EXÁMENES Y PRÁCTICAS 145 EXÁMENES Y PRÁCTICAS

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1 EXÁMENES Y PRÁTIAS 5 EXÁMENES Y PRÁTIAS PRIMER EXAMEN PARIAL RESUELTO.- onstruir la tabla de verdad de la siguiente proposición e indicar si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. ~ q p s r ~ s ~ p q [(~q p) (s v r)] [(~s Λ ~p) v q] F F V V V F V V F F F V V F F V F F V V V V F F V V F F V F V V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V V F V V V F V F F F F F F V F V F F V V V V F F F F V F V F V V F V F F F F F V F V V F F F F V F F F F F V F F V F V V F F V V V F V F V F V V V V V V V V F V F V V V F V F F V V V F V F F F F F V V V V V V V F F V V F V F F F V F F V F F F F V V V V V V V F V F F F V V F V F F V F F V F F V F F F V V V V V F Es una contingencia.-en el siguiente diagrama de Veen sombrear A D B A A B A A B D D A D

2 6 ÁLGEBRA I A A B D B A D B.- Escriba el conjunto de verdad de la proposición de la pregunta p q r s [(~q p) (s v r)] [(~s Λ ~p) v q] V V V V F F V V V F V V F F F V V V V V F F F V F F V V V V F F V V V V F V F F V F V V F V F F F V V V V F F F F V V F F F V V F F V V V F V V V F V V V F V F F F F F F V F V F V F V F F V V V V F F F F V F F V V F V F V V F V F F F F F V F F F V F V V F F F F V F F F F F V V V F V F F V F V V F F V V V F V V F F V F V F V V V V V V V V F V F V F V F V V V F V F F V V V F V F F F V F F F F F V V V V V V F F V V V F F V V F V F F F V F F F F V F V F F F F V V V V V V V F F F F V V F F F V V F V F F V F F F F F F V F F V F F F V V V V V F ( P) ( VVVV )( VVVF )( VVFV )( VVFF )( VFVF )( FVVV ) ( FVVF )( FVFV )( FVFF )( FFVF )( FFFV )( FFFF ).- Hallar las raíces quintas de la unidad

3 EXÁMENES Y PRÁTIAS 7 w cos i sin 5 5 cos 7 i sin i 0.95 w cos isin 5 5 cosi sin i w cos i sin 5 5 cos 6 i sin i w cos i sin 5 5 cos 88 i sin i w5 cos i sin 5 5 cos60 i sin Si x cos isin xy y (cos isin ) Hallar z z cos isin xy z xy z xy z cos isin (cos isin ) cos i sin 6 cos i sin 6 cos i sin

4 8 ÁLGEBRA I PRIMER EXAMEN PARIAL PROPUESTO.- onstruir la tabla de verdad de la siguiente proposición e indicar si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. ~ s p q r ~ p ~ r ~ q.- Escribir el conjunto de verdad de la proposición de la pregunta.- En el siguiente diagrama de Venn sombrear A B D A D B.- Determinar la validez del siguiente argumento P : Si estudio no reprobaré ninguna materia P : Apruebo todas las materias y obtengo un promedio mayor a 65% P : Estudié. Q: Me gradué por excelencia 5.- Si x y z cos isin 7(cos isin ) cos isin Hallar x yz

5 EXÁMENES Y PRÁTIAS 9 SEGUNDO EXAMEN PARIAL RESUELTO.- El conjunto S r s 7 : r, s Z con adición y multiplicación definidas por: a b 7 c d 7 a c, b d 7 a b 7 c d 7 ac 7 bd, ad bc 7 es un anillo, demostrar la ley distributiva: a b c ab ac Solución a b 7 c d 7 e f 7 a b 7 c d 7 a b 7 e f 7 a b 7 c e d f 7 a( c e) 7 b( d f ) a( d f ) b( c e) 7 ac ae 7( bd bf ) ( ad af ( bc be)) 7 ( ac 7 bd) ( ae 7 bf ) ( ad bc) ( af be) 7 a b 7 c d 7 a b 7 e f 7.- Demostrar por inducción Si n = Si n = h n i n i n i i nn ( ) i... n ( ) i... h nn ( ) hh ( )

