Puntos de corte - Monotonía y Curvatura funciones simples Septiembre 2015 - Opción B Sea la función f() = 3 9 2 + 8 a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus etremos relativos y de su punto de infleión, si eisten. Reserva-1 2015 - Opción B Se considera la función f() = 3 2 2 + a) (1.3 puntos) Halle los puntos de corte con los ejes, el máimo, el mínimo y el punto de infleión de la función. Reserva-1 2014 - Opción A Sea la función f() = 3 3 2 + 3 a) (1 punto) Estudie la monotonía de f y halle los etremos relativos que posea. b) (0.75 puntos) Estudie su curvatura y calcule su punto de infleión. Reserva-4 2014 - Opción B (2.5 puntos) Represente gráficamente la función f() = 3 6 2 + 12, estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, etremos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. Junio 2013 - Opción A Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función: B(t) = t3 4 3t2 + 9t, 0 t 8 a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y los etremos de B(t). Reserva-2 2013 Opción B Sea la función f() = 1 3 3 + 1 2 2 2 + 3. a) (1 punto) Determine sus máimos y sus mínimos relativos. donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación. Reserva-3 2013 Opción B Sea la función f() = 3 24 2 + 4. a) (1 punto) Halle los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión. c) (0.5 puntos) En el punto de abscisa = 1, la función es creciente o decreciente? Reserva-1 2012 Opción A De la función f se sabe que su función derivada es f () = 3 2 8 + 5. a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f. Reserva-3 2012 Opción A Se considera la función f() = 1 2 +2 a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función. Reserva-4 2012 Opción A Sean dos funciones, f y g, tales que las epresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f () = + 2 y g () = 2. a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g. b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? Septiembre 2011 Opción A a) (1.25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función f() = 4 2+1 Junio 2010 - Opción A Sea la función f() = 2 2 1 3 3. Calcule: a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus etremos relativos. Reserva-3 2009 Opción A Sea la función f() = 3 1. a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, si los tuviese. b) (1 punto) Determine su curvatura y su punto de infleión.
Monotonía y Curvatura funciones a trozos Junio 2015 - Opción B Se considera la función f() = { 2 + 2 si 0 2 8 10 1 si > 2 Es creciente la función en = 3? Junio 2014 Opción B b 2 b + a si 2 Sea la función f definida por f() = { 60 si > 2 b) (1 punto) Para a = 48 y b = 3, estudie la monotonía de f() y calcule sus etremos. Reserva-2 2013 Opción A 2 + 6 5 si 2 4 Consideremos la función f() = { 2 + 11 si 4 < 5 b) (1.5 puntos) Indique dónde alcanza su máimo y su mínimo absoluto. Cuál es el valor del máimo? Y del mínimo? Reserva-3 2013 Opción A 2 2 12 si < 3 + 3 si 3 2 1 si > 2 b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) (0.5 puntos) Calcule los etremos relativos. Reserva-4 2013 Opción B Se considera la función f() = { 3 1 si < 1 2 + 4 3 si 1 b) (1 punto) Obtenga los etremos de la función. c) (0.75 puntos) Estudie su curvatura. Reserva-1 2011 Opción A + 4 si < 2 4 si 2 4 2 4 + 1 si 4 Determine los etremos locales de f. Septiembre 2010 Opción B 2 2a + 3 si 1 a 2 6 + 5 si > 1 b) (2 puntos) Para a = 1, indique su monotonía y las coordenadas de sus etremos locales. Letras Etremos Septiembre 2015 - Opción A b) (1.5 puntos) Calcule los coeficientes b y c de la función g() = 3 + b 2 + c 2 para que (1, 2) sea un punto de infleión de g. Septiembre 2014 Opción B Sea la función f () = 2 + p + q. a) (1.5 puntos) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f pase por el punto ( 4, 5) y presente un máimo en el punto de abscisa = 1. Determine el valor de f () en ese punto. Reserva-2 2014 - Opción A Sea la función f() = 2 3 + a e + b 1. a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0).
