Ej. 1 Podriamos cosiderar S={0,1,} (los resultados o sería igualmete probables). Pero tambie podemos defiir S={CC,CS,SC,SS} describiedo todos los resultados de tirar dos moedas y luego asociar CC, CS 1, etc. O sea podemos cosiderar S={CC,CS,SC,SS} y ua fució X= ro de caras que a cada elemeto de S le asiga u úmero: X CC CS 1 SC 1 SS 0 Ej., podemos cosiderar el mismo S y otra fució. Defiició de variable aleatoria: Sea S u espacio muestral. Ua variable aleatoria es ua fució del espacio muestral S e los úmeros reales. Geeralmete las variables aleatorias se las deota co las últimas letras del alfabeto e mayúscula (X, Y, etc.) Por defiició si X es ua v.a. X: S R E el ej. 1: Qué etedemos por P(X=1)? E geeral si B R, Ejemplo: cuato vale P(X 1) e el ejemplo 1? P(X B) = P{s S X(s) B) = P(X -1 (B)) Image de ua variable aleatoria: Usaremos la otació I X para la image de la variable aleatoria (cojuto de valores que toma). 3.1. Variables aleatorias discretas Defiició de variable aleatoria discreta: Ua variable aleatoria es discreta si su image I X es u cojuto fiito o ifiito umerable. Dar ejemplos de variables aleatorias discretas - que tome u úmero fiito de valores - que tome u úmero ifiito umerable de valores 9
Fució de probabilidad putual de ua v.a. discreta. Sea X v.a. discreta. Se llama f.p.p. a la fució p(x) = P(X=x) para todo x R E el ejemplo 1: p(0)=1/4 p(1)=1/ p()=1/4 p(x)=0 para todo x {0,1,} Propiedades de las fucioes de probabilidad putual So fucioes p:r R que cumple dos propiedades: a) p(x) 0 para todo x R b) Σ p(x) =1 x I X Nota: la sumatoria tambié puede extederse al cojuto {x p(x)>0} Estas dos propiedades a) y b) caracteriza a las fucioes de probabilidad putual. Cometario: Para dar ua fució de probabilidad putual, a veces se dá ua fórmula, otras ua tabla: x 0 1 p(x) 1/4 1/ 1/4 y tambié puede mostrarse co u gráfico (co líeas o co barras como el histograma). Cometario: Si coozco la f.p.p. de ua v.a. X, como puedo calcular P(B) para cualquier B R? Otros ejemplos: - Elijo u alumo al azar etre todos los alumos de 1er año de la facultad. Sea X su ota e Matematicas del CBC. Como se podria coocer la f.p.p. de esta v.a.? - Se tira u dado hasta que sale as por primera vez. Sea X=ro de tiros. Es X discreta? Cuáto vale I X? Cual es la f.p.p. de X? 30
Cometario: Coocer la distribució de ua v.a. quiere decir poder calcular P(X B) para cualquier B R. Observar que si coozco p(x) coozco la distribució, ya que P(X B) = x B I I X p( x) (5) Observar que variables aleatorias distitas puede teer la misma distribucio. Por ej. la variable X=ro de caras al tiras dos moedas, tiee la misma distribució que el ro de cecas. Fució de distribució o fució de distribució acumulada de ua v.a. Defiició Sea X ua v.a. Su fució de distribució (acumulada) es la fució F(x) = P(X<= x)= P(X (-,x]) (defiida x R) La defiició aterior vale para cualquier v.a., sea discreta o o. Para el caso particular de las v.a. discretas se puede calcular sumado la f.p.p. para todos los valores x: F(x) = u I X, u x p( u) (6) Ejemplo 1: Calcular y graficar la fució de distribució de X = ro de caras al tirar dos veces ua moeda. Ejemplo : Como sería la fució de distribució de X = ro de veces que tego que tirar u dado hasta que salga as por primera vez? Propiedades de las fucioes de distribució. Las fucioes de distribució so fucioes reales (F:R R) que cumple: 1) So moótoas o decrecietes. ) lim F(x) = 1 x + 3) lim F(x) = 0 x - 4) So cotiuas a derecha (o sea lim F(x) = F(x 0 ) + x x 0 ) 31
