Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa MTEMÁTICS BÁSICS RECT DEFINICIÓN DE RECT nalíticamente hablando, una recta se define como una ecuación de primer grado en dos variables de la forma B C donde, B, C son coeficientes numéricos las variables son. a recta es el lugar geométrico de los puntos (, ) as características de una recta son la pendiente la ordenada al origen. P que cumplen con la ecuación B C. a pendiente ( m ) se define como su grado de inclinación es la tangente del ángulo (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj) que forma la recta con el eje. m tan θ cateto opuesto cateto adacente a ordenada al origen ( b ) es la distancia que eiste del origen al punto donde la recta cruza al eje. θ b De acuerdo a la figura anterior, una recta es el lugar geométrico de los puntos que poseen una misma pendiente.
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa FORMS DE ECUCIÓN DE RECT PUNTO-PENDIENTE Dados los puntos P (, ) (, ) P de una recta P(,) - P (, ) θ - se observa que la pendiente es ahora, si se despeja queda m tan θ que es la ecuación punto-pendiente de la recta. m ( ) Ejemplos. Determinar la ecuación de la recta que pase por el punto indicado con la pendiente dada. ) Pendiente 6 que pase por el punto P (, ) 6 6 8 6 8 6 ( ) ( ) ) Pendiente que pase por el punto P (, ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa ) Pendiente 8 que pase por el punto 9, 8 8 8 ( ( 9) ) ( 9) 8 8 ( 9) 8 9 8 88 88 8 8 6 PENDIENTE-ORDEND ORIGEN ( ) Si en el caso anterior, el punto P se desplaza hasta que coincida con el eje, se tiene P(,) -b P (,b) θ - Se advierte que el punto P (, ) se convierte en P (,b) Para este caso la pendiente es b m, donde b es la ordenada al origen. ahora, si se despeja b b m( ) b m, es decir m b que es la ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta. Ejemplos. Determinar la ecuación de la recta con la pendiente su respectiva ordenada al origen dadas ) Pendiente ordenada al origen 8 ( 8) 8 8 8
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa ) Pendiente 6 con ordenada al origen 6 ( ) multiplicando por 6 6 ) Pendiente con ordenada al origen multiplicando por 6 6 DOS PUNTOS (CRTESIN) Dados los puntos P (, ), P (, ) (, ) P de una recta P(,) P (, ) - - - P (, ) θ - se observa que la pendiente que une a los puntos P P es que la pendiente que une a los puntos P P es m pero como la pendiente es la misma se pueden igualar m ( ) que es la ecuación conocida como de dos puntos o cartesiana de la recta., que equivale a
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplos. Determinar la ecuación de la recta que pase por los puntos dados ) P ( ) P ( 8),, 8 multiplicando de forma cruzada 6 6 9 ( ) ( ) ) P ( 9) P (, ), 9 9 ( ) ( ) 6 multiplicando de forma cruzada 9 ( ) ( ) ) P, P, 9 6 9 8 6 6 multiplicando de forma cruzada 8 8 9 8 9 8 6 SIMÉTRIC Si la recta cruza a los ejes coordenados en los puntos P ( a ) P (,b) cartesiana de la recta, b b a a a a b a b ba b a multiplicando de forma cruzada ( ) ba dividiendo todo entre ba b ab a ba, se puede aplicar la ecuación, ba ba a b que es la ecuación simétrica de la recta.
