CÁLCULO VECTORIAL (0254)

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico epartamento de Matemática Aplicada CÁLCULO VECTORIAL (054) emestre -0 Enero 0

Cálculo Vectorial (054) emestre -0 TEMA INTEGRALE E UPERFICIE Y U APLICACIONE emestre -0 Enero 0

Integrales de uperficie UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de integrales de superficie y sus aplicaciones La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema e presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de eámenes y de algunos tetos e ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo Vectorial en Ingeniería Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: quinterodavila@hotmailcom

INICE GENERAL UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie uperficies paramétricas Plano tangente Área de una superficie 4 Área superficial de la gráfica de una función 5 Integrales de superficie de campos escalares 6 Centro de masa y momento de inercia 7 Ejercicios resueltos 8 uperficies orientadas 9 Integrales de superficie de campos vectoriales 0 Teorema de tokes o del Rotor Teorema de Gauss o de la ivergencia Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos 4 6 8 0 7 7 5 5

UPERFICIE PARAMÉTRICA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 UPERFICIE PARAMÉTRICA e forma similar a como se describe una curva mediante una función vectorial r(t) de un solo parámetro t, se puede describir una superficie mediante una función vectorial r(u,v) de dos parámetros u y v uponga que r(u,v) = ((u,v),y(u,v),z(u,v)) es una función vectorial definida en una región del plano uv Así, las funciones componentes de r son funciones de dos variables u y v, con dominio El conjunto de todos los puntos (,y,z) R tal que = (u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (*) y (u,v) varía en todo, se llama superficie paramétrica y las ecuaciones (*) se llaman ecuaciones paramétricas de Cada par de u y v da un punto en ; al recorrer todos los posibles valores de u y v se obtiene toda la superficie En otras palabras, la superficie resulta trazada por el etremo del vector de posición r(u,v) cuando (u,v) recorre toda la región Ejemplo Identifique la superficie con ecuación vectorial r (u, v) = ( cos(u), v, sen(u)) olución Las ecuaciones paramétricas para esta superficie son = cos(u), y = v, z = sen(u) Por tanto, para cualquier punto (,y,z) sobre la superficie, se tiene que se verifica + z = 4 cos (u) + 4sen (u) = 4 ignifica que secciones transversales verticales, paralelas al plano z (es decir, con y constante), son todas circunferencias de radio 4 Como y = v y no se indica ninguna restricción sobre v, la superficie es un cilindro circular con radio cuyo eje es el eje y En el ejemplo, no se pusieron restricciones sobre los parámetros u y v y por tanto se obtuvo todo el cilindro i, por ejemplo, se restringe u y v al escribir el dominio de los parámetros como 0 u π, 0 v entonces se obtiene el cuarto de cilindro con longitud i una superficie paramétrica está dada por una función vectorial r(u,v), entonces hay dos familias importantes de curvas que se encuentran en, una familia con u constante y la otra con v constante Estas familias corresponden a líneas verticales y horizontales del plano uv i se conserva u constante al poner u = u0 entonces r(u 0,v) se convierte en una función vectorial del parámetro v y define una curva C que se encuentra en

UPERFICIE PARAMÉTRICA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 el mismo modo, si se conserva v constante, al poner v = v0, se obtiene una curva C dada por r(u,v 0) que se encuentra en Estas curvas reciben el nombre de curvas reticulares En el ejemplo, las curvas reticulares obtenidas al hacer u constante son rectas horizontales mientras que las curvas reticulares con v constante son circunferencias Ejemplo Halle una función vectorial que represente el plano que pasa por el punto P 0 con vector de posición r 0 y que contiene dos vectores no paralelos a y b olución i P es cualquier punto del plano, entonces hay escalares u y v tales que P P = ua + vb i r es el vector de posición de P, entonces r = OP + P P = r + ua + vb 0 0 0 Por tanto, la ecuación vectorial del plano se puede escribir como r(u, v) = r + ua + vb donde u y v son números reales Ejemplo Halle una representación paramétrica de la esfera olución La esfera tiene una representación sencilla 0 0 + y + z = a ρ = a en coordenadas esféricas, de modo que se escogen los ángulos φ y θ en coordenadas esféricas como los parámetros Entonces, poniendo ρ = a en las ecuaciones de transformación de coordenadas esféricas a rectangulares, se obtiene = asen( φ)cos( θ ), y = asen( φ)sen( θ ),, z = acos( φ ) como las ecuaciones paramétricas de la esfera La ecuación vectorial correspondiente es r ( φ, θ ) = (asen( φ)cos( θ),asen( φ)sen( θ),acos( φ)) i se toma 0 φ π y 0 θ π, el dominio del parámetro es el rectángulo = 0, π 0,π Las curvas reticulares con φ constante son las circunferencias de latitud constante Las curvas reticulares con θ constante son los meridianos (semicircunferencias), que enlazan los polos norte y sur En general, una superficie dada como la gráfica de una función de y y, es decir, con una ecuación de la forma z = f(, y), siempre puede ser considerada como una superficie paramétrica si se toman y y como parámetros, y se escriben las ecuaciones paramétricas como =, y = y, z = f(, y) Estas representaciones para las superficies no son únicas El siguiente ejemplo muestra dos formas de parametrizar un cono Ejemplo 4 Halle una representación paramétrica para la superficie mitad superior del cono z = 4 + 4y olución z = + y, es decir, la

UPERFICIE PARAMÉTRICA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 Una posible representación se obtiene al seleccionar y y como parámetros: =, y = y, de modo que la ecuación vectorial viene dada por z = + y r(,y) = (,y, + y ) olución Otra representación resulta de escoger como parámetros a las coordenadas polares r y θ Un punto (,y,z) sobre el cono satisface = r cos( θ ), y = rsen( θ ), Por tanto, la ecuación vectorial para el cono viene dada por r (r, θ ) = (r cos( θ),rsen( θ),r), donde r 0 y 0 θ π z = + y = r PLANO TANGENTE A continuación se va a obtener la ecuación del plano tangente a la superficie paramétrica, dada por la función vectorial r(u,v) = ((u,v),y(u,v),z(u,v)) en un punto P 0 con vector de posición r(u 0,v 0 ) i se mantiene a u constante poniendo u = u 0, entonces r(u 0,v) se convierte en una función vectorial solo del parámetro v y que define una curva reticular C sobre El vector tangente a C en P 0 se obtiene al tomar la derivada parcial de r con respecto a v: y z = (u,v ), (u,v ), (u,v ) v v v r v 0 0 0 0 0 0 Asimismo, si se mantiene v constante poniendo v = v0, se obtiene una curva reticular C dada por r(u,v 0) sobre, y su vector tangente en P 0 viene dado por la epresión y z = (u,v ), (u,v ), (u,v ) u u u r u 0 0 0 0 0 0 i r u r no es 0, entonces la superficie recibe el nombre de suave (no tiene v esquinas ) Para una superficie suave, el plano tangente es el plano que contiene los vectores tangentes r u y r v, siendo r r el vector normal al plano tangente u v

PLANO TANGENTE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 Ejemplo 5 Encuentre el plano tangente a la superficie con ecuaciones paramétricas = u, y = v, z = u + v en el punto (,,) olución Primero se calculan los vectores tangentes: r = (u,0,), r = (0,v,) Así, un vector normal al plano tangente es i j k u ru rv = u 0 = ( v, 4u, 4uv) 0 v Note que el punto (,,) corresponde a los valores de los parámetros u = y v = de modo que el vector normal ahí es (, 4,4) Por tanto, una ecuación del plano tangente en (,,) es ( ) 4(y ) + 4(z ) = 0 + y z + = 0 v ÁREA E UNA UPERFICIE e va a definir el área de una superficie paramétrica general dada por la ecuación r(u,v) = ((u,v),y(u,v),z(u,v)) Para simplificar se comenzará por considerar una superficie tal que el dominio de los parámetros,, es un rectángulo y se dividirá en subrectángulos R ij (ver figura ) ij La parte ij de la superficie que corresponde a R ij se llama parche y tiene el punto P con vector de posición r (u *,v * ) como uno de sus vértices ean * * * v = v i j i j * * * u = u i j r r (u,v ) y r r (u,v ) los vectores tangentes en P ij Los dos bordes del parche que se encuentren en P ij se pueden aproimar mediante vectores Estos vectores, a su vez, se pueden aproimar con los vectores cocientes incrementales ur * u y vr * v porque las derivadas parciales se pueden aproimar con los vr * v Por tanto, se aproima ij con el paralelogramo determinado por los vectores Este paralelogramo está en el plano tangente en P ij El área del paralelogramo es ur * u y

