EREHOS ÁSIOS E PRENIZJE Reconoce el significado de los eponenes racionales posiivos negaivos uiliza las lees de los eponenes. Por ejemplo: 7 7 7+ 7 7 7 7 7 0 Realiza conversiones de unidades de una magniud que inclue poencias razones. Por ejemplo, si una llave viere agua en un esanque a una razón de 0 cm/min, cuános meros cúbicos suminisra la llave en una hora? cm 0,0m (7 ) 7 / / / / 7 /0 0 7, cm 0,00000 m Uiliza la noación cienífica para represenar operar con magniudes en disinos coneos. Por ejemplo: 9 00 000 m 9, 0 m,9 0 m Las células hepaocios que se encuenran en el hígado ienen un diámero de 0, 000 000 0m. 0,000 000 0 m 0,0 0- m 0- m Uiliza las lees de los eponenes en diversas siuaciones, incluendo la simplificación de epresiones. Por ejemplo: La luz viaja aproimadamene a 00 000 m /s arda cerca de 00 segundos en llegar a la ierra uál es la disancia aproimada, en noación cienífica del sol a la ierra? La disancia aproimada enre el sol la ierra es de, 0m Reconoce errores comunes como: m decrece (es cada vez menor) m m m Lo correco es: 0 0 000 00-0 -00 (-0) 00 0 + 0 00 + 000 00 Por ejemplo: 7? 9 logp(q) es el eponene al cual se debe elevar p para obener q? log7 (9) cálculo de log7 (9) con la calculadora Uiliza comprende las lees de los logarimos a parir de las lees de los eponenes de las que provienen. V b m b 0 b - - si m es fija, las recas son paralelas. Reconoce que las ecuaciones a+bc definen líneas recas en el plano e idenifica que las que no son vericales, siempre se pueden escribi la forma m+b. Por ejemplo, se ienen $000 pesos para comprar arroz fríjol. ada gramo (g) de fríjol cuesa pesos cada gramo de arroz cuesa pesos. omprende que ha varias posibles combinaciones de canidades de arroz fríjol que cosarían $000. Por ejemplo, si se compran 00g de fríjol 00g de arroz ( 00 + 00 00 + 00 000) o si se compran 000g de fríjol 00g de arroz (000+00000+000000). omprende que la gráfica de punos de odas las posibles soluciones es en una línea reca. Reconoce el significado del logarimo de un número posiivo en cualquier base lo calcula sin calculadora en casos simples con calculadora cuando es necesario, uilizando la relación con el logarimo en base 0 (log) o el logarimo en base e (ln). p q m crece Idenifica cuando una relación es una función, reconoce que una función se puede represenar de diversas maneras encuenra su dominio su rango. (gramos de arroz) Error 0 0 00 0-0 00 (-0) -00 0 + 0 0 onoce las propiedades las represenaciones gráficas de las familias de funciones lineales f()m+b al igual que los cambios que los parámeros m b producen en la forma de sus gráficas. m + b con b fija m + b con m fija Si la disancia corresponde a la velocidad por el iempo ranscurrido se iene: dv v 0 m/s 0s + m 07 m, 0 m d 0 m/s 0 s 0 0,00 m 0,00 m/h, 0 - m/h h 0,00000 m cm La llave viere 0,00 meros cúbicos en una hora. La disancia aproimada enre el Sol la Tierra es 9 00 000 m. 0 cm 0 cm 0,00000 m 0min cm h min min (cm) (0, 0m) 000 + 000 00 00 00 000 000 (gramos de frijol) - + 000 - + 000 core con el pendiene eje verical Si aumena en la canidad de gramos de fríjol que se compra, la canidad de arroz que se puede comprar se reduce en gramos para que se manenga la relación. omprende que las funciones lineales modelan siuaciones con razón de cambio consane. Por ejemplo: Una compañía elefónica inicia con 00 usuarios el número crece a razón de 00 usuarios cada dos meses. Por ser una razón de cambio consane, esa siuación se puede modelar con una función lineal ()00+0 donde represena el iempo en meses 0 es la razón de cambio consane. L ibe rad O d Grado 9 - Página de
