Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza. 9.3.1 Determiació del couto de carteras eficietes. 9.3. Selecció de la cartera optima. 9.4 Aplicació del modelo de la media-variaza a carteras de dos activos. 9.4.1 Combiacioes de dos activos co riesgo. 9.4. Cosideració de activos libres de riesgo. 9.4.3 Carteras co préstamo y edeudamieto. 9.5 Utilidad practica del modelo de la media-variaza. 9.6 La Simplificació de Sharpe al modelo de Markowitz 9.1. El problema de la selecció de carteras El iversor que actúa e los mercados fiacieros se efreta ate el problema de la elecció de la combiació de títulos o cartera que meor se adapte a sus obetivos particulares. Para ello hay que idetificar tato los activos e los que se quiere ivertir como las proporcioes e las que se quiere ivertir. Ello implica que es ecesario valorar adecuadamete los títulos y desarrollar u método de selecció. La teoría de la formació de carteras aaliza el comportamieto del iversor que desea optimizar sus decisioes de iversió e los mercados de capitales. Los orígees de esta teoría se remota a Markowitz quie e 195 platea u modelo que recoge de forma explícita el comportamieto racioal del iversor, que se traduce e la maximizació de las expectativas de gaacia y la miimizació del riesgo. La origialidad de las ivestigacioes realizadas por Markowitz reside e la cosideració de que sólo so relevates dos características para la estructuració de carteras: el redimieto esperado y el riesgo. Markowitz desarrolla u modelo matemático para la selecció de la cartera óptima. 9.. Redimieto y riesgo de ua cartera El redimieto de u activo fiaciero durate u período de tiempo es el siguiete: R it = (V T +Div V T-1 )/V T-1 Dode R it es el redimieto de u activo i e el mometo t V T es el precio del activo e el mometo t V T-1 es el precio del activo e el mometo t-1 Div es la cuatía del dividedo cocedida etre t-1 y t E realidad R it se comporta como ua variable aleatoria que tomará distitos valores co uas probabilidades determiadas. Direcció Fiaciera ADE 1
La esperaza matemática de esta variable es u idicativo de la retabilidad media del activo fiaciero mietras que la variaza proporcioa ua medida de su riesgo. Si se pretede aalizar ua cartera de activos fiacieros es posible calcular su redimieto esperado como la media poderada de los redimietos esperados de los títulos que la compoe, los pesos asigados a cada uo de ellos so iguales a la proporció del presupuesto ivertido e los mismos. R p = x i R i i1 Dode R p es el redimieto de la cartera e cada uo de los estados de la aturaleza x i es la proporció ivertida e el activo i R i es el redimieto del activo i e el estado de la aturaleza Ua vez determiado todos los valores que puede tomar la cartera, calculamos el redimieto esperado o medio: E(R p )= x R i i m i1 1 = x E( i1 i R i ) Dode E(R p ) es el redimieto esperado de la cartera E(R i ) es el redimieto esperado del título i Por su parte, el riesgo, o variació del redimieto de la cartera respecto a su valor esperado, se estima a partir de la desviació típica o variaza, la cual viee determiada por la expresió: p = 1 k1 x x k k = 1 x + 1 k 1 k x x k k Dode p es la variaza de la cartera k es la covariaza etre los activo i y es la variaza del activo i ( = ) El cálculo de la covariaza se realiza a partir del coeficiete de correlació etre los redimietos de u par de títulos. Cov(R, R k ) = k k Dode k es el coeficiete de correlació etre los redimietos de los títulos i y El coeficiete de ua cartera se puede expresar e fució del coeficiete de correlació: Direcció Fiaciera ADE
p = 1 k 1 x x k k k = 1 x + 1 k 1 k x x k k k La expresió aterior os idica que el riesgo de ua cartera de activos fiacieros o depede exclusivamete del riesgo de cada uo de los valores que la compoe, sio que está determiado por el riesgo de cada título, por la proporció del presupuesto ivertido e cada título y por la correlació existete etre los redimietos de los distitos títulos que compoe la cartera. 9.3. El modelo de la media-variaza El método de la media-variaza fue desarrollado por Markowitz e 195 como modelo teórico para la determiació de la cartera óptima a partir de la premisa de que los redimietos de los títulos y e cosecuecia los de las carteras se comporta como variables aleatorias. El modelo establece que el iversor adoptará su decisió e fució de dos parámetro, es decir, e fució del valor esperado y la desviació de la cartera. Auque, la decisió depederá, e último térmio, de la actitud del iversor frete al riesgo represetada por su fució de utilidad. Hay dos hipótesis que susteta su teoría: a) El iversor tiee u comportamieto racioal, por lo que prefiere más riqueza a meos. Ello le coduce a elegir aquella cartera que le proporcioa el redimieto esperado más alto. b) El iversor preseta aversió al riesgo, por lo que dada ua retabilidad, prefiere la cartera que ofrezca el míimo riesgo. Esta aproximació platea u modo de compagiar los dos obetivos e coflicto, es decir, la maximizació del redimieto y la miimizació del riesgo. Además ofrece ua cosecuecia iteresate para el iversor que se deriva del cocepto de diversificació. Así, ua combiació adecuada de los activos que forma parte de ua cartera puede supoer la reducció del riesgo de la misma si que se reduzca ecesariamete el redimieto. 9.3.1 Determiació del couto de carteras eficietes Hasta ahora se ha plateado el problema de la selecció de carteras e fució de la evaluació de las distitas alterativas de redimieto-riesgo que se le platea al iversor. Si embargo, la combiació de u couto de títulos da lugar a u úmero ifiito de posibilidades de iversió. Markowitz restrige este úmero de alterativas al couto de carteras que defie como eficietes. Ua cartera es eficiete cuado proporcioa el máximo redimieto para u riesgo determiado o el míimo riesgo para u ivel de redimieto establecido. El couto de carteras que cumple esta codició costituye la frotera eficiete. La siguiete figura represeta el couto de carteras que se forma mediate la combiació de activos, defiidos por su retabilidad esperada y su desviació típica. -- Gráfico de E(R p ) y p Direcció Fiaciera ADE 3
Si aalizamos las distitas carteras es posible observar que existe la posibilidad de formar carteras que ofrezca más redimieto por el mismo riesgo, y por tato podemos distiguir etre carteras eficietes y o eficietes. Las carteras eficietes so aquellas que proporcioa ua retabilidad máxima para u determiado riesgo o u riesgo míimo para u determiado redimieto. 9.3. Selecció de la cartera óptima Ua vez defiido el couto de carteras eficietes, el iversor debe elegir aquella que se correspode co sus preferecias e cuato a redimieto y riesgo. La determiació de la cartera óptima depede del grado de aversió al riesgo del iversor medido a partir de la fució de utilidad. La siguiete figura represeta mediate curvas de idiferecia los biomios de retabilidad-riesgo que proporcioa la misma utilidad al iversor. -- Figura (Curvas de idiferecia y biomio retabilidad-riesgo) Las curvas de idiferecia preseta las siguietes propiedades: 1) Su pediete es positiva, dada la hipótesis de aversió al riesgo del iversor. U icremeto e el riesgo debe ser compesado co u icremeto e el redimieto esperado ) La forma de la curva es cócava respecto al ee de ordeadas, esto supoe ua tasa margial de sustitució etre riesgo y redimieto decreciete. 3) Las curvas de idiferecia más altas, es decir, aquellas a las que correspode ua ordeada e el orige mayor, tiee u ídice de utilidad o satisfacció mayor. La cartera óptima se defie por el puto de tagecia etre la frotera eficiete y ua curva de idiferecia. E realidad, la frotera eficiete está determiada por el mercado y es la misma para todos los iversores. Si embargo, las curvas de idiferecia se establece de forma idividual por el iversor y e cosecuecia la cartera óptima será distita e cada caso particular. -- Figura (Selecció de la cartera óptima) Direcció Fiaciera ADE 4
