APENDICE 1 Análss y Síntess de Crcutos A1.2 El amplfcador operaconal de tensones deal El amplfcador operaconal deal tene el símbolo de crcuto que se muestra en la Fg. 1. La operacón de un amplfcador operaconal se descrbe medante: ( s) As ( )[ V + ( s) V ( s) ] (A1.1) donde A(s) es la gananca del amplfcador operaconal. A1.1 Introduccón Las redes RC pueden tener ceros complejos pero sus polos son reales y se stúan en el eje real negatvo. Por tanto, son necesaros órdenes muy altos para consegur pendentes elevadas. Sn embargo, combnando un crcuto RC con un elemento de gananca se pueden obtener polos complejos con Q elevada. La dsponbldad del amplfcador operaconal (de tensones) para este fn permtó el desarrollo del procesado analógco de señal. Más recentemente, otro elemento se está utlzando para mplementacones ntegradas de fltros actvos: el amplfcador operaconal de transconductanca. Báscamente los amplfcadores operaconales son amplfcadores dferencales de tensón con gananca muy alta a bajas frecuencas. Normalmente, se utlzan en confguracones realmentadas para controlar la gananca y el ancho de banda y establzar las aplcacones frente a las elevadas varabldades de los parámetros del amplfcador. Fg.4.2 Schauman Fgura A1.1: (a) Opamp con sus termnales prncpales; (b) símbolo usual; (c) modelo de pequeña señal. A bajas frecuencas, la magntud de la gananca del amplfcador operaconal A o A(jω) es muy grande, típcamente A o >100dB para amplfcadores operaconales bpolares y A o >80dB para amplfcadores MOS. Lo anteror consttuye una descrpcón lneal. No se establece restrccón alguna sobre la tensón de salda, pero es evdente que ésta debe restrngrse a un rango fnto. Con esta precsón, el modelo no-lneal deal del amplfcador operaconal se muestra en la Fg. 2. Ya que la tensón de salda está lmtada a una tensón menor que las fuentes de polarzacón, se deduce que la tensón dferencal de entrada debe ser muy pequeña para tener operacón lneal: V V + V V s ----- ----- A o A o (A1.2) F.V. Fernández, Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-1 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-2
A1.2 El amplfcador operaconal de tensones deal c) La tensón de salda es un valor establecdo, una fuente deal de tensón. Ejercco A1.1.-Obtener el comportamento del crcuto de la Fg. 3. Fg.4.4 Schauman Fg.4.3 Schauman Fgura A1.3: Integrador RC-actvo. Fgura A1.2: Característca de transferenca típca de un opamp. Atendendo al modelo anteror podemos dstngur dos regones de funconamento: zona lneal y zona no-lneal. En la zona lneal la tensón de salda se mantene en el rango V s-, V s+. Esto sgnfca que: V a V + V - ----- «1 A (A1.3) En zona no lneal la tensón de salda se sale del rango [ V s-, V s+ ]. Esto sgnfca que la tensón de entrada V a se ndependza de la salda. En el tema que nos ocupa, el dseño de fltros, los amplfcadores operaconales deben funconar sempre en zona lneal. La operacón del amplfcador operaconal en zona lneal se asoca al uso de realmentacón. En zona lneal, el modelo deal se reduce al modelo de terra vrtual: gananca nfnta en lazo aberto, A o, mpedanca de entrada nfnta, R, e mpedanca de salda nula, R o 0. A efectos de análss de prmer orden hay que consderar: a) La tensón en los termnales de entrada es la msma. b) La ntensdad en los termnales de entrada es nula. A1-3 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Solucón detallada Como la ntensdad a través del termnal nversor es nula aplcando análss nodal puede escrbrse la ecuacón: v 1 () t v () t d -------------------------------- C [ v () t v R dt 2 () t ] Como el termnal nversor es terra vrtual v (t)0 y despejando v 2 (t): v 2 () t t 1 RC ------- v ( λ) dλ 1 Tambén puede verse en el domno de la frecuenca: V 1 1 ----- scv R 2 luego V 2 --------- V src 1 (A1.4) (A1.5) (A1.6) Luego este crcuto es un ntegrador deal (hay que tener en cuenta que se ha consderado un modelo de amplfcador operaconal deal). ------------------------------------------------------------------------------------- Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-4
A1.2 El amplfcador operaconal de tensones deal Ejercco A1.2.-Analzar las confguracones nversoras y no nversoras de la Fg. 4 consderando el modelo de terra vrtual de los amplfcadores operaconales. + V a A V + o + V o (a) Fgura A1.4: Amplfcador operaconal en confguracón realmentada: (a) Confguracón nversora, (b) Confguracón no-nverso- Solucón Su análss conduce a las sguentes ganancas: ----- V ----- ----- 1+ ----- V (A1.7) ------------------------------------------------------------------------------------- El modelo deal da una aproxmacón de prmer orden, smplfcando en gran medda el proceso de análss y síntess. La valdez de la aproxmacón dependerá de muchos factores, como el nvel de mpedancas y el rango de frecuencas. En aplcacones con un alto grado de precsón, y sobre todo cuando se dsponga de la ayuda de ordenadores, habrá que ncorporar modelos más precsos que tengan en cuenta las dstntas no dealdades. V (b) A o A1.3 Funconamento no deal del amplfcador operaconal A1.1.4 Gananca fnta en zona lneal La pendente en zona lneal en la Fg. 2 es fnta: ----- A (valor fnto) a (A1.8) Ejercco A1.3.-Estudar la nfluenca de esta gananca fnta en las confguracones nversora y no-nversora de la Fg. 5. + V a A V + o + V o (b) (a) Fgura A1.5: (a) Confguracón nversora, (b) Confguracón no-nversora. Solucón detallada Consderemos la conguracón nversora de la Fg. 5(a). Suponendo resstenca de entrada nfnta: 1 ----- V R + ----- 1 A o V A o (A1.9) y la tensón de salda: A1-5 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-6
A1.3 Funconamento no deal del amplfcador operaconal ----- R A 2 o ----- ----- V A o R + ----- 1 A o (A1.10) Vos 0 Despejando de la ecuacón anteror se obtene fnalmente: ----- V 1 ----- ------------------------------------------------- 1+ ( 1+ ) A o -----e (A1.11) El valor de e da cuenta de la desvacón respecto al modelo deal provocada por A o. De gual modo se puede calcular dcha desvacón para el amplfcador no-nversor de la Fg. 5(b): 1 ----- 1 + ----- ------------------------------------------------- (A1.12) V 1+ ( 1+ ) A o ------------------------------------------------------------------------------------ A1.1.5 Tensón de offset de entrada Idealmente en los A.O. la tensón de salda es nula s no se aplca señal. En la práctca, las mperfeccones de los elementos y las dsmetrías de los crcutos hacen que la tensón de salda no sea nula s se aplca tensón nula a las entradas. Esta tensón de offset en dc a la salda se suele representar medante una fuente de tensón equvalente en el termnal de entrada no nversor y se denomna tensón de offset de entrada, s. Es la tensón que hay que aplcar entre los termnales de entrada del amplfcador operaconal para obtener una tensón nula a la salda, tal como se lustra en la Fg. 6. En prncpo, no debería ser mportante la tensón de offset porque en fltros actvos, o no hay transmsón en dc o s la hay no es mportante el nvel de dc. Sn embargo, debe pensarse en las etapas de salda de los amplfcadores operaconales. S la tensón de offset es sgnfcatva, los rangos de señal postvos y negatvos pueden ser muy dferentes y aparecerá dstorsón antes de lo prevsto. A1.1.6 Razón de rechazo del modo común (CMRR) Aunque el amplfcador operaconal deal amplfca sólo la dferenca de señales de entrada, en la práctca se amplfca tambén las tensones comunes a ambos termnales, como se lustra en la Fg. 7, pudéndose defnr una gananca de modo común: (A1.13) Se denomna razón de rechazo del modo común (CMRR) al cocente: donde A d es la gananca dferencal. con offset Vos Fgura A1.6: Tensón de offset referda a la entrada. A CM ---------- V CM V CM V a 0 Fgura A1.7: Gananca en modo común. A d CMRR ---------- A CM 0 (A1.14) A1-7 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-8
A1.3 Funconamento no deal del amplfcador operaconal A1.1.7 Impedanca de entrada Tanto ésta como la mpedanca de salda son en general funcón de la frecuenca pero normalmente se consderan puramente resstvas. La mpedanca de entrada de los actuales A.O., especalmente con etapas de entrada con transstores de efecto campo, es tan grande comparada con el nvel de mpedanca de otros elementos que la aproxmacón deal de mpedanca de entrada nfnta es muy precsa. A1.1.8 Impedanca de salda La mpedanca de salda de A.O. reales es fnta. Por tanto, no puede desprecarse su efecto en la realmentacón del amplfcador, y en general, en todo el resto del fltro. Su nfluenca habrá que estudarla en cada caso. A1.1.9 Rango de salda Es la máxma ampltud que puede tener la señal de salda de los amplfcadores operaconales mantenéndose la dstorsón por debajo de un certo nvel. A1.1.10 Gananca dependente de la frecuenca Supongamos el amplfcador no nversor de la Fg. 4b que se excta medante una señal cuadrada. Idealmente no hay retraso entre entrada y salda y la señal de salda es: 1 + ----- V KV (A1.15) R 1 En la práctca exste un retraso debdo a la respuesta dnámca del amplfcador. A1.1.10.1Modelo de un polo En general, la respuesta frecuencal de los amplfcadores operaconales está determnada por muchos polos y ceros, pero para asegurar la establdad de las confguracones en lazo cerrado, los amplfcadores operaconales suelen dseñarse con un polo domnante real en s σ de tal manera que un modelo adecuado es: A( s) GB GB ----------- ------- s + σ s donde GB es el producto gananca-ancho de banda, defndo como: GB A o σ (A1.16) (A1.17) y σ es la frecuenca de 3 decbelos de la gananca del amplfcador operaconal. Ejercco A1.4.-Obtener la respuesta del amplfcador no nversor de la Fg. 4b cuando se aplca un pulso de ampltud E. Solucón S la ampltud de la señal de entrada es sufcentemente pequeña: t -------------------- ( K GB) () t KE 1 e (A1.18) donde K 1 + -----. La expresón anteror es válda sempre que la pendente de la señal de salda: t dv -------------------- o ( K GB) E GBe E GB dt (A1.19) A1-9 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-10
A1.3 Funconamento no deal del amplfcador operaconal no supere un valor determnado. ------------------------------------------------------------------------------------ La Fg. 8 muestra dagramas de magntud y fase de A(jω). y se supone que el amplfcador operaconal actúa como un ntegrador deal. Sn embargo, en la Fg. 8 puede observarse que se producen desvacones a frecuencas alrededor y por encma de GB, dsmnuyendo la fase por debajo de 90 o. Por tanto, a frecuencas altas, hay que usar un modelo más precso que tenga en cuenta los efectos de segundo orden de los polos y ceros que se han desprecado en el modelo de un polo. A1.1.10.2Modelo multpolo La mayoría de los efectos parástos se modelan ben medante un polo de frecuenca ω 2, aproxmadamente 2.5 a 4 veces mayor que GB. El modelo resultante es: Fg.4.6 Schauman A( s) GB GB GB -------------------------------------------- ----------------------------- ( s + σ) ( 1 + s ω 2 ) s( 1 + s ω 2 ) ------- s 1 s ------ ω 2 (A1.21) Fgura A1.8: Respuesta típca en frecuenca de amplfcadores reales: (a) magntud; (b) fase. Para frecuencas por debajo de la frecuenca de gananca undad, la magntud y fase del amplfcador operaconal real son: Ajω ( ) φω ( ) GB GB ---------------------- ------- ω 2 + σ 2 ω ω atan--- σ (A1.20) Normalmente la frecuenca de 3dB es tan pequeña que en la mayoría de las stuacones ω>>σ. Por tanto, el trabajo de fltros puede basarse en las aproxmacones anterores, es decr, se despreca el efecto de la frecuenca de 3dB A1-11 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI En la prmera aproxmacón se ha supuesto que ω>>σ y en la segunda que ω<<ω 2. Por tanto, la aproxmacón es válda en el rango σ<<ω<<ω 2, que es mayor que el rango en que se utlzan normalmente los fltros actvos. La ventaja de aplcar la segunda aproxmacón es que la funcón de transferenca resultante es de menor orden, y por tanto más fácl de manejar e nterpretar. En la mayor parte del trabajo con fltros se puede desprecar el efecto del segundo polo. A1.1.11 Slew-rate Todos los amplfcadores operaconales tenen un slew-rate máxmo, que sgnfca el rtmo máxmo de cambo que puede tener su señal de salda. La causa se encuentra en que las dstntas etapas de los amplfcadores sólo dsponen de ntensdades fntas para cargar y descargar condensadores de carga y de compensacón, nternos y externos. La volacón de este límte resulta en dstorsón de señales y debe evtarse en aplcacones lneales. S la pendente resultante de aplcar la ecua- Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-12
A1.3 Funconamento no deal del amplfcador operaconal cón del comportamento lneal (por ejemplo, la ecuacón en (18)) es mayor que un valor límte, SR, dcho comportamento lneal no es váldo y se obtene en realdad: () t SR t (A1.22) esto es, la salda se ndependza de la entrada. Normalmente nos nteresan señales snusodales de la forma vt () snωt, cuya pendente máxma es ω, por lo que el límte mpuesto para un rango de frecuencas dado es: SR ------------ ω max (A1.23) Este valor límte sgnfca ya dstorsón por lo que convene permanecer alejado del límte. Otra lmtacón del nvel de señal vene dada por el hecho de que los amplfcadores operaconales son amplfcadores cuya tensón de salda debe ser menor que las tensones de polarzacón, pudendo dar tambén este hecho lugar a dstorsón: < V fuente polarzacon A1.1.12 Rudo y rango dnámco (A1.24) El rango dnámco se defne como el cocente (suele expresarse en db) entre la máxma tensón de salda utlzable y la mínma tensón de salda utlzable. El límte superor vene mpuesto por el punto en que el slew-rate o el rango de salda empezan a ntroducr dstorsón. La dstorsón que se permte en un sstema suele especfcarse en térmnos de dstorsón armónca total. Ésta se mde ntroducendo una señal snusodal a alguna frecuenca ntermeda del rango de nterés y se hace el cocente entre la potenca a la salda cuando se elmna el armónco fundamental utlzando un fltro rechazo de banda y la potenca del armónco fundamental. Este cocente suele ex- A1-13 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI presarse en %. Por ejemplo, para aplcacones de audo de buena caldad, este porcentaje es nferor al 1%. El límte nferor de señal para el rango dnámco vene determnado por el nvel de rudo. Por rudo entendemos cualquer señal que aparece a la salda del sstema y que no está relaconada con la exctacón aplcada. El rudo a la salda del sstema se obtene modelando las fuentes físcas de rudo medante fuentes de tensón e n e ntensdad n en localzacones adecuadas. Cada una de ellas tendrá una contrbucón al rudo total a la salda: e o, n e n H n ( jω) (A1.25) donde H n ( s) es la funcón de transferenca desde la fuente de rudo a la salda. Consderando las fuentes de rudo aleatoras y descorrelaconadas el rudo total a la salda es: e on m 1 2 [ e n Hn ( jω) 2 ] A1.13 El amplfcador de transconductanca A1.1.14 Descrpcón y modelado (A1.26) Los amplfcadores de transconductanca tenen anchos de banda sgnfcatvamente mayores, pueden ntegrarse fáclmente y ajustarse electróncamente medante el cambo de una ntensdad de polarzacón. Un amplfcador operaconal de transconductanca deal (OTA) se representa por el símbolo de la Fg. 9 y vene descrto por: I o g m ( V + V ) (A1.27) Otra dferenca respecto a los amplfcadores operaconales es que mentras que la utlzacón del éstos en aplcacones lneales está vnculada al uso de Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-14
A1.13 El amplfcador de transconductanca Fg. 4.11 Schauman Fgura A1.9: (a) Símbolo de OTA; (b) Modelo de pequeña señal. Normalmente la transconductanca g m es controlable medante una ntensdad de control. realmentacón, en los transconductores no se aplca realmentacón. A1.1.15 Efectos no deales del amplfcador de transconductanca Cuando se dseñan fltros debe tenerse en cuenta que el OTA real tene mpedanca de entrada y salda fntas (debdas a los parástos) como se ndca en la Fg. 10. En muchas aplcacones no es la dependenca de g m con la frecuenca la que mpone lmtacones al funconamento de los fltros sno las constantes de tempo mpuestas por las mpedancas de entrada y salda junto con los efectos de carga. nes se hacen crítcas debdo a que la transconductanca ntervene en el comportamento de prmer orden de los crcutos basados en OTAs. Para palar los problemas de lnealdad han de usarse estructuras de lnealzacón que extendan el rango de tensones de entrada sobre un rango sufcentemente amplo. Para palar los problemas de la varabldad se utlzan esquemas de control basados en la modfcacón de la transconductanca a través de una certa ntensdad. A1.1 Obtencón de polos complejos con crcutos RC-actvos De forma general consderemos la Fg. 11 que muestra en crcuto RC con un amplfcador de gananca K en confguracón realmentada. S denomnamos las funcones de transferenca V 3 /V : T 31 ( s) V 3 N 31 ( s) ----- --------------- T V 1 Ds ( ) 32 ( s) V 3 N 32 ( s) ----- --------------- V 2 Ds ( ) (A1.28) entonces, la funcón de transferenca del crcuto completo se puede calcular como: V 2 KT [ 31 V 1 + T 32 V 2 ] (A1.29) Fg.4.12 Schauman Fgura A1.10: Modelo de OTA con transconductanca g m dependente de la frecuenca e mpedancas de entrada y salda fntas. y H(s) es: H( s) V 2 T 31 ( s) ----- ------------------------- V 1 1 T 32 ( s) + --- K N 31 ( s) ---------------------------------- D( s) N 32 ( s) + ----------- K S la gananca K es muy grande la funcón de transferenca se reduce a (A1.30) Otros efectos que lmtan drástcamente el comportamento son la nolnealdad y la alta varabldad de la transconductanca g m. Estas lmtaco- N 31 ( s) H( s) --------------- N 32 ( s) (A1.31) A1-15 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-16
A1.13 El amplfcador de transconductanca que puede tener polos y ceros complejos. Fg.4.1 Schauman Fgura A1.11: Crcuto con realmentacón RC-actvo. A1-17 Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI Curso 2003/04 Área de Electrónca, Dpto. de Electrónca y Electromagnetsmo, ESI A1-18