CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA Incertdumbre de la Medcón: Teoría y Práctca (1 ra Edcón) Autores: Sfredo J. Sáez Ruz Lus Font Avla Maracay - Estado Aragua - Febrero 001 Copyrght 001 L&S CONSULTORES C.A. Calle Urdaneta, Nº A, 1 er Pso, entre Avenda Aragua y Calle Smón Rodríguez (a 100 m del C.C. Maracay Plaza) - Maracay, Estado Aragua Master-Telefax: (043) 35 86 86 Telf: (043) 36 38 89 e-mal: lsconsultores@hotmal.com
TABLA DE CONTENIDO Tabla de contendo Introduccón. Capítulo 1. Fundamentos de metrología. Capítulo. Capítulo 3. Capítulo 4. Capítulo 5. Capítulo 6. Bblografía. 1.0. La medcón.... 1.1. Instrumento de medcón.... 4 1.. Materal de referenca.... 6 Incertdumbre..0. Defncón de ncertdumbre.....1. Fuentes de ncertdumbre...... Componentes de ncertdumbre.... 3.3. Error e ncertdumbre.... 4 Procedmentos estadístcos útles. 3.0. Funcón de dstrbucón de la varable aleatora.... 3.1. Característcas numércas de la varable aleatora.... 3 3.. Ejemplos de funcones de dstrbucón.... 8 3.3. Método de los mínmos cuadrados.... 1 Proceso de estmacón de la ncertdumbre estándar. 4.0. Introduccón.... 4.1. Especfcacón del mensurando.... 4 4.. Identfcacón de las fuentes de ncertdumbre y análss.... 6 4.3.Evaluacón de la ncertdumbre estándar.... 7 Incertdumbre del resultado de la medcón. 5.0. Incertdumbre combnada.... 5.1. Incertdumbre expandda.... 5 5.. Informe de los resultados.... 11 5.3. Crteros de conformdad.... 14 Ejerccos. Págna de
CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA Incertdumbre de la Medcón: Teoría y Práctca Introduccón
INTRODUCCION Introduccón El resultado de una medcón no está completo s no posee una declaracón de la ncertdumbre de la medcón con un nvel de confanza determnado. De nngún modo es la ncertdumbre de la medcón un térmno equvalente al error de la medcón o a la precsón de la msma bajo condcones de repetbldad o reproducbldad. La ncertdumbre de la medcón, calfcada en ocasones como un gran problema, verdaderamente no lo es y no exste stuacón real alguna donde lo sea, smplemente que su cálculo juzga por sí msmo cuánto conocemos de los procesos de medcón en los que nos desempeñamos día a día, el nvel de la gestón de la caldad de los msmos, y por consguente saca a relucr las vrtudes y los defectos de los sstemas de aseguramento metrológco que soportan todas las medcones que realzamos. El análss puede llevarnos a evaluar la caldad de las medcones desde los nveles más bajos de exacttud hasta los nveles más altos de exacttud en las cadenas de trazabldad que tenemos establecdas. El presente curso establece las reglas generales para la evaluacón y expresón de la ncertdumbre de la medcón, las cuales pueden segurse a dferentes nveles de exacttud y en muchos campos de las medcones, desde la metrología centífca hasta la metrología ndustral. Por lo tanto, se pretende que los prncpos que se analzan sean aplcables a una ampla gama de medcones, ncluyendo aquellas requerdas para: Mantener el control de la caldad y al aseguramento de la caldad en la produccón (ya sea en sstemas de gestón de la caldad basados en las normas COVENIN-ISO 9000: 000 u otros); Cumplr con leyes y reglamentos oblgatoros (emtdos por órganos de acredtacón naconales o nternaconales, SENCAMER); Conducr proyectos de nvestgacón y desarrollo aplcados a la cenca y a la ngenería; Calbracón de patrones e nstrumentos y realzacón de ensayos a través de un sstema naconal de medcones con la fnaldad de lograr la trazabldad a patrones naconales; Desarrollar, mantener, y comparar los patrones de referenca físcos naconales e nternaconales, ncluyendo los materales de referenca. Desde el punto de vsta más elemental, la medcón es un proceso que tene por objetvo determnar el valor de una magntud partcular, es decr del mensurando, sguendo una sere de operacones ben defndas, las cuales deben estar documentadas. Este proceso ncluye el acto en sí de medr para la adquscón de los datos, el procesamento de los msmos y la expresón del resultado fnal. Sempre que se realza una medcón nevtablemente se cometen errores debdo a muchas causas, algunas pueden ser controladas y otras son ncontrolables o nclusve desconocdas. Por lo tanto, para realzar medcones con caldad y obtener resultados confables es necesaro que la persona que realza la medcón tenga el conocmento, la técnca y la dscplna necesaros. El conocmento y la comprensón de la metrología como Págna de 3
INTRODUCCION cenca de las medcones, y el domno los nstrumentos de medcón empleados. La técnca adqurda con el hábto de medr que lleva a la formacón de la experenca y al desarrollo de habldades, nsusttubles sempre que se han de realzar buenas medcones. La dscplna que sólo se consgue pensando antes de hacer, sobre la base de procedmentos normalzados, y realzando las operacones ordenadamente, regstrando correctamente los resultados. Cuando se expresa el resultado de la medcón, además del valor estmado del mensurando, es necesaro evaluar y expresar la ncertdumbre de la medcón como valoracón de la caldad del resultado de la medcón. La ncertdumbre de la medcón es consderada como una fgura de mérto, es decr, un índce de caldad de la medcón que proporcona una base para la comparacón de los resultados de las medcones, dando una medda de la confabldad en los resultados. La Guía BIPM/ISO para la expresón de la ncertdumbre en las medcones es el documento de referenca oblgada sempre que se desea abordar el tema de la ncertdumbre, por abarcar de una forma teórca y profunda dcho tema. Este documento srve de referenca a este curso conjuntamente con otros documentos elaborados por prestgosas organzacones naconales e nternaconales que permten realzar al análss de la ncertdumbre de una forma más clara. Entre dchas organzacones se encuentran NIST, EURACHEM, EAL, UKAS, OIML, entre otras. La mayoría de las medcones son realzadas con nstrumentos sujetos a la calbracón o verfcacón peródca. S se conoce que estos nstrumentos están en conformdad con los errores máxmos permsbles establecdos en sus especfcacones o en documentos normatvos aplcados y que las dferentes fuentes de ncertdumbre que ntervenen en el proceso de medcón pueden ser cuantfcadas o mnmzadas, la ncertdumbre asocada con el resultado de la medcón puede ser calculada para la totaldad de las stuacones práctcas. El manual está dvddo en ses capítulos. En el Capítulo 1 Fundamentos de metrología se abordan una sere de conceptos relatvos al