La combiació de u úmero de activos fiacieros (icluso cuado el valor de es pequeño) supoe u úmero ifiito de alterativas dispoibles; la frotera eficiete está formada por ifiitos putos, lo que dificulta su idetificació por parte de los iversores. Markowitz solucioa el problema desarrollado u modelo de programació cuadrática a partir del que se obtiee el couto de carteras eficietes. El modelo trata de ecotrar la proporció (x i ) a ivertir e cada activo de tal forma que se miimice el riesgo medido a través de la variaza: Mi p = s.a E(R p ) = R p * 1 k 1 x x k k k = 1 x + 1 k 1 k x x k k k x = 1 x 0 La aplicació práctica de este modelo era muy limitada a causa del elevado úmero de datos que es preciso estimar, así, se requiere coocer los redimietos esperados de cada título, su variaza y la covariaza etre cada parea de activos. Si embargo, co la potecia de cálculo de los ordeadores actuales y co las bases de datos existetes esto ya o resulta u problema por lo que se ha geeralizado su uso. 9.4. Aplicació del modelo de la media-variaza a carteras de dos activos E este apartado se cotempla la derivació de la frotera eficiete para carteras formadas por dos activos co distitos grados de relació etre ellos. Posteriormete se aalizará alguos casos particulares como la itroducció de activos libres de riesgo y la posibilidad de acudir al edeudamieto. Este desarrollo os servirá además para estudiar el efecto de la diversificació sobre el riesgo de las iversioes. 9.4.1. Combiacioes de dos activos co riesgo Supogamos que existe la oportuidad de adquirir dos activos de tal forma que el activo de mayor redimieto tiee mayor riesgo y el de meor redimieto tambié meor riesgo. Supogamos que E(R a )> E(R b ) y a > b. Etoces E(R p ) = X a E(R a ) + X b E(R b ) Dado que el iversor desea repartir su diero etre los dos activos X a + X b = 1 X b = 1 - X a Etoces Direcció Fiaciera ADE 5
E(R p ) = X a E(R a ) + (1- X a ) E(R b ) Y la variaza de la cartera p = X a a + X b b + X a X b ab = X a a + (1-X a ) b + X a (1- X a ) ab Estudiaremos a cotiuació los distitos casos que se puede presetar e cuato al valor del coeficiete de correlació. a) Correlació perfecta y positiva ( ab =1) p = X a a + (1-X a ) b + X a (1- X a ) a b = [X a a + (1-X a ) b ] -- Gráfico (Correlació perfecta y positiva) b) Correlació perfecta y egativa ( ab =-1) p = X a a + (1-X a ) b - X a (1- X a ) a b = [X a a - (1-X a ) b ] igualado a cero y despeado X a X a = b / ( a + b ) -- Gráfico (Correlació perfecta y egativa) De esta forma, si los títulos está perfecta e iversamete correlacioados es posible aular el riesgo mediate ua adecuada diversificació. c) Caso geeral (-1 < ab < 1) La situació más habitual a la que se efreta los iversores es aquella e la que el coeficiete de correlació etre los títulos toma valores itermedios etre 1 y 1. Cuado esto ocurre la desviació típica de las distitas carteras es meor que la media poderada de las desviacioes típicas de los activos que la compoe. Cuado más bao sea el coeficiete de correlació mayores so los beeficios que ofrece la diversificació e térmios de reducció del riesgos i dismiuir el redimieto. Direcció Fiaciera ADE 6
p = X a a + (1-X a ) b + X a (1- X a ) a b ab Para calcular la proporció que miimiza el riesgo de la cartera derivamos co respecto a la proporció a ivertir e el activo a e igualamos a cero. d p /dx a = X a a + (X a - ) b + (1-X a ) a b ab = 0 Despeado X a X a = a bab a b b a b ab Detro del caso geeral, u caso particular de importacia es aquel e el que o existe correlació etre los activos ( ab = 0) que forma parte de la cartera. E ese caso la formula simplificada es igual a: X b a = a b -- Gráfico (Caso geeral co varias correlacioes etre dos activos) 9.4. Cosideració de activos libres de riesgo La aproximació de Markowitz a la selecció de carteras parte de la cosideració de que todos los activos a disposició del iversor tiee u redimieto icierto durate el período de iversió y, por tato, colleva u cierto grado de riesgo. Ello supoe que el iversor o puede acceder al edeudamieto para icremetar