6 50 Si n = h+ n i i... h ( h ) Hay que demostrar que: ÁLGEBRA I ( h )( h ) h ( h ) ( )( ) ( h ) h h h ( h )( h ) ( h ) ( h ) h ( h )( h ) ( h ) h ( h )( h ) ( h ) lqqd.- on los dígitos (0,,,6,8) a) uántos números mayores a 0000 se pueden formar b) uántos menores a c) uántos menores a 000 d) uántos sin restricciones. a) Si deben ser mayores a 0000 solamente los dígitos,6,8 pueden ir adelante, por tanto: P ( ) 7 b) Los números menores a de 5 dígitos sólo admiten el y el por delante P ( ) 8 Debemos añadir los numero comprendidos entre 000 y 0000, en este caso solamente el cero no puede ir como primer dígito. P ( ) 96 Además debemos añadir los números comprendidos entre 00 y 000, estos son: P ( ) 8 Los números entre 0 y 00 serán: P () 6 Y los números de un solo dígito incluyendo el cero son 5, entonces la cantidad total de números distintos menores a será: =

7 EXÁMENES Y PRÁTIAS 5 c) La cantidad total de números menores a 000 será: = 69 d) Sin restricciones tendremos, los comprendidos entre 0000 y P ( ) 96 Más todos los números menores a = 6.- Resolver 6x 9x 0x 7x x x x x Siendo el producto de dos de sus raíces igual a. 0 Supongamos que las raíces son a,b,c,d y que cd= 9 0 a b c d (); ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd ; abcd ab 6 0 ac ad bc bd 7 7 a( c d) b( c d) ( a b)( c d) () 7 c d a b () Sumando () + () se tiene a b a b () 6 6 omo ab y a b se tiene: x x x x 0 ( )( ) 0 Reemplazando () en () 7 7 c d como cd x x x x 0 Por tanto las raíces serán:

8 5 ÁLGEBRA I x ; x ; x ; x 5.- Resolver q = ; r = Las raíces son: x x 0 q y z r ; y z 7 7 t t ( t )( t ) 0 t y y x w y w z x x w y w z x t z z 7 x y z 7 6 ; x 6 ( 7) 7 7 ( 7) 7 7 x 6 ; x ; x SEGUNDO PARIAL PROPUESTO.- Si S ( a, b, b, a): a, b Z con adición y multiplicación definidas por: ( a, b, b, a) ( c, d, d, c) ( a c, b d, b d, a c) ( a, b, b, a)( c, d, d, c) ( ac bd, ad bc, ad bc, ac bd) Es un anillo, demostrar la ley asociativa..- Demostrar por inducción que: n (n )( n) ( n )(n ).- Se dispone de una colección de 0 libros y se desea saber de cuantas formas

9 EXÁMENES Y PRÁTIAS 5 se pueden formar colecciones de: a) 8 libros b) libros incluyendo c) libros excluyendo d) 6 libros incluyendo y excluyendo e) con cuántos libros se pueden formar el máximo número de combinaciones y cuantos son.- Resolver la ecuación x x 7x 6x 0 si dos raíces son iguales y de signo contrario. EXAMEN FINAL RESUELTO ) Resolver 6x 9x 0x 7x 0 Siendo igual a el producto de dos de sus raíces x x x x abcd ; ab cd 7 abc abd acd bcd 6 7 c d a b () 6 9 a b c d () 6 Sumando las ecuaciones () y () obtenemos 6 c d c d 6 omo cd=- y c+d= se tiene la ecuación cuadrática x x 0 uyas raíces son: 8 x Las otras dos soluciones se pueden hallar dividiendo x x x x x x x x 6 uyas raíces son: 7 x x x x 0 6 Siendo las cuatro raíces:

10 5 ÁLGEBRA I x ; x ; x ; x ) Resolver mediante ardano x 6x 7x 6 0 q 6 p La ecuación reducida cuyas raíces son menores en unidades que las de la ecuación original será: x 5x 8 0 q=5 ; r=-8 t yz y z r 5 8t 0 7 q ,5 t y 0,6 ; z,6 ; x y z 0,6,6 x w y w z x,88i i x w z w y 8 ( 0, 6) (, 6) (, 6) ( 0, 6) x,88i i Las raíces de la ecuación original son veces mayores que las de esta ecuación, por tanto: x ; x i ; x i