proceso de medcón y al nstrumento de medcón. El Capítulo Incertdumbre abarca la defncón de ncertdumbre, las fuentes de ncertdumbre y se dscuten las marcadas dferencas entre la ncertdumbre y el error como parámetros de la medcón. Una sere de herramentas de estadístca y probabldad son tratadas en el Capítulo 3 Procedmentos estadístcos útles, como base necesara para la comprensón y ejecucón de los cálculos. En el Capítulo 4 Proceso de estmacón de la ncertdumbre se analza dcho proceso como tal, culmnando con la cuantfcacón de componentes ndvduales de ncertdumbre estándar. La combnacón de las dferentes componentes ndvduales para obtener una ncertdumbre combnada y luego una ncertdumbre expandda es descrta en el Capítulo 5 Incertdumbre del resultado de la medcón, conjuntamente con la emsón de crteros de conformdad basados en la ncertdumbre calculada. La ejerctacón se logra a través del Capítulo 6 Ejerccos, donde son estudados un conjunto de ejerccos con fnes teórcos, práctcos y metodológcos para el desarrollo de habldades en la solucón de problemas reales. Págna 3 de 3
CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA Incertdumbre de la Medcón: Teoría y Práctca Capítulo 1 Fundamentos de Metrología
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA Capítulo 1 Fundamentos de metrología 1.0 La medcón El objetvo de una medcón es determnar el valor de la magntud específca a medr, denomnada mensurando. Durante la realzacón de una medcón ntervenen una sere de factores que determnan su resultado: El objeto de medcón; El procedmento de medcón; Los nstrumentos de medcón; El ambente de medcón; El observador; El método de cálculo. Además del propo mensurando, el resultado de la medcón está afectado por las denomnadas magntudes de nfluenca. En un sentdo amplo se consdera que las magntudes de nfluenca ncluyen no sólo las que se referen a las condcones ambentales, como son la temperatura, la presón barométrca y la humedad, sno tambén fenómenos tales como las fluctuacones breves de los nstrumentos de medcón, valores asocados con patrones de medcón y datos de referenca de los cuales puede depender el resultado de la medcón. Una medcón comenza con una especfcacón apropada del mensurando, del método de medcón y de los procedmentos de medcón. El método de medcón es la secuenca lógca de operacones, generalmente descrtas, usada en la ejecucón de las medcones de acuerdo con un prncpo de medcón determnado. Entre ellos podemos menconar: el método de susttucón, el método dferencal, el método de cero, etc. El procedmento de medcón es el conjunto de operacones, descrtas de forma específca, utlzadas en la ejecucón de medcones partculares, de acuerdo a un método de medcón determnado. El procedmento de medcón se regstra en un documento y contene un nvel sufcente de detalle, que le permte a un operador realzar la medcón sn nformacón adconal. El prncpo de medcón es el fundamento centífco del método de medcón. Como ejemplos podemos ctar: el efecto termoeléctrco aplcado a la medcón de temperatura, la ecuacón de Nerst que relacona el voltaje (mv) y la temperatura (ºC) con el ph, el prncpo del equlbro hdrostátco en las medcones de presón, etc. Págna de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA Cuando hacemos referenca a repetr una medcón bajo las msmas condcones (condcones de repetbldad), esto sgnfca que nnguno de los factores que ntervenen en la medcón camban, es decr: El msmo mensurando; El msmo observador; El msmo nstrumento de medcón, utlzado bajo las msmas condcones; El msmo lugar; La repetcón de la medcón en un corto ntervalo de tempo. La repetbldad de los resultados de las medcones caracterza el acuerdo más cercano entre los resultados de medcones sucesvas del msmo mensurando llevadas a cabo bajo condcones de repetbldad. La repetbldad puede ser expresada cuanttatvamente en térmnos de las característcas de dspersón de los resultados. Cuando las medcones se repten bajo dstntas condcones, se habla entonces de su reproducbldad. Las dstntas condcones pueden nclur: El prncpo de medcón o el método de medcón; El observador; El nstrumento de medcón; El patrón de referenca; La ubcacón; Las condcones de uso; El tempo. La reproducbldad de las medcones caracterza el acuerdo más cercano entre los resultados de medcones del msmo mensurando llevadas a cabo bajo condcones de reproducbldad. Para que una expresón de reproducbldad sea válda es necesaro especfcar las condcones que varían. La reproducbldad puede ser expresada cuanttatvamente en térmnos de las característcas de dspersón de los resultados. Para caracterzar cualtatvamente la caldad de una medcón se utlza el térmno exacttud. La exacttud de la medcón es la cualdad que refleja el grado de concordanca entre el resultado de la medcón y un valor verdadero del mensurando. Se recomenda no utlzar el térmno precsón en lugar de exacttud. La precsón caracterza el grado de concordanca entre resultados de ensayos ndependentes, obtendos bajo condcones estpuladas. Págna 3 de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA El térmno precsón está relaconado con la repetbldad y la reproducbldad. Las meddas de precsón son estmadas bajo condcones de repetbldad y reproducbldad, aunque frecuentemente, la precsón es tomada como una smple medda de repetbldad. El térmno precsón, así como los térmnos exacttud, repetbldad, reproducbldad e ncertdumbre, son térmnos que deben ser utlzados con cudado y no pueden ser usados como snónmos o para etquetar cantdades estmadas. Por ejemplo la expresón la precsón de los resultados de la medcón expresados como una desvacón estándar obtenda bajo condcones de repetbldad es 0, ph, es aceptada; pero la expresón la precsón de los resultados de la medcón es 0, ph, no es aceptada. 