Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio permite aproimar el valor de ua fució para u puto e cocreto y acotar el error cometido e dicha aproimació. Si f es cotiua e [a,] y derivable e (a,), eiste c (a,) tal que f f(a) f '(c) f f(a) + f '(c)( a). a Dar ua cota del valor utilizado el teorema del valor medio. Defiimos f que es ua fució cotiua y derivable e R +, e particular lo es e el itervalo [,]. Aplicado el teorema del valor medio e este itervalo, se obtiee f () f () + () + co c (,), es decir, <c< co lo c c cual < c < < <, 5, por cosiguiete, c c + < +, 5, 5 c E geeral, buscamos u poliomio que coicida co f e u puto dado a y que sea aproimadamete igual e las cercaías de dicho puto (etoro del puto). La aproimació más secilla correspode a la recta tagete a f e a: y-f(a)f '(a)(-a) f f (a) + f '(a)( a) Dar ua aproimació de l(.9) utilizado la recta tagete. La fució a utilizar es fl e el puto a, puesto que se cooce f()l, obteiedo: f(.9)l(.9)f(a)+f (a)(-a)f()+f ()(,9-)-., ya que f /. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía
E u puto próimo a a el error al utilizar la recta tagete e lugar de la epresió de la fució, será: Ef-f(a)-f (a)(-a) Costrucció del poliomio Buscamos u poliomio tal que f(a) (a), f (a) (a),, f ) (a) (a). El método debe ser cosistete, es decir, si cosideramos f la aproimació o debe producir igú error. Sea el poliomio de grado : segú las potecias de -a resulta: a + a + a +... + a a que ordeado + + + + b b ( a) b ( a)... b ( a) b ( a) co (a)b o para calcular el resto de los coeficietes b calculamos las derivadas sucesivas del poliomio: + + + + + ' b ( a) b ( a)... b ( a) b ( a) ;' (a) b '' b... ( )b ( a) ( )b ( a) ;'' (a) b.. i) i i) + i i ( )...( i )b ( a) ; (a) b i!.. ) ) ( )( )...3...b ; (a) b! ) (a) E cosecuecia los coeficietes ha de ser: b y el poliomio queda:! (a) (a)! Ordear 5 3 +7 +3+8 segú las potecias de -. ara 3 5 7 3 8 + + + e a resulta ()8 y las sucesivas derivadas: ' 5 + 4 + 3;' () 9 '' 3 + 4; '' () 74 ''' 3; ''' () 3 U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía
que sustituyedo e la epresió aterior: 3 ' '' 3 (a) (a) (a) (a) 3 ( a) (a) + ( a) + ( a) + ( a)!!! 3! 9 74 3 3 3 8 + ( ) + ( ) + ( ) 8 + 9( ) + 37( ) + 5( )!! 3! Defiició: Dada ua fució yf co derivadas hasta u cierto orde e u puto a, se deomia poliomio de Taylor de grado de f e a: f (a)! f"(a)! f (a)! ) f (a) + ( a) + ( a) +... + ( a) o abreviadamete T [ f,a] ) f (a) ( a)! Determiar el poliomio de Taylor de grado 3 de fl e a. Calculamos las derivadas sucesivas e a: f l f() l f' / f'() f '' f ''() 3 f ''' f '''() [ ] T 3 f l,a 3 ) 3 f () ( ) ( ) ( ) f () + f '()( ) + f ''() + f '''()!! 3! ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) +! 3! 3 3 3 Defiició: ara el valor cocreto de a el poliomio de Taylor se dice oliomio de MacLauri: T [ f,] ) f ()! Determiar el poliomio de Maclauri de grado de fch. Calculamos las derivadas sucesivas e a: f ch f() ch f' sh f'() sh f '' ch f ''() U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 3
[ ] T f ch,a ) f () ( ) f () + f '() + f ''() + +!!!! Usar el poliomio de Maclauri de grado 4 para dar ua aproimació del úmero e. E este caso utilizaremos la fució fe para la cual f()e: T 4 f e,a 4 ) 3 4 3 4 f () ( ) f () + f '() + f ''() + f '''() + f ''''() + + + +!! 3! 4!! 3! 4! ara resulta 3 4 65 e + + + +, 78! 3! 4! 4 Defiició: Sea f ua fució para la cual eiste el oliomio de Taylor de orde e el puto a, se defie resto de orde de f e a: R [ f,a] f T [ f,a] 3 Cálculo del resto: Q R f,a (a) ( + )! + Busquemos ua fució Q tal que sea ( ) Como f T [ f,a] R [ f,a] +, etoces: f (a) f "(a) f (a) Q f f(a) + ( a) + ( a) +... + ( a) + ( a)!!! ( + )! Sea fijo. Utilizamos la fució auiliar: ) + f (t) f "(t) f (t) Q F(t) f f(t) ( t) ( t)... ( t) ( t)!!! ( + )! ) + t [a,]. F verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, ya que: ) f(a) f"(a) f (a) Q + F(a) f f(a) ( a) ( a)... ( a) ( a)!!! ( + )! ) f f " f Q + F f f ( ) ( )... ( ) ( )!!! ( + )! Luego, F(a)F. Además F(t) es cotiua e [a,] y derivable e(a,) siedo:. defiida e U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 4
