Població y tamaño de la muestra e la ivestigació cietífica People ad size of the sample i the scietific research Dr. Atoio Amílcar Ulloa Llerea * DSLIND: La ivestigació cietífica como promotora de la creació de uevos coocimietos y de los cambios para mejorar la calidad de vida de los seres vivos e la aturaleza, es ua de las fucioes pricipales de la uiversidad peruaa y u compromiso que acicatea a todas las profesioes. el Perú, e las dos últimas décadas las uiversidades ha desarrollado sus seccioes de postgrado co diversidad de maestrías y doctorados, que uidos al pre-grado, ha icremetado sigificativamete la producció de trabajos de ivestigació como trabajos de tesis para graduació, lo que costituye ua fortaleza para el adelato técicocietífico del país y del mudo. Si embargo, pocos so los trabajos de ivestigació que ha deslidado, e forma clara, su ámbito materia de la ivestigació o sea la població e la cual se ivestiga y meos aú, el dimesioamieto de la muestra ecesaria y suficiete para el desarrollo de la ivestigació. Tal vez, ua de las razoes de esta situació e las ivestigacioes, sea la falta de u compedio o trabajo especializado que resuma o sitetice los diversos elemetos ivolucrados e el diseño de la població y de la muestra e la ivestigació cietífica, este artículo pretede ser u modesto aporte que cotribuya a llear este vacío, que ayude a quiees se propoe a ivestigar, e esta parte ta importate, que costituye el diseño de la població y de la muestra e la ivestigació cietífica. trado e el tema, uestra primera coclusió es que, es axiomático que e toda ivestigació cietífica se tiee que determiar e forma clara, el ámbito o població materia de la ivestigació y e qué parte o muestra se va a trabajar la ivestigació e forma directa, lo que amerita fijar alguos coceptos defiidos co precisió para el desarrollo del tema. Ceso: Se deomia ceso, al proceso de realizar u estudio para recolectar datos de toda ua població, es decir, cuado e la ivestigació iterviee e forma directa, todos los elemetos materia de la ivestigació. jemplo: l gobiero peruao realiza u ceso aproximadamete cada 10 años, dode iterviee toda la població. Cuado de todos los elemetos a ivestigar se va a obteer datos, se dice que la ivestigació es cesal, y la estadística que se aplica e este estudio se deomia estadística descriptiva. jemplo: si para ivestigar el peso promedio de los alumos del aula, iterviee los pesos de todos los alumos del aula. Uiverso: Llamamos uiverso de la ivestigació cuado e la totalidad de seres que va a ser objeto de la ivestigació se comprede, además de persoas, a aimales, cosas o etes e geeral. Població: Alguos autores usa el térmio població cuado el campo de trabajo de la ivestigació comprede solo persoas; si embargo, otro gra úmero de ivestigadores usa població para referirse tato a persoas, como aimales, platas, seres iaimados o etes abstractos como úmeros o catidades. este trabajo usamos el térmio de població para desigar al cojuto de todos los elemetos materia de la ivestigació, o sea aplicamos la siguiete defiició: Població es el cojuto de todos los elemetos de iterés e u estudio determiado. jemplo: los estudiates matriculados e la USMP e el Semestre Académico 011-I. Muestra: Cuado la població es ifiita o fiita pero umerosa, de maera que o es posible hacer la ivestigació e toda la població o ivestigació cesal por razoes de costos, de tiempo o ecoómicas e geeral, o cuado e la ivestigació se destruye la muestra, se hace ecesario tomar ua muestra represetativa de la població, que ivolucre elemetos, e las proporcioes que cotiee la població, co sus atributos, sus propiedades y sus características, de tal maera que, aplicadas las pruebas estadísticas o de hipótesis correspodietes, se determie, e base al trabajo muestral, lo que ocurre, co seguridad e la població. geeral, aplicamos la siguiete defiició: muestra es u subcojuto de la població. La estadística que se aplica e este estudio se deomia estadística iferecial. jemplos: - Tomar al azar 10 alumos de cada escuela profesioal de la USMP, ó - Las empresas de ivestigació de mercado, cada día realiza estudios muestrales, para estimar coclusioes e las poblacioes correspodietes. (*) Docete de la Facultad de Ciecias Cotables, coómicas y Fiacieras Alterativa Fiaciera 1 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 1 10/09/01 05:08:16 p.m.
