8 Límites y continuidad

Solucionario 8 Límites y continuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Simplifica las epresiones siguientes. a) 7 9 c) 3 6 5 b) 3 a) 7 9 ( 3) ( 3) ( 4) 3) 4 3 b) 3 8 4 d) ( )( 3)( ) 4 8 4 ( )( 4) ( )( ) 4 c) 3 6 5 ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) 5 ( )( 3)( ) ( )( 3)( ) d) ( 3) ( ) 4 ( )( ) 8.II. Racionaliza y simplifica: a) b) 4 ( ) c) 4 a) ( ( ) ) b) 4 ( ) 4 ( ) 4( ) ( ) 4 4 c) 4 4 4 8.III. Factoriza los siguientes polinomios. a) P() 3 b) Q() 4 5 3 3 9 a) P() ( )( )( ) b) Q() ( )( 3) EJERCICIS PRPUESTS 8.. Calcula, operando en las epresiones originales y formando una tabla de valores, los siguientes límites. 0 3 5 c) lim e) lim ( ) b) lim 9 3 d) lim 0 f) lim 3 a) c) e) b) d) f) 4 Solucionario

8.. Calcula, si eisten, los siguientes límites. 0 b) lim c) lim 0 f() para f() f() para f() si 3 si f() para f() si 0 3 si 0 a) No eiste lim f(). Aunque sí los límites laterales lim f() y lim f() 0 0 0 b) lim f() 5 c) No eiste lim f(). Aunque sí los límites laterales y lim f() y lim f() 0 0 0 8.3. Sabiendo que lim f() 3 y lim g() 0, calcula los siguientes límites cuando a de las siguientes funciones. a) f 3g d) (f g) g) f g b) (3f) e) (f g) h) ( g) f c) g f f) f i) g f g a) 6 d) 0 g) b) 8 e) 9 h) c) 0 f) 3 i) 0 8.4. Se sabe que las funciones f y g tienen límite en el punto a. Además lim (f()g()). Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. f() 0 b) Si lim g() lim(f()) g() 4. c) lim f( ) g( ) es un cuadrado perfecto. a) Falsa, sería imposible que el producto valiera. b) Verdadera, porque entonces el límite de f valdría. c) Verdadera, porque como lim f(), siempre al sustituir obtenemos el cuadrado del límite de una función. g() lim 8.5. Calcula, haciendo una tabla, los siguientes límites. 4 4 c) lim 3 4 3 3 b) lim d) lim 3 a) 4 c) No eiste, pues lim 4 3 lim 3 3 3 b) 0 d) 3 4 3 3 Solucionario 43

Solucionario 8.6*. Calcula, operando en las epresiones originales: 3 3 c) lim 0 5 b) lim 5 6 7 d) lim 4 3 3 lim ( 3) 0 0 0 ( ) b) lim c) lim 3 ( ) lim ( ) ( ) 5 6 lim 7 3 ( ( d) lim 4 3 lim lim 4 4 3 3 lim 3 3 3 3 3 3 ) ( 3) 3) ( 4) 3 4 4 ( )( ) 3 3 3. Hacemos, por tanto, los límites laterales. 0 8.7. Halla el valor de los límites siguientes. 90 c) lim 3 3 b) lim 3 d) lim 3 3 90 lim 3 3 9 0 3 3 3 lim 0 0 0 0 0 b) lim lim lim ( ) ) c) lim. Hacemos, por tanto, los límites laterales: 0 lim lim ( 3 3 d) lim lim 3 3 3 3 3 lim 3 3 ( 3)( 3) 3 6 44 Solucionario