+ ) ) f "'(t) f "(t) f (t) f (t) F'(t) f '(t) f ''(t)( t) + f '(t) ( t) + ( t)... ( t) + ( t) +!!!! Q f "'(t) + ( + )( t) F'(t) f '(t) f ''(t)( t) + f '(t) ( t) + f ''(t)( t)... ( + )!! + ) ) + ) f (t) f (t) Q f (t) Q.. ( t) + ( t) + ( t) ( t) + (t)! ( )!!! ()! Etoces, c (a,) tal que F (c), es decir, + ) f (c) Q + ) F'(c) ( c) + ( c) Q f (c)!! resultado que el resto -ésimo es: [ ] [ ] R f,a f T f,a ( + )! + ) f (c) ( a) + co a<c< ó <a<c epresió que se cooce como el resto de Lagrage o térmio complemetario. 4 Acotació del error: Al aproimar f T [ f,a] se comete u error: [ ] E R f,a + ) f (c) ( a) + ( + )! yf T ( f,a) f( R ( f,a) T ( f( ),a) a U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 5
Si f +) es ua fució acotada e u etoro de a (por ejemplo, si es cotiua) f (c) ( a) ( a) ( a) má f (c) + ) + + + + ) ( + )! c [ a,] ( + )! ( + )! odemos aproimar f por e u etoro de a co la precisió deseada si más + ( a) que tomar suficietemete grade ya que para cada fijo, lim. ( + )! 5 Fórmula de Cauchy para el térmio complemetario o resto: Otra forma equivalete del resto se obtiee escribiedo c a +θ( a) siedo <θ< f (c) f (a +θ(a)) R ( a) ( a) ( + )! ( + )! + ) + ) + + E particular, si a: R + ) f (a+θh) h + + ) f ( θ) ( + )! ( + )! + siedo h-a 6 Fórmula de Taylor: Sea f ua fució derivable hasta el orde +, co derivadas cotiuas hasta el orde e u etoro del puto a, etoces, eiste c (a, ) tal que: ) f (a) f"(a) f (a) f f (a) + ( a) + ( a) +... + ( a)!!! Si a se obtiee la fórmula de Maclauri: f () f f () + +! f"()! ) f () +... +! + ) f ( θ) + ( + )! + ) f (c) + ( a) ( + )! + + co < θ < Qué error se comete al adoptar 65/4 como valor del úmero e? Teemos: fe ; a; 4 y (véase el ejemplo aterior) y el error + ) 5 f ( θ) + θ E R e ( + )! 5! 5 5 5 θ E() R 4() e < e < 3, 5 5! 5! 5! 4 ya que la fució epoecial es creciete y el valor de e lo podemos acotar por 3, pues segú el poliomio de Maclauri que e uestro caso da 65/4 es mayor que. U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 6
COMENTARIOS A LA FÓRMULA DE TAYLOR Notació: T [ f,a] oliomio de Taylor de f de grado e a. Cuado o haya cofusió posible, por simplificar epresioes, podremos simplemete T. ) ara cada fijo qué ocurre cuado? Es decir, a medida que crece el grado del poliomio de Taylor va siedo mejor la aproimació f T? + ( a) + ) Esto ocurrirá cuado R, es decir, cuado f (c). ( + )! + ( a) Como, para cada fijo, puede demostrarse que, basta que ( + )! fució acotada e u etoro de a para que se cumpla. a + ) Y, e este caso, será R M, siedo M sup f (z). ( + )! z (a,) + ) f + sea ua Ejercicio: Aplicado lo aterior, es fácil probar que el resto e las series de Maclauri de las fucioes se, cos y e, tiede a cero cuado tiede a ifiito (precisamete por que sus derivadas de orde +: se para próimos a cero). ) ara cada fijo qué ocurre cuado a? ( π π ), cos ( ), y + + + +, so fucioes acotadas e a) R es u ifiitésimo e a, es decir, lim R E efecto: lim R lim [ f - T ] f (a) T (a) f (a) f (a) fucioes cotiuas e a.., por ser f y T b) R es u ifiitésimo e a de orde mayor que. E efecto: ara, ( a) f f (a) f '(a)( a) f ''(a) R lim lim! ( a) ( a)? U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 7