Es evidete de los ejemplos que las fucioes de distribucio o tiee por que ser cotiuas ya que lim F( x) o tiee por que coicidir co F(xo) (la fucio de distribucio puede dar x x0 saltos). Usemos la otació: lim F(x) = F(x ) x x 0 o Si la fucio de distribució da u salto e el puto x o, etoces la altura del salto es precisamete el valor de la probabilidad e el puto: P(X = x o ) = F( x 0 ) F( xo ) = altura del salto (7) Propiedad importate: Si coozco la fució de distribució de ua v.a. puedo calcular cualquier P(X B) para cualquier B R. a) E particular es fácil calcular la probabilidad de u itervalo de la forma (a,b] (abierto a izquierda y cerrado a derecha), ya que es facil demostrar que: P(a<X b) = F(b) F(a) (8) Demostració: luego: o sea (a,b] = (-,b] - (-,a] P(X (a,b]) = P(X (-,b]) - P(X (-,a]) P(a<X b) = F(b) F(a) Pero como se puede calcular P(a X b)? Usado (8) y (7) puede calcularse. Ejercicio: escribir expresioes para calcular: coocida la fució de distribució acumulada. P(a X b) P(a<X<b) P(a X<b) P(a X) P(a<X) P(X<b) 3
3.. Esperaza de ua variable aleatoria discreta La esperaza se puede defiir para cualquier tipo de variable aleatoria. Pero por ahora veremos el caso particular de variables aleatorias discretas. Defiició de esperaza para ua v.a. discreta. Sea X ua v.a. discreta, I X su image, p su f.p.p. Se defie E( X) = x p( x) E(X) se lee esperaza de X. x I x Ejemplo 1: Sea X el ro. de caras al tirar dos veces ua moeda equilibrada. Hemos visto que I X = {0,1,} y que x 0 1 p(x) 1/4 1/ 1/4 Etoces E(X) = xp( x) = 0*(1/4) + 1*(1/) + *(1/4) = 1 x= 0 Ejemplo : Sea X el ro. de ases al tirar dos veces u dado equilibrado. Etoces, igual que e el ej. 1 es I X = {0,1,}, mietras que la f.p.p. es x 0 1 3 p(x) 5/36 10/36 1/4 1/36 Etoces E(X) = 0*(5/36) + 1*(10/36) + *(1/36) = 1/36 = 1/3 Se ve e este ejemplo (o e el aterior) que E(X) o tiee por qué coicidir co iguo de los valores que toma la v.a. E(X) se puede iterpretar como u promedio poderado de los distitos valores que toma la variable, dadole mayor peso a los valores más probables. La defiició coicide co la de cetro de gravedad e física. Vamos a ver ahora otras dos iterpretacioes ituitivas de E(X). Ua iterpretació ituitiva de la esperaza: como media de ua població. Esta iterpretació o siempre tiee setido, sólo e alguos ejemplos (e los que el experimeto aleatorio cosiste e extraer al azar u idividuo de ua població fiita). Cosideremos el siguiete ejemplo. Supogamos que teemos registrados todas las otas e Matemáticas del exame de igreso de los alumos de 1er. año. Estas otas va del 4 a 10 y so las siguietes: 33
