Funciones de variable compleja

Tema 10 Fucioes de variable compleja 10.1 Fucioes complejas de variable compleja Defiició 10.1 Ua fució compleja de variable compleja es ua aplicació f: A C dode A C. Para cada z A, fz) C, luego fz) = Refz)) + i Imfz)) = uz) + ivz). Las fucioes reales u, v: A IR así costruidas se deomia partes real e imagiaria de la fució f y suele escribirse f = u + iv para idicar que u y v so las partes real e imagiaria de la fució f. Como C = IR, ua fució compleja lleva asociada ua fució f: A IR IR dode fx, y) = fx + iy) y que tiee por compoetes, f = u, v), las fucioes ux, y) = ux + iy) y vx, y) = vx + iy). Así pues, toda fució compleja de variable compleja equivale a u par de fucioes reales de dos variables reales. Ejemplo 10. Para obteer las partes real e imagiaria de la fució fz) = z, poemos z = x + iy y resulta fx + iy) = x + iy) = x y + ixy co lo que ux, y) = x y y vx, y) = xy. 10.1.1 Límites y cotiuidad Los coceptos de límite y de cotiuidad para fucioes complejas de variable compleja se defie como e el caso real: Defiició 10.3 Se dice que ua fució compleja de variable compleja f tiee por límite l C, cuado z tiede acia z 0, y se escribe lim fz) = l, z z 0 cuado para cada úmero real ε > 0 existe u úmero real δ > 0 tal que si 0 < z z 0 < δ, etoces fz) l < ε. Proposició 10.4 Sea f = u + iv ua fució compleja y l = l 1 + il, etoces Es decir, se tiee que lim fz) = l z z 0 Basta teer e cueta que lim uz) = l 1 y lim vz) = l. z z0 z z0 lim fz) uz) + i lim vz). z z0 z z0 z z0 fz) l = uz) + ivz)) l 1 + il ) = uz) l 1 ) + ivz) l ) Teoría de variable compleja. 114

10.1 Fucioes complejas de variable compleja y la propiedad c) de 9.6. De esta proposició y de que los resultados aálogos so ciertos para fucioes reales, se establece la validez de las proposicioes siguietes: Proposició 10.5 Sea f y g fucioes complejas tales que lim fz) = l 1 y lim fz) = l. z z0 z z0 Etoces: a) lim z z0 fz) + gz)) = l 1 + l. b) lim z z0 fz)gz) = l 1 l. fz) c) lim z z0 gz) = l 1 l, si l 0. Proposició 10.6 Si lim z z0 fz) = l C, etoces f está acotada e algú E z 0, r). Si l 0, etoces fz) 0, para todo z de algú E z 0, r). Proposició 10.7 Si f es ua fució compleja, se tiee que a) lim z z0 fz) = 0 b) lim z z0 fz) = l lim z z0 fz) = 0. lim fz) l z z0 ) = 0. Defiició 10.8 Se dice que ua fució compleja f tiee por límite l C cuado z tiede a e el setido de z ), y se escribe lim fz) fz) = l, z z cuado para cada ε > 0 existe u K > 0 tal que si z > K, etoces fz) l < ε. 1 z Ejemplo 10.9 Veamos que lim z = 0. 1 E efecto, lim z z 1 z z y, para cada ε > 0, sea K > 0 tal que 1 K todo z tal que z > K, se tiee que fz) 0 = 1 z = 1 z < 1 K < ε. < ε. Etoces, para Defiició 10.10 Se dice que ua fució compleja de variable compleja f es cotiua e u puto z 0 C cuado lim z z 0 fz) = fz 0 ). Se dice cotiua e u cojuto A, si es cotiua e cada puto de A. Proposició 10.11 Sea f = u + iv ua fució compleja, etoces f es cotiua e z 0 sí, y sólo si, u y v so cotiuas e z 0. Basta teer e cueta que lim fz) = fz 0 ) lim uz) + i lim vz) = uz 0 ) + ivz 0 ). z z 0 z z0 z z0 De esta proposició y de que los resultados aálogos so ciertos para fucioes reales, se establece la validez de las tres proposicioes siguietes: Teoría de variable compleja. 115