3 8.8. Halla todas las asíntotas de f() y g() y esboza sus gráficas. 5 Empecemos con f(). Límites infinitos: asíntota vertical lim lim Como 3 ( ), la función tiene una asíntota oblicua de ecuación y. Continuemos con g(). Límites infinitos: asíntota vertical 0 y 5 lim 3 0 5 lim 3 5 5 lim 3 0 5 lim 3 5 5 Límites en el infinito: asíntota horizontal y 3 lim 3 3 5 lim 3 3 5 Como tiene asíntotas horizontales, la función carece de asíntotas oblicuas. 8.9. Puede tener una curva dada por un cociente de polinomios asíntotas horizontales y oblicuas? No, porque para que haya asíntotas horizontales, el grado del numerador debe ser menor o igual que el del denominador. En cambio, para que haya asíntotas oblicuas, el grado del numerador debe ser mayor en una unidad que el del denominador. 3 8.0. Calcula la asíntota oblicua de f(). Tiene asíntotas verticales esta función? Efectuando la división obtenemos que f() Luego la asíntota oblicua tiene ecuación y. 3. La función no tiene asíntotas verticales, pues el denominador no se anula nunca. 8.. Esboza la gráfica de f(). ( ) Como lim 0, 0 no es asíntota. 0 ( ) Como lim, es asíntota vertical. ( ) Horizontal lim lim 0; así pues, ( ) ( ) asíntota horizontal de ecuación y 0. Solucionario 45

Solucionario 8.. Son continuas en todo las siguientes funciones? 3 a) f() c) f() 4 3 b) f() d) f(v) a) Sí, pues el denominador no se anula. b) No, es continua en R {}, porque la función no está definida en el aunque los límites laterales coinciden. c) No, es continua en R {4, 3} por anularse el denominador. d) No, es continua en R {, }. 6 3 5 8.3. Dónde es discontinua f()? 3 En y, ya que en esos puntos se anula el denominador. 8.4. Es continua f() en? 8 7 No, porque f() no eiste. si 0 8.5. Decide si la función f() si 0 3 4 si 3 es continua en 0. en 3? Si nos acercamos al cero por la izquierda, el valor de la función se aproima a, que es el valor de f en 0. Si nos aproimamos al cero por la derecha, los valores de la función se aproiman a ; así pues, la función no es continua en 0. Tanto si nos acercamos por la izquierda como por la derecha al 3, la función se aproima a, que es el valor de f(3), luego la función es continua en 3. 8.6. Determina cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua en todo R. f() 3 a a f es continua en R {} por tratarse de polinomios. En debemos estudiar los límites laterales y deben coincidir. lim ( 3 a) a y lim ( a) a. Por tanto, a a, es decir, a 0. 8.7. El número de individuos de una población en un instante t viene dado por la función: donde r es una constante. N(t) 300te rt si t 0 Estudia el comportamiento a largo plazo de la población en los casos: r 0, r 0 y r 0. Caso r 0: lim 300te rt ; es decir, la población crece indefinidamente. t Caso r 0: lim 300te rt 0; es decir, la población tiende a 0. t Caso r 0: lim 300te rt ; es decir, la población crece indefinidamente. t 46 Solucionario

8.8. El tipo impositivo del impuesto sobre la renta de un país está estructurado en función de la renta anual de la siguiente forma: Renta anual inferior a 0 000 euros: 0%. Renta entre 0 000 y 40 000 euros: 0%. Renta superior a 40 000 euros: 40%. Representa gráficamente esta función y estudia su continuidad. 0 000 6 000 000 8000 4000 0 000 40 000 0, si 0 000 f() 0, si 0 000 40 000 0,4 si 40 000 No es continua ni en 0 000 ni en 40 000. EJERCICIS Límites de funciones 8.9. Considera la función f() si si 4 3 si 4 Calcula, si eisten, los siguientes números: f (), lim f(), f (4), lim f(), f (5), lim f(). 4 5 f() 4; lim f() no eiste; f(4) no está definida; lim f() 9; f(5) 8 y lim f() 8. 4 5 8.0. La gráfica de f() es la de la figura. Eisten lim f(), lim f(), y lim f()? 3 a a a 3 lim f() y lim f() sí eisten. 3 lim f() no eiste ya que no valen lo mismo los límites laterales. 8.. A partir de la gráfica de f dada en la figura, calcula, si eiste, lim f(), lim f(), lim f() y lim f(). 4 7 9 lim f(), lim f() 4, lim f() y lim f() no eisten, al ser distintos los límites 4 7 9 laterales. Solucionario 47

