EJERCICIOS BLOQUE I Ejercicio nº.- a) Expresa en notación científica las siguientes cantidades: A = 870 000 000 B = 0,000000745 C = 0,0034 0-8 a) A =,87 0 9 B = 7,45 0-7 C = 3,4 0 - Ejercicio nº.- Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama: 5 3 π 3,4; ; ; 8; 5; ; ;,4555... 6 4 4 Ejercicio nº 3.- I) Escribe en forma de desigualdad y representa: a) [, 4]
b ), 3 II) Escribe en forma de intervalo y representa: { x x } a) / 3 < < b) x/ x I) a) x/ x 4 { } b) x/ x < 3 II) a) ( 3, ) b ), + Ejercicio nº 4.- a) Opera y simplifica: 4 + 54 600 3 b) Racionaliza y simplifica: 3 3 3 3 3 3 a) 4 + 54 600 = 3 + 3 3 5 = 6 + 6 0 6 = 6 6 3( 3 ) ( )( + ) 3 + 6+ 6 6+ 6 b) = = = 3 3 3 0
Ejercicio nº 5.- a) Opera y simplifica: x + x + x + ( ) ( ) b) Halla el cociente y el resto de esta división: ( 7 x 5 x 3 + 3 x ) : ( x + ) a) + ( + ) ( + ) = + + + ( + + ) = x x x x x x x x = x + 3x + x x = x + b) 7x 5 x 3 + 3x x + 7x 5 4x 3 7x 3 6x 6x 3 + 3x 6x 3 + 3x 35x Cociente = 7x 3-6x Resto = 35x - Ejercicio nº 6.- Factoriza el siguiente polinomio: x 4 + x 3-9x - 8x Sacamos x factor común: x (x 3 + x - 9x - 8) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 + x - 9x - 8: 9 8 3 3 5 8 5 6 0 3 3 6 0
Por tanto: x 4 + x 3-9x - 8x = x (x - 3) (x + 3) (x + ) Ejercicio nº 7.- Opera y simplifica: x x + a) + x x 4 b x + x x ) : x + 4 x + ( x )( x + ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x + x + x + x + x + x + x a) + = + = = x x 4 x x + x x + x x + x 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) x + x x x x + x x + x x + x + x x b) : = : = = = x + 4 x + x + x + x + x x + x x Ejercicio nº 8.- Resuelve estas ecuaciones: a) x 4-9x = 0 b) x + + 5 = x ( ) ) = = Hay tres soluciones: x = 0, x = -3, x 3 = 3 4 a x 9x 0 x x 9 0 b) x + + 5 = x x + = x 5 x = x = 0 0 x x x 9 = 0 = 9 = ± 9 = ± 3 Elevamos al cuadrado y operamos: x + = x 5 x + = x 0x + 5 0 = x x + 4 ( ) ( ) ± 96 ± 5 ± 5 x = = = ƒ x = 8 x = 3 no válida ( )
Ejercicio nº 9.- Resuelve el siguiente sistema: 3x + y = y x = 5 Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 3x y = 3x + 44 9x 7x = x 5 x = 5 4 44 + 9x 7x 4x = 0 5x 7x + 4 = 0 4 6 63 x = = y = 7 ± 584 480 7 ± 704 7 ± 5 ƒ 0 5 5 x = = = 0 0 0 x = y = 3 6 63 x = ; y = Por tanto, hay dos soluciones: 5 5 x = ; y = 3 Ejercicio nº 0.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones: a) x - 3x > 0 b) x + 3 > 0 x 0 a) Hallamos las raíces de x - 3x resolviendo la ecuación: x 3x = 0 x( x 3) = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 3 Estudiamos el signo de x - 3x en cada intervalo:
x (, 0) (0, 3) (3, + ) Signo de x 3x + + La solución de la inecuación es (-, 0) È (3, + ). b) x + 3 > 0 x > 3 x 0 x La solución del sistema es (-3, ]. Ejercicio nº.- a) Al realizar con la calculadora la operación 3 30 hemos obtenido en la pantalla lo siguiente:. 05893 4 Expresa en notación científica el número anterior. De cuántas cifras es dicho número? a),05893 0 4 Tiene 5 cifras Ejercicio nº.- Sitúa cada número en su casilla correspondiente (recuerda que puede ir en más de una): 4 ; ; 5,3; 4 8; 6; π;,...; 4 N Z Q R
N 6; 4 4 Z ; 5; 6 ; 4 4 Q ; ; 5; 5,3; 6;,...; 4 4 4 R ; ; 5; 5,3; 8; 6; π;,...; 4 4 Ejercicio nº 3.- I) Escribe en forma de desigualdad y representa: a), b) 3, 4 [ ] II) Escribe en forma de intervalo y representa: { x/ x < } { x/ x } a) b) I) a) x/ x { x/ x } b) 3 4 II) a) [, ) b ) (,]
Ejercicio nº 4.- a ) Calcula y simplifica : 80 80 + 5 3 4 b) Racionaliza y simplifica : 5 3 4 8 6 a) 80 80 + 5 = 5 3 5 + 5 = 5 5 + 5 = 3 4 3 4 3 4 8 6 3 = + 5 = 5 3 4 6 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 + 3 5 + 3 5 + 3 b) = = = = 5 + 3 5 3 5 3 5 + 3 5 3 Ejercicio nº 5.- Halla con ayuda de la calculadora: a) 5,8 0 + 3,5 0 5,5 0 4 6 5 b) 3 a) ( 5,8 EXP 4 + 3,5 EXP 6 ),5 EXP 5 / =.43 + Por tanto: 5,8 0 + 3,5 0 5,5 0 4 6 =,43 0 y b) 3 x ( 5 ) =.55845574 Por tanto: 3, 55 5