ÁREA E UNA UPERFICIE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 V Rij Z ij Σ v k v k r (u,v) Pij P ij u k A u k U Y X Figura Área de una superficie * * * * u v u v ( ur ) ( vr ) = r r u v Por tanto, una aproimación del área de es m n * * ru rv u v i= i= Esto da lugar a la siguiente definición: efinición i una superficie paramétrica suave está dada por la ecuación de la forma r (u,v) = ((u,v),y(u,v),z(u,v)) (u,v) y se cubre sólo una vez cuando (u,v) varía en todo el dominio paramétrico, entonces el área superficial de viene dada por la epresión donde u v da r r, A() =

ÁREA E UNA UPERFICIE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 6 de 60 y z r u =,, u u u y r v y z,, = v v v Ejemplo 6 Halle el área superficial de una esfera de radio a olución Ecuaciones paramétricas: = asen( φ)cos( θ ), y = asen( φ)sen( θ ), z = acos( φ ), donde el dominio de los parámetros es = ( φ, θ) /0 φ π, 0 θ π { } Primero se calcula el producto cruz de los vectores tangente: φ θ i j k i j k y z rφ rθ = = acos( φ)cos( θ) acos( φ)sen( θ) asen( φ) φ φ φ asen( φ)sen( θ) asen( φ)cos( θ) 0 y z θ θ θ = (a sen ( φ)cos( θ),a sen ( φ)sen( θ),a sen( φ)cos( φ)) 4 4 4 4 4 r r = a sen ( φ)cos ( θ ) + a sen ( φ)sen ( θ ) + a sen ( φ)cos ( φ ) = a sen( φ) Como sen( φ) 0 para 0 φ π, según la definición, el área de la esfera viene dada por la epresión π π 0 0 A = r r da = a sen( φ)dφdθ = 4πa φ θ 4 ÁREA UPERFICIAL E LA GRÁFICA E UNA FUNCIÓN Para el caso especial de una superficie con ecuación z = f(, y) donde (,y) se encuentra en y f tiene derivadas parciales continuas, se toman y y como parámetros Las ecuaciones paramétricas son =, y = y, z = f(, y) por lo que se tiene r f =,0, f, r y = 0,, y y

ÁREA UPERFICIAL E LA GRÁFICA E UNA FUNCIÓN UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 7 de 60 r i j k f f f ry = 0 =,, y f 0 y Entonces se tiene r f f z z ry = + + = + + y y y la fórmula del área de la superficie es aquí z z y A() = + + da Ejemplo 7 Encuentre el área de la parte del paraboloide z = 9 olución El plano corta al paraboloide en la circunferencia z = + y que está bajo el plano + y = 9, z = 9 Por tanto, la superficie dada se encuentra arriba del disco con centro en el origen y radio e tiene A = + 4( + y )da Pasando a coordenadas polares, se obtiene la epresión π π A = + 4r rdrd θ = (7 7 ) 6 0 0 Ejemplo 8 Calcule el área de la porción de la superficie + y + z = 5 en el primer octante que se encuentra entre los planos de ecuaciones z =, z = 4, y =, = y olución Paso Parametrización de la superficie i se toman como parámetros y y se tiene entonces (ver figura ):

ÁREA UPERFICIAL E LA GRÁFICA E UNA FUNCIÓN UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 8 de 60 Figura Región del ejemplo 8 r(,y) = (,y, 5 y ) con y y en la región Paso Cálculo de la norma del vector r r y r r = + y + = 5 5 y 5 y 5 y y Paso Construcción y resolución de la integral doble π/ 4 π/ π/ 4 rdrdθ da 5 = 5 = 5 5 r dθ = 5 ( 4)dθ 5 y 5 r π/6 π/6 π/6 π π 5 = 5 = π 6 6 5 INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO ECALARE La relación entre integrales de superficie y áreas de superficies es muy similar a la relación entre integrales de línea y longitud de arco uponga que f es una función de tres variables cuyo dominio incluye una superficie e divide en parches ij con área ij e evalúa f en un punto * P ij en cada parche y se multiplica por el área ij y se forma la suma m n * f(p ij ) ij i= j=

INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO ECALARE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 9 de 60 Entonces se escribe el límite cuando el tamaño del parche se aproima a 0, y se define la integral de superficie de f sobre la superficie como m n * f(,y,z)d = lím f(p ij ) ij m,n i= j= i la superficie es la gráfica de una función de dos variables, entonces f(,y,g(,y)) g (,y) + g y(,y) + da Ejemplo 9 Evalúe donde es la superficie olución yd, z = + y, 0, 0 y z =, z = y 0 0 y yd = y + + 4y dyd = Ejemplo 0 Calcule la integral de superficie donde es la esfera unitaria olución e modo que + y + z = d, = sen( φ)cos( θ ), y = sen( φ)sen( θ ), z = cos( φ ), 0 φ π 0 θ π r r = sen( φ) θ π π 0 0 φ 4 d = (sen( φ)cos( θ)) sen( φ)dφd θ = π

INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO ECALARE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 0 de 60 i es una superficie suave a trozos, es decir, la unión finita de superficies suaves,,, que se intersectan sólo en sus fronteras, entonces la integral de superficie de f n sobre viene dada por f(, y, z)d = f(, y, z)d + + f(, y, z)d n Ejemplo Evalúe zd, donde es la superficie cuyos lados están sobre el cilindro disco de olución donde + y =, el fondo es el + y del plano z = 0 y su tapa es la parte del plano z = + que está arriba : : = cos( θ ), y = sen( θ ), z = z, 0 θ π, 0 z + cos( θ ) π + cos( θ) zd = zdzdθ = π 0 0 : zd = 0 π zd = ( + ) dyd = ( + r cos( θ))rdrd θ = + π 0 0 6 CENTRO E MAA Y MOMENTO E INERCIA Las integrales de superficie tienen aplicaciones semejantes a las de las integrales que se han estudiado antes Por ejemplo, si una lámina delgada tiene la forma de una superficie y la densidad (masa por área unitaria) en el punto (,y,z) es ρ (, y, z), entonces la masa total viene dada como

CENTRO E MAA Y MOMENTO E INERCIA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 m = ρ(,y,z)d y el centro de masa será (,y,z) donde z, y m Myz = (,y,z)d m = m ρ, = M = y (,y,z)d m ρ My z = z (,y,z)d m = m ρ Los momentos de inercia vienen dados por las epresiones, I = (y + z ) ρ(,y,z)d y, I = ( + z ) ρ(,y,z)d z I = ( + y ) ρ(,y,z)d Ejemplo Calcule la masa de una lámina delgada que tiene la forma de la porción de superficie z = y, z 0, sabiendo que la densidad superficial en cada punto de la misma, es proporcional al cuadrado de su distancia al eje z olución m = ρ (, y, z)d = K ( + y ) N da = K ( + y ) 4 + 4y + da 0 0 π u = K r 4r + drdθ u = 4r + r = udu = 8rdr 4 5 5/ / (u )u u u (4r + ) (4r + ) r 4r + dr = du = = 6 6 5 6 5 π π 5/ / 5/ / (4r + ) (4r + ) (9) (9) m = K dθ = + K dθ 6 5 6 5 5 0 0 0 5 π π 4 6 π 596 49 m = + K = K K K 8 5 5 8 5 = = π 8 5 0 Ejemplo Una lámina delgada, homogénea tiene la forma de la superficie dada por la ecuación + y + z = R, z 0 a etermine las coordenadas de su centro de masa olución r ( φ, θ ) = (Rsen( φ)cos( θ),rsen( φ)sen( θ),r cos( φ)) 0 φ π / 0 θ π N = R sen( φ)