1.1 Instrumento de medcón Se denomna nstrumento o aparato de medda a todo dspostvo destnado a realzar una medcón, sólo o con dspostvos suplementaros. El térmno así defndo según la norma COVENIN 55:1999 (OIML V:1993), srve de denomnacón común y comprende: meddas materalzadas, materales de referenca, nstrumentos ndcadores, transductores, etc., los cuales pueden agruparse y conformar sstemas de medcón. Independentemente de sus dseños, prncpos de funconamento y magntudes que mden, a los nstrumentos de medcón les son comunes una sere de característcas metrológcas, entre las que se encuentran: Rango de ndcacón: Conjunto de los valores lmtados por las ndcacones extremas del nstrumento de medcón. El rango es normalmente expresado en térmnos de sus límtes nferor y superor. Por ejemplo, para un termómetro el rango de medcón es de (100 a 00) º C. Valor nomnal: Valor redondeado o aproxmado de una característca de un nstrumento de medcón que srve de guía para su utlzacón. En el caso de las meddas materalzadas este valor caracterza la magntud por ella reproducda. Por ejemplo: El valor 10 g para una pesa; El valor 0,1 mol/l de la concentracón en cantdad de sustanca de una solucón de ácdo clorhídrco, HCL; El valor 0 ml para una ppeta de un trazo; El valor 5 ºC para el punto de control de un baño termostátco. Págna 4 de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA Intervalo de medcón: Módulo de la dferenca entre los dos límtes de un rango nomnal. Por ejemplo: Para un manómetro de rango de medcón de (-5 a 30) ps, el ntervalo de medcón es de 35 ps; Para un meddor de ph de rango de medcón de (0 a 14) ph el ntervalo de medcón es de 14 ph. Valor de dvsón: Dferenca entre los valores correspondentes a dos marcas sucesvas de la escala. Por ejemplo, 0,5 ºC para un termómetro cuya menor dvsón en su escala tene ese valor. Resolucón (de un dspostvo ndcador): Menor dferenca entre ndcacones de un dspostvo ndcador que puede ser dstnguda sgnfcatvamente. Para un nstrumento de ndcacón dgtal, es el cambo en la ndcacón cuando el dígto menos sgnfcatvo camba en un paso (se ncrementa o decrementa). Condcones nomnales de funconamento: Condcones de utlzacón para las cuales, se proyecta que las característcas metrológcas especfcadas de un nstrumento de medcón estén comprenddas entre límtes dados. Las condcones nomnales de funconamento especfcan generalmente el rango o valores nomnales de la magntud a medr y de las magntudes nfluyentes. Condcones límtes: Condcones extremas que puede soportar un nstrumento de medcón sn dañarse y sn degradarse sus característcas metrológcas especfcadas, cuando es utlzado posterormente bajo condcones nomnales de funconamento. Las condcones límtes pueden comprender valores límtes para el mensurando y para las magntudes nfluyentes y las msmas pueden corresponder al almacenamento, transportacón y operacón. Por ejemplo: Un ndcador - controlador de temperatura que utlza como transductor prmaro una termocupla de tpo J refere en el manual del fabrcante: Temperatura de operacón: (0 a 55) ºC; Temperatura de almacenamento: - (0 a 70) ºC. Págna 5 de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA Establdad: Apttud de un nstrumento de medcón para mantener constante en el tempo sus característcas metrológcas. Transparenca: Apttud de un nstrumento de medcón de no modfcar la magntud a medr. Error máxmo permsble de un nstrumento de medcón: Es el valor extremo del error permsble por especfcacones, regulacones, etc., para un nstrumento de medcón dado. Relaconado con los errores máxmos permsbles de los nstrumentos de medcón está el concepto de clase de exacttud, el cual se utlza frecuentemente para caracterzar la exacttud de un nstrumento. Se denomna clase de exacttud a una clase de nstrumentos de medcón que cumple determnados requstos metrológcos que están destnados a mantener los errores dentro de límtes específcos. Una clase de exacttud se ndca habtualmente por un número o símbolo adoptado por conveno y denomnado índce de clase. Exacttud de un nstrumento de medcón: Apttud de un nstrumento de medcón para dar respuestas cercanas al valor verdadero del mensurando. La exacttud del nstrumento de medcón es un concepto cualtatvo que refleja la cercanía a cero de sus errores. 1. Materal de referenca Generaldades. Los materales de referenca (MR) y los materales de referenca certfcados (MRC) hacen posble la transferenca de los valores de las magntudes asgnadas o meddas (físca, químca, bológca o tecnológca), entre un lugar y otro. Ellos son amplamente usados para la calbracón de los nstrumentos de medcón, para la evaluacón o verfcacón de los métodos de ensayo ó análss, para el aseguramento de la caldad de las medcones y en el caso de certos MR bológcos o tecnológcos facltar que las propedades sean expresadas convenentemente en undades arbtraras. Todas las clases de MR y MRC juegan un papel mportante y crecente en las actvdades de la normalzacón naconal e nternaconal, en los ensayos de apttud y en la acredtacón de laboratoros. Un materal de referenca es un materal o sustanca, en el cual, uno o más valores de sus propedades son sufcentemente homogéneos y ben establecdos para ser usados en la calbracón de un aparato, la evaluacón de un método de medcón, o para asgnar un valor a un materal. Un materal de referenca puede estar en forma de una sustanca pura o mezclada, y puede estar en forma de gas, líqudo o sóldo. Ejemplos, el agua para la calbracón de los Págna 6 de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA vscosímetros, el zafro como un calbrador de capacdad calorífca en calormetría y las solucones usadas para la calbracón en el análss químco. Un materal de referenca certfcado (MRC) es un materal de referenca, acompañado de un certfcado, en el cual uno o más valores de sus propedades están certfcados por un procedmento que establece la trazabldad para una realzacón exacta de la(s) undad(es) en la que están expresados los valores de la propedad y para los cuales cada valor certfcado está acompañado por una ncertdumbre para un nvel de confanza establecdo. Los MRC están generalmente preparados en lotes, para los cuales los valores de las propedades son determnados dentro de límtes de ncertdumbre establecdos por medcones en muestras representatvas de todo el lote. Las propedades certfcadas de materales de referenca están, en ocasones convenentemente y confablemente realzadas cuando el materal está ncorporado a un dspostvo especalmente fabrcado, por ejemplo, una sustanca de punto trple conocdo dentro de una celda de punto trple, un vdro de densdad óptca conocda dentro de un fltro de trasmsón, esferas de partículas de tamaños unformes montadas sobre un porta objeto de mcroscopo. Tales dspostvos pueden tambén ser consderados como MRC. Todos los MRC se ubcan dentro de la defncón de patrones de medcón dada en la norma COVENIN 55:1999 (OIML V:1993). El usuaro de un MRC debe famlarzarse con toda la nformacón pertnente al uso del MRC, como especfca el productor. El debe cumplr certos factores, como son: El período de valdez del MRC; Las condcones prescrtas para el almacenamento