Solucionario 8.. Haz un esquema para ilustrar que: Si f() g() h() y lim f() b lim h(), entonces lim g() b. b h g a f 8.3. (TIC) Con ayuda de tu calculadora, obtén los siguientes límites: (ln ( )) b) lim 0 a) b) 8.4. Razona por qué no eisten los límites: b) lim 3 9 a) Porque el denominador vale 0 en el límite y los límites laterales del cociente dan por la izquierda y por la derecha. b) Porque el denominador vale 0 en el límite y los límites laterales del cociente dan por la derecha y por la izquierda. 8.5. Calcula, si eisten: 0 b) lim c) lim f() para f() si 0 si 0 f() para f() si si f() para f() si si a) Eiste y vale 0. b) Eiste y vale. c) No eiste porque los límites laterales son distintos. si 0 8.6. Dibuja la gráfica de la función f() si 0 a 5 si a y determina para qué valores de a eiste lim f(). lim f() lim () a lim f() lim ( 5) a 5 Por lo que a 5 a, es decir, a 5 o a 3. 48 Solucionario

8.7. Si la función f() verifica que 3 f() 4 para todo número, haz un bosquejo de la gráfica f() en las cercanías de y calcula lim f(). Como 4 lim (3 ) lim f() lim ( 4 ) 4, entonces lim f() 4 Propiedades de los límites 8.8. Si lim f() b y lim g() c, calcula: f() 3 g() c) lim b) lim (f() g() ) d) lim f( ) g() 3 b 3 c b) lim (f() g() ) b c. Si c 0, y no eiste si c 0 c) lim (f() g()) (b c) (f() g()) f() g() d) lim f() g() b si c. Si c y b 0, vale, y si c y b 0, es una indeterminación. c 8.9. Si lim f() b y lim g() c, hay algún valor de b o c para el que no eistan los siguientes límites? f() g() d) lim (f() g()) b) lim (f() g() ) e) lim f( ) (g()) c) lim (f()) g() f) lim f( ) g( ) b c a) Si c y b 0, vale, y si c y b 0, es una indeterminación. b) Si c 0 c) Si b c 0, es una indeterminación. d) Eiste siempre. e) Eiste siempre. f) Siempre es una indeterminación. 8.30. Si lim (f() g()) b y lim f() c, calcula lim g(). Como lim g() b c, entonces lim g() (b c) Solucionario 49

8.3. Si lim f() b y g() coincide con f() ecepto en a, qué puedes decir sobre lim g()? Que lim g() lim f() b Solucionario 8.3. Si no eiste lim f() ni lim g(), no eiste necesariamente lim (f() g())? Puede eistir. Si, por ejemplo, f(), g(), entonces f() g() y tenemos que no eiste lim f() ni lim g() y, sin embargo, sí eiste lim f() g(). 0 0 0 Cálculo de límites e indeterminaciones 8.33. Utiliza las propiedades de los límites para determinar el valor de los siguientes: 3 c) lim 0 3 b) lim 3 d) lim + 4 + e) lim 3 g) lim 4 5 5 5 7 ( 3) f) lim h) lim ( 5) 3 4 3 a) 5 c) e) 5 7 0 4 g) 3 3 b) 0 d) f) 4 h) 8.34. Halla los siguientes límites indeterminados. 4 c) lim 4 e) lim g) lim (3 h ) 9 0 3 h 0 h 5 b) lim 7 0 d) lim 5 5 0 5 f) lim 9 ( )( ) 4 b) lim 5 ( ) ( 5) 3 ( 5) ( 5) 0 c) lim d) lim 0 ( )( ) 6 5 5 e) lim ( ) 0 3 3 f) lim 9 g) lim h(6 h) 6 h 0 h h) lim ( 3)( 3) ( )( 9)( 3) 5 0 3 9 h) lim 5 lim 5 5 0 ( 5 5) 5 0 lim 0 lim 9 ( )( 9)( 3) 4 8 ( )( )( ) ( )( ) 3 5 50 Solucionario