Reserva-1 2012 Opción B a) (1.25 puntos) Dada la función f() = 2 2 + a + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo en = 2. Reserva-2 2012 Opción B a 2 2 si 2 b si > 2 2 a) (1.5 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en = 1. Junio 2011 - Opción A b) (1.5 puntos) Se sabe que la epresión que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = a t 2 + b t, 0 t 8, a, b ЄR. Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b. Reserva-4 2010 Opción A Sea la función f() = 2 2 + a + b a) (1.25 puntos) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo local en el punto de abscisa = 2. b) (1.25 puntos) Tomando a = 8 y b = 10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula. Septiembre 2009 Opción B Sea la función f() = a 3 + b 2 +. a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en = 1 y que f(1) = 2. Problemas Junio 2014 - Opción A La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por: f() = 2 2 + 36 + 138, 0. a) (1 punto) Determine la inversión que maimiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo. b) (0.5 puntos) Calcule f (7) e interprete el signo del resultado. c) (1 punto) Para qué valor o valores de la inversión,, el beneficio es de 138 mil euros? Septiembre 2014 Opción A Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t 3 36t 2 + 162t 6, con 0 t 10. a) (0.8 puntos) Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = 0) y al final del décimo año (t = 10)? b) (1.7 puntos) En qué momentos se obtiene el máimo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? Reserva-3 2014 - Opción B El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función S(t) = 660 231t + 27t 2 t 3, 6 t 12. a) (0.5 puntos) Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? Y al cierre? b) (2 puntos) A qué hora tiene máima y mínima audiencia? Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas? Septiembre 2013 Opción A En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función M(t) = 11t+17, t 1, donde t es el número de días trabajados. 2t+12 a) (0.5 puntos) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) (0.75 puntos) Qué ocurrirá con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? c) (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.
Junio 2012 Opción B Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 10 años viene dado por la función B(t) = { at t2 si 0 t 6, siendo t el tiempo transcurrido en años. 2t si 6 < t 10 a) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. a) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. Septiembre 2012 Opción B En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2, viene dada por la función f(t) = 11t+20 t+2, siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla. a) (0.5 puntos) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. c) (0.75 puntos) Tiene algún límite la etensión de la superficie de la mancha? Reserva-3 2012 Opción B Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t 2 si 0 t 5 P(t) = { 100t 250 si t > 5 t + 5 a) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. b) (0.5 puntos) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? Junio 2011 Opción B Las funciones I(t) = 2t 2 + 51t y G(t) = t 2 3t + 96 con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0.5 puntos) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente. c) (1 punto) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcule el valor de ese beneficio. Reserva-2 2011 Opción A Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(), epresado en litros, viene dado por la función c() = 7.5 0.05 + 0.00025 2, siendo la velocidad en km/h y 25 175. a) (0.5 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h. b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(). c) (1 punto) A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máimo consumo y cuáles son éstos? Reserva-3 2011 Opción A Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad,, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente epresión: R() = 0.001 2 + 0.4 + 3.5, con 10. a) (0.5 puntos) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros. b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad. c) (0.5 puntos) Qué rentabilidad máima se obtendría? Reserva-4 2011 Opción A El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) epresada a continuación 1 8 t2 t + 5 si 0 t 6 B(t) = {, t es el tiempo transcurrido en meses. t+1 si 6 < 12 2 b) (0.5 puntos) Cuándo fue mínimo el beneficio? Cuál fue dicho beneficio? c) (1 punto) Represente gráficamente la función B(t). Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió?
Septiembre 2010 Opción A Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La epresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = 4t t 2 a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? Reserva-1 2010 Opción A En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la epresión B() = 0.5 2 4 + 6, siendo la inversión en publicidad, en miles de euros, con en el intervalo [0, 10]. a) (1 punto) Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas? b) (1 punto) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible? c) (0.5 puntos) Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio? Reserva-2 2010 Opción B El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f(), dependen de la inversión,, según la función f() = 2 + 11 10. a) (0.75 puntos) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máimo. A cuánto asciende éste? c) (0.75 puntos) Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? Reserva-3 2010 Opción B Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en m 3, que hay en cada momento en el depósito, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función V(t) = 8 t + t2, donde t es el tiempo 32 en minutos. a) (0.5 puntos) Cuál es la capacidad del depósito? b) (0.5 puntos) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? d) (0.7 puntos) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su significado Junio 2009 - Opción B Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = 0.2t 2 + 4t + 25, 0 t 25 (t=años transcurridos desde el año 2000). a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máimo nivel de contaminación? b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. Reserva-2 2009 Opción A Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (kg) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B() = 2 + 4 + 3 Siendo B() el beneficio por kg y el precio de cada kg, ambos epresados en euros. a) (1.25 puntos) Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) (1.25 puntos) Qué precio maimiza los beneficios? (0.5 puntos) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas. cuál será el beneficio total máimo que podrá obtener