6, 8, 9, 8, 4, 10, 6, etc. Llamemos N al ro. de alumos de 1er. año. Etoces la media (poblacioal) de las otas es: µ = 6+ 8+ 9+ 8+ 4 +.... N El titulo de la Iterpretació dice que la E(X) es la media poblacioal µ. Como podemos defiir ua v.a. co las otas? Experimeto aleatorio: etre todos los alumos de 1er. año seleccioo uo al azar (o sea de la població elijo ua muestra de u solo alumo). Luego observo X = ota del alumo seleccioado. Quié es S? Es X ua v.a.? Cuál es su image? Cuál es su f.p.p.? Cuáto vale E(X)? Esta iterpretació o sólo vale para este ejemplo, sio para cualquier ejemplo e que hay ua població de u ro. fiito de idividuos y para cada idividuo se puede observar ua variable discreta. Si se seleccioa al azar u idividuo y se cosidera la v.a. X = valor de la variable e el idividuo elegido al azar etoces E(X) coicide co la media poblacioal. Pero esta iterpretació o siempre tiee setido, por ejemplo o lo tiee e los ejemplos 1 y. Otra iterpretació ituitiva de la esperaza. Esta iterpretació vale para cualquier v.a. Si embargo, sólo para simplificar, vamos a pesar e ua v.a. discreta que sólo toma u ro. fiito de valores. Sea I X = {x 1, x,,x k } la image y x x 1 x... x k p(x) p(x 1 ) p(x ) p(x k ) la tabla que dá la f.p.p. Supogamos que se repite veces (e las mismas codicioes) el experimeto aleatorio. Cada vez que se repite el experimeto se observa el valor que toma la variable X. Se aota esos valores, por ejemplo: x 3 x 5 x x 5 x 3 x 4 etc y se calcula el promedio de todos los valores que saliero 34
x 3 + x 5 + x + x 5 + x 3 + x 4 +... (9) Llamado i = ro. de veces que sale x i (i=1,...,k), reordeado los térmios (9) puede escribirse así x + x +... + x x x = 1 + +... + x k (10) 1 1 k k 1 k Qué ocurre co el cociete i cuado es grade? Por la idea ituitiva de probabilidad, sabemos que lim i = P( X = x )= p(x i ) i Luego la expresió (10) cuado tiede a p(x 1 )x 1 + p(x )x +... + p(x k )x k = E(X) O sea esta iterpretació de la esperaza se puede euciar así: "Si se repite veces el experimeto aleatorio y se calcula el promedio de todos los valores que toma la v.a., este promedio tiede a E(X) cuado tiede a ifiito." Es la justificació que hicimos recié ua demostració rigurosa de la afirmació aterior? Qué quiere decir esta iterpretació e el ejemplo 1 (ro de caras al tirar veces ua moeda)? Qué quiere decir e el ejemplo de elegir u alumo al azar y observar su ota? Otro ejemplo: Juguemos 1$ e la ruleta a colorado. Sea X=gaacia. Calcular E(X) y ver que quiere decir aquí la iterpretació ituitiva. Es bue egocio jugar mucho a la ruleta? 35
Fucioes de variables aleatorias. - Si X es ua v.a. Qué es X? - E geeral si g:r R, g(x) es ua v.a. (es la composició de la fució X co la fució g). X g S R R - Ejemplo: Sea X el ro. de caras al tirar dos veces ua moeda. Sea Y=X a) Calcular la f.p.p. de Y (para distiguir llamaremos p X y p Y ). b) Calcular E(Y). c) Observar que: E ( Y ) = y p ( y) = x p ( x) Y y I Y x I X E geeral: Teorema: Sea X ua v.a. discreta, I X su image, p X su f.p.p. Sea g:r R. Etoces: x I X X E ( g( X )) = g( x) p ( x) (11) X (o demostramos este teorema, sólo vemos la idea ituitiva e el ejemplo aterior). Observar que este teorema tiee la utilidad de que permite calcular la esperaza de la v.a. g(x), coocida la fució de probabilidad putual de la v.a. X, si ecesidad de calcular primero la f.p.p. de la v.a. g(x). Propiedades de la Esperaza (estas propiedades vale o sólo para variables aleatorias discretas, sio para cualquier variable aleatoria). a) Sea X ua v.a., a y b úmeros reales. Etoces Casos particulares: E(aX) = a E(X) E(X+b) = E(X) + b (demostrar) E(a X + b) = a E(X)+ b b) Si X e Y so dos variables aleatorias etoces (o lo demostraremos): E( X + Y) = E(X) + E(Y) 36
b*) Geeralizado b) si X 1, X,... X so vs. as. etoces E( X i = i= 1 i= 1 E( X i ) Vamos a defiir variaza de ua v.a. Notacioes para medias y variazas de u cojuto de datos. E estadística descriptiva, defiimos media y variaza. Muchas veces el ivestigador cosidera que los datos observados so ua muestra de ua població y desea, a partir de los datos de la muestra observada, hacer iferecias sobre la població. La iferecia estadistica estudia técicas para hacer estas iferecias. Cuado queremos hacer iferecias, coviee distiguir co otacioes distitas a la media y variaza de la muestra y a la media y variaza de la poblacio. Las otacioes usuales so: Població x i Media µ = = 1 N N i _ x Muestra x i = = 1 i Variaza σ = N ( x µ ) i= 1 i N s = ( x ) i= 1 i x 1 _ Luego hemos defiido esperaza (tambié llamada media) de ua v.a. discreta: E( X) = x p( x) x I x Como se defie variaza de ua variable aleatoria? Variaza de ua variable aleatoria La variaza se puede defiir para cualquier tipo de variable aleatoria. Pero por ahora veremos el caso particular de variables aleatorias discretas. 37
Defiició de variaza para ua v.a. discreta. Sea X ua v.a. discreta, I X su image, p su f.p.p. Se defie Var(X) se lee variaza de X. Var( X ) = ( x E( X )) p( x) x I x Otra forma de defiir variaza de ua variable aleatoria: Usado el teorema que da la E(g(X)) (o sea (11)) se puede escribir: Var(X) = E(X-E(X)) (1) Luego veremos que esta expresio se usa tambié para defiir variaza para variables aleatorias que o so discretas. La expresió (1) es la defiicio más geeral de Var(X) Cometario: cuado la variable aleatoria se defie extrayedo al azar u idividuo de ua població fiita (como e el ejemplo de la ota de ua alumo elegido al azar), la variaza de la v.a. es igual a la variaza poblacioal. Iterpretació de la variaza como medida de dispersió Ejemplo 1: X = ro. de caras al tirar dos moedas. Calcular Var(X). (respuesta: 0.5) Ejemplo : Si ua v.a. Y tiee f.p.p. y 09 1 11 P Y (y) 1/4 1/ 1/4 Etoces, comparado co la v.a. X del ej. 1 se observa que Y tiee la misma esperaza (E(Y)=E(X)=1), Var(Y) es <, = o > que Var(X)? Ejemplo 3: Sea Z ua v.a. co f.p.p. Z 0 1 P Z (z) 0.01 0.98 0.01 38
Que tambié tiee esperaza 1, Var(Z) es < = o > que Var(X)? Va Otra expresió para Var(X). Var(X) = E(X-E(X)) = E(X ) - (E(X)) (13) La primera igualdad es la defiició de esperaza, la seguda igualdad se demuestra fácilmete usado las propiedades a) y b) de la Esperaza (demostrar). De (11) y (13), para el caso de las variables discretas, hay dos formas de calcular la variaza: Var( X ) = ( x E( X )) p( x) = x I X x I Xx x p( x) ( E( X )) La primera expresió (la defiició) se etiede más (se etiede que es ua medida de dispersió) la seguda era más simple para calcular, cuado las cuetas se hacía a mao. Ejemplo: E el ejemplo 1, calcular Var(X) co esta ueva expresió y comprobar que da lo mismo. Ates de euciar propiedades aálogas para la variaza, ecesitamos defiir el cocepto de variables aleatorias idepedietes. Defiició: Dos variables aleatorias X e Y so idepedietes si para todo A R, B R. P( (X A) (Y B)) = P(X A) P(Y B) Ejemplos: i) Si elijo ua persoa al azar y observo X=peso, Y=estatura, so X y Y variables aleatorias idepedietes? ii) Si juego dos veces e la ruleta y X=ro que sale e la 1a tirada, Y=ro que sale e la seguda tirada, so idepedietes? iii) Dar otros ejemplos de vs. as. que (ituitivamete) sea idepedietes y o lo sea. Recordemos las propiedades de esperaza que euciamos: a) E(a X + b) = a E(X)+ b b) E( X + Y) = E(X) + E(Y) b*) E( X i = E( X i ) i= 1 i= 1 39
Propiedades de la variaza: (demostrar) y sus casos particulares a) Var(a X + b) = a Var(X) Var(aX) = a Var(X) Var(X+b) = Var(X) No vale e geeral para variazas ua expresió similar a b) o b*). Pero sí vale para el caso particular de que las variables aleatorias sea idepedietes. b) Si X e Y so dos variables aleatorias idepedietes etoces (o demostramos por ahora esta propiedad) Var( X + Y) = Var(X) + Var(Y) b*) (geeralizació de b) Si X 1, X,... X so vs. as. idepedietes etoces Var( X i = Var( i= 1 i= 1 X i ) Recordemos que coozco la f.p.p. de u v.a. discreta coozco la distribució de esa variable Alguas distribucioes discretas usadas como modelos. Vamos a ver ahora alguas f.p.p. que so las más usadas : Las distribucioes: i) Biomial (y su caso particular la distribució de Beroulli) ii) de Poisso. Distribució de Beroulli: U caso particularmete simple, pero que a pesar de ello se usa muchas veces es el de las variables aleatorias que sólo toma dos valores 0 y 1. De ua v.a. así se dice que tiee distribució de Beroulli. Si llamamos p a la P(X=1), su fució de probabilidad es de la forma: x 0 1 p(x) 1-p p Su esperaza y variaza vale: E(X) = p, Var(X) = p(1-p) (demostrarlo). Distribució Biomial Ejemplo previo ro. 1: Se tira 5 veces u dado equilibrado. X es el úmero de veces que sale as. Ej. previo ro. : U jugador juega 10 veces a primera docea e la ruleta. Sea X el úmero de veces que gaa. 40
E estos dos ejemplos y e muchos otros el experimeto aleatorio cumple las siguietes codicioes: 1) El experimeto aleatorio cosiste e repetir veces ua prueba (el úmero es fijo) ) E cada prueba se observa si sale o o u eveto. Llamemos E al eveto que os iteresa y F a su complemeto. (La letra E viee de éxito y la F de fracaso ). 3) Las repeticioes se hace e iguales codicioes. O sea que P(E) es la misma e todas las pruebas. Llamemos p=p(e). 4) Las repeticioes se realiza e forma idepediete. O sea el resultado de ua prueba o ifluye sobre las otras. Sea X la variable aleatoria: X = úmero de veces que sale E e las pruebas. Nos va a iteresar calcular la f.p.p. de X. -Defiició: U experimeto aleatorio que cumple las cuatro codicioes euciadas se llama Experimeto Biomial. Cada prueba se llama Esayo o Prueba de Beroulli. - Veamos que los experimetos previos 1 y so experimetos biomiales. Quié es, E y p e cada uo? Calculemos ahora la f.p.p. de X. Se deduce que (hacerlo) x p x p x p(x) = ( 1 ) si x {0,1,,...,} (14) 0 e caso cotrario Defiició: Si ua v.a. X tiee la fució (14) como f.p.p. etoces se dice que X tiee distribució Biomial co parámetros y p. Se escribe abreviado: Ejemplos: E el ejemplo 1, X ~ Bi (5, 1/6) e el ejemplo, X ~ Bi (10, 1/37) X ~ Bi (,p) Si deseamos e el ej. 1, calcular la probabilidad de que salga as tres veces, o ecesitamos pesar especialmete e este ejemplo, sio simplemete aplicar la expresió (14) 3 5 1 5 P(X=3) = p(3) = 3 6 6 Esta expresió puede evaluarse co ua calculadora o co u programa (atiguamete se usaba tablas). Co el programa Statistix se puede calcular igresado a "Statistics", "Probability Fuctios" y elegir la fució "Biomial(x,,p)". 41