8.35. Calcula lim 3 7 si f() con f() si 9 si lim f() lim (3 7) 3 y lim f() lim ( 9) 3, luego lim f() 3 8.36. Calcula los siguientes límites en el infinito. 3 e) lim 3 3 3 b) lim f) lim 3 4 c) lim g) lim d) lim 3 v 3 h) lim 4 5 ( ) 3 3 3 b) lim 0 c) lim d) lim 3 3 e) lim 3 3 0 f) lim 3 0 4 g) lim h) lim 4 5 ( ) ( ) lim 0 8.37. Halla lim f() y lim f() para f(). Como f() si si se tiene que lim f() lim y lim f() lim. 8.38. (TIC) Utiliza la calculadora para conjeturar el valor de lim y comprueba posteriormente si tu 0 conjetura es correcta. 0, 0,0 0,00,36603,0477,00498,0005 lim lim 0 0 lim 0 ( ) Solucionario 5

Solucionario 8.39. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar lim. 3 Haciendo una tabla para algunos valores 0 50 00 3 0,9766, 00 7,8 0 5 vemos claramente que lim 3 0. 8.40*. Calcula los siguientes límites. b) lim c) lim 3 d) lim 5 5 5 lim ( ) lim b) lim 3 lim 3 ( ) lim 3 c) lim lim ( ) lim d) lim 5 5 5 lim ( 5) 5 lim 5 5 5 5 Estudiamos los límites laterales: lim 5 Por tanto, no eiste el límite. 5 5, lim 5 5 5 Asíntotas 8.4. Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función f() y esboza la gráfica de ésta. Vertical : lim f() ; lim f() Horizontal y : lim f() lim f() 3 8.4. Tiene asíntotas verticales la función f()? No, pues su denominador no se anula nunca. 5 Solucionario

8.43. Di de qué tipo son las asíntotas de cada una de las funciones dadas por las siguientes gráficas, y da su ecuación si ésta resulta evidente. a) c) b) d) a) Asíntota horizontal y b) Asíntota horizontal y 0, asíntotas verticales en, c) Asíntota horizontal y 0 d) Asíntota vertical, asíntota oblicua y 8.44. De una cierta función f sabemos que lim f() y lim f(). Escribe una posible fórmula para f(). 3 En y en 3 hay asíntotas verticales, luego debe anularse el denominador. Éste puede ser, por ejemplo, ( )( 3). El numerador se elige para que el signo sea el adecuado. Escribiendo la función como f() ( ) 5 ( 3) comprobamos que se verifican las condiciones. 8.45. btén las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones. a) f() c) f() 3 b) f() d) f() 3 a) Como f(), la asíntota es y. b) Como f(), la asíntota es y. c) Como f() 3 5, la asíntota es y. d) Como f() 3, la asíntota es y 3. Solucionario 53

Solucionario 8.46. Encuentra, sin operar, la asíntota oblicua de cada una de las siguientes funciones. a) f() 4 c) f() 3 5 b) f() 3 3 d) f() a) y 4 c) y 3 b) y d) y b 8.47. Considera la función f() a siendo a, b y c números reales. Calcúlalos sabiendo que: c La gráfica de f presenta en una asíntota horizontal de ecuación y. La gráfica de f presenta en una asíntota vertical. El punto (6, 3) pertenece a la gráfica de f. b Como lim f() a, debe ser a. c 0, luego c. f(6) 3, luego debe ser b 5. 6 5 Así pues, la función es f(). ( 5) 8.48. btén las asíntotas horizontales y verticales de la función f() y esboza la gráfica de f. ( )( 3) Asíntotas verticales, pues lim f() ; lim f() 3, pues lim f() ; lim f() 3 3 Horizontal y, pues lim f() lim f() 8.49. Si f() 9, demuestra que f() se puede escribir como f() 5. Tiene alguna asíntota horizontal f ()? vertical? oblicua? Al dividir entre obtenemos de cociente 5 y de resto 9, luego 9 f() 5. f() no tiene asíntotas horizontales, pues lim f() ; lim f(). Tiene una asíntota vertical en, pues lim f() ; lim f(). 9 y 5 es asíntota oblicua, pues lim (f() ( 5)) lim 0; 9 lim (f() ( 5)) lim 0. 54 Solucionario