La determiació o diseño de la muestra, e todo trabajo de ivestigació, es crucial e el estudio de la població, por esta razó se propoe diversas técicas, aplicables segú la aturaleza de la població. MUSTRAS ALATORIAS Y MUSTRAS NO ALATORIAS Si cada elemeto de la població de iterés, o població objetivo, tiee la misma posibilidad de ser elegido, se obtedrá ua muestra aleatoria; e cambio, si algú elemeto de la població tiee mayores o meores posibilidades de ser elegido que otros, se obtedrá ua muestra o aleatoria. Métodos de muestreo aleatorio Muestreo aleatorio simple Aplicable a poblacioes uiformes, si estratos, i coglomerados. l muestreo aleatorio simple y el proceso de selecció de ua muestra aleatoria simple depede si la població es fiita o ifiita. Població fiita Ua muestra aleatoria simple de tamaño de ua població fiita de tamaño N es ua muestra seleccioada de maera que, cada posible muestra de tamaño, tega la misma posibilidad de ser seleccioada. xiste diversos procesos de selecció, desde colocar e ua caja los úmeros correspodietes a los elemetos de la població para extraer al azar los úmeros de los elemetos de la muestra, de uo e uo, de maera que e cada paso, cada uo de los elemetos que queda e la població, tega la misma posibilidad de ser seleccioado; o mediate el uso de ua tabla de úmeros aleatorios o tambié mediate u software de PC, geerador de úmeros aleatorios, para idetificar los elemetos umerados de la població que será seleccioados para la muestra. Cuado u muestreo se realiza si repetició, u elemeto seleccioado para la muestra o se devuelve a la població; si el muestreo se realiza co repetició, cada elemeto elegido se devuelve a la població ates de hacer la siguiete extracció para ser, quizá, seleccioado de uevo. Muestrear co repetició es ua forma válida de idetificar ua muestra aleatoria simple. Si embargo, el muestreo si repetició es el más usado y cuado se habla de muestreo aleatorio simple, geeralmete se asume que el muestreo es si repetició. jemplo: Supogamos que os iteresa tomar ua muestra aleatoria de 15 cuetas por cobrar e ua població de 95 cuetas de este tipo, umeradas del 01 al 95, mediate ua tabla de úmeros aleatorios: Señalado al azar u puto de partida e la tabla de úmeros aleatorios, leemos los dígitos e cualquier direcció e grupos de dos para elegir las cuetas: los 15 úmeros so 85, 6, 97, 03,, 1, 59, 4, 8, 33, 93, 80, 63, 5, 84, como solo hay 95 cuetas, o se puede icluir el úmero 97, etoces icluimos e la muestra el úmero siguiete, es decir el 1, pero como éste ya salió, icluimos el que sigue 8 y como éste tambié salió, el 80, que como tambié salió, el 0 co el cual se completó los 15 úmeros. Població ifiita Ua muestra aleatoria simple de ua població ifiita es ua muestra seleccioada de maera que se cumpla las siguietes codicioes: 1. Cada elemeto seleccioado proviee de la població.. Cada elemeto se seleccioa idepedietemete. jemplo: -- u restaurate de comida rápida se desea obteer el perfil de su clietela seleccioado ua muestra aleatoria de los clietes y pidiédole a cada cliete que llee u breve cuestioario; e tales situacioes, el proceso cotiuo de clietes que visita el restaurate puede verse como que los clietes proviee de ua població ifiita; la primera codició es satisfecha por cualquier cliete que etra al restaurate, la seguda codició es satisfecha seleccioado a los clietes de maera idepediete, evitado sesgos de selecció, por ejemplo, si cico clietes cosecutivos que se seleccioa fuera amigos, es de esperar que esos clietes tega perfiles semejates, dichos sesgos se evita haciedo que la selecció de u cliete o ifluya e la selecció de cualquier otro cliete, es decir los clietes debe ser seleccioados de maera idepediete. --Otros ejemplos de poblacioes ifiitas so: partes fabricadas e ua líea de producció, trasaccioes e u baco, llamadas que llega a u cetro de asesoría, clietes que etra a las tiedas; el muestreo co repetició; pues las poblacioes ifiitas suele asociarse co u proceso que opera cotiuamete a lo largo del tiempo. Muestreo aleatorio estratificado Aplicable a poblacioes o uiformes porque tiee estratos o se requiere ua muestra co represetació de estratos; los elemetos de la població primero se divide e grupos, a los que se les llama estratos, de maera que cada elemeto perteezca a uo y solo a u estrato. Los estratos puede ser iveles de igresos ecoómicos, edades, tipo de idustria, departametos, etc, está a discreció de la persoa que diseña la muestra. Si embargo, el valor del muestreo aleatorio estratificado depede de qué ta homogéeos sea los elemetos detro de cada estrato, así cada estrato tedrá ua variaza pequeña y se obtiee bueas estimacioes de las características de los estratos. Si los estratos so homogéeos, se toma de cada estrato muestras aleatorias simples pequeñas y todas forma la muestra poblacioal, así el muestreo aleatorio estratificado, proporcioa resultados ta precisos como los de u muestreo Alterativa Fiaciera 13 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 13 10/09/01 05:08:16 p.m.