CENTRO E MAA Y MOMENTO E INERCIA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 M y KR R π (,y,z) = 0,0, = 0,0, = 0,0, m KR π π π/ π π/ sen ( φ) My = K zd = K R cos( φ)r sen( φ)dφd θ = KR dθ = KπR 0 0 0 π π/π π/ 0 0 0 0 m = K d = K R sen( φ)dφd θ = KR cos( φ) dθ = πkr b emuestre que su momento de inercia respecto a z es I la superficie olución z z 0 = mr, donde m es la masa de π π/ π π/ 4 I = K ( + y )d = K R sen ( φ)r sen( φ)dφdθ = KR sen ( φ)dφdθ 0 0 0 0 π π/ 4 cos ( φ) 4 = KR cos( φ) d θ = π KR = πkr R 0 0 masa 7 EJERCICIO REUELTO Encuentre una representación paramétrica para el cilindro olución + y = 4, 0 z El cilindro tiene una representación sencilla r = en coordenadas cilíndricas, de modo que se escogen θ y z como parámetros en coordenadas cilíndricas Entonces las ecuaciones paramétricas del cilindro son = cos( θ ), y = sen( θ ), z = z donde 0 θ π y 0 z Encuentre una función vectorial que represente el paraboloide elíptico olución z = + y i se consideran y y como parámetros, entonces las correspondientes ecuaciones paramétricas son simplemente =, y = y, z = + y y la ecuación vectorial es r(,y) = (,y, + y )

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 ea la superficie de ecuación vectorial r(u,v) = ((u + v),(u v),4uv) a etermine una ecuación cartesiana F(,y,z) = 0 e identifíquela olución Por lo tanto y = (u + v) (u v) = 4uv = z 4 9 y = z (Paraboloide hiperbólico) 4 9 b Encuentre la ecuación del plano tangente en el punto (,,0) olución r u (u,v) = (,,4v), r v (u,v) = (,,4u), ru rv = ((u + v), 8(v u), ) En el punto (,,0), u = 0, v = Por lo tanto ru rv = (, 8, ) Ecuación del plano tangente: + y z = 0 4 ea la superficie definida por las ecuaciones paramétricas dadas por etermine: (u, v) = u cos(v), y(u, v) = usen(v), a Una ecuación cartesiana e identifíquela olución z(u, v) = u, (u,v) 0,0 0,π + y = z 0 z 00 (Porción de un paraboloide) b La ecuación del plano tangente en el punto (0,,) olución π u =, v =, r u(u, v) = (cos(v), sen(v), u) rv(u, v) = ( usen(v),u cos(v), 0) ru rv = ( u cos(v), u sen(v),u) Evaluando se tiene ru rv = (0,,) La ecuación del plano tangente es: (y ) + (z ) = 0 y + z = 5 ean las funciones vectoriales t(u, v) = (u cos(v),usen(v), u ) ; w(u,v) = (u v,(u v),(u v) ) a Encuentre la ecuación cartesiana de la superficie parametrizada por t e identifíquela olución + y = u = z Paraboloide b Pruebe que w no determina una superficie olución v w (u,v) = (,(u v),(u v) ) ; w (u,v) = (, (u v), (u v) ) u e puede ver que w u es paralelo a w v, por lo tanto wu wv = 0 wu wv = 0 y en consecuencia w no determina una superficie

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 6 ea la porción de la esfera de ecuación ecuación olución + y + z = a contenida dentro del cono de + y = z, para z 0, a > 0 Encuentre el área de la superficie Paso Región donde se mueven los parámetros { } = (, y) R : + y a Paso Parametrización de la superficie de interés r (,y) = (,y, a y ), (,y) Paso Cálculo de la norma del vector normal r r = + y + = a a y a y a y y Paso 4 Cálculo del área de la superficie π a π a a r A() = da = a drdθ = a a r dθ a y a r 0 0 0 0 = ( )a π 7 ea =, donde es la porción de superficie esférica dada por + y + z =, interior al paraboloide de ecuación + y z = 0 y la parte de superficie de paraboloide interior a la esfera Calcule el área de olución Intersección esfera-paraboloide: + y =, z = Área de : Parametrización de la superficie esférica: { } r (,y) = (,y, y ), (,y), = (,y) R : + y r r = y y π da r A( ) = = drdθ = π( ) y r 0 0 Área de : Parametrización de la superficie del paraboloide interior a la esfera: { } + y r (,y) = (,y, ), (,y), = (,y) R : + y r r = + + y y

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 Por lo tanto π π A( ) = + + y da = r + r drd θ = ( ) 0 0 π 6 A() = A( ) + A( ) = π( ) + ( ) = π 8 La lámina helicoidal que se encuentra indicada en la figura está descrita por la ecuación vectorial: r (r, θ ) = (r cos( θ),rsen( θ), θ), 0 r, 0 θ π abiendo que en cada punto (,y,z) de la lámina, la densidad es halle las coordenadas de su centro de masa ρ (,y,z) = + y +, Figura Representación gráfica de la región del ejercicio 8 olución Paso Cálculo de la norma del vector normal i j k r r = cos( θ) sen( θ ) 0 = (sen( θ), cos( θ),r) r r = + r r θ rsen( θ) rcos( θ) Paso Cálculo de la masa π π r 44 0 0 0 0 m = + r + r da = ( + r )drd θ = (r + ) dθ = π Paso Cálculo de los momentos yz M = r cos( θ )( + r )da = 0 = rsen( θ )( + r )da = M r θ z

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 6 de 60 π 44 y = θ + = θ θ + = π 0 0 M ( r )da d ( r )dr Paso 4 Cálculo del centro de masa (,y,z) = (0,0, π ) 9 Calcule el momento de inercia alrededor del eje Y de la superficie definida sobre el cono superior de ecuación z = + y que está dentro de la esfera de ecuación + y + z = 6z uponga que la densidad (uniforme) es igual a olución Paso Región donde se mueven los parámetros { } = (, y) R : + y 9 Paso Parametrización de la superficie de interés r (,y) = (,y, + y ), (,y) Paso Cálculo de la norma del vector normal r y r = + + = + y + y y Paso 4 Cálculo del momento de inercia y π I = ( + + y )da = r(r cos ( θ ) + r )drdθ π 0 0 π π r 4 = r ( + cos ( θ))drdθ = (( + cos ( θ)) ) dθ 0 0 0 π π 8 8 + cos( θ) 4 4 0 0 = ( + cos ( θ))d θ = ( + )dθ 8 8 8 8 0 4 0 = ( + cos( θ))d θ = (θ + sen( θ )) = 6π = π 8 8 π 0 8 4

UPERFICIE ORIENTAA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 7 de 60 8 UPERFICIE ORIENTAA e comenzará con una superficie que tiene un plano tangente en todo punto (,y,z) sobre (ecepto en cualquier punto frontera) Hay dos vectores unitarios normales n y n = n en (,y,z) i es posible escoger un vector unitario n en cada uno de estos puntos (,y,z) de modo que n varía constantemente sobre, entonces se llama superficie orientada y la selección dada de n da a una orientación Hay dos posibles orientaciones para cualquier superficie orientada Para una superficie z = g(, y) dada como la gráfica de g, la orientación inducida está dada por el vector unitario normal n = g g,, y g g + + y Como la componente k es positiva, esto da la orientación hacia arriba de la superficie i es una superficie suave orientable, dada en forma paramétrica por una función vectorial r(u,v), entonces automáticamente recibe la orientación del vector unitario normal n = r r u u r v r v y la orientación opuesta está dada por n Para una superficie cerrada, esto es, una superficie que es la frontera de una región sólida E, se ha convenido en que la orientación positiva, es aquella para la cual los vectores normales apuntan hacia fuera desde E, y las normales que apuntan hacia adentro dan la orientación negativa 9 INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO VECTORIALE Para definir las integrales de superficie de campos vectoriales, se necesitan ecluir superficies que no se puedan orientar, por ejemplo la cinta de Mobius e puede construir una si se toma una tira de papel larga, rectangular, se tuerce a la mitad y se unen los etremos

INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO VECTORIALE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 8 de 60 uponga que es una superficie orientada con vector unitario normal n, e imagine un fluido con densidad ρ (, y, z) y campo de velocidad v(,y,z) que circula a través de (Considere como una superficie imaginaria que no obstruye la corriente del fluido, como una red de pesca en la corriente de un río) Entonces el flujo es ρ v i se divide en pequeños parches ij, es casi plana y por tanto se puede aproimar la masa del fluido que atraviesa ij en la dirección de la normal n por unidad de tiempo por la cantidad ( ρ v n)a( ij) donde ρ, v y n se evalúan en algún punto sobre ij (e recuerda que la componente del vector ρ v en la dirección del vector unitario n es ρ v n) Al sumar estas cantidades y pasar al límite, se obtiene la epresión ρ v nd = ρ (,y,z) v(,y,z) n (,y,z)d, y ésta se interpreta físicamente como la rapidez del flujo que pasa por i se escribe F entonces F es también un campo vectorial en R y la integral se convierte en = ρ v, d F n Este tipo de integrales de superficie se presenta con frecuencia en física, incluso cuando F no es v ρ, y se llama integral de superficie (o integral de flujo) de F sobre efinición i F es un campo vectorial continuo en una superficie orientada con un vector unitario normal n, entonces la integral de superficie de F sobre viene dada por F d = F n d Esta integral también se llama flujo de F a través de ea F(,y,z) integral de flujo como = (P(,y,z),Q(,y,z),R(,y,z)), se tiene entonces la epresión para la ( g, g,) F n d = (P, Q,R) g + g + da g g y y + y + e modo que

INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO VECTORIALE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 9 de 60 F n d = ( Pg Qg + R)dA y e modo que F n d = ( Pg Qg + R)dA y i F está dada por una función vectorial r(u,v), entonces n está dado por n = y se tiene que: ru rv ru rv F = F = F r ru rv = F ru rv ru rv ru rv r r u u r v r d d ( (u,v)) da ( )da v Ejemplo 4 Halle el flujo del campo vectorial F(, y, z) = (y,, z) a través de, donde es la frontera de la región sólida limitada por el paraboloide olución : z = y, F = r r y = z = y y el plano z = 0 (,y,z) (y,,z), (,y,) (y + y + z)da = (y + y + y )da π 0 0 : y π (4r cos( θ)sen( θ ) + r )rdrd θ = z = 0, r r = (0,0,), zda = 0 Ejemplo 5 Halle el flujo del campo vectorial F(,y,z) unitaria olución + y + z = = (z,y,) a través de la esfera r ( φ, θ ) = (sen( φ)cos( θ),sen( φ)sen( θ),cos( φ)), 0 φ π, 0 θ π r r = (sen ( φ)cos( θ),sen ( φ)sen( θ),sen( φ)cos( φ)) φ θ

INTEGRALE E UPERFICIE E CAMPO VECTORIALE UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 0 de 60 π π 0 0 (sen ( φ)cos( φ)cos( θ ) + sen ( φ)sen ( θ ) + sen ( φ)cos( φ)cos( θ))dφdθ = 4π Ejemplo 6 Calcule el flujo del campo F(,y,z) = (y, y,yz) a través del cilindro de ecuación + y = 4, 0 z 4 (superficie lateral) olución r ( θ,z) = (cos( θ),sen( θ),z), 0 θ π, 0 z 4, θ z (cos( ),sen( ),0) π 4 0 0 (8sen ( θ)cos( θ) 4sen ( θ))dzdθ = 6π Ejemplo 7 emuestre que el flujo del campo F(,y,z) real positivo, a través de la esfera esfera olución = c(,y,z), donde c es un número + y + z = c, es igual a c veces el volumen de la Al parametrizar la esfera se tiene: r ( φ, θ ) = (csen( φ)cos( θ),csen( φ)sen( θ),ccos( φ)), con 0 φ π, 0 θ π Calculando: y e modo que Calculando el flujo: r φ( φ, θ ) = (ccos( φ )cos( θ ),ccos( φ )sen( θ ), csen( φ )) φ r θ( φ, θ ) = ( csen( φ )sen( θ ),csen( φ )cos( θ ),0) θ i j k r r = c cos( φ)cos( θ) cos( φ)sen( θ) sen( φ) sen( φ)sen( θ) sen( φ)cos( θ) 0 = c (sen ( φ)cos( θ),sen ( φ)sen( θ),sen( φ)cos( φ)) π π 4 c (sen( φ)cos( θ),sen( φ)sen( θ),cos( φ )) (sen ( φ)cos( θ),sen ( φ)sen( θ),sen( φ)cos( φ))dφd θ 0 0 π π 4 c (sen ( φ)cos ( θ ) + sen ( φ)sen ( θ ) + sen( φ)cos ( φ))dφd θ 0 0 π π π π 4 4 c (sen ( φ ) + sen( φ)cos ( φ))dθdφ = πc sen ( φ)dφ + sen( φ)cos ( φ)dφ 0 0 0 0 πc sen( φ)dφ sen( φ)cos ( φ)dφ + sen( φ)cos ( φ)dφ = 4πc 0 0 0 π π π 4 4

TEOREMA E TOKE O EL ROTOR UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 0 TEOREMA E TOKE O EL ROTOR El teorema de tokes se puede considerar como una versión del teorema de Green para tres dimensiones Mientras que el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región plana con una integral de línea alrededor de su curva frontera plana, el teorema de tokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie con una integral de línea alrededor de la curva frontera de (que es una curva en el espacio) La figura muestra una superficie orientada con vector unitario normal n La orientación de induce la orientación positiva de la curva frontera C que se ilustra en la figura 4 n Figura 4 Teorema de tokes TEOREMA (TEOREMA EL ROTOR) ea una superficie suave a trozos y orientada, que está limitada por una curva frontera C, cerrada, suave a trozos y positivamente orientada ea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta de R que contiene a Entonces C F dr = rotf d Como d C C F r = F T ds y rotf d = rotf n d,

TEOREMA E TOKE O EL ROTOR UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 el teorema de tokes dice que la integral de línea de la componente tangencial de F alrededor de la curva frontera de, es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotf Hay una analogía entre el teorema de tokes, el teorema de Green y el teorema fundamental del Cálculo En el caso especial en el que la superficie es plana y se encuentra en el plano y con orientación hacia arriba, la normal unitaria es k, la integral de superficie se convierte en una integral doble y el teorema de tokes es C F dr = rotf d = (rot F) k da Ésta es precisamente la forma vectorial del teorema de Green que se discutió anteriormente Así es que el teorema de Green es realmente un caso especial del teorema de tokes Ejemplo 8 Evalúe C F dr, donde F(,y,z) = ( y,,z ) y C es la curva de intersección del plano y + z = con el cilindro + y = (Oriente C de manera que se recorra en sentido contrario al de las manecillas del reloj, cuando se vea desde arriba) olución Aunque C F dr podría ser evaluada directamente, es más fácil hacerlo usando el teorema de tokes Primero se calcula i j k y z rot F = = (0, 0, + y) y z A pesar de que son muchas las superficies que tienen a C como frontera, lo más cómodo es considerar la región elíptica del plano y + z = que está limitado por C si se orienta hacia arriba, entonces se induce en C una orientación positiva La proyección de sobre el plano y es el disco + y y por tanto, se tiene π F dr = rotf d = ( + y)da = ( + rsen( θ))rdrd θ = π C 0 0

TEOREMA E TOKE O EL ROTOR UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: de 60 Ejemplo 9 Utilice el teorema de tokes para calcular la integral rot d F, donde F(,y,z) dentro del cilindro olución = (yz,z,y) y es la parte de la esfera + y = y arriba del plano y Para hallar la curva C se resuelven las ecuaciones obtiene ecuaciones + y + z = 4 y + y + z = 4 que se encuentra + y = Restando, se z = y por tanto z = (porque z > 0) Así, C es la circunferencia dada por las + y =, z = La ecuación vectorial de C es r (t) = (cos(t), sen(t), ) 0 t π, por lo cual r '(t) = ( sen(t),cos(t),0) el mismo modo, se tiene entonces F( r (t)) = ( sen(t), cos(t),cos(t)sen(t)), π π C 0 0 rotf d = F d r = F( r(t)) r '(t)dt = ( sen (t) + cos (t))dt = 0 TEOREMA E GAU O E LA IVERGENCIA En secciones anteriores se escribió el teorema de Green en una versión vectorial como C F nds = div F (, y)da, E donde C es la curva frontera, positivamente orientada, de la región plana i se estuviera buscando etender este teorema a campos vectoriales sobre R, se podría suponer que F nd = div F (,y,z)dv, donde es la superficie frontera de la región sólida E Resulta que la relación dada por esta última ecuación se cumple bajo hipótesis apropiadas, y se llama teorema de la divergencia Note su similitud con el teorema de Green y el teorema de tokes en cuanto a que relaciona la integral de la derivada de una función, (divf en este caso), sobre una región, con la integral de la función original F sobre la frontera de la región