del MRC; Las nstruccones para el uso del MRC; Las especfcacones para la valdez de las propedades certfcadas del MRC. Un MRC no debe ser usado para otro propósto dferente de aquel para el cual fue concebdo. A pesar de esto, de tempo en tempo, cuando un usuaro debe recurrr a la aplcacón de un MRC de una manera ncorrecta debdo a la no dsponbldad de un MRC adecuado, debe estar completamente conscente de los pelgros potencales latentes y luego evaluar los resultados de sus medcones, según el caso. Exsten muchos procesos de medcón, donde los MRC son de uso general, pero son reemplazables por un gran número de patrones de trabajo, tales como: materales homogéneos, materales analzados prevamente, compuestos puros, solucones de elementos puros, etc. Esto se puede aprecar por ejemplo, donde solamente se busca un estmado "grosero" de la veracdad o precsón de un método, donde muestras "cegas" desconocdas de control son usadas rutnaramente en programas de control de la caldad y donde solamente son evaluados la varacón en la veracdad o precsón de un método con algunos parámetros como el tempo, el analsta, el nstrumento, etc. Las ventajas de usar Págna 7 de 8
CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA MRC son que el usuaro tene los medos para evaluar la veracdad y la precsón de sus métodos de medcón y establecer la trazabldad metrológca para sus resultados. Seleccón del materal de referenca. El usuaro del MRC debe decdr cuales propedades del MRC son pertnentes para su proceso de medcón, tenendo en consderacón lo expuesto en el certfcado sobre las ntencones de uso y las nstruccones para el correcto uso del MRC. Nvel. El MRC debe tener propedades del nvel correspondente al nvel en el cual se va a usar en el proceso de medcón, por ejemplo, la concentracón. Matrz. El MRC debe tener una matrz, lo más cercana posble a la matrz del materal que va a ser objeto del proceso de medcón, por ejemplo, carbono en acero de baja aleacón, carbono en acero noxdable. En cuanto a la smltud de la matrz, el laboratoro consderará el hecho de que n es económcamente n técncamente posble, en todos los casos, obtener una coordnacón perfecta entre los MRC y las muestras. La smltud razonable será estmada aceptable. S no, el procedmento analítco completo tene que ser reconsderado. Forma. El MRC puede ser un sóldo, líqudo o gas. Puede ser una peza de ensayo o un artículo manufacturado o un polvo. Puede necestar preparacón. Cantdad. La cantdad del MRC debe ser sufcente para todo el programa expermental, ncluyendo alguna reserva s se consdera necesaro. Evtando tener que obtener posterormente un MRC adconal. Establdad. Sempre que sea posble, el MRC debe tener propedades estables durante el expermento. Exsten tres casos: las propedades son estables y no es necesaro tomar precaucones; cuando el valor certfcado pueda ser nfluencado por las condcones de almacenamento, el recpente debe ser almacenado, tanto antes como después de ser aberto, en la forma descrta en el certfcado; conjuntamente con el MRC se sumnstra un certfcado que defne las propedades (las cuales varían en una proporcón conocda) en períodos específcos. Incertdumbre permsble del valor certfcado. La ncertdumbre del valor certfcado debe ser compatble con los requstos para el uso del materal de referenca. Págna 8 de 8
CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA Incertdumbre de la Medcón: Teoría y Práctca Capítulo Incertdumbre
CAPITULO. INCERTIDUMBRE Capítulo Incertdumbre.0 Defncón de ncertdumbre La ncertdumbre de la medcón es una forma de expresar el hecho de que, para un mensurando y su resultado de medcón dados, no hay un solo valor, sno un número nfnto de valores dspersos alrededor del resultado, que son consstentes con todas las observacones datos y conocmentos que se tengan del mundo físco, y que con dstntos grados de credbldad pueden ser atrbudos al mensurando. La defncón del térmno ncertdumbre (de la medcón) utlzada en este curso y tomada de la norma COVENIN 55:1999 (OIML V:1993) es: Parámetro, asocado con el resultado de una medcón, que caracterza la dspersón de los valores que puderan ser razonablemente atrbudos al mensurando. La defncón de ncertdumbre dada anterormente se enfoca en el rango de valores que el observador cree que podría ser razonablemente atrbudo al mensurando. En general, el uso de la palabra ncertdumbre se relacona con el concepto de duda. La palabra ncertdumbre sn adjetvos se refere a un parámetro asocado con la defncón anteror o al conocmento lmtado acerca de un valor partcular. La ncertdumbre de la medcón no mplca duda acerca de la valdez de un mensurando; por el contraro, el conocmento de la ncertdumbre mplca el ncremento de la confanza en la valdez del resultado de una medcón..1 Fuentes de ncertdumbre En la práctca la ncertdumbre del resultado puede orgnarse de muchas fuentes posbles, entre ellas podemos menconar: a) Defncón ncompleta del mensurando; b) Realzacón mperfecta de la defncón del mensurando; c) Muestreo; Muestreos no representatvos - la muestra medda puede no representar el mensurando defndo. Págna de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE d) Conocmento nadecuado de los efectos de las condcones ambentales sobre las medcones, o medcones mperfectas de dchas condcones ambentales; e) Errores de aprecacón del operador en la lectura de nstrumentos analógcos; f) Resolucón fnta del nstrumento o umbral de dscrmnacón fnto; g) Valores nexactos de patrones de medcón y materales de referenca; h) Valores nexactos de constantes y otros parámetros obtendos de fuentes externas y usados en los algortmos de reduccón de datos; ) Aproxmacones y suposcones ncorporadas en los métodos y procedmentos de medcón; j) Varacones en observacones repetdas del mensurando bajo condcones aparentemente guales. Las fuentes analzadas en este epígrafe no son necesaramente ndependentes, y algunas de las fuentes desde la a) hasta la ) pueden contrbur a la fuente j). El resultado de una medcón está completo úncamente cuando está acompañado por una declaracón cuanttatva de la ncertdumbre, que expresa la caldad del msmo y permte valorar la confabldad en este resultado.. Componentes de ncertdumbre En la estmacón de toda la ncertdumbre puede ser necesaro tomar cada fuente de ncertdumbre y tratarla separadamente para obtener la contrbucón de cada fuente. Cada una de las contrbucones separadas a la ncertdumbre es referda como una componente de ncertdumbre. Cuando es expresada como una desvacón estándar una componente de ncertdumbre es conocda como una ncertdumbre estándar. S hay correlacón entre cualquera de las componentes entonces ésta tene que ser tomada en cuenta determnándose la covaranza. Sn embargo, es posble frecuentemente evaluar el efecto combnado de varas componentes. Esto puede dsmnur todo el esfuerzo envuelto y, cuando las componentes cuya contrbucón es evaluada en común están correlaconadas, puede no haber necesdad adconal de tomar en cuenta la correlacón Para un resultado de una medcón y, la ncertdumbre total, denomnada ncertdumbre estándar combnada y denotada por u c (y), es una desvacón estándar estmada gual a la raíz cuadrada postva de la varanza total obtenda por la combnacón de todas las componentes de la ncertdumbre, evaluada por lo tanto, utlzando la ley de propagacón de ncertdumbre. Págna 3 de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE Para la mayoría de los propóstos en las medcones, puede ser utlzada una ncertdumbre expandda U(y). La ncertdumbre expandda sumnstra un ntervalo dentro del cual el valor del mensurando se cree caer con un alto nvel de confanza. U(y) es obtenda por la multplcacón de u c (y), la ncertdumbre estándar combnada, por un factor de cobertura k. La eleccón del factor k está basada en el nvel de confanza deseado. Para un nvel de confanza aproxmado de 95 %, k es. El factor de cobertura sempre debe ser señalado para que la ncertdumbre estándar combnada de la magntud medda pueda ser recuperada, para usarse en el cálculo de la ncertdumbre estándar combnada de otros resultados de medcones que pueden depender de la magntud..3 Error e ncertdumbre En general, todo procedmento de medcón tene mperfeccones que dan lugar a un error en el resultado de la medcón, lo que provoca que el resultado sea sólo una aproxmacón o estmado del valor del mensurando. Es mportante dstngur entre error e ncertdumbre. El error es defndo como la dferenca entre un resultado ndvdual de una medcón y el valor verdadero del mensurando. Es decr el error es un smple valor. En prncpo el valor de un error conocdo puede ser aplcado como una correccón al resultado de una medcón. El valor verdadero del mensurando es aquel que caracterzaría dealmente al resultado de la medcón, o sea, el que resultaría de una medcón "perfecta". El error es un concepto dealzado y los errores no pueden ser conocdos exactamente. La ncertdumbre, por otro lado, toma la forma de un rango, y, s es estmada para un procedmento de medcón, puede aplcarse a todas las determnacones descrtas en dcho procedmento. En general, el valor de la ncertdumbre no puede utlzarse para corregr el resultado de una medcón. Para lustrar la dferenca, el resultado de una medcón después de la correccón puede estar muy cercano al valor del mensurando, y por lo tanto tener un error desprecable. Sn embargo, la ncertdumbre puede todavía ser muy grande, smplemente porque la persona que ejecuta la medcón está muy nsegura de cuán cercano está el resultado del valor del mensurando. La ncertdumbre del resultado de una medcón nunca debe ser nterpretada como la propa representacón del error n como el error remanente después de la correccón. Es consderado que un error tene dos componentes una componente sstemátca y una componente aleatora. Págna 4 de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE El error aleatoro normalmente se orgna de varacones mpredecbles de magntudes nfluyentes. Estos efectos aleatoros dan orgen a varacones en observacones repetdas del mensurando. El error aleatoro del resultado de una medcón no puede ser compensado por el ncremento del número de medcones, pero este puede normalmente ser dsmnudo por tal ncremento. La desvacón estándar expermental de la meda artmétca o promedo de una sere de observacones no es el error aleatoro de la meda, aunque esto es así referdo en algunas publcacones de ncertdumbre. En vez de esto, es una medda de la ncertdumbre de la meda debdo a algunos efectos aleatoros. El valor exacto del error aleatoro en la meda, orgnado de estos efectos, no puede ser conocdo. El error sstemátco es defndo como la componente de error la cual en el curso de un número de medcones del msmo mensurando, permanece constante o varía de una forma predecble. Este es ndependente del número de medcones llevadas a cabo y no puede por lo tanto ser dsmnudo por el ncremento del número de medcones bajo condcones constantes de medcón. Los errores sstemátcos constantes, tal como la nexacttud en la calbracón en múltples puntos de un nstrumento, son constantes para un nvel dado del valor del mensurando pero pueden varar con el nvel del valor meddo. Los efectos que camban sstemátcamente en magntud durante una sere de medcones, causados, por ejemplo por el nadecuado control de las condcones expermentales, dan orgen a errores sstemátcos que no son constantes. Ejemplos: Un ncremento gradual en la temperatura de un conjunto de muestras durante un análss químco puede conducr a cambos progresvos en el resultado; Los sensores y pruebas que muestran efectos de envejecmento sobre la escala de tempo de un expermento pueden además ntroducr errores sstemátcos no constantes. El resultado de una medcón debe ser corregdo para todos los efectos sstemátcos sgnfcatvos reconocdos. El valor que es sumado algebracamente al resultado no corregdo de una medcón, para compensar el error sstemátco se denomna correccón. El factor numérco por el cual se multplca el resultado no corregdo de una medcón para compensar el error sstemátco se denomna factor de correccón. Los nstrumentos y sstemas de medcón son frecuentemente ajustados o calbrados utlzando patrones de medcón y materales de referenca para corregr efectos sstemátcos. Las ncertdumbres asocadas con estos patrones y materales de referenca y la ncertdumbre de la correccón tene que ser tomada en cuenta. Págna 5 de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE Otro tpo de error es el error grosero (error espuro). Los errores de este tpo nvaldan una medcón y normalmente se orgnan de fallas humanas o de mal funconamento del nstrumento. Como ejemplos comunes de este tpo de error se encuentran: la transposcón de dígtos en un número mentras se regstran los datos, una burbuja de are que fluye a través de la celda de un espectrofotómetro, etc. Las medcones para las cuales los errores groseros han sdo detectados deben ser desprecadas y nngún ntento debe ser hecho para ncorporar los errores a cualquer análss estadístco. Sn embargo los errores tales como la transposcón de dígtos pueden ser corregdos (exactamente). Los errores groseros no sempre son obvos y, cuando un número sufcente de medcones repetdas está dsponble, es normalmente apropado aplcar una prueba de frontera para chequear la presenca de membros sospechosos en el conjunto de datos. Cualquer resultado postvo obtendo de tal prueba debe ser consderado con cudado y, cuando sea posble referdo al orgen para la confrmacón. La ncertdumbres estmadas utlzando la metodología descrta en este curso no tene en cuenta los errores groseros. Errores de medcón. Errores nstrumentales. La prmera fuente de error es la propa lmtacón de los nstrumentos de medcón que utlzamos, los cuales podemos consderarlos de dos tpos fundamentales: 1. Los errores que se determnan en el proceso de calbracón del nstrumento, los cuales son debdos al propo dseño estructural del nstrumento de medcón, a las propedades de los materales que lo componen, a mperfeccones en la tecnología de su fabrcacón y al envejecmento de sus partes componentes durante el proceso de su explotacón. De acuerdo a la exacttud prevsta en la medcón, estos errores nstrumentales pueden dsmnurse en gran medda, ntroducendo las correccones correspondentes reportadas en su certfcado de calbracón. De hecho, todo nstrumento de medcón debe ser calbrado peródcamente, ya que de otra forma no se puede asegurar s las lecturas proporconadas por el msmo son o no correctas. S un nstrumento de medcón tene su calbracón vgente y ha sdo usado correctamente, se puede afrmar que sus errores están dentro de los límtes del error máxmo permsble especfcados en la documentacón correspondente.. Errores que surgen a consecuenca de la nfluenca del nstrumento de medcón sobre las propedades del objeto o fenómeno que se mde. Tales stuacones surgen, por ejemplo, al medr la longtud cuando el esfuerzo de medcón del nstrumento utlzado es demasado grande, al regstrar procesos que ocurren con rapdez con equpos que funconan nsufcentemente rápdo; al medr la temperatura con termómetros de líqudo, Págna 6 de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE etc. En especal esto debe tenerse en cuenta en los nstrumentos eléctrcos y electróncos, puestos que estos para producr una ndcacón, precsan energía que ha de ser proporconada por el crcuto donde se realza la medcón. Aunque la caldad de un nstrumento está relaconada con los errores que produce, éstos tambén dependen de la forma en que sean utlzados. Por tanto, se recomenda conocer lo mejor posble las característcas de un nstrumento antes de utlzarlo. S no se cumplen los requstos establecdos en el manual técnco del nstrumento de medcón dado, tales como condcones nomnales de funconamento, tempo de precalentamento, correcta nstalacón, etc., el error de medda puede ser bastante mayor que el esperado. Errores de método. Los errores de método, tambén denomnados errores teórcos, son los debdos a la mperfeccón del método de medcón. Entre estos podemos señalar los sguentes: 1. Errores que son la consecuenca de certas aproxmacones al aplcar el prncpo de medcón y consderar que se cumple una ley físca determnada o al utlzar determnadas relacones empírcas.. Errores del método que surgen al extrapolar la propedad que se mde en una parte lmtada del objeto de medcón al objeto completo, s éste no posee homogenedad de la propedad medda. Por ejemplo, cuando determnamos la densdad de una sustanca a partr de la masa y el volumen de una muestra que contenía certo grado de mpurezas y el resultado se consdera que caracterza a la sustanca dada. Errores debdo a agentes externos. Los agentes externos que actúan en el proceso de medcón se pueden clasfcar en dos grupos: 1. Factores ambentales. Tanto la magntud a medr como la respuesta de los nstrumentos de medcón, dependen en mayor o menor grado de las condcones ambentales en que el proceso se lleva a cabo. Como varables ambentales ctaremos la temperatura, la humedad y la presón, la prmera es sn duda la más sgnfcatva. Es necesaro consderar además el nvel de lumnacón, la contamnacón del ambente, el nvel de polvo, etc.. Presenca de señales o elementos parástos. Los elementos parástos que generalmente se presentan al efectuar una medcón, pueden ser de dos tpos: Los que ncden sobre la medcón de forma errátca, perturbando las condcones de equlbro del sstema de medcón y dsmnuyendo su exacttud. Por ejemplo, vbracones mecáncas, correntes de are, zumbdos de la red eléctrca y señales de radofrecuenca. Estas señales perturbadoras producen en certos casos un rudo de Págna 7 de 8
CAPITULO. INCERTIDUMBRE fondo en la respuesta de los nstrumentos electróncos, o hacen nestable el dspostvo de lectura cuando hay partes mecáncas móvles, producendo efectos aleatoros y aumentando la ncertdumbre de la medcón. Agentes físcos de gual naturaleza que la de la magntud a medr que se hallan presentes de modo práctcamente constante. Por ejemplo, campos electrostátcos o magnetostátcos (como puede ser el campo magnétco terrestre), fuerzas electromotrces termoeléctrcas o de contacto presentes en una nstalacón de medcón, etc. Errores debdos al observador. Entre los errores debdo al observador podemos señalar: - Errores de paralaje o de nterpolacón vsual al leer en la escala de un nstrumento; - Errores debdo a un manejo equvocado del nstrumento; - Omsón de operacones prevas o durante la medcón, como puede ser un ajuste a cero, tempo mínmo de precalentamento, etc. Errores matemátcos. Frecuentemente, con los datos de las medcones es necesaro realzar determnados cálculos para obtener el resultado fnal; por tanto, otra fuente de error son los errores matemátcos que se comenten al emplear fórmulas nadecuadas, redondear las cantdades, etc. Págna 8 de 8
CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA Incertdumbre de la Medcón: Teoría y Práctca Capítulo 3 Procedmentos Estadístcos Utles
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES Capítulo 3 Procedmentos estadístcos útles 3.0 Funcón de dstrbucón de la varable aleatora El resultado de cada observacón realzada en un proceso de medcón depende de la accón de un gran número de factores que varían durante el proceso de medcón de forma ncontrolable (efectos aleatoros), por ejemplo: Pequeñas correntes de are y vbracones; Varacón de la atencón del ojo del observador; Varacones de la temperatura, la humedad y la presón atmosférca; Varacones de los momentos de frccón entre partes móvles de nstrumentos mecáncos; Fluctuacones del voltaje y la frecuenca de la red de almentacón eléctrca. Por esta razón, al repetr muchas veces una medcón obtendremos, en general, dferentes valores en cada realzacón, algunos de los cuales pueden o no repetrse. La experenca demuestra que, por mucho que se trate, es mposble lograr la msma combnacón de factores en cada observacón repetda. Los fenómenos que cumplen estas condcones se llaman fenómenos aleatoros y las varables que los caracterzan se denomnan varables aleatoras. Por tanto, el resultado de una medcón es una varable aleatora, para el tratamento de las cuales se usan los métodos de la teoría de probabldades y la estadístca matemátca. Utlzaremos la letra mayúscula X para denotar la varable aleatora (resultado de la medcón) y su correspondente mnúscula, x, para uno de sus valores. Las varables aleatoras pueden ser: Varables aleatoras dscretas; Varables aleatoras contnuas. Para una varable aleatora dscreta sempre es posble contar su conjunto de resultados posbles. Por ejemplo el número de ítems defectuosos en una muestra de k ítems. Cuando una varable aleatora puede tomar valores en una escala contnua, se le denomna varable aleatora contnua. El resultado de la medcón, como varable aleatora, es una varable aleatora contnua. Págna de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES A contnuacón se aborda un resumen de las prncpales propedades las varables aleatoras contnuas, lo que faclta una mejor comprensón de la evaluacón de la ncertdumbre de la medcón. A pesar del carácter aleatoro de los resultados de las observacones ndvduales repetdas bajo las msmas condcones en un proceso de medcón, en ellos aparece una ley determnada que expresa una regulardad dada. Toda varable aleatora responde a una certa ley de dstrbucón que se expresa a través de la denomnada funcón de densdad de probabldad, o smplemente funcón de densdad de X, la cual se defne de la sguente forma: a X b f x b P dx (3.1) f(x) se denomna funcón de densdad de probabldad. La probabldad de que la varable aleatora tome valores en el ntervalo [a,b] es gual al área bajo la curva acotada por los dos extremos del ntervalo. f(x) a P=(a X b) Fgura 3.1 El valor del área bajo la curva es gual a 1 cuando se calcula en el rango de X para el cual se defne f(x). La funcón de densdad de probabldad consttuye el método más unversal de descrpcón de las varables aleatoras, pues ella ndca al msmo tempo los valores que la varable puede tomar y la probabldad de que los tome. 3.1 Característcas numércas de la varable aleatora a Resulta muy práctco caracterzar la varable aleatora con ayuda de certas cantdades numércas que la caracterzan globalmente. Estas son las llamadas meddas de tendenca central y de dspersón, entre las cuales, las más usadas para el tratamento de los resultados de las medcones y de su ncertdumbre son: la esperanza matemátca, la varanza y la desvacón estándar. b x Págna 3 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES La esperanza matemátca o meda de la poblacón expresa el valor medo de la varable aleatora dada X, medante la ley de dstrbucón de la msma. Desde el punto de vsta geométrco, representa la abscsa del centro de gravedad de la fgura formada por el eje de las abscsas y la funcón de densdad de probabldad (fgura 3.). Sea X una varable aleatora con dstrbucón de probabldad f(x). La esperanza matemátca o valor esperado E(X) de X es dado en la ecuacón 3.. f(x) X x f x E dx (3.) Fgura 3. Desde el punto de vsta de las medcones, este valor que representa el valor medo de la varable aleatora resultante de las observacones ndvduales, se toma precsamente como resultado de la medcón. La dferenca constante entre la esperanza matemátca y el valor del mensurando (Q) representa el error sstemátco de la medcón (fgura 3.3). E(X) X Q E (3.3) Q E(X) x Fgura 3.3 x Págna 4 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES De acuerdo a la defncón de esperanza matemátca, para determnarla sería necesaro contar con nformacón sobre todos los posbles valores que podría tomar la varable aleatora (poblacón). En la práctca, sn embargo, sólo contamos con un número lmtado de observacones (muestra) y, a partr de esta muestra, necestamos estmar el valor de la esperanza matemátca de la varable aleatora. En caldad de estmador de la esperanza matemátca se utlzará la meda artmétca: x (3.4) x 1 n n Puesto que no es posble conocer el valor exacto de la esperanza matemátca (sno sólo su estmado), n tampoco conocemos el valor exacto del mensurando, queda claro que el error sstemátco de la medcón no se puede conocer. La esperanza matemátca nos permte conocer a qué valor tende la varable aleatora, sn embargo, dos varables aleatoras pueden tener la msma esperanza matemátca, pero una tener mayor dspersón de sus valores respecto a la esperanza matemátca que la otra (fgura 3.4). E(X) Fgura 3.4 Esta propedad se caracterza medante la denomnada varanza, que se calcula medante el promedo del cuadrado de las desvacones de la varable aleatora respecto a la esperanza matemátca. X E( X ) x EX V ( X ) E f ( x) dx 1 3 (3.5) La cantdad x E(X ) se denomna desvacón de una observacón respecto a su meda (o error aleatoro). Como la varanza tene dmensones del cuadrado de la magntud aleatora, resulta más cómodo usar la desvacón estándar: 1 3 x Págna 5 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES X VX (3.6) Para estmar la desvacón estándar a partr de los datos de una muestra, por ejemplo, un conjunto de observacones de una magntud partcular tomadas bajo las msmas condcones, se usa la desvacón estándar expermental s(x): Es posble demostrar que: por lo que su estmador será: s x n 1 n 1 x x (3.7) X ( X ) (3.8) n s( x) s( x) (3.9) n El error aleatoro de una observacón vene determnado por: x E(X ) (3.10) a y como (X ) caracterza el promedo de estas desvacones, resulta que mentras mayor es (X ), mayores son los errores aleatoros. Por la msma razón explcada, según la cual, la esperanza matemátca de la varable observada no la podemos conocer exactamente, resulta que tampoco podremos determnar el error aleatoro exacto de una medcón. El error de una medcón (error absoluto) será la suma del error aleatoro y del error sstemátco y permanecerá desconocdo. A menudo los resultados de las medcones de dos magntudes