SELECTIVIDAD Estaística. Juio 00 (Opc. A) Se quiere comprobar si ua máquia estiaa al lleao e evases e agua mieral ha sufrio u esajuste. Ua muestra aleatoria e iez evases e esta máquia ha proporcioao los siguietes resultaos: 0,49 0, 0,1 0,48 0,3 0, 0,49 0,0 0, 0,49. Supoieo que la catia e agua mieral que este tipo e máquias eposita e caa evase sigue ua istribució ormal e meia 0, litros y esviació típica 0,0 litros, se esea cotrastar si el coteio meio e los evases e esta máquia es e 0, litros, co u ivel e sigificació el %. a) Platear las hipótesis ula y alterativa el cotraste. b) Determiar la regió crítica el cotraste. c) Realizar el cotraste. a) Hipótesis ula H 0 : μ = 0. Hipótesis alterativa H 1 : μ 0. b) Zoa e aceptació : μ zα, μ + zα Regió crítica o e rechazo: si x > μ + zα o x < μ zα E uestro caso: μ = 0., = 0.0, α = 0.0 z α/ = 1.96 Zoa e aceptació: [0.4876, 0.14] Regió crítica: R [0.4876, 0.14] c) x = x i =.08 = 0.08 Como 0.08 Є [0.4876,0.14] Aceptamos la hipótesis ula : μ = 0. litros a u ivel e sigificació el %. Por lo que poemos cocluir que la máquia o ha sufrio esajustes. Juio 00 (Opc. B) La uració e las llamaas e teléfoo, e ua oficia comercial, sigue ua istribució ormal co esviació típica seguos. Se hace ua ecuesta etre 0 llamaas y la meia e uració obteia e esa muestra es 3 seguos. Calcular u itervalo e cofiaza al 99% para la uració meia e las llamaas. X~N μ,, x = 3, = 0, 1 α = 99% X~N μ, 0 Z = X μ / 0 ~N(0,1) El itervalo e cofiaza e la meia poblacioal µ viee ao por p x z α/ μ x + z α/ = 1 α Luego: p x.8 0 μ x +.8 = 0.99 p 31.36 μ 38.64 = 0.99 0 El itervalo e cofiaza al 99% para la uració meia e las llamaas e teléfoo es: (31.36, 38.64) IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 1
Septiembre 00 (Opc. A) Los epósitos mesuales, e euros, e ua etia bacaria, sigue ua istribució ormal e meia µ y e esviació típica =, l. Co el fi e cotrastar si la meia e los epósitos mesuales es 0 euros, se toma ua muestra e tamaño 16. resultao ser la meia muestral,4 euros. Se puee aceptar la hipótesis e que la meia es 0 a u ivel e sigificació el % X~N μ,.1, x =.4, = 16 Hipótesis ula H 0 : μ = 0 Hipótesis alterativa H 1 : μ 0 Zoa e aceptació : μ z α/, μ + z α/ Regió crítica o e rechazo: si x > μ + z α/ o x < μ z α/ E uestro caso: μ = 0, =.1, α = 0.0 z α/ = 1.96 Zoa e aceptació: [17.01,.499] Regió crítica: R [17.01,.499] Como.4 Є [17.01,.499] Aceptamos la hipótesis ula : μ = 0 euros a u ivel e sigificació el % Septiembre 00 (Opc. B) De ua població co istribució ormal e meia 0 y esviació típica 6, se extrae ua muestra aleatoria e tamaño y se calcula su meia muestral. a) Qué valor ebe teer para que se cumpla la esiguala x µ < co ua probabilia e 0,9? b) Resolver el apartao aterior co ua probabilia e 0,90. Comparar ambos resultaos. X~N μ, X~N μ, p X μ < = 1 α p < X μ < = 1 α X μ p zα < Z < zα = 1 α p zα < / < zα Luego = zα = zα a) 1 α = 0.9 zα = 1.96 = 1.96 6 = 34.744 = 3 b) 1 α = 0.90 zα = 1.6 = 1.6 6 = 4.0 = X μ Z = ~N(0,1) = 1 α p zα < Z < zα = 1 α IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia
Juio 003 (Opc. A) Se estima que el tiempo e reacció e u couctor ate u obstáculo imprevisto tiee ua istribució ormal co esviació típica 0,0 seguos. Si se quiere coseguir que el error e estimació e la meia o supere los 0,01 seguos co u ivel e cofiaza el 99%, qué tamaño míimo ha e teer la muestra e tiempos e reacció? Como e el problema aterior 1 α = 0.99 zα =.8 =.8 0.0 0.01 = 166.41 ~167 El tamaño míimo e la muestra ebe ser 167 Juio 003 (Opc. B) Se probaro automóviles, escogios aleatoriamete e ua misma marca y moelo, por couctores co la misma forma e coucir y e carreteras similares. Se obtuvo que el cosumo meio e gasolia, e litros, por caa 0 kilómetros fue e 6,. Estuios previos iica que el cosumo e gasolia tiee ua istribució ormal e esviació típica litros. Determiar u itervalo e cofiaza al 9% para la meia el cosumo e gasolia e estos automóviles. X~N μ,, x = 6., =, 1 α = 99% X~N μ, Z = X μ / ~N(0,1) El itervalo e cofiaza e la meia poblacioal µ viee ao por p x z α/ μ x + z α/ = 1 α Luego: 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 p 6. 1.96 μ x + 6. = 0.9 p.6 μ 7.74 = 0.9 El itervalo e cofiaza al 9% para la meia el cosumo e gasolia es: (.6, 7.74) Septiembre 003(Opc. A) El tiempo e coexió a Iteet e los alumos e cierta uiversia, sigue ua istribució ormal co esviació típica 1 miutos. Para estimar la meia el tiempo e coexió, se quiere calcular u itervalo e cofiaza que tega ua amplitu meor o igual que 6 miutos, co u ivel e cofiaza el 9%. Determiar cuál es el tamaño míimo e la muestra que es ecesario observar. Como e el problema e Septiembre 00 (Opc. B) = zα = zα Amplitu = < 6 < 3 y 1 α = 0.9 zα = 1.96 1 3 = 96.04 ~97 ha e ser el tamaño míimo e la muestra = 1.96 IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 3
Septiembre 003 (Opc. B) Se ha extraío ua muestra e 10 familias e resietes e u barrio obteiéose que la reta familiar meia e la misma asciee a 0000 euros. Se supoe que la reta familiar e los resietes e el barrio sigue ua istribució ormal e esviació típica 100 euros. a) A partir e estos atos, calcular u itervalo e cofiaza para la reta familiar meia co u ivel e cofiaza el 9%. b) Qué tamaño muestra] míimo es ecesario para coseguir, co u ivel e cofiaza el 90%, u error e la estimació e la reta familiar meia o superior a ±14 euros? X~N μ, 100, x = 0000, = 10 X~N μ, 100 10 Z = X μ 100/ 10 ~N(0,1) I = x z α/, x + z α/ ; = zα = zα a) 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 I = 0000 1.96 100 100, 0000 + 1.96 1979.9,040.0 10 10 b) 1 α = 0.99 z α/ =.8 = ±14 =.8 100 14 = 74.7 ~743 El tamaño muestral míimo es e 743 iiviuos Juio 004 (Opc. A) E u servicio e ateció al cliete, el tiempo e espera hasta recibir ateció es ua variable aleatoria ormal e meia miutos, y esviació típica miutos. Se toma muestras aleatorias el tiempo e espera e los clietes que llega e u ía cocreto. Se pie: a) Cuál es la probabilia e que, el tiempo meio e espera e ua muestra e clietes o supere los 9 miutos? b) Cuál es la istribució e, la meia muestral si se toma muestras aleatorias e 64 clietes?. Especificar sus parámetros. X μ X~N μ, X~N μ, Z = ~N(0,1) a) X~N, X~N, = N(,0.4) Z = X ~N(0,1) 0.4 p X < 9 = p Z < 9 = p Z <. = 1 p Z <. = 1 0.9938 = 0.006 0.4 b)meia e la població: µ = ; Desviació típica e la població: = Tamaño e la muestra: =64, Desviació típica e la muestra: = 0. Luego: X~N, 64 = N,0. IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 4
Juio 004 (Opc. B) El precio e ciertos electroomésticos puee cosierarse ua variable aleatoria co istribució ormal e esviació típica 0 euros. Los precios e euros correspoietes a ua muestra e 9 e, estos electroomésticos so 8 90 80 80 7 90 13 a) Costruir u itervalo e cofiaza al 98% para la meia. poblacioal. b) Hallar el tamaño míimo que ebe teer la muestra,, para que co u ivel e cofiaza el 99%, el error e estimació el precio meio o supere los 0 euros. a) = =9 x = x i = +8++90+80+80+7+90+13 = 16 ~178.89 9 9 1 α = 0.98 z α/ =.33 I = 178.89.33 0, 178.89 +.33 0 1., 6.6 9 9 b) 1 α = 0.99 z α/ =.8 = ±14 =.8 0 = zα = 6.69 ~7 0 El tamaño muestral míimo es e 7 iiviuos Septiembre 004(Opc. A) Ua muestra aleatoria e 9 tarrias e helao proporcioa los siguiete pesos e gramos 88 90 90 86 87 88 91 9 89 Hallar u itervalo e cofiaza al 9% para la meia e la població, sabieo que el peso e las tarrias tiee ua istribució ormal co ua esviació típica e 1,8 gramos. = =9 x = x i = 88+90+90+86+87+88+91+9+89 = 801 = 89 9 9 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 I = 89 1.96 1.8 9, 89 + 1.96 1.8 9 87.8, 90.18 Septiembre 004(Opc. B) Calcular el tamaño míimo que ebe teer ua muestra aleatoria para garatizar que, e la estimació e la meia e ua població ormal co variaza igual a 60, al 90% e cofiaza, el error e estimació cometio o sea superior a 3 uiaes. 1 α = 0.90 z α/ = 1.96 3 = zα 1.6 60 = = 89 3 IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia
Juio 00 (Opc. A) E ua ecuesta se preguta a.000 persoas cuátos libros lee al año, obteiéose ua meia e libros. Se sabe que la població tiee ua istribució ormal co esviació típica. a) Hallar u itervalo e cofiaza al 80% para la meia poblacioal. b) Para garatizar u error e estimació e la meia poblacioal o superior a a) = =000 x = 1 α = 0.80 p z α/ Z z α/ = 1 α = 0.80 p Z z α/ 1 = 0.80 p Z z α/ = 0.90 z α/ = 1.8 z α/ =.33 I = 1.8 000 000 4.974,.06 b) 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 = 0. = 1.96 = zα = 4.864 ~46 0. El tamaño muestral míimo es e 46 persoas Juio 00 (Opc. B) Para ua població N(µ, = ), qué tamaño muestral míimo es ecesario pasa estimar µ meiate u itervalo e cofiaza, co u error meor o igual que uiaes, y co ua probabilia mayor o igual que 0,9? 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 = = zα 1.96 = = 96.04 ~97 El tamaño muestral míimo es e 97 iiviuos Septiembre 00 (Opc. A) La uració e las baterías e u etermiao moelo e teléfoo móvil tiee ua istribució ormal e meia 34, horas y esviació típica 6,9 horas. Se toma ua muestra aleatoria simple e 36 teléfoos móviles. a) Cuál es la probabilia e que la uració meia e las baterías e la muestra esté compreia etre 3 y 33, horas? b) Y e que sea mayor e 38 horas? X~N 34., 6.9 X~N 34., 6.9 36 X 34. = N(34., 1.1) Z = ~N(0,1) 1.1 a) p 3 X 33. = p 3 34. Z 33. 34. = p.17 Z 0.87 = p 0.87 Z.17 = 1.1 1.1 p Z.17 p Z 0.87 = 0.980 0.8078 = 0.177 b) p X > 38 = p Z > 38 34. 1.1 = p Z > 3.04 = 1 p Z < 3.04 = 1 0.9988 = 0.001 IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 6