Ejercicio nº 6.- a) Opera y simplifica: ( x + ) 3( x x + 4) b) Halla el cociente y el resto de esta división: ( 4 x 5 + x 3 3 x + ) : ( x ) ( ) ( ) a) x + 3 x x + 4 = x + 4x + 4 3x + 6x = x + 0x 8 b) 4x 5 + x 3 3x + x 4x 5 + 8x 3 4x 3 + 0x 0x 3 3x + 0x 3 + 0x 7x + Cociente = 4x 3 + 0x Resto = 7x + Ejercicio nº 7.- Factoriza el siguiente polinomio: x 5 - x 4-5x 3 + 6x Sacamos x factor común: x (x 3 - x - 5x + 6) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 - x - 5x + 6: 5 6 6 6 0 3 3 6 0 Por tanto: x 5 - x 4-5x 3 + 6x = x (x - ) (x - 3) (x + )
Ejercicio nº 8.- Efectúa y simplifica: x + 3 a) + x 9 x + 3 x + x x b) 3 x x 4 ( )( ) 3( x 3) ( )( ) ( )( ) x + 3 x + x + + 3x 9 5x 8 a) + = + = = x 9 x + 3 x 3 x + 3 x 3 x + 3 x 3 x + 3 x 9 ( + ) x + x x x x x b) = = 3 3 x x 4 x x + x x ( )( ) Ejercicio nº 9.- Resuelve: a) x 4 - x - 8 = 0 b) 3 x + x = 4 a) Hacemos el cambio: x = z x 4 = z Así obtenemos: 8 = 4 ± 4 + 3 ± 36 ± 6 ƒ z z 8 = 0 z = = = 4 = Si z = 4 x = 4 x = ± 4 = ± Si z = x = x = ± no hay solución. Por tanto, hay dos soluciones: x = -; x = b) 3 x + x = 4 3 x + = 4+ x Elevamos al cuadrado y operamos: ( ) ( ) ( ) 3 x + = 4 + x 9 x + = 6 + 8x + x 9x + 8 = 6 + 8x + x
± + 8 ± 9 ± 3 ƒ 0 = x x x = = = x = x = Ejercicio nº 0.- El producto de dos números es 8 y la suma de sus cuadrados es 65. De qué números se trata? Llamamos x e y a los números que buscamos. Por tanto, tenemos que: x y = 8 x + y = 65 Despejamos y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 8 y = x 8 784 x + = 65 x + = 65 x + 784 = 65x x x 4 Hacemos el cambio: x = z x 4 = z Así obtenemos: z - 65z + 784 = 0 z = 49 65 ± 45 336 65 ± 089 65 ± 33 ƒ z = = = z = 6 Si x = 7 y = 4 Si z = 49 x = 49 x = ± 49 = ± 7 Si x = 7 y = 4 z = x = x = ± = ± Si 6 6 6 4 Si x = 4 y = 7 Si x = 4 y = 7 Ejercicio nº.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones: ( ) ( x ) a) x x + 4 0 3 + 6 b) x + 4 > 0
a) Hallamos las raíces de x(x + 4) resolviendo la ecuación: x( x + 4) = 0 x = 0 x + 4 = 0 x = 4 Estudiamos el signo de x(x + 4) en cada intervalo: x (, 4) ( 4, 0) (0, + ) Signo de x(x + 4) + + La solución de la inecuación es [-4, 0]. b) ( x ) x + x x 3 + 6 3 3 6 3 3 x + 4 > 0 x + 4 > 0 x > 4 x > 4 La solución del sistema es (-4, ]. Ejercicio nº.- a) Si calculamos -0 con la calculadora, obtenemos en pantalla: 9. 53674364 07 Expresa el número anterior en notación científica y en forma decimal. a) 9,53674364 0-7 Notación científica 0,000000953674364 Notación decimal Ejercicio nº 6.-
Utiliza la calculadora para obtener el resultado de estas operaciones: a) 4,06 0 3, 0 8 0 5 7 4 3 b) 9 + + a) ( 4,06 EXP 5 / 3, EXP 7 / ) EXP 8 =.04 3 Por tanto: 5 7 4,06 0 3, 0 8 0,04 0 3 y b) 9 x ( 3 4 ) = 5.96543 Por tanto: 4 3 9 5,0 Ejercicio nº 3.- a) Calcula y simplifica: ( x x + ) ( x + )( x ) 3 b) Obtén el cociente y el resto de la siguiente división: ( 5 x 4 x 3 + 3 x ) : ( x x + 3 ) ( x x + ) ( x + )( x ) x x + ( x ) a) 3 = 6 4 4 = = x 6x + 4 4x + = x 6x + 5
b) 5x 4 x 3 + 3x x x + 3 5x 4 + 0x 3 5x 5x + 8x + 8x 3 5x + 3x 8x 3 + 6x 4x x x x + x 3-9x 4 Cociente = 5x + 8x + Resto = -9x - 4 Ejercicio nº 4.- Descompón en factores el siguiente polinomio: x 5 + x 4-4x 3-4x Sacamos x factor común: x (x 3 + x - 4x - 4) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 + x - 4x - 4: 4 4 0 4 0 4 0 4 0 Por tanto: x 5 + x 4-4x 3-4x = x (x + ) (x - ) (x + ) Ejercicio nº 5.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) (x - ) (x + 3) = 0
3 b) = x 3 x x x = 0 x = x = ± = ± a) ( x )( x + 3) = 0 3 x + 3 = 0 x = 3 x = 3 Hay tres soluciones: x =, x =, x3 = 3 3 x 3x b) = x 3 = x x x x x x 3 = x 3x 0 = x 3x + 3± 9 8 3± 3± x = = = ƒ x = x = Ejercicio nº 6.- Resuelve el sistema: 5x + 3 = x y = x 6 Resolvemos en la primera ecuación y sustituimos en la segunda: 5x + 3 ( 5 ) 3( ) 60 3 3 = x + = x x + = x x 0 = 3x 60x 5 60 ± 3600 + 300 60 ± 4900 60 ± 70 x = = = 6 6 6 ƒ x = 5 0 5 x = = 6 3