7 EREHOS ÁSIOS E PRENIZJE Planea sisemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnias los resuelve uilizando diferenes esraegias. Por ejemplo, cuaro manzanas res bananos cuesan $900. Una manzana cinco bananos cuesan $000. uáno cuesa una manzana? uáno cuesa un banano? 000 00 b m + b 900 m + b 000 (00, 00) 7 000 m m + b 000 m 000 b m + b 900 (000 b) + b 900 000 0b + b 900 000 7b 900-7b -00-00 b -7 m 00 b 00 Reconoce cuándo un sisema de ecuaciones lineales no iene solución. Por ejemplo: La posición de dos auobuses que ienen la misma rua esá dada por las ecuaciones d0 + (d/0)+, respecivamene, donde es el iempo. urane su recorrido, al cabo de cuáno iempo se enconrarán los auobuses? d 0 + Se despeja d en las dos ecuaciones d 0 + d/0 +, d 0 d 0 - Igualando las dos disancias, se iene 0 + 0 - Tiempo (en meses) Enre los meses 0 0 fue cuando más aumenó la población. 0 0 0 0 0 onoce las propiedades las represenaciones gráficas de la familia de funciones g () a n con n enero posiivo o negaivo. n par n impar m + b 000 m + (00) 000 m + 00 000 Se presena una conradicción, Las recas son paralelas por lo cual no ha por lo ano no ha solución puno de core Se conclue que los auobuses nunca se encuenran durane su recorrido. escribe caracerísicas de la relación enre dos variables a parir de una gráfica. Por ejemplo, la gráfica a coninuación muesra la canidad de peces en un lago luego de haber inroducido 00 especímenes. Población (en cienos de peces) La población de peces esuvo siempre en aumeno. 70 pesar de crecer consanemene, la población iende a esabilizarse alrededor de 7000 peces. n posiivo sisema de ecuaciones m + b 900 m + b 000 n negaivo 9 O d omprende la noción de inervalo en la reca numérica, represena inervalos de diversas formas (verbal, inecuaciones, de forma gráfica con noación de inervalo). < Inervalo [, ) 7 9 0 + esá en el inervalo [,), pues es aproimadamene,. Resuelve formula problemas que involucran inecuaciones lineales de una variable uilizando las propiedades básicas de las desigualdades represenando su solución de forma gráfica en la reca numérica. Por ejemplo: Helena esá a cuadras de su casa. Si a las :00pm empieza a caminar hacia su casa recorriendo una cuadra cada dos minuos medio, cuándo esará a menos de cuadras de su casa?, minuos l muliplicar o dividir por un una cuadra número negaivo se inviere la desigualdad,, min 0 min + min + 0, min h + min + 0s LLegó a la casa (d 0 ) Todos los números reales enre, incluendo el sin incluir el. <, 0, < - 0, < - - d < cuadras - < >, minuos -0, <, (-0,) onclusión: Helena esará a menos de cuadras de su casa a parir de las ::0pm. alcula el área de superficie el volumen de pirámides, conos esferas. Eniende que es posible deerminar el volumen o área de superficie de un cuerpo a parir de la descomposición del mismo en sólidos conocidos. Por ejemplo, esima el área de superficie de su cuerpo conrasa su esimación con lo que predice la fórmula de u ois que afirma que el área superficial del cuerpo en meros cuadrados es aproimadamene igual a 0,007 (alura en cm) 0,7 (peso en g) 0,. Epresa una función cuadráica (a +b+c) de disinas formas (a(+d) +e, o a(-f)(-g)) reconoce el significado de los parámeros a, c, d, e, f g, su simería en la gráfica. Por ejemplo: (,) - ( ) + - + + 0-0 - ( (-))( ) Uiliza disinos méodos para solucionar ecuaciones cuadráicas. Por ejemplo, la raecoria que sigue un clavadisa cuando realiza un salo desde un rampolín se puede represenar mediane la ecuación h - + + 0, donde h es la alura en meros es el desplazamieno horizonal. uál es la disancia horizonal enre el rampolín el puno en el que enra el clavadisa al agua? V Grado 9 - Página de