Septiembre 00 (Opc. B) El tiempo e reacció e ua alarma electróica ate u fallo el sistema es ua variable aleatoria ormal co esviació típica. 1 seguo. A partir e ua muestra e 0 alarmas se ha estimao la meia poblacioal el tiempo e reacció, meiate u itervalo e cofiaza, co u error máximo e estimació igual a 0, seguos. Co qué ivel e cofiaza se ha realizao la estimació? = 1 seg = 0 = 0. seg = z α/ 0. 0 z α/ = = = 1 p < Z < = 1 α p Z < 1 = 1 α 1 α = 0.977 1 = 0.944 La estimació se ha realizao co u ivel e cofiaza el 9.44 % Juio 006 (Opc. A) E cierta població humaa, la meia maestral X e ua característica se istribuye meiate ua istribució ormal. La probabilia e que X sea meor o igual que 7 es 0,8 y la e que X sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la meia. y la esviació típica e X. (Tamaño muestral = 0) X~N μ, 0 = N μ, Z = X μ = ~N(0,1) p X 7 = 0.8 p X > 80 = 0.04 p Z p Z > 7 μ 80 μ = 0.8 = 0.04 p Z p Z < 7 μ 80 μ = 0.8 = 1 0.04 7 μ p Z / = 0.8 80 μ p Z < / = 0.96 7 μ / = 0.0 80 μ / = 1.76 70 μ = 0.0 800 μ = 1.76 μ = 74.36 = 3.0 IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 7
Juio 006 (Opc. B) El tiempo e espera e miutos e ua vetailla se supoe aproximao meiate ua istribució N(µ., ) co igual a 3 miutos. Se lleva a cabo u muestreo aleatorio simple e iiviuos y se obtiee que la meia muestral el tiempo e espera es e miutos. Determiar u itervalo e cofiaza al 9% para µ. = 3 mi = x = mi 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 I = 1.96 3, + 1.96 3 3. 1406, 6. 994 Septiembre 006(Opc. A) La uració e la batería e cierto moelo e teléfoo móvil se puee aproximar por ua istribució ormal co ua esviació típica e meses. Se toma ua muestra aleatoria simple e baterías y se obtiee las, siguietes uracioes (e meses): 33, 34, 6, 37, 30, 39, 6, 31, 36, 19 Hallar u itervalo e cofiaza al 9% para la uració meia e este moelo e batería. = = x = x i = 33+34+6+37+30+39+6+31+36+19 = 311 = 31.1 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 I = 31.1 1.96, 31.1 + 1.96 8.0, 34. La meia e la població está e el itervalo (8; 34,) co u 9 % e probabilia. Septiembre 006(Opc. B) El peso e kg e los estuiates uiversitarios e ua gra ciua se supoe aproximao por ua istribució ormal co meia 60 kg y esviació típica 8 kg. Se toma 0 muestras aleatorias simples e 64 estuiates caa ua. Se pie: a) La meia y la esviació típica e la istribució e la meia muestral, b) E cuátas e las 0 muestras cabe esperar ua meia etre 9 y 61 kg? a) X~N 60, 8 X~N 60, 8 64 = N(60, 1) Z = X 60 ~N(0,1) 1 Meia muestral: µ = 60 Desviació típica e la meia muestral: 8 64 = 1 b) p 9 < X < 61 = p 9 60 1 < Z < 61 60 1 = p 1 < Z < 1 = p Z < 1 1 = = 0.8413 1 = 0.686 E X = p 9 < X < 61 = 0 0.686 = 6.63 63 E 63 e las 0 muestras cabe esperar ua meia etre 9 kg y 61 kg. IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 8