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa la distancia a se le conoce como abscisa al origen como a se eplicó a la distancia b se le denomina ordenada al origen. P (,b) P (a,) Ejemplos. Encontrar la ecuación de la recta si cruza a los ejes coordenados en los siguientes puntos ) P ( ) P ( ),, a, b, por tanto multiplicando por ) P (, ) P ( 9), a 9, b, por tanto 9 multiplicando por 6 9 6 9 6 8 ) P, P, 8 a, b, por tanto 8 8 que equivale a multiplicando por 6 6 6 6
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa GENER Toda recta puede epresarse como una ecuación de primer grado en dos variables de la forma B C que es la ecuación general de la recta. C Para conocer sus características se despeja B C B B ecuación que es de la forma m b, por lo tanto, si se compara se tiene que m B C b B que son las epresiones que respectivamente determinan la pendiente la ordenada al origen de la ecuación general de la recta. Ejemplos. Obtener la pendiente la ordenada al origen de las siguientes rectas 6 ) 6, B, C 6 m ; b 8 ) 6 6, B, C 6 m.6 ; b. GRFICCIÓN DE RECTS Una recta puede graficarse teniendo como referencia al eje en su ordenada al origen, sobre ese punto se debe inclinar su pendiente considerando que m e interpretándolo de la siguiente forma Si la pendiente es positiva, se deben recorrer unidades a la derecha unidades hacia arriba. En el caso de obtenerse un número natural, se recorre una unidad a la derecha unidades para arriba. Si la pendiente es negativa, se deben recorrer unidades a la izquierda unidades hacia arriba. En el caso de obtenerse un número entero, se recorre una unidad a la izquierda unidades para arriba. Si la pendiente es cero, se trata de una recta paralela o coincidente al eje Si la pendiente es infinita, se trata de una recta paralela o coincidente al eje. Ejemplos. Trazar las gráficas de las siguientes rectas ) 6
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa 6, B, C 6 m ; b Como la pendiente es positiva, a partir de la ordenada b se recorre una unidad para la derecha dos unidades para arriba. 8 6 - - - - - ), B, C m ; b Como la pendiente es negativa, a partir de la ordenada izquierda tres unidades para arriba. b, se recorren cinco unidades para la - - - - - - - - ) 6 8
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa, B 6, C m ; 6 b 6 Como la pendiente es cero, a partir de la ordenada b se traza una línea horizontal. 6 - - - - - - - - RECIONES ENTRE RECTS PREISMO Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Es decir si cumplen que m m. demás, dos rectas son coincidentes (es decir se sobreponen) cuando aparte de tener la misma pendiente, pasan por un mismo punto. m m Ejemplos. 9
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa ) Serán paralelas las rectas 6 Para Para m m 6 B ( ) B como m m, las rectas no son paralelas. ) Serán paralelas las rectas 86 8 Para m B 6 Para m B 8 como m m, las rectas si son paralelas. C hora Para b B 6 Para C b B 8 como b b, las rectas además son coincidentes.? 8? Nótese que si alguna de las ecuaciones se puede epresar como un producto de un número por la otra entonces las rectas son coincidentes. En este ejemplo si la recta se multiplica por dos se obtiene. ) Obtener la ecuación de la recta que pase por el punto P(,6) que sea paralela a la recta 6 8 l ser paralelas m 6 6 m, entonces m m B aplicando la ecuación punto pendiente de la recta 6 6 6 6 8 6 8 ( ) ( 6) 6( ) 8 6 6 PERPENDICURIDD Dos rectas son perpendiculares (u ortogonales) si forman un ángulo de 9 grados entre sí. Sea la siguiente figura
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa α α 9 m m como las rectas son perpendiculares α α 9 m tan α tan α 9 cot α cot α tanα m tomando la tangente de los ángulos en ambos miembros ( ) pero como la tangente la cotangente son funciones recíprocas se tiene Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas se cumple siempre que el producto de sus pendientes sea Ejemplos. m m ) Serán perpendiculares las rectas 6 8? Para m B 6 Para m B como m m ( ), las rectas si son perpendiculares. ) Serán perpendiculares las rectas 8 Para Para m B 8 m?
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa como m m, las rectas no son perpendiculares. ) Obtener la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta que pase por el P. m, pero por ser perpendiculares B m m m, aplicando la ecuación punto-pendiente de la recta m ( ) ( ) ( ) ( ) punto (, ) PUNTO DE INTERSECCIÓN El punto de intersección de dos rectas viene dado por la solución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma B C B C P(,) en donde las rectas de la forma B C deben transformarse a epresiones que cumplan con B C. Esto es B C B C
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Puede emplearse cualquiera de los métodos para resolver el sistema igualación, suma o resta, sustitución o determinantes. os ejemplos que a continuación se ilustran utilizan el método de resolución por determinantes. Si la solución no eiste, geométricamente se interpreta como que son rectas paralelas. Ejemplos. Determinar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas ) 8 6 8 El sistema por resolver se convierte en tiene 8, aplicando el método de determinantes se 6 8 8 6 8 88 6 8 8 8 ; el punto solución es P (,) ( ) 8 ( ) comprobación 6 ( ) ( ) 6 8 6 6 8 8 8 6 8 8 8 ) 8 El sistema por resolver se convierte en tiene 8, aplicando el método de determinantes se 8 8 8 8 6 8 ; el punto solución es P (,) 8 8 6 8 comprobación ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ) 6
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa El sistema por resolver se convierte en tiene 6 6 6 ; 6 6, aplicando el método de determinantes se como el denominador de ambos cocientes es cero, el punto solución no eiste. Esto implica que son rectas paralelas. ÁNGUO DE INTERSECCIÓN Sean dos rectas con sus respectivas pendientes m m α α α m m Se aprecia que α α α a tangente del ángulo de intersección α es tan α tan ( α α ) aplicando la identidad trigonométrica vista en el capítulo II como m tan α m tan α, se tiene que tan α tan α tan α tan α tan α m m tan α m m Por lo tanto, el ángulo de intersección de dos rectas medido en sentido contrario de las manecillas del reloj desde hasta está dado por la epresión α tan m m m m
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplos. Determinar el ángulo de intersección de los siguientes pares de rectas ) 9 6 B 9 Para m Para m B sustituendo se tiene 9 α tan tan ( ) 9 ) Para m B 9 9 tan 96 Para m sustituendo se tiene α tan B tan ) 6 8 ( ) 8. tan Para m B Para m sustituendo se tiene α tan B tan 6 9 9 tan DISTNCI DE UN PUNTO UN RECT ( ) 8866. 8 9. Para encontrar la distancia de un punto a una recta, primero se encuentra el punto de intersección de la recta con su perpendicular después se aplica la distancia entre dos puntos
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa P(, ) d 9 BC Sea una recta de la forma B C. Dado que su pendiente es B, la pendiente de una recta perpendicular es. B, P es a ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto ( ) B ( ) desarrollando ( ) B( ) BB B B Para encontrar el punto de intersección (,) B C B B Q se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones Multiplicando la primera ecuación por, la segunda ecuación por B, sumando B B C B Multiplicando la primera ecuación por B, la segunda ecuación por, restando B BC B la distancia que separa a los puntos P (, ) (,) Q es B B C B BC d B B encontrando un denominador común simplificando se obtiene d ( B C) ( B ) B ( B C) ( B ) 6
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa factorizando ( B C) ( B ) ( B C) simplificando se llega a d B etraendo la raíz cuadrada, se obtiene que la mínima distancia que separa a la recta B C del punto (, ) P es d B C B En el caso en que se quiera encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, basta con determinar un punto de una de las rectas aplicar la epresión anterior. Ejemplos. Obtener la distancia que separa a la recta del punto en los siguientes casos, P (, ) ) d ( ) ( ) ( ) 8 9 6 ) 8 6 P 6, ( 8)() 6(6) 6 d u. ( 8) (6) 8 6, ( ) este resultado implica que el punto pertenece a la recta. Ejemplo. Obtener la distancia entre las rectas paralelas Primero se comprueba que las rectas sean paralelas Para m. B Para m 8 B 6 u. 8 como m m, las rectas si son paralelas. hora, se determina un punto cualquiera de la recta Si ( ) 8, por lo que el punto es P (, ) la distancia a es 8 ( ) ( )( ) 6 9 d u. ( )
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa 8 ÁRE DE UN TRIÁNGUO Dados tres puntos ( ), P, ( ), P ( ), P no colineales en el plano, se genera un triángulo cuos lados se forman al unir cada punto con los otros dos P (, ) P (, ) P (, ) En la figura, el área del triángulo viene dada por el área del rectángulo menos el área de los tres triángulos sombreados, esto es ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Área ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) factorizando ( ) ( ) Área cómo el área no puede ser negativa, entonces ( ) ( ) Área Por otra parte, si se calcula el determinante dispuesto como se obtiene
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( ) ( ) ( ) obteniendo el mismo resultado, por lo tanto, el área de un triángulo también puede calcularse por Área Ejemplos. Mediante los dos métodos, obtener el área del triángulo generado al unir los puntos siguientes ) P ( ), P (, ) P ( 6),, Área 9 9 u comprobación Área 9 6 ( ( ) )( ) ( 6 )( ) ( )( ) ( )( 6) ( )( ) ( ) ) P ( 8), P (, ) P (, ), Área 9 u comprobación 8 Área 8 ( 8 )( ) ( )( ) ( ) ( 8)( ) ( 8)( ) ( )( ) 9 u u ECUCIÓN NORM DE RECT Sean una recta en el plano, un punto (,) pase por el origen, llamada recta normal P que le pertenece otra recta perpendicular a que 9
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa 9 P(,) recta normal r α De la figura se deduce que cosα r r cosα senα Por lo que las coordenadas del punto P (,) son ( r cosα, r senα) P. También, de la gráfica se puede advertir que la pendiente de la recta normal es condición de perpendicularidad plicando la fórmula punto pendiente se tiene cosα m cotα. m tanα senα cosα r senα ( r cosα) senα r sen α cosα r cos α senα cosα senα r sen α r cos α, factorizando r ( sen α cos α) cosα senα r, pero se sabe que sen α cos α que es la ecuación normal de la recta. cos α sen α r Comparando la ecuación normal con la ecuación general de la recta se tiene que k cos α, B k sen α, C k r r r senα, donde k es una constante de proporcionalidad. Elevando al cuadrado las primeras dos igualdades sumándolas cos α sen α k k B, despejando la constante se obtiene k. Por lo tanto Ejemplos. B cos α, B sen α B B m tanα, pero por C r. B ) Determinar la ecuación de la recta normal cua distancia al origen es r que tiene un ángulo de inclinación de la normal de.
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Sustituendo en la fórmula se tiene cos sen 866.. ) Transformar la ecuación general de la recta 6 a su forma normal. plicando en las fórmulas correspondientes se tiene cosα, senα 69 69 6 6 6 6 r, por lo tanto. 69 ) Obtener la distancia que separa a la recta del origen sobre la recta normal. a distancia está dada por el término independiente de la forma normal de la recta C B ( ) 6 9 r u. B RECTS Y PUNTOS NOTBES DE TRIÁNGUO MEDINS DE UN TRIÁNGUO. BRICENTRO a mediana de un triángulo es un segmento de recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Para obtener las medianas de un triángulo, se consideran cada uno de los tres vértices con respecto al punto medio del segmento opuesto. Posteriormente se encuentran los ecuaciones de las rectas de cada una de las medianas aplicando la forma de la recta punto pendiente finalmente se determina el punto de intersección, llamado baricentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tres ecuaciones encontradas. El baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo, es decir el punto del que se pude tensar en que queda suspendido horizontalmente. P T Baricentro S P P R
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Obtener el baricentro del triángulo formado por los vértices P ( ), P (, ) P ( 6) De acuerdo con la nomenclatura de la figura Para el lado P Para el lado P Para el lado P ( ) ( ) P su punto medio es S,, S 6 R, R, 6 T, T, P su punto medio es ( ) (, ) P su punto medio es ( ) hora se encuentran las pendientes de las medianas P T se tiene m ( ) P R se tiene m ( ) 8 6 P S se tiene m T 8 Para el segmento Para el segmento Para el segmento a ecuación de la mediana P es ( ) ( ) a ecuación de la mediana P R es ( ) ( ) 8 8 8 6 8 9 ( ) ( ) ( ) a ecuación de la mediana P S es 6 ( ) ( 6) ( ) 9 Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en, aplicando el método de determinantes se tiene 8 9 9 8 8 8 6 8 9 9 6 8 ; 8 6 8 Comprobando en la tercera ecuación se tiene 9 9 el baricentro se ubica en 8,. 8,
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa MEDITRICES DE UN TRIÁNGUO. CIRCUNCENTRO as mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a los puntos medios de cada lado. Para obtener las mediatrices de un triángulo, se consideran cada uno de los puntos medios de los segmentos. Se calculan las pendientes de cada uno de los lados. Después se determinan las ecuaciones de las rectas perpendiculares aplicando la forma de la recta punto pendiente finalmente se encuentra el punto de intersección, llamado circuncentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tres ecuaciones encontradas. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que es la que pasa por los tres vértices del triángulo. Circuncentro P T S P R P Ejemplo. Obtener el circuncentro del triángulo formado por los vértices P ( 68), P (, ) P ( ) De acuerdo con la nomenclatura de la figura Para el lado P 6 S P 8 ( ), su punto medio es,, S (, ) 6 8 Para el lado P P, su punto medio es R, R( 6, ) Para el lado P P, su punto medio es T, T (, ) hora se encuentran las pendientes de cada uno de los lados del triángulo, sus perpendiculares (las que tienen un *) que corresponden a las mediatrices Para el segmento P P 8 8 se tiene m ( ) m* 6 6 Para el segmento P 8 P se tiene m ( ) m* 6 8 ( ) Para el segmento P P se tiene m m*,
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa a ecuación de la recta que pasa por el punto S es perpendicular a P P es ( ) ( ( ) ) ( ) a ecuación de la recta que pasa por el punto R es perpendicular a P P es 6 6 6 ( ( )) ( ) a ecuación de la recta que pasa por el punto T es perpendicular a P P es ( ) ( ) ( ) ( ) Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en, aplicando el método de determinantes se tiene 6 6 ; 6 Comprobando en la tercera ecuación se tiene 6 ( ) 6 el circuncentro se ubica en ( 6, ). TURS DE UN TRIÁNGUO. ORTOCENTRO a altura de un triángulo es el segmento de recto perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Para encontrar las alturas de un triángulo, se consideran cada una de las pendientes de los lados del triángulo. Posteriormente, utilizando el vértice opuesto las pendientes obtenidas, se determinan las ecuaciones de las rectas perpendiculares aplicando la forma de la recta punto pendiente. Finalmente se encuentra el punto de intersección, llamado ortocentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tres ecuaciones encontradas. Según el tipo de triángulo el ortocentro puede estar dentro, en un vértice o fuera del mismo. P Ortocentro P P
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Obtener el ortocentro del triángulo formado por los vértices P (, ), P ( ) P ( ) De acuerdo con la nomenclatura de la figura, se encuentran las pendientes de los lados sus perpendiculares (las que tienen *) Para el segmento P P ( ) se tiene m m* Para el segmento P ( ) P ( ) 6 se tiene m m* ( ), Para el segmento P P 6 se tiene m * m a ecuación de la altura que pasa por el punto P es perpendicular a P P es ( ) ( ) ( ) a ecuación de la altura que pasa por el punto P es perpendicular a P P es ( ) ( ) a ecuación de la altura que pasa por el punto P es perpendicular a P P es ( ) ( ( ) ) ( ) 9 Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en, aplicando el método de determinantes se tiene 69 9 ; 69 696 6 Comprobando en la tercera ecuación se tiene 9 69 el ortocentro se ubica en,., PICCIONES En casi todas las ciencias eactas en las sociales eisten innumerables aplicaciones de las ecuaciones lineales su representación gráfica. En la vida cotidiana de forma recurrente también se aplica indirectamente la idea de recta. Entre algunas de sus aplicaciones se pueden citar
Facultad de Contaduría dministración. UNM Recta utor Dr. José Manuel Becerra Espinosa. a medición de la temperatura en Méico en Estados Unidos no es igual, sin embargo, se pueden obtener equivalencias a que la relación entre grados Celsius ( C ) Fahrenheit ( F ) es lineal. a 9 fórmula que relaciona a ambas escalas es F C, epresión de la forma, m b. En la construcción de caminos que comunican dos lugares, mientras las condiciones del terreno lo permitan, se trazan sobre líneas rectas.. En economía, algunas funciones de producción, tales como la oferta la demanda se pueden modelar por rectas. Normalmente la oferta se representa como q ap b, la demanda es del tipo q c dp, donde q es la cantidad de artículos fabricados, p, el precio a, b, c, d son constantes. a intersección de ambas rectas determina el precio del producto.. En hidráulica, para describir la inclinación de los canales, normalmente no tienen pendientes maores al %.. a depreciación de un producto con respecto al tiempo es lineal, es decir, a medida que pasa el tiempo, el artículo va perdiendo su valor hasta que se amortiza totalmente. 6. Un rao láser se desplaza en forma de una recta.. De acuerdo con la mecánica newtoniana, todos los cuerpos caen en forma recta por efecto de la gravedad. 8. a gran maoría de las columnas en construcciones utilizan el concepto de paralelismo. 9. En rquitectura, una cantidad considerable de diseños están basados en rectas.. as canchas de muchos deportes, tales como básquetbol, voleibol o tenis, están delimitadas por rectas. 6