10. Derivabilidad de las fucioes complejas Proposició 10.1 Sea f y g dos fucioes complejas de variable compleja cotiuas e u puto z 0 C. Etoces las fucioes f +g y fg so cotiuas e z 0. Si, además, es gz 0 ) 0, etoces la fució f/g es tambié cotiua e z 0. Proposició 10.13 Sea f y g dos fucioes complejas de variable compleja. Si f es cotiua e z 0 y g es cotiua e fz 0 ), etoces la fució compuesta g f es cotiua e z 0. Teorema de Weierstrass 10.14 Sea A C cerrado y acotado, y f: A IR ua fució cotiua real. Etoces f tiee u míimo y u máximo e A, es decir, existe z 1, z A tales que fz 1 ) fz) fz ), para todo z A. 10. Derivabilidad de las fucioes complejas Defiició 10.15 Sea A C u cojuto abierto. Se dice que ua fució f: A C es derivable e u puto z 0 A cuado existe el límite fz) fz 0 ) lim. z z 0 z z 0 E ese caso, dico límite se desiga por f z 0 ) y se llama derivada de f e el puto z 0. Poiedo z z 0 = C, la defiició de derivada se escribe tambié como f fz 0 + ) fz 0 ) z 0 ). Proposició 10.16 Si f es derivable e z 0, etoces f es cotiua e z 0. ) Como lim fz) = fz 0 ) lim fz) fz 0 ) = 0, se tiee que z z0 z z0 ) fz) fz 0 ) lim fz) fz 0 ) z z 0 ) = f z 0 ) 0 = 0. z z 0 z z0 z z 0 Proposició 10.17 Sea f y g dos fucioes derivables e u puto z 0. Etoces las fucioes f + g y fg so tambié derivables e z 0 y f + g) z 0 ) = f z 0 ) + g z 0 ) y fg) z 0 ) = f z 0 )gz 0 ) + fz 0 )g z 0 ). Si además es gz 0 ) 0, etoces la fució f/g es tambié derivable e z 0 y f g ) z 0 ) = f z 0 )gz 0 ) fz 0 )g z 0 ) gz 0 )). La demostració es idética a la del resultado para fucioes reales de variable real. Regla de la cadea 10.18 Si f es derivable e z 0 y g es derivable e fz 0 ), etoces la fució compuesta = g f es derivable e z 0 y se verifica que z 0 ) = g fz 0 ))f z 0 ). Teoría de variable compleja. 116

10. Derivabilidad de las fucioes complejas La demostració es idética a la del caso de fucioes reales de variable real. Ejemplo 10.19 a) fz) = k es derivable e todo C y f z) = 0, para todo z C. f fz + ) fz) k k z) b) fz) = z es derivable e todo C y f z) = 1, para todo z C. f fz + ) fz) z + ) z z) c) fz) = z es derivable e todo C y f z) = z 1. i=1 i=1 = 0. = 1. f fz + ) fz) z + ) z z + ) i i z i ) z i=1 z) ) ) ) i 1 z i i 1 z i = z 1 = z 1. i i 1 d) Si fz) = a 0 + a 1 z + a z + + a z etoces f z) = a 1 + a z 1 + + a z 1, para todo z C. e) Las fucioes racioales fz) = a 0 + a 1 z + + a z b 0 + b 1 z + + b m z m so derivables e cualquier z C que o aule el deomiador y su derivada se ecuetra usado las reglas dadas e las proposicioes ateriores. f) La fució f: C C dada por fz) = z o es derivable e igú puto. fz+) fz) z+ z E efecto, se tiee que lim z+ z si tomamos = 1 IR, como = se tiee lim = 1; y si tomamos = i iir, como = es lim = 1. E cosecuecia, el límite o existe e igú puto., luego 10..1 Codicioes de Caucy-Riema [C-R] Proposició 10.0 Si f = u+iv es derivable e u puto z 0 = x 0 +iy 0, etoces las fucioes u y v tiee derivadas parciales e z 0 = x 0, y 0 ) y verifica las codicioes de Caucy-Riema siguietes: } D 1 uz 0 ) = D vz 0 ) [C-R]. D uz 0 ) = D 1 vz 0 ) Además, f z 0 ) = D 1 ux 0, y 0 ) + id 1 vx 0, y 0 ) = D vx 0, y 0 ) id ux 0, y 0 ). Teoría de variable compleja. 117