L`Hôpital lim f ' f '(a) f ' '(a) ( a) ( a)! L`Hôpital lim f '' f ' '(a) f '' es cotiua e a ara 3, se haría eactamete igual, pero, aplicado la regla de L Hôpital tres veces e lugar de dos. ara, se aplicaría la regla de L Hôpital veces, llegado al mismo resultado: R lim. ( a) Notació: A veces se escribe, e el desarrollo de Maclauri, f T + O( + idicado co O( ) u ifiitésimo de orde mayor ó igual que + (que o es otro que el resto R ). E geeral, e a: + ) f T + O(( a) + ) c) E el caso particular de que f sea u ifiitésimo cuado a, al ser R otro ifiitésimo e a y verificarse que f T R, se tiee que: + c ) T f R es tambié u ifiitésimo e a (por ser resta de dos ifiitésimos ). Además, por ser ) lim T f(a) f '(a) f ''(a) f (a) lim + + +... + ( a) - - ( - a) ( - a)!( - a)!( - a) ( a) lim T se deduce que T es u ifiitésimo de orde meor que, y por tato, de meor orde que R. c ) Como cosecuecia de lo aterior y aplicado que la suma de ifiitésimos es u ifiitésimo equivalete al sumado de meor orde, se verifica: es decir, f y poliomio ulo. f T + R T T so ifiitésimos equivaletes e a, para u tal que o sea el T U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 8
c 3 ) Si g es otro ifiitésimo e a que cumple las hipótesis de la fórmula de Taylor, se verifica: lim f g T lim T m [ f,a] [ g,a] supoiedo T [ f,a] y T [ g,a] e u etoro de a (se toma y m los meores m que lo verifica, pudiedo ser y m distitos etre sí). Esta igualdad de límites se obtiee aplicado la propiedad de que u ifiitésimo e a que aparezca como factor o divisor e ua epresió de la que se quiera calcular su límite cuado a, puede sustituirse por otro ifiitésimo equivalete y el límite o varía. Álgebra de los oliomios de Taylor. ara obteer el oliomio de Taylor de ua fució compuesta, muchas veces es preferible desarrollar por separado las fucioes compoetes y sumar, restar o multiplicar los poliomios de Taylor de las respectivas fucioes. 3) Si f y g so dos fucioes que cumple las hipótesis de la Fórmula de Taylor e u etoro de a, llamado T (f ) y T (g) a los respectivos poliomios de Taylor de grado e a, se verifica: a) T (f ± g) T (f ) ± T (g) + + b) T (f g) T (f ) T (g) térmios e,,...,. 4) Fórmula de Taylor para la fució compuesta f a ϕ b c F f ϕ Si coocemos los desarrollos de Taylor de las fucioes y ϕ e a, y de y f e ϕ(a) b: + () ϕ c + c( a) + c ( a) +... + c ( a) + O [( a) ] + () f a + a ( b) + a ( b) +... + a ( b) + O [( b ] etoces, se verifica: ) (3) F f ( ϕ) b [ a ] + b( a) + b ( a) +... + b ( a) + O ( ) estos coeficietes b i de la siguiete forma:, obteiédose U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 9
E () se sustituye por ϕ y luego se sustituye ϕ por su desarrollo (), efectuado las correspodietes operacioes matemáticas y coservado solo los térmios e la forma b ( a, co,,...,. ) E el caso particular: m ϕ ( ) A y f a + a + a +... + a O( ) etoces: + f ( ϕ ) a + a (A ) + a (A ) +... + a (A ) m m m Si h es la fució derivada de f etoces T [ h,] ( T [ f, ] ) Si h es ua fució primitiva de f etoces: T [ h,] T [ f (t),] Fórmulas de MacLauri de alguas fucioes: dt 3 4 + c e + + + + +... + + e co c, o bie c,! 3! 4!!! ( + ) ( ) ( ) 3 4 + (+ ) l( + ) + +... + ( ) + ( ) ( + c) 3 4 + c, o bie c, ( ) ( ) 3 5 7 + π π s e + +... + s e + s e c + + 3! 5! 7!!! ( ) ( + ) ( ) ( ) c, o bie c, 4 6 + π π cos + +... + cos + cos c + +! 4! 6!!! + ( ) + ( ) ( + + ) ( ) 3 35 3 ( )... ( )! 3!! 35 + ( ) co c (, ) o bie c (,)! 3 + + + + + + 3 + c ( ) ( + ) c (, ) o bie c (, ) U. D. de Matemáticas. ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía