3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot como ij donde i corresponde l fil del elemento y j l column. Notción Se denomin mtriz column l mtriz que tiene m x elementos, y se llm mtriz fil l mtriz de x m elementos. 3. Clsificción de mtrices y operciones Orden de un mtriz (m x n), m x n: indic el número de fils, m, y de columns, n, de un mtriz es un mtriz cudrd si el número de fils es igul l número columns, es decir, n = m. Se dice, entonces que l mtriz es de orden n. L digonl principl de un mtriz cudrd es l formd por los elementos ii de l mtriz. Págin
L mtriz nul es quell mtriz cuyos elementos son todos 0. Se define l mtriz identidd I como un mtriz cudrd que cumple l propiedd de ser el elemento neutro del producto de mtrices, es decir, que el producto de culquier mtriz por l mtriz identidd, siempre que ese producto esté definido, como otro dí veremos, no tiene ningún efecto. En l mtriz identidd, los elementos de l digonl principl son, y los elementos fuer de l digonl principl son 0. Operciones con Mtrices Definición de Multiplicción Esclr Si = [ y ] es un mtriz de m n y ces esclr. Entonces el múltiplo esclr de por C es l mtriz c= [ ] c y m n definid por Producto Esclr b b.,,... n = b + b +... +.. b n ( ) nbn Sum de Mtrices Págin
Sum de mtrices, + B: mtriz que result de sumr los elementos de y B que están situdos en l mism fil y column. Si = ( ij ) y B = (b ij ), mtrices del mismo orden m x n, Propieddes de l sum de Mtrices ª Conmuttiv: + B = B + ª socitiv: ( + B ) + C = + ( B + C ) 3ª Elemento neutro: 0 ( mtriz cero o mtriz nul ). 0 + = + 0 = 0 4ª Elemento simétrico: - ( mtriz opuest de ). + ( - ) = ( - ) + = 0 L opuest de l mtriz se obtiene cmbindo de signo todos los elementos de l mtriz : - ( ij ) = (- ij ). Diferenci de Mtrices L diferenci de mtrices es un cso prticulr de l sum. Restr dos mtrices es lo mismo que sumrle l primer l opuest de l segund: Págin 3
- B = + ( -B ). Producto de un mtriz con un número rel Ddo un número rel k y un mtriz = ( ij ) de dimensión m x n, se define el producto del número rel k por l mtriz, como otr mtriz P = (p ij ) de l mism dimensión que, de modo que cd elemento p ij de P se obtiene como: p ij = k. ij. Producto de dos Mtrices El producto de mtrices no está definido en todos los csos. Pr que dos mtrices se puedn multiplicr es necesrio que el número de columns de l primer mtriz coincid con el número de fils de l segund mtriz, es decir, si l mtriz = ( ij ) tiene dimensión m x n y l mtriz B = ( b ij ) tiene dimensión p x q, pr que se pued efectur el producto. B es necesrio que n = p. Por otr prte, l mtriz producto P = ( p ij ) tendrá por dimensión m x q, es decir, el número de fils de l mtriz y el número de columns de l mtriz B. Cd elemento p ij de l mtriz P se obtiene multiplicndo l fil i de l mtriz por l column j de l mtriz B, siguiendo el procedimiento descrito en el punto nterior. Propieddes del productos de Mtrices Sen, B Y C mtrices. Siempre que se posible efectur los productos indicdos, de cuerdo con l condición nterior, se verific: ª socitiv: (. B). C =. ( B. C ) ª Elemento neutro: I ( mtriz identidd o unidd ). I = I. = 3ª Distributiv respecto de l sum de mtrices:. ( B + C ) =. B +. C 4ª El producto de mtrices no es, en generl, conmuttivo:. B B. 5ª Mtriz Invers: Dd un mtriz cudrd, si existe otr mtriz B que verifique. B = B. = I (mtriz identidd), entonces se dice que B es l mtriz invers de y se represent por -. (. - = -. = I ) 3.3 Clculo de un mtriz Invers L invers de un mtriz m n. Supong que Págin 4
B = B= I Entonces B se llm invers de y se denot Entonces se tiene = = I donde I es l mtriz identidd Sen y B dos mtrices de Si existe l mtriz invers de, se dice que l mtriz es inversible o regulr. En cso contrrio, se dice que l mtriz es singulr. Un mtriz de orden n (n fils y n columns) tiene invers cundo su rngo es n, es decir, cundo el rngo de dich mtriz coincide con su orden. Básicmente hy dos procedimientos pr clculr l invers de un mtriz. Son los siguientes: Por el método de Guss. Por determinntes y djuntos (que describiremos en l unidd de determinntes). Método de Guss. Pr clculr l invers de un mtriz cudrd, plicndo el método de Guss, construimos, en primer lugr, l mtriz ( I ), siendo I l mtriz identidd del mismo orden que. Después de relizr diverss operciones sobre ls fils de ést nuev mtriz, tendremos que conseguir que se trnsforme en l siguiente ( I B ). L mtriz B será l invers de l mtriz, es decir: B = -. Ls operciones que podemos relizr con ls fils de l citd mtriz son: ) Multiplicr o dividir un fil por un número distinto de cero. b) Sumrle un fil otr fil multiplicd por un número distinto de cero. 3.4. Definición y propieddes de Determinnte de un Mtriz El determinnte de un mtriz (n,n), es un esclr o polinomio, que result de obtener todos los productos posibles de un mtriz de cuerdo un serie de restricciones, siendo denotdo como. El vlor numérico es conocido tmbién como modulo de l mtriz. (Not: En mtrices de segundo y tercer orden suele ser utilizdo el método conocido como regl de Srrus.) Págin 5
continución vmos ver un de ls forms de obtener el determinnte (método cofctores). lgoritmo: siendo n igul l número de columns, y ij es el resultdo de eliminr l fil i y l column j de l mtriz originl. Si l mtriz fuese del tipo: el determinnte es de tercer orden, siendo desrrollo en un primer momento: después de lo cul resolverímos el siguiente nivel, resultndo... y por tnto... = (5)-(-3)(-0)+(-)(6) = -87 Págin 6
3.5. Invers de un mtriz trvés de l djunt Si es un mtriz invertible de m n, entonces es cierto que = dj( ) Si es un mtriz de x = c b d entonces l djunt simplemente será d dj = c b demás es invertible, se tiene: = dj( ) = d bc d = c b 3.6.- Solución de un sistem de ecuciones lineles trvés de l invers y por l regl de Crmer. Solución de un sistem de ecuciones trvés de l Invers Un procedimiento rápido pr l resolución de sistems de ecuciones lineles medinte mtrices es el llmdo método de l mtriz invers. Est técnic consiste en multiplicr por l izquierd los dos miembros de l expresión mtricil del sistem de ecuciones por l mtriz invers de l de los coeficientes (si existe). De este modo: Cundo l mtriz de los coeficientes no es inversible, el sistem no tiene solución (es incomptible). Págin 7
Regl de Crmer Un sistem de ecuciones lineles recibe el nombre de sistem de Crmer cundo se cumplen ls dos condiciones siguientes: El número de ecuciones es igul l número de incógnits. El determinnte de l mtriz de los coeficientes (mtriz del sistem) es distinto de cero ( det ( ) # 0 ) Se un mtriz m n y supong que det 0. Entonces l solución únic l sistem x= b está dd por x x + + x x = b = b L solución de cuerdo l regl de Crmer será b = y b = b b por lo tnto se tiene x = y x = 3.7- plicción de Mtrices y determinntes plicciones de ls mtrices Ls mtrices se utilizn en el contexto de ls ciencis como elementos que sirven pr clsificr vlores numéricos tendiendo dos criterios o vribles. Págin 8
Ejemplo: Un importdor de globos los import de dos colores, nrnj (N) y fres (F). Todos ellos se envsn en pquetes de, 5 y 0 uniddes, que se venden l precio indicdo por l tbl siguiente: unid. 5 unid. 0 unid. Color N 0 04 0 08 0 Color F 0 03 0 05 0 08 Sbiendo que en un ño se venden el siguiente número de pquetes: Color N Color F unid. 700000 50000 5 unid. 600000 40000 0 unid. 500000 500000 Resumir l informción nterior en mtrices y B, de tmño respectivo x3 y 3x que recojn ls vents en un ño () y los precios (B). Nos piden que orgnicemos l informción nterior en dos mtrices de tmño concreto. Si nos fijmos en ls tbls, es sencillo obtener ls mtrices: ud 5 ud 0 ud N F = 700000 600000 500000 N B = 0_04 0_03 usd 50000 40000 500000 F 0_08 0_05 5 usd 0_ 0_08 0 usd Ests mtrices se denominn mtrices de informción, y simplemente recogen los dtos numéricos del problem en cuestión. Otrs mtrices son ls llmds mtrices de relción, que indicn si ciertos elementos están o no relciondos entre sı. En generl, l existenci de relción se expres con un en l mtriz y l usenci de dich relción de expres con un 0. Ests mtrices se utilizn cundo queremos trsldr l informción dd por un grfo y expresrl numéricmente. plicción de determinntes Consideremos el siguiente gráfico Págin 9
PODEMOS ENCONTRR EL RE DEL TRINGULO USNDO LOS DETERMINTES x y point - point 5 point 3 6 - Elborndo de est tbl los determinntes tenemos - 5 = + (-) 5 - + 6 6 - - - 5 = - ( 5 + ) - ( + ) + 6 ( - 5 ) = - ( 6 ) - ( 3 ) + 6 ( -3 ) = - - 3-8 = -33. Es posible que consig un determinnte negtivo, como hicimos quí. Don' No se preocupe. Esto es por l selección del orden de los puntos y puede ser cmbido fácilmente pens cmbindo dos fils del determinnte. El áre, por un prte, no pude ser negtivo, sí que si usted consigue un negtivo, solo cmbie el signo. Finlmente, divídlo por pr encontrr el áre. Págin 0
EJERCICIO El lumno: Investigrá l form de l mtriz identidd I Investigr ls diferentes tipos de mtrices Demostrr que si un mtriz es invertible entonces su invers es únic. Demostrr que si y B son mtrices invertible de m n entonces B es invertible. *Investigrá ls Propieddes de ls mtrices *Resuelverá por l regl de Crmer el siguiente sistem de ecuciones 4x 3x x 5x = 0 = Págin