el volume de activos a adquirir por ecima de su presupuesto. Tobi (1958) amplía el modelo de Markowitz mediate la iclusió de u activo libre de riesgo y la posibilidad de utilizar el crédito a u iterés determiado. E este cotexto, se defie u activo libre de riesgo como aquel cuyo redimieto durate el período de iversió es coocido co certeza. Ello sigifica que su desviació típica es igual a cero y que la covariaza etre el redimieto del activo si riesgo y el de u título co riesgo es tambié ula. Se asume que el activo libre de riesgo es equivalete a u título de reta fia emitido por el tesoro (se elimia el riesgo del emisor) para el que o existe riesgo derivado de la variació de los tipos de iterés. Direcció Fiaciera ADE 7
Co la itroducció de u activo libre de riesgo el iversor se platea la selecció de ua cartera formada por éste título, cuyo redimieto es R f y u activo co riesgo y redimieto superior al del activo libre de riesgo. -- Gráfico (Frotera eficiete co u activo libre de riesgo) Si deomiamos X f a la proporció ivertida e el activo si riesgo, etoces la cartera preseta las siguietes características e cuato a redimieto y riesgo: E(R p ) = X f R f + (1-X f )E(R T ) p = (1- X T ) T -- Gráfico (Cartera co posibilidad de iversió e el activo libre de riesgo) Ua seguda posibilidad cosiste e aalizar la combiació etre ua cartera de títulos co riesgo y u activo libre de riesgo. -- Gráfico (Cartera co posibilidad de iversió y edeudamieto e el activo libre de riesgo) Detro del couto de carteras posibles hay u puto de tagecia etre la recta que parte de R f y la frotera eficiete de Markowitz. Este puto costituye el límite de la ueva frotera eficiete que esta compuesta por u segmeto lieal y u segmeto curvo. Direcció Fiaciera ADE 8
9.4.3 Carteras co préstamo y edeudamieto El aálisis presetado ateriormete puede ser complemetado mediate la posibilidad de utilizar el edeudamieto para aumetar el presupuesto del iversor e activos co riesgo. E este caso la frotera eficiete se forma co ua recta que pasa por R f y por la cartera óptima e la que la recta es tagete al couto de carteras eficietes. -- Gráfico (Frotera eficiete de carteras co tipo de préstamo y tipo de edeudamieto) Las alterativas de préstamo o edeudamieto puede ser icluidas e el modelo geeral presetado ateriormete para carteras de activos. Detro de las carteras co más riesgo el iversor se edeuda para adquirir activos co riesgo e ua cuatía superior al presupuesto iicial. 9.5. Utilidad práctica del modelo de media-variaza El modelo de la media-variaza ofrece ua base teórica para desarrollos posteriores. Su aplicació práctica exige la estimació de los redimietos esperados y variazas de todos los títulos a cosiderar para calcular el redimieto esperado y el riesgo de las posibles carteras. De esta forma, es ecesario estimar variazas y (-1)/ covariazas. Por eemplo para ua cartera de 0 activos sería ecesarias 0 variazas y 0(19)/=190 covariazas. La dificultad que tal úmero de estimacioes collevaba (ahora la potecia de los ordeadores hace los cálculos de Markowitz más asequibles) ha motivado el desarrollo de modelos descriptivos que iteta predecir la estructura de correlacioes etre títulos. Las uevas aproximacioes se basa e modelos factoriales que supoe que la relació etre los redimietos de los títulos se debe a la ifluecia de uo o varios factores o ídices. 9.6. La simplificació de Sharpe al Modelo de Markowitz R = + Rm + (R R f ) = + (Rm-R f ) + Direcció Fiaciera ADE 9
Gráfico (líea característica R R f y Rm-R f ) Cada puto del gráfico represeta el exceso de redimieto de u activo sobre el iterés libre de riesgo e u período de tiempo, e relació al redimieto del mercado durate el mismo período. El coeficiete beta mide la sesibilidad del redimieto de u título ate el redimieto del mercado, siedo la beta de la cartera de mercado igual a 1. Gráfico sobre la diversificació e fució del úmero de títulos (Riesgo, N títulos) Gráfico co redimieto y beta como medida de riesgo Direcció Fiaciera ADE 10