MATE30 Lección Funciones Logarítmicas /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Actividades. Teto: Capítulo 6 - Sección 6.3 Logaritmos. Ejercicios de Práctica: Páginas 6, 7; problemas impares al 60; Use GRAPH par las gráficas de 75 8. Asignación.: Página 7, problema ; problemas 63 y 6 resuelva y use GRAPH para imprimir gráficas de las funciones; Página 8, problemas 83 y 8, resuelva y use GRAPH para imprimir las graficas de la funciones para los valores de 0. Ajuste las escalas para que se despliegue el patrón general de la gráfica. Referencias del Web: Julio Profe. Net - Ver: Función Logarítmica ; Propiedades de Logaritmos - Ejercicio ; Ecuaciones Logarítmicas Ejercicio ; Ejercicio Purple Math: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations. Paul's Online Math Notes: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Definición de aritmos Sea a > 0 and a. Entonces, el aritmo con base a de un número a y a y Observe que es siempre un número positivo Ejemplos: 0 00 0 00 6 3 3 6 3 8 3 8 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 9
Ejemplo Escriba los siguientes enunciados en forma arítmica:.. 3.. 6 3 3 6 0.5 6 6 Escriba los siguientes enunciados en forma eponencial y determine el valor de : 0.5 7 3 33 7 33 3 e 0.5 t 3 3 t 0. t 0. 5 e 5. 00 00 0. 6 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Resuelva: Ejemplo 3 3 5 5 ( ) /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9
Cálculo de aritmos La mayoría de calculadoras realizan el cálculo de aritmos de base 0 ( ) o de base e ( ). (0.5).08999 (0.005) -5.99657 Para calcular aritmos de otras base usamos la siguiente igualdad: a M M a M b M a b a 5 63 = 5 63 = 63 5.5773 63 5.5773 8 0.0035. 79 5 3.05 0. 693 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9
La Función Logarítmo (base > ) Si a >, la función arítmo es creciente. f ( ) a Si 0< a <, la función arítmo es decreciente. f ( ) f ( ) / f ( ) f ( ) / 0 f ( ) 5 f ( ) 5 En GRAPH entre () para la función con base 0 y use el formato b(, a) para la función con base a. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9
Características de las funciones con arítmos Dominio = (0,), Rango = (-, ) El intercepto en ocurre en (,0). No hay intercepto en y. El eje vertical, = 0, es un asíntota vertical de su gráfica. Es una función uno a uno a> 0<a< /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 9
Función Logaritmo natural y = si y sólo si e y = f ( ) En GRAPH entre () para la función con base e. En EXCEL entre LN() para la función aritmo con base e. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 9
Ejemplo 3 Una companía está ampliando sus instalaciones y la función costo está dado por: C = 3.5 + ( + ) donde representa la tasa de producción. Encuentre el costo de producir: (a) 5 unidades, (b) el costo etra de aumentar la tasa de producción de 5 a 0 unidades (c) Grafique la función. Solución: a) C 5 = 3.5 + ((5) + ) = 3.5 +.539685 $.5 b) Como C 0 = 3.5 + ((0) + ) = 3.5 +.8995 $.8 El costo etra fue de $0.8. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de 9
Propiedades de Logaritmos. a = 0. a a = 3. Si a (u) = a (v) si y sólo si u = v. a (uv) = a u + a v 5. a (u/v) = a u - a v 6. a (/v) = - a v 7. a (u n ) = n a (u) /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Ejemplo Epande las siguientes epresiones arítmicas a) 3 (9 ) 9 3 3 3 b) c) 3 5 ( y 5 y z ) 3 3 5 y y 5 z y y 5 z / 5 z 5 y /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Ejemplo 5 Combine las epresiónes a un solo arítmo: ( ) ( ( ) ) 3 ( ( ( ) ) ) 3 3 ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) 3 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 9
Ecuaciones Eponenciales Resuelva: 6 3 3 5 5 3 5 3 3 5 5 3 3 6 5 8 5 8 ( )5 8 8 5 8 5 3.903 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de 9
Resuelva: Ecuaciones Logarítmicas ( ) ( 5) e 8 6 6 5 e 8 6 6 5 8 6 6 6 3 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 9
Ejemplo 6 Resuelva: ( ) e e( ) e e e ( e ) e e e e e e /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 9
Ejemplo 7 Aproimadamente, cuánto tiempo tomará una inversión de $5,000 alcanzar $0,000, si invertimos esta cantidad en una cuenta que paga interés de 5% anual compuesto trimestralmente? Solución: P= 5000, C = 0,000, r = 5% compuesto trimestralmente. De manera que n = Según la fórmula de valor futuro para interés compuesto: nt C = P + r n 0,000 = 5,000 +.05 /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 9 r n t = i tasa periódica nt = N Número total de periodos
Ejemplo 7 0,000 = 5,000 + 0.05 t =.05 t =.05 t = t.05 (.05) = t t 3.99076 t Tomará aproimadamente años. /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 9
Actividades. Teto: Capítulo 6 - Sección 6.3 Logaritmos. Ejercicios de Práctica: Páginas 6, 7; problemas impares al 60; Use GRAPH par las gráficas de 75 8. Asignación.: Página 7, problema ; problemas 63 y 6 resuelva y use GRAPH para imprimir gráficas de las funciones; Página 8, problemas 83 y 8, resuelva y use GRAPH para imprimir las graficas de la funciones para los valores de 0. Ajuste las escalas para que se despliegue el patrón general de la gráfica. Referencias del Web: Julio Profe. Net - Ver: Función Logarítmica ; Propiedades de Logaritmos - Ejercicio ; Ecuaciones Logarítmicas Ejercicio ; Ejercicio Purple Math: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations. Paul's Online Math Notes: Solving Eponential Equations; Solving Logarithmic Equations /9/03 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 9