Continuidad 8.50. Señala los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y di de qué tipo son. a) b) a) 3 de salto finito, evitable y 4 de salto infinito b) 3 de salto finito y 3 de salto infinito 8.5. Calcula, si los hay, los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasifícalos. a) f() 3 c) f() 4 si 4 si b) f() d) f() 4 si 4 0 si a). De salto infinito c) Es continua siempre b). Evitable d). Evitable 8.5. Si f y g son funciones continuas con f () 7 y lim (3f() g()), calcula g(). lim g() 0, y como g es continua en, entonces g() 0. 8.53. Eplica por qué las funciones dadas son discontinuas en el punto cuya abscisa se señala: a) f() 4 en b) f() en 3 si 0 si c) f() en si 0 si a) Porque no eiste f(). b) Porque no coincide lim f() 3 con f() 0. c) Porque no eiste lim f(), ya que lim f() y lim f(). Solucionario 55

Solucionario 8.54. Halla el valor de a para el que la función f() a si sea continua en todos los puntos. a si Se debe verificar que el límite de f() cuando tiende a eista, por lo que los límites laterales deben coincidir: lim f() a lim f() a Por tanto, a a. Resolviendo la ecuación, se tiene que a. Para a, la función queda así: f() si si Para a, lim f() 0, al igual que f(), por lo que lim f() f() y la función es continua. 8.55. (PAU) Representa la siguiente función y estudia su continuidad en el punto 0. f() si 0 ( ) si 0 No es continua en 0 al presentar una discontinuidad de salto finito. 8.56. Dibuja una posible gráfica de una función continua f tal que f (0) y f (4) 8, y comprueba si eiste algún número c entre 0 y 4 tal que f (c) 3. Crees que la ecuación 5 7 tiene alguna solución comprendida entre y? El problema es equivalente a preguntar si la ecuación 5 6 0 tiene alguna solución comprendida entre y. La respuesta es sí, porque si consideramos la función f() 5 6 vemos que es una función continua y que f() 7 y f(), luego su gráfica corta al eje de abscisas entre y. 56 Solucionario

Límites en situaciones concretas 8.57. Antes de comenzar la producción en serie, una empresa aeronáutica ha fabricado 3 aparatos para venderlos, después de calcular los gastos de fabricación, realizar el estudio de mercado, etc., por un total de 9 millones de euros. Una vez efectuado este trabajo, comienza la producción en serie, siendo entonces de 0,3 millones de euros el coste de fabricación de cada avión. Se representa por el número de aviones fabricados en serie y por f () el precio total de un avión para aviones construidos. a) Eplica por qué f() 0, 3 9 para 0. 3 b) Calcula lim f() y eplica en términos económicos el valor obtenido. a) Para fabricar aviones en serie, primero fabricaron 3 con un coste de 3 millones cada uno, y después, aviones a 0,3 millones cada uno, luego el precio total de los 3 aviones ha sido de 0,3 3 3 0,3 9 millones de euros. Así pues, el precio medio por unidad construida en serie es de f() 0, 3 9 con 0. 3 b) lim f() lim 0, 3 9 0,3. El gasto inicial para la fabricación de los tres prototipos no encarece el producto si posteriormente se fabrica una gran cantidad de aparatos en 3 serie. 8.58. En un aparcamiento público se cobran 3 euros por la primera hora o fracción y por cada hora o fracción siguiente, hasta llegar a un máimo de euros por un día. a) Dibuja una gráfica que refleje el precio de dejar el coche en ese aparcamiento, como función del tiempo que permanece allí. b) Estudia los puntos de discontinuidad de esta función y su significado para alguien que deje su coche en ese aparcamiento. La función es discontinua en los puntos de abscisa,, 3, 4 y 5. Esto significa que diferencias de pocos minutos pueden hacerte pagar un euro más si la estancia ha sido próima a un número entero de horas. 8.59. Las conclusiones de un estudio demográfico establecen que el número de habitantes de una población 5 000t 0 000 vendrá dado en los próimos años por la función f(t) siendo t el número de años transcurridos. t a) Cuál es el tamaño actual de la población? b) Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? a) f(0) 5000 individuos. 5 000t 0 000 b) lim f(t) lim t t t 7500. Sí, se estabilizaría en 7500 individuos. 8.60. El rendimiento (medido de 0 a 00) de cierto producto en función del tiempo de uso (, en años) viene dado 3 por la siguiente epresión: f() 8,5, 0. Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tenía cuando era nuevo? No, pues lim f() lim 8,5 3 8,5, luego se mantendrá al menos como a 0 años. Solucionario 57