aleatorio simple, pero co ua muestra de tamaño total meor; y si las muestras so del mismo tamaño, el muestreo aleatorio estratificado da resultados mejores que el muestreo aleatorio simple. Debe mecioarse, si embargo, que el costo de obteció de ua muestra estratificada es mayor que el de la obteció de ua muestra aleatoria simple del mismo tamaño, ya que la estratificació ivolucra el trabajo adicioal de clasificar la població e los diversos estratos. jemplos: u estudio sobre las preferecias de los estudiates respecto a las modalidades de graduació, tedríamos razoes para pesar e la posible existecia de diferecias importates etre estudiates de pre-grado, estudiates de maestría y estudiates de doctorado. Así, debería cosiderarse u pla de muestreo estratificado para la toma, por separado, de ua muestra aleatoria simple e los estratos: estudiates de pre-grado, estudiates de maestría y estudiates de doctorado. Muestreo aleatorio por coglomerados Los elemetos de la població está aturalmete e subgrupos, como por ejemplo al estudiar los salarios que se paga e Lima, obteemos la lista de las empresas de Lima que so los coglomerados de trabajadores, se toma e cada coglomerado muestras aleatorias simples, y todas costituye la muestra poblacioal. l muestreo por coglomerados tiede a proporcioar mejores resultados cuado los elemetos detro de los coglomerados o so semejates. Lo ideal es que cada coglomerado sea ua represetació, a pequeña escala, de la població. Si todos los coglomerados so semejates e este aspecto, tomado e la muestra u úmero pequeño de cada coglomerado se obtedrá ua buea estimació de los parámetros poblacioales. jemplos: -- u estudio de salarios a ivel metropolitao, por ejemplo cada fábrica sería u coglomerado. -- los trabajadores de costrucció civil, cada edificio e costrucció sería u coglomerado. -- ua uiversidad, cada escuela profesioal sería u coglomerado. Muestreo aleatorio sistemático Aplicable a poblacioes grades, los elemetos de la població, para la muestra, se elige, a partir de u listado ordeado, a itervalos uiformes. jemplo: --Si se quiere ua muestra de tamaño 40 e ua població de 8000 elemetos, se muestrea uo de cada 8000/40=00 de la lista de la població. l muestreo sistemático seleccioa, e forma aleatoria, uo e los primeros 00 de la lista de la població, los otros elemetos se idetifica cotado a partir del primer elemeto 00 elemetos para tomar el segudo elemeto e la seguda lista de 00 de la població y así sucesivamete. Otro ejemplo: --studiar la ilumiació pública eligiedo cada doceava casa. Métodos de muestreo o aleatorio Muestreo o aleatorio de coveiecia l muestreo o aleatorio de coveiecia es ua técica de muestreo o probabilístico y la muestra se determia por coveiecia. jemplo: --U profesor que realiza ua ivestigació e ua uiversidad puede usar estudiates volutarios para que costituya ua muestra, La razó para elegirlos? Simple, los tiee al alcace. Ua muestra de coveiecia puede o o dar bueos resultados; alguos ivestigadores aplica métodos de muestras aleatorias a las muestras de coveiecia, arguyedo que la muestra de coveiecia se trata como si fuera probabilística, si embargo, estos argumetos o tiee fudameto y se debe teer cuidado al iterpretar resultados. Muestreo o aleatorio subjetivo La persoa que más sabe sobre el asuto seleccioa elemetos de la població, para la muestra, que cosidera los más represetativos de la població. jemplo: --U periodista seleccioa dos o tres cogresistas cosiderado que estos refleja la opiió geeral de todos los cogresistas; si embargo, la calidad de los resultados muestrales depede de la persoa que seleccioa la muestra. TAMAÑO D LA MUSTRA Defiida y delimitada la població de todos los elemetos materia de la ivestigació, uiforme, fiita o ifiita, estratificada, por coglomerados o sistemático, alguas veces se puede llevar a cabo u ceso cuado los elemetos de la població está e u archivo de computadora, aú cuado la població sea grade, e ua computadora se puede medir cada elemeto co rapidez y precisió; si embargo e la mayor parte de las ivestigacioes, los cesos so costosos y difíciles, o icluso imposibles, ya sea por razoes ecoómicas o cuado los elemetos ivestigados tiee que destruirse para medirlos o solo hay evidecia histórica y solo se dispoe de uas cuatas medidas y o es posible escoger más o simplemete porque está e archivos de difícil acceso o que demadaría demasiado tiempo; cosecuetemete se hace ecesario, e la ivestigació, diseñar el tamaño de la muestra a efecto que esta sea represetativa de la població y además, segú las características de la població y el tamaño de la muestra, elegir el estadístico muestral más coveiete, e la ivestigació del parámetro poblacioal. rror muestral No es probable que ua media muestral sea igual a la media de la població de la que se eligió la muestra. Tampoco es probable que ua desviació estádar u otra medida muestral sea exactamete igual a su valor correspodiete e la població. Alterativa Fiaciera 14 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 14 10/09/01 05:08:16 p.m.
Cabe esperar algua diferecia etre u estadístico muestral y su parámetro poblacioal correspodiete. sta diferecia es el error muestral. jemplo: Los cico empleados de Medi-Detal JCT ha trabajado e la clíica durate, 4, 5, 8 y 11 años, respectivamete, es decir u promedio (media) de 6 años. Si se seleccioa ua muestra de dos trabajadores al azar, co 5 y 11 años de trabajo de esta població, se obtiee ua media muestral de 8 años, el error de muestreo es años. stimació putual s usar el valor de u estadístico muestral para estimar el correspodiete parámetro poblacioal. jemplo (*1) : Al director de persoal de LCTRO- NICS ASSOCIATS INC. (AI), se le ha ecargado la tarea de elaborar u perfil de los,500 admiistradores de la empresa, e cuato sueldo medio aual de los admiistradores y la proporció de admiistradores que ha termiado el programa de capacitació de la empresa. Co los datos de la AI, se calcula la media poblacioal y la desviació estádar poblacioal de los salarios auales: μ = $51,800 y = $4,000 y como 1,500 de los,500 admiistradores ha termiado el programa de capacitació: p = 1,500,500 = 0.60. Muestra: = 30 admiistradores: Ahora supogamos que la iformació de la AI o está dispoible y, e lugar de usar a los,500 admiistradores se va a emplear ua muestra de 30 admiistradores. Sea la tabla siguiete obteida por muestreo aleatorio simple: Cálculo de los estadísticos muestrales: Media muestral: X i 1, 554, 40 X = = = $ 51, 814. 00 30 Salarios auales y situació respecto al programa de capacitació de los admiistradores perteeciete a ua muestra aleatoria simple de 30 admiistradores de AI. Salario aual($) Programa de Programa de Salario aual ($) capacitació capacitació x 1 = 49 094.30 Sí x 16 = 51 766.00 Sí x = 53 63.90 Sí x 17 = 5 541.30 No x 3 = 49 643.50 Sí x 18 = 44 980.00 Sí x 4 = 49 894.90 Sí x 19 = 51 93.60 Sí x 5 = 47 61.60 No x 0 = 5 973.00 Sí x 6 = 55 94.00 Sí x 1 = 45 10.90 Sí x 7 = 49 09.30 Sí x = 51 753.00 Sí x 8 = 51 404.40 Sí x 3 = 54 391.80 No x 9 = 50 957.70 Sí x 4 = 50 164.0 No x 10 = 55 109.70 Sí x 5 = 5 973.60 No x 11 = 45 9.60 Sí x 6 = 50 41.30 No x 1 = 57 68.40 No x 7 = 5 793.90 No x 13 = 55 688.80 Sí x 8 = 50 979.40 Sí x 14 = 51 564.70 No x 9 = 55 860.90 Sí x 15 = 56 188.0 No x 30 = 57 309.10 No Desviació estádar muestral: S = ( Xi X) 35, 009, 60 = = $, 3 347. 7 1 9 Proporció muestral: x 19 p = = = 063. 30 la siguiete tabla se compara las estimacioes muestrales co los parámetros poblacioales: Parámetros poblacioales stimacioes muestrales µ = $ 51, 800 x = $ 51, 814. 00 = $, 4 000 S = $, 3 347. 7 p= 060. p = 0. 63 Supogamos que se seleccioa otra muestra aleatoria simple de 30 admiistradores de AI y se obtiee las estimacioes putuales: x = $ 5, 670. 