Conrol en el Espcio de Esdo 5. Observbilidd por Pscul Cmpoy pscul.cmpoy@upm.es Universidd Poliécnic Mdrid U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 1 Observbilidd del esdo: necesidd r() u() B x C y() sisem A observdor x e "1 K T c relimención U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 2 1
Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 3 Inroducción Concepo: "observr" el esdo del sisem prir de su relción enrd-slid. u() Sisem y() x e () U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 4 2
Ejemplo 4.1 R 1 C 1 R 2 C 2 u c2 x() u R 1 R 2 C 1 C 2 u c1 y=x 1 -x 2 ) se puede conocer x() conocido y()=x 1 ()-x 2 ()? b) en el supueso R 1 C 1 R 2 C 2 : se puede conocer x( 0 ) conocido y(τ)=x 1 (τ)-x 2 (τ) pr 0 <τ? o bien cd esdo inicil disino gener un slid disin? c) y si y()=3x 1 ()-5x 2 ()? d) y pr R 1 C 1 =R 2 C 2? exisen esdos en los que y()=0? U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 5 Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 6 3
Definiciones: (1/1) observbilidd de un puno del esdo x 0 es observlble en [ o, 1 ], si y sólo si priendo de x( 0 )=x 0, el conocimieno de l enrd u(τ) y l slid y(τ) en el inervlo o τ 1, permie segurr que x ( 0 )=x 0 x 0 es observlble, si y sólo si pr odo insne inicil 0 exise un inervlo finio [ o, 1 ], l que x 0 es observble en [ o, 1 ]. U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 7 Definiciones: (1/2) observbilidd de un sisem Un sisem es observlble en [ o, 1 ], si y sólo si odos los punos del espcio de esdo son observlbles en [ o, 1 ], Un sisem es observlble si y sólo si odos los punos del espcio de esdo son observlbles U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 8 4
Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 9 Observbilidd de sisems lineles: inroducción En un sisem linel: y() = C()x() + D()u() = C() (, )x + " C() (,# )B(# )u(# )d# + D()u() grupndo érminos que no dependen de x 0 : ( y () " y() # & C()(,%)B(%)u(%)d% # D()u() = C()(, 0 )x 0 0 0 con lo que el objeivo de l observbilidd es el cálculo de x 0 prir de y ( () o slid del sisem ne enrd nul 0 0 U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 10 5
Observbilidd de sisems lineles: eorem Ddo el sisem: x() & = A()x() + B()u() y() = C()x() + D()u() es observlble en [ o, 1 ] si y solo si el grmino de observbilidd V( o, 1 ) es inverible, definido como: 1 T T V (1, 0 ) = " (#,0 )C (# )C(# )"(#,0 ) d# 0 U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 11 Observbilidd de sisems lineles: demosrción V -1 ( 1, 0 ) sisem observlble en [ 0, 1 ] suficiene ( ) : x 0 = 1 # 1 " T T ( V (1, 0 ) (,0 )C ( )y( )d 0 por no se puede clculr el esdo inicil x 0 necesri ( ): si no exise V -1 ( 1, 0 ) enonces priendo de x( 0 ) igul l vecor propio de V socido l vlor propio 0, se ( obiene: y( 1 ) = 0 por no exisen esdos cuy slid es indisinguible con l slid desde el origen U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 12 6
Observbilidd de sisems lineles: esdos no-observbles definición: esdos no-observbles son quellos prir de los cules su slid es permnenemene nul ne enrd nul ( y () = 0 > 0 si exisen esdos no-observbles, ningún esdo del sisem es observble si el sisem no es observble, exisen esdos no-observbles U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 13 Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 14 7
Observbilidd de sisems lineles e invrines: eorem Ddo el sisem: x() & = Ax() + Bu() y() = Cx() + Du() es observble si y solo si l mriz P es de rngo máximo (n). & C # CA 2 P = CA M n'1 % CA " U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 15 Observbilidd de sisems lineles e invrines: demosrción rngo (P) = n sisem es observble necesrio ( ): ( y () = " 0 ()C + " 1 ()CA +...+ " n#1 ()CA n#1 [ ] x 0 por no si el rngo(p)<n, exisen esdos iniciles x 0, les que ( y () = 0 suficiene ( ): si no es observble exisen vecores P por no si no es observble el rngo(p) < n U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 16 8
Sisems lineles invrines: Suespcio no-observble Todos los punos no-observbles formn un subespcio, denomindo subespcio noobservble El subespcio no-observble es generdo por el nucleo de P (vecores x/ Px=0) de dimensión n-r P, siendo r P =rngo(p) U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 17 Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 18 9
Subsisem no-observble: lem Ddo un sisem linel e invrine con dimensión del subespcio no-observble n-r P <n, exise un mriz de cmbio de bse T l que: & # = ' 1 0 T AT = % b C = CT = [ C 0] bb " en el que el subsisem es observble ( ) C~ de dimensión r P xr P siendo T=[T T b ], donde T b es un bse del subespcio no-observble del sisem U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 19 Subsisem observble: represención gráfic D & 0 = % b C = [ C 0] bb u() # " B ~ Observble No observble B ~ b % b x~ x~b C ~ y() bb U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 20 10
Ejercicio 4.1 R 1 C 1 R 2 C 2 u R 1 C 1 R 2 C 2 ) Si y()=x 1 ()-x 2 (), clculr l dimensión del espcio noobservble y un bse de ése en función de R 1 C 1 y R 2 C 2 (3 punos) b) Idem si y()=3x 1 ()-5x 2 () (1 punos) c) Si y()=x 1 ()-x 2 (), obener un subsisem observble, relcionndo sus vribles con ls originles (2 punos), obener su modelo de esdo (2 punos) y dibujr el gráfico de su modelo de esdo juno con el del subsisem noobservble (2 punos). U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 21 Observbilidd Inroducción Definiciones Observbilidd en sisems lineles Observbilidd en sisems lineles e invrines. Subespcio no-observble Subsisem observble Seprción del subsisem conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 24 11
Seprción del subsisem conrolble y observble: lem Ddo un sisem linel e invrine con rngo(q)=r Q y rngo (P)=r P, exise un mriz de cmbio de bse T l que: = ' 1 T donde: AT = & 0 c 0 b bb bc 0 0 cc 0 % 0 0 dc el subsisem el subsisem el subsisem && 0 %% b && %% 0 bb c cc C ~ # & B ~, " % B ~ [,B ~, ] bd dd b # B ~ " #, " # & B ~ #,, " % 0 " = T ' 1 # [ C ~ 0] " # [ C ~ C ~ ] " c & B ~ # B ~ B = b 0 % 0 " C = CT = [ C 0 C c 0] de dimensión r Q xr Q es conrolble de dimensión r P xr P es observble es conrolble y observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 25 Seprción del subsisem conrolble y observble: mriz T siendo l mriz del cmbio de bse: T=[T T b T c T d ] donde: T T b es un bse del subespcio conrolble T b T d es un bse del subespcio no-observble U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 26 12
Seprción del subsisem conrolble y observble: gráfic u() Conrolble B ~ y observble x~ C ~ B ~ Observble y() = & 0 c 0 b bb bc 0 0 cc 0 % 0 0 dc & B ~ # B ~ B ~ = b 0 % 0 " C ~ = CT = C ~ 0 bd dd [ C ~ 0] c # " Conrolble B ~ b b bb x~b c bc cc dc dd x~c x~d C ~ c bd U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 27 Ejercicio 4.2 ddo el sisem: u 1 1 s+1 2 s+1 x 1 + x 2 s +1 s+2 ) Obener los disinos subespcios endiendo l conrolbilidd y observbilidd (3,5 punos) b) Obener los disinos subsisems endiendo l conrolbilidd y observbilidd, indicndo el modelo de esdo de cd uno de ellos (3,5 punos) c) Dibujr l gráfic del modelo de esdo globl con l vribles de los menciondos subsisems (1,5 punos) d) Indicr l relción de ess vribles con ls originles (1,5 punos) U.P.M.-DISAM P. Cmpoy Conrol en el Espcio de Esdo 28 + x 3 13