Solucionario PRBLEMAS 8 t 8.6. El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función f(t) ( donde t es t 3) el tiempo medido en años desde t 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo cuando el tiempo tiende a infinito. Población inicial f(0) 9 millones de habitantes lim f(t) lim t t 8 t ( t 3) millón de habitantes a largo plazo 8.6. (PAU) Se ha investigado el tiempo T, en minutos, que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento, en días, obteniéndose que: 300 si 0 30 30 T() 5 si 30 ( 5) ( 5) a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio. b) Se puede afirmar que cuanto más se entrene un deportista, menor será el tiempo en realizar la prueba? Algún deportista tardará más de 0 minutos en finalizar la prueba? c) Por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de 3 minutos? en menos de minutos? 300 a) En (0, 30) la función es continua, pues en ese intervalo el denominador de no se anula. 30 5 Lo mismo ocurre con la función, pues los puntos en los que es discontinua (5 y 5) no ( 5) ( 5) pertenecen al intervalo (30, ) en los que T toma esa epresión. Veamos qué ocurre en 0 y 30. 300 T(0) 0, lim T() lim 0 0 0 30 300 T(30) 5, lim T() lim 5 30 30 30 Así pues, T es continua en su dominio. lim T() lim 30 30 ( 5 5) ( 5) 5 b) Como en ambas epresiones los numeradores son fijos y los denominadores son cada vez mayores y la función es continua, entonces es decreciente. Así pues, el máimo valor lo toma en cero, que es 0. Ningún deportista puede tardar más de 0 minutos. c) Como lim 5 ( 5) ( 5) y la función es decreciente, se concluye que entrenando lo suficiente se puede hacer en menos de 3, pero nunca en menos de, aunque sí puede quedar muy próimo a minutos si entrena muchísimos días. 8.63. La temperatura (en grados centígrados) de un trozo de metal sumergido en una solución durante 9 horas 0 viene dada por T(t) 0 5t, 0 t 9. Halla: t a) La temperatura inicial del metal. b) A cuánto asciende la temperatura del metal al final del proceso? a) T(0) 30 C b) T(9) 33 C 58 Solucionario