00 p = 070. Observe que e otra muestra aleatoria simple o se puede esperar que dé las mismas estimacioes putuales que la primera. La siguiete tabla muestra ua parte de los resultados obteidos e 500 muestras aleatorias simples de 30 admiistradores cada ua de AI: Valores de x y de p obteidos e 500 muestras aleatorias simples de 30 admiistradores de AI cada ua. Muestra úmero Media muestral ( x ) Proporció muestral ( p ) 1 51 814 0.63 5 670 0.70 3 51 780 0.67 4 51 588 0.53......... 500 51 75 0.50 x tiee ua media o valor esperado, ua desviació estádar y ua distribució de probabilidad. la tarea, de diseñar el tamaño de la muestra, hay dos objetivos e coflicto que debe equilibrarse al muestrear ua població: la exactitud y el costo. Si la exactitud de la ivestigació fuera el úico objetivo, siempre se obtedrá muestras grades, totalmete aleatorias usado métodos que fuera completamete justificables y si el costo de la ivestigació fuera el úico objetivo, se elegiría muestras pequeñas usado el método más coveiete y de más rapidez; solo cuado estos dos objetivos (*1): Aderso, Sweeey y Williams, 008, 10ª. dició, estadística para admiistració y ecoomía. Págia 65. Alterativa Fiaciera 15 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 15 10/09/01 05:08:0 p.m.
quede equilibrados, gracias al bue juicio del ivestigador, podrá determiarse u procedimieto de muestreo que realmete satisfaga las ecesidades de la ivestigació. Para maejar el aspecto de la exactitud de la ivestigació es ecesario compreder el cocepto de distribucioes muestrales. DISTRIBUCIONS LS. MUSTRA- Cuado se toma ua muestra de ua població, se obtiee u estadístico muestral umérico. ste estadístico debe verse como si se hubiera elegido de ua distribució de todos los valores posibles de ese estadístico muestral, es decir: Ua distribució muestral icluye todos los valores posibles que puede tomar u estadístico, como ua media muestral, ua proporció muestral o ua variaza muestral, para u tamaño de muestra dado. La distribució muestral sirve de base al proceso de iferecia estadística e todas las situacioes de muestreo estadístico, como por ejemplo e el desarrollo de procedimietos de estimació y pruebas de hipótesis. Distribució muestral de la media x La distribució muestral de la media x es la distribució de todos los valores de la media muestral x. Media de todos los valores de x (μ x ) O valor esperado de x. Acá se cumple que: μ x = (x ) = μ osea: media de medias = valor esperado de x = media poblacioal. muchas situacioes prácticas de muestreo, se da que, auque la població sea fiita, es grade, mietras que el tamaño de la muestra es pequeño y el factor de correcció se aproxima a 1, luego: N N 1 x = Siempre que la població sea ifiita o si es fiita 0.05 N es verdad. Si >0.05 N se usará el factor de correcció. Para el ejemplo: Como 0.05 N al reemplazar 30 0.05 ( 500) ó 30 < 15 es V, etoces o cabe factor de correcció, y: 4, 000 = = = 730. 30 30 TORMA DL LÍMIT CN- TRAL Por fortua el coflicto aterior exactitud y costo, es suavizado, e parte, por el famoso Teorema del límite cetral aplicable a la distribució muestral de las medias, que dice: Al aumetar el tamaño de la muestra, la distribució muestral de la media se aproxima a ua distribució ormal, si importar la forma de la distribució de la població. Ilustració del Teorema del límite cetral para tres poblacioes distitas, co 3 distribucioes muestrales de x, dode varía:, 5, 30. Distribució poblacioal Distribució muestral de x (=) Distribució muestral de x (=5) Població I Població II Població III Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x x Desviació estádar de x ( x ) Població ifiita Població fiita Para propósitos prácticos, se ha demostrado, que la distribució muestral de la media es aproximadamete ormal, cuado el tamaño de la muestra es 30. s decir, cuado 30, puede utili X = x = N N 1 N = úmero de elemetos de la població. = úmero de elemetos de la muestra. Distribució muestral de x (=30) Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x Valor de x Alterativa Fiaciera 16 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 16 10/09/01 05:08: p.m.
zarse e la ivestigació siempre la distribució ormal co el error estádar de la media x = / ó, aproximar esta co la desviació estádar muestral s x = s/ ; e el primer caso se usa la distribució ormal z y e este último caso se usa la distribució de studet t o se aproxima co la distribució ormal z. Además, si la població es ormal y se cooce la desviació estádar, la distribució muestral de la media puede utilizar la distribució ormal para muestras más pequeñas. l siguiete diagrama resume los pasos para determiar cuádo es apropiada la distribució z y cuádo la distribució t u otros métodos e la ivestigació, como los de la estadística o paramétrica. 1.Població Muestra P. co D. Normal P. si D. Normal. Tamaño de la Poblacioal 30 <30 30 <30 xplicació del diagrama: 1. Població: Por ivestigacioes ateriores o por accioes explorativas de la població, precedetes a la ivestigació, se debe determiar si ésta tiee distribució ormal o si es ua població si distribució ormal.. Tamaño de la muestra: Se ecesita que, segú la aturaleza o características de la població y/o facilidades e la toma de muestra e iterés a dode aputa la ivestigació, se resuelva el coflicto exactitud-costo y se tome la decisió por 30 o por < 30. 3. rror estádar de la població (): Si se cooce se trabajará co x =/, e caso cotrario de estimará u error 3. rror stádar a usar Coocido Descoocido Coocido Descoocido Coocido Descoocido 4. Distribució Pruebas o paramétricas estádar muestral s y se trabajará co s x = s/ 4. Distribució a usar: Segú los resultados de los 3 ítems ateriores será posible determiar el estadístico muestral a usar e la aproximació del parámetro poblacioal. Por ejemplo, e la ivestigació de la media poblacioal μ, se tiee tres alterativas: usar la distribució ormal estádar z o usar la distribució de studet t o usar pruebas estadísticas o paramétricas. Observacioes Si la població o es ormal, pero mas o meos simétrica, co tamaños de muestra hasta de 15 puede aproximarse ua distribució ormal para la distribució muestral de la media. Cuado la població o es ormal y las muestras so pequeñas se recurre a la estadística o paramétrica. Y cuado la població es muy sesgada o existe observacioes atípicas puede ecesitarse muestras de tamaño 50. Por último, si la població es discreta, el tamaño de muestra ecesario para la aproximació ormal suele depeder de la proporció poblacioal. OPTIMIZACIÓN DL TAMAÑO D LA MUSTRA Como afirmamos líeas ates, el teorema del límite cetral os suaviza e parte el coflicto exactitud-costo. Si bie el teorema del límite cetral para 30 establece que la distribució muestral de la media es aproximadamete ormal si importar la forma de la distribució poblacioal y que además, si la població es ormal, la distribució muestral de la media es ormal para <30, esto como vemos e el diagrama aterior, o es determiate para elegir el estadístico muestral a usar e la ivestigació, es ecesario cosiderar si se cooce el error estádar poblacioal o si es descoocido y se aproxima este co el error estádar muestral S para elegir el estadístico muestral a usar e la ivestigació. Alterativa Fiaciera 17 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 17 10/09/01 05:08: p.m.