de entrada están lgados, ya sea porque exste una tercera magntud que nfluye sobre ambas, porque se utlza el msmo nstrumento para medr o el msmo patrón para calbrar, o por alguna otra razón. Por ejemplo, en la calbracón de meddas de capacdad de vdro por el método gravmétrco son magntudes de entrada las temperaturas del agua y del ambente. Estas temperaturas están relaconadas aún cuando sus valores pueden ser dferentes. La temperatura del agua será más alta cuando la temperatura ambente lo sea y bajará cuando lo haga la temperatura ambente, es decr exste correlacón entre estas magntudes. Págna 6 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES Desde el punto de vsta estadístco, dos varables son ndependentes cuando la probabldad asocada a una de ellas no depende de la otra, esto es, s X y X j son dos varables aleatoras ndependentes, la probabldad conjunta se expresa como el producto de las probabldades de las varables respectvas: P( X, X j ) P( X ) P( X j ) Cuando se trata de un conjunto de magntudes de entrada que no son ndependentes, sno que los valores de unas dependen de los valores que tomen otras (magntudes correlaconadas), además de la esperanza matemátca y la varanza de cada magntud, tambén se utlza otra característca numérca que es la covaranza y que es una medda de la naturaleza de asocacón entre estas varables. La covaranza, para las varables X y X j, se defne como: X, X EX EX X EX (3.11) j Más frecuentemente se utlza el coefcente de correlacón, el cual estma estadístcamente la ndependenca lneal de dos varables y se defne como: r X, X j X, X j ( X, X j) r( X, X ). ( X ). ( X ) (3.1) j j ( X ). ( X ) j S las varables aleatoras son ndependentes, tanto la covaranza como el coefcente de correlacón son gual a cero. El coefcente de correlacón tene la ventaja sobre la covaranza de que es admensonal, de modo que su valor no depende de las undades de medda selecconadas. Los valores del coefcente de correlacón están comprenddos en el ntervalo -1,1, sendo gual a +1 o a 1 cuando exste una dependenca lneal entre las varables (correlacón total). La covaranza de dos magntudes correlaconadas X y X j que son estmadas a partr de sus medas x, y x j, medante pares de observacones smultáneas, puede ser estmada a partr del conjunto de n valores de x y x j según: k 1 j n 1 s( x, x j ) ( xk x ) ( x jk x j ) (3.13) n( n 1) S Y = f (X 1, X,..., X N ) es una varable aleatora que varía poco para pequeñas varacones de sus argumentos y que es estmada a partr de su meda Y, entonces su desvacón estándar estará dada por: ( Y ) N 1 f X ( X ) N 1 N 1 j1 f X f. X j. ( X j, X j ) (3.14) Págna 7 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES En el caso de que las magntudes X sean ndependentes, el segundo térmno del membro de la derecha será gual a cero y resultará: N f ( Y ) ( X ) (3.15) 1 X S el coefcente de correlacón para todas las X, X j es gual a 1, entonces de (3.1) se derva que : ( X, X ) ( X ) ( X ) j j por lo que la ecuacón (3.14) quedaría en la forma: Y N 1 f X N f ( X ) ( Y) ( X ) (3.16) 1X El valor de (Y ) puede estmarse ( s (y) ) susttuyendo en las ecuacones (3.14), (3.15) y (3.16) las ( X ) por sus estmadores s ( x ) y ( X, X j ) por su estmador s( x, x j ) dado por la ecuacón (3.13). 3. Ejemplos de funcones de dstrbucón En este epígrafe analzaremos un grupo de funcones de dstrbucón de probabldad contnuas que descrben el comportamento del resultado de la medcón. Frecuentemente sucede que de acuerdo a la nformacón de que se dspone, sólo es posble establecer que todos los valores de una varable aleatora están comprenddos en un ntervalo entre a- y a+, y que cualquera de los posbles valores tene gual probabldad de ocurrenca. En este caso se dce que la varable aleatora cumple una funcón (ley) de dstrbucón rectangular o unforme (fgura 3.5). La funcón de dstrbucón rectangular es tambén conocda como dstrbucón unforme contnua. Págna 8 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES f(x) a a Fgura 3.5 La esperanza matemátca de X es el punto medo del ntervalo: con varanza asocada: ( a ) ( ) a E X (3.17) V( X) ( X) ( a a) 1 (3.18) S la dferenca entre los límtes se denota por a, es decr, a a a entonces susttuyendo en (3.18): a a ( X ) ( X ) (3.19) 3 3 La funcón de dstrbucón rectangular se utlza en el cálculo de ncertdumbre cuando: Un certfcado u otra especfcacón ofrecen los límtes sn especfcar un nvel de confanza; Es hecho un estmado en forma de un rango máxmo con desconocmento de la forma de la dstrbucón. EJEMPLOS 1/a a - a + x a a 3 3 a) Un analsta estma un factor de contrbucón como que no es menor que 7 n mayor que 10, pero sente que el valor podría estar en cualquer lugar en entre estos valores, como no hay dea de s cualquer parte del rango es más probable que otra. Esto es una descrpcón de una funcón de dstrbucón rectangular con rango a = 3 (semrango a =1,5). Utlzando la funcón de dstrbucón rectangular puede calcularse un estmado de la desvacón estándar. Utlzando el rango anteror (a = 1,5), el resultado es una desvacón estándar de (1,5/3) = 0,87. Págna 9 de 14
CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES b) Un recpente volumétrco de 10 ml tene un error máxmo permsble de 0, ml. Al consderar los posbles valores del volumen que contene la medda de acuerdo al valor del error máxmo permsble podemos decr que el volumen se encuentra entre : (10,0-0,) ml V (10,0 + 0,) ml y cualquera de los valores comprenddos en este ntervalo tenen la msma probabldad de ocurrenca. Por tanto, podemos 0, consderar que la varable aleatora (volumen) cumple con una ley de dstrbucón rectangular con ( V ) = 0,11 ml. 3 En el caso que la probabldad de que la varable aleatora tome los valores en el ntervalo entre a- y a+, tenga un valor máxmo en el centro del ntervalo y dsmnuya lnealmente haca los extremos del msmo hasta cero, estamos en presenca de una funcón de dstrbucón trangular (fgura 3.6). f(x) 1/a E( X ) a Fgura 3.6 S el ntervalo es smétrco, la varanza de la varable aleatora X será en este caso: a E(X ) a a ( X ) ( X ) (3.0) 6 6 La funcón de dstrbucón trangular se utlza en el cálculo de la ncertdumbre cuando: La nformacón dsponble concernente a X está menos lmtada que para una funcón de dstrbucón rectangular. Los valores cercanos a E(X) son más probables que los cercanos a los límtes; Es hecho un estmado en la forma de un rango máxmo descrto por una dstrbucón smétrca. a E( X ) a x Págna 10 de 14