El programa o calcula p(x), sio la fució de distribució acumulada F(x)=P(X x). Por ejemplo si igreso =5, p=0.1666667 (esto es 1/6), x=3, el resultado es: Biomial(3,5,0.1666667) = 0.99666 y si luego pogo x= obtego Biomial(,5,0.1666667) = 0.96451 Como se puede a partir de estos resultados obteer P(X=3)? Otro ejemplo de aplicació de la distribució biomial: U bolillero cotiee N bolitas, de las cuales B so blacas. Se extrae bolitas ( si o co?) reposició y se cueta X= úmero de bolitas blacas extraídas. Qué distribució tiee X? Cometarios: - Si las extraccioes so si reposició, X o es biomial, por que? Pero si N es "grade" e relació a, las extraccioes co o si reposició da resultados similares, y la distribució biomial es ua buea aproximació a la distribució de la variable X. Como receta práctica si N/>0 la aproximació biomial es muy buea. - Hay muchos problemas prácticos similares a la extracció de bolitas. So todos los problemas e los que se elige idividuos al azar de ua població de idividuos de los cuales alguos tiee cierta característica y otros o. Si se cueta el úmero de idividuos co la característica etre los seleccioados, ese úmero se puede cosiderar ua observació de u v.a. co distribució biomial. Cometario: X Bi (1,p) X Beroulli(p) Esperaza y variaza de ua v.a. co distribució biomial. Sea X ~ Bi(,p). Etoces E(X) = p (demostrarlo) Var(X) = p(1-p) 4
Distribució de Poisso Defiició: Se dice que ua v.a. X tiee distribució de Poisso co parámetro λ si su fució de probabilidad putual es: p(x) = x λ λ e x! si x {0,1,,...} (15) "X tiee distribució de Poisso co parámetro λ" se abrevia así: X ~ P(λ) Cometario: La biomial fue derivada a partir de u experimeto aleatorio, que cosistía e repetir ua prueba. No existe u experimeto simple que permita deducir la f.p.p. de Poisso. Como se le ocurrió a Poisso esta f.p.p.? La obtuvo como límite de la f.p.p. biomial, como veremos luego. Para que sirve? Sirve como modelo aproximado para las f.p.p. de variables aleatorias del siguiete tipo: a) Número de pulsos que cueta u medidor de radiació e u itervalo de logitud fijada (digamos de 3 miutos). La distribució de Poisso dá ua muy buea aproximació a la distribució de esta variable y por lo tato a la variabilidad de la medició. b) Número de accidetes que ocurre e ua semaa e la ruta Bs.As.-Córdoba. c) Número de llamadas telefóicas que llega a u comutador etre las 1 y las 1 y 15. d) Número de clietes que etra a u egocio etre las 14 y las 15. e) Número de parásitos que cueta u laboratorista e u volume (fijo) de sagre. (Me refiero a la variabilidad de la medició, o sea lo que tiee distribució de Poisso so repetidas medicioes para la misma sagre, o para sagre de distitos idividuos). Luego discutiremos por qué o bajo qué suposicioes este tipo de variables aleatorias tiee ua f.p.p. que se puede aproximar por la de Poisso. Demostrar que (15) cumple las propiedades de ua f.p.p. Esperaza y Variaza: Si X ~ P(λ) etoces E(X) = λ y Var(X) = λ Demostrarlo. 43