Si embargo esta forma de elegir, además de o ser completa porque podría tratarse de ua població si distribució ormal co < 30, o ecesariamete os da los mejores resultados e la ivestigació, pues hasta ituitivamete es claro que al crecer el tamaño de la muestra estaremos más cerca de la població y por tato los resultados de la ivestigació muestral estará más cerca de la realidad poblacioal ivestigada y para la demostració matemática de esta afirmació aalizamos las siguietes fórmulas matemáticas de la estadística aplicada: Tamaño de la muestra para la estimació por itervalo de la media poblacioal μ. Dode: =tamaño de la muestra que se redodea al etero superior Z α = Valor estádar segú el ivel de cofiaza, por ejemplo 95% de cofiaza z 0.05 = 1,96 = desviació estádar poblacioal; si o se cooce se usa u valor plaeado de, calculado e estudios ateriores, obteido de u estudio piloto como desviació estádar muestral S o por último se estima co la cuarta parte del rago estimado. = marge de error deseado jemplo(*): ( Z ) α = u estudio sobre el costo de la reta de automóviles e stados Uidos se ecotró que el costo medio de la reta de u automóvil mediao era aproximadamete $ 55 por día. Ahora la orgaizació quiere realizar u uevo estudio para estimar la media poblacioal de las retas por día de automóviles mediaos e stados Uidos. l estudio debe ser co u ivel de 95% de cofiaza, u marge de error de $. l aalista revisó los datos muestrales del estudio aterior y ecotró que la desviació estádar poblacioal del costo de la reta diaria era $ 9,65, que usamos como valor plaeado de. Luego: Z α = ( ) = ( ) ( ) = que se redodea al etero siguiete, es decir = 90 retas de automóviles mediaos. Tamaño de la muestra para la estimació por itervalo de la proporció poblacioal p. dode p* valor plaeado de la proporció muestral p para estimar la proporció poblacioal p. la práctica para p* se usa u valor calculado de estudios ateriores μ el obteido e u estudio piloto e ua muestra prelimiar de la població o por último se aproxima co p* = 0,50. jemplo(*3): 196. 965. ( Z ) * * α p ( 1 p ) = 89. 43 U estudio e stados Uidos ecuestó a 900 golfistas para coocer su opiió acerca de cómo se les trataba e los cursos de golf. Se ecotró que 396 golfistas estaba satisfechos co la dispoibilidad de horarios de salida. Luego la estimació putual de la proporció poblacioal es Supogamos que la empresa desea hacer otro estudio para determiar la proporció de la població de golfistas que está satisfecha co la dispoibilidad de horarios de salida. l estudio se desea co u 95% de cofiaza, u marge de error de 0.05. Usado como valor plaeado de p*del resultado del estudio aterior de p = 0.44, se tiee: ( Z ) * p ( p = * ) = ( ) ( )( ) α 1 196. 044. 1 0. 44 = 1514. 5 ( 0. 05) que redodeado al etero siguiete, = 1515 golfistas. Si e el ejemplo, se usara como valor plaeado p*= 0.50, se tiee: 396 p = = 044. 960 ( ) ( = ) = ( ) ( ) * * Z p p ( ) α 1 196. 050. 1 0. 50 = 1536. 6 ( 0. 05) redodeado al etero siguiete, =1537 golfistas; ua muestra ligeramete mayor a la aterior. Observe que e ambas fórmulas el tamaño de la muestra es iversamete proporcioal al cuadrado del marge de error deseado, lo que sigifica matemáticamete que si se desea u meor error, mejor dicho ua mayor exactitud e la ivestigació, se debe elegir u tamaño de muestra mayor. Resultados similares, a favor del aumeto del tamaño de la muestra, se obtiee cuado se aaliza otras fórmulas e los estadísticos muestrales usados e la estimació de los parámetros poblacioales y/o pruebas de hipótesis. (*): Aderso, Sweeey & Williams, 008, 10ª. dició, estadística para admiistració y ecoomía. Págia 317. (*3): Aderso, Sweeey & Williams, 008, 10ª. dició, estadística para admiistració y ecoomía. Págia 30. Alterativa Fiaciera 18 Revista Alterativa Fiaciera Nº 7.idb 18 10/09/01 05:08:5 p.m.