8.64. Las pérdidas o ganancias de una empresa, epresadas en centenares de miles de euros cuando han transcurrido t años, vienen reflejadas por la función f(t) t 4. t a) Gana la empresa en los dos primeros años? b) Cuánto gana el 5. o año? c) Eiste límite para las ganancias? En caso afirmativo, cuál es el límite? a) f() 0, luego no gana nada en los dos primeros años. b) f(5) 0,86 centenares de miles de euros, es decir, 86 000 euros. c) Sí, y el límite es lim t t 4 t cientos de miles de euros, es decir, 00 000 euros. 8.65. (PAU) El precio en euros de litros de aceite comprados en una almazara viene dado por la función 3 si 0 0 P() a 000 si 0 a) Determina el valor de la constante a para que la función P() sea continua. b) Si se comprasen muchísimos litros de aceite, a cuánto saldría aproimadamente el precio de cada litro? a) Como deben coincidir los límites laterales, 60 400a 00 0, que tiene por solución a 4. b) lim 4 000 euros cada litro PRFUNDIZACIÓN 8.66. Hay algún número a para el que eista lim 3 a a 3? Si es así, calcula a y dicho límite. Como 0 si, para que eista el límite, debe ser 3 a a 3 0 si. Resolviendo a a 3 0 obtenemos a 5. lim 3 5 8 lim 3 ( ) ( 3) ( ) ( ) 8.67. Nos dicen que la función f() es continua en todos los números reales. (a 3) 3a si 3 3 si 3 Cuál es el valor de a? Debe ser lim 3 f() lim 3 f(). Como (a 3) 3a ( 3)( a), tenemos que lim f() lim 3 3 ( 3)( a) 3 a y 3 a si a. 3 8.68. Si f es continua en a y f (a) 0, es posible que en cualquier intervalo centrado en a se verifique que f tome algún valor negativo? No, pues si en cualquier intervalo centrado en a tomara alguna vez un valor negativo, entonces el lim f() no sería positivo y, por tanto, no podría coincidir con f(a), es decir, f no sería continua en a. Solucionario 59

Solucionario 8.69*. a) Si f es una función polinómica de 3. er grado, puedes asegurar que corta alguna vez al eje de abscisas? Justifica la respuesta. b) Considera la función g() donde f es una función polinómica de 3. er grado. Tiene g asíntotas f() verticales? oblicuas? Justifica las respuestas. a) Sí, porque al ser de grado impar, seguro que se verifica que los límites lim P() y lim P() tienen distinto signo, y al ser continua, si la función toma valores positivos y negativos, seguro que debe cortar al menos una vez al eje de abscisas. b) Seguro que tiene al menos una asíntota vertical, pues, como vimos en a, f() se anula al menos una vez y el numerador no se anula nunca. Carece de asíntota oblicua, pues tiene asíntota horizontal, ya que al tener f() grado mayor que, lim lim 0. f() f() 8.70. Encuentra una función continua f tal que: lim f() 0 y f(0 0 ) 0 00 f() k. Como f(0 0 ) 0 00, entonces 0 0 k 0 0 0 00, de donde k 0 0 0 0 y f() 0 0 0. 0 8.7. Es posible elegir los números a, b, c y d para que lim f() siendo f() a c b? d El límite será infinito si el grado del numerador es mayor que el del denominador, luego debe ser c 0, y para que sea positivo, debe ser a 0 y d 0 o a 0 y d 0. 8.7. Si f(), puedes asegurar que f tiene asíntotas horizontales? oblicuas? verticales? 7 Como lim f() lim f(), f tiene una asíntota horizontal de ecuación y y, por tanto, no tiene asíntotas oblicuas. Como D(f) R, f no tiene asíntotas verticales. 8.73. Calcula el dominio de la función f () 3 y obtén sus asíntotas. 3 9 D(f) R {, 3} Como lim f() ; lim f() y lim f() ; lim f(), entonces y 3 son las asíntotas 3 3 verticales de la función. Como lim 3 3 9 lim 3 3 9 3, y 3 es la asíntota horizontal. 60 Solucionario

8.74. Considera la siguiente función a trozos: 4 a si f() 5 si b 3 si a) Calcula los valores de a y b para que sea continua para todo. b) Haz una gráfica de la función obtenida en el apartado anterior. a) Para que sea continua en el debe ocurrir que 8 a, es decir, que a 9, y para que sea continua en el debe ocurrir que 4 b 3, esto es, b 7. La función queda de la forma: 4 9 si f() si 5 7 3 si b) a b si 8.75. Si la función f() b es continua en todos los números reales, calcula a y b. si 3 3 si 3 Para que sea continua se debe cumplir: f() a b lim f() lim (a b) lim f() lim (b ) b y f(3) 8b lim 3 f() lim 3 (b ) lim 3 f() lim 3 ( 3) 9 Luego se deben cumplir simultáneamente las condiciones a b b 8b 9 Así pues, a b. Solucionario 6