TEOREMA E GAU O E LA IVERGENCIA UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 TEOREMA (TEOREMA E LA IVERGENCIA) ea E una región sólida simple y sea la superficie frontera de E, dada con orientación positiva (hacia fuera) ea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E Entonces F d = div( F )dv Ejemplo 0 Halle el flujo del campo vectorial F(,y,z) unitaria olución + y + z = Primero se calcula la divergencia de F: div F = (z) + (y) + () = y z El teorema de la divergencia da el flujo como B B E 4π F d = divf dv = dv = = (z,y,) a través de la esfera Ejemplo Un fluido tiene como vector densidad de flujo, el campo dado por la epresión 5 F(,y,z) = ( + z + y,y z,6z + y ) Calcule el flujo a través de la superficie, en dirección de su vector normal eterior, si es la frontera del sólido olución { } V = (,y,z) R : + y + z 4, + y + (z ),z 0 Aplicando el teorema de la divergencia se tiene que: Utilizando coordenadas esféricas: F dr = div( F )dv = (6 + 4y + 6)dV V V π π/ 0 0 cos( φ) π π/ 0 0 cos( φ) π π/ π π/ cos( φ) 0 0 cos( φ) 0 0 4 π/ 0 (6ρsen( φ)cos( θ ) + 4ρsen( φ)sen( θ ) + 6) ρ sen( φ)dρdφdθ (6ρ sen ( φ)cos( θ ) + 4ρ sen ( φ)sen( θ ) + 6ρ sen( φ))dρdφd θ (6ρ sen( φ))dρdφd θ = ρ sen( φ)dφd θ π π/π π (6 6cos ( φ))sen( φ)dφd θ = ( 6 cos( φ ) + 4cos ( φ)) dθ = dθ = 4π 0 0 0 0

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 EJERCICIO REUELTO Verifique el teorema de tokes para el campo vectorial F(,y,z) = yi + 4zj - 6k y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - - y mostrada en la figura 5 ubicada sobre el plano y y orientada hacia arriba z 9 y C Figura 5 Gráfica del ejercicio olución Cálculo como integral de línea La curva C es en este caso una circunferencia de radio centrada en el origen sobre el plano y e puede parametrizar como: = cos( θ) y = sen( θ ) z = 0, 0 θ π Con esta parametrización se tiene: F(θ) = 9sen(θ) i + 0j 8cos(θ) k, r (θ) = sen(θ) i + cos(θ) j + 0k F(θ) r (θ) = 7sen (θ) π π π F r F r C 0 0 0 π cos( θ) d = ( θ) ( θ)d θ = 7sen ( θ)dθ = 7 θdθ 7 sen( θ) = 7 θ = π Cálculo como integral de superficie Primero se evalúa el rotacional 0

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 6 de 60 i j k rot F = y = 4i + 6j k z y 4z 6 Ahora se parametriza la superficie del paraboloide Para eso observamos que su proyección sobre el plano y es un círculo de radio con centro en el origen Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas: = r cos( θ) 0 r r (r, θ ) y = r sen( θ), 0 θ π z = 9 r El producto vectorial fundamental será: i j k r r θ = cos( θ) sen( θ) r = r cos( θ ) i + r sen( θ ) j + r k r sen( θ) r cos( θ) 0 e ve que la componente z de este vector es positiva Por lo tanto la parametrización describe una superficie orientada positiva Usando esta parametrización, se tiene: π π r rot F d = rot F ( r r θ)drd θ = (8r cos( θ ) + r sen( θ) r)drd θ = = 7π 0 0 0 0 e verifica entonces el teorema de tokes Utilice el teorema de tokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorial F(,y,z) = yzi + yj + yzk sobre el dominio consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (±; ±; ±), orientado hacia afuera (ver figura 6) z O y Figura 6 Gráfica del ejercicio

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 7 de 60 olución La geometría descrita en el enunciado está representada en la figura e requiere calcular el flujo de rot F a través de todas las caras del cubo menos la de abajo e observa que esa región de integración está limitada por la curva orientada indicada en la figura; llamémosla C (La orientación dada se corresponde con normales con la componente z mayor o igual que 0, que es lo necesario para que las normales apunten hacia el eterior del cubo) El teorema de tokes asegura que: ( F) d = F dr, lo cual en sí no implica una simplificación demasiado significativa, dado que en lugar de tener que parametrizar cinco superficies para evaluar la integral de flujo se debe parametrizar cuatro segmentos de recta para calcular la integral de línea in embargo, se nota que la curva C también delimita la superficie de la base del cubo, a la cual se llamará Puesto que el teorema de tokes asegura que la integral del campo vectorial sobre una curva cerrada es igual al flujo de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por ella, se tiene que: ( F) d = F d r = ( F) d C ' C con lo cual se puede integrar el rotor directamente sobre la superficie de la base Parametrizando esta última se tiene, pues: T(,y) = ((,y); y(,y); z(,y)) = (,y, -), -, - y () y su producto vectorial fundamental es: i j k N = T Ty = 0 0 = k 0 0 e nota que esta normal apunta hacia arriba, que es precisamente el sentido en que debe apuntar de acuerdo a la regla de la mano derecha Por otro lado el rotacional del campo escalar viene dado por: i j k F = = z i + (y yz) j + (y z) k = i + ( y) j + (y ) k y z yz y yz Por lo tanto la integral que se busca será: reemp por la param () F F N i j k k ' ' ' d = d = ( y + (y ) ) d = (y )ddy = 0

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 8 de 60 En este problema se ve que el teorema de tokes permite no sólo transformar una integral de superficie en una de línea, sino también convertirla en otra integral de superficie sencilla Calcule la circulación del campo de velocidades de un fluido F(,y,z) = (tan - ( ); ; e z tan(z)) a lo largo de la intersección de la esfera de ecuación + y + z = 4 con el cilindro de ecuación + y =, con z > 0 (ver figura 7) z y Figura 7 Gráfica del ejercicio olución La circulación de un campo es su integral a lo largo de una línea cerrada e recordará que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará A simple vista se ve que el campo vectorial F tiene una ley bastante compleja, por lo que se puede anticipar que el cálculo de la circulación como integral de línea puede resultar muy engorroso Por lo tanto, vale la pena calcular el rotacional a ver si resulta una función matemáticamente más tratable i j k rot F = = 0i + 0j + k y z z tg ( ) e tg(z)

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 9 de 60 En efecto, se simplifican de forma significativa los cálculos al resultar el rotacional una función vectorial constante Por el teorema de tokes, podemos calcular la integral de línea de F sobre la curva dada como el flujo del rotor a través de la superficie grisada Parametrizando esta última: = r cos( θ ) 0 r r (r, θ ) y = r sen( θ), 0 θ π z = 4 r y hallando el producto vectorial fundamental: i j k r r r r r θ = cos( θ) sen( θ) = cos( θ ) i + sen( θ ) j + r k 4 r 4 r 4 r r sen( θ) r cos( θ) 0 e ve que esta normal tiene componente z positiva, correspondiendo a una superficie positivamente orientada con esto se puede calcular ahora: 4 Calcule siendo Γ la curva π r θ 0 0 rot F d = rot F ( r r )drd θ = rdrdθ = π, Γ + I = d + dy + z dz + = 4 y 4 Γ : z = con orientación antihoraria vista desde P(0,0,5) olución La curva Γ es una elipse y + = z = Por tratarse de una curva cerrada, puede calcularse I mediante el teorema de tokes: Es con F = i + j + z k y I = F dr Γ

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 40 de 60 Luego: i j k rot F = = k y z Γ z I = F dr = (rot F) n d σ, siendo Σ + la porción de plano z = limitada por la elipse Γ,con normal n = k Como (rot F) n = k k =, resulta: 5 Calcule Σ + d Σ + I = σ = µ ( Σ ) = π = 4π C F dr, y y donde F(,y,z) = (z + 4 + e, z + e,z + y + e ) y C es la curva intersección de la superficie (y ) (z ) + = 9 con el plano = La orientación de C es en sentido antihorario cuando la curva es vista desde un punto distante del origen y en la parte positiva del eje olución Aplicando el Teorema de tokes se tiene: Paso Cálculo del rotf Q Q y z z y R P R P rot F = (,, ), Por tanto rot F = (5,z e, e ) R y Q z = + = 5, Paso Cálculo del vector N de la superficie de interés uperficie de interés: plano = N = (,0,0) Paso Proyección en el plano yz y P z R = z e, Q P = e y y Figura 8 Gráfica del ejercicio 5

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 Paso 4 Construcción y resolución de la integral doble F N y rot da = (5,z e, e ) (,0,0)dA = 5 da = 0π 6 ean r = (,y,z), una superficie cerrada, orientable que limita un sólido V y n el vector normal unitario eterior a Pruebe que: a d = (div( n ))dv b olución V Al aplicar el teorema de la divergencia donde F 6 = n se tiene que = = = = = T ( r ) d = dv n V olución F d n d n nd n d d (div( n ))dv Al aplicar el teorema de Gauss donde y z F(,y,z) = r =,, 6 se tiene F d = (div( F ))dv = dv V V 7 Verifique el Teorema de Gauss donde F(,y,z) = (y,y, ( + 4y)) y es la superficie del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano de ecuación + y + z = olución Integrales de superficie: : z = 0 N = (0, 0, ) ( + 4y)dA = ( + 4y)dyd = y + y d = ( )( )d 0 0 0 0 0 5 = ( + )d = + = + = 6 0 0 : y = 0 N = (0,, 0) y da = 0

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 : = 0 N = (,0,0) y 4 : z = N =,, yda = 0 y + y 4y da = (y + y 8y)dA 0 Integrales triples: y y (y + y 8y)dyd = + y 4y d 0 0 0 ( ) ( ) 5 + ( ) 4( ) d = 48 P(, y, z) = y, Q(,y,z) = y, R(,y,z) = ( + 4y) P Q R divf = + + = 5y y z ( y)/ 5 5 ydzdyd = (y y y )dyd 0 0 0 0 0 5 ( ) ( ) 5 ( ) 5 d = d = 6 48 0 0 0 8 Verifique el teorema de la divergencia para el campo vectorial F = r r y la superficie esférica + y + z = 9 olución El vector r es el vector posición (,y,z) e modo que en términos de las variables cartesianas el campo vectorial dado puede epresarse como: F = + y + z (,y,z) La superficie dada puede parametrizarse a través de coordenadas esféricas: = sen( ϕ)cos( θ) 0 ϕ π y = sen( ϕ )sen( θ ), 0 θ π z = cos( ϕ ) e tiene: θ ϕ i j k r r = sen( ϕ)sen( θ) sen( ϕ)cos( θ) 0 cos( ϕ)cos( θ) cos( ϕ)sen( θ) sen( ϕ) = ( 9sen ( ϕ)cos( θ), 9sen ( ϕ)sen( θ), 9sen( ϕ)cos( ϕ))

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 4 de 60 Es ésta una normal eterior? e probará con un punto En (0,,0) se tendría θ = ϕ = π/, y para tales valores el Producto Vectorial Fundamental (PVF) calculado da (0,-9,0), o sea una normal interna Por lo tanto la normal eterna vendrá dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es: r r = (9sen ( ϕ)cos( θ),9sen ( ϕ)sen( θ),9sen( ϕ)cos( ϕ)) ϕ θ Evaluando ahora F en función de esta parametrización es: Así que: F(ϕ,θ)=(sen(ϕ)cos(θ),sen(ϕ)sen(θ),cos(ϕ)) y F(r ϕ r θ ) = = 8sen(ϕ) π π π F π d = F ( ϕ, θ) ( r ϕ r θ)dϕdθ = 8sen( π)dϕdθ = 8 cos( π) dθ = 4π 0 0 0 0 e ha hecho un cálculo bastante complejo por integrales de superficie e verá ahora cómo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el cálculo se simplifica notablemente e calcula en primer lugar la divergencia: div F = ( + y + z ) + (y + y + z ) + ( + y + z ) y z Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro: ( + y + z ) = + y + z + + y + z y (y + y + z ) = + y + z + y + y + z z (z + y + z ) = + y + z + z + y + z + y + z div F = + y + z + = 4 + y + z + y + z i ahora se lleva esto a coordenadas esféricas se tiene: π π π π 4 ρ div F dv = 4ρ ρ sen( ϕ)dρdϕdθ = 4 sen( ϕ) dϕdθ 4 0 0 0 0 0 E 0 Haciendo los cálculos se obtiene: div F dv = 4π E e ha obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando así el teorema de la divergencia

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 44 de 60 9 Evalúe z d F, donde F(, y, z) = (y, y + e, sen(y)) y es la superficie de la región E limitada por el cilindro parabólico z = y los planos z = 0, y = 0, y + z = (ver figura 9) z z = - (0,0,) y = - z (0,,0) y (,0,0) Figura 9 Gráfica del ejercicio 9 olución ería muy difícil evaluar directamente la integral de superficie dada (e tendrían que evaluar cuatro integrales de superficie correspondientes a las cuatro partes de ) Además, la divergencia de F es mucho menos complicada que F misma: z div F = (y) + (y + e ) + (sen(y)) = y y z i se proyecta en el plano z se tiene: z 0 0 84 ydydzd = 5 0 ea la porción de la superficie mostrada en la figura 0 de ecuación z = 4, limitada por los planos de ecuaciones y = 0, z = 0, y + z = 5 Halle la circulación del campo vectorial F(,y,z) = (z( y ), z,0) a lo largo del contorno C de La orientación de es la inducida por el vector normal unitario a de componente z negativa

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 45 de 60 Figura 0 Representación gráfica de la región del ejercicio 0 olución UANO TEOREMA E TOKE: Paso Cálculo del rotacional de F ( z) (z zy ) rot( F) = 0,0, = (,( y ),(6y )z) y Paso Región donde se mueven los parámetros { } = (, y) R :, 0 y + Paso Parametrización de la superficie de interés r (,y) = (,y,4 ), (,y) Paso Cálculo del vector normal r ry = (,0, ) Paso 4 Cálculo de la circulación C = (,( y ),(6y )(4 )) (,0, )da = ( + (6y )( 4))dA + 0 + = ( + 6y 4y + 4)dyd = ( y + y y + 4y) d = ( ( + ) + ( + ) ( + ) + 4( + ))d 6 4 = ( + ( + ) ( + ) + 4)( + )d = ( 9 0 8)d 0 7 5 7 5 6 4 9 0 90 90 = 8 = 8 = 4 8 7 5 7 5 7 5 0 9 44 80 880 04 800 840 56 = 4 8 = 4 = 7 5 05 05 0

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 46 de 60 ea E una región del espacio con volumen V, superficie frontera, vector normal unitario eterior n y centroide (,y,z) a emuestre que olución z (0,0,z ) nd V = k zdv zdv zdv E E E z = = = = (0,0,z ) nd V V V k dv E z (div(0, 0, ) = z) b Use el resultado anterior para calcular las coordenadas del centroide del hemisferio sólido + y + z a, z 0 olución Paso Región donde se mueven los parámetros { } = (, y) R : + y a Paso Parametrización de la superficie de interés r (,y) = (,y, a y ), (,y) Paso Cálculo del vector normal eterior y r ry =,, a y a y Paso 4 Cálculo del centroide de la superficie π a 0 0 z = (0,0,z ) nd = (a y )da = (a r )rdrd θ V V 4 πa 4 π a 4 4 π a 8 4 a 4 8 0 0 a a a = (a r )rdrd θ = = (, y, z) = (0, 0, ) πa π ea la porción del paraboloide F(,y,z) = (0, yz, ) Calcule z + = + y situada debajo del plano z = y sea rot( F) nd, donde n es la normal eterior al paraboloide, directamente, mediante el Teorema de tokes y mediante el Teorema de Gauss

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 47 de 60 olución IRECTAMENTE: Cálculo de rot(f): i j k rot( F) = y z = (y,,) ea entonces 0 yz { } = (, y) R : + y, r (,y) = (,y, + y ), (,y) r r = (, y,) La normal eterior al paraboloide viene dada por r ry = (, y, ) e tiene que: rot( F) nd = (y,,) (, y, )da = (4y 4y )da = da = π TEOREMA E TOKE: Curva frontera con orientación horaria: e tiene que: C : + y =, z = r (t) = ( cos(t), sen(t),), 0 t π π F d r = F( r(t)) r' (t)dt C 0 π 0 π π = cos (t)dt = ( + cos(t))dt = π 0 0 = (0, cos(t) + sen(t), cos (t)) ( sen(t), cos(t), 0)dt π π π = (cos (t) + sen(t) cos(t))dt = cos (t)dt 4 sen(t) cos(t)dt 0 0 0 TEOREMA E TOKE (ALTERNATIVO): uperficie orientada: r (, y) = (, y,), (, y) r r = (0, 0,) La orientación correcta del plano viene dada por r ry = (0, 0, ) e tiene que: rot( F) nd = (y,,) (0, 0, )da = da = π TEOREMA E GAU: ea la superficie cerrada =, donde: y y

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 48 de 60 e tiene: y : r (,y) = (,y, + y ), (,y) r r = (,y, ) : r (,y) = (,y,), (,y) r r = (0,0,) y rot( F) nd + rot( F) nd = div(rot( F))dV = 0 V rot( F) nd = rot( F) nd rot( F) nd = rot( F) nd = (y,,) (0, 0,)dA = da = π ea la porción de la semiesfera + y + z = 4, z 0, que se encuentra en el interior del cilindro + y = ado el campo vectorial F (,y,z) = (y,yz,z), calcule el flujo eterior del campo rot(f) a través de, directamente, usando el teorema de tokes y aplicando el teorema de Gauss olución irectamente: { } r (,y) = (,y, 4 y ), (,y), = (,y) R : + y r r y =,, y 4 y 4 y i j k y z rot( F ) = = ( y, z, ) y yz z y rot( F) d = ( y, 4 y, ),, da 4 y 4 y y y 4 y 4 y = y da = da yda da = y da yda da = y 4 y 4 y π π r sen( θ)cos( θ) r = drdθ = dr sen( θ)cos( θ)dθ = 0 0 0 4 r 0 4 r 0 da

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 49 de 60 Aplicando el Teorema de tokes: r (t) = (cos(t),sen(t), ), t 0, π r' (t) = ( sen(t),cos(t),0) (orientación antihoraria) π F d r = (cos(t)sen(t), sen(t), cos(t)) ( sen(t), cos(t), 0)dt C 0 π Aplicando el Teorema de Gauss: 0 = ( cos(t)sen (t) + sen(t) cos(t))dt = 0 ea la región circular del plano z = bordeada por la curva C Parametrizando se tiene: (, y) = (, y, ), (, y), = {(, y) R : + y } r El vector normal viene dado por r r y = (0,0,) e modo que rot( F) d + rot( F) d = div(rot( F))dV rot( F) d = rot( F) d E Entonces rot( F) d = ( y, z, ) (0, 0,)dA = da = 0 4 ean el campo vectorial F(,y,z) = (,,( + y ) ) y la superficie = con orientación eterior que encierra el sólido V donde : z = +, : + y =, : z = Calcule a F d, usando el teorema de Gauss olución F d + F d = div( F)dV F d = div( F)dV F d V V F d = F d : r ( θ,z) = (cos( θ),sen( θ),z), 0 θ π, cos( θ) z cos( θ) r ( θ,z) = ( sen( θ),cos( θ),0), r ( θ,z) = (0,0,), r r = (cos( θ),sen( θ),0) θ z θ z

EJERCICIO REUELTO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 50 de 60 π cos( θ) F d = (,,) (cos( θ),sen( θ),0)dzd θ 0 cos( θ) π cos( θ) π cos( θ) (cos( θ ) + sen( θ))dzd θ = (cos( θ ) + sen( θ))dzdθ = 0 0 cos( θ) 0 cos( θ) Por lo tanto F d = 0 b F d, usando el teorema de tokes olución { } : r (,y) = (,y, + ), (,y), = (,y) R : + y, r r = (,0, ) y π F d = F d = (,,r ) (,0, )rdrd θ π 0 0 0 0 4 5 4 6 = (r + r )drdθ = π ( + ) = π 5 uponga que V y satisfacen las hipótesis del Teorema de Gauss emuestre el Teorema del Gradiente enunciado como sigue: i f es un campo escalar continuo y con primeras derivadas parciales continuas en V, entonces se verifica que fnd = fdv olución Considere un vector constante no nulo cualquiera A = (A,A,A ) y el campo F = fa Aplicando el teorema de la divergencia al campo F, resulta fa nd = A fnd = div(f A)dV = A fdv = A fdv, V V V A fnd = A fdv A fnd fdv = 0 V V V Como A es un vector constante no nulo, entonces fnd fdv = 0 fnd = fdv V V

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 EJERCICIO PROPUETO Encuentre una representación paramétrica para cada superficie: a El plano que pasa por el punto (,, ) y contiene los vectores (,, ) y (,,) b La parte de la esfera Rta = + u + v, y = + u v, z = u + v + y + z = 4 que se encuentra arriba del cono z = + y Rta = sen( φ)cos( θ ), y = sen( φ)sen( θ ), z = cos( φ) 0 φ π 4 0 θ π c La parte del plano z = 5 que está dentro del cilindro + y = Rta r (r, θ ) = (r cos( θ),rsen( θ),5), 0 r, 0 θ π ea la superficie parametrizada Halle: r (u, v) = (u cos(v), usen(v),u ), 0 u, 0 v π a Una ecuación en,y,z que describa la superficie, identifíquela y grafíquela Rta + y = z (paraboloide) b La ecuación del plano tangente a la superficie paramétrica en el punto (,,) Rta y + z = π c El área de Rta 6 (7 7 ) Pruebe que las ecuaciones paramétricas (u, v) = asen(u) cos(v), y(u, v) = bsen(u)sen(v), z(u, v) = c cos(u), 0 u π, 0 v π, representan un elipsoide 4 etermine el área de la superficie definida por la representación vectorial dada por r (r, θ ) = (r cos( θ),rsen( θ),b θ), donde (r, θ) 0,a 0, π, a > 0, b > 0 Rta a b a a + + π b + a + bln( ) b b 5 Calcule el área de la porción de la superficie cónica de ecuaciones z = 0, + z = 6 Rta 7 4π + y = z situada entre los planos 6 Calcule el área de la parte del plano + y z = 0 que se encuentra dentro del cilindro circular + y + a = 0 Rta πa 4 7 Calcule el área de la porción de la superficie planos + z = 4 y z 4 = 8 Rta 4π y + z = 4, que se encuentra entre los

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 8 Calcule el área de la superficie π + y = 8 z por encima del plano y Rta 6 ( ) 9 Una esfera de radio R está inscrita en un cilindro circular recto de radio R e cortan ambas figuras con los planos z = a y z = b (a < b) emuestre que las porciones de superficie de la esfera y del cilindro comprendidos entre los dos planos tienen igual área 0 Halle el área de la parte del plano + y + z = donde a, b y c son números positivos a b c dados, que se encuentra en el primer octante Rta a b + a c + b c Halle el área de la porción del paraboloide π + y = 6 Rta 6 (65 65 ) z = + y que está dentro del cilindro Calcule el área de la superficie dada por la porción del plano + y + z = 4 que determina la parte interior del cilindro + y = Rta π Calcule el área de la región que en el plano de ecuación + y + z = b determina el cilindro + y = a, a > 0, b > 0, 0 < a < b Rta π a 4 Calcule el área de la porción de superficie cónica π ecuaciones y = 0, z + 4y = 5 Rta 4 0 + z = y, situada entre los planos de 5 Halle el área de la parte del cilindro de ecuación ecuaciones y = 0, y =, = Rta (5 5 ) z = comprendida entre los planos de 6 Halle el área de la parte del cono z = + y situada por encima del plano y y recortada por el plano z = + Rta 8π 7 Calcule el área de la porción de superficie que el cilindro el paraboloide hiperbólico de ecuación 8 Halle el área de la parte de la esfera + y = a, a > 0 Rta a ( π ) y z =, b > 0 Rta b + y = a, a > 0 recorta sobre π b ( + ) a / b + y + z = a que se encuentra dentro del cilindro

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 5 de 60 9 Halle el área de la parte de la esfera a y + =, b a, z 0 Rta b + y + z = a que se encuentra dentro del cilindro 4a arcsen(b / a) 0 Halle el área de la parte del cono + y = Rta π z = + y, z 0, que se encuentra dentro del cilindro etermine el área de la parte de superficie cónica superficie cilíndrica z = y, y el plano y = z 6 Rta 5 z + y = comprendida entre la ea K la porción del casquete esférico recto z = R y cortado por el cilindro circular + y = R, R > R emuestre que el área de K viene dada por la epresión πr (R R R ) Considere una curva plana C, contenida en el plano z, cuya ecuación viene dada por z = f(), a b ea la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva C en torno al eje z a Obtenga una parametrización de Rta (u cos( θ), usen( θ), f(u)); (u, θ) a,b 0, π b emuestre que a b A() = π + (f '()) d c Aplique el resultado obtenido en (b), para calcular el área de una superficie esférica de radio a Rta 4π a 4 Calcule las integrales de superficie siguientes: a ( + y + z)d, donde es la superficie de ecuación z = ( + y ) que se proyecta en el plano y en el dominio limitado por la circunferencia de ecuación / + y = Rta π ( + ) 5 5 b c z d, donde es la superficie de ecuación + y + z = Rta π ( + y )d, donde es la superficie del cono de ecuación por el plano z = y que se encuentra por encima del plano y Rta 9π z = ( + y ) limitada

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 54 de 60 d yd, donde es la superficie del triángulo de vértices los puntos (,0,0), (0,0,), (0,,0) Rta 5 Encuentre la masa de un embudo delgado en forma de cono función de densidad es ρ (,y,z) = 0 z Rta 08 π z = + y, z 4, si su 6 Calcule la masa de la porción del plano + y + z = que se encuentra en el primer octante si la densidad superficial en cualquier punto (,y,z) de la superficie es metro cuadrado, donde k es una constante Rta k k kilogramos por 7 etermine las coordenadas del centro de masa de la superficie definida por la esfera + y + z = 4, z 0, la cual se supone que es homogénea Rta (0,0,) 8 Con una lámina homogénea muy delgada, se fabrica un cono de ecuación z = + y, 0 z etermine la posición del centro de masa de la superficie formada por la + ( + ) superficie lateral de ese cono más la superficie de la base Rta (0,0, ) 9 etermine la masa de la superficie del cubo limitado por los planos coordenados y los planos =, y =, z = e supone que la densidad superficial está dada por ρ (,y,z) = yz Rta 0 etermine las coordenadas del centro de masa de la superficie homogénea en forma de cono circular recto de radio de base R y altura H, incluyendo la base R (R + H) ( R + ) Rta (,y,z) = (0,0, ) La superficie cónica z = + y ; 0 z a tiene densidad constante Calcule el centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z a π ( + ) z Rta (,y,z) = (0,0, ) I = ( + ) Halle el momento de inercia alrededor del eje, de la parte de la superficie de la esfera unitaria + y + z = que está sobre el cono 4 7 constante igual a k Rta k π( ) z = + y uponga la densidad

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 55 de 60 Calcule el flujo del campo F(,y,z) = (,y,4z) a través de la superficie dada como el cubo limitado por los planos coordenados y por los tres planos de ecuaciones =, y =, z = Rta 7 4 Calcule el flujo del campo F a través de la superficie, sabiendo que F(,y,z) = (0,y,z) y es el paraboloide y = + z y el disco + z, y = Rta π 5 Calcule el flujo del campo F(,y,z) = (,y,z), a través de la superficie lateral del cilindro + y = limitado por los planos + y + z = y + y + z = Rta π 6 Calcule la integral de superficie donde es la superficie esférica dydz + zdzd + yddy, + y + z = a Rta 4 π a 7 Verifique el teorema de tokes donde F(,y,z) = (z,,y) ; la superficie es la parte del paraboloide z = 4 y con z 0 e considera la normal unitaria con componente z no negativa Rta 4π 8 Utilice el Teorema de tokes para calcular C F dr, donde F(,y,z) = ( z,y,z ) y C es la curva de intersección del plano + y + z = y el cilindro + y = 9 tal que vista desde arriba del plano y está orientada en sentido contrario al de las manecillas del reloj Rta 8 π 9 Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza dado por la epresión vectorial y z F(,y,z) = ( + z,y +,z + y ) al mover una partícula alrededor del borde de la esfera + y + z = 4 que está en el primer octante, en sentido contrario al giro de las agujas del reloj (visto desde arriba) Rta 8 40 Verifique el teorema de la divergencia para el campo F(,y,z) = (, y,z) y el sólido V acotado por las superficies de ecuaciones + z = 4, y = 0, + y + z = Rta 4π

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 56 de 60 4 Calcule las integrales de superficie siguientes: a b F n d, donde F(,y,z) = (,y,z) y es la frontera de la región limitada por + y = 6, z = 0, z = 6 Rta 88π (,y,z ) d, donde es la superficie del cubo unidad limitado por los planos coordenados y los planos de ecuación =, y =, z = Rta 4 Use el teorema de tokes para calcular la integral de línea dada por la epresión (y + z)d + (z + )dy + ( + y)dz, donde C es la curva definida por el sistema de ecuaciones C + y =, = z, recorrida en sentido tal que su proyección sobre el plano y vista desde la parte positiva del eje z se recorre en sentido horario Rta 0 4 uponga que y C satisfacen las hipótesis del teorema de tokes y f, g tienen derivadas parciales continuas de segundo orden Utilice las identidades vectoriales rot( F + G) = rotf + rotg y rot(f F) = frot F + ( f) F para demostrar que: a b c C C C (f g) d r = ( f g) d (f f) dr = 0 (f g + g f) dr = 0 44 Utilice el teorema de tokes para evaluar la integral de línea ds F T C si se sabe que F(,y,z) = (z,y,y ) y C es la frontera de la superficie que consiste de la porción del cilindro z = 4 del primer octante determinada por los planos coordenados y el plano y = Rta 45 45 Calcule la integral de línea que se da a continuación (Utilice el teorema de tokes indicando el sentido de recorrido de C para obtener la respuesta dada)

EJERCICIO PROPUETO UCV FIUCV CÁLCULO VECTORIAL (054) - TEMA Integrales de uperficie Pág: 57 de 60 C es la intersección del cilindro C (y z)d + (z )dy + ( y)dz, + y = 4 y el plano + z = Rta 6π 46 ean r = (,y,z), una superficie cerrada, orientable que limita un sólido V y n la normal unitaria eterior a Utilice la fórmula 6 n ( r ) d que calcula el volumen de un sólido a fin de hallar el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c Rta 4 π abc 47 Utilice algún teorema para calcular las integrales siguientes (no las calcule directamente): a I = ( z, + yz, y ) d, donde es la frontera del sólido limitado por la superficie z = + y y el plano y Rta 4π y y b I = F dr, donde F(,y,z) = (ye,e,yz) ; C es la curva contenida en el primer C octante que se obtiene como intersección de la superficie de ecuación (z a) = + y, (a constante positiva) con los planos coordenados El sentido de recorrido de C es antihorario cuando la miramos desde encima del plano y 48 ea la porción de superficie z + = Calcule el flujo del campo dirección de un normal de componente z positiva Rta 0 z = 4 y que se encuentra por encima del plano F (,y,z) = (,y,z + + y ) a través de en la