Si x = 5 y = x 6 y = ± 4 y = ƒ y = 5 88 Si x = y = x 6 = no hay solución. 3 3 Por tanto, hay solo dos soluciones: x = 5; y = x = 5; y = Ejercicio nº7.- Carlos y Elvira tienen, entre los dos, 08. Si Elvira le diera a Carlos 7, entonces Carlos tendrá la mitad del dinero que tendría Elvira. Averigua cuánto dinero tiene cada uno. x = "dinero que tiene Carlos" y = "dinero que tiene Elvira" El sistema a resolver será: x + y = 08 x + y = 08 y 7 x + 7 = x + 4 = y 7 Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 08 x y = x + 08 x = x + 3x = 87 x = 9 Luego, y = 08-9 = 79. Carlos tiene 9, y Elvira, 79. Ejercicio nº 8.- Indica cuáles de los siguientes números son naturales, cuáles son enteros, cuáles racionales y cuáles irracionales: π ; 0,5; 3,4; 5; 5; ; 3;,4555... 3 3
Naturales 5; 3 Enteros 5; 3 Racionales ; 0,5; 3,4; 5; 3;,4555... 3 π Irracionales 5; 3 Ejercicio nº 9.- Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso: a) Números menores que -. b) Números comprendidos entre y 3, ambos incluidos. c) Números mayores que 3 y el propio 3. d) Números comprendidos entre y, incluido el, pero no el. a) (, ) b), 3 c) [ 3, + ) [ ) d), Ejercicio nº 30.-
Factoriza el siguiente polinomio: x 5 + 5x 4 - x 3-5x Sacamos x factor común: x (x 3 + 5x - x - 5) Utilizamos la regla de Ruffini para factorizar x 3 + 5x - x - 5: 5 5 6 5 6 5 0 5 5 0 Por tanto: x 5 + 5x 4 - x 3-5x = x (x - ) (x + ) (x + 5) Ejercicio nº 3.- Opera y simplifica: a ) x x x + b) : x x x x + 3 x 9 ( )( ) ( x ) ( )( ) ( )( ) x x + x x a) = = = x x x x + x x + x x + x ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) x x + x x x x x + 3 x 3 b) : = : = = x + 3 x 9 x + 3 x + 3 x 3 x + 3 x ( )( ) = x x 3 = x 4x + 3 Ejercicio nº 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 4-4x + 3 = 0 b 5 ) x + = x a) Hacemos el cambio: x = z x 4 = z Así obtenemos: 6 = 3 4 ± 6 4 ± 4 4 ± ƒ 4 + 3 = 0 = = = = z z z Si z = 3 x = 3 x = ± 3 Si z = x = x = ± Por tanto, hay cuatro soluciones: x = 3, x = 3, x =, x = x 5 x 4 5x b) + = + = x + 4 = 5x x x x x 3 4 5 ± 5 6 5 ± 9 5 ± 3 ƒ x x + = x = = = 5 4 0 x = 4 x = Ejercicio nº 33.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones: ( ) a) x + x 3 x + x 4 > b) 3+ x 9 ( ) a) x + x 3 x + + 3 + 3 x x x + 3 3 0 x x x x x 3 0
Resolvemos la ecuación x x 3 = 0. x = 3 ± 4 + ± 4 ƒ x = = x = Estudiamos el signo de x x 3 en cada intervalo: x (, ) (, 3) (3, + ) Signo de x x 3 + + La solución de la inecuación es (-, -]U [3, + ). b) x 4 > x > 6 x > 3 3+ x 9 x 6 x 6 La solución del sistema es (3, 6].
EJERCICIOS BLOQUE II Ejercicio nº.- Dada la función f(x) a través de la siguiente gráfica: a) Indica cuál es su dominio de definición. b) Es continua? Si no lo es, indica los puntos de discontinuidad. c) Cuáles son los intervalos de crecimiento y cuáles los de decrecimiento de la función? Qué ocurre en el intervalo (-, -]? { } a) Dom f ( x ) = R 4 b) No es continua; los puntos de discontinuidad son x = - y x = 4. c) Es creciente en los intervalos (-, 0) y (, 4). Es decreciente en los intervalos (0, ) y (4, + ). En el intervalo (-, -], la función es constante. Ejercicio nº.- Construye una gráfica que corresponda a la temperatura que hay en cierto lugar de la sierra en un día del mes de enero: La temperatura a las de la noche es de 3 C bajo cero, temperatura que desciende paulatinamente hasta alcanzar los 9 C bajo cero a las 4 de la mañana, que será la mínima del día. Desde ese momento y hasta las de la tarde, la temperatura aumenta alcanzando la máxima del día, C. Desde entonces y hasta las de la noche, comienza el descenso de temperatura hasta alcanzar los 0 C, temperatura que también había a las nueve de la mañana.
