvo U(, ) E() Var() /

116 6 Problemas de eamen resueltos tempo de un pago con tarjeta γ(, 9) E() Var() a) I E + T N( 6.5,.985,) p(i 6.) < Φ Φ.985, (,),8686 L b) N( 6, ) L N(, ) T + L N( 6, ) p T 6 ( T ) p < Φ(,86), 9979 tpcando 6 T.C.L. n L c) N( n, n ) p n n n n n p Φ tpcando n n T.C.L. n,977 n n n + n n n n,6667 (esta solucón no vale) 9º) Un comercal de una empresa ha estado estudando los valores de Número de vstas que realza al día, e Número de ventas eectuadas al día; obtenendo los sguentes resultados de la dstrbucón conjunta: Calcular: \,8,, 5,7,7,6 6,,,6 7,,,8

117 Estadístca Empresaral II 7 a) el número medo la varanza de las vstas de las ventas eectuadas. b) son ndependentes las varables? c) el coecente de correlacón entre ambas varables. Interpretarlo. d) el número medo de ventas al día cuando realza 5 ó menos vstas al día. e) la probabldad de que haa eectuado como mínmo 5 vstas s ha eectuado ventas. ) la probabldad de que en días de trabajo en al menos 6 haa eectuado ventas. \ P( ),8,,, 5,7,7,6, 6,,,6, 7,,,8, P( ),,,5, a) E() 6 E(), E( ) 7 E( ),5 Var() Var(),6 b) () (),,,,8, (, ) e son dependentes c) E(), Cov(, ), ρ(, ),5667 d) / 5 P(/ 5) 5/ 9/ 6/ E(/ 5),5 +, +,,7 e) p( 5 / ) p( 5, ) / p( ) 8/ Sea Z Número de días en los que eectúa ventas de los días B(,,5) p(z 6) p(z < 6) p(z 5),6,77. 9º) Sea la varable aleatora Porcentaje (en tanto por uno) de las vstas realzadas mensualmente de las prevamente asgnadas a un comercal. Se sabe que esta varable sgue una dstrbucón β(, ). a) Obtener el porcentaje medo de vstas su varanza. b) Calcular p( <,) p( >,9). Comparando ambas probabldades, se podría deducr la dea de que es más probable que el comercal realce un número elevado de vstas? c) Sabendo que el salaro del comercal se compone de una parte ja de 9 otra varable que es proporconal al porcentaje de vstas realzadas con un mámo de, construr la varable salaro mensual del comercal. Demostrar que sgue una dstrbucón βe(,, 9,.). Obtener el salaro medo su varanza. d) La empresa tene a su dsposcón 5 comercales en actvo, todos ellos con el msmo sstema salaral. Calcular la probabldad apromada de que la cantdad total dedcada a salaros por la empresa mensualmente sea superor a 68..

118 8 Problemas de eamen resueltos a) β(, ) E() p p + q pq ; Var() (p + q + )(p + q) 8 b) ( ) < < en elresto p( <,), d ( ],,; p( >,9) d ( ],9,9,9. Es más probable que realce un porcentaje alto vstas. c) S β(p, q), aplcando el cambo de varable: (b a) + a β e (p, q, a, b). En nuestro caso, p, q, a 9 b.. Entonces, β e (,, 9,.). E() (b a) E() + a + 9 Var() (b a) Var() 5 8 d) Deno,, 5, v.a...d., sendo salaro mensual del -ésmo comercal. E( ) ; Var( ) 5. Entonces, Salaro total mensual. 5 Su esperanza: 5 E 5 E( ) 5 65 Su varanza: 5 Var 5 Var( ) El problema nos pregunta sobre p > 68. Como el número de varables mplcadas es superor a, podemos aplcar el teorema central del límte para resolver esta cuestón. Entonces: p 5 > 68 T. C. L Z > 75 p p ( Z >,6) - ( Z,6) p,9997,. La probabldad de que ocurra es mu baja.