Nos habíamos pregutado como había surgido la f.p.p. llamada de Poisso? Acá está la respuesta: se dedujo como límite de la biomial. Se puede demostrar que la f.p.p. biomial se parece a la de Poisso si es grade y p pequeño : x p x ( 1 p) x x λ x! e λ co λ = p Receta: la aproximació es buea cuado 100, p 0.01 y p 0. Pero aú para o ta grades i p ta pequeños la aproximació puede ser bastate satisfactoria, como se ve e el siguiete ejemplo. Ejemplo: Sea X~Bi(=0,p=0.05). 0 18 P(X=) = 0.05 0.95 = 0. 189 Aproximado la f.p.p. biomial por la de Poisso co λ=p=0*0.05=1: P(X=) 1! e = 0.184 1 Otra forma de deducir la distribució de Poisso: "Proceso de Poisso". Otra forma de deducir la distribució de Poisso es cosiderar evetos que ocurre al azar e cualquier mometo del tiempo. U ejemplo clásico es el de los pulsos que cueta u medidor de radiactividad. Si se hace tres suposicioes sobre la forma e la que ocurre los evetos, se puede demostrar que el úmero de evetos e u itervalo de tiempo de logitud fija es ua v.a. co distribució de Poisso. Proceso de Poisso: Ocurre evetos al azar e cualquier istate del tiempo, de modo que se cumple las siguietes suposicioes: 1. Existe u parámetro α>0 tal que la probabilidad de que ocurra u eveto e u itervalo de logitud t (co t "pequeño") es aproximadamete α. t (o sea es proporcioal a la logitud del itervalo). Escrita rigurosamete la suposició es: P(ocurra u itervalo etre t y t+ t)= α. t + o( t) Cometario: la otació o(h) sigifica que es ua fució de h que tiede a cero más rápido que h, e el setido siguiete: 44
lim h 0 o(h) h = 0. La probabilidad de que ocurra dos o más evetos e u itervalo de logitud "pequeña" t es despreciable. Rigurosamete P(ocurra dos o más evetos etre t y t+ t) = o( t) 3. Sea t 1 <t <t 3 <t 4. Etoces el úmero de evetos que ocurre e el itervalo [t 3,t 4 ] es idepediete del úmero de evetos que ocurre e el itervalo [t 1,t ]. Proposició (o la demostraremos): Si se cumple las tres suposicioes del proceso de Poisso, se puede demostrar que si [t 1,t ] es cualquier itervalo y llamo etoces X ~ P(α (t-t1)) X = úmero de evetos e el itervalo [t 1,t ] Observació: De la proposició aterior y del hecho de que el parámetro de la Poisso es su esperaza, deducimos que, bajo las suposicioes 1 a 3, el valor esperado de evetos e u itervalo es α por la logitud del itervalo. Por lo tato el sigificado itutivo de α es "el valor medio de evetos que ocurre e ua uidad de tiempo". Obviamete el valor de α depede de la uidad e la que midamos el tiempo. Ejemplo: Los clietes llega a u egocio siguiedo u proceso de Poisso co ua media de 1 clietes por hora. Cuál es la probabilidad de que llegue por lo meos dos clietes e u itervalo de 15 miutos? Respuesta: 0.801 (se puede obteer co ua calculadora o co el Statistix). E que forma tiee que llegar los cliete para que se cumpla aproximadamete las suposicioes del proceso de Poisso? Extesioes del proceso de Poisso: Hemos defiimos el proceso de Poisso e la forma clásica e la que los evetos ocurre e distitos istates del tiempo. Pero la misma idea puede ser aplicada tambié a evetos que se puede observar e distitos putos de ua regió de dos o tres dimesioes (ejemplo: árboles e u campo, o parásitos e ua gota de sagre). Se puede formular suposicioes similares a las ateriores 1 a 3 y demostrar que si X= úmero de evetos e u subcojuto A de la regió etoces X ~ P(α * volume(a)) (reemplazado volume por área si la regio es e dos dimesioes). El sigificado ituitivo de α es e estos casos "el valor medio de evetos que ocurre e ua uidad de volume (o e ua uidad de área)". 45