11 EXÁMENES Y PRÁTIAS 55 ) Resolver mediante la solución de Descartes x -x -6x-=0 q=- ; r=-6 ; s=- k 6 +qk +(q -s)k -r =0 k 6 +(-)k +((-) -(-))k -(-6) =0 k 6-6k +7k -6= k = ; k= l=q+k -r/k ; m=q+k +r/k l=-++6/= ; m=-+-6/=- l= ; m=- x +kx+l=0 ; x -kx+m=0 x +x+=0 ; x -x-=0 8 x ; x x i ; x i ; x ; x ) Demostrar el siguiente determinante z y z x x y z y x z y z x x z z xy y xz y ( ) ( ) ( ) y x x z xyz yxz y x z y 5) Hallar la matriz inversa de: A 6 0

12 56 La matriz de cofactores será: La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores ÁLGEBRA I Adj( A) 6 ; Det( A ) A EXAMEN FINAL PROPUESTO ) Resolver 6x 9x 0x 7x 0 Siendo igual a - el producto de dos de sus raíces ) Resolver mediante ardano x 5x 8 0 ) Resolver mediante la solución de Ferrari x -x -6x-=0 ) Hallar el siguiente determinante

13 EXÁMENES Y PRÁTIAS 57 5) Hallar la matriz inversa de: PRÁTIA A 0 PRÁTIAS. Mediante tabla de verdad demostrar que: [~( p q) (~ p q)] ~ p. onstruya la tabla de verdad de: a) {(~ p q) (~ r s)] ( p ~ r ) b) [ r ( p ~ q)] [(~ r q) (~ p s )] c) [(~ r s) ( q p)] [( p ~ r) s ] luego indique si se trata de una tautología, contradicción o contingencia.. Determinar el valor de verdad de los enunciados: a) Si 8 < 5, entonces - > -7 b) Una condición suficiente para que 8 + = 9 - es que + = 9 c) a 0 = y (b)(b)(b)=b. Sea la proposición Es necesario pagar 0 bolivianos y ser socio para entrar al teatro uál de las siguientes proposiciones es equivalente a la anterior? a) No ingresar al teatro o pagar 0 bolivianos y ser socio b) Pagar 0 bolivianos o ser socio, y no ingresar al teatro c) Pagar 0 bolivianos y ser socio, o no ingresar al teatro d) Pagar 0 bolivianos o ser socio, e ingresar al teatro Justificar la validez de las equivalencias con tablas de verdad. 5. Sean A={-,-,0,,}, B={-,0,} a) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones x A, y B,x y 7 x x A y B y b) Negar estas proposiciones., /

14 58 6. Se tiene el siguiente circuito lógico: ÁLGEBRA I p q ~p ~q p q a) Determinar la proposición correspondiente. b) Simplificar y obtener la proposición resultante más simple del mismo. 7. Se tiene el siguiente circuito lógico: p q ~p ~q ~q ~p a) Determinar la proposición correspondiente. b) Simplificar y obtener la proposición resultante más simple del mismo. 8. Si A={,,,}, B={,5}, ={,,7}, determínese (A B) x y (A x ) (B x ). 9. Dados los conjuntos A x N / 0 x 5 B x Z / x 6 Se define R A Bmediante ( x, y) R y x 0

15 EXÁMENES Y PRÁTIAS 59 a) Definir R por extensión. b) Representar A x B y R. 0. Siendo A={x R/ x -<0} B={(-,0]} ={x R/ 0<x<5} Obtener [(A B) - ] c y [(A B) Δ ].. Usando propiedades, demostrar que: a) A-(B-)=(A-B) (A ) b) A [(A-B) B] (A c B c ) c =A. Una agencia de turismo efectúa una encuesta entre 5000 personas para determinar sus preferencias en concepto de viajes a opacabana, Tarija y Santa ruz, 00 personas desean viajar por lo menos a opacabana, 000 personas desean viajar por lo menos a Santa ruz, 00 personas desean viajar por lo menos a Tarija y Santa ruz, 800 personas desean viajar a opacabana y Tarija, 500 personas desean viajar a Santa ruz y a opacabana, 500 personas están dispuestas a realizar las tres excursiones. Haga el diagrama de Venn y determine: a) uántas personas no realizarían excursión alguna? b) uántas personas no mostraron interés por el viaje a Tarija? c) uántas personas están dispuestas a realizar dos excursiones diferentes?. En cada uno de los siguientes diagramas de Venn sombrear a) A B D b) ( A ) ( B D ) A B B A D D