Juio 007(Opc. A) La ea a la que cotrae matrimoio los hombres e la. Isla Barataría es ua variable aleatoria que se puee aproximar por ua istribució ormal e meia 3 años y esviació típica e años. Se elige aleatoriamete ua muestra e 0 hombres e icha isla. Sea X la meia muestral e la ea e casamieto. a) Cuáles so la meia y la variaza e X? b) Cuál es la probabilia e que la ea meia e la muestra esté compreia etre 36 y 37 años? a) X~N 3, X~N 3, Meia muestral: µ = 3 Variaza e la meia muestral: b) ) p 36 < X < 37 = p 36 3 0. = 1 0.977 = 0.08 0 = N(3, 0.) Z = X 3 0. ~N(0,1) Desviació típica e la meia muestral: 0 = 0. < Z < 37 3 0. 0 = 0. = p < Z < 4 = p Z < 4 p Z < = Juio 007(Opc. B) La uració e las rosas coservaas e agua e u jarró es ua variable aleatoria que se puee aproximar por ua istribució ormal co ua esviació típica e horas. Se toma ua muestra aleatoria simple e rosas y se obtiee las siguietes uracioes (e horas): 7, 49, 70, 40, 4, 44, 49, 3,, 4 Hallar u itervalo e cofiaza al 9% para la uració meia e las rosas. = = x = x i = 7+49+70+40+4+44+49+3++4 = 486 = 4.8 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 I = 4.8 1.96, 4.8 + 1.96 4.40, 4.80 La meia e la població está e el itervalo (4,40; 4,80) co ua probabilia el 9%. IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 9
Septiembre 007 (Opc. A) Se supoe que la recauació iaria e los comercios e u barrio etermiao es ua variable aleatoria que se, puee aproximar por ua istribució ormal e esviació típica 38 euros. Se ha extraío ua muestra e 0 comercios e icho barrio, obteiéose que la recauació iaria meia asciee a 148 euros. Calcular: a) El itervalo e cofiaza para la recauació iaria meia co u ivel e cofiaza el 99%. b) El tamaño muestral míimo ecesario para coseguir, co u ivel e cofiaza el 9%, u error e la estimació e la recauació iaria meia meor e 17 euros. a) = 38 =0 x = 148 1 α = 0.99 p z α Z z α = 1 α = 0.99 p Z z α 1 = 0.99 p Z z α = 0.99 z α/ =.7 I = 148.7 38 38, 148 +.7 0 0 b) 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 < 17 = zα 1.96 38 = =.6 ~6 17 El tamaño muestral míimo es e 6 = 1163. 4, 133. 46 Septiembre 007 (Opc. B) El tiempo ivertio e cear por caa cliete e ua caea e restaurates es ua variable aleatoria que se puee aproximar por ua istribució ormal co esviació típica e 3 miutos. Se quiere estimar la meia e icho tiempo co u error o superior a miutos, y co u ivel e cofiaza el 9%. Determiar el tamaño míimo maestral ecesario para poer llevar a cabo icha estimació. 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 = zα 1.96 3 = = 39.33.. ~40 El tamaño muestral míimo es e 40 iiviuos IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia
Juio 008 (Opc. A) El tiempo e miutos eicao caa ía a escuchar música por los estuiates e secuaria e ua cierta ciua se supoe que es ua variable aleatoria co istribució ormal e esviació típica igual a 1 miutos. Se toma ua muestra aleatoria simple e estuiates y se obtiee los siguietes tiempos (e miutos): 91 ; 68 ; 39 ; 8 ; ; 70 ; 7 ; 6 ; 4 ; 67 a) Determíese u itervalo e cofiaza al 90% para el tiempo meio iario eicao a escuchar música por u estuiate. b) Calcúlese el tamaño muestral míimo ecesario para coseguir ua estimació e la meia el tiempo iario eicao a escuchar música co u error meor que miutos, co u ivel e cofiaza el 9%. a) = 1 = x = 91+68+39+8++70+7+6+4+67 1 α = 0.90 = 660 = 66 p z α/ Z z α/ = 1 α = 0.90 p Z z α/ 1 = 0.90 p Z z α/ = 0.9 z α/ = 1.64 I = 66 1.64 1, 66 + 1.64 1 8. 