TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo: A det(a) A.. 2 1 Ejemplo: 2.4 ( 1). 8 + 4.2 DETERMINANTES DE ORDEN.2.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden tres es un número que se obtiene del siguiente modo: (Regl de Srrus) A 1 2 2 Det A A 2 1 2 [.. +. 2. 1 +. 2. ] [.. 1 +.. + 2. 2. ] 1 2 Ejemplo: 2 4 1 [1.4. + 2.( 1).2 + 2.0.( )] [.4.2 + 2.2. + ( 1).0.1] 2 0 [-4+0]-[-24++0] 8+ 20
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinnte de un mtriz coincide con el de su trspuest: A A t 7 4 A 77 + 20 97 5 t A A t 7 5 A 77 + 20 97 4 2. Si un determinnte tiene un líne (fil o column) de ceros, entonces su determinnte es cero. 0 0 0.6 0.7 0 7 6. Si permutmos dos fils (o dos columns) de un mtriz, su determinnte cmbi de signo. 1 7 A 2 4 8 [.4.9 + 2.6.7 + 5.1.8] [ 5.4.7 +.6.8 + 2.1.9] 5 6 9 7 1 B 8 4 2 [7.4.5 + 8.6. + 9.1.2] [9.4. + 7.6.2 + 8.1.5] 9 6 5 Los sumndos son el mismo pero con el signo cmbido B - A 4. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) igules, su determinnte es cero. 4 4..4 0 4 5. Si multiplicmos cd elemento de un fil (o de un column) de un mtriz por un número, el determinnte de es mtriz qued multiplicdo por ese número. 5.4 5.9 4 9 5. Por tnto α α n. A siendo n el orden de l mtriz A. (Un α de cd fil) 6. Si un mtriz tiene dos fils (o dos columns) proporcionles, su determinnte es cero. 60 6 60.7 6.70 0 70 7 7. Si un fil (o column) de un mtriz es sum de dos, su determinnte puede descomponerse en sum de los determinntes de dos mtrices, del siguiente modo: + b b b + c + c d c d c d Por tnto A + B A + B
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 8. Si un fil (o un column) de un mtriz se le sum un combinción linel de línes prlels, el determinnte no vrí. b + k b k b b + + 0 c d + k c d c k c d c d 9. Si un mtriz tiene un líne que es combinción linel de ls demás prlels, entonces su determinnte es cero (y recíprocmente) 1 2 (F 2F 2 - F 1 ) 2 4 4 [15 + 24 +24] [27+16+20] 6 6 0 5 10. El determinnte del producto de dos mtrices es igul l producto de sus determinntes: A.B A. B 2 5 1 7 Por ejemplo: A y B 7 20 2 4 8 4 A.B A.B -102 + 12 90 9 A 40 5 5; B 4 + 14 18 A. B 5.18 90. El determinnte de un mtriz tringulr es el producto de los elementos de l digonl principl 2 2.4 0. 2.4 0 4 Not: [1] I 1 [2] A -1 I A -1 I A. A -1 1 A -1 1/ A RESUMEN PRÁCTICO: Operciones con determinntes: 0 0 I 1 Mtriz tringulr Producto de los elementos de l digonl principl A t A A -1 1/ A A + B A + B α α n. A (siendo n el orden de l mtriz) A.B A.B
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 4 Un determinnte es nulo si: - Un líne (fil o column) es nul. - Dos línes prlels igules - Dos línes prlels proporcionles - Un líne es combinción linel de ls línes prlels ell. Otrs: - Si intercmbimos dos línes prlels el determinnte cmbi de signo F2 F2 + F1-1 F2 F2 + 4F1 + b b b - + c + c d c d c d.4 DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA.4.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz n x n es el resultdo de sumr todos los posibles productos de n elementos uno de cd fil y uno de cd column, con su signo o con el signo cmbido según un cierto criterio..4.2 OTRAS DEFINICIONES: M ij Mtriz Complementri de ij : Mtriz que se obtiene l suprimir l fil i y l column j α ij Menor complementrio de ij : Determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j A ij Adjunto del elemento ij : (-1) i+j.α ij (signo del elemento por el del determinnte que se obtiene l suprimir l fil i y l column j) Menor de orden r: Determinnte que se obtiene l seleccionr r fils y r columns de l mtriz 1 2 Ejemplo: A 4 5 6 7 8 9 2 Mtriz complementri del elemento : M 8 9 2 Menor complementrio del elemento : α 18 24 6 8 9 Adjunto del elemento : A (-1) 2+1. α (-1) [ 18 24] 6 1 2 1 5 6 Menores de orden 2:,,,... 4 5 4 6 7 9 2 8 9
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 5.4.2 DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LINEA Si los elementos de un fil o column de un mtriz cudrd se multiplicn por sus respectivos djuntos y se sumn los resultdos se obtienen el determinnte de l mtriz inicil. Se dice entonces que el determinnte está desrrolldo por los elementos de un líne. 1 2 2 + + 2 2.(-1) 2+1 2 -. 2 +. (-1) 2+2 1 +. 1-2. 1 + 2. (-1) 2+ 1 2 2.4. MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA Desrrollndo por los elementos de un fil o column (por ejemplo, por l primer fil)... 1n + +... ± 1n 1n Not: Si conseguimos que un fil o column teng todos sus elementos menos uno nulos, el desrrollo será más corto. F2 F2 + F1 (Pr ello hremos ceros en fils o columns, teniendo en cuent 1 ) F2 F2 + 4F1 desrrollo por 1ª column desrrollo por 1ª column Ejemplo: 5 2 6 1 2 1 1 2 4 1 5 7 5 0 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 8 0 1 1 1. 0 1 8 0 1 1 1. 0 0 9 2ª fil por ( ) + 1ª fil 2ª fil por ( 2) + ª fil ( 1). ( 1) 9 1ª fil por 1 + ª fil 18
TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 6.5 EL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES El rngo de un mtriz es el máximo orden de sus menores no nulos. ALGORIMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ El rngo de l mtriz nul es 0. Si l mtriz A no es nul rng(a) 1. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden dos es distinto de cero rng(a) 2. En cso contrrio rng(a) 1 Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden. Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden tres es distinto de cero Se ñden l mtriz nterior tods ls fils y columns posibles pr formr mtrices de orden 4. En cso contrrio rng(a) 2 Si el determinnte de lgun mtriz cudrd de orden cutro es distinto de cero rng(a) 4 En cso contrrio rng(a) Y sí hst que no se posible continur