16 60 PRÁTIA.omprobar la validez del siguiente razonamiento P : Si estudio, no reprobaré álgebra P : No estudié y jugué baloncesto Q: Reprobé álgebra ÁLGEBRA I. Determinar la validez del siguiente argumento para cada una de las conclusiones propuestas. P : Todos los matemáticos son personas interesantes. P : Algunos profesores venden seguros. P : Solamente las personas que no son interesantes se dedican a vender seguros. a) Los vendedores de seguros no son matemáticos. b) Algunas personas interesantes no son profesores. c) Algunos profesores no son personas interesantes. d) Algunos matemáticos son profesores. e) Algunos profesores no son matemáticos. f) Si Enrique es matemático, entonces no vende seguros..- De las siguientes relaciones R ( x, y) R / x y R x y R x (, ) / R ( x, y) R / y x Graficar la relación R R R..- Sea la relación R definida en Z: R ( a, b)/ a b k, k Z Determinar si es una relación de equivalencia. 5.-Determinar si las siguientes relaciones son funciones o no Seymour Lipschutz. MATEMATIAS FINITAS,Ed. McGraw-Hill Pag.8. olección Shaum. 97

17 EXÁMENES Y PRÁTIAS 6 a) b) R ( x, y) Z / y x 7 R ( x, y) R / y x c) R ( x, y) Q / x y 6.- Siendo A={-,-,,} representar y clasificar la función f : A Z, tal que la imagen de cada elemento de A es el residuo de su división por. 7.- on A={x,y,z}, sean f, g : A A dados por f={(x,y),(y,z),(z,x)}, g={(x,y),(y,x),(z,x)}. Determínese si existen: f g, g f, f, g, ( g f ), f g, g f 8.- Efectuar cada una de las operaciones indicadas. a) (5-i)+(6i-) b) (-i)-(-i) 5 c) ( i ) ( i) ( i) 7.- Probar que: a) z z z z b) z z z z z z. Generalice estos resultados z 8.- Demuestre la siguiente identidad: z z z z ( z ) Expresar en forma polar y exponencial los siguientes números complejos: a) +i b)-- i c) i d) -5 e) - +i f) + i 0.- Hallar: a) raíz cuadrada de 8+ 5 i b) raíz cúbica de --i, graficar la solución.

18 6.- Resolver: a) z z i b) z +8=0 ÁLGEBRA I 5.- alcular: ( i)( i)( a) (i-)[(+i)-(i-)] b) ( i) i c) i 50 i) PRÁTIA.- Mostrar que el conjunto de las raíces de la ecuación x - = 0 con la operación multiplicación, tiene una estructura de grupo abeliano. Formar una tabla exponiendo la ley de composición interna..- Demostrar si los siguientes conjuntos {, } y {Q, } (los números complejos y los racionales con la operación producto ordinario) forman un grupo, si lo forman son grupos abelianos?.- Sabiendo que (Z, +, ) donde la suma y la multiplicación de se definen por : (x, y) + (x, y ) = ( x + x, y + y ) (x, y) (x, y ) =( x x, 0 ) es un grupo abeliano, mostrar que (Z, +, ) es un anillo y clasificarlo..- Mostrar si Q( ) a b : ( a, b) Q con las operaciones de suma y multiplicación ordinarias, tiene estructura de cuerpo. 5.- El conjunto A = { (a,b,c,d) : a,b,c,d є Q } con adición y multiplicación definidas por: (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = ( a + e, b + f, c + g, d + h) (a,b,c,d)(e,f,g,h) = (ae + bg, af + bh, ce +dg, cf + dh) Para todo (a,b,c,d),(e,f,g,h) de A es un anillo. Demostrar las leyes

19 EXÁMENES Y PRÁTIAS 6 distributivas Inducción Matemática Demostrar por inducción matemática que: 6.- ( n - ) es divisible por (n - ) = (n - ) = n (n - ) n = 0.- (6 n + + ) es divisible por 5..- ( n) = n.- 5 n - n es divisible por..- Indicar el número de señales que se pueden hacer con tres banderas de diferentes colores tomando de uno en uno, de dos en dos y tres en tres..- uantas placas de automóviles pueden fabricarse si cada placa contiene letras diferentes, seguidas de dígitos diferentes?. Resolver el problema, si el primer digito no puede ser 0. (onsidere el alfabeto con 8 letras) 5.- uántas diagonales tiene un dodecágono?. 6.- uántos arreglos pueden hacerse con 8 libros, tomados de a si: a) Se debe excluir en cada vez un determinado libro. b) Se debe incluir en cada vez un determinado libro. c) de debe incluir uno y excluir dos en cada selección. d) Sin restricciones