Ejercicio nº 3.- Representa gráficamente la recta y = - x + y halla la ecuación de la recta con la misma pendiente que la anterior que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(-3, 0) y B(, -8). Representamos la recta y = -x + haciendo una tabla de valores: x 0 y 5 La pendiente de la recta y = -x + es m = -. Punto medio del segmento de extremos A(-3, 0) y B(, -8): 3+ 0 8 x = = ; y = = 4 P, 4 ( ) Ecuación de la recta de pendiente m = - que pasa por P(-, -4): y + 4 = -(x + ) y + 4 = -x - 4 y = -x - 8 es la recta buscada. Ejercicio nº 4.- Asocia cada gráfica con su correspondiente expresión: a) y = -3x + 3x b) y = -(x - 3)
( x + ) c) y = + d) y = (x - ) ( x + ) a) III b) I c) IV d) II Ejercicio nº 5.- Representa la siguiente función: 0 si x < 3 y = x + 3x si 3 x < 4 si x > El primer tramo de función es la recta constante y = 0 siempre que x < -3; análogamente, y = 4 es la recta constante definida para x >. Estudiemos pues el segundo tramo, y = x + 3x, parábola definida para -3 x <. 3 9 9 9 3 9 Vértice x =, y = = 4 4 V 4 que pertenece al dominio definido para x. - Para representarla, hacemos una tabla de valores:
x 3 0 y 0 0 Ejercicio nº 6.- Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones: 3 a) y = x + 3 b) y = 6 x = 0 ( ) c) y log x + d) y = x + 3 a) IV b) II c) III d) I Ejercicio nº 7.-
Calcula usando la definición de logaritmo: a) log 5 0,04 b) log 5 c) log 38 d) loga a 3 4 a) log50,04 = log5 = log5 = log5 = log 55 = log55 = 00 5 5 9 b) log = log = log 9 = 9 log = 9 5 4 c) log38 = log33 = 4 log33 = 4 3 3 4 3 3 3 4 d) loga a = loga a = logaa = logaa = 4 4 Ejercicio nº 8.- Observa la gráfica de la función y completa la siguiente tabla de valores: x 8 6 3 0 4 7 y a) Indica el dominio y el recorrido de la función. b) Tiene máximo y mínimo? Si es así, cuáles son? c) En qué intervalos la función crece, decrece o es constante?
x 8 6 3 0 4 7 y 0 3 6 6 0 9 a) Dominio de definición: [-8, 8]; Recorrido: [, 9] b) Tiene un máximo en el punto (3, 9), y un mínimo en el punto (-7, -). c) La función crece en los intervalos (-7, -5) y (0, 3); la función decrece en los intervalos (-8, -7), (-, 0) y (3, 5). Es constante en los intervalos (-5, -) y (5, 8). Ejercicio nº 9.- Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: Desde las 6:00 h del viernes, el número de vehículos en carretera aumenta paulatinamente, descendiendo a partir de las h hasta las 6 de la mañana del sábado, momento en el que vuelve a producirse un aumento, menor que el del viernes, que dura hasta la de la tarde. Durante 4 horas se produce una disminución del tráfico que alcanza cotas mínimas, volviendo a partir de ese momento a crecer hasta las 8 de la tarde, aunque menos que por la mañana. Desde ese instante y hasta las 8 de la mañana del domingo, el tráfico desciende; es a partir de ese momento y hasta las 0 de la noche cuando vuelve a crecer el número de vehículos alcanzando la cota máxima en ese momento del fin de semana, para luego descender hasta las de la noche. Esta es una posible gráfica que describe la situación anterior; observa que la gráfica en ningún momento corta al eje X, puesto que siempre habrá vehículos circulando: Ejercicio nº 0.- Observando las gráficas, indica cuál es la ordenada en el origen de las siguientes rectas y halla la ecuación de cada una de ellas:
Para calcular la ordenada en el origen, observamos el punto de corte de cada recta con el eje Y. Así: r n =, r n = 0, r3 n3 = 3 Calculamos la pendiente de cada una de ellas: r m = 0 r pasa por ( 0, 0) y ( 4, ) m = 4 7 5 r3 pasa por ( 0, ) y (, 7) m3 = = 0 Así, las ecuaciones de cada una de ellas serán: 5 r y = r y = x r3 y = x + 3 4 Ejercicio nº.- Representa esta función: si x f ( x) = x + 5 si < x 3 si x > El primer y el último tramo son las funciones constantes y = -, y = 3 definidas para x - y x >, respectivamente. El segundo tramo es la parábola y = -x + 5 definida para - < x. La representamos: x 0 y 9 5 3
Ejercicio nº.- Asocia a cada gráfica una de las siguientes expresiones: a) y = x + b) y = 3 x c) y = 6 d) y = + logx x a) I b) III c) II d) IV Ejercicio nº 3.- Mario tiene que recorrer 600 km para llegar a la playa. Sabiendo que el tiempo que tarda en llegar es inversamente proporcional a la velocidad que lleva:
a) Haz una tabla en la que se refleje el tiempo que tarde si va a 75 km/h, 96 km/h, 00 km/h y 0 km/h. b) Representa la función velocidad-tiempo. Llamamos: t = tiempo que tarda en llegar (h) t > 0 v = velocidad (km/h) v > 0 Por ser t y v inversamente proporcionales y el espacio a recorrer de 600 km, la expresión que relaciona estas tres magnitudes es: 600 600 t = o v v = t a) Tabla de valores: v 75 96 00 0 t 8 6,5 6 5 600 b) Hacemos la representación de la función t= en el primer cuadrante por ser tv, > 0. v Ejercicio nº 4.- Calcula usando la definición de logaritmo: a) log 7 49 b) loga a 6 c) log 636 d) log 5 5
a) log7 = log7 = log 77 = log 77 = 49 7 6 6 3 b) loga a = logaa = logaa = 3log 3 aa = c) log636 = log66 = log 66 = 3 3 3 3 d) log5 5 = log5 5 = log55 = log 55 = Ejercicio nº 5.- Resuelve gráfica y analíticamente este sistema: + = x y y x = 0 4 Analíticamente x + y = 0 y = x 4 x x = y = x 4 y = x 4 = = = = ± 4 x x 8 3x x 4 x y = x = = 4 Las soluciones del sistema son: x =, y = ; x =, y = Gráficamente Representamos la parábola: y = x + Vértice: x = 0 y = V(0, ) Puntos de corte con los ejes: Eje Y x = 0 y = (0, ) Eje X y = 0 x + = 0 x = x = ±, 0 y, 0 Tabla de valores entorno al vértice: ( ) ( ) x y
Representamos la parábola: y = x 4 Vértice: x = 0 y = 4 V(0, 4) Puntos de corte con los ejes: Eje Y x = 0 y = 4 (0, 4) Eje X y = 0 x 4 = 0 x = 8 x = ± 8 = ± (, 0 ) y (, 0) Tabla de valores entorno al vértice: x y 7 7 Los puntos de corte de ambas parábolas son: x =, y = ; x =, y = Ejercicio nº 6.- Representa gráficamente la recta 3x + y - = 0 indicando previamente cuánto valen la pendiente y la ordenada en el origen, y calculando los puntos de corte con los ejes coordenados. Despejamos y de la ecuación 3x + y - = 0 para calcular la pendiente y la ordenada en el origen: 3 y = 3x y = x +
Pendiente: 3 m = Ordena en el origen: n = Puntos de corte con los ejes: Con el eje Y es 0, por ser n =. Con el eje X : 3x + y = 0 3x = 0 x = y = 0 3 Luego el punto de corte con el eje X es, 0. 3 Ejercicio nº 7.- Relaciona cada gráfica con una de las siguientes expresiones: a) y = x - x b) y = 3x - x + 5 3 c) y = x + x + d) y = -x - 3x +
a) III b) I c) IV d) II Ejercicio nº 8.- Los datos obtenidos del estudio de una población se ajustan a la función x y = 600 0,5 siendo x el número de años transcurridos. ( ) a) Indica cómo varía la población al cabo de años. b) Cuántos individuos habrá dentro de 4 años? c) Al cabo de cuánto tiempo la población se habrá reducido a la mitad? x a) La función y = 600 ( 0,5) es una función exponencial que decrece a medida que transcurre el tiempo (x crece) por ser a = 0,5 <. Luego al cabo de años la población habrá disminuido: x = y = 600 0,5 = 600 = 650 4 La población, al cabo de años, será de 650 individuos. 600 b) Si x = 4 y = 600 ( 0,5) = 600 = = 6,5 4 6 Dentro de 4 años habrá 6 individuos, aproximadamente. c) Nos piden calcular x para que la población se reduzca a la mitad: x x x 600 ( 0,5) = 300 ( 0,5) = ( 0,5) = 0,5 ( ) Observamos que si x = 0,5 = 0,5 = = = 0,5 4 Luego en año la población se habrá reducido a la mitad. Ejercicio nº 9.-
Halla sin usar la calculadora: a) log 0,5 b) log 4 00000 c) d) log a 4 5 a 5 log 500 5 a) log0,5 = log = log = log = log = 00 4 5 4 4 5 5 5 b) log 00000 = log 0 = log 0 4 = 0 4 log = 4 5 4 5 5 5 4 c) loga a = logaa = log 4 aa = 4 5 log log log log log 500 00 0 d) = = = 0 = 0 = Ejercicio nº 0.- Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = x 3 x + 3x 3 a) y = x 3x a) Buscamos los valores de x que anulan el denominador: x 3 x + 3x 3 = 0 3 3 0 3 0 3 0 x + 3 = 0 no tiene solución. Por tanto, el único valor que anula el denominador es x =, y no pertenece pues al domino: Dom f = { }
b) Los puntos que pertenecen al dominio serán aquellos que cumplan lo siguiente: x 3x 0 Resolvemos x 3x = 0 x(x 3) = 0 x = 0, x = 3 I : si x < 0 x 3x > 0 ( por ejemplo en x = ( ) 3 ( ) = 4 > 0) II : si 0 < x < 3 x 3x < 0 ( por ejemplo en x = 3 = < 0) III : si x > 3 x 3x > 0 ( por ejemplo en x = 4 4 3 4 = 4 > 0) Como en x = 0 y x = 3 la función x 3x vale 0, sí podemos hacer la raíz cuadrada, por lo que estos valores también están incluidos en el dominio. Luego Dom f = (, 0] [3, + ). Ejercicio nº.- Representa gráficamente la siguiente función: y x si x = x + 3 si x > El primer tramo es la recta y = x - definida si x. La representamos haciendo previamente una tabla de valores: x y 0 3 El segundo tramo es la recta y = x + 3 definida para x > : x 3 4 y 0 Ejercicio nº.- Asocia a cada gráfica una de estas expresiones:
a) y log x = 3 b y = ) 8 c) y = x d) y = + 5 x 3 x a) IV b) III c) I d) II
EJERCICIOS BLOQUE III Ejercicio nº.- 5 Sabiendo que sen α = y que 90 < α < 80, calcula el valor de cos α y tg α. 7 En el º cuadrante, cos a < 0 y tg a < 0. 5 sen α = 5 + α = 5 α= 64 7 cos cos cos α= 7 89 89 sen α + cos α = 8 cos α= 7 Luego: tg sen α 5 8 5 5 α= = : = tg α= cos α 7 7 8 8 Ejercicio nº.- Sabiendo que cos 58º = 0,53, sen 58º = 0,85 y tg 58º =,6, calcula las razones trigonométricas de º. º pertenece al º cuadrante y º + 58º = 80º. Relacionamos las razones trigonométricas de º y 58º: sen = sen 58 sen = 0,85 cos = cos 58 cos = 0,53 tg = tg 58 tg =,6 Ejercicio nº 3.- Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46. Calcula la distancia entre la base de la escalera y la pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
Llamamos: x distancia entre la base de la escalera y la pared a ángulo entre la escalera y el suelo Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos el seno como razón trigonométrica: x sen 46 = x = 5 sen 46 5 0,7 = 3,6 5 La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m. Calculamos a 46 + 90 + a = 80 a = 44 es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo. Ejercicio nº 4.- Halla el punto medio del segmento de extremos P(, ) y Q(-4, 3). Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: ( ) 4 3 M + + =, =, ( ) Ejercicio nº 5.- Halla la distancia entre los puntos P(6, -) y Q(0, 6). ( ) ( ) ( ( )) dist P, Q = 0 6 + 6 = 6 + 8 = 36 + 64 = 00 = 0
Ejercicio nº 6.- a) Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por (3, ) y es perpendicular a la recta x + y = 0. b) Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por (5, ) y es paralela al eje X. c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. a) Pendiente de x + y = 0 y = x + y = x + m = Pendiente de la perpendicular m' = = = m Ecuación: y = + (x - 3) y = + x - 3 y = x - b) y = c) Es la solución de este sistema: y = x x = x = 3 y = Punto: 3, ( ) Ejercicio nº 7.- Si sen α= 3 y α 4 cuadrante, calcula cos α y tg α. En el cuarto cuadrante, el cos a es positivo, y la tangente, negativa. sen α= 3 3 69 69 sen α+ cos α= 5 cos α= 3 Luego: 44 5 + cos α= cos α= cos α= sen α 5 tg α= = : = tg α= cos α 3 3 5 5
Ejercicio nº 8.- Calcula las razones trigonométricas de 7 a partir de las razones trigonométricas de 47 : sen 47 = 0,73; cos 47 = 0,68; tg 47 =,07 7 es un ángulo correspondiente al 3 er cuadrante. Además, 80 + 47 = 7, luego: sen 7 = sen 47 sen 7 = 0,73 cos 7 = cos 47 cos 7 = 0,68 tg 7 = tg 47 tg 7 =,07 Ejercicio nº 9.- Desde el tejado de un edificio de 50 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio cercano bajo un ángulo de 45. La distancia entre ambos en línea recta es de 0, km. Calcula la altura del otro edificio. Hacemos una representación del problema: 0, km = 0 m x tg 45 = x = 0 tg 45 x = 0 m 0 Luego, la altura del otro edificio será x + 50 = 0 + 50, es decir, 360 m. Ejercicio nº 0.- Halla el simétrico, P, del punto P(3, -6) respecto de Q(3, ).
Llamamos (x, y ) a las coordenadas de P. El punto medio del segmento de extremos P y P es Q. Por tanto: 3 + x = 3 x = 3 P y = 8 6 + y = ( 3, 8) Ejercicio nº.- 8 Obtén la distancia entre los puntos M, y N, 5. 3 3 8 dist ( M, N ) = + ( 5 ) = 3 + 4 = 9 + 6 = 5 = 5 3 3 Ejercicio nº.- Calcula el valor del sen 0, cos 0 y tg 0, relacionándolos con un ángulo del primer cuadrante. Observamos que 0 º cuadrante y que 80 60 = 0. Luego: sen 0 = sen 60 sen 0 = 3 cos 0 = cos 60 cos 0 = tg 0 = tg 60 tg 0 = 3 Ejercicio nº3.- El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de 33. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo.
Llamamos: d longitud de la diagonal x longitud del otro lado Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente, respectivamente: 4 4 4 cos 33 = d = 4,76 m d cos 33 0,84 x tg 33 = x = 4 tg 33 4 0,65 =,6 m 4 La longitud de la diagonal es de 4,76 m. Calculamos el área: A = 4,6 = 0,4 El área del rectángulo es 0,4 m. Ejercicio nº 4.- Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, -) y B(-6, -4). Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos: ( ) ( ) 6 4 5 M = +, +, = Ejercicio nº 5.- ( ) a) Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 0, 0 y es paralela a x y + 3 = 0. b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por (3, 4) y es perpendicular a x + y - 5 = 0.
c) Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores. a) Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente: Pendiente de x y + 3 = 0 y = x + 3 m = Ecuación de r : y = x b) Pendiente de x + y - 5 = 0 y = -x + 5 m = - Pendiente de la perpendicular m' = = = m Ecuación de s: y = 4 + (x - 3) y = 4 + x - 3 x - y + = 0 c) Es la solución del siguiente sistema: y = x x y + = 0 x x + = 0 x = y = Punto: (, ) Ejercicio nº 6.- Calcula sen a y tg a de un ángulo agudo, a, sabiendo que cos a = 0,6. sen a + cos a = sen a + 0,6 = sen a = - 0,36 sen a = 0,64 sen a = 0,8 sen α 0,8 Luego: tg α= = =,3 tg α=,3 cos α 0,6 Ejercicio nº 7.- Dos torres de 98 m y 03 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75. Hagamos un dibujo que represente el problema:
Llamamos x longitud del puente y anchura del río Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75 : 03-98 = 5 m. 5 5 5 cos 75 = x = 9,3 m x cos 75 0,6 y sen 75 = y = x sen 75 9,3 0,97 8,65 m x La longitud del puente es de 9,3 m, y la anchura del río, 8,65 m. Ejercicio nº 9.- a) Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (, 0) y (3, 6). b) Halla la ecuación de la recta, s, paralela a y = x que pasa por el punto ( 4, 4 ). c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores. 6 0 6 a) Pendiente = = = 3 3 Ecuación: y = 0 + 3(x - ) y = 3x - 3 3x - y - 3 = 0 b) Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m =. Ecuación: y = 4 + ( x 4) y = 8 + x 4 x y + 4 = 0 c) Es la solución del sistema siguiente:
3x y 3 = 0 y = 3x 3 x y + 4 = 0 x ( 3x 3) + 4 = 0 x 6x + 6 + 4 = 0 5x = 0 x = y = 3 Punto: (, 3) Ejercicio nº 0.- En el triángulo rectángulo ABC trazamos la altura BH sobre la hipotenusa. Calcula el área y el perímetro del triángulo en el que conocemos AB = 7 cm y HC = 3,04 cm. Aplicamos el teorema del cateto para calcular AH : ( ) = 7 = + 3,04 + 3,04 49 = 0 AB AC AH x x x x ± + ± x = = 3,04 3,04 4 49 3,04 6,96 ƒ,96 5 NO VALE Aplicamos el teorema de la altura para calcular BH : BH = AH HC BH =,96 3,04 BH = 45,584 BH = 6,7 cm Nuevamente, aplicando el teorema del cateto, obtenemos BC : ( ) BC = AC HC BC =,96 + 3,04 3,04 = 5 3,04 = 576 BC = 576 = 4 cm Por tanto: Área AC BH 5 6,7 ( ABC) = = = 84 cm ( ) Perímetro ABC = AB + BC + CA = 7 + 4 + 5 = 56 cm
EJERCICIOS BLOQUE IV Ejercicio nº.- Tomamos las 0 cartas de oros de una baraja española y elegimos al azar una de entre ellas. Consideramos los sucesos: A = "obtener figura" y B = "obtener una carta con un número menor que 4". a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b) Calcula las siguientes probabilidades: P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A B]; P [A B] a) A = {Sota, Caballo, Rey}; B = {As,, 3}; A' = {As,, 3, 4, 5, 6, 7}; B ' = {4, 5, 6, 7, Sota, Caballo, Rey}; A B = {As,, 3, Sota, Caballo, Rey}; A B = 3 3 7 b) P[ A] = = 0,3; P[ B] = = 0,3; P[ A' ] = = 0,7 0 0 0 7 6 P[ B' ] = = 0,7; P[ A B] = = 0,6; P[ A B] = 0 0 0 Ejercicio nº.- Tenemos una urna con 6 bolas rojas y 8 verdes. Sacamos una bola al azar, observamos el color y la volvemos a introducir en la urna. Sacamos una segunda bola y observamos su color. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas rojas. b) Dos bolas de distinto color. Hacemos un diagrama en árbol:
ª bola ª bola 6 4 R 6 4 8 4 R R y R V R y V 8 4 V 6 4 8 4 R V y R V 6 6 3 3 9 a) P [ R y R] = = = 0,8 4 4 7 7 49 6 8 8 6 3 4 4 3 4 b) P[ R y V] + P[ V y R] = + = + = = 0,49 4 4 4 4 7 7 7 7 49 49 Ejercicio nº 3.- Si sacamos dos cartas de una baraja española (de 40 cartas), calcula la probabilidad de obtener: a) Dos ases. b) Dos cartas del mismo palo. [ ] P[ ] a) P dos ases = as en la ª y as en la ª = 4 3 = P[ as en la ª ] P[ as en la ª habiendo sacado as en la ª ] = = = 40 39 0 3 = 30 0,0077 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] b) P mismo palo = P dos oros + P dos copas + P dos espadas + P dos bastos = 0 9 0 9 0 9 0 9 0 9 3 = + + + = 4 = 4 = 40 39 40 39 40 39 40 39 40 39 4 3 3 = 0,3 3 Ejercicio nº 4.-
En un club deportivo hay apuntados 30 chicos y 30 chicas. La mitad de los chicos y la tercera parte de las chicas juegan al tenis. a) Completa la siguiente tabla: JUEGAN TENIS NO JUEGAN TENIS CHICOS 5 30 CHICAS 0 30 60 b) Ayudándote de la tabla anterior, calcula las siguientes probabilidades, referidas al elegir una persona al azar de ese club: P [chico ]; P [no juega tenis]; P [chico que no juega tenis] a) JUEGAN TENIS NO JUEGAN TENIS CHICOS 5 5 30 CHICAS 0 0 30 5 35 60 30 b) P [ chico] = = = 0,5 60 35 7 P [ no juega tenis] = = 0,58 60 5 P [ chico que no juega tenis] = = = 0,5 60 4 Ejercicio nº 5.- En el siguiente diagrama, E representa el espacio muestral, A representa un suceso, y B, otro suceso:
a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b) Calcula las siguientes probabilidades: P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A B]; P [A B] a) A = {, 3, 4}; B = {4, 5, 6, 9}; A' = {, 5, 6, 7, 8, 9}; B ' = {,, 3, 7, 8}; A B = {, 3, 4, 5, 6, 9}; A B = {4} 3 4 6 b) P[ A] = = ; P[ B] = ; P[ A' ] = = 9 3 9 9 3 5 6 P[ B' ] = ; P[ A B] = = ; P[ A B] = 9 9 3 9 Ejercicio nº 6.- En una bolsa tenemos 5 bolas negras y 9 blancas. Extraemos una bola al azar, miramos su color, la devolvemos a la bolsa y volvemos a sacar otra bola. Halla la probabilidad de que: a) La dos bolas sean negras. b) La primera bola sea blanca y la segunda negra. Hacemos un diagrama en árbol: ª bola ª bola
9 4 9 4 B 5 4 B N B y N 5 4 N 9 4 B 5 4 5 5 5 [ ] = = a) P N y N 0,3 4 4 96 9 5 45 [ ] = = b) P B y N 0,3 4 4 96 Ejercicio nº 7.- Tenemos una urna con 4 bolas blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de obtener: a) Dos bolas blancas. b) Dos bolas de distinto color. Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una bola y, sin volver a introducirla en la urna, sacar otra. Hacemos un diagrama en árbol: ª bola ª bola 4 B 4 B 3 B 8 N 3 8 B B y B N B y N 8 N 8 N 4 B 7 N 4 B N y B 7 N 4 3 a) P [ B y B] = = = 0,09 3
4 8 8 4 8 4 8 6 b) P[ B y N] + P[ N y B] = + = + = = 0,48 3 3 33 33 Ejercicio nº 8.- En el lanzamiento de un dado de cuatro caras, hemos obtenido las siguientes probabilidades: Nº OBTENIDO 3 4 PROBABILIDAD 0,5 0,3 0,8 a) Cuál es la probabilidad de obtener un 4? b) Cuál es la probabilidad de no obtener un 4? c) Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? a) Tenemos en cuenta que la suma de las probabilidades de todos los casos es igual a ; es decir: P [] + P [] + P [3] + P [4] = Sustituyendo cada probabilidad por su valor, tenemos que: 0,5 + 0,3 + 0,8 + P [4] = P [4] = 0,5 0,3 0,8 = 0,5 b) P [no 4] = P [4] = 0,75 c) P [impar] = P [] + P [3] = 0,5 + 0,8 = 0,43 Ejercicio nº 9.- Metemos en una bolsa 0 bolas numeradas del al 0. Extraemos una al azar y observamos el número que tiene. Consideramos los sucesos: A = "obtener un número menor que 5" y B = "obtener un número mayor que ". a) Escribe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b) Calcula las siguientes probabilidades: P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A B]; P [A B] a) A = {,, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}; A' = {5, 6, 7, 8, 9, 0}; B ' = {, };
A B = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} = E; A B = {3, 4} 4 8 6 b) P[ A] = = 0,4; P[ B] = = 0,8; P[ A' ] = = 0,6 0 0 0 P[ B' ] = = 0,; P[ A B] = ; P[ A B] = = 0, 0 0 Ejercicio nº 0.- Lanzamos un dado tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener: a) A = "Tres cincos" b) B = "El mismo número las tres veces" Como son sucesos independientes: a) P[ A] = P[ 5] P[ 5] P[ 5] = = 0,0046 6 6 6 6 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] b) PB = Ptres unos + Ptres doses + Ptres treses + Ptres cuatros + Ptres cincos + 3 3 3 3 3 3 3 + P [ tres seises] = 6 6 + 6 + 6 + + + = = = 6 6 6 6 6 = 0,08 36 Ejercicio nº.- En una urna tenemos bolas rojas, 0 blancas y 8 negras. Sacamos dos bolas a la vez. Calcula la probabilidad de que: a) Las dos bolas sean blancas. b) La primera sea roja y la segunda, blanca. Hacemos un diagrama en árbol: (Sacar dos bolas a la vez es equivalente a sacar una y, sin devolverla a la urna, sacar la otra).
ª bola ª bola R 30 R R 0 B 8 N 0 9 B R y B N R 0 B 8 N 0 30 8 30 B R 9 B 8 N 9 9 R B B y B N R N R 0 B 7 N B N 0 9 9 3 a) P [ B y B] = = = 0,03 30 9 3 9 9 0 0 4 b) P [ R y B] = = = 0,38 30 9 5 9 9 Ejercicio nº.- Lanzamos dos dados y sumamos los resultados obtenidos. Calcula la probabilidad de que la suma sea: a) 7 b) Menor que 5. c) Mayor que 0. Hacemos una tabla para ver los posibles resultados:
6 a) P [ 7] = = 0,67 36 6 6 b) P [ < 5] = = 0,67 36 36 3 c) P [ > 0] = = 0,083 36 Ejercicio nº 3.- En el lanzamiento de un dado correcto, consideramos los sucesos: A = "obtener impar" y B = "obtener múltiplo de 3". a) Describe, dando todos sus casos, los sucesos A, B, A', B', A B y A B. b) Calcula las siguientes probabilidades: P [A]; P [B]; P [A']; P [B']; P [A B]; P [A B] a) A = {, 3, 5}; B = {3, 6}; A' = {, 4, 6}; B ' = {,, 4, 5}; A B = {, 3, 5, 6}; A B = {3} 3 b) P[ A] = = ; P[ B] = = ; P[ A' ] = = 6 6 3 4 P[ B' ] = = ; P[ A B] = = ; P[ A B] = 3 3 6 3 6 Ejercicio nº 4.- Un juego consiste en tirar un dado y lanzar una moneda simultáneamente. Ganaremos si conseguimos sacar un número impar en el dado y una cara en la moneda.
a) Qué probabilidad tenemos de ganar? b) Y de perder? a) Como son sucesos independientes: P[ ganar] = P[ nº impar] P[ cara] = = = 0,5 4 [ ] = P[ ] = = ( ) b) P perder ganar 0,5 0,75 perder es el suceso contrario a ganar Ejercicio nº 5.- De una baraja española (de 40 cartas) extraemos tres cartas sin reemplazamiento (es decir, sin devolverlas al mazo en cada caso). Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de oros. [ 3 oros] [ ª oros] [ ª oros habiendo sido la ª de oros] P = P P 0 9 8 3 4 P [ 3ª oros siendo las anteriores de oros] = = = 40 39 38 4 3 9 3 = 0,0 47