134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b5 Matemática 006 Tutorial Nivel ásico Triángulos I
Matemática 006 Tutorial Triángulos 1 Marco Teórico 1. efinición: polígono de 3 lados.. lementos primarios: a) Vértices:,, b γ γ a b) Lados: = c, = a, = b Se cumple que: i) La suma de dos lados es siempre maor que el tercer lado. a + b > c b + c > a a + c > b ii) La diferencia positiva de dos lados es siempre menor que el tercer lado. α α c β β c) Ángulos interiores: = α, = β, = γ Se cumple que: i) α + β + γ = 180 ii) maor ángulo se opone maor lado a menor ángulo se opone menor lado. jemplo: α > β > γ a > b > c d) Ángulos eteriores: Se cumple que: i) α + β + γ = 360 ii) Un ángulo eterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adacentes a él. α = β + γ β = α + γ γ = α + β PH Preuniversitario, dición 006
3. lementos secundarios: a) ltura: h Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Ortocentro (H): punto de intersección de las alturas. h h Matemática 006 b) Transversal de gravedad: t Trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. entro de gravedad (G): punto de intersección de las transversales, las divide en la razón de : 1 t : punto medio,,f : F puntos medios G G : centro de gravedad G =, G= c) Mediana: Trazo que une los puntos medios de dos lados consecutivos. ada mediana es paralela al lado opuesto mide la mitad.,,f: puntos medios F F =, F =, = F //, //, F // demás se forman 4 triángulos iguales (congruentes). PH Preuniversitario, dición 006 3
Matemática 006 Tutorial d) isectriz: b ivide al ángulo en dos partes iguales. Incentro: punto de intersección de las bisectrices, que equidista de los tres lados corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. 4. lasificación de los triángulos según sus ángulos: cutángulo: 3 ángulos agudos Rectángulo: 1 ángulo recto Obtusángulo: 1 ángulo obtuso 5. lasificación de los triángulos según sus lados: scaleno: Isósceles: quilátero: 3 lados distintos. Sus 3 ángulos son distintos. lados iguales (el lado distinto se llama base). Los ángulos ubicados en la base son iguales. 3 lados iguales. Sus 3 ángulos son iguales. 6. Generalidades: i) Área = base altura equilátero: Área = (lado) 4 ii) Perímetro: suma de sus lados. 3 h = lado 3 4 PH Preuniversitario, dición 006
jercicios 1. bisectriz del, =? ) 30 ) 40 ) 70 ) 110 ) Falta información 70º 40º Matemática 006. =, bisectriz del bisectriz del, =? ) 0 ) 40 ) 55 ) 70 ) Otro valor 110º 3. =, bisectriz del bisectriz del, + =? ) 50 ) 60 ) 90 ) 100 ) 130 F 80º 4. G = GF = GH = FH, =? ) 45 ) 60 ) 75 ) 105 ) 110 G F H PH Preuniversitario, dición 006 5
Matemática 006 Tutorial 5. Si en el se tiene que 38 < < 46, entonces: ) 38 < < 46 ) 44 < < 5 ) 84 < < 96 ) 134 < <14 ) Ninguno de ellos 6. GH equilátero, GF isósceles, =? ) 45 ) 60 ) 75 ) 105 ) 10 H G F 7. + + z + w en función de β es: ) β ) 4β ) 180 + β ) 360 - β ) Falta información z β w 8. = 9 cm, G centro de gravedad, punto medio, G =? ) 3 cm ) 4 cm ) 4,5 cm ) 5 cm ) 6 cm G 9., puntos medios de sus lados respectivos entonces =? ) 33 ) 57 ) 90 ) 13 ) Ninguno de ellos 57º 6 PH Preuniversitario, dición 006
10., puntos medios de sus lados respectivos, área del = 16 cm. etermine el área achurada. ) 4 cm ) 6 cm ) 8 cm ) 1 cm ) Falta información Matemática 006 11. etermine el área de los siguientes triàngulos: a) 6 8 3 b) 5 1 c) 7 10 d) 8 8 8 1. isosceles de base, punto medio, =? ) 5 ) 40 ) 50 ) 65 ) 80 50º 13. etermine el lado maor entre los triángulos. 30º 60º 50º PH Preuniversitario, dición 006 7
Matemática 006 Tutorial 14. etermine el menor valor entero que puede tomar a para que el triángulo eista. ) 1 ) ) 3 5 a ) 4 ) 5 7 15. etermine en función de γ, δ ε ε P T R U γ Q δ S Respuestas Preg. lternativa 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a) 1 b) 30 c) 35 d) 16 3 1 13 14 15 = ε γ δ 8 PH Preuniversitario, dición 006
Solucionario 1. La alternativa correcta es la letra ) n 70 = + 40 ( eterior) 70-40 = (espejando ) 30 = omo bisectriz = = 30 70º 40º Solucionario Matemática 006. La alternativa correcta es la letra ) omo bisectriz = = + + 110 = 180 ( etendido) F 110º = 180-110 (espejando ) = 70 = 70º = 35 (Simplificando) omo = = como bisectriz =, =, eterior del F = + (Reemplazando ) = 35 + 35 = 70 = 70 PH Preuniversitario, dición 006 9
Matemática 006 Solucionario 3. La alternativa correcta es la letra ) omo = = 80 omo bisectriz = z = z 80 + z + z = 180 ( etendido) z = 180-80 (espejando z) z = 100 z = 100 (Simplificando) z = 50 w w 80º F 80º z z omo bisectriz F = F = w n se tiene que: w + w + 80 + 80 = 180 (Suma de los s interiores) w + 160 = 180 (espejando w) w = 180-160 w = 0 0 w = w = 10, eterior del F = w + 80 (Reemplazando w) = 10 + 80 = 90 demás = F = F (Opuestos por el vértice) (Opuestos por el vértice) n F se tiene que: + + z = 180 (Suma de los s interiores) 90 + + 50 = 180 (Reemplazando,z ) + 140 = 180 (espejando ) = 180-140 = 40 Nos piden + 90 + 40 = 130 + = 130 (Reemplazando,) 10 PH Preuniversitario, dición 006
4. La alternativa correcta es la letra ) omo G = GF FG = GF = = 45 omo GF = GH = FH GHF equilátero HFG = 60, FGH = 60, GHF = 60 + + 60 = 180 ( etendido) + 45 + 60 = 180 (Reemplazando ) + 105 = 180 (espejando ) = 180-105 = 75 = 75 G 60º 60º 60º F H Matemática 006 5. La alternativa correcta es la letra ) = + + 90 = 180 + = 180-90 + = 90 (Opuestos por el vértice) (Suma de los s interiores) Si = 38 + = 90 (Reemplazamos ) 38 + = 90 (espejando ) = 90-38 =5 Si = 46 + = 90 (Reemplazamos ) 46 + = 90 (espejando ) = 90-46 = 44 44 < < 5 6. La alternativa correcta es la letra ) omo GH equilátero H = GH = G HG = 60 H 60º I G F PH Preuniversitario, dición 006 11
Matemática 006 Solucionario omo GF isósceles rectángulo G = GF (La única posibilidad es que la base sea F ) HG = GF HGF isósceles de base HF FHG =, GFH = demás HGF = 60 + 90 = 150 n HGF se tiene que: + 150 + = 180 (Suma de los s interiores) + 150 = 180 (espejando ) = 180-150 = 30 = 30 = 15 (Simplificando) omo es eterior del IHG = 60 + (Reemplazando ) = 60 + 15 = 75 = 75 7. La alternativa correcta es la letra ) β : eterior del del β = + β = z + w + + z + w (Reemplazando,,z,w) z β w β + β β + + z + w = β 8. La alternativa correcta es la letra ) omo G es centro de gravedad transversal ( punto medio) G 1 PH Preuniversitario, dición 006
G : G = : 1 Sabemos que = 9 G + G = 9 G : G = : 1 (scribimos la otra notación) G = G = k (Separando en razones) 1 G = k G = k (espejando G) G 1 = k G = k (espejando G) Matemática 006 omo G + G = 9 (Reemplazamos) k + k = 9 (espejando k) 3k = 9 k = 9 (Simplificando) 3 k = 3 G = k k = 3 (Reemplazamos k) G = 3 G = 6 G = 6 cm 9. La alternativa correcta es la letra ) omo son puntos medios mediana // Trasladando 57 a su alterno interno = 57 (opuestos por el vértice) 57º 57º = 57 10. La alternativa correcta es la letra ) omo, puntos medios mediana l trazar las 3 medianas sabemos que se forman 4 s iguales Área F = Área F = Área F = Área = 1 4 Área PH Preuniversitario, dición 006 13
Matemática 006 Solucionario Área = 16 cm La parte achurada consta de 3 s. rea achurada = = 3 rea (Reemplazamos) 4 3 16 (Simplificando) 4 = 1 rea achurada =1 cm 11. a) 8 6 3 b) 5 1 base altura Utilizamos la altura que mide 8 Área = a que cae en la base que es 3. No nos sirve la altura que mide 6 Área = 1 5 a que no sabemos cuánto mide su base. Área = 30 Área = base altura Área = 30 (reemplazamos) 3 8 Área = = 1 (simplificando) Área = 1 (Reemplazamos) (Simplificando) c) 7 10 d) 8 8 Nota: los lados de un rectángulo se llaman catetos e hipotenusa, donde la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. 8 ste es equilátero, a que tiene sus 3 lados iguales. omo es rectángulo, el área se puede calcular como 14 PH Preuniversitario, dición 006
cateto1 cateto rea = 7 10 Área = 35 (Reemplazamos) rea = (lado) 4 3 (Reemplazamos) (Simplificando) Área = 8 4 3 (Orden operaciones) = 35 = 64 4 3 (Simplificando) = 16 3 Área = 16 3 Matemática 006 1. La alternativa correcta es la letra ) omo isósceles de base = 50 demás transversal de gravedad que cae en la base bisectriz altura (las rectas notables que caen en la base coinciden) 50º 50º n se tiene que: + 90 + 50 = 180 (Suma de los s interiores) + 140 = 180 (espejando ) = 180-140 = 40 = 40 13. Para determinar el lado maor de un triángulo, debemos encontrar el maor. ntonces debemos determinar el valor de todos los s interiores. n se tiene que: 40º 60º 30º 110º 70º 50º 60 + 50 + = 180 (Suma de los s interiores) + 110 = 180 (espejando ) = 70 demás 70 eterior del 70 = + 30 (espejando ) 70-30 = 40 = PH Preuniversitario, dición 006 15
Matemática 006 Solucionario Por otro lado: 70 + = 180 = 180-70 = 110 el ángulo maor es 110, el lado opuesto a 110 es l lado maor es 14. La alternativa correcta es la letra ) ( etendido) (espejando ) Para determinar el valor que puede tomar a, debemos utilizar que la suma de lados debe ser siempre maor que el tercer lado. mpezamos por el entero más pequeño, que en este caso es 1 (no puede ser negativo ni 0) Si a = 1 5 1 7 5 + 1 = 6 Pero 6 no es maor que 7 a 1 Si a = Si a = 3 5 7 5 3 7 5 + = 7 Pero 7 no es maor que 7 a 5 + 3 = 8, 8 > 7 5 + 7 = 1, 1 > 3 3 + 7 = 10, 10 > 5 l menor entero que puede tomar a es 3. 15. ε P R T U γ γ + δ Q δ S RQP eterior del QSU RQP = γ + δ ε eterior del PQR ε = + γ + δ (espejando ) ε - γ - δ = = ε - γ - δ 16 PH Preuniversitario, dición 006