10. Derivabilidad de las fucioes complejas Sea = 1 + i C. Por ipótesis, existe ) ) f fz 0 + ) fz 0 ) uz 0 + ) + ivz 0 + ) uz 0 ) + ivz 0 ) z 0 ) ) ) uz 0 + ) uz 0 ) + i vz 0 + ) vz 0 ) uz 0 + ) uz 0 ) vz 0 + ) vz 0 ) + i lim. Etoces: Si = 1 IR es f ux 0 + 1, y 0 ) ux 0, y 0 ) vx 0 + 1, y 0 ) vx 0, y 0 ) z 0 ) + i lim 1 0 1 1 0 1 = D 1 ux 0, y 0 ) + id 1 vx 0, y 0 ). Si = i iir, es f ux 0, y 0 + ) ux 0, y 0 ) vx 0, y 0 + ) vx 0, y 0 ) z 0 ) + i lim 0 i 0 i = 1 i D ux 0, y 0 ) + D vx 0, y 0 ) = D vx 0, y 0 ) id ux 0, y 0 ). Luego f z 0 ) = D 1 uz 0 ) + id 1 vz 0 ) = D vz 0 ) id uz 0 ), de dode se deduce las ecuacioes de Caucy-Riema. Teorema de Caucy-Riema 10.1 La fució f = u + iv es derivable e u puto z 0 = x 0 + iy 0 sí, y sólo si la fució f = u, v) es difereciable e z 0 = x 0, y 0 ) y sus fucioes compoetes verifica las codicioes de Caucy-Riema e el puto. Como, por la proposició aterior, si f es derivable e z 0 tambié las fucioes u y v verifica las codicioes [C-R], para = 1, ) = 1 + i =, se tiee e ambos casos que o poemos el puto por comodidad) ) )) t ) t ) t f z 0 ) t) t D1 u D = u 1 1 D = 1 u + D u 1 D = 1 u D 1 v D 1 v D v 1 D 1 v + D v 1 D 1 v + D 1 u Etoces, y, e cosecuecia, = 1 D 1 u D 1 v, 1 D 1 v + D 1 u) = 1 D 1 u D 1 v + i 1 D 1 v + D 1 u) = D 1 uz 0 ) + id 1 vz 0 )) 1 + i ) = f z 0 ) fz 0 + ) fz 0 ) f z 0 ) = fz 0 + ) fz 0 ) f z 0 ) t ) t fz 0 + ) fz 0 ) f z 0 ) fz 0 + ) fz 0 ) f z 0 ) t ) t lim lo que demuestra el resultado. Teoría de variable compleja. 118

10.3 Alguas fucioes complejas Ejemplo 10. La fució f: C C dada por fz) = z es derivable úicamete e el puto 0. Solució: E efecto, si z = x + iy, fz) = z = x + y luego ux, y) = x + y y vx, y) = 0. Etoces D 1 ux, y) = x = 0 = D vx, y) x = 0 D ux, y) = y = 0 = D 1 vx, y) y = 0 luego las codicioes [C-R] o se verifica e igú puto z 0. E z = 0, se tiee que u y v so difereciables e 0, 0) y verifica las codicioes [C-R] e el puto, luego f es derivable e 0 y f 0) = D 1 u0, 0) + id 1 v0, 0) = 0. Corolario 10.3 Sea f = u+iv. Si las fucioes u y v so de clase 1 e x 0, y 0 ) y se verifica las codicioes [C-R] e el puto, etoces f es derivable e z 0 = x 0 + iy 0. 10.. Fucioes aalíticas Defiició 10.4 Sea A subcojuto abierto de C. Se dice que ua fució f: A C es aalítica e u puto z 0 A, si f es derivable e algú etoro Ez 0, r) A. Se dice que f es aalítica e A cuado es aalítica e todo puto de A. Ua fució etera es ua fució aalítica e todo C. Ejemplo.- Toda fució poliómica es ua fució etera. Ua fució racioal es aalítica e todo puto que o aule al deomiador. Proposició 10.5 Sea A C. Si f: A C es aalítica e u puto z 0 A, etoces f es aalítica e algú etoro Ez 0, r) A. Es claro, pues si f es aalítica e z 0 A, f es derivable e algú etoro Ez 0, r) A y, para cada z Ez 0, r), existe u Ez, δ) Ez 0, r). Luego f es derivable e Ez, δ) A y, e cosecuecia, f es aalítica e cada z Ez 0, r). 10.3 Alguas fucioes complejas 10.3.1 La expoecial compleja Defiició 10.6 La fució f: C C defiida, si z = x + iy, por fz) = fx + iy) = e x cos y + i se y) se llama expoecial compleja y se represeta por fz) = e z. Proposició 10.7 Se verifica las siguietes propiedades: a) Si z = x IR etoces la expoecial compleja coicide co la expoecial real. b) e z+w = e z e w, para todo z, w C. c) Si z = iy iir, etoces e iy = 1. d) Si z = x + iy, etoces e z = e x. Teoría de variable compleja. 119

10.3 Alguas fucioes complejas e) e z 0, para todo z C. f) e z = e z y e z ) 1 = e z. g) La fució fz) = e z es etera y f z) = e z, para todo z C. ) La fució fz) = e z es periódica de período πi y si e z = e w, etoces z w = kπi, co k Z. i) e z = 1 si, y sólo si, z = kπi, co k Z. a) Si z = x IR, e z = e x+i0 = e x cos 0 + i se 0) = e x 1 + i0) = e x. b) Si z = x 1 + iy 1 y w = x + iy se tiee ) e z e w = e x 1 cos y 1 + i se y 1 )e x cos y + i se y ) = e x 1+x cosy 1 + y ) + i sey 1 + y ) = e x 1+x )+iy 1 +y ) = e z+w. c) Si y IR, e iy = e 0+iy = e 0 cos y + i se y) = cos y + i se y = cos y + se y = 1. d) Si z = x + iy etoces e z = e x e iy = e x 1 = e x. e) Si z = x + iy, por la propiedad aterior, e z = e x 0 para todo x IR, luego e z 0 para todo z C. f) Si z = x + iy, e z = e x cos y + ie x se y = e x cos y ie x se y = e x cos y) + ie x se y) = e x iy = e z y, tambié, e z ) 1 = 1 e z = ez e z = ez e x ) = ex iy e x = ex e iy e x = e x e iy = e x iy = e z. g) La parte real ux, y) = e x cos y y la parte imagiaria vx, y) = e x se y de f so de clase 1 e todo puto x, y) y se verifica las codicioes de [C-R] D 1 ux, y) = e x cos y = e x cos y = D vx, y) D ux, y) = e x se y = e x se y = D 1 vx, y) e todo puto. Luego f es derivable e todo puto y para todo z C. f z) = D 1 ux, y) + id 1 vx, y) = e x cos y + ie x se y = e z, Teoría de variable compleja. 10

10.3 Alguas fucioes complejas ) Para cada z C se verifica e z+πi = e z e πi = e z cos π + i se π) = e z 1 = e z. Por otra parte, z = x 1 + iy 1 y w = x + iy, etoces si e z = e w se tiee que e z = e w de dode e x 1 = e x y, por tato, que x 1 = x. De la igualdad e x 1 e iy 1 = e x e iy, como x 1 = x, se tiee que e iy 1 = e iy y, por cosiguiete, 1 = eiy 1 e iy = eiy 1 y ) = cosy 1 y ) + i sey 1 y ) luego cosy 1 y ) = 1 y sey 1 y ) = 0, de dode se deduce que y 1 y = kπ, co k Z. E cosecuecia, z w = x 1 x + iy 1 y ) = kπi, co k Z. i) Si e z = 1, etoces e z = e 0 y, por la propiedad aterior, e z = 1 sí, y sólo si, z = kπi, co k Z. La fució expoecial compleja trasforma rectas paralelas al eje real e semirectas dirigidas al orige y las rectas paralelas al eje imagiario e circuferecias de cetro el orige como e z tiee periodo πi, cada segmeto de logitud π de estas rectas se trasforma e ua circuferecia completa). Obsérvese la figura 10.1 siguiete. fz) = e z e x+i π 3 e x+i π 3 π π 3 π 3 π 3 0 3 π 3 0 π 3 e x+iπ e iy e 3+iy e x e x i π 3 e x i π 3 Fig. 10.1. La fució expoecial. 10.3. Fucioes trigoométricas complejas Defiició 10.8 Las fucioes seo, se z, y coseo, cos z, complejas se defie para cada z C por se z = eiz e iz i Proposició 10.9 Se verifica las siguietes propiedades: a) se z + cos z = 1, para todo z C. y cos z = eiz + e iz. b) sez + w) = se z cos w + cos z se w, para todo z, w C. c) cosz + w) = cos z cos w se z se w, para todo z, w C. Teoría de variable compleja. 11

10.3 Alguas fucioes complejas d) se z = 0 si, y sólo si, z = kπ, co k Z. e) cos z = 0 si, y sólo si, z = π + kπ, co k Z. f) Las fucioes fz) = se z y gz) = cos z so eteras y f z) = cos z y g z) = se z, para todo z C. g) Para todo z C, sez + kπ) = se z y cosz + kπ) = cos z, co k Z. a) b) se z + cos z = eiz e iz ) + eiz + e iz ) = eiz + e iz ) e iz e iz ) 4 4 ) 4 ) e iz +e iz )+e iz e iz ) e iz +e iz ) e iz e iz ) = = eiz e iz 4 4 se z cos w + cos z se w = eiz e iz eiw + e iw i = eiz+w) e iz+w) 4i c) Aálogo a b). + eiz + e iz = sez + w). eiw e iw i = 1. d) se z = 0 e iz = e iz iz = kπi, co k Z, z = kπ, co k Z. e) cos z = 0 e iz = e iz e iz = e iπ e iz iz iπ = kπi z = π +kπ. f) se z) = ieiz + ie iz i cos z) = ieiz ie iz = eiz + e iz = eiz + e iz i = cos z. = se z. g) Como e z es periódica de período πi, se tiee que Aálogamete, para el cos z. sez + kπ) = eiz+kπi e iz kπi i = eiz e iz i = sez). Defiició 10.30 Las fucioes tagete, tg z, y cotagete, cotg z, complejas se defie por tg z = se z cos z, si z π + kπ, co k Z cotg z = cos z, si z kπ, co k Z. se z 10.3.3 Fucioes iperbólicas complejas Defiició 10.31 Las fucioes seo iperbólico, s z, y coseo iperbólico, c z, está defiidas para cada z C por s z = ez e z y c z = ez + e z. Proposició 10.3 Las siguietes propiedades relacioa las fucioes trigoométricas complejas co las iperbólicas complejas: Teoría de variable compleja. 1

10.3 Alguas fucioes complejas a) s z = i seiz) y c z = cosiz), para todo z C. b) sez + iw) = se z c w + i cos z s w, para todo z, w C. c) cosz + iw) = cos z c w i se z s w, para todo z, w C. d) Las fucioes se z y cos z o está acotadas e C. a) i seiz) = e z e z = s z ; cosiz) = e z +e z = c z. b) sez + w) = se z cosiw) + cos z seiw) = se z c w 1 i cos z s w = se z c w + i cos z s w. c) cosz + w) = cos z cosiw) se z seiw) = cos z c w + 1 i se z s w = cos z c w i se z s w. d) No está acotados pues, de b) y c) se tiee se z = sex + iy) = se x c y + i cos x s y y cos z = cosx + iy) = cos x c y i se x s y, y las fucioes s y y c y o está acotadas e IR. Propiedades 10.33 Las fucioes iperbólicas verifica las siguietes propiedades: a) c z s z = 1, para todo z C. b) sz + w) = s z c w + c z s w, para todos z, w C. c) cz + w) = c z c w + s z s w, para todos z, w C. d) s z = 0 si, y sólo si, z = kπi, co k Z. e) c z = 0 si, y sólo si, z = k + 1) π i, co k Z. f) s z y c z so fucioes eteras y s z = c z y c z = s z, para todo z C. g) Para todo z C, sz + kπi) = s z y cz + kπi) = c z, co k Z. a) c z s = cos iz) i seiz)) = cos iz) + se iz) = 1. b) c) sz + w) = i seiz + iw) = i seiz) cosiw) i cosiz) seiw) = s z c w + c z s w. cz + w) = cosiz + iw) = cosiz) cosiw) seiz) seiw) = c z c w i s z)i s w) = c z c w + s z s w). d) s z = 0 e z = e z z = kπi z = kπi. e) c z = 0 e z = e z e z = e z+iπ z iπ = kπi z = k + 1) π i. f) s z) = ez + e z = c z ; c z) = ez e z = s z. g) sz + kπi) = i seiz + kπi)) = i seiz kπ) = i seiz) = s z. cz + kπi) = cosiz + kπi)) = cosiz kπ) = cosiz) = c z. Teoría de variable compleja. 13

10.3 Alguas fucioes complejas Defiició 10.34 Las fucioes tagete iperbólica, t z, y cotagete iperbólica, cot z, complejas se defie por t z = s z c z si z k + 1) π i, co k Z; cot z = c z s z si z kπi, co k Z. 10.3.4 Logaritmo complejo Defiició 10.35 Sea z u úmero complejo o ulo. Se dice que u úmero complejo w es u logaritmo de z, y se escribe w = log z, cuado e w = z. Proposició 10.36 Sea z u úmero complejo o ulo. El úmero complejo Logz) = l z + i Argz) es u logaritmo de z, que se llama logaritmo pricipal de z. Cualquier otro logaritmo de z verifica logz) = Logz) + kπi, co k Z. Como e Log z = e l z e i Argz) = z e i Argz) = z, Log z es ua solució de la ecuació e w = z y, si w es otra solució, se tiee e w = e Log z y, por tato, w Log z = kπi, co k Z. Proposició 10.37 Sea A 0 = {z C : z = x + 0i, x 0}. La fució Log z es aalítica e C A 0 y Logz)) = 1 z para cada z C A 0. La parte real de Log z es la fució ux, y) = l z = l x + y = 1 lx + y ) de clase 1 e IR {0, 0)} y, para cada z = x, y) C A 0, se tiee que D 1 ux, y) = x x + y ; D ux, y) = y x + y. Para cada z = x, y) C A 0, la parte imagiaria de Log z es la fució vx, y) = Argz) = arctg y x + z = arctg y x + x + y de clase 1 e IR A 0 e A 0 o es cotiua) y se tiee que ) y 1+ x ) x +y x y +y +x y x +y +x) x+ x D 1 vx, y) = +y ) x y 1 + ) = +y x + x + y ) + y = x +y x + y x + x + y ) x+ x +y = y x + y + x) x + y )x + x + y ) = y x + y = D ux, y) Teoría de variable compleja. 14

10.4 Series de potecias complejas D vx, y) = = x+ x +y y y x +y 1 + x +y x+ x +y ) y x x +y +x x ) = +y x + x + y ) + y = x +y x + y x + x + y ) x+ x +y x+ x +y ) y x x + y + x) x + y )x + x + y ) = x x + y = D 1ux, y). Por cosiguiete, e todo puto del abierto C A 0, se verifica las codicioes [C-R] y las partes real e imagiaria de Log z tiee derivadas parciales cotiuas, luego Log z es aalítica e C A 0 y Log z) = D 1 ux, y) + id 1 vx, y) = x iy x + y = z z = z zz = 1 z. Observació 10.38 Las propiedades del logaritmo real o se verifica, e geeral, para el Logz). Por ejemplo, 3 Log i = 3 π i) Logi3 ) = Log i) = π i. Defiició 10.39 Dados dos úmeros complejos z y w, co z 0, se desiga por z w cualquiera de los úmeros complejos e w log z = e wlog z+kπi) wl z +i Argz)+kπi) = e y al úmero complejo se le llama valor pricipal de z w. e w Log z wl z +i Argz)) = e 10.4 Series de potecias complejas 10.4.1 Sucesioes y series de úmeros complejos Defiició 10.40 Se dice que ua sucesió {z } de úmeros complejos tiee por límite z 0, y se escribe lim z = z 0 cuado para cada ε > 0 existe u 0 IN tal que z z 0 < ε, para todo 0. El cálculo de límites de sucesioes complejas se reduce al de sucesioes reales gracias al siguiete resultado: Proposició 10.41 Si z = x + iy y z 0 = x 0 + iy 0, etoces Es decir, lim z x + i lim y. lim z = z 0 lim x = x 0 y lim y = y 0. Cierto por serlo para fucioes, ya que ua sucesió es ua fució de IN C. Defiició 10.4 Se dice que ua serie de úmeros complejos sucesió de sumas parciales {w }, defiida por w = z 1 + z + + z = z k k=1 z es covergete cuado la Teoría de variable compleja. 15

10.4 Series de potecias complejas coverge. E este caso, si lim w = w C, se escribe de la serie z. Proposició 10.43 Sea {z }, co z = x + iy. Etoces, la serie sólo si, las dos series reales Basta teer e cueta que x y y coverge. E este caso, z = x + i y. z = w, y se dice que w es la suma z coverge si, y lim w ) z k x k + i y k x k + i lim y k. k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Defiició 10.44 Se dice que ua serie de úmeros complejos z es absolutamete covergete cuado la serie Proposició 10.45 z es covergete. z coverge las series x y y coverge. Usado que x z e y z se tiee ua implicació, y usado que z x + y se tiee la otra. Proposició 10.46 Si z es covergete, etoces la serie z coverge = x y y coverge = x y serie z es covergete. 10.4. Series de potecias Defiició 10.47 Ua serie de la forma a z z 0 ) dode z 0 y los a so úmeros complejos, se llama serie de potecias cetrada e z 0. z es covergete. y coverge = la Para simplificar la escritura, cosideramos series de potecias cetradas e 0, es decir, series de la forma a z. Como e el caso real se demuestra las siguietes proposicioes: Lema de Abel. 10.48 Si ua serie de potecias a z coverge para u z 1 0, etoces la serie coverge absolutamete para todo z C co z < z 1. Si ua serie de potecias a z o coverge para u z 0, etoces la serie o coverge y diverge e módulo para todo z C co z > z. Teoría de variable compleja. 16

10.5 Ejercicios Es idética a la demostració del Lema de Abel para series reales ver 8.14). Al verificarse el lema de Abel, el comportamieto de las series de potecias complejas e módulo es idetico al de las series de potecias reales, por lo que podemos asegurar la existecia del radio de covergecia y de propiedades aálogas a las que cumple las series de potecias reales: Defiició 10.49 Al valor ρ = sup { z : } a z coverge lo llamaremos radio de covergecia de la serie. Si a z coverge úicamete e {0}, diremos que el radio de covergecia es cero, ρ = 0, y si a z coverge e todo C, diremos que tiee radio de covergecia ifiito y escribiremos ρ = +. Si ρ > 0, al etoro E0, ρ) lo llamaremos círculo de covergecia de la serie. a Proposició 10.50 Si lim a = L ó lim +1 a = L, etoces el radio de covergecia ρ de la serie de potecias +, si L = 0 a z 1 viee dado por ρ = L, si L 0, ) 0, si L =. Proposició 10.51 La serie e el círculo de covergecia. a z coverge uiformemete e cualquier cerrado coteido Proposició 10.5 Si fz) = a z e E0, ρ), etoces f es cotiua e E0, ρ). Proposició 10.53 Si ρ > 0 es el radio de covergecia de la serie de potecias etoces la serie es derivable e E0, ρ) y f z) = Corolario 10.54 Si fz) = a z 1 coverge absolutamete e E0, ρ), la fució fz) = a) f es aálitica e Ez 0, ρ). b) f es ifiitamete derivable e Ez 0, ρ). c) a = f ) z 0 )!, para = 0, 1,,.... 10.5 Ejercicios a z 1, para todo z E0, ρ). a z z 0 ) e Ez 0, ρ), etoces 10.1 Sea f ua fució aalítica e ua regió A cojuto abierto y coexo). Probar que: a) Si f z) = 0 e A, etoces f es costate e A. a z, a z b) Si la parte real o la parte imagiaria de f es costate e A, etoces f es costate e A. Teoría de variable compleja. 17

10.5 Ejercicios c) Si fz) es costate e A, etoces f es costate e A. 10. Expresa e forma biómica los valores de e i, se i, s π i) y cπi). 10.3 Probar, que para todo x IR se verifica las igualdades siguietes: ) ) ) cos x + cos x + cos 3x + + cos + 1)x = cos x 1 ) ) ) se x + se x + se 3x + + se + 1)x = cos x 1 cos + x. se + x. 10.4 Probar, que para todo x 0, π) se verifica que ) 1 + cos θ + cos θ + cos 3θ + + cos θ = se + 1) θ cos θ ) se θ. 10.5 Determiar las partes real e imagiaria de la fució fz) = tgz). 10.6 Determiar las partes real e imagiaria de las fucioes sz), cz) y tz). 10.7 Determiar ua fució f = u + iv aalítica e C, sabiedo que f0) = 0 y que su parte real es la fució ux, y) = x + se x c y. 10.8 Estudiar la derivabilidad y la aaliticidad de las fucioes: a) fz) = e z. b) fz) = cos z ). c) fz) = sz + 1 z ). d) fz) = Loge z + 1). 10.9 Resolver la ecuació 4 cos z + 5 = 0. 10.10 Probar que de la fórmula z 1 = e 1 Log z+kπi), se obtiee las raices -ésimas de z, al tomar k = 0, 1,..., 1. 10.11 Hallar los radios de covergecia de las siguietes series de potecias: a) i z + i) ; b) ) z ) 1 i ; c) z Log i) ; d) z πi) π. Teoría de variable compleja. 18