20 6 ÁLGEBRA I 7.- De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra NABUODONOSOR. 8.- Entre las estaciones de La Paz y Oruro hay intermedias. uántas clases de boletos necesitará imprimir la ompañía de Ferrocarriles para los pasajeros?. 9.- on los dígitos pares incluido el cero. a) uántos números mayores a 0000 se pueden formar. b) uántos mayores a 5000 c) uántos mayores a 0000 y menores a d) uántos menores a 000 e) uántos entre 000 y 0000 f) Sin restricciones PRÁTIA Fuente:Algebra Superior de Hall and Knight.- 8x x 7x 6x 9 0 siendo dos de sus raíces iguales y de signo contrario..- 5x 9x 6x 6 0, estando las raíces en progresión geométrica..- x 8x x 0, Estando las raíces en progresión aritmética..- x x x x 0 0, Estando las raíces en progresión aritmética x 95x 9x 50x 9 0, Estando las raíces en progresión geométrica. 6.- x 0x x x 6 0, siendo una raíz 7.- Formar la ecuación cuyas raíces son: ; 8.- Formar la ecuación de octavo grado con coeficientes racionales una de cuyas raíces es: 9.- Hallar la naturaleza de las raíces de la ecuación: x x 5x Si x 6x 7x 6x 9 0 Hallar el valor de f( x ).- Demostrar que la ecuación comprendida entre 0 y -.- Resolver la ecuación raíces iguales. 0x 7x x 6 0 tiene una raíz x 6x x 0x 0 Sabiendo que tiene Hall and Knigt. Algebra Superior Edit. Hispano Americana, 98

21 EXÁMENES Y PRÁTIAS 65 x x 6x x Resolver la ecuación recíproca.- Resolver la ecuación recíproca x 5x 9x 9x 5x Eliminar el segundo término de la ecuación x 6x 0x Eliminar el segundo término de la ecuación x x x x Disminuir en las raíces de la ecuación x x x x Resolver por ardano 8x 9x Resolver por ardano x x x Resolver por ardano x 7x Resolver por Ferrari y Descartes x 8x 9x 8x Resolver por Ferrari y Descartes x x 7x 8x 0.- Resolver por Ferrari y Descartes x x 6x 0.- Mediante aproximaciones de Horner encontrar una raíz de: x x 5x Mediante aproximaciones de Horner encontrar una raíz de: 5 x 5x x 9x 0 PRÁTIA 5.- onsiderando las siguientes matrices A B 5 5 D 5 E 7 F G H Hallar cuando sea posible J a) A+J b) (B )+A c) ( B)+H d) D E e) E D f) J T -A g) G+(D E) h) B+ i) J F j) (H )+B k) (A F) J

22 66 ÁLGEBRA I.- Hallar los determinantes de las siguientes matrices A B D Verificar las siguientes identidades a) x y z t y z t x ( x y z t)( x z y t)( x t y z)( x y z t) z t x y t x y z x y z t y z x t b) 0 z t x y t x y z x y z x x c) y y x z y ( x y z) z z z x y.- Por el método de Gauss de la Matriz Aumentada y por el método de la adjunta hallar la inversa de las siguientes matrices Rojo Armando. ALGEBRA II. Edit. El Ateneo. Pag

23 EXÁMENES Y PRÁTIAS 67 A E 0 B D Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial x 5y z x 8y z x y z x y z x y z w x y z x y z w x y z x y z x 6y z x y z w x 5y z w y z 0 x y z w

24 68 ÁLGEBRA I BIBLIOGRAFÍA Ayres Frank, ÁLGEBRA MODERNA, Editorial McGraw Hill, Serie de ompendios Schaum Hall and Knigth. ÁLGEBRA SUPERIOR,(Teoría y Ejercicios) Editorial Hispano Americana, México. DIT ISPJAE, LÓGIA INFORMATIA (olectivo de autores del Instituto Superior José Antonio Echavarria) Lazo Q. Sebastián, ÁLGEBRA MODERNA. Impresiones Soipa Ltda. Rojo Armamdo ÁLGEBRA I Y II. Editorial El Ateneo 966 Seymour Lipschutz. MATEMÁTIAS FINITAS, Editorial McGraw Hill, Serie de ompendios Schaum Seymour Lipschutz. ÁLGEBRA LINEAL, Editorial McGraw Hill, Serie de ompendios Schaum Seymour Lipschutz. TEORÍA DE ONJUNTOS Y TEMAS AFINES, Editorial McGraw Hill, Serie de ompendios Schaum. 969.