EREHOS ÁSIOS E PRENIZJE h Se inviere una ciera canidad de dinero P en una cuena con una asa de crecimieno anual del %. l final del primer año, la canidad de dinero en la cuena será: P + (% de P) P+0,0P,0P. l final del segundo año, la canidad de dinero en la cuena será:,0p + (% de,0p),0p + (0,0,0P),0P(+0,0) P(,0). El desplazamieno horizonal del clavadisa al caer al agua esá dado por el valor de que corresponde a la alura h 0. Se debe solucionar la ecuación: h - + + h - + + 0 anidad de dinero en la cuena ño? Usando fórmula cuadráica: - + + 0 a - - b b ac b a c - + 9-9 - - 0 Facorizando: - ( ) 0 - ( + )( ) 0 omo el desplazamieno en ese caso no puede ser negaivo, la solución -/ no iene senido en el coneo. sí, el clavadisa enra al agua a m de la base del rampolín. onoce las propiedades las represenaciones gráficas de la familia de funciones eponenciales h() a con a >0 disino de, al igual que los cambios de los parámeros a producen en la forma de sus gráficas. Por ejemplo: 0<a< anidad de dinero en la cuena P Tiempo (en años) uáno crece la inversión al cabo de 7 años? (7) P (,0),0P. Es decir, la inversión crece aproimadamene 0% (no es veces 7%). uáno arda la inversión en duplicarse? Se debe solucionar la ecuación P P (,0) para enconrar el valor de. ividiendo por P a ambos lados de la igualdad se obiene (,0). sí, log,0(),9 años. onoce las razones rigonoméricas seno, coseno angene en riángulos recángulos. omprende que para un ciero ángulo, las razones sen(), cos() an() son independienes de las medidas de los lados del riángulo. Por semejanza de riángulos: >0 h Uiliza funciones eponenciales para modelar siuaciones resolver problemas. Por ejemplo: La población de hormigas de la Isla Suárez se riplica cada año. El primero de enero del año 000 había millón de hormigas en la isla. En qué año la población de hormigas alcanzará los 00 millones? ños desde el ro de enero del año 000 Población de hormigas (en millones) H 9 7 0 7 H () Esimado: 0 a nus e ipo H 9 7 79 7 00 debe aparecere 7 más cerca de Eaco: 00 log (00),0 opueso Si > 0, > o hip a us en En general comprende las propiedades caracerísicas de las gráficas para odos los casos. V onde es el iempo ranscurrido en años. opueso <0 () P (,0) P P (,0) P (,0) P (,0) P (,0) Si < 0, < a> La canidad de dinero en la cuena se puede modelar por medio de la función eponencial. sen() opueso opueso hipoenusa hipoenusa cos() adacene adacene hipoenusa hipoenusa an() opueso opueso adacene adacene adacene adacene Uiliza el seno, el coseno la angene para solucionar problemas que involucran riángulos recángulos. Por ejemplo: Julia esá en el ocavo piso de un edificio mirando a Marcos por la venana. Para calcular a qué alura se encuenra Julia, Marcos se para a 0m del edificio esima que el ángulo enre la horizonal Julia en la venana es de 0º. Julia 0 Marcos 0m adacene a 0 opueso a 0 opueso adacene 0m 0, 0m,m 0, 0m an(0º) Si la alura de Marcos es,m enonces Julia se encuenra aproimadamene,m +,m,m de alura. L ibe rad O d Grado 9 - Página de