197, 73. 803 b) 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 < = 1.96 1 = zα = 34.744 ~3 El tamaño muestral míimo es e 3 estuiates Juio 008 (Opc. B) El reimieto por hectárea e las platacioes e trigo e ua cierta regió, se supoe que es ua variable aleatoria co istribució ormal e esviació típica igual a 1 toelaa por hectárea. Se ha tomao ua muestra aleatoria simple e 64 parcelas co ua superficie igual a 1 hectárea caa ua, obteiéose u reimieto meio e 6 toelaas. a) Puee asegurarse que el error e estimació el reimieto meio por hectárea es meor que 0, toelaas, co u ivel e cofiaza el 98%? Razóese. b) Qué tamaño muestral míimo ha e tomarse para que el error e la estimació sea meor que 0, toelaas co u ivel e cofiaza el 9%? X~N μ, 1 X~N μ, 1 64 X μ = N μ, 0.1 Z = ~N 0,1 0.1 x = 6 a) p X μ < 0. > 0.98? X μ p X μ < 0. = p 0.1 < 0. 0.1 = p Z < = p Z < 4 1 = 1 0.98 < 1 = p X μ < 0. Puee asegurarse que el error es meor b) p X μ < 0. > 0.9 p Z < 0. 1/ El tamaño muestral míimo ha e ser e 16 > 0.9 1.96 < 0. 1/ > 1.96 0. = 1.36 IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 11
Septiembre 008 (Opc. A) Se supoe que la calificació e Matemáticas obteia por los alumos e ua cierta clase es ua variable aleatoria co istribució ormal e esviació típica 1, putos. Se elige ua muestra aleatoria simple e tamaño y se obtiee ua suma e sus calificacioes igual a 9, putos. a) Determíese u itervalo e cofiaza al 9% para la calificació meia e la clase. b) Qué tamaño ha e teer la muestra para que el error máximo e la estimació sea e 0, putos, co el ivel e cofiaza el 9%? a) = 1., =, x = x i = 9. =.9 1 α = 0.9 z α/ = 1.96 IC = x ± z α/ =.9 ± 1.96 1. =.0, 6.88 La meia e la població está e el itervalo (,0 ; 6.88) co u 9% e probabilia b) ) p X μ < 0. > 0.9 p Z < 0. El tamaño muestral míimo ha e ser e 3 1./ > 0.9 1.96 < 0. 1./ > 1.96 1. 0. = 34.744 Septiembre 008 (Opc. B) La uració e la via e ua etermiaa especie e tortuga se supoe que es ua variable aleatoria, co istribució ormal e esviació típica igual a años. Se toma ua muestra aleatoria simple e tortugas y se obtiee las siguietes uracioes, e años: 4 6 ; 3 8 ; 9 ; 9 ; 3 4 ; 3 ; 3 8 ; 1 ; 4 4 ; 3 4 a) Determíese u itervalo e cofiaza al 9% para la via meia e icha especie e tortugas. b) Cuál ebe ser el tamaño e la muestra observaa para que el error e la estimació e la via meia o sea superior a años, co u ivel e cofiaza el 90%? a) ) =, =, x = x i IC = x ± z α/ = 46+38+9+ +34 = 37 = 37., 1 α = 0.9 z α / = 1.96 = 37. ± 1.96 = 31.30, 43.698 La via meia e las tortugas está e el itervalo (31.30 ; 43.698) co u 9% e probabilia b) 1 α = 0.90 z α/ = 1.6 p X μ < > 0.90 p Z < / > 0.90 1.6 < / > 1.6 =.89 Se ebe observar 11 tortugas para que el error o sea superior a años, co u ivel e cofiaza el 90%. IES JAIME FERRÁN Mª Cruz Gozález Págia 1