IV. Logaritmos: Se llaman logaritmo de un número al exponente de la potencia a que es preciso elevar otro número base para reproducir el número dado. llannado Es Innpor tantísimo comprender esta definición para así observar la relación existente entre la función logarítmica y la función exponencial. (1) (Base) exponente Núnnero (Función Exponencial) (2) L Número 'base Exponento (Función logarítmica) Ejemplo: ^2 = 8 = 3 Función exponencial Función logarítmica (se lee logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3 \ Nota: El ejemplo anterior es calculadora. may útil m.^ndo ^'e «, Ejercicios: 1. Hallar el valor de x para la e.xprosión log:> v - 8. Como el problema está en función logarítmica lo pagamos a la función exponencial. 3 = base 8 = potencia* icpoi\j -is/te' X = número o resultado pedido = 6561 R/ 2. Hallar el valor de x para la expresión log9 = 2 Tenemos: X = base 2 = exponente 9 = resultado f Pasanáo a la forma exponencial: x + 3
4 3. Hallar el valor de x para ta expresión Igx = 0.5 (Nota: Cuando la base no se expresa se supone base 10) Entonces: 10 = base 0.5 = exponente X = resultado 10 0.5 El resultado anterior se puede hacer en calculadora, varias maneras. Veamos una: de 1. Señalar 10 2. Apretar tecla xv o y^- que Indica "Elevado a" 3. Apretar el exponente 0.5 4- Signo = (igual) x = 3.16 Propiedades de los Logaritmos 1«Ig^^^^y = Ig X + 1{ I 2. Ig x/y = Igx- Igy b b b 3. l, a IgJ No se deben confundir las expresiones siguientes, que son diferentes : Igx ^b ^g^y ih^ ^g, x/y b Cuando la base es e, el logaritmo se denom,ina natural o neperiano y se denota en la siguiente forma: Igx = Inx =23 Igx e 10 Conno puede observarse el logaritmo natural es un múltiplo del logaritmo vulgar (base 10). El logaritmo natural, base de muchos problem,as matennáticos de las ciencias naturales, será muy usado en Ouímlca II.
Do qué consta el logarltnno de un número: Consta de una parte entera llamada característica que puede ser positiva, negativa ó cero, y una parte decimal que tiene que ser positiva, denominada mantisa Af O o» < Como conocer la característica 1. SI el núnnero es entero o entero con parte decimal, la característica corresponde al núnnero de cifras enteras menos una. Ejemplos: Número No. de cifras No.cifra.<í Caracenteras - 1 terístlca 1500 4 3 1500.75 4 5 575 3 -> 5.75 1 2. SI el número es menor que uno, la carácter 'stica es n*^gativa y se calcula conno el número de ceros Incluyendo el anterior a la coma o punto decinnal. Ejemplos: Núnnero. Núnnero de ceros Característica 0.5 1 í 0.05 2 2 0.005 3 3 0.0052 3 3 0.00502 3 3 El signo nnenos se coloca encima del número para Indica.r que solannente él es negativo. Como conocer la mantisa. Es la parte decimal que localizamos en la tabla con la ayuda del número; siempre es positiva Ejemplo:
Número Mantisa ( + ) 2000. 30103 200. 30103 20. 30103 2. 30103 0.2, 30103 0.02. 30103 1000. 00000 100. 00000 10. 00000 1. 00000 Nota j_: Observe que la mantisa es la misnna para un número y sus tnúltiplos o submúltiplos de 10. La única diferencia está en la característica,. No. 2, No existe logaritmos para núnneros negativos. Otros ejemplos: L 2000 = 3,30103 Lg 200 = 2 30103 Lg 20 = 1,30103 L 2 = 0.30103 Lg 0.2 = 1.30103 = -1,0 + 0.30103 = -0.69897 L 0.2 = L 2 X 10-1 = L 2 + L 10-l = 0.30103-1 L 10 6 6 6 6 6 = 0,30103-1 = -0.69897 Lg 0.002 = 3.30103 = -3.0 + 0.30103 = 2.6987 Lg 0,002 = Lg2 X 10-3 = Lg2 + LglO-3 = 0.30103-3Lgl0 Lg (-0.02) r: No existe. = 2,69897 Dado el logaritmo calcular el^ núnnero a_que corresponde. T,a operación se denomina antilogaritmo; lo hacemos de dos fornnas: 1, C 3n ayuda de la definición de logaritmo, haciendo uso de las ecuaciones (1) y (2) y con la ayuda de la calculadora.
2. Mediante el uso de tablas de logaritmos. Ejennplos : 1. lg x = 3. *. X = 103 = 1000 La base 10 generalmente se omite. 2. Igx = -3 = 3.00.. X = 10-^ = 0.001 3. Ig X = -1.70.. X = 10-^-'^" Pasos a seguir en la calculadora para este últinno ejennplo: a. Señalar 10 b. Tecla x^ o y^ (observando si es necesario hacer uso de inverso) c. Señalar 1.70. d. Tecla [ + /-} ; no I ~ I Signo Igual. X = 2.0 X 10^ R/ SI de lo que se dispone es de una tabla tendríamos: Igx = -1.70 Como -1.70 es un núnnero enteramente negativo debemos transformarlo en un número de mantisa positiva, sumándole + 1 a la parte decinnal y restándole 1 a la parte entera: Igx = -1.0-0.70 = (-1.0-1.0) + (1.0-0.70) = (-2) + (+0.30) = 2.30; (0.30 es la nnantisa) N 2000 log (nnantisa. 30 Antilog (log x) = Antilog 2.30 X = Antilog 2.30 x se busca con 0.30 en ia tabla y es el núnnero (N) de la tabla con una cifra entera, multiplicando por una potencia de 10 cuyo exponente sea Igual a la característica con su respectivo signo. Esto es: X = 2.0 X 10-2
4. Cal-ule x si loa.x - ' 13.95 Aquí no hay p'-oblema de tignos, ya que la parte decimal o mantisa es nositiva. N I loe 9000. 95 Pasos a. b. Con 0.95 se lee el núnnero de la tabla con una cifra entera, es decir, 9.0. Se multiplica este número por una potencia de 10 con un expcnente ipual a la característica: 9.'"^ X lo'^-'^ Entonces: Antilog (Igx) - Antilog 13.95 x ^ n. o V- 10^3 El Ejercicio resuelto por calculadora serí.aj Igx = 13.95.. X = lo''^-'^'^ = C.9I X lo'-^ = 9.0 X 10^- Pasos; a. Señalar 10 '. Tecla x^ o yx c. Señalar 13.95 d. Signo Igual o, en otras calculadoras, a. 13.95 b. Tecla 10'^ (se hace uso de inverso según la calculador a) Con lo cual llegaríamos a la respuest.n. dada inicialmente.
Forma rápida de transformar logaritnnos negativos en logaritmos de mantisa positiva. Consiste en aumentar en una unidad la parte entera eonser - vando el signo inenos; la nueva mantisa (parte decimal) seráí Lo que falta para 10, si es hasta Lo que falta para 100, si es hasta Lo que falta para 1000, si es hasta Lo que falta para 10.000, si es hasta décimas centésimas nnlléslma.=! dieznnilésimas Ejemplo 1. 1.7 = 2.3 2.75 = 3.25-13.756 =14.244-200,7323 =201.2677 Ejemplo 2. Hallar x para la expresión Lg X = ~ 13.70 Transfornnando el logarltnno anterior, queda:. Lg X = P4.ít -l'^ Antilog (Lg x) = Antilog 14.30. '. x = 2.0 x 10 X se busca en la tabla con la mantisa. 30. Al número hallado se le coloca una cifra entera y se nnultlpllca por una potencia de 10 cuyo exponente sea Igual a la característica, para llegar a la respuesta pedida; utilizando la calculadora es mucho más rápido. Los pasos serían: 1. Pasamos de la función logarítinlca a la función exponencial X = 10-13.70 2. Apretamos 13.70 3. Tecla +/,[ ; no TJl "* 'O (se hace uso de Inverso en caso necesario) Ejemplo 3, Hallar y para la expresión: Ln y = -2,5
10 Lo que equivale a decir: L%y = -2.6 Método para resolver este problenna con calculadora: 1, Convertimos la función logarítmica a la función exponencial. y = e-2«^' 2, Apretamos 2,6 3, Tecla [+71 4, Tecla e^ se hace uso de Inverso en caso necesario),, y = 0.074 Ejercicios con logaritinos Efectué las operaciones Indicadas. 1, Log x = -2 X =? 2, 3. 4 5. 6. 7. 8, 9. 10 IL 12. Lg 2»10-'^ = Lg y = 5 Lg X + Log 2 = Log 4 Log X - Log 2 = Log 4 Logx ^ 5 Log2 y =-Log 2 X 10-3 5 = - Log k Logx = -3.35 Logk = 4.65 LoggX = 3 = Lnx Lny = - 3.5 y =? X =. ' X =? X =? y =? k =? V =? X = 9 > =.'