EREHOS ÁSIOS E PRENIZJE sen adacene hipoenusa Por el eorema de Piágoras + (cos ) + (sen ) adacene cos,,,,,, número de elemenos en P (),,,,,, número de elemenos en el espacio muesral,,,,,,,,,,,, P () 0, %,,,,,, La probabilidad de que la suma de los dos dados sea es aproimadamene %. Reconoce los concepos de disribución asimería de un conjuno de daos reconoce las relaciones enre la media, mediana moda en relación con la disribución en casos sencillos. Por ejemplo, la siguiene gráfica muesra los resulados en las pruebas Saber 9 de maemáicas lenguaje de un ciero municipio. Realiza demosraciones geoméricas sencillas a parir de principios que conoce. Por ejemplo: emuesra que la suma de los ángulos en un riángulo es 0.. Se raza una reca L paralela al lado que pase por el puno.. Los pares de ángulos δ, β ɣ ienen la misma medida, por la relación enre los ángulos formados por recas paralelas al ser inersecadas por una secane. β δ L ɣ. Los ángulos δ, ɣ forman un ángulo que mide 0. onclusión: la suma de las medidas de los ángulos, β es de 0. emuesra el eorema de Tales que dice que un diámero de un círculo cualquier puno sobre la circunferencia forman un riángulo recángulo. 7 β β 0 0 0 0 0 0 Resuladoen maemáica 0 0 Resulado en lenguaje Reconoce que ambos daos ienen una disribución en forma de campana, pero una es aproimadamene simérica mienras que la ora es asimérica. parir de la asimería forma de la disribución de los resulados en maemáicas, deduce que el promedio debe ser basane cercano a.. Los riángulos son isóceles.. Los ángulos del riángulo miden 0, de donde: + + β + β 0 + β 0 + β 90 onclusión: el ángulo mide 90. Resuelve problemas uilizando principios básicos de coneo (muliplicación suma). Por ejemplo, de cuánas maneras se puede ir de la ciudad a la ciudad pasando por las ciudades, si eisen caminos disinos de a, caminos disinos de a caminos disinos de a? Ha cuaro maneras disinas de llegar a por cada uno de los res caminos para llegar de a, es decir, el número de formas de ir de a pasando por debe ser. Para cada uno de esos caminos, ha formas disinas para ir de a.. Los segmenos, ienen la misma medida por ser radios de la semicircunferencia.. omo enemos riángulos isóceles, el ángulo mide lo mismo que el ángulo el ángulo β mide lo mismo que el ángulo. Reconoce las nociones de espacio muesral de eveno, al igual que la noación P() para la probabilidad de que ocurra un eveno. Por ejemplo, cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado rojo uno azul, la suma de los dados sea? El espacio muesral es el conjuno de odas las posibilidades, que se pueden represenar por medio de parejas (número dado rojo, número dado azul). Espacio muesral: Eveno (sombreado): la suma,,,,,, de los dados es. opueso hipoenusa Número de esudianes opueso a nus oe hip mediana media media mediana media La mediana es la que hace que las áreas sombreadas no sombreadas sean iguales (separa los daos mediana en el 0% inferior el 0% superior). Realiza inferencias simples a parir de información esadísica de disinas fuenes. En paricular, puede inerprear el significado del signo valor de la pendiene de una línea de endencia en un diagrama de dispersión. Por ejemplo, la siguiene gráfica muesra daos recolecados sobre el peso la edad (en meses semanas) de varios bebés con menos de doce meses de edad, juno con una línea de endencia que se idenifica a parir de los daos. Peso (en g) Jusifica geomérica o algebraicamene propiedades de las razones rigonoméricas. Por ejemplo, muesra geoméricamene por qué el seno de un ángulo en un riángulo recángulo siempre es menor o igual a o que sen() + cos() para cualquier ángulo en un riángulo recángulo. es un riángulo recángulo 9 Edad (en meses) La pendiene de la línea de endencia es aproimadamene 0,g/mes. Eso quiere decir que según el modelo lineal, se espera que enre un mes oro, el peso de un bebé aumene en 0, g. L ibe rad O d 0 El número oal de caminos disinos de a es 0. V Grado 9 - Página de
EREHOS ÁSIOS E PRENIZJE 9 O L ibe rad V O d Grado 9 - Página de