Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo Lucas Jódar y Paloa Merello ljodar@i.upv.es, paeregi@hoail.co Insiuo de Maeáica Mulidisciplinar Universidad Poliécnica de Valencia RESUMEN En ese rabajo abordaos la solución del odelo de Leonief dináico suponiendo que el vecor de deandas finales Y y la ariz de coeficienes écnicos o la ariz de coeficienes de capial son variables con el iepo. Paricular aención se presa a la consrucción de soluciones para el caso en que la ariz de coeficienes de capial es singular, y al caso donde, YY y son funciones analíicas. Palabras claves: Leonief ináico; ariz capial variable. Clasificación JEL Journal Econoic Lieraure: C67; O4. Área eáica: Maeáica plicada a los Méodos Cuaniaivos. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Lucas Jódar y Paloa Merello. INTROUCCIÓN Y MOTIVCIÓN El odelo de Leonief esáico, descrio por la ecuación I Y, es un insrueno úil para el análisis de la relación de equilibrio enre la producción y la deanda de una econoía ulisecorial inerdependiene [W.W.Leonief]. Ese odelo esáico no considera algunos probleas de inerés real. Uno de ellos es el ajuse con el paso del iepo de las producciones secoriales al variar la deanda con el iepo. Oro problea ineresane es que, adeás del proceso de ajuse, puede exisir equilibrio inesable, diferene del equilibrio esáico. Esos hechos oivan la consideración del odelo de Leonief dináico, Y. onde represena el vecor de producciones en R n, es la ariz de producción en R nx, se considera la foración de capial incluyendo la acuulación de invenario, [Chang, p.62], represenada por la ariz en R nx. Sin ebargo, el raaieno del odelo dináico, para nuesro conociieno considera dos siuaciones ineresanes, coo el caso en que la ariz de coeficienes de capial es singular, así coo que sea variable con el iepo, juno con la ariz de coeficienes de producción son variables con el iepo, así coo el vecor de deandas finales Y. El odelo dináico de Leonief iene un renovado inerés por sus relaciones con la eoría del creciieno, [Kurz&Salvadori, 2]. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 2 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. En ese rabajo abordaos la consrucción de la solución del odelo dináico de Leonief, en los dos casos aneriorene ciados, y consiuyen el puno de parida de siuaciones ás generales en la que la variación con el iepo de las arices de producción, de capial, así coo el vecor de deandas, sean variables con el iepo, pero no necesariaene analíicas. Ese arículo esá organizado coo sigue. En la sección 2 incluios un resuen de definiciones y resulados con objeo de hacer ás clara la coprensión del reso del arículo. En la sección 3 incluios la consrucción de la solución del problea de Leonief dináico donde es variable con el iepo y es una ariz singular, no considerando en [lanc]. El enfoque uilizado en esa sección uiliza la eoría de siseas singulares de ecuaciones diferenciales [Capbell] y el éodo de desarrollos en series de poencias [ieudonné], [irkhoff-roa]. La sección 4 consruye la solución del problea para el caso donde, e YY son funciones analíicas, es decir, ; ; Y Y ; r <, r >, 2 donde, son arices en R nxn e Y es un vecor en R n, para cada, ediane el éodo de desarrollos en series de poencias. El arículo concluye con secciones 5 y 6. las conclusiones y las referencias en las VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 3 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Lucas Jódar y Paloa Merello 2. PRELIMINRES Epezareos esa sección recordando algunos preliinares algebraicos relacionados con la inversa razin de una ariz, concepo que jugará un papel iporane en lo que sigue. Los resulados y definiciones que ciareos pueden enconrarse en el capiulo de [Capbell]. ada una ariz L en C nx, denoareos el rango de L por R L, su núcleo por N L y su índice por Ind L. La diensión de NL la denoareos por di N L. coninuación inroducios el concepo de inversa razin. Sea una ariz C nxn, con Ind q, di R q s, di N q, con s n. Enonces, exise una ariz inverible T en C nxn, al que C T T, 3 N donde C es una ariz inverible de aaño aaño con Ind N q. s s y N es una ariz nilpoene de La inversa razin de, denoada por se define por C T T. 4 N En paricular, si es inverible, el bloque N no aparece en 4 y. Si es nilpoene, enonces el bloque C no aparece en 4 y su inversa razin. Enre las propiedades iporanes de la inversa razin, desacareos las siguienes, aneniendo la noación anerior.,, K VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 4 Rec@ Vol cas_6 Issue :24 K, para k Ind. 5
Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. K K I, k Ind ; I, k < Ind. 6 q q N N, R R. 7 Se verifica abién que q x N x x I x. 8 Todavía necesiaos recordar el concepo de inverse Moore-Penrose de una ariz recangular de aaño aaño n, en xn C, denoada por, que es la ariz de n que verifica el siguiene resulado uy iporane, cuya deosración puede enconrarse en [Rao&Mira, p.24]: El sisea algebraico x b, b C, 9 es copaible, si y solo si b b. ajo la condición, la solución general de 9 viene dada por x b I z, z C arbirario. La inversa Moore-Penrose de una ariz puede calcularse eficieneene uilizando MTL. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 5 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Lucas Jódar y Paloa Merello coninuación consideraos el sisea de ecuaciones diferenciales f, 2 y el problea de valores iniciales f, c, 3 donde, son arices coplejas de aaño aaño n. n n, y f es una función vecorial de El vecor c en n C, se llaa un vecor inicial consisene con para 3 si dicho problea iene al enos una solución. El sisea 2 se dice raable en el puno si el problea de valores iniciales 3 iene una solución única para cada vecor inicial consisene c, asociado con. Se verifica, el siguiene resulado: Teorea [Capbell, p.34] El sisea 2 es raable, si y solo si exise un escalar λ ` al que exise la inversa de la ariz λ. ˆ λ λ Si bajo las hipóesis del eorea, denoaos por, enonces el siguiene resulado, que puede enconrarse en [Capbell, p.36] uesra que si hay diferenes valores del paráero λ, algunas expresiones iporanes no dependen del valor del paráero que se elija. Teorea 2. Sean, arices en nxn C ales que exise λ ` al que exise λ. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 6 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. ˆ Sean λ, λ, fλ λ f λ ˆ λ ˆ, para n f C. Para odos los valores de verifican las siguienes idenidades ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ α ˆ α ˆ µ ˆ y µ α α µ µ α, µ ` para los que α y ˆ ˆ ˆ ˆ, α α µ µ µ exisen, se Ind ˆ Ind ˆ y R ˆ R ˆ, α µ α µ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. ˆ α f α ˆ µ f, µ α fα ˆ µ f µ 3. EL MOELO E LEONTIEF INÁMICO CON MTRIZ E CPITL SINGULR La hipóesis I es inverible, 4 es uilizada habiualene para el esudio del odelo esáico. Considereos escrio en la fora I Y, 5 y su correspondiene hoogéneo I. 6 VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 7 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Lucas Jódar y Paloa Merello ajo la condición 4 oando λ, eneos que I es inverible y por el eorea, el sisea 6 es raable con supongaos que la función de deandas Y saisface la condición ˆ I. Sea k Indˆ y Y es k-veces coninuaene diferenciable. 7 Sea y considereos la expresión k i ˆ ˆ i ˆ i i wˆ I qˆ. 8 Enonces, por el eorea 3..3 de [Capbell, p.37], el problea 5 adie coo solución paricular p ˆ s wˆ exp ˆ e ˆ qˆ s ds. 9 Las expresiones 8 y 9 son independienes del valor de λ que haga raable el sisea 6. La solución general de 5 viene dada enonces por la expresión ˆ ˆ ˆ exp T z, 2 p donde z `n arbirario. deás, un vecor c `n es un vecor inicial consisene asociado con para la ecuación 5 si y sólo si c saisface ˆ I c wˆ ˆ. 2 La única solución de 5 que saisface c viene dada por 2 con z c. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 8 Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 9 Rec@ Vol cas_6 Issue :24 4. CONSTRUCCIÓN E SOLUCIÓN MEINTE SERIES E POTENCIS PR EL MOELO E LEONTIEF INÁMICO Sea la función del odelo dináico de Leonief la siguiene Y. 22 Siendo la ecuación hoogénea de la anerior Y I, 23 y donde, e YY son funciones analíicas 2. eerinareos I, donde para y para uscareos soluciones a 23 ediane el éodo de desarrollos en series de poencias [ieudonné], es decir. 24 Los dos producos de series de poencias en 23 quedarían por ano definidos por las siguienes series de poencias M, 25 C, siendo por [Merens] M y C de la siguiene fora k k k M y k k k k C. 26 Por 2, 25 y 26 la ecuación 23 resulará de la fora
Lucas Jódar y Paloa Merello C M Y. 27 Conociendo que, es decir un dao, quedará definido de la fora 28 a parir de para el caso en que C M Y, I Y, [ I ] Y, bajo la condición de que sea inverible. 28 e igual fora buscareos la solución general de para cualquier. k C M Y, k M Y, k k k k M Y, k k k M k k k Y. 29 Sea 29 solución de para inverible. Para el caso en que es singular 29 será solución susiuyendo por, su inversa Moore-Penrose,. e ese odo k para singular bajo la condición de que M k k k Y, 3 VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Soluciones del odelo de Leonief dináico con daos variables en el iepo. k k k k M Y R. 5. CONCLUSIONES En ese rabajo se obienen condiciones de equilibrio para el odelo de Leonief dináico en los casos donde ano la función de deanda exerna, coo la ariz inpuoupu y la ariz de coeficienes de capial son variables con el iepo. Se esudia abién el caso donde, siendo odas esas arices consanes, la ariz de coeficienes de capial es singular, en cuyo caso, los auores de [ynaic Equilibriu in Inpu-oupu Models: Theory and Epirical pplicaions], consideran que la siuación no es viable. Las écnicas uilizadas se basan en el esudio de siseas singulares de ecuaciones diferenciales, el éodo de series de poencias para la resolución de ecuaciones diferenciales e inversas generalizadas de arices. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional Rec@ Vol cas_6 Issue :24
Lucas Jódar y Paloa Merello 6. REFERENCIS ILIOGRÁFICS S. L. CMPELL. Singular Syses of ifferenial Equaions. Pian Pub. Co., London, 98. W. LEONTIEF. Sudies in he Srucure of he erican Econoy. Oxford Univ. Press, Oxford, 953. HEINZ.KURZ & NERI SLVORI. The ynaic Leonief Model and he Theory of Endogenous Growh. Econoic Syses Research, Vol. 2, No. 2, 2. MRINO LNC Y CRMEN RMOS. ynaic Equilibriu in Inpu-oupu Models: Theory and Epirical pplicaions. ª Jornadas de SEPUM. 23..C. CHNG, Fundaenal Mehods of Maheaical Econoics, McGraw Hill, New York, 984. J.IEUONNÉ, Foundaions of Modern nalysis, cadeic Press, New York, 969. W. RUIN, Principios de nálisis Maeáico, E. del Casillo, Madrid, 966. C.R. RO, S.K. MITR, Generalized Inverses of Marices and is pplicaions, John Wiley, New York, 97. G. IRKHOFF, G.C. ROT, Ordinary ifferenial Equaions, John Wiley and Sons, New York, 989. VI Jornadas SEPUM IV Encuenro Inernacional 2